TRIGONOMETRIA 5º sec

8/18/2019 TRIGONOMETRIA 5º sec

1/20

Ѳ

Angulo trigonométrico

Ѳ

ѲѲ: positivo (+)Sentido Antihorario

Ѳ: negativo (-)Sentido Horario

Lado inicialLado fnal

Nota:1.- si a un ángulo trigonométrico se le cambia el sentido de rotación, entonces su valor cambia de signo

2.- para sumar o restar ángulos trigonométricos, estos deben tener el mismo sentido de rotación.

ѲLAB

A

B

1

º Año de ecundaria

AN!"#$ %&'!$N$()%&'*$!s una magnitud generada por un larotaci"n de un ra#o alrededor de una puntof$o llamado vértice desde una posici"ninicial hasta una posici"n fnal% llamadoslados&

*A&A*%+&%'*A1.- entido

2.- (agnitud-' * +'

'%+(A + (+'A AN!"#A&+

'.- '%+(A +A!+'(A# /'N!#)0

"N'A: /0!l grado seagesimal (,)

• !l .ngulo de una vuelta se divide en /01partes iguales

""N'A+:!l minuto seagesimal (,2)!l segundo seagesimal (,22)

•

'60160

1'1 =°⇒

°=

•

''60'160

'1''1 =⇒=

•

''36001: =° Donde

''.- '%+(A *+N%+'(A# /&AN*)0

"N'A: /*0!l grado centesimal (,g)

• !l .ngulo de una vuelta se divide en 311partes iguales

""N'A+:!l minuto centesimal (,m)!l segundo centesimal (,s)

•

m g

g

m 1001100

11 =⇒=

•

smm

s1001

100

11 =⇒=

•

s g Donde 100001: =

''.- '%+(A &A'A# $ *'&*"#A&

/'N%+&NA*'$NA#0

"N'A: /&0

!l 4adi.n (, rad)

• !l .ngulo de una vuelta es igual a 23

•

rad vueltavuelta

rad π π

212

11 =⇒=

7

221416,3: ≈=π Donde

e4nición del &adián:Se defne como la medida del .ngulocentral% cu#o arco su5tendido en unidadesde longitud es igual al radio de lacircun6erencia&

Si:

r L AB

=

rad 1=⇒θ

' 5 %&'(+%&+ /26170 %A&A8$%$ 5 AN (A&%N%+#: 672 - 9217

N$%A:a; b< c b< > c


2/20

37

3

A B

9

(7)(;1)g

(8)

A

B

9

g x

3

10 rad x

30

π

;,1 - > g 9)01 g ?) @1g !) @1g

;& ?etermine a + 5 + c Si:a 52 c C 3 /72 30 + / ;02 /1

A) ;/ B) ;> 9) ;@ ?) ;8 !) /,

/& 9alcular:

! Cº50

º3303

2++ g rad

π

A) , B) ; 9); ?) / !) /

3& La suma de dos .ngulos es 71g # su di6erenciaes de ,7% Dcu.les son sus valores en

radianes&

a)6,4

π π

B)20

3,4

π π

9)3,4

π π

?)8,3

π π

!)3,20

3 π π

>& Hallar el complemento del .ngulo

rad 5

2π

en el sistema centesimal&

A) ,3g B),7g 9) ;1 g ?) ;; g !) ;3g

0& Simplifcar:

! C

º1230

70º424

−

++

g

g rad π

A) 3 B) 0 9) ,; ?) ,3 !) ,1

@& La suma de dos .ngulos es 31g # sudi6erencia es ,0& Hallar el menor .ngulo enel sistema radial&

A)

rad 9

5π

B)

rad 10

π

9)

rad 9

2π

?)

rad 18

π

!)

rad 10

3π

7& En .ngulo mide ( - ,) pero en gradoscentesimales ( + ,)% Hallar F

A) ,@ B) ,8 9) ;, ?) ;/ !) ;>

8& ?el gr.fco% calcular F

A) ,B) /9) >?) @!) 8

,1& ?el tri.ngulo mostrado calcular la medidadel .ngulo B en radianes&

A) π


3/20

8,72

g 0 9) 0@ ?) 7> !) @0

/& Si dos .ngulos de un tri.ngulo miden /0 #

/π rad% entonces el tri.ngulo es:A) s"sceles B) !=uil.tero 9)4ect.ngulo?) !scaleno !) Go eiste

3& !n el tri.ngulo mostrado& Hallar F

A) ,;1 B) ,;/ 9) ,;3 ?) ,;> !)

,/1

>& Siendo % #% I nJmeros enteros% cumplen laigualdad:

"'º32

z y xrad ++=π

!valuar: x x z y 5+−

A) , B) ; 9) / ?) 3!) >

0& 9alcular:

! C3 8

sc

sc

sc

sc

−+

+−−+

A) / B) 3 9) > ?) 0 !) @

@& Hallar el valor de:

H C

3 86 +−+

++−+

sc

sc

sc

sc

A) / B) 3 9) > ?) 7 !) 8

7& !l do5le del nJmero de gradosseagesimales de un .ngulo disminuido ensu nJmero de grados centesimales es a 7como / es a 3& 9alcular la medida radial del.ngulo =ue cumpla dicha condici"n&

A)

rad 20

3π

B)

rad 40

3π

9)

rad 50

3π

?)

rad 80

3π

!)

rad 100

3π

8& Si se sa5e =ue ;> grados de un sistemaFK e=uivalen a /0 grados seagesimales

a cuantos radianes e=uivalen > gradosFK

A)20

π

B)25

π

9)5

π

?)

50

π

!)

15

π

,1& ?etermine la medida circular de un .ngulo%sa5iendo =ue:

9.02

2

=−

+

C C

S S

A)5

π

B)6

π

9)10

π

?)

20

π

!)

40

π

%A&+A $('*'#'A&'A,& 9alcular:

G Crad

g

10º216

º270360

π −

+

A) , B) ; 9) / ?) 3!) , 9) /1 ?) ;1 !) ,>

/& ?etermine F en:

(3 M @) C

rad 36

π

A) ; B) / 9) 3 ?) > !) 03& La medida de los .ngulos iguales en un

tri.ngulo is"sceles son (0) # (> + >)g&Hallar el tercer .ngulo en radianes&

A)2

3π

B) ,;1 9) ,31 ?)5

π

!) ,>1

>& Siendo FS # F9 lo conocido:Simplifcar:

! C S C C S

−

+3

A) ;, B) // 9) /> ?) /@ !) 31

' 5 %&'(+%&+ /26170 %A&A8$%$ 5 AN (A&%N%+#: 672 - 9217


4/20

ѲL

A

B

rr

L C Ѳ&r 1 Ѳ ;N

4


0& ndica el valor de:

2

22

22

2

)(

)(146

)(54

S C

S C

S C

S C M

+−

−+−−

+=

a)19

5)10

c) 8 d) / e)

,8

@& ?e la siguientes igualdades:

&

m g ba=°79,2

&

rad x

π =°5

9alcular:

110

−°

++= g

xba M

a) / 5) 3 c) > d) 0 e) @

7& Siendo S # 9 los nJmeros convrncionalespara un mismo .ngulo% calcule:

−

= π a

b M 11

Siendo:

+=

− ba

C

ba

S g

32

a)

π −7

11

5)

π −7

22

c)1

d)0

e)

7

23−π

8& 9acular F en radianes&

a)

rad 10

9π

5)

rad 9

10π

c)

rad 10

3π

d)

rad 10

π

e)

rad 9

π

,1& !valuar:

......8

452

1802 ++°++°+= rad rad rad A π π

π

a) N rad 5) ;N rad c) /N rad

d) 3N rad e) >N rad

,,& 4educir:

R

RS C

200

20++π π

Siando S # 9 lo convencinal&a) , 5) ; c) / d) 3 e) 0

,;& 9alcular:

g g g g g P

18.........4321

18.........4321

+++++

°++°+°+°+°=

a)10

9

5)9

10

c)1

d)2

e)5

9

,/& La medida de uno de los .ngulos agudosde un tri.ngulo rect.ngulo es igual a

rad 20

7π

& calcular la medida del otro .ngulo

agudo&a) ;/ 5) ;@ c) ;> d) /@ e);8

+*%$& *'&*"#A&

#$N!'%" + A&*$La longitud FL del arco AB se halla por 6"rmula:

?onde:• Ѳ C n de radianes del .ngulo central

AB• r C 4adio de la circun6erencia• C 9entro de la circun6erencia

A&+A + "N +*%$& *'&*"#A&

' 5 %&'(+%&+ /26170 %A&A8$%$ 5 AN (A&%N%+#: 672 - 9217


5/20

;1m

1 /0

;1m

A

B

3

;

?A

?

B

;

3

DºA

?

9

B

O

>7 >

0

4P

S/

Q

8

/

01

31,

,;cm

8cm

;

;, L

,;

,;

A

B

LL

L2

3

LLL

5


tras 6"rmulas:

•

θ θ

θ θ

2.2

... 2 LS

r r S =⇒=

•

2

.

2

.. r LS

r r S =⇒=

θ

A&+A + "N %&A8+*'$ *'&*"#A&

#$?"+ '

,& ?el gr.fco mostrado calcular la longituddel arco AB

A) π mB) ;π m9) /π m?) 3π m!) >π m

;& ?el gr.fco mostrado hallar F si o es

centro&

A) 3 B) 0 9) 7 ?) ,1 !),;

/& Hallar la longitud de una circun6erencia si

a un arco de 3m le corresponde un .ngulocentral de 01&

A) ,;m B) ;3m 9),0m?) ,7m !) ;;m

3& Siendo A # O centros de los arcos 9? # B9respectivamente& 9alcular la longitud del arcoB9? adem.s A? C A9 C 01&

A) ,@π B) ,8 π 9) ;,π ?) ;/ π !) ;> π

>& ?el gr.fco mostrado hallar F si F1 escentro&

A) ;

B) 39) 0?) 7!) ,1

0& 9alcule la longitud de la curva A9B de lafgura mostrada& (, # ; centro de lossectores circulares)

A) ;πcmB) 3πcm9) 0πcm 9

?) 7πcm!) ,1πcm

A

@& Hallar FL si7

22=π

A) 3B) ;;9) 33?) /;!) G&A&

7& Hallar el .rea de la regi"n som5reada deFL&

A)3

2 L

B)5

4 2 L

9)4

5 2 L

?)8

7 2 L

!)4

9 2 L

' 5 %&'(+%&+ /26170 %A&A8$%$ 5 AN (A&%N%+#: 672 - 9217

!l .rea FS delsector circular ABse halla por la6ormula:

2

. 2r

S θ =

!l .rea FS del Rrapecio circular sehalla por la6ormula:

n L L

S .2

21

+=

B


6/20

9

B

A;1

3

100

g

01

,;1g,

,;

,1

;

Q 4

,1,;

,1

7/11g

L,

,


7/20

01

/L

,

9L

/

0m

0m

D6º

3m

3m4

π

3

π π 6

π 279º

,0m

,0m

,7m

,;m

,;m

/;m

,;8

;

;

8

1

16

1

3

1

,38

3

3

+,

-,

,

,

7


A)rad

5

π

?)rad

8

π

B)rad

3

4π

!)rad 6

π

9)rad

3

2π

#$?"+ ''

,& 9alcular el .rea del sector circularmostrado&

A) π B) ; π 9) / π ?) 3 π !) > π

;& 9alcular el .rea del sector circularmostrado&

A) π B) ; π 9) / π ?) 3 π !) > π

/& 9alcular el .rea del sector circularmostrado&

A) , B) / 9) > ?) @ !) 8

3& 9alcular el .rea del sector circularmostrado&

A) , B) ; 9) / ?) 3 !) >

>& 9alcular el .rea del sector circularmostrado&

A) ,@; B) ,33 9) ,/; ?) ,08 !) ,03


A) ,>; B) ,0; 9) ,@; ?) ,7; !),8;

@& 9alcular el .rea del trapecio circularmostrado&

A) ,/ B) ,> 9) ,@ ?) ,8 !) ;,


A) ,


8/20

/ 0

;S,

4 L

4

rad

L

4 4

28

,; 0

;

7;

7

7 7

7 /S

,/@

3

8


A) 3 B) 7 9) ,0 ?) 03 !) /;

,,& Si la longitud del arco de un sectorcircular es ,>m # la del radio es 0m&!ncontrar el .rea del sector&

A) 31 B) 3> 9) 81 ?) >> !) >>

,;& 9alcular F (S C Vrea)

A) 7 B) 8 9) ,; ?) ,> !) ,0,/& Hallar el .rea de un sector circular

cu#o .ngulo central mide , # su radiomide 81 m&

A) ;1 π B) 3> ππ?) /1π !) ,>π

,3& 9alcular: S; < S,

A) ,B) ;

9) /?) 3!) >& !n la fgura mostrada se cumple:4(θ4+L) C 7& 9alcular el .rea del sector&

A) , B) ; 9) 3 ?) 7 !) ,0,0& Hallar FL de la fgura% si el .rea de la

regi"n som5reada es igual a la nosom5reada&

A) 3 B) 7 9) 0 ?) ; !) ,1

,@& Hallar el .rea de la fgura som5reada&

A) ,/ B) ,> 9) ,@ ?) ,8 !);,

,7& 9alcular el .rea del sector som5reado&

A) 3π B) 0 π 9) 7 π ?) /%> π !) >%> π

,8& 9alcular F (S C Vrea)

A) , B) ; 9) / ?) 3 !) >

;1& 9alcular el .rea del trapecio circularmostrado&

A) ,1 B) ;1 9) /1 ?) 31 !) >1

%A&+A $('*'#'A&'A,& Si el perUmetro de un sector circular es ,;

metros& Si el .ngulo central mide , rad%

calcular la longitud del radio de dichosector&

a) ;m 5) /m c) 3m d) >m e)0m

;& Hallar:2

1

L

L

a) N m 5) ;N m c) /N m d) 3N m e)0N m

' 5 %&'(+%&+ /26170 %A&A8$%$ 5 AN (A&%N%+#: 672 - 9217


9/20

9


/& Si la longitud de arco de un sector circulares el do5le de la longitud del radio& 9alcularel .ngulo central% en radianes&a) , 5) ,

>& Si la longitud de un arco es igual a >N cm #su radio mide / cm% Den cuanto de5eaumentar su angulo para =ue la longitud dearco no varUe # su radio mida ; cm

a) ;11 5) ,71 c) ,01 d) ,31 e),>1

0& !n una circun6erencia un .ngulo centralmide / rad% su5tiende un arco de ,; m delongitud luego el di.metro de estacircun6erencia mide:

a) /m 5) 3m c) >m d) 0m e)7m

@& Si el .ngulo central de un sector circular

mide 3> # su radio mide 7 m& calcular lalongitud de arco de dicho sector&

a) ;N m 5) /N m c) 3N m d) >N m e)0N m

7& ?ada la fgura en la =ue se se muestrantres sectores circulares% calcular el valor de:

2

31

L

L L E

+=

a) ;N m 5) /N m c) 3N m d) >N m e)0N m

8& !n un sector circular el .ngulo central mide,7 # el radio mide 31 cm& D9u.l es el .readel sector circular (en cm;)

a) ;1N 5) /1N c) 01N d) 31N e)71N

,1& !n la 6igura% hallar F4% si: L C 7N m

a) 3 m 5) / m c) > m d) 0 m e)8 m

,,& ?ados los sectores% si B C B9% hallar larelacion =ue eiste entre L, # L;&

a) ,


10/20

* 1 # ,

* 1

* ,

10


a) ,; cm 5) ;3 cm c) /0 cmd) ,7 cm e) ,3 cm

,0& !n un sector circular de .rea ,11 m; elarco disminu#e en un ;>W% sin cam5iar elradio% o5teniendose un nuevo sector cu#a.rea en m; es:a) ;> 5) >1 c) @> d) ,11 e),;>

&AF$N+ %&'!$N$(+%&'*A +N +#%&'AN!"#$ &+*%AN!"#$

Son los distintos cocientes =ue se o5tienenentre las longitudes de los lados de untri.ngulo rect.ngulo% con respecto a uno desus .ngulos agudos&

Sean las 6unciones trigonométricas (X&R)

•

b

a

!"otenusa

#C Sen ==

.θ

•

b

c

!"otenusa

AC

Cos ==

.θ

•

c

a

AC

#C $g ==

.

.θ

•

a

c

#C

AC Ctg ==

.

.θ

•

c

b

AC

!"otenusaSec ==

.θ

•

a

b

#C

!"otenusaCsc ==

.θ

%+$&+(A + 8'%A!$&A

+Gemplo de aplicación:

• Hallar: RgѲ

4pta:YYYYY

#$?"+ '

1,&- !n un tri.ngulo rect.ngulo los catetosmiden / # >& 9alcular la tangente del menor.ngulo agudo&

a)

5

3

5)

34

5

c)

39

3

d)

3

5

e),

1;&- !n un tri.ngulo rect.ngulo% un cateto es eltriple del otro& 9alcular la cosecante delma#or .ngulo agudo del tri.ngulo&

a)10

5)

10

3

c)3 10

d)

10

10

e)

3 10

10

1/&- !n un tri.ngulo rect.ngulo% los ladosmenores miden > # ,; cm& Si el menor.ngulo agudo del tri.ngulo mide Fα%calcular:

P C 9scα + 9tgαa) ; 5) / c)/ e) >


11/20

11


1@&- 9alcular F si: Senθ C

1

2

a) /

5) 3c) >d) ;e) ,

17&- 9alcular F% si: Senθ C

4

5

a) ,15) ,;c) ,/

d) ,,e) ,>

18&- !n un tri.ngulo rect.ngulo AB9 (B C 81)reducir:

senA senCK

sec C sec AC +

a) , 5) ; c)

1

2

d)

2

ac

b

e)a c

b

+

,1&- !n un tri.ngulo rect.ngulo AB9(B C 81)%reducir:

! C asec9 + 5senA+cSi su perUmetro es ;1 cm&

a) ;1cm 5) ,1 c) > d) 31 e)71

#$?"+ ''

1,&- !n un tri.ngulo rect.ngulo AB9 (B C 81)%reducir:

! C (sec29 M cot2A) (sen29 + sen2A)

a) , 5) ; c) / d) a2 M c2 e) c2 Ma2

1;&- Si: sen=

C

13

%" "=

es agudo% calcular% Fcot=

a)2

5)2 2

c)9 2

d)

7

2

e)

2

4

1/&- Si cos

2

55 C

%" "5

es agudo% calcular FSen5

a)

21

5

5)

3

5

c)

3

5

d)

2

5

e)

17

5

13&- !n un tri.ngulo rect.ngulo AB9 (B C 81)reducir:

L C SenA & Sec9 + 9os 9 & 9scA

a) , 5) ; c) / d) 3 e)>&- !n un tri.ngulo rect.ngulo%los lados ma#ores miden ,@ # ,> cm&

9alcular el seno del menor .ngulo agudo&

a)15

8

5)17

15

c)17

8

d)17

3

e)3

1

10&- tri.ngulo rect.ngulo un cateto es el do5ledel otro& 9alcular la secante del ma#or.ngulo agudo de dicho tri.ngulo&

' 5 %&'(+%&+ /26170 %A&A8$%$ 5 AN (A&%N%+#: 672 - 9217


12/20

12


a)5

5) ; c) ;5

d)

5

2

e)

2 5

3

1@&- 9alcular F% si 9osα C

35

a) ,5) ;c) /d) 3e) >

17&- Si: tan

2, " "

3a C a

es agudo calcular:

J sec .cscC a a

a)

13

3

5)

13

2

c)

13

6

d)

13

6

e)

15

3

18&- Si: cosφ C

3

4

Fφ es agudo% calcular:! C ,/csc2φ + /tan2φ

a) ;/ 5) ;> c) ;@ d) ;8 e)/,

,1&- Si" "=

es un .ngulo agudo% tal =ue: Sen=

C;


13/20

13


a)22 +

5)22 −

c)12 +

d)12 −

e)32 −

7& !n un triangulo rect.ngulo la hipotenusa esmenor =ue la suma de los catetos en lamitad del cateto ma#or& La tangente delma#or .ngulo del tri.ngulo es:a) 0,55 b) 4/3 c) 0,75 d) 0,85 e)

2/3

8& Si: 9tgѲ C a calcular el valor de:

( ) ( )θ θ Ctg $g

a % −

−

=21

1

a) a b) 2a c) 1/a d) -a e) 4a

,1& Si: cosѲ C ,/ + ; C Sec27;

13&- (

3

9os01) (+,) C /%>

1>&- 3Sec/@ C (; + Senπ


14/20

14


10&- +, C 9tg7 + Rg7;

1@&- (+;)9os01 C 0

17&- Sec;3>&(+;) C Rg/3>

18&- ;39sc@3 C >+>

,1&-°74Csc

x

C ;>Sen@3&9os@3

,,&- Sen; 7 + 9os;7

,;&- /( Rgπ


15/20

15


2 2sec 45º tan 60º

3sec53º csc30º

+=

+

a) @ c) @ d) ,/ e) 8

0&- !valuar: 4 C ;Sen/1 + /Rg201 + Sec24

π

a) ; 5) 3 c) 0 d) 7 e) ,;

@&- 9alcular:

! C

2

2

3Sec 45º 4Csc53º 3Ctg45º

2Cos 45º 3Tg53º

+ −

+

a) ,%; 5) ,%/ c) ,%3 d) ,%> d) ,%0

7&- Si:

2

tan30º sen60º!

1 sec 45º

+=

+

9alcular:

21

!6

− +

a) , 5) ; c) ,


16/20


17/20

17


7& Siendo" "α

#" "θ

los menores valoresposi5les se tiene =ue: sen(;α+θ) Ccos(;θ+α)Hallar:

2sen3& csc $ %cos3

α= + α +θ

θ

a) , 5) ; c) > d) / e) 3

8& Si:2

πθ+α+β=

sen$ % tanJ 7 tan$ % tan

cos cot$ %

θ + α α= + + θ + α β

β θ + β

a) , 5) ; c) > d) / e) 3

,1& 4educir:cos60º

3sen65º 2tan39º 4sec33º

cos 25º cot 51º csc 57º

+ +

a) , 5) / c) > d) 3 e) ;

,,& 9alcular F (agudo)

8x 1º x 7ºtan . cot 1

5 2

+ + = ÷ ÷

a) , 5) ; c) / d) > e)3

,;& Si 9os ( - /1) C sen (; + 01)%!ntonces 9os /% es:

A) , B) ; 9) ,a+5) C 9tg (;5->a)% hallar elvalor de:

! Cbbctg b

bbtg b sen

2

csc

22

cos

2sec

22

++

++

A) ,


18/20

18


;& Si A% B # 9 son .ngulos =ue serelacionan mediante las epresiones:Sen (A+B) M 9os (7>-B-9) C 1

Rg ;A& Rg /9 C l9alcular: O C tg (;A+,,) M tg (A+9) A) ,

8& 9alcular α + β% si :Sen α - 9os ;β C 1Sen β & 9sc 3α C ,

A) ;1 B) /1 9) 31 ?) >1 !) 01

,1& !ncontrar el valor de :

+−=−

37

22

11

362

5co&

x xtan

x

A) /> B) /1 9) /0 ?) 3> !) 01,,& 9alcular: + # de las relaciones dadas:

Sen( + ;#) C 9os (# M )

Rg (; M #) C 9tg ;1A) 71 B) 01 9) ;1 ?) @1 !) >1

,;& 9alcular el valor de : + Z si se cumple=ue:

Sen M 9os ;Z C 1 #SenZ&9sc 3 C ,

A) > !) >;

,3& Sean # Z las medidas de dos

.ngulos complementarios en untri.ngulo& 9alcular Rg; % si:

9os Z C'

2#os"

2Se%

)-(90º#os')-(90ºSe%

A) ;


19/20

19


O C (sen 8 + cos 8) ; M4

4 2 π

sen

A) , B) ,


20/20

20


e) @

,1&- !n la fgura% calcular Rgα% siendo AB9 tri.nguloe=uil.tero

a) ,

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TRIGONOMETRIA 5º sec