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8/16/2019 Cap. 6 - Sec 2. Áreas
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Capítulo 6
Aplicações deIntegração
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8/16/2019 Cap. 6 - Sec 2. Áreas
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© 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
Neste capítulo exploraremos algumas das aplicações daintegral definida, utilizando-a para calcular áreas entre
curvas, volumes de sólidos e o trabalho realizado por uma
força variável.
O tema comum é o seguinte método geral, similar àquele que
usamos para encontrar áreas sob as curvas.
APLICAÇÕES DE INTEGRAÇÃO
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6.1
Áreas Entre CurvasNesta seção aprenderemos a usar as integrais para
encontrar áreas de regiões entre gráficos de duas funções.
APLICAÇÕES DE INTEGRAÇÃO
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Questão 1- Suponha que um engenheiro agrônomo precisecalcular a área de uma região limitada por três estradas eno quarto lado por um rio, a figura abaixo representa estaregião. Então, forneça a área desta região em metros
quadrados.
APLICAÇÕES DE INTEGRAÇÃO
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Considere a região S entre duas curvas y = f ( x ) e y = g ( x ) eentre as retas verticais x = a e x = b.
Aqui f e g são funções
contínuas e f ( x ) ≥ g ( x )
para todo x em [a, b].
ÁREAS ENTRE CURVAS
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A área A da região limitada pelas curvas y = f ( x ), y = g ( x ), epelas retas x = a, x = b, onde f e g são contínuas e para
todo x em [a, b], é: ( ) ( ) f x g x
b
a A f x g x dx
Definição 2ÁREAS ENTRE CURVAS
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Encontre a área da região limitada acima por y = e x , eabaixo por y = x , e limitada nos lados por x = 0 e x = 1.
A região é mostrada
na Figura. A curva
limitante superior
é y = e x e a curva
limitante inferior y = x .
Exemplo 1ÁREAS ENTRE CURVAS
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Então, usamos a fórmula (2) da área com y = e x , g ( x ) = x , a = 0, e b = 1:
1 1
212 00
11 1.5
2
x x A e x dx e x
e e
Exemplo 1ÁREAS ENTRE CURVAS
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Na Figura desenhamos um retângulo aproximante típicocom largura ∆ x como um lembrete do procedimento pelo
qual a área é definida em (1).
ÁREAS ENTRE CURVAS
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Em geral, quando determinamos uma integral para umaárea, é útil esboçar a região para identificar a curva
superior y T , a curva inferior y B, e um retângulo
aproximante típico, como na Figura.
ÁREAS ENTRE CURVAS
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Observe que na Figura da esquerda a fronteira esquerda sereduz a um ponto, enquanto na Figura da direita a fronteira
direita é que se reduz a um ponto.
ÁREAS ENTRE CURVAS
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No próximo exemplo ambas as fronteiras se reduzem
a um ponto, de modo que a primeira etapa será
encontrar a e b.
ÁREAS ENTRE CURVAS
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Encontre a área da região entre as parábolas y = x 2 e y = 2 x - x 2.
Primeiro encontramos os pontos de intersecção das
parábolas, resolvendo suas equações simultaneamente.
Isto resulta em x 2 = 2 x - x 2, ou 2 x 2 - 2 x = 0.
Portanto, 2 x ( x - 1) = 0, assim x = 0 ou 1.
Os pontos de intersecção são (0, 0) e (1, 1).
Exemplo 2ÁREAS ENTRE CURVAS
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Vemos na Figura que as fronteiras superior e inferior são:
y T = 2 x – x 2 e y B = x
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Exemplo 2ÁREAS ENTRE CURVAS
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A área de um retângulo típico é
( y T – y B) ∆ x = (2 x – x 2 – x 2) ∆ x
a região está entre x = 0 e x = 1.
Então, a área total é:
1 1
2 2
0 0
12 3
0
2 2 2
1 1 12 2
2 3 2 3 3
A x x dx x x dx
x x
Exemplo 2ÁREAS ENTRE CURVAS
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A Figura mostra as curvas de velocidade de dois carros A eB, que partem lado a lado e se movem ao longo da mesma
estrada. O que a área entre as curvas representa?
Exemplo 4ÁREAS ENTRE CURVAS
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Sabemos da Seção 5.4 que a área sob a curva develocidade A representa a distância percorridapelo carro A durante os primeiros 16 segundos.
• Do mesmo modo, a área
sob a curva B é adistância percorrida pelo
carro B durante o mesmo
período de tempo.
Exemplo 4ÁREAS ENTRE CURVAS
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Assim, a área entre essas curvas, que é a diferença entre as
áreas sob as curvas, é a distância entre os carros após 16
segundos.
Exemplo 4ÁREAS ENTRE CURVAS
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Para encontrar a área entre as curvas y = f ( x ) e y = g ( x ),onde f ( x ) ≥ g ( x ) para alguns valores de x , mas g ( x ) ≥ f ( x ) para
outros valores de x , dividimos a região S dada em várias
regiõesS1, S2, … com áreas A1, A2,...
ÁREAS ENTRE CURVAS
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Então, definimos a área da região S como a soma das áreasdas regiões menores S1, S2,… , ou seja, A = A1 + A2 +…
Como
quando
quando
temos a seguinte expressão para A.
ÁREAS ENTRE CURVAS
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
f x g x f x g x g x f x
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
g x f x
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A área entre as curvas y = f ( x ) e y = g ( x ) e entre x = a e x = b é:
Quando calculamos a integral em (3), contudo, ainda devemos
dividi-la em integrais correspondentes a A1, A2, ….
( ) ( )
b
a A f x g x dx
Definição 3ÁREAS ENTRE CURVAS
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Encontre a área da região limitada pelas curvas y = sen x, y = cos x , x = 0, e x = π/2.
Os pontos de
intersecção ocorremquando sen x = cos x ,
isto é, quando
x = π / 4 (porque
0 ≤ x ≤ π / 2).
Exemplo 5ÁREAS ENTRE CURVAS
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Observe que cos x ≥ sen x quando 0 ≤ x ≤ π / 4 mas
sen x ≥ cos x quando π / 4 ≤ x ≤ π / 2.
Exemplo 5ÁREAS ENTRE CURVAS
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Portanto, a área pedida é:
Exemplo 5ÁREAS ENTRE CURVAS
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Neste exemplo particular, poderíamos ter economizadotrabalho observando que a região é simétrica em relação x
= π / 4.
Então,
Exemplo 5ÁREAS ENTRE CURVAS
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Algumas regiões são mais bem tratadas considerando x como
uma função de y .
Se uma região é limitada por curvas com equações
x = f ( y ), x = g ( y ), y = c , e
y = d , onde f e g
são contínuas e
f ( y ) ≥ g ( y ) para c ≤ y ≤ d ,
então sua área é:
( ) ( )d
c A f y g y dy
ÁREAS ENTRE CURVAS
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Se escrevermos x D para a fronteira direita e x E para afronteira esquerda, então, como a Figura ilustra, teremos:
Aqui um retângulo
aproximante típico tem
dimensões x D - x E e ∆ y .
ÁREAS ENTRE CURVAS
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Encontre a área limitada pela reta
y = x - 1
e pela parábola
y 2 = 2 x + 6.
Exemplo 6ÁREAS ENTRE CURVAS
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Resolvendo as duas equações, descobrimos que
os pontos de intersecção são (-1, -2) e (5, 4).
Isolamos x na equação
a parábola e observamos
pela Figura que as curvas
de fronteira esquerda e
direita são:
Exemplo 6ÁREAS ENTRE CURVAS
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Devemos integrar entre os valores apropriados de,
y = -2 e y = 4.
Assim
Exemplo 6ÁREAS ENTRE CURVAS
4
2
4
2122
421
22
4
3 2
2
1 46 3
1 3
4
1 42 3 2
(64) 8 16 2 8 18
R L A x x dy
y y dy
y y dy
y y y
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Poderíamos ter encontrado a área no Exemplo 6
integrando em relação a x em vez de y , mas o cálculo é
muito mais complicado.
ÁREAS ENTRE CURVAS
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Isso significaria dividir a região em duas e calcular as áreas A1 e A2.
O método que usamos
no Exemplo 6 é muito
mais fácil.
ÁREAS ENTRE CURVAS
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