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Cálculo NuméricoCálculo Numérico
Profs.: Bruno Correia da N. QueirozJosé Eustáquio Rangel de QueirozMarcelo Alves de Barros
Resolução NuméricaResolução Numéricade Equações – Parte Ide Equações – Parte I
2
Estudar métodos numéricos para a resolução de equações não lineares (determinar a(s) raiz(es) de uma função f(x)f(x), ou seja, encontrar o(s) valor(es) de xx
tal que f(x) = 0f(x) = 0) Fundamentar a necessidade de uso de
métodos numéricos para a resolução de equações não lineares
Discutir o princípio básico que rege os métodos numéricos para a resolução de equações não lineares
Apresentar uma série de métodos destinados à resolução de equações não lineares
Cálculo Numérico – Objetivos
3
Cálculo Numérico – Motivação I
Necessidade de resolução de equações do tipo f(x) = 0 Principio da Principio da
ConservaçãoConservação
MomentoMomento EnergiaEnergia MassaMassa
Principio da Principio da ConservaçãoConservação
MomentoMomento EnergiaEnergia MassaMassa
+FV
-FV
+FH-FH
Em cada nó :
FH = 0 FV = 0
FEstruturas
(Lei de Kirchhoff)
R
E
i
v = g(i)+
-
E - Ri – g(i) = 0
CircuitosReatore
sE1
E2 S
E S
Em um dado intervalo:massa = entradas - saídas
4Cálculo Numérico – Motivação II
é um zerozero da função f(x)f(x) ou raizraiz da equação f(x) = 0f(x) = 0 se f(f() = 0) = 0..
Zeros podem ser reaisreais ou complexoscomplexos.
Este módulo trata de zeros reaisreais de f(x)f(x)..
Zeros reais representados
sobre o eixo das abscissas
Zeros reais representados
sobre o eixo das abscissas
Eixo das abscissasEixo das
abscissas
11 22
f(x)
x
Eix
o d
as
ord
en
ad
as
Eix
o d
as
ord
en
ad
as
5
Determinação das raízes em função de aa, bb e cc
Cálculo Numérico – Motivação III
ax2 + bx + c = 0ax2 + bx + c = 0
Polinômios de grau mais elevado e funções com maior grau de complexidade Impossibilidade de determinação exata
dos zeros
x = -b ± b2 – 4ac 2a
x = -b ± b2 – 4ac 2a
A partir de uma equação de 2º grau da forma
6Cálculo Numérico – Motivação IV
Princípio Básico dos Métodos Numéricos
VALORVALOR
INICIALINICIALVALORVALOR
INICIALINICIALAPRIMORAMENTAPRIMORAMENTOO
DOS VALORESDOS VALORES
APRIMORAMENTAPRIMORAMENTOO
DOS VALORESDOS VALORES
MÉTODOSMÉTODOSMÉTODOSMÉTODOS
MINIMIZAÇÃOMINIMIZAÇÃO
DOS ERROSDOS ERROSMINIMIZAÇÃOMINIMIZAÇÃO
DOS ERROSDOS ERROSVALOR VALOR
ACEITÁVELACEITÁVEL
DE RAIZDE RAIZ
VALOR VALOR ACEITÁVELACEITÁVEL
DE RAIZDE RAIZ
7Cálculo Numérico – Motivação V
Etapas Usuais para a Determinação de Raízes a partir de Métodos Numéricos
FASE I
Isolamento das raízes
FASE I
Isolamento das raízes
Determinação de um intervalo (o menor possível) que contenha apenas uma raiz
Determinação de um intervalo (o menor possível) que contenha apenas uma raiz
FASE II
Refinamento das raízes
FASE II
Refinamento das raízes
Melhoramento do valor da raiz aproximada (refinamento até a precisão desejada).
Melhoramento do valor da raiz aproximada (refinamento até a precisão desejada).
MÉTODOSMÉTODOSMÉTODOSMÉTODOS
8Cálculo Numérico – Motivação VI
FASE I: ISOLAMENTO DAS RAÍZES
Realização de uma análise teórica e gráfica da função de interesse
Precisão das análises é relevante para o sucesso da fase posterior
9Cálculo Numérico – Motivação VII
TEOREMA 1:
Sendo f(x)f(x) contínua em um intervalo [a, b][a, b], se f(a)f(b) < 0f(a)f(b) < 0 então existe pelo menos um ponto xx = = entre aa e bb que é zerozero de f(x)f(x).
10Cálculo Numérico – Motivação VIII
ANÁLISE GRÁFICA:
11 22
f(x)
x33aa bb
bb
f(x)
xaa
aa 11
f(x)
x22 bb
11
Exemplo 01: f(x) = xf(x) = x33 – 9x +3 – 9x +3
Cálculo Numérico – Motivação IX
f(x)f(x) é contínua para x x RR.
II11 = [ = [-5-5,, -3 -3]]
II22 = [ = [00,, 1 1]]
II33 = = [ [22,, 3 3]]
Cada um dos Cada um dos intervalos contém pintervalos contém peloelo menosmenos um um zerozero ..
Cada um dos Cada um dos intervalos contém pintervalos contém peloelo menosmenos um um zerozero ..
++++++––––++++++––––––––f(x)
543210-1-3-5-10-100-x
12
f(x)f(x) admite pelo menos um zerozero no o intervalo [intervalo [11,, 2 2] ] O O zerozero é únicoúnico? ?
Cálculo Numérico – Motivação X
Análise do sinal de Análise do sinal de f’(x)f’(x)
......++++––––f(x)
...3210x
f’(x) =1/(2f’(x) =1/(2x )+ 5ex )+ 5e-x-x > 0 > 0,, x > 0x > 0
f(x)f(x) admite um admite um únicoúnico zerozero em todo seu domínio de definição, localizado no intervalo [1, 2][1, 2] . .f(x)f(x) admite um admite um únicoúnico zerozero em todo seu domínio de definição, localizado no intervalo [1, 2][1, 2] . .
Exemplo 02: f(x) = f(x) = x – 5e x – 5e-x-x
13Cálculo Numérico – Motivação XI
OBSERVAÇÃO:
Se f(a)f(b) > 0f(a)f(b) > 0, então se pode ter diversas situações no intervalo [a,[a, b]b].
bb
f(x)
xaaf(x) aa
f(x)
xbb
11 22xaa bb
14Cálculo Numérico – Motivação XII
Construção dos gráficos de g(x) g(x) e h(x) h(x) no mesmo sistema cartesiano
Construção dos gráficos de g(x) g(x) e h(x) h(x) no mesmo sistema cartesiano
Localização dos pontos x x nos quais g(x) g(x) e h(x) h(x) se interceptam(f(f() = 0 ) = 0 g(g() = h() = h() ) )
Localização dos pontos x x nos quais g(x) g(x) e h(x) h(x) se interceptam(f(f() = 0 ) = 0 g(g() = h() = h() ) )
Localização das abscissas dos pontos nos quais a curva intercepta o eixo oxox
Localização das abscissas dos pontos nos quais a curva intercepta o eixo oxox
Construção do gráfico de f(x)f(x)Construção do gráfico de f(x)f(x)
II
Obtenção da equação equivalente g(x) = h(x) g(x) = h(x) a partir da equação f(x) = 0f(x) = 0
Obtenção da equação equivalente g(x) = h(x) g(x) = h(x) a partir da equação f(x) = 0f(x) = 0
IIII
Uso de programas para traçado de gráficos de funçõesUso de programas para traçado de gráficos de funções
IIIIII
ANÁLISE GRÁFICAANÁLISE GRÁFICAANÁLISE GRÁFICAANÁLISE GRÁFICA
15
Estudo Detalhado do Comportamento de uma Função a partir de seu Gráfico Domínio da funçãoDomínio da função Pontos de descontinuidadePontos de descontinuidade Intervalos de crescimento e Intervalos de crescimento e
decrescimentodecrescimento Pontos de máximo e mínimoPontos de máximo e mínimo ConcavidadeConcavidade Pontos de inflexãoPontos de inflexão Assíntotas da funçãoAssíntotas da função
(Vide LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica)
Cálculo Numérico – Motivação XIII
16
Exemplo 03: f(x) = xf(x) = x33 – 9x +3 – 9x +3 (Uso do método II )
Cálculo Numérico – Motivação XIV
11 [-4, -3][-4, -3] 22 [0, 1][0, 1] 33 [2, 3][2, 3]
f’(x) = 3xf’(x) = 3x22 - 9 - 9 f’(x) = 0 <=> x = f’(x) = 0 <=> x = 3 3
33-72
-7,3923 3-513011-1
13,3923- 33-3
-25-4f(x)x
33
f(x)
x-4 1-3 -2 -1 2 3 4
2211
17
MATLAB: ezplot('x^3-9*x+3',[-4,4])ezplot('x^3-9*x+3',[-4,4])
Cálculo Numérico – Motivação XV
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-20
-10
0
10
20
30
x
x^3-9*x+3
18Cálculo Numérico – Motivação XVI
11 ( (-4-4,, -3 -3))
22 ( (00,, 1 1))
33 ( (22,, 3 3))
g(x) = xg(x) = x33
h(x) = 9x -3 h(x) = 9x -3
Exemplo 03: f(x) = xf(x) = x33 – 9x +3 – 9x +3 (Uso do método IIII )
33
g(x)
x-4 1-3 -2 -1 2 3 422
11
h(x)
y
19
MATLAB: ezplot('9*x-3',[-4,4])ezplot('9*x-3',[-4,4])
Cálculo Numérico – Motivação XVII
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
x
9*x-3
20Cálculo Numérico – Motivação XVIII
[1, 2][1, 2]
g(x)
x1 2 3 4
h(x) y
5 6
Exemplo 04: f(x) = f(x) = x – 5ex – 5e-x -x
( Uso do Método IIII ) x – 5ex – 5e-x -x = 0 <=> = 0 <=> x = 5ex = 5e-x -x
g(x) = g(x) = x x h(x) = 5eh(x) = 5e-x-x
21
MATLAB: ezplot('5*exp(- x)',[0,5])ezplot('5*exp(- x)',[0,5])
Cálculo Numérico – Motivação XIX
0 1 2 3 4 5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
x
5*exp(-x)
22
xlog(x) – 1xlog(x) – 1 = 0 = 0 log(x) = 1/xlog(x) = 1/x
g(x) = log(x) g(x) = log(x)
h(x) = 1/xh(x) = 1/x
Exemplo 05: f(x) = x logx – 1f(x) = x logx – 1
Cálculo Numérico – Motivação XX
[2, 3][2, 3]
g(x)
x1 2 3 4
h(x)
y
5 6
23
MATLAB: ezplot('1/x',[0,5])ezplot('1/x',[0,5])
0 1 2 3 4 5
0.5
1
1.5
2
2.5
x
1/x
Cálculo Numérico – Motivação XXI
24Cálculo Numérico – Motivação XXII
FASE II: REFINAMENTO
Aplicação de métodos numéricos destinados ao refinamento de raízes
Diferenciação dos métodos Modo de refinamento
Método IterativoIterativo Caracterizado por uma série de instruções executáveis seqüencialmente, algumas das quais repetidas em ciclos (iteraçõesiterações)
25Cálculo Numérico – Motivação XXIII
CRITÉRIOS DE PARADA
Teste: xxkk suficientemente próximo da raiz exata?
Como verificar tal questionamento?
Interpretações para raiz aproximada xx é raiz aproximada com precisão
se:
i.i. |x - |x - | < | < ou
ii.ii. |f( x )| < |f( x )| < Como proceder se não se conhece ?
Como proceder se não se conhece ?
26Cálculo Numérico – Motivação XXIV
Redução do intervalo que contém a raiz a cada iteração
Obtenção de um intervalo [a,b][a,b] tal que:
[a,b][a,b]
e
b – a < b – a <
||xx - - || < < , , xx [[aa,,bb]]
x x [a,b][a,b] pode ser tomado como xx
x x [a,b][a,b] pode ser tomado como xx
bb
f(x)
x
aa
b – a < b – a <
27Cálculo Numérico – Motivação XXV
Nem sempre é possível satisfazer ambos os critérios
Nem sempre é possível satisfazer ambos os critérios
|f(|f( xx )| < )| < |f(|f( xx )| < )| <
||xx - - | < | < ||xx - - | < | <
Métodos numéricos são desenvolvidos de modo a satisfazer ppeloelo menosmenos um dos critérios
Métodos numéricos são desenvolvidos de modo a satisfazer ppeloelo menosmenos um dos critérios
28Cálculo Numérico – Motivação XXVI
PROGRAMAS PROGRAMAS COMPUTACIONAICOMPUTACIONAI
SS
PROGRAMAS PROGRAMAS COMPUTACIONAICOMPUTACIONAI
SS
Teste de Teste de ParadaParada
Teste de Teste de ParadaParada
Estipulação do Estipulação do número máximo de número máximo de
iteraçõesiterações
Estipulação do Estipulação do número máximo de número máximo de
iteraçõesiterações
Prevenção contra loopingsloopings erros do programaerros do programa inadequação do método ao inadequação do método ao
problemaproblema
Prevenção contra loopingsloopings erros do programaerros do programa inadequação do método ao inadequação do método ao
problemaproblema
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