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Apresentao Motivao Soluo de problemas numricos Referncias
Aula introdutria de Clculo NumricoLeonardo V. Alves [leonardo.alves.professor@gmail.com]Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Cincias Exatas Departamento de Cincia da Computao Disciplina de Clculo Numrico - DCC034
http://www.dcc.ufmg.br/~lalves
05 e 07 de agosto de 2008
Leonardo V. Alves [leonardo.alves.professor@gmail.com]
Aula introdutria de Clculo Numrico
Apresentao Motivao Soluo de problemas numricos Referncias
Bibliograa Programa Avaliaes Calendrio
Material utilizado
Livro Texto Filho, Frederico Ferreira Campos. Algoritmos Numricos. Segunda Edio, Editora LTC. Material suplementar Calculadora cientca Scilab
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Apresentao Motivao Soluo de problemas numricos Referncias
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Programa da disciplina
Tpicos a serem estudados nesta disciplina:1 2 3 4 5 6
Introduo ao clculo numrico Sistemas Lineares Interpolao Ajuste de curvas Integrao numrica Razes de equaes
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Aula introdutria de Clculo Numrico
Apresentao Motivao Soluo de problemas numricos Referncias
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Introduo ao clculo numrico
1 2 3 4 5 6
Como resolver um problema numrico? Notaes algortmicas Implementao de algoritmos Tipos de erros Aritmtica de ponto utuante Scilab
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Sistemas Lineares
1 2 3 4 5 6 7
Conceitos bsicos Eliminao de Gauss Decomposio LU Decomposio de Cholesky Aplicaes de decomposio Mtodos iterativos Anlise de erros
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Interpolao
1 2 3 4
Polinmios interpoladores Polinmios de Lagrange Polinmios de Newton Polinmios de Gregory-Newton
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Ajuste de curvas
1 2 3 4
Regresso linear Qualidade do ajuste Regresso linear mltipla Diferena entre regresses e interpolaes
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Integrao numrica
1 2 3
Mtodos de Newton-Cotes Mtodo de Gauss-Legendre Integraes duplas
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Razes de equaes
1 2 3 4
Isolamento de razes Mtodo da bisseo Mtodos baseados em aproximao linear Mtodos baseados em tangente
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Avaliaes
Os 100 pontos sero distribudos da seguinte forma: Prova 1 (30 pontos) Prova 2 (30 pontos) 4 trabalhos prticos (10 pontos cada)
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CalendrioDatas importantes: 05/08: Aula inaugural 02/10: Primeira prova 27/11: Segunda prova 12/12: Trmino do semestre Feriados e recessos no semestre: 15/08: Feriado municipal: Assuno de Nossa Senhora 20/10: Semana da UFMG - Conhecimento e Cultura 08/12: Feriado municipal: Imaculada Conceio Carga horria total: 72 aulasLeonardo V. Alves [leonardo.alves.professor@gmail.com] Aula introdutria de Clculo Numrico
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Perguntas?
???
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Apresentao Motivao Soluo de problemas numricos Referncias
Por que estudamos clculo numrico?Segundo o livro [1]: O Clculo Numrico uma metodologia para resolver problemas matemticos por intermdio de um computador. Deixem os clculos para as mquinas calcularem!!! Aplicaes em Matemtica: Obteno de solues numricas; Soluo numrica para problemas sem soluo analtica;
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Por que estudamos clculo numrico?Segundo o livro [1]: O Clculo Numrico uma metodologia para resolver problemas matemticos por intermdio de um computador. Deixem os clculos para as mquinas calcularem!!! Aplicaes em Matemtica: Obteno de solues numricas; Soluo numrica para problemas sem soluo analtica; Exemplo: Distribuio gaussiana normal utilizada em probabilidade e estatstica;
ex d xMas as solues numricas no so exatas!Leonardo V. Alves [leonardo.alves.professor@gmail.com] Aula introdutria de Clculo Numrico
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Apresentao Motivao Soluo de problemas numricos Referncias
Por que estudamos clculo numrico?Aplicaes em Fsica, Engenharia e Qumica: Transformao de problemas fsicos em modelos numricos; Soluo numrica para os modelos propostos; Exemplos: Clculo da velocidade de um corpo em movimento retilneo uniforme;
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Por que estudamos clculo numrico?Aplicaes em Fsica, Engenharia e Qumica: Transformao de problemas fsicos em modelos numricos; Soluo numrica para os modelos propostos; Exemplos: Clculo da velocidade de um corpo em movimento retilneo uniforme;
d(t) = v t + d0
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Por que estudamos clculo numrico?Aplicaes em Fsica, Engenharia e Qumica: Transformao de problemas fsicos em modelos numricos; Soluo numrica para os modelos propostos; Exemplos: Clculo da velocidade de um corpo em movimento retilneo uniforme; Clculo das correntes das malhas em circuitos eltricos;
d(t) = v t + d0
i1 R1 i2 R2 = V1 i1 R2 + i2 R3 = V2
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Por que estudamos clculo numrico?Aplicaes em Fsica, Engenharia e Qumica: Transformao de problemas fsicos em modelos numricos; Soluo numrica para os modelos propostos; Exemplos: Clculo da velocidade de um corpo em movimento retilneo uniforme; Clculo das correntes das malhas em circuitos eltricos; Clculos estequiomtricos em reaes qumicas;
d(t) = v t + d0 K M nO4 + H2 SO4 + N aN O2 K2 SO4 + M nSO4 + N aN O3 + H2 O
i1 R1 i2 R2 = V1 i1 R2 + i2 R3 = V2
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Exemplo Exerccio Soluo Anlise
Como resolver um problema numrico?
Denio do problema; Modelagem matemtica; Soluo numrica; Anlise dos resultados;
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Exemplo Exerccio Soluo Anlise
Resolvendo o problema de calcular
a
Denio: Seja o nosso problema calcular o valor de a > 0; Este o nosso problema real.
a para
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Exemplo Exerccio Soluo Anlise
Resolvendo o problema de calcular
a
Denio: Seja o nosso problema calcular o valor de a > 0; Este o nosso problema real.
a para
Transformao do problema real no problema original:
a x 2 = a f (x) = x 2 a = 0
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Exemplo Exerccio Soluo Anlise
Resolvendo o problema de calcular
a
Denio: Seja o nosso problema calcular o valor de a > 0; Este o nosso problema real.
a para
Transformao do problema real no problema original:
a x 2 = a f (x) = x 2 a = 0Implementao do algoritmo: permite resolver o problema no computador
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Exemplo Exerccio Soluo Anlise
Resolvendo o problema de calcular
a
Denio: Seja o nosso problema calcular o valor de a > 0; Este o nosso problema real.
a para
Transformao do problema real no problema original:
a x 2 = a f (x) = x 2 a = 0Implementao do algoritmo: permite resolver o problema no computador Anlise dos resultados: vericar se as solues obtidas pela implementao da soluo do problema original so adequadas para o problema real.
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Exemplo Exerccio Soluo Anlise
Resolver o problema de calcular
a
Seja o seguinte mtodo iterativo para calcular a raiz quadrada de um nmero:
x k+1 =
1 2
(x k +
a
xk
)
Seja x 0 o valor inicial de x k . Calcule 3 casas decimais):
a para os seguintes valores (at
a = 4 e x0 = 1 a = 9 e x0 = 1 a = 4 e x 0 = 1 a = 9 e x 0 = 1
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Exemplo Exerccio Soluo Anlise
Resolver o problema de calcular
4 com x 0 = 1
x k+1 = i
1 2
(x k + xi
a xk
)
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Exemplo Exerccio Soluo Anlise
Resolver o problema de calcular
4 com x 0 = 1
x k+1 = i0
1 2
(x k + xi
a xk
)
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Exemplo Exerccio Soluo Anlise
Resolver o problema de calcular
4 com x 0 = 1
x k+1 = i0
1 2
(x k + xi1
a xk
)
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Exemplo Exerccio Soluo Anlise
Resolver o problema de calcular
4 com x 0 = 1
x k+1 = i0 1
1 2
(x k + xi1
a xk
)
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Resolver o problema de calcular
4 com x 0 = 1
x k+1 = i0 1
1 2
(x k + xi1 2,5
a xk
)
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Exemplo Exerccio Soluo Anlise
Resolver o problema de calcular
4 com x 0 = 1
x k+1 = i0 1 2
1 2
(x k + xi1 2,5
a xk
)
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Exemplo Exerccio Soluo Anlise
Resolver o problema de calcular
4 com x 0 = 1
x k+1 = i0 1 2
1 2
(x k + xi1 2,5 2,05
a xk
)
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Exemplo Exerccio Soluo Anlise
Resolver o problema de calcular
4 com x 0 = 1
x k+1 = i0 1 2 3
1 2
(x k + xi1 2,5 2,05
a xk
)
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Exemplo Exerccio Soluo Anlise
Resolver o problema de calcular
4 com x 0 = 1
x k+1 = i0 1 2 3
1 2
(x k + xi
a xk
)
1 2,5 2,05 2,00061
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Resolver o problema de calcular
9 com x 0 = 1
x k+1 = i
1 2
(x k + xi
a xk
)
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Resolver o problema de calcular
9 com x 0 = 1
x k+1 = i0
1 2
(x k + xi
a xk
)
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Exemplo Exerccio Soluo Anlise
Resolver o problema de calcular
9 com x 0 = 1
x k+1 = i0
1 2
(x k + xi1
a xk
)
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Exemplo Exerccio Soluo Anlise
Resolver o problema de calcular
9 com x 0 = 1
x k+1 = i0 1
1 2
(x k + xi1
a xk
)
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Exemplo Exerccio Soluo Anlise
Resolver o problema de calcular
9 com x 0 = 1
x k+1 = i0 1
1 2
(x k + xi1 5
a xk
)
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Exemplo Exerccio Soluo Anlise
Resolver o problema de calcular
9 com x 0 = 1
x k+1 = i0 1 2
1 2
(x k + xi1 5
a xk
)
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Resolver o problema de calcular
9 com x 0 = 1
x k+1 = i0 1 2
1 2
(x k + xi1 5 3,4
a xk
)
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Resolver o problema de calcular
9 com x 0 = 1
x k+1 = i0 1 2 3
1 2
(x k + xi1 5 3,4
a xk
)
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Resolver o problema de calcular
9 com x 0 = 1
x k+1 = i0 1 2 3
1 2
(x k + xi
a xk
)
1 5 3,4 3,0235
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Resolver o problema de calcular
9 com x 0 = 1
x k+1 = i0 1 2 3 4
1 2
(x k + xi
a xk
)
1 5 3,4 3,0235
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Resolver o problema de calcular
9 com x 0 = 1
x k+1 = i0 1 2 3 4
1 2
(x k + xi
a xk
)
1 5 3,4 3,0235 3,0001
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Exemplo Exerccio Soluo Anlise
Resolver o problema de calcular
4 com x 0 = 1
x k+1 = i
1 2
(x k + xi
a xk
)
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Exemplo Exerccio Soluo Anlise
Resolver o problema de calcular
4 com x 0 = 1
x k+1 = i0
1 2
(x k + xi
a xk
)
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Exemplo Exerccio Soluo Anlise
Resolver o problema de calcular
4 com x 0 = 1
x k+1 = i0
1 2
(x k + xi-1
a xk
)
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Exemplo Exerccio Soluo Anlise
Resolver o problema de calcular
4 com x 0 = 1
x k+1 = i0 1
1 2
(x k + xi-1
a xk
)
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Exemplo Exerccio Soluo Anlise
Resolver o problema de calcular
4 com x 0 = 1
x k+1 = i0 1
1 2
(x k + xi-1 -2,5
a xk
)
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Exemplo Exerccio Soluo Anlise
Resolver o problema de calcular
4 com x 0 = 1
x k+1 = i0 1 2
1 2
(x k + xi-1 -2,5
a xk
)
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Apresentao Motivao Soluo de problemas numricos Referncias
Exemplo Exerccio Soluo Anlise
Resolver o problema de calcular
4 com x 0 = 1
x k+1 = i0 1 2
1 2
(x k + xi-1 -2,5 -2,05
a xk
)
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Exemplo Exerccio Soluo Anlise
Resolver o problema de calcular
4 com x 0 = 1
x k+1 = i0 1 2 3
1 2
(x k + xi-1 -2,5 -2,05
a xk
)
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Exemplo Exerccio Soluo Anlise
Resolver o problema de calcular
4 com x 0 = 1
x k+1 = i0 1 2 3
1 2
(x k + xi
a xk
)
-1 -2,5 -2,05 -2,00061
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Exemplo Exerccio Soluo Anlise
Resolver o problema de calcular
9 com x 0 = 1
x k+1 = i
1 2
(x k + xi
a xk
)
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Exemplo Exerccio Soluo Anlise
Resolver o problema de calcular
9 com x 0 = 1
x k+1 = i0
1 2
(x k + xi
a xk
)
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Exemplo Exerccio Soluo Anlise
Resolver o problema de calcular
9 com x 0 = 1
x k+1 = i0
1 2
(x k + xi-1
a xk
)
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Apresentao Motivao Soluo de problemas numricos Referncias
Exemplo Exerccio Soluo Anlise
Resolver o problema de calcular
9 com x 0 = 1
x k+1 = i0 1
1 2
(x k + xi-1
a xk
)
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Apresentao Motivao Soluo de problemas numricos Referncias
Exemplo Exerccio Soluo Anlise
Resolver o problema de calcular
9 com x 0 = 1
x k+1 = i0 1
1 2
(x k + xi-1 -5
a xk
)
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Apresentao Motivao Soluo de problemas numricos Referncias
Exemplo Exerccio Soluo Anlise
Resolver o problema de calcular
9 com x 0 = 1
x k+1 = i0 1 2
1 2
(x k + xi-1 -5
a xk
)
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Apresentao Motivao Soluo de problemas numricos Referncias
Exemplo Exerccio Soluo Anlise
Resolver o problema de calcular
9 com x 0 = 1
x k+1 = i0 1 2
1 2
(x k + xi-1 -5 -3,4
a xk
)
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Apresentao Motivao Soluo de problemas numricos Referncias
Exemplo Exerccio Soluo Anlise
Resolver o problema de calcular
9 com x 0 = 1
x k+1 = i0 1 2 3
1 2
(x k + xi-1 -5 -3,4
a xk
)
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Aula introdutria de Clculo Numrico
Apresentao Motivao Soluo de problemas numricos Referncias
Exemplo Exerccio Soluo Anlise
Resolver o problema de calcular
9 com x 0 = 1
x k+1 = i0 1 2 3
1 2
(x k + xi
a xk
)
-1 -5 -3,4 -3,0235
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Apresentao Motivao Soluo de problemas numricos Referncias
Exemplo Exerccio Soluo Anlise
Resolver o problema de calcular
9 com x 0 = 1
x k+1 = i0 1 2 3 4
1 2
(x k + xi
a xk
)
-1 -5 -3,4 -3,0235
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Apresentao Motivao Soluo de problemas numricos Referncias
Exemplo Exerccio Soluo Anlise
Resolver o problema de calcular
9 com x 0 = 1
x k+1 = i0 1 2 3 4
1 2
(x k + xi
a xk
)
-1 -5 -3,4 -3,0235 -3,0001
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Exemplo Exerccio Soluo Anlise
Anlise dos resultados
Quais das solues anteriores condizem com o problema original?
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Exemplo Exerccio Soluo Anlise
Anlise dos resultados
Quais das solues anteriores condizem com o problema original? Todas!
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Exemplo Exerccio Soluo Anlise
Anlise dos resultados
Quais das solues anteriores condizem com o problema original? Todas! Todas as solues se aplicam ao problema real?
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Exemplo Exerccio Soluo Anlise
Anlise dos resultados
Quais das solues anteriores condizem com o problema original? Todas! Todas as solues se aplicam ao problema real? No!
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Exemplo Exerccio Soluo Anlise
Anlise dos resultados
Quais das solues anteriores condizem com o problema original? Todas! Todas as solues se aplicam ao problema real? No! Quais? Por que?
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Anlise dos resultados
Quais das solues anteriores condizem com o problema original? Todas! Todas as solues se aplicam ao problema real? No! Quais? Por que? Apenas as duas primeiras. A raiz quadrada de um nmero sempre no negativa.
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Aula introdutria de Clculo Numrico
Apresentao Motivao Soluo de problemas numricos Referncias
[1] Frederico Ferreira Campos Filho. Algoritmos Numricos. LTC, 2nd edition, 2007. ISBN 978-85-216-1537-8.
Leonardo V. Alves [leonardo.alves.professor@gmail.com]
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