Trigonometria (1)

Um Curso de TrigonometriaTrigonometria I Trigonometria II Trigonometria III Trigonometria IV Trigonometria V Trigonometria VI Trigonometria VII Trigonometria VIII Trigonometria IX Exerccios Resolvidos de Trigonometria Funes Trigonomtricas Inversas Teorema dos Senos - TS Teorema dos Co-senos - TC Teorema das reas - TA Um Produto de Senos e Co-senos Dois Problemas de Trigonometria Trs Exerccios de Trigonometria Trs crculos tangentes entre si Uma soma de senos Equaes Trigonomtricas I Equaes Trigonomtricas II Uma torre sob vrios ngulos Um tringulo na FTC Trigonometricamente falando

INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO. E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Cear - Brasil.

1

Trigonometria I1 - Introduo

Trigonometria: vocbulo criado em 1595 pelo matemtico alemo Bartholomaus Pitiscus (1561-1613), do grego trigonon (tringulo) e metron (medida). claro que Hiparco (astrnomo e matemtico grego (190 a.C. - 125 a. C.), considerado o pai da Trigonometria, ainda no usava esta terminologia. A Astronomia foi a grande impulsionadora da Trigonometria. O desconhecimento dos nmeros negativos, que se popularizou apenas no sculo XVII, dificultou o desenvolvimento da Trigonometria. O documento mais antigo conhecido sobre o assunto, data-se do sculo II d.C. e denominou-se Almagesto, de autoria de Ptolomeu. (Cludius Ptolemaeus astrnomo grego 90 - 168). Afirma-se que Ptolomeu deixou o planeta Terra aos 78 anos. Este grande astrnomo grego acreditava que a Terra era o centro do Universo, ao redor da qual giravam Mercrio, Lua, Vnus, Sol, Marte, Jpiter e Saturno, em rbitas que seriam crculos perfeitos! Sua concepo foi considerada vlida at o sculo XVI, quando Nicolau Coprnico (astrnomo polons - 1473/1543) a substituiu pela teoria heliocntrica (vlida at hoje) , referendada por Galileo Galilei (fsico e astrnomo italiano - 1564/1642).

Por enquanto, vamos ver apenas a definio de crculo trigonomtrico, aps o resumo histrico supra. Nos prximos textos, cuidaremos de desenvolver o resumo da teoria.

Chama-se Crculo Trigonomtrico, ao crculo orientado de raio unitrio, cujo centro a origem do sistema de coordenadas cartesianas, conforme figura a seguir. O crculo trigonomtrico orientado positivamente no sentido ABABA. O sentido ABABA considerado negativo. Assim, o arco AB (ngulo reto) mede 90 e o arco AB mede -90 . O arco ABA (ngulo raso) mede 180 ( ou p radianos) e o arco ABA mede (-180). O arco de uma volta completa (ABABA) mede 360 ; O arco ABABA mede( -360), ou seja, um arco negativo. J sabemos que 360 = 2 radianos. Podemos na Trigonometria, considerar arcos de mais de uma volta. Sabendo que uma volta equivale a 360, podemos facilmente reduzir qualquer arco primeira volta. Por exemplo, o arco de 12350 , para reduzi-lo primeira volta, bastaINVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO. E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Cear - Brasil.

2

dividi-lo por 360 (para eliminar as voltas completas) e considerar o resto da diviso. Assim que, 12350 dividido por 360, resulta no quociente 34 e no resto 110. Este valor 110 ento trigonometricamente equivalente ao arco de 12350 e denominado sua menor determinao positiva. Dois arcos trigonomtricos so ditos cngruos, quando a diferena entre eles um nmero mltiplo de 360. Assim que sendo x e y dois arcos trigonomtricos, eles sero cngruos se e somente se x - y = k. 360, onde k um nmero inteiro. Portanto, para descobrir se dois arcos so cngruos, basta verificar se a diferena entre eles um mltiplo de 360 (ou 2 radianos, pois 2 rad = 360). Os arcos 2780 e 1700 , por exemplo so cngruos , pois 2780 - 1700 = 1080 e 1080 divisvel por 360 (1080 / 360 = 3 , com resto nulo). Exerccio resolvido: Quantos so os valores de m compreendidos entre 30 e 40, que tornam cngruos os arcos de medidas (4m+10). 180 e (3m-2). 180? Soluo: Pela definio de arcos cngruos dada acima, deveremos ter: (4m+10).180 - (3m-2).180 = k . 360, onde k um nmero inteiro. 720m + 1800 -[540m - 360] = k . 360 720m + 1800 - 540m + 360 = k. 360 180m + 2160 = k . 360 180m = k . 360 - 2160 m = 2k - 12 Mas, pelo enunciado, temos 30 < m < 40. Logo: 30 < 2k - 12 < 40 42 < 2k < 52 21 < k < 26 k = 22, 23, 24 ou 25. Existem 4 valores possveis para k e, portanto, tambm 4 valores possveis para m, j que m = 2k - 12. Resposta: m possui 4 (quatro) valores distintos. Testes Verdadeiro - Falso 1 - Os arcos de 4200 e 3480 so cngruos 2 - Os arcos de (- 420 ) e 300 so cngruos. 3 - O arco de 10.002 pertence ao segundo quadrante. 4 - O arco de (- 200) pertence ao segundo quadrante. Gabarito: 1-V 2-V 3-F 4-VINVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO. E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Cear - Brasil.

3

Trigonometri a II1 - Funes trigonomtricas: seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante. Considere a figura abaixo, onde est representado um crculo trigonomtrico (centro na origem e raio unitrio). Da simples observao da figura, temos os seguintes pontos notveis: A (1; 0) , B(0; 1) , A(-1; 0) e B(0; -1). Definiremos os seguintes eixos: AA = eixo dos cossenos (variando no intervalo real de -1 a +1) BB = eixo dos senos (variando no intervalo real de -1 a +1) AT = eixo das tangentes variando no intervalo real (- , + ).

Observe tambm que as coordenadas cartesianas do ponto U so: x0 = abscissa e y0 = ordenada, ou seja: U(x0 , y0). Considere o arco trigonomtrico AU de medida a. Nestas condies definimos: 1 - Seno do arco de medida a = ordenada do ponto U = y0 e indicamos: sen a = y0 . 2 - Cosseno do arco de medida a = abscissa do ponto U = x0 e indicamos: cos a = x0 Lembrando que o raio do crculo trigonomtrico igual a 1 (por definio), conclumos que o seno e o cosseno de um arco so nmeros reais que variam no intervalo real de -1 a +1.INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO. E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Cear - Brasil.

4

Da figura acima, podemos escrever: x02 + y02 = OU2; mas, OU = raio do crculo trigonomtrico e portanto vale 1. Da vem a seguinte relao entre o seno e o cosseno de um arco, j que x0 = cos a e y0 = sen a : sen2a + cos2a = 1 denominada relao fundamental da Trigonometria. Observando ainda a figura acima e considerando os sinais das ordenadas e das abscissa ou seja, sinais do seno e do cosseno, podemos concluir que o seno positivo para os arcos compreendidos entre 0 e 180 (1 e 2 quadrantes) e negativo para os arcos compreendidos entre 180 e 360 (3 e 4 quadrantes). J para o cosseno, usando a mesma considerao anterior, conclumos que o cosseno positivo para os arcos compreendidos entre 0 e 90 (1 quadrante) e para os arcos compreendidos entre 270 e 360 (4 quadrante) e, negativo para os arcos compreendidos entre 90 e 180 (2 quadrante) e para os arcos compreendidos entre 180 e 270 (3 quadrante). Valores notveis do seno e cosseno: sen 0 = sen 180 = cos 90 = cos 270 = 0 sen 90 = cos 0 = cos 360 = 1 sen 270 = cos 180 = -1 Ainda na figura anterior observe o segmento AT. O comprimento deste segmento, por definio, a tangente do arco AU de medida a. Indicamos isto escrevendo tg a = AT. A escala adotada no eixo das tangentes a mesma dos eixos das abscissas e das ordenadas. Pela semelhana dos tringulos Ox0U e OAT, podemos escrever:

; mas como y0 = sen a, x0 = cos a, AT = tg a e OA = 1, vem:

para cos a 0. Nota: para saber o sinal da tangente nos 4 quadrantes, basta usar a regra de sinais da diviso, j que a tangente simplesmente oINVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO. E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Cear - Brasil.

5

quociente do seno pelo cosseno, cujos sinais nos quadrantes j conhecemos. Somente como exemplo, como o seno e o cosseno so negativos no 3 quadrante, sendo a tangente o quociente entre eles, conclumos que neste quadrante, a tangente ser positiva, pois menos dividido por menos d mais! Os inversos multiplicativos do seno, cosseno e tangente, recebem designaes particulares a saber: 1 - inverso do seno = cossecante (smbolo: cossec) 2 - inverso do cosseno = secante (smbolo: sec) 3 - inverso da tangente = cotangente (smbolo: cotg ) Assim, sendo a um arco trigonomtrico, poderemos escrever:

para sen a 0.

para cos a 0.

para sen a 0. Exerccios Resolvidos 1. Qual o valor mximo da funo y = 10 + 5 cos 20x? Soluo: O valor mximo da funo ocorre quando o fator cos20x mximo, isto , quando cos 20x = 1. Logo, o valor mximo da funo ser y = 10 + 5.1 = 15. 2. Qual o valor mnimo da funo y = 3 + 5 sen 2x? Soluo: O valor mnimo da funo ocorre quando o fator sen2x mnimo, isto , quando sen2x = -1. Logo, o valor mnimo da funo ser y = 3 + 5(-1) = - 2 .

3. Qual o valor mximo da funo Soluo:

? 6


A funo ter valor mximo, quando o denominador tiver valor mnimo. Para que o denominador seja mnimo, deveremos ter cos 20x =1 y = 10 / (6 - 2.1) = 10 / 4 = 5/2. Portanto, o valor mximo da funo 5/2. Qual seria o valor mnimo da mesma funo? Resposta: 5/4 4. Para que valores de m a equao sen 30x = m - 1 tem soluo? Soluo: Ora, o seno de qualquer arco, sempre um nmero real pertencente ao intervalo fechado [-1,1]. Logo, deveremos ter: -1 m -1 1 0 m 2. Agora calcule: a) o valor mnimo da funo y = 2 + 9sen4x. b) o valor mximo da funo y = 10 - cosx . c) o valor de y = sen 180 - cos270 d) o valor de y = cos 180 - sen 270 e) o valor de y = cos(360.k) + sen(360.k), para k inteiro. Respostas: a) - 7 b) 11 c) 0 d) 0 e) 1

Trigonometri a IIIFrmulas derivadas das fundamentais J sabemos as cinco frmulas fundamentais da Trigonometria, a saber: Dado um arco trigonomtrico x , temos: Frmula I: Relao Fundamental da Trigonometria. sen2x + cos2x = 1 [o mesmo que (senx)2 + (cosx)2 = 1] Frmula II: Tangente.


7

Frmula III: Cotangente.

Frmula IV: Secante.

Frmula V: Cossecante.

Nota: considere nas frmulas acima, a impossibilidade absoluta da diviso por ZERO. Assim, por exemplo, se cosx = 0, no existe a secante de x ; se sen x = 0, no existe a cosec x, ... Para deduzir duas outras frmulas muito importantes da Trigonometria, vamos partir da Frmula I acima, inicialmente dividindo ambos os membros por cos2 x 0. Teremos:

Das frmulas anteriores, concluiremos inevitavelmente a seguinte frmula que relaciona a tangente e a secante de um arco trigonomtrico x: tg2x + 1 = sec2x Se ao invs de dividirmos por cos2x, dividssemos ambos os membros por sen2x, chegaramos a: cotg2x + 1 = cosec2x As duas frmulas anteriores, so muito importantes para a soluo de exerccios que comparecem nos vestibulares, e merece por isto, uma memorizao. Alis, as sete frmulas anteriores, tm necessariamente de ser memorizadas, e isto apenas o incio! A Trigonometria, infelizmente, depende de memorizaes de frmulas, mas, se voc souber deduzi-las, como estamos tentando mostrar aqui, as coisas ficaro muito mais fceis! Portanto, fique tranqilo(a).


8

Trigonometri a IV1 - Simplifique a expresso a seguir: b. Temos o arco PB de medida b e o arco PA de medida a. Nestas condies, podemos concluir que o arco BA tem medida a - b. Pelo teorema dos cossenos, sabemos que em qualquer tringulo, o quadrado da medida de um lado igual soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses lados, pelo cosseno do ngulo que eles formam. Assim, na figura acima, poderemos escrever, pelo teorema dos cossenos, para o tringulo OAB: AB2 = OB2 + OA2 - 2. OB . OA . cos(a - b). (Equao 1) Ora, OB = OA = 1 (raio do crculo trigonomtrico, portanto, unitrio). AB = distancia entre os pontos A(cosa,sena) e B(cosb, senb). J vimos nesta pgina, a frmula da distancia entre dois pontos; se voc no se lembra, revise os textos sobre Geometria Analtica . Assim, substituindo os elementos conhecidos na frmula acima (equao 1), vem: (cosa - cosb)2 + (sena - senb)2 = 12 + 12 - 2.1.1.cos(a -b) Desenvolvendo, vem: cos2a - 2.cosa.cosb + cos2b + sen2a - 2.sena.senb + sen2b = 2 2coss(a - b) Lembrando que cos2a + sen2a = cos2b + sen2b = 1 (Relao Fundamental da Trigonometria), vem, substituindo: 1 + 1 - 2cosacosb - 2senasenb = 2 - 2cos(a - b) Simplificando, fica: -2[cosacosb + senasenb] = -2.cos(a - b) > Donde finalmente podemos escrever a frmula do cosseno da diferena de dois arcos a e b:

cos (a - b) = cosa . cosb + sena . senbExemplo: cos (x - 90) = cosx. cos90 + senx . sen90 Ora, como j sabemos que cos90 = 0 e sen90 = 1, substituindo, vem finalmente: cos(x - 90) = senx. Se fizermos a = 0 na frmula do cosseno da diferena, teremos: cos(0 - b) = cos0 . cosb + sen0 . senb E como sabemos que cos0 = 1 e sen0 = 0, substituindo, fica:

cos(- b) = cosb


11

Portanto: cos( - 60 ) = cos60 = 1/2, cos( - 90) = cos90 = 0, cos ( -180) = cos 180 = -1, etc. Se considerarmos a funo y = cosx , como cos( - x ) = cosx , diremos ento que a funo cosseno uma funo par. Reveja o captulo de funes. Para finalizar, tente simplificar a seguinte expresso: y = cos(x - 90) - cos(x - 270). Resposta: 2senx

Trigonometri a VIAdio e subtrao de arcos 1. Vimos em Trigonometria V, a deduo da frmula do cosseno da diferena de dois arcos. Apresentaremos a seguir, as demais frmulas da adio e subtrao de arcos sem as dedues, lembrando que essas dedues seriam similares quela desenvolvida para cos (a b), com certas peculiaridades inerentes a cada caso. 2. Sejam a e b dois arcos trigonomtricos. So vlidas as seguintes frmulas, que devem ser memorizadas! Repito aqui, que uma das aparentes dificuldades da Trigonometria essa necessidade imperiosa de memorizao de frmulas. Entretanto, a no memorizao levaria a perda de tempo para deduzi-las durante as provas, o que tornaria a situao impraticvel. Talvez, a melhor soluo seria aquela em que os examinadores que elaboram os exames vestibulares inserissem como anexo de toda prova, um resumo das frmulas necessrias sua resoluo, exigindo do candidato, apenas o conhecimento e o raciocnio necessrios para manipul-las algebricamente e, a sim teria sido feito justia! Fica a sugesto aos professores!. Eis as frmulas, j conhecidas de vocs, assim espero. cos(a b) = cosa . cosb + sena . senb cos(a + b) = cosa . cosb sena . senb sen(a b) = sena . cosb senb . cosa sen(a + b) = sena . cosb + senb . cosa


12

Nota: nas duas frmulas da tangente, sempre leve em conta a absoluta impossibilidade da diviso por zero! Fazendo a = b nas frmulas da soma, vem: sen2a = 2sena. cosa cos2a = cos2a sen2a = 2cos2a 1 = 1 2.sen2a

Trigonometria VII1 - Multiplicao de arcos Problema: Conhecendo-se as funes trigonomtricas de um arco a , determinar as funes trigonomtricas do arco n.a onde n um nmero inteiro maior ou igual a 2. Usaremos as frmulas das funes trigonomtricas da soma de arcos para deduzi-las. 1.1 - Seno e cosseno do dobro de um arco Sabemos das aulas anteriores que sen (a + b) = sen a .cos b + sen b. cos a. Logo, fazendo a = b, obteremos a frmula do seno do dobro do arco ou do arco duplo: sen 2a = 2 . sen a . cos a Analogamente, usando a frmula do cosseno da soma, que sabemos ser igual a cos(a + b) = cos a . cos b - sen a .sen b e fazendo a = b, obteremos a frmula do cosseno do dobro do arco ou do arco duplo: cos 2a = cos2a - sen2a Da mesma forma, partindo da tangente da soma, obteremos analogamente a frmula da tangente do dobro do arco ou do arco duplo:

A frmula acima somente vlida para tga 1 e tga -1, j que nestes casos o denominador seria nulo! Lembre-se do 11 mandamento! NO DIVIDIRS POR ZERO! Sabemos que a diviso por zero no possvel. Imagine dividir 2 chocolates por zero pessoas!!!INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO. E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Cear - Brasil.

13

Exemplos: sen4x = 2.sen2x.cos2x senx = 2.sen(x/2).cos(x/2) cosx = cos2(x/2) - sen2(x/2) cos4x = cos22x - sen22x, ... , etc. 2 - Diviso de arcos Vamos agora achar as funes trigonomtricas da metade de um arco, partindo das anteriores. 2.1 - Cosseno do arco metade Ora, sabemos que cos2a = cos2a - sen2a Substituindo sen2a, por 1 - cos2a, j que sen2a + cos2a = 1, vem: cos2a = 2.cos2a - 1. Da, vem: cos2a = (1+cos2a) / 2 Fazendo a = x/2, vem, cos2(x/2) = [1+cosx]/2. Podemos escrever ento a frmula do cosseno do arco metade como:

Obs: o sinal algbrico vai depender do quadrante ao qual pertence o arco x/2. 2.2 - Seno do arco metade Podemos escrever: cos2a = (1-sen2a) - sen2a = 1 - 2sen2a Da vem: sen2a = (1 - cos2a)/2 Fazendo a = x/2 , vem: sen2(x/2) = (1 - cosx) / 2. Podemos escrever ento, a frmula do seno do arco metade como segue:

Obs: o sinal algbrico vai depender do quadrante ao qual pertence o arco x/2. 2.3 - Tangente do arco metade Dividindo membro a membro as equaes 2.1 e 2.2 anteriores, lembrando que tg(x/2) = sen(x/2) / cos(x/2), vem:

Obs: o sinal algbrico vai depender do quadrante ao qual pertence o arco x/2.INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO. E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Cear - Brasil.

14

Exerccio resolvido Simplifique a expresso y = cossec2a - cotg2a Soluo: Sabemos que cossec2a = 1 / sen2a e cotg2a = cos2a / sen2a . Logo, y = (1/sen2a) - (cos2a/sen2a) Simplificando, vem: y = (1 - cos2a) / sen2a . Portanto,

Portanto, cossec2a - cotg2a = tga. Lembre-se que 1 - cos2a = sen2a. Somente a ttulo de ilustrao, vamos ler a expresso resultado: A cossecante do dobro de um arco subtrada da cotangente do dobro do mesmo arco igual tangente do arco. Aqui pra ns: a linguagem simblica no muito mais fcil? 3 - Transformao de somas em produto Vamos deduzir outras frmulas importantes da Trigonometria. As frmulas a seguir so muito importantes para a simplificao de expresses trigonomtricas. J sabemos que: sen(a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a sen (a - b) = sen a . cos b - sen b . cos a Somando membro a membro estas igualdades, obteremos: sen(a + b)+ sen(a - b) = 2.sen a . cos b. Fazendo a+b=p a-b=q teremos, somando membro a membro: 2a = p + q, de onde tiramos a = (p + q) / 2 Agora, subtraindo membro a membro, fica: 2b = p - q, de onde tiramos b = (p - q) / 2 Da ento, podemos escrever a seguinte frmula:

Exemplo: sen50 + sen40 = 2. sen45.cos5 Analogamente, obteramos as seguintes frmulas:


15

Exemplos: cos 30 + cos 10 = 2.cos20.cos10 cos 60 - cos 40 = -2.sen50.sen10 sen 70 - sen 30 = 2.sen20.cos50.

Trigonometria VIIIExerccios Resolvidos 1) Se sen3x + senx = cos3x + cosx, ento: a) senx = 0 b) cosx = 0 c) tgx = 1 d) sen2x = 1 e) tg2x = 1 Soluo: Vamos usar as frmulas de transformao em produto, vistas na aula anterior. Reveja as frmulas se necessrio, em Trigonometria VII. Teremos:

Simplificando, vem: 2.sen2x.cosx = 2.cos2x.cosx. Ora, da vem simplificando: sen2x = cos2x e, portanto, sen2x / cos2x = 1 tg2x =1. Portanto a igualdade dada equivale igualdade tg2x = 1. Logo, letra E. Nota: Lembre-se que sen h / cos h = tg h. 2) Determine o perodo da funo y = sen20x. cos10x + sen10x.cos20x. Soluo: Sabemos que sena.cosb+senb.cosa = sen(a+b). Logo, sen20x.cos10x+sen10x.cos20x = sen(20x+10x) = sen30xINVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO. E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Cear - Brasil.

16

Portanto, a funo dada equivalente a y = sen30x. Mas, o perodo de uma funo da forma y = senbx dado por T = 2 / b. Logo, o perodo da funo dada ser: T = 2 / 30 = /15 radianos. Resposta: o perodo da funo igual /15 rad. 3) Qual o valor mximo da funo y = f(x) definida por:

Soluo: Sabemos que cosx. cos4x - senx.sen4x = cos(x+4x) = cos5x Para concluir isto, basta lembrar da frmula do cosseno da soma! Portanto, podemos escrever:

Para que y seja MXIMO, devemos ter 100+cos5x = MNIMO. claro que isto ocorrer para cos5x = -1. Logo, o valor mximo da funo ser: y = 100 / (100 - 1) = 100/99. Resposta: 100/99. 4) Seja dada a funo y = f(x), definida por:

Nestas condies, pede-se calcular o valor de y = f( /17). Soluo: Vamos transformar em produto o denominador da funo:

Mas, cos13x = cos (17x - 4x) = cos17x. cos4x + sen17x.sen4x. Como x = /17, vem imediatamente que 17x = . Logo, substituindo vem: cos13x = cos .cos4x + sen .sen4x = -1.cos4x + 0.sen4x = - cos4x J que cos13x = - cos4x , para x = /17, substituindo, vem finalmente: y = - cos4x / (2.cos4x) = -1/2. Resposta: y = - 1/2.INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO. E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Cear - Brasil.

17

Trigonometri a IXPerodo das funes trigonomtricas Considere uma funo y = f(x) de domnio D. Seja x D um elemento do domnio da funo f. Consideremos um elemento p D. Se f(x+p) = f(x) para todo x D, dizemos que a funo f peridica. Ao menor valor positivo de p , denominamos perodo da funo f. Complicado? No! Veja o exemplo abaixo: Seja y = f(x) = senx Temos que f(x+2 ) = sen(x+2 ) = senx.cos2 + sen2 .cosx =senx .1 + 0.cosx = senx ou seja, f(x+2 ) = f(x). Portanto, sen(x+2 ) = senx Da definio acima, conclumos que o perodo da funo y = senx igual a 2 radianos. Analogamente, concluiramos que: O perodo da funo y = cosx 2 radianos. O perodo da funo y = secx 2 radianos. O perodo da funo y = cosecx 2 radianos. O perodo da funo y = tgx radianos. O perodo da funo y = cotgx radianos. As afirmaes acima equivalem s seguintes afirmaes: cos (x+2 ) = cosx| sec(x+2 ) = secx cosec(x+2 ) = cosecx tg(x+ ) = tgx cotg(x+ ) = cotgx De uma forma genrica, poderemos dizer que o perodo T da funo y = a+b.sen (rx + q) dado por:

Observe que somente o coeficiente de x tem influencia para o clculo do perodo da funo. INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO. 18E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Cear - Brasil.

A frmula acima aplica-se tambm para o caso da funo y = a + b.cos(rx+q). No caso das funes y = a + b.tg(rx+q) ou y = a + b.cotg(rx+q) a frmula a ser aplicada para o clculo do perodo T :

Exemplos: Determine o perodo das seguintes funes trigonomtricas: a) y = sen (2x - 45) Resposta: T = 2 /2 = radianos b) y = 2. cos(3x+45) Resposta: T = 2 /3 rad = 120 . (Lembre-se que rad = 180). c) y = 5 + 10. cos( x + 2) Resposta: T = 2 / = 2 rad d) y = tg (2x - ) Resposta: T = /2 rad e) y = sen2x. cos4x + sen4x.cos2x Resposta: A funo pode ser escrita como y = sen(2x+4x) = sen6x Logo, T = 2 /6 = /3 rad ou 60. f) y = senx + cosx Resposta: Antes de aplicar a frmula do perodo, temos que transformar a soma do segundo membro, num produto. Logo, y = senx + sen(90 - x) Observe que sen(90-x) = sen90.cosx - senx.cos90 = cosx. Logo, a funo dada poder ser escrita como, usando a frmula de transformao da soma de senos em produto.

Portanto o perodo procurado ser T = 2 /1 = 2 rad. Agora resolva estes: Determine o perodo das seguintes funes: a) y = sen10x Resposta: T = /5 rad.INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO. E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Cear - Brasil.

19

b) y = 1 + cos(2x+ /4) Resposta: T = rad. c) y = sen(x/3) + cos(x/2) Resposta: T = 12 rad.

Exerccios Resolvidos de Trigonometria1 - (UNI-RIO) Os lados de um tringulo so 3, 4 e 6. O cosseno do maior ngulo interno desse tringulo vale: a) 11 / 24 b) - 11 / 24 c) 3 / 8 d) - 3 / 8 e) - 3 / 10 Soluo: Sabemos que num tringulo, ao maior lado ope-se o maior ngulo. Logo, o maior ngulo ser aquele oposto ao lado de medida 6. Teremos ento, aplicando a lei dos cossenos: 62 = 32 + 42 - 2 . 3 . 4 . cos b 36 - 9 - 16 = - 24 . cos cos = 11 / 24 e, portanto, a alternativa correta a letra B. Lembrete: TC - Teorema dos cossenos: Em todo tringulo, o quadrado de um lado igual soma dos quadrados dos outros dois, menos o dobro do produto desses lados pelo cosseno do angulo que eles formam. 2 - (UNESP) Se x e y so dois arcos complementares, ento podemos afirmar que A = (cosx - cosy)2 + (senx + seny)2 igual a: a) 0 b) 1/2 c) 3/2 d) 1 e) 2 Soluo: Desenvolvendo os quadrados, vem: A = cos2 x - 2 . cosx . cosy + cos2 y + sen2 x + 2 . senx . seny + sen2 y Organizando convenientemente a expresso, vem: A = (cos2 x + sen2 x) + (sen2 y + cos2 y) - 2 . cosx . cosy + 2 . senx .INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO. E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Cear - Brasil.

20

seny A = 1 + 1 - 2 . cosx . cosy + 2 . senx . seny A = 2 - 2 . cosx . cosy + 2 . senx . seny Como os arcos so complementares, isto significa que x + y = 90 y = 90 - x. Substituindo, vem: A = 2 - 2 . cosx . cos(90 - x) + 2 . senx . sen(90 - x) Mas, cos(90 - x) = senx e sen(90 - x) = cosx, pois sabemos que o seno de um arco igual ao cosseno do seu complemento e o cosseno de um arco igual ao seno do seu complemento. Logo, substituindo, fica: A = 2 - 2 . cosx . senx + 2 . senx . cosx A = 2 + (2senxcosx - 2senxcosx) = 2 + 0 = 2 , e portanto a alternativa correta a letra E. 3 - Calcule sen 2x sabendo-se que tg x + cotg x = 3. Soluo: Escrevendo a tgx e cotgx em funo de senx e cosx , vem:

Da, vem: 1 = 3 . senx . cosx senx . cosx = 1 / 3. Ora, sabemos que sen 2x = 2 . senx . cosx e portanto senx . cosx = (sen 2x) / 2 , que substituindo vem: (sen 2x) / 2 = 1 / 3 e, portanto, sen 2x = 2 / 3. Resposta: 2 / 3 4 - (ITA - 96) Seja [0, /2], tal que sen + cos = m . Ento, o valor de

: a) 2(m2 - 1) / m(4 - m2) b) 2(m2 + 1) / m(4 + m2) c) 2(m2 - 1) / m(3 - m2) d) 2(m2 - 1) / m(3 + m2) e) 2(m2 + 1) / (3 - m2) Soluo: Quadrando ambos os membros da expresso dada, vem: (sen + cos )2 = m2 . Desenvolvendo, fica:INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO. E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Cear - Brasil.

21

sen2 + 2 . sen . cos + cos2 = m2 Simplificando, vem: 1 + 2 . sen . cos = m2 1 + sen 2 = m2 e, portanto, sen 2 = m2 - 1 Seguindo o mesmo raciocnio, vamos elevar ambos os membros da expresso dada ao cubo: Lembrete: (a + b)3 = a3 + b3 + 3(a +b) . ab Logo: (sen + cos )3 = m3 . Desenvolvendo, vem: sen3 + cos3 + 3 (sen + cos ) (sen . cos ) = m3 Lembrando que sen + cos = m e sen . cos = sen 2 / 2, e substituindo, fica: sen3 + cos3 = m3 - 3 (m) . (m2 - 1) / 2 Substituindo esses valores encontrados na expresso dada, teremos ento:

E, portanto, a alternativa correta a letra C.

Funes Trigonomtricas Inversas1 Funo arco seno Considere a funo y = senx. Sabemos que para achar a inversa, basta permutar x por y e vice-versa. Nestas condies a inversa ser x = seny. Entretanto, sabemos do estudo geral das funes, que a inversa de uma funo ser tambm uma funo se e somente se a funo dada for bijetora. Como sabemos que a funo y = senx no bijetora em R, (se necessrio, revise esse conceito no captulo Funes) , para que a sua inversa seja tambm uma funo, deveremos definir um intervalo na qual a funo seno seja bijetora. Este intervalo : [- /2, /2] Assim, a funo f: [- /2, /2] [-1, 1] definida por y = senx bijetora. Ento, a inversa x = seny ter domnio [-1, 1] e conjunto imagem [ /2, /2] e, neste caso, ser tambm uma funo. A igualdade x = seny costuma ser escrita como y = arcsenx que lse: y o arco cujo seno x. Em resumo: y = arcsenx para -1 x 1 e - /2 x /2.INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO. E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Cear - Brasil.

22

Nunca esquea que y = arcsenx seny = x, considerando-se as limitaes para x e y impostas acima. Exemplos: a) sen /6 = 1/2 /6 = arcsen (1/2) b) sen = 0 = arcsen 0 c) sen 0 = 0 0 = arcsen 0 (l-se: 0 o arco cujo seno 0). Exerccio Resolvido Qual o domnio e o conjunto imagem da funo y = arcsen 4x? Soluo: Podemos escrever: 4x = seny. Da, vem: Para x: -1 4x 1 -1/4 x 1/4. Portanto, Domnio = D = [-1/4, 1/4]. Para y: Da definio vista acima, deveremos ter - /2 y /2. Resposta: D = [-1/4, 1/4] e Im = [- /2, /2]. Analogamente definiramos as funes arco coseno e arco tangente . 1. Funo arco coseno y = arccosx x = cosy, para 0 y e 1 x 1. Exemplo: cos 60 = 1/2, logo 60 = arccos 1/2 (Obs: 60 = /3 rad) 2. Funo arco tangente y = arctgx x = tgy , para - /2 < y < /2 e x R. Exemplo: tg 45 = 1, logo 45 = arctg 1 (Obs: 45 = /4 rad) Exerccios Resolvidos: 1. Calcule y = tg(arcsen 2/3) Soluo: Seja w = arcsen 2/3. Podemos escrever senw = 2/3. Precisamos calcular o cosw. Vem: sen2w + cos2w = 1 (Relao Fundamental da Trigonometria). Substituindo o valor de senw vem: (2/3)2 + cos2w = 1 de onde conclui-se: cos2w = 1 4/9 = 5/9. Logo: cosw = 5 / 3. Mas como w = arcsen 2/3, sabemos que o arco w pode variar de 90 a +90, intervalo no qual o coseno positivo. Logo: cosw = + 5 /3. Temos ento: y = tg(arcsen 2/3) = tgw = senw / cosw = [(2/3) / ( 5/3)] = 2/ 5 Racionalizando o denominador, vem finalmente y = (2 5)/ 5 que o valor de y procurado.INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO. E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Cear - Brasil.

23

2. Calcular o valor de y = sen (arc tg 3/4). Soluo: Seja w = arc tg 3/4. Podemos escrever: tgw = 3/4 senw / cosw = 3/4 senw = (3/4).cosw Da relao fundamental da Trigonometria, sen2w + cos2w = 1, vem, substituindo o valor de senw: [(3/4).cosw]2 + cos2w = 1 9/16.cos2w + cos2w = 1 25/16 . cos2w =1 cos2w = 16/25 cosw = 4/5. Como w = arctg 3/4, sabemos da definio da funo arco tangente que w varia no intervalo 90 a +90 , intervalo no qual o coseno positivo. Logo, cosw = + 4/5. Mas, senw = (3/4). cosw = (3/4).(4/5) = 3/5 , e portanto: y = sen(arctg 3/4) = senw = 3/5, que a resposta procurada. Agora resolva os seguintes: 1) Qual o domnio da funo y = arccos (1 logx)? 2) Resolver a equao: arcsenx = 2 arccosx Respostas: 1) D = [1,100] 2) x = 3/2.

Teorema dos Senos - TS

Considere a figura abaixo, onde vemos um tringulo ABC inscritonuma circunferncia de raio R. Observe que tambm podemos dizer que a circunferncia est circunscrita ao tringulo ABC. Na figura acima, temos: AH = dimetro da circunferncia = 2R (R = raio) AO = OH = raio da circunferncia =R Medidas dos lados do tringulo ABC: AB = c, BC = a e AC = b. Para deduzir o teorema dos senos, vamos iniciar observando que os ngulos H e B so congruentes ou seja possuem a mesma medida, pois ambos esto inscritos no mesmo arco CA. Alm disso, podemos afirmar queINVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO. E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Cear - Brasil.

24

o ngulo ACH reto (90), pois AH um dimetro. Portanto o tringulo ACH um tringulo retngulo. Podemos ento escrever: sen H = sen B = cateto oposto / hipotenusa = AC / AH = b/2R Logo, fica: sen B = b / 2R e, portanto, b/senB = 2R. Analogamente chegaramos s igualdades c/senC = 2R a/senA = 2R Como estas trs expresses so todas iguais a 2R, poderemos escrever finalmente:

Esta expresso mostra que as medidas dos lados de um tringulo qualquer so proporcionais aos senos dos ngulos opostos a estes lados, sendo a constante de proporcionalidade igual a 2R, onde R o raio da circunferncia circunscrita ao tringulo ABC. Este o teorema dos senos TS. O teorema dos senos visto acima, permite a deduo de uma importante frmula para o clculo da rea de um tringulo qualquer. Seja o tringulo ABC da figura abaixo, de altura h. Sabemos que a rea de um tringulo igual ao semiproduto da base pela altura: S = 1/2 . base . altura . Logo, S = 1/2 . a . h

Mas, no tringulo retngulo CAH, podemos escrever: sen C = cateto oposto/hipotenusa = h/b h = b.senC Substituindo na frmula da rea acima, vem: S = 1/2.a.b.senC


25

Mas, sabemos do teorema dos senos que c/senC = 2R, onde R o raio da circunferncia circunscrita ao tringulo ABC. Logo: senC = c / 2R Portanto, S = 1/2.a.b.c/2R = abc/4R. Temos ento a seguinte frmula para o clculo da rea de um tringulo qualquer:

onde a, b e c so as medidas dos lados do tringulo e R o raio da circunferncia circunscrita ao tringulo e S a rea do tringulo. J sabemos da Geometria Plana, que a rea de um tringulo ABC, cujos lados medem respectivamente a, b e c, dada pela frmula:

onde p o semipermetro do tringulo ou seja: p = (a+b+c) / 2 Esta frmula conhecida comumente como Frmula de Heron. Heron de Alexandria clebre gemetra grego. Viveu no sculo 1 da era crist. Assim, substituindo o valor de S da frmula anterior, na frmula S=abc/4R, encontraremos uma frmula til para o clculo do raio da circunferncia circunscrita a um tringulo qualquer de lados a, b e c: Temos: S = abc / 4R R = abc / 4S Portanto,

Onde p, conforme vimos acima o semipermetro dado por p = (a+b+c)/2. Exemplo de aplicao: Vestibular da Univ. Federal do Cear/1990 Seja R o raio do crculo circunscrito ao tringulo cujos lados medem 10m, 17m e 21m. Determine em metros, o valor de 8R. Soluo: Temos: a = 10, b = 17 e c = 21 p = (10+17+21) / 2 = 24 Portanto, substituindo diretamente na frmula acima, fica:

Como o problema solicita o valor de 8R, vem: 8R = 8.170/16 = 170/2 = 85. Portanto, 8R = 85, que a resposta do problema. Resposta: 85m


26

Teorema dos Cossenos - TC

Considere o tringulo ABC na figura abaixo:AH = altura do tringulo em relao base CB. Medidas dos lados: AC = b, AB = c e CB = a. Podemos escrever no tringulo AHB: AH2 + HB2 = c2 (Teorema de Pitgoras). Analogamente, podemos aplicar o teorema de Pitgoras no tringulo AHC: b2 = CH2 + AH2 Mas, CH = CB HB = a HB Portanto: b2 = (a - HB)2 + AH2 b2 = a2 2.a.HB + HB2 + AH2 Observe que HB2 + AH2 = AB2 = c2 Ento fica: b2 = a2 + c2 2.a.HB No tringulo retngulo AHB, podemos escrever: cosB = cateto adjacente/hipotenusa = HB/c Da, HB = c.cosB Substituindo, fica: b2 = a2 + c2 2.a.c. cosB Da frmula acima, conclumos que num tringulo qualquer, o quadrado da medida de um lado igual a soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos o dobro do produto das medidas desses lados pelo cosseno do angulo que eles formam. Isto o Teorema dos cossenos TC. Analogamente, poderemos escrever: a2 = b2 + c2 2.b.c.cosA c2 = a2 + b2 2.a.b.cosC Em resumo: a2 = b2 + c2 2.b.c.cosA b2 = a2 + c2 2.a.c.cosB c2 = a2 + b2 2.a.b.cosC Exemplo 1: Num tringulo dois lados de medidas 4 cm e 8 cm formam entre si um angulo de 60. Qual a medida do outro lado? Ora, sendo x a medida do terceiro lado, teremos: x2 = 42 + 82 2.4.8.cos60 = 16 + 64 2.4.8.(1/2), j que cos60 = 1/2. x2 = 16 + 64 32 = 48 = 16.3; logo, poderemos escrever:INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO. E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Cear - Brasil.

27

x2 = 42.3 x =4 3 cm Exemplo 2: Determine o comprimento do lado de um hexgono regular inscrito num crculo de raio R.

R = raio do crculo. Sabemos que um hexgono regular possui 6 lados de medidas congruentes, ou seja de medidas iguais. Observe que o angulo A igual a 60. Logo, o lado PQ do hexgono regular ser dado pelo teorema dos cossenos por: PQ2 = R2 + R2 2.R.R.cos60 = 2R2 R2 (Obs: cos60 = 1/2) PQ2 = R2, de onde conclui-se: PQ = R. CONCLUSO: A medida do lado de um hexgono regular inscrito num crculo de raio R igual a R. Esta uma propriedade importantssima dos hexgonos regulares. Vale a pena memorizar esta propriedade dos hexgonos regulares.

Teorema das reas- TASabemos de aula anterior, Teorema dos Senos que a rea S de um tringulo ABC inscrito numa circunferncia de raio R e cujos lados medem a, b e c dada pela frmula: S = abc /4R Sabemos tambm, da teoria exposta no mesmo arquivo anterior, que c/senC = 2R (Teorema dos senos TS). Podemos ento dizer que c = 2R.senC Substituindo na frmula da rea acima, vem: S = a.b.2R.senC / 4R , que simplificada fica: S = (1/2).ab.senC , onde C o ngulo formado pelos lados de medidas a e b . Portanto, a rea de um tringulo qualquer igual ao semi-produto das medidas de dois lados pelo seno do angulo que eles formam entre si. Isto o Teorema das reas - TA. Genericamente, podemos escrever a frmula acima em funo de qualquer par de medidas dos lados a saber:INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO. E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Cear - Brasil.

28

Exemplo : Dois lados de um tringulo medem 10cm e 20cm e formam entre si um angulo de 30. Qual a rea desse tringulo? Soluo: S = (1/2).10.20.sen30 = (1/2).10.20.(1/2) = 50cm2 Obs: sen30 = 0,5 = 1/2 Repetindo: a rea de qualquer tringulo igual a metade do produto de dois lados pelo seno do angulo que eles formam.

Um produto de senos e cossenosSimplifique a expresso E = 8 . sen10 . cos20 . sen50 ? Soluo: Sabemos que : sen(a+b) = senacosb + senbcosa sen(a-b) = senacosb senbcosa Somando membro a membro, vem: sen(a+b) + sen(a-b) = 2senacosb Da, vem: sena.cosb = 1/2 [sen(a+b) + sen(a-b)] Portanto: sen10 . cos20 = 1/2 [sen(10 + 20) + sen(10 - 20)] sen 10 . cos 20 = 1/2 [sen 30 + sen (- 10)] sen 10 . cos 20 = 1/2 [1/2 sen 10] Obs: sen( - 10 ) = - sen 10 Substituindo na expresso dada, vem: E = 8 . {1/2 [1/2 sen 10]}. sen 50 E = 8 . [1/4 (sen 10)/2] . sen 50 E = [2 4.sen 10] . sen 50 E = 2.sen50 - 4.sen 10 . sen 50 (Eq. 1) Mas, sena . senb = 1/2 [cos(a-b) cos(a+b)] Logo: sen10 . sen50 = 1/2 [cos(10 - 50) cos(10 + 50)] sen10 . sen50 = 1/2 [ cos40 - cos60 ] Obs: cos(-40) = cos40 , pois a funo coseno par ou seja f(-x) = f(x) para todo x. Substituindo na Eq. (01) acima, vem:INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO. E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Cear - Brasil.

29

E = 2.sen50 - 4(1/2[cos40 - cos60]) E = 2.sen50 - 2.cos40 + 1 (Obs: cos60 = 1/2) E = 2(sen50 - cos40) + 1 Como 50 e 40 so ngulos complementares, vem que sen50 = cos40 Da vem, finalmente: E = 2.0 + 1 Portanto, E = 1. E = 8.sen10.cos20.sen50 = 1 E=1

Dois problemas de TrigonometriaDada a funo f : R R, definida por f(x) = 2sen2x cos2x, assinale V (verdadeiro) ou F (falso) para cada afirmao a seguir: 1 - f uma funo par 2 - f uma funo mpar 3 - o perodo de f rad 4 - f no par e no peridica 5 - f( ) = 1 Resposta: FFVFF Soluo: 1. f uma funo par (valor lgico F) Sabemos que uma funo y = f(x) PAR, quando f(-x) = f(x), para todo x pertencente ao seu domnio. Teremos, substituindo x por x na lei que define a funo: f(-x) = 2sen(-2x) cos(-2x) Da teoria, sabemos que a funo seno mpar e que a funo cosseno par. Logo: f(-x) = -2sen2x cos2x = - (2sen2x +cos2x) Portanto, f(-x) f(x); a funo f no par . 2. f uma funo mpar (valor lgico F) Uma funo y = f(x) MPAR, quando f(-x) = - f(x), para todo x pertencente ao seu domnio. Do item anterior, sabemos que f(-x) = 2sen2x cos2x Como f(x) = 2sen2x cos2x, vem que f(x) = -2sen2x + cos2x Logo, f(-x) - f(x); a funo, ento, no mpar. 3. O perodo de f rad (valor lgico V) Temos f(x) = 2sen2x cos2x . Uma funo y = f(x) peridica de perodo T, quando f(x + T) = f(x) , para todo x pertencente ao seu domnio. Logo, para verificar se aINVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO. E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Cear - Brasil.

30

funo f tem perodo , basta calcular f(x+ ) e, comparar com f(x). Temos: f(x + ) = 2sen2(x+ ) cos2(x + ) = 2sen(2x + 2 ) cos(2x + 2 ) = 2sen2x cos2x , que exatamente igual a f(x). Logo, a funo peridica de perodo rad. Nota: as funes seno e cosseno so peridicas de perodo 2 rad, ou seja: sen(a + 2 ) = sena e cos(a + 2 ) = cosa 4. f no par e no peridica (valor lgico F) Dos itens 01 e 03, conclumos que a afirmao 4 falsa, pois trata-se de uma conjuno onde uma proposio verdadeira (f no par) e a outra tambm falsa (f no peridica; acabamos de ver, que f tem perodo rad). Sempre bom rever: veja os arquivos de Lgica Matemtica nesta pgina!. 5. f( ) = 1 (valor lgico F) Temos f(x) = 2sen2x cos2x Logo, f( ) = 2sen2 - cos2 = 2.0 1 = -1 Portanto, a afirmao 5 falsa. Determine o perodo e o valor mximo da funo y = 2sen2x cos2x. Soluo: Para a determinao do perodo de uma funo do tipo y = psenx + qcosx, sempre conveniente construir um tringulo retngulo. Acompanhe com ateno: Construa um tringulo de lados 1 e 2. Claro que a hipotenusa vale 5, pelo teorema de Pitgoras. Seja o ngulo oposto ao lado de medida 1. Podemos escrever: (Pegue agora uma folha de papel em branco e faa a figura); voc desejaria a figura pronta, no ? Mas, muito importante que voc a construa, para acompanhar a soluo. Acho que melhor assim, para um perfeito entendimento. Da, poderemos escrever: sen = 1/ 5 (cateto oposto dividido pela hipotenusa} cos = 2/ 5 (cateto adjacente dividido pela hipotenusa) Das expresses acima, vem que: 1 = sen . 5 2 = cos . 5 Ora, f(x) = 2sen2x cos2x = 2.sen2x 1.cos2x Substituindo os valores acima, vem: f(x) = cos . 5.sen2x - sen . 5.cos2x = 5(cos .sen2x - senq .cos2x) Observando cuidadosamente a expresso acima, perceberemos que oINVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO. E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Cear - Brasil.

31

segundo fator da multiplicao (em azul) exatamente o seno da diferena de dois arcos. Vem ento: f(x) = 5[sen(2x - )] Como o perodo da funo y = a . sen(bx c) igual a T = 2 /b, vem que: T = 2 /2 = rad. Para calcular o valor mximo da funo, sabendo que f(x) = 5[sen(2x + )], fica muito fcil. Como o valor mximo da funo seno igual a 1, vem finalmente que: f(x)max = 5 . 1 = 5 Respostas: perodo = rad valor mximo = 5

Trs exerccios de Trigonometria1 Dada a funo:

f(x) = sen6x + cos6x 2sen4x cos4x + sen2x,pede-se calcular o valor de

. Soluo: Vamos inicialmente, simplificar a expresso que define a funo dada. Temos: f(x) = sen6x + cos6x 2sen4 x cos4 x + sen2x Arrumando convenientemente, vem: f(x) = sen6x 2sen4x + sen2x + cos6x cos4x Fatorando a expresso convenientemente em relao a senx e cosx, vem: f(x) = sen2x (sen4x 2sen2x + 1) + cos4x(cos2x 1) Observe que: sen4x 2sen2x + 1 igual a: (sen2x 1)2. Nota: Lembre-se que p2 2pq + q2 = (p q)2 [produto notvel]. Da, substituindo, vem: f(x) = sen2x(sen2x 1)2 + cos4x(cos2x - 1)INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO. E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Cear - Brasil.

32

Mas, sabemos da Trigonometria, que: sen2x + cos2x = 1 (Relao Fundamental) Portanto: sen2x = 1 cos2x = - (cos2x 1) \ cos2x 1 = - sen2x cos2x = 1 sen2x = - (sen2x 1) sen2x 1 = - cos2x Substituindo na expresso da funo, vem: f(x) = sen2x[- cos2x]2 + cos4x (- sen2x) f(x) = sen2x . cos4x cos4x . sen2x f(x) = sen2x.cos4x cos4x . sen2x = sen2x.cos4x sen2x.cos4x = zero. Ora, f(x) ento igual a zero, independente do valor de x. Portanto:

E, portanto, a soma indicada nula ou seja:

Resposta: 0 2 Calcule o triplo do quadrado do coseno de um arco cujo quadrado da tangente vale 2. Soluo: Seja x o arco. Teremos: tg2x = 2 Desejamos calcular 3.cos2x, ou seja, o triplo do quadrado do coseno do arco. Sabemos da Trigonometria que: 1 + tg2x = sec2x Portanto, substituindo, vem: 1 + 2 = sec2x = 3 Como sabemos que: secx = 1/cosx , quadrando ambos os membros vem: sec2x = 1/ cos2x cos2x = 1/sec2x = 1/3 3cos2x = 3(1/3) = 1 Portanto, o triplo do quadrado do coseno do arco cuja tangente vale 2, igual unidade. Resposta: 1 Agora resolva este: Se a . senx cosx = 1 e b . senx + cosx = 1, calcule o produto a.b Resposta: 1


33

Trs crculos tangentes entre siDetermine o dimetro X na figura abaixo, sabendo-se que os trs crculos so tangentes entre si.

Soluo: Observando atentamente a figura abaixo, podemos escrever:

No tringulo isscele ABC, teremos aplicando a lei dos cossenos: BC2 = AB2 + AC2 - 2. AB. AC. cos(BC) (2r)2 = (50 - r)2 + (50 - r)2 - 2.(50 - r).(50 - r) . cos 120 Nota: cos 120 = - 1 / 2.INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO. E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Cear - Brasil.

34

4r2 = (50 - r)2 + (50 - r)2 + (50 - r)2 4r2 = 3(50 - r)2 4r2 / 3 = (50 - r)2 (2r / 3)2 = (50 - r)2 2r / 3 = 50 - r 2r = 50 3 - 3.r 2r + 3.r = 50. 3 r(2 + 3) = 50. 3 Da, vem: r = 50. 3 /(2 + 3) Racionalizando o denominador, vem: r = 50(2 3 - 3) O dimetro, sendo o dobro do raio, vem, finalmente: X = 100(2 3 - 3) Portanto, o dimetro procurado igual a X = 100(2 3 - 3) mm, que corresponde a aproximadamente 46,41 mm. Uma soma de senos UFPE 1996 - Determine a menor soluo real da equao:

Soluo: Lembrando da frmula de transformao de soma em produto vista em Trigonometria, vem: sen p + sen q = 2.sen [(p + q)/2] . cos [(p - q) / 2] Fazendo p = x / 423 e q = 2 x / 423 e substituindo na frmula acima, obteremos: sen( x / 423) + sen(2 x / 423) = 2.sen[3 x / 423)/2].cos[( x / 423)/2] Voltando expresso dada, substituindo fica: 2.sen(3 x / 846).cos( x / 846) = cos( x / 846) Simplificando o fator comum, vem: 2.sen(3 x / 846) = 1 sen(3 x / 846) = 1/2INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO. E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Cear - Brasil.

35

Mas, 1/2 = sen /6; logo, substituindo fica: sen(3 x / 846) = sen( /6) Portanto, o menor valor positivo de x ser obtido da igualdade 3 x / 846 = / 6 Se a/b = c/d, sabemos pela propriedade fundamental das propores que ad = bc. Portanto: (3 x).6 = 846. Resolvendo em relao a x, obteremos x = 47, que a resposta da questo.

Equaes Trigonomtricas I 1 Introduo: as equaes elementares Equao trigonomtrica elementar, qualquer equao da forma sen x = sen a, cos x = cos a e tg x = tg a, onde x um arco trigonomtrico incgnita a ser determinado e a um arco trigonomtrico qualquer. Via de regra, qualquer equao trigonomtrica no elementar, pode ser transformada numa equao elementar, atravs do uso das relaes trigonomtricas usuais. Nota: os arcos a e a + k.2 onde k um nmero inteiro, possuem as mesmas extremidades inicial e final, pois diferem entre si, por um nmero inteiro de voltas, ou seja: a + k.2 a = k.2 Este resultado importante e, ser utilizado para desenvolvimento do item 1.1 a seguir. Observao: 2 = 360 = uma volta completa. Para a soluo das equaes trigonomtricas elementares, vamos estabelecer as relaes fundamentais a seguir: 1.1 Arcos de mesmo seno J sabemos que sen ( a) = sen a. Usando o conceito contido na nota acima, sendo x um arco trigonomtrico, as solues gerais da igualdade acima sero da forma: x = ( - a) + k.2 ou x = a + k.2 .INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO. E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Cear - Brasil.

36

x = + 2k. - a ou x = a + k.2 x = (2k + 1) - a ou x = 2k + a Portanto, a soluo genrica de uma equao do tipo sen x = sen a, ser x = (2k + 1) - a ou x = 2k + a. Exemplo: seja a equao elementar sen x = 0,5. Como 0,5 = sen 30 = sen /6, vem, utilizando o resultado geral obtido acima: sen x = sen /6, de onde conclui-se: x = (2k + 1). - /6 ou x = 2k + /6, com k inteiro, que representa a soluo genrica da equao dada. Fazendo k variar no conjunto dos nmeros inteiros, obteremos as solues particulares da equao. Assim, por exemplo, fazendo k = 0, obteremos por mera substituio na soluo genrica encontrada acima, x = - /6 ou x = /6; fazendo k = 1, obteremos x = 17 /6 ou x = 13 /6, e assim sucessivamente. Observe que a equao dada, possui um nmero infinito de solues em R conjunto dos nmeros reais. Poderemos escrever o conjunto soluo da equao dada na forma geral: S = {x| xR; x =(2k + 1) - /6 ou x = 2k + /6, k Z} Poderemos tambm listar os elementos do conjunto soluo: S = { ..., - /6, /6, 17 /6, 13 /6, ... } 1.2 Arcos de mesmo cosseno J sabemos que cos (-a) = cos a. Analogamente ao item 1.1 acima, poderemos escrever para as solues gerais da igualdade acima: x = (-a) + 2k ou x = a + 2k , sendo k um nmero inteiro. Portanto, a soluo genrica de uma equao do tipo cos x = cos a, ser dada por: x = 2k + a ou x = 2k - a, sendo k um inteiro. 1.3 Arcos de mesma tangente J sabemos que tg( + a)= tg a. Analogamente ao item 1.1 acima, poderemos escrever para as solues gerais da igualdade acima: x = ( + a) + 2k ou x = a + 2k Arrumando convenientemente, podemos escrever: x = (2k + 1) + a ou x = 2k + a, sendo k um nmero inteiro.INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO. E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Cear - Brasil.

37

Observando que 2k um nmero par e 2k + 1 um nmero mpar, para k inteiro,percebemos que poderemos reunir as duas expresses acima numa nica: x = k + a. Portanto, a soluo genrica de uma equao do tipo tg x = tg a , ser dada por x = k + a . Assim, teremos em resumo: sen x = sen a x = (2k + 1) - a ou x = 2k + a cos x = cos a x = 2k + a ou x = 2k - a tg x = tg a x = k + a sendo k um nmero inteiro. Nota: O smbolo significa: equivale a. O uso das igualdades acima, permite resolver qualquer equao trigonomtrica elementar que possa ser apresentada. Como qualquer equao trigonomtrica pode ser reduzida a uma equao elementar atravs de transformaes trigonomtricas convenientes, as igualdades acima so bsicas para a resoluo de qualquer equao trigonomtrica. Este um aspecto muito importante. 2 Equaes trigonomtricas resolvidas Resolva as seguintes equaes trigonomtricas: a) 2cosx 3secx = 5 Soluo: Lembrando que secx = 1/cosx, vem, por substituio: 2.cosx 3.(1/cosx) 5 = 0 2.cosx 3/cosx 5 = 0 Multiplicando ambos os membros por cosx 0, fica: 2.cos2x 3 5.cosx = 0 Arrumando convenientemente, teremos: 2.cos2x 5.cosx 3 = 0. Vamos resolver a equao do segundo grau em cosx. Teremos:

Portanto, cosx = 3 ou cosx = -1/2.INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO. E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Cear - Brasil.

38

A equao cosx = 3 no possui soluo, j que o cosseno s pode assumir valores de 1 a +1. J para a equao cosx = -1/2, teremos: cosx = -1/2 = cos120 = cos (2 /3) Logo, cosx = cos(2 /3) Do resultado obtido no item 1.2 acima, poderemos escrever as solues genricas da equao dada: x = 2k + 2 /3 ou x = 2k - 2p/3 Estas solues podem ser reunidas na forma: x = 2k 2 /3. Logo, o conjunto soluo da equao proposta ser: S = {x | x = 2k 2 /3, k inteiro}. b) 5tg2x 1 = 7 secx Resposta: x = k ou x = k + /4. c)3.senx - 3.cosx = 0 Soluo: Teremos: 3. senx = 3. cosx Dividindo ambos os membros por cosx 0, fica: 3.senx/cosx = 3.cosx/cosx = 3. 3.tgx = 3 tgx = 3/3 = tg30 = tg( /6) Vamos ento resolver a equao elementar tgx = tg( /6) Do exposto no item 1.3 acima, vem imediatamente que: x = k + /6. d) 3.senx cosx = 0. Resposta: x = k + /6. e) tgx + cotgx = 2 Soluo: Substituindo tgx e cotgx pelos seus valores expressos em funo de senx e cosx, vem: senx/cosx + cosx/senx = 2 Efetuando a operao indicada no primeiro membro, vem: (sen2x + cos2x)/(senx.cosx) = 2INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO. E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Cear - Brasil.

39

Como sen2x + cos2x = 1, fica: 1/senx.cosx = 2 1 = 2.senx.cosx 1 = sen2x sen2x = 1 = sen90 = sen( /2). sen2x = sen( /2) Aplicando o conhecimento obtido no item 1.1, vem: 2x = (2k+1) - /2 OU 2x = 2k + /2. Dividindo ambas as expresses por 2, fica: x = (2k+1). /2 - /4 OU x = k + /4. Simplificando a primeira expresso, vem: x = k + /4 OU x = k + /4. Portanto, x = k + /4, que a soluo procurada. f) tgx + cotgx = 4/3 Resposta: x = k + /3 OU x = k + /6. g) 4(sen3x cos3x) = 5(senx cosx) Soluo: Lembrando da identidade: A3 B3 = (A B) (A2 + AB + B2), poderemos escrever: 4(senx cosx)(sen2x + senx.cosx + cos2x) = 5(senx - cosx) Como sen2x + cos2x = 1, vem, substituindo: 4(senx cosx)(1 + senx.cosx) = 5(senx cosx) Simplificando os termos em comum, vem: 4(1 + senx.cosx) = 5 1 + senx.cosx = 5/4 senx.cosx = 5/4 1 = 5/4 4/4 = 1/4 senx.cosx = 1/4 Multiplicando ambos os membros por 2, fica: 2.senx.cosx = 2(1/4) 2.senx.cosx = 1/2 Como j sabemos da Trigonometria que 2.senx.cosx = sen 2x, vem: sen2x = 1/2 = sen30 = sen( /6) sen2x = sen( /6) Aplicando o conhecimento obtido no item 1.1 acima, fica: 2x = (2k+1) - /6 OU 2x = 2k + /6 Dividindo ambas as expresses por 2, vem: x = (2k+1). /2 - /12 OU x = k + /12 Simplificando a primeira expresso, fica:INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO. E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Cear - Brasil.

40

x = k + 5 /12 OU x = k + /12, que a soluo procurada. Portanto, S = {x | x = k + 5 /12 ou x = k + /12, k inteiro}. h) Resolva a mesma equao anterior, no conjunto universo U = [0, /2]. Resposta: S = {5 /12, /12}. Nota: basta atribuir valores inteiros a k na soluo geral vista no exerccio anterior e considerar apenas aqueles resultados compreendidos no intervalo dado [0, /2]. Existem diversos tipos de equaes trigonomtricas, sendo impossvel aborda-las num nico arquivo, motivo pelo qual, prometemos voltar ao assunto. Afirmamos entretanto, que qualquer que seja a equao trigonomtrica dada, atravs de transformaes convenientes, sempre recairemos numa equao elementar, dos tipos vistos nos itens 1.1, 1.2 e 1.3 acima.

Equaes Trigonomtricas II FUVEST O conjunto soluo da equao

: A) { /2 + k ; k Z} B) { /4 + k ; k Z} C) {k ; k Z} D) {k /2; k Z} E) {k /4; k Z} Soluo: Desenvolvendo o determinante pela Regra de Sarrus obteremos: -sen2x.senx.senx + sen2x.cosx.cosx = 0


41

sen2x.cosx.cosx sen2x.senx.senx = 0 Colocando sen2x em evidencia, vem: sen2x(cosx.cosx senx.senx) = 0 sen2x.(cos2x sen2x) = 0 Lembrando da Trigonometria que cos2x sen2x = cos2x, vem: sen2x.cos2x = 0 Deveremos ter ento: sen2x = 0 OU cos2x = 0. Para resolver equaes trigonomtricas desse tipo, onde o segundo membro nulo, poderemos raciocinar da seguinte forma: O seno de um arco se anula para os arcos da forma k , onde k um nmero inteiro, ou seja, para os arcos: 0, , 2 , ... Portanto, para que tenhamos sen2x = 0, deveremos ter 2x = k , de onde vem imediatamente que x = k /2, com k Z. Analogamente, sabemos que o cosseno de um arco se anula para os arcos da forma k + /2, onde k um nmero inteiro, ou seja, para os arcos /2, 3 /2, ... Assim, para que tenhamos cos2x = 0, deveremos ter 2x = k + /2, de onde vem imediatamente que x = k /2 + /4, com k Z. Teremos ento, que as solues procuradas sero: x = k /2 OU x = k /2 + /4, com k Z. Atribuindo valores inteiros a k em ambas solues, obteremos: k = 0 x = 0 ou x = /4 k = 1 x = /2 ou x = 3 /4 k = 2 x = ou x = 5 /4 ............................ ............................ Resumidamente e ordenadamente, teremos que x assumir os valores: ..., 0, /4, /2, , 3 /4, 5 /4, ... Observe que estes arcos so da forma k /4, com k Z; portanto, a alternativa correta a de letra E.INVISTA EM VOCE, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO. E-mail: [email protected]. www.colegiocascavelense.com.br Cascavel - Cear - Brasil.

42

Uma torre sob vrios ngulosO ngulo sob o qual um observador v uma torre, duplica quando ele se aproxima 110 metros e triplica quando se aproxima mais 50 metros. Pede-se calcular a altura da torre. Soluo: Considere a figura abaixo, construda obedecendo os dados do problema, ou seja: o ngulo inicial x, duplica (2x) quando o observador se aproxima 110 m e triplica (3x) quando ele se aproxima mais 50 m. Se necessrio comece revisando Trigonometria.

Observe inicialmente o tringulo ABE. Como o ngulo externo

Documents

Trigonometria (1)