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MCII- Equaes Diferenciais Lista de Exerccios - Prof. Dr. Cludio S. Sartori 1
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1. Um circuito RL simples consiste em um
resistor R e um indutor L ligados em srie, conforme
ilustrado na figura ao lado, com uma fora
eletromotriz constante V. Fechado o interruptor em t
= 0s, segue-se e uma das leis de Kirchhoff para
circuitos eltricos que,se t > 0, a corrente I satisfaz a
equao diferencial:
dIL R I V
dt . Expresse I em funo de t.
Figura 1 Circuito RL simples.
2. Resolva as equaes diferenciais pelo
mtodo da separao de variveis:
(a) 2dx tx
dt
(b)
2dx x x
dt t
(c) 2(1 )
dxt x
dt
(d) dx t
dt x
(e)
2 1dx t
dt x
(f)
2 1dx x
dt t
3. Resolva as equaes diferenciais de
segunda ordem:
(a)
2
23 2 0
d y dyy
dx dx
(b)
2
24 4 0
d y dyy
dx dx
(c)
2
24 5 0
d y dyy
dx dx
(d)
2
23 2 0
0 0; 0 1
d x dxx
dt dt
x x
4. Determine a soluo da equao
diferencial: 0;035 52 xxxy
dx
dyx
5. Resolva a equao diferencial:
xxxytgxdx
dycos2sec
6. Deixa-se cair de um balo um objeto de
massa m. Ache a distncia que o objeto percorre em t
segundos, se a fora de resistncia do ar diretamente
proporcional velocidade.
7. Um circuito RC simples consiste em um
resistor R e um capacitor C ligados em srie, conforme
na figura ao lado, podendo o capacitor ser carregado
quando ligado em paralelo a uma fora eletromotriz V
constante. Ou, uma vez carregado, ser descarregado ao
ser ligado em paralelo a um resistor R. Fechado o
circuito em t=0s, analise o comportamento da corrente
na:
(a) Carga do capacitor
(b) Na descarga do capacitor.
Figura 2 (a) Carga no capacitor: montagem
experimental e comportamento da corrente eltrica I e da
carga Q no capacitor com o tempo t.
(b) Descarga no capacitor: montagem
experimental e comportamento da corrente eltrica I e da
carga Q no capacitor com o tempo t.
MCII- Equaes Diferenciais Lista de Exerccios - Prof. Dr. Cludio S. Sartori 2
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8. Considere um bloco de massa m preso a
uma mola de constante elstica k. No instante t = 0s
solta-se o bloco a partir de uma posio inicial em x
= x0. Determine x(t) sabendo-se que a Lei de Hooke
(fora da mola sobre o bloco) dada por F = -kx.
No h atrito.
9. Oscilador harmnico amortecido:
Considere o mesmo problema anterior, s que agora
com uma fora dissipativa de atrito proporcional
velocidade: cv cx . Encontre x.
10. Resolva:
(a) dx
xtdt
(b) 2dy
ydx
(c) 2 1
dyx
dx (d) 2( 10)
dTT
dt
(e) 1dx
dt x (f)
dy y
dx x
(g) 2 1
dxx
dt (h) y
dye
dx
(i) 2dv v v
dt (j) ln
dxt
dt
(l)
21dy y
dx x
(m) s
dste
dt
(n) 2
du v
dv u (o)
21
dx tx
dt t
(p) 2cos
dyy
dx (q)
cos
dx t
dt x
11. Resolva a equao de primeira ordem,
aplicando:
dxxp
exIxI
dxxIxqxy
)(
)()(
)()()(
(a) 3 2dx
xdt
(b) 1dx
xdt
(c) 3 tdx
x edt
(d) cosdx
x tdt
(e) 22 t
dxx e
dt
(f) cos 2dx
x tdt
(g) 3 2 1dy
ydx
12. Resolva a equao de segunda ordem:
(a)
2
22 3 0
d x dxx
dt dt
(b)
2
22 0
d x dxx
dt dt
(c)
2
24 0
d xx
dt
(d)
2
24 0
d x dx
dt dt
(e)
2
23 0
d xx
dt
(f)
2
22 0
d x dxx
dt dt
(g)
2
22 0
d y dyy
dx dx
(h)
2
26 9 0
d y dyy
dx dx
(i)
2
25 0
d y dy
dx dx
(j)
2
26 0
d yy
dx
(l)
2
23 0
d x dx
dt dt
(m)
2
20
d x
dt
(n)
2
22 0
d x dxx
dt dt
(o)
2
23 5 0
d x dx
dt dt
(p)
2
29 0; (0) 1; (0) 1
d xx x x
dt
13. Resolva a equao:
(a)
2
22 5 0
d x dxx
dt dt
(b)
2
25 0
d xx
dt
(c) 0x x x
(d)
2
25 0
d xx
dt
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3
(e) 9 0x x (f) 2 2 0y y y
(g) 4 4 0y y y
(h)
2
25 0
d y dy
dt dt
(i) 6 10 0y y y
(j)
2
23 0
d y dyy
dt dt
(l) 6 5 0y y y
(m) 6 9 0x x x (n) 4 0y y
(o) 3 3 0y y y
(p) 2 2 0; (0) 1; (0) 0x x x x x 14. Ache a soluo geral da equao
diferencial e ilustre-a graficamente. Ache a soluo
particular que satisfaa a condio y=2 quando x=0.
(a) 23' xy (b) 24
'x
xy
15. Prove que y uma soluo da equao
diferencial:
(a) 02'3'' yyy ; xx eCeCy 221
(b) y+3y=0; y=Cx-2/3
(c) 2xy3+3x
2y
2y=0; y=Cx-2/3
16. Resolva a equao diferencial:
(a) secx dy-2y dx=0
(b) x dy-y dx =0
(c) 3y dx+(xy+5x) dy=0
(d) y=x2-1+xy-y (e) e
x+2y dx- e
2x-y dy=0
(f) y(1+x3)y+x2(1+y2)=0
(g) x tgy-ysecx=0 (h) e
ysenx dx-cos
2x dy=0
17. Ache a soluo particular da equao
diferencial que satisfaa a condio dada.
(a) 2y2=3y-y; y=1 quando x=3
(b) x dy-(2x+1)e-y
dx=0 ; y=2 quando x=1
18. Resolva as equaes diferenciais.
(a) y+2y=e2x
(b) y-3y=2 (c) xy+y+x=ex
(d) y+cotgx=4x2cscx (e) (ysenx-2)dx+xdy=0
(f) (x2cosx+y)dx-xdy=0
(g) xy+(2+3x)y=xe-3x (h) x
-1y+2y=3 (i) tgxdy+(y-senx)dx=0
(j) 3223' xexyxy
19. Ache a soluo particular da equao
diferencial dada:
(a) xy-y=x2+x ; y=2 quando x=1 (b) xy=+y+xy=e-x ; y=0 quando x=0
20. A equao diferencial
C
V
C
I
dt
dIR
descreve um circuito eltrico que consiste em uma fora
eletromatriz V com resistncia eltrica R e capacitncia C
ligadas em srie. Se V constante e I =I0 quando t=0,
expresse I em funo de t.
21. No instante t=0, um tanque contm K quilos
de sal dissolvidos em 80 gales de gua. Suponha que
estejamos adicionando ao tanque 1/3 kg de sal por galo
razo de 6 gal/min, e que a soluo, bem agitada, esteja
sendo drenada do tanque mesma taxa. Estabelea uma
frmula para a quantidade f(t) de sal no tanque no
instante t.
22. Um objeto de massa m se move em uma
reta coordenada, sujeito a uma fora F(t) = e-t ,onde t o
tempo. O movimento sofre a resistncia de uma fora de
atrito numricamente igual a duas vezes a velocidade do
objeto. Se v = 0 quando t = 0, estabelea uma frmula
para v em um instante arbitrrio t > 0.
23. Resolva a equao diferencial.
(a) y-5y+6y=0 (b) y-3y=0 (c) y+4y+4y=0 (d) y-4y+4y=0
(e) 02'22'' yyy
(f) 8y+2y-15y=0 (g) 9y-24y+y=0 (h) 2y-4y+y=0 (i) y-2y+2y=0
24. Ache a soluo particular da equao
diferencial dada que satisfaa as condies indicadas:
(a) y-3y+2y=0 ; y=0 e y=2 quando x=0. (b) y+y=0 ; y=1 e y=2 quando x=0
(c) 052
2
2
ydx
dy
dx
yd ; y=0 e dy/dx=1 quando
x=0
(d) 0136
2
2
xdt
dx
dt
xd ; x=0 e dx/dt=3 quando
t=0
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Aplicaes Sistema massa-mola-amortecedor
2
00 0c k c
x x x x x xm m m
0 02ck
c mm
1. Amortecimento supercrtico c > cc :
1 20 2 0 0 0 1
2 1 2 1
( )t tx v v x
x t e e
2
2
1,2 02 2
c c
m m
2. Amortecimento crtico c = cc :
20 0 0( )
2
ct
mc
x t x v x t em
3. Amortecimento subcrtico c < cc
BsenqtqtAetxt
m
c
cos)( 2 2
0 1c
cq
c
Ou
)()( 2
qtsenextxt
m
c
m
0
0 0
2
2
mqxtg
mv cx
;
2
2 0 0
0
2
2m
mv cxx x
mq
Circuito RLC A equao diferencial a resolver :
2
2
10
dI Q d I dI RL RI V I
dt C dt LC dt L
Devemos inserir os dados como parmetros de
entrada:
Tenso na fonte E, em V. Resistncia do resistor, em Ohms (). Capacitncia do capacitor, em Faraday (F). Indutncia no indutor, em Henry (H).
As sadas de dados so:
O valor de 01
L C
O valor de
2
2
04R
L
O valor de 2
R
L
Para > 0
o
2
2
1 02 2
R R
L L
o
2
2
2 02 2
R R
L L
o A soluo da equao diferencial:
1 20 2 0 1 0 0
2 1 2 1
( )t tI Q Q I
Q t e e
1 20 2 0 1 0 01 2
1 2 1 2
( )t tI Q Q I
I t e e
Para = 0
o A soluo da equao diferencial:
0 20 0( )
2
Rt
LQ R
Q t Q I t eL
0 0 20 0 0( )
2 2 2
Rt
LQ R Q R R
I t I Q I t eL L L
Para < 0
o 01
L C
o A soluo da equao diferencial:
21 2( ) cosR
tLQ t C sen t C t e
21 2 2 1( ) cos
2 2
Rt
LR R
I t C C sen t C C t eL L
2
2
02
R
L
0 01
2
I RQC
L
2 0C Q
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