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Cap 11 Halliday & Resnick
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Relembrando do cap. 10, já vimos o prob. Da maçaneta da porta, onde Vocês já se
perguntaram a respeito do motivo da maçaneta da porta ser posta o mais distante possível
da dobradiça. Bem, o motivo reside no fato de que, dependendo do lugar e da direção da
força aplicada na superfície da porta, você verá que diferentes acelerações angulares irão
surgir.
Torque e momento angular
Logo, o torque mede a tendência de uma força girar um objeto
sobre algum eixo.
A palavra torque vem do latim torquere, que significa torcer.
2
3
Naturalmente, uma força é necessária para que um torque seja criado, você não
pode girar um porta sem empurrá-la. Mas força e torque são duas coisas diferentes. Uma
distinção entre elas é a direção. Nós usamos sinais positivo e negativo para representar
forças nas duas direções possíveis ao longo de uma linha. No entanto, por convenção, a
direção de um torque é horária ou anti-horária e não uma direção linear.
Por ex.: considere uma partícula de massa m sujeita a uma força total F. A segunda Lei de
Newton aplicada a essa partícula é que determina os seus movimentos possíveis, ou seja,
p= momento linear
L= Momento angular da partícula em relação à uma origem O. É o
produto vetorial de seu vetor posição pelo seu momento linear.
Pela regra da mão direita visualizamos que L é perpendicular ao
plano formado por r e p.
= torque
dt
)pxr(dFXr..)r_por_lados_dois_os_multip(
dt
dprxxFr
dt
dpF...
dt
dp
dt
dmv
dt
dv.ma.mF
Usando as propriedades do produto vetorial, e sabendo que
Chegamos a:
Lembrando que v = r para o movimento circular, pela definição do momento angular,
temos:
4
Considerando o torque interno nulo, chegamos a:
5
6
Torque e Quantidade de Momento Angular
prL
A figura ao lado mostra uma partícula de massa m movendo-se
com uma velocidade v em uma posição r em relação à origem O.
A quantidade de momento linear da partícula é
p= m.v
ksenrmvvmrprL ˆ
Se r e p forem vetores posicionados no plano xy, conforme
mostrado na figura acima, o vetor L será paralelo ao eixo z e
expresso matematicamente por:
Como o torque, o momento angular é definido relativamente a um ponto no espaço.
A quantidade de momento angular L da partícula em relação à
origem O é definida como:
1L
Se Ø = 900, L= rmv k.
Sendo v = .r e o momento de inércia (I) de uma partícula em relação ao eixo z vale
mr2, tem-se:
L= rmr = mr2 = I
Corpo rígido sob a ação de um torque resultante - Torque e o produto vetorial
O torque, cujo nome vem do latim,que significa “torcer”, pode serdescrito como a ação de girar outorcer de uma força F. Quandoaplicamos uma força a um objetocom uma chave de fenda ou umachave de grifa com o objetivo defazer o corpo girar, estamosaplicando um torque (N.m). Émuito importante reconhecer que otorque é definido apenas quando éespecificado um eixo de referência.
Da segunda lei de Newton, vem que: Ft= m.at
E sabemos que at= α.R
Logo, Ft= m. α.R
Multiplicando os dois lados por R, temos: r.Ft= m. α.r2
Onde, o produto r.Ft é o torque associado a força: τ= r.Ft= r.F.senφ e,
torque aplicado à
i-ésima partícula.
(todas partículas)
é o momento de inércia do corpo. Desta forma:
Eixo de rotação
r Barra
rígida
F
tF
yF
2
, iiires rm
Irmrm iiiiresi )(22
,
)(2
iirm
Iextextres , 7
8
A mesma convenção que adota para a veloc.
Angular, adota-se para o toque (regra da mão
direita). A fig. mostra uma força F que atua
sobre a partícula numa posição r em relação
a origem O. o toque desta força, em relação a
origem, é o vetor perpendicular ao plano
definido por F e r, cujo módulo é F r sen φ,
em que φ é o ângulo entre F e r.
Se F e r estiverem no plano xy, como
na fig. o torque esta sobre o eixo z.
se F estiver aplicado à periferia de
um disco de raio r (fig. 10.4) o
torque tem módulo Fr e esta sobre o
eixo de rotação.
Definição de torque utilizando o produto vetorial
Em três dimensões, o torque éuma grandeza vetorial definidaem relação a um ponto fixo(usualmente a origem), ele édado por:
O produto vetorial entre doisvetores A e B é definido como ovetor , cujo módulo,
, é igual a área doparalelogramo formado entre osdois vetores
Podemos definir o produto vetorial como sendo:
Se A e B são paralelos,
é igual a zero. Assim, pela definição do produto vetorial: e
Fr
C AxBABsen
B
A
nABsenBA ˆ
BA
0AA
ABBA
9
c
Trabalho rotacional
drds ii
Quando um corpo é girado ele realiza trabalho,
aumentando a energia cinética. Considere a força F
agindo no corpo em rotação. Como o corpo gira de um
ângulo d, o ponto de aplicação da força se desloca de
i it i idW F ds (Fsen )rd ) d
ddW
A taxa na qual o torque realiza trabalho é a potência de
entrada do torque:
dt
d
dt
dWP
ouP 10
E a força realiza trabalho
Onde é o torque exercido pela componente tangencial
da força aplicada (Fg).
Quando um corpo gira de um pequeno ângulo d
Energia cinética rotacional de um sistema de partículas
Energia cinética rotacional da i-ésima partícula.
2 2 2
i i i
1 1K mv mr
2 2
Energia cinética rotacional de um sistema formado por N partículas
2 2 2 2 2 2 2 2
i 2 i i
2
1 1 1 1k mr mr ... mr mr
2 2 2 2
1k I
2
Onde I = momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação
2 2 2
i 2 iI mr mr .... mr
22
m 0I lim r m r dm
momento de inércia do corpo rígido:
11
12
11.3 - A Energia Cinética de Rolamento
Um objeto em rolamento possui dois tipos de energia cinética: uma
energia cinética de rotação
devida a sua rotação em torno do seu centro de massa
e uma energia cinética de translação devida a translação do seu
centro de massa
CMCM MVIK 22
2
1
2
1
CMMVK 2
2
1
Logo, a K total é:
13
11.11 – Conservação do momento angular
Momento angular inicial do sistema
roda de bicicleta – menino (+ banco)
ibicbiciILL
Menino inverte o eixo de rotação
da roda de bicicleta
ibicLL
Conservação do momento angular
Exemplo 1 - APLICAÇÕES
srotemkgImkgIitotbic
/9,3.8,6;.2,1 22 Dados
Queremos calcular a velocidade angular
final do sistema após o menino inverter o
eixo de rotação da roda de bicicleta (ver
figura)
14
Conservação do momento angular pois só
há forças internas no sistema
itotII 2
imen
iimenif
LL
LLLLL
2
Momento angular final do sistema
imenmenbicfLLLLL
srotI
I
tot
i /4,12
15
)(exti
iiFr
dt
Ld
Conservação do momento angularNo caso da mergulhadora da figura ao lado o
momento angular total não se conserva pois
Mas, no referencial do CM (acelerado neste
caso)
0
grmFrdt
Ld
iii
iii
0
.0 constLdt
Ld
gM
R L
e o CM segue o movimento
parabólico !16
11.4 - RolamentoEste é o caso em que a distância percorrida pelo CM do
objeto é dada por
Rsonde é o deslocamento angular do objeto em
torno de um eixo que passa pelo CM do sistema.
A velocidade do CM é dada por
Rdt
dR
dt
dsv
CM
Note que o ponto de contato P está sempre em repouso!
170v
Rs
sR
CMv
CMv
+ =
Rdt
dR
dt
dsv
CM
CMv
CMv
CMv
CMv
CMv2
0v
Decomposição do rolamento em rotação + translação
18
RolamentoVelocidade de um ponto em qualquer posição do corpo rígido
CM
vv
Qv
CMv Q
Energia cinética do corpo rígido
Exemplo
222
222
2
1)(
2
1
2
1
2
1
IMRIK
MRIK
CM
CM
I 19
gM
gMa
F
aF
- Rolamento
Atrito no rolamento
Transforma energia
cinética de rotação
em
translação
Transforma energia
cinética de
translação em
rotação
20
11.5 - O iô-iô
Z
Mg
T
Torque externo relativo ao CM
quando o iô-iô desce
CM
IT
Dinâmica linear
TMgMa
Condição de rolamento
a
TI
ae
I
M
MgT
CM
CM
2
2
1
21
Z
Mg
T
Note que se o iô-iô sobe, a velocidade angular
é a mesma, mas o torque muda de sinal
CM
IT
Por outro lado, o fio se enrola e a condição de
rolamento também muda de sinal
aComo a equação da translação não muda
temos novamente
TI
ae
I
M
MgT
CM
CM
2
2
1
22
Z
Mg
T
Podemos ainda resolver o mesmo problema
usando a conservação de energia
02
1
2
1 22 MgZIMvCMCM
A condição de rolamento é
CM
v
22 /2 MIgZMvCMCM
Sinal (+) para a subida e (–) para a descida. Equação que relaciona
posição com velocidade no movimento uniformemente acelerado.
23
Exemplo 3
Rolamento sobre um plano inclinado
gM
aF
N y
x
h
0cos MgN
Na direção y
Na direção x MaFMgasin
Torque relativo ao CM CMa
IRF R
Condição de rolamento sem deslizamento Ra Momento de inércia
2MkICM
k é o raio de giração
24
2
2
1
sin
R
k
ga
e
7/5
3/2
2/1
1
1
2
2
R
k
anel
esfera
Temos ainda
22
2
sinRk
kMgF
a
como cosMgFF
eea
rek
Rk tantan
2
22
Ângulo máximo para que haja rolamento sem
deslizamento
11.12- Precessão do momento angular
PiãoMódulo do torque da força peso
sinMgrLei fundamental da dinâmica das rotações
tL
tMgrL sin
sinsin ILLDa figura temos
25
sinsin ItMgr
Velocidade angular de precessão
I
Mgr
dt
d
- Precessão do momento angular
Centro de massa do pião executa movimento
circular com uma aceleração centrípeta
sin2rac
Força de atrito pião-piso é responsável por esta
aceleração
sin2rMFa
Como MgFa
r
g2
sin
para que a ponta do pião
fique fixa e haja apenas
movimento de rotação!
aF
26
Precessão do momento angular
Como a Terra é um esferóide oblato a Lua e o Sol provocam forças como as
mostradas abaixo e em 13000 anos...
27
Colisões com rolamento
O atrito entre as bolas de sinuca é desprezível,
mas o atrito entre a bola de sinuca e a mesa é
muito grande
Transmissão parcial do momento linear
da bola incidente
Transmissão total do momento linear da
bola incidente
(análise qualitativa)
28
- Colisões com rolamento
Diferentes momentos
angulares transmitidos à bola
Possíveis resultados da
colisão com uma bola que
incide com momento angular
não nulo
(análise qualitativa)
29
30
31
32
A taxa de variação com o tempo da área varrida por r é chamada de velocidade
aureolar. Pela Equação (7.3.15), a velocidade aureolar se expressa por
Como sabemos que o momento angular da Terra é constante, a velocidade
aureolar também é constante, ou seja, o raio vetor que liga a Terra ao Sol
descreve áreas iguais em tempos iguais. Aliás, essa é exatamente a 2ª Lei de
Kepler. Portanto, a 2ª Lei de Kepler é simplesmente uma conseqüência da
conservação do momento angular.33
rv
ksenrmvL
vmrprL
o ˆ90
22 ˆˆ mrkmrkrmvL
ImrL 2
Na figura ao lado, uma massa m está apoiada num disco circula de massa
desprezível, apoiado no plano xy com centro na origem. O disco gira em relação ao
seu eixo com velocidade angular
Sendo , temos:
Uma vez que o momento de inércia de uma partícula em relação ao eixo z vale mr2, tem-
se:
O1L
1r
Este resultado não é valido para a quantidade de movimento em
Relação a um ponto genérico sobre o eixo z. para duas massas
Iguais em relação a um ponto sobre o eixo z diferente daquele do
centro do disco: L = L1+L2
Para qquer sistema de partículas que gire em relação a um eixo
de simetria , a quantidade de mov. Angular tot, é paralela a veloc.
Angular e é Expressa por L = I
34
Velocidade Angular:
Suponha que o corpo em rotação
está na posição angular θ1 no
instante t1 e na posição θ2 no
instante t2. Definimos a velocidade
angular média do corpo por
35
Aceleração angular média
Aceleração angular instantânea
Fig.7: (a) Uma partícula em P do corpo rígido girante é localizada pelo vetor posição com origem em O. A partícula possui uma
velocidade angular (dirigida ao longo do eixo z) e velocidade tangencial. (b) A partícula em P possui aceleração angular ao longo do
eixo z, aceleração tangencial e aceleração radial.
velocidade angular instantânea:
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