Aula transformações de coordenadas

TRANSFORMAÇÕES DE TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADASCOORDENADAS

Prof. Margareth da Silva MagalhãesProf. Margareth da Silva Magalhães

Universidade do Estado da BahiaUniversidade do Estado da Bahia

1. TRANSLAÇÃO DE EIXOS

TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS NO E²TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS NO E²

1. TRANSLAÇÃO DE EIXOS

TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS NO E²TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS NO E²

Um ponto P do plano tem Um ponto P do plano tem

coordenadas:coordenadas:

x e y em relação ao sistema x e y em relação ao sistema

xOy.xOy.

x’ e y’ em relação ao sistema x’ e y’ em relação ao sistema

x’O’y‘.x’O’y‘.

1. TRANSLAÇÃO DE EIXOS

TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS NO E²TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS NO E²

Fórmulas de Translação:Fórmulas de Translação:

x = x’ + xx = x’ + xoo..

y = y’ + yy = y’ + yoo..

EXEMPLOEXEMPLO

Considere a circunferência de equação x² + y² - 6x - 8y + 21 = 0 em Considere a circunferência de equação x² + y² - 6x - 8y + 21 = 0 em

relação ao sistema xOy. Faça uma translação de eixo tal que a nova relação ao sistema xOy. Faça uma translação de eixo tal que a nova

origem seja O’=(3,4). Obtenha a equação da circunferência em origem seja O’=(3,4). Obtenha a equação da circunferência em

relação ao novo sistema de coordenadas x’Oy’.relação ao novo sistema de coordenadas x’Oy’.

RESOLUÇÃO:RESOLUÇÃO:

a)a) Fórmulas de translaçãoFórmulas de translação

x = x’ + 3x = x’ + 3y = y’ + 4y = y’ + 4

a)a) SubstituiçãoSubstituição

x² + y² - 6x - 8y + 21 = 0x² + y² - 6x - 8y + 21 = 0

RESOLUÇÃO:RESOLUÇÃO:

a)a) Fórmulas de translaçãoFórmulas de translação

x = x’ + 3x = x’ + 3y = y’ + 4y = y’ + 4

b) Substituiçãob) Substituição

x² + y² - 6x - 8y + 21 = 0x² + y² - 6x - 8y + 21 = 0x’² + y’² = 4x’² + y’² = 4

1. ROTAÇÃO DE EIXOS

TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS NO E²TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS NO E²

Mantendo-se fixa a origem O, faz-Mantendo-se fixa a origem O, faz-

se uma rotação nos eixos x e y de se uma rotação nos eixos x e y de

um mesmo ângulo, no sentido um mesmo ângulo, no sentido

anti-horário. Obtemos assim um anti-horário. Obtemos assim um

novo sistema x’O’y’ por uma novo sistema x’O’y’ por uma

rotação de xOy.rotação de xOy.

1. ROTAÇÃO DE EIXOS

TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS NO E²TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS NO E²

a)a) Fórmulas de rotaçãoFórmulas de rotação

x = x’cosx = x’cosθθ – y’sen – y’sen θ θ

y = x’seny = x’sen θ θ + y’cos + y’cos θ θ

EXEMPLOEXEMPLO

A equação 5x² + 6xy + 5y² - 8 = 0 representa um elipse no sistema A equação 5x² + 6xy + 5y² - 8 = 0 representa um elipse no sistema

xOy. Obter a equação da mesma elipse uma vez efetuada a rotação xOy. Obter a equação da mesma elipse uma vez efetuada a rotação

de eixos de amplitude de eixos de amplitude θθ = 45 = 45°°..

a)a) Fórmulas de rotaçãoFórmulas de rotação

x = x’cosx = x’cosθθ – y’sen – y’sen θ θ

y = x’seny = x’sen θ θ + y’cos + y’cos θ θ

θθ = 45 = 45°°

RESOLUÇÃORESOLUÇÃO

a)a) Fórmulas de rotaçãoFórmulas de rotação

b)b) SubstituiçãoSubstituição

5x² + 6xy + 5y² - 8 = 05x² + 6xy + 5y² - 8 = 0

4x’² + y’² - 4 = 04x’² + y’² - 4 = 0

RESOLUÇÃORESOLUÇÃO

COORDENADAS POLARES NO PLANOCOORDENADAS POLARES NO PLANO

Até agora, sempre usamos as coordenadas retangulares, onde um ponto do plano é representado por um par de números reais que representam as distâncias entre um ponto e os eixos coordenados

P(x, y)

x

y

COORDENADAS POLARES NO PLANOCOORDENADAS POLARES NO PLANO

P(r, θ)

r

θO (Polo) Eixo polar

COORDENADAS POLARES NO PLANOCOORDENADAS POLARES NO PLANO

Coordenadas Retangulares ou Cartesianas

COORDENADAS POLARES NO PLANOCOORDENADAS POLARES NO PLANO

Coordenadas Polares

COORDENADAS POLARES NO PLANOCOORDENADAS POLARES NO PLANO

P(r, θ)

r

θO Eixo polar

P(-r, θ) = P(r, θ + )

-r

TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS CARTESIANAS - POLARESCARTESIANAS - POLARES

x

y

r

θO

x = r.cosθy = r.senθ

x² + y² = r²

ExercíciosExercícios

ExercíciosExercícios

ESTUDO DAS CÔNICASESTUDO DAS CÔNICAS

Considere-se, em um plano Considere-se, em um plano , um ponto F e uma reta d que não contém F. , um ponto F e uma reta d que não contém F. Denominamos parábola de foco F e diretriz d, ao lugar geométrico dos Denominamos parábola de foco F e diretriz d, ao lugar geométrico dos pontos do plano pontos do plano que eqüidistam de d e F. que eqüidistam de d e F.

PARÁBOLAPARÁBOLADefiniçãoDefinição

PARÁBOLAPARÁBOLAAplicações PráticasAplicações Práticas

PARÁBOLAPARÁBOLAAplicações PráticasAplicações Práticas

PARÁBOLAPARÁBOLAAplicações PráticasAplicações Práticas

Cabo principal de uma ponte pênsil (CATENÁRIA) Cabo principal de uma ponte pênsil (CATENÁRIA)

Lançamento de um projétil. Lançamento de um projétil.

F:F: foco; foco;

d: d: diretriz;diretriz;

V: V: vértice;vértice;

p: p: parâmetro que representa a parâmetro que representa a distância do foco a diretriz ( pdistância do foco a diretriz ( p 0); 0);

Reta VF: Reta VF: eixo de simetria da eixo de simetria da parábola. parábola.

AA’: AA’: corda focal mínima (LACUS corda focal mínima (LACUS RECTUM)RECTUM)

PARÁBOLAPARÁBOLAElementos da ParábolaElementos da Parábola

Considere uma parábola com concavidade voltada para a direita Considere uma parábola com concavidade voltada para a direita

representada no sistema cartesiano xOy. A diretriz tem equação x = -p/2:representada no sistema cartesiano xOy. A diretriz tem equação x = -p/2:

PARÁBOLAPARÁBOLAEquações da Parábola com vértice na origem V = (0, 0)Equações da Parábola com vértice na origem V = (0, 0)

1. O eixo de simetria coincide com o eixo x1. O eixo de simetria coincide com o eixo x

PARÁBOLAPARÁBOLA

P = (x,y)

F = (p/2,0)

P’ = (-p/2, y)

Equações da Parábola com vértice na origem V = (0, 0)Equações da Parábola com vértice na origem V = (0, 0)

1. O eixo de simetria coincide com o eixo x1. O eixo de simetria coincide com o eixo x

PARÁBOLAPARÁBOLAEquações da Parábola com vértice na origem V = (0, 0)Equações da Parábola com vértice na origem V = (0, 0)

1. O eixo de simetria coincide com o eixo x1. O eixo de simetria coincide com o eixo x

PARÁBOLAPARÁBOLAEquações da Parábola com vértice na origem V = (0, 0)Equações da Parábola com vértice na origem V = (0, 0)

1. O eixo de simetria coincide com o eixo x1. O eixo de simetria coincide com o eixo x

PARÁBOLAPARÁBOLAEquações da Parábola com vértice V = (xEquações da Parábola com vértice V = (xoo, y, yoo))

1. O eixo de simetria paralelo ao eixo x1. O eixo de simetria paralelo ao eixo x

y’² = 2px’y’² = 2px’

Fórmulas de Translação:Fórmulas de Translação:

x = x’ + xx = x’ + xoo..

y = y’ + yy = y’ + yoo..

( y- y( y- yoo )² = 2p(x - x )² = 2p(x - xoo))

PARÁBOLAPARÁBOLAEquações da Parábola com vértice V = (xEquações da Parábola com vértice V = (xoo, y, yoo))

1. O eixo de simetria paralelo ao eixo x1. O eixo de simetria paralelo ao eixo x

( y- y( y- yoo )² = 2p(x - x )² = 2p(x - xoo))Desenvolvendo e isolando x:Desenvolvendo e isolando x:

PARÁBOLAPARÁBOLAEquações da Parábola com vértice na origem V = (0, 0)Equações da Parábola com vértice na origem V = (0, 0)

1. O eixo de simetria coincide com o eixo y1. O eixo de simetria coincide com o eixo y

P = (x, y)

F = (0, p/2)

P’ = (x, -p/2)

Considere uma parábola com concavidade voltada para cima. A diretriz Considere uma parábola com concavidade voltada para cima. A diretriz

tem equação: y = -p/2tem equação: y = -p/2

PARÁBOLAPARÁBOLAEquações da Parábola com vértice na origem V = (0, 0)Equações da Parábola com vértice na origem V = (0, 0)

1. O eixo de simetria coincide com o eixo y1. O eixo de simetria coincide com o eixo y

PARÁBOLAPARÁBOLAEquações da Parábola com vértice na origem V = (0, 0)Equações da Parábola com vértice na origem V = (0, 0)

1. O eixo de simetria coincide com o eixo y1. O eixo de simetria coincide com o eixo y

PARÁBOLAPARÁBOLAEquações da Parábola com vértice V = (xEquações da Parábola com vértice V = (xoo, y, yoo))

1. O eixo de simetria paralelo ao eixo y1. O eixo de simetria paralelo ao eixo y

x’² = 2py’x’² = 2py’

Fórmulas de Translação:Fórmulas de Translação:

x = x’ + xx = x’ + xoo..

y = y’ + yy = y’ + yoo..

( x- x( x- xoo )² = 2p(y - y )² = 2p(y - yoo))

PARÁBOLAPARÁBOLAEquações da Parábola com vértice V = (xEquações da Parábola com vértice V = (xoo, y, yoo))

1. O eixo de simetria paralelo ao eixo y1. O eixo de simetria paralelo ao eixo y

( x- x( x- xoo )² = 2p(y - y )² = 2p(y - yoo))

Desenvolvendo e isolando x:Desenvolvendo e isolando x:

PARÁBOLAPARÁBOLAEquações da Parábola (geral):Equações da Parábola (geral):

Eixo de simetria paralelo ao eixo x:Eixo de simetria paralelo ao eixo x:

x = ay² +by + cx = ay² +by + c

y = ax² +bx + cy = ax² +bx + c

Eixo de simetria paralelo ao eixo y:Eixo de simetria paralelo ao eixo y:

a > 0 (p > 0) a > 0 (p > 0) a < 0 (p < 0) a < 0 (p < 0)

p = 1/(2a) p = 1/(2a)

a > 0 (p > 0) a > 0 (p > 0) a < 0 (p < 0) a < 0 (p < 0)

ELIPSEELIPSE

É o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja soma das distâncias a É o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos Fdois pontos fixos F11 e F e F22 (focos) do mesmo plano, é uma constante (2ª), (focos) do mesmo plano, é uma constante (2ª), onde 2a > d(Fonde 2a > d(F11FF22).).

DefiniçãoDefinição

d(P , Fd(P , F11) + d(P, F) + d(P, F22) = 2a) = 2a

d(Q , Fd(Q , F11) + d(Q, F) + d(Q, F22) = 2a) = 2a

ELIPSEELIPSE

a) A trajetória dos planetas ao redor do sol não é circular e sim elíptica.a) A trajetória dos planetas ao redor do sol não é circular e sim elíptica.

Aplicações PráticasAplicações Práticas

a) Arcos em formas de semi-elipse são muito usados na construção de a) Arcos em formas de semi-elipse são muito usados na construção de pontes de concreto e de pedras (desde os antigos romanos).pontes de concreto e de pedras (desde os antigos romanos).

a) O monumento arquitetônico de Roma antiga foi o Coliseu> A planta a) O monumento arquitetônico de Roma antiga foi o Coliseu> A planta baixa possuía a forma elíptica, cujo eixo maior tinha 188 m e o eixo menor baixa possuía a forma elíptica, cujo eixo maior tinha 188 m e o eixo menor 156 m.156 m.

ELIPSEELIPSEElementos da ElipseElementos da Elipse

FF11 e F e F2 2 :: focos; focos;

2c: 2c: distância focal (distância distância focal (distância entre os focos = d(Fentre os focos = d(F11FF22));));

O: O: centro da elipse;centro da elipse;

AA11, A, A22,, BB11,, BB22 : : vértices da elipse;vértices da elipse;

2a: 2a: eixo maior (distância entre os eixo maior (distância entre os vértices = d(Avértices = d(A11AA22));));

2b: 2b: eixo menor (distância entre eixo menor (distância entre os vértices = d(Bos vértices = d(B11BB22)).)).

ELIPSEELIPSEElementos da ElipseElementos da Elipse

Excentricidade:Excentricidade:

0 < ε < 1a² = b² + c²

ELIPSEELIPSEEquações da Elipse de centro na origem O = (0, 0)Equações da Elipse de centro na origem O = (0, 0)

1. O eixo maior coincide com o eixo x1. O eixo maior coincide com o eixo x

Sejam:Sejam:

P = (x,y) um ponto qualquer da P = (x,y) um ponto qualquer da elipse.elipse.

FF11 = (-c,0); = (-c,0);

FF22 = (c,0) = (c,0)

Por definição:Por definição:

d(P , Fd(P , F11) + d(P, F) + d(P, F22) = 2a) = 2a

ELIPSEELIPSEEquações da Elipse de centro na origem O = (0, 0)Equações da Elipse de centro na origem O = (0, 0)

1. O eixo maior coincide com o eixo x1. O eixo maior coincide com o eixo x

ELIPSEELIPSEEquações da Elipse de centro na origem O = (0, 0)Equações da Elipse de centro na origem O = (0, 0)

1. O eixo maior coincide com o eixo y1. O eixo maior coincide com o eixo ySejam:Sejam:

P = (x,y) um ponto qualquer da P = (x,y) um ponto qualquer da elipse;elipse;

FF11 = (0, c) e F = (0, c) e F22 = (0, -c) = (0, -c)

Por definição e de forma análoga: Por definição e de forma análoga: d(P , Fd(P , F11) + d(P, F) + d(P, F22) = 2a) = 2a

ELIPSEELIPSE

Fórmulas de Translação:Fórmulas de Translação:x = x’ + xx = x’ + xoo..y = y’ + yy = y’ + yoo..

1. O eixo maior é paralelo ao eixo x1. O eixo maior é paralelo ao eixo x

Equações da elipse com origem O’ = (xEquações da elipse com origem O’ = (xoo, y, yoo) e cujo eixos ) e cujo eixos são paralelos aos eixos coordenados são paralelos aos eixos coordenados

ELIPSEELIPSE

Fórmulas de Translação:Fórmulas de Translação:x = x’ + xx = x’ + xoo..y = y’ + yy = y’ + yoo..

1. O eixo maior é paralelo ao eixo y1. O eixo maior é paralelo ao eixo y

Equações da elipse com origem O’ = (xEquações da elipse com origem O’ = (xoo, y, yoo) e cujo eixos ) e cujo eixos são paralelos aos eixos coordenados são paralelos aos eixos coordenados

ELIPSEELIPSEEquações da Elipse (reduzida):Equações da Elipse (reduzida):

Eixo maior é paralelo ao eixo x:Eixo maior é paralelo ao eixo x:

(x – x(x – xoo)² + (y – y)² + (y – yoo)² = 1)² = 1

a² b²a² b²

Eixo maior é paralelo ao eixo y:Eixo maior é paralelo ao eixo y:

(x – x(x – xoo)² + (y – y)² + (y – yoo)² = 1)² = 1

b² a²b² a²