TCC Trigonometria

Universidade Federal do MaranhoCentro de Cincias Exatas e Tecnologia

Departamento de MatemticaMestrado Profissional em Matemtica

A Importncia das Dedues das FrmulasTrigonomtricas para a Construo de

uma Aprendizagem Significativa

Emerson Carlos Castelo Branco

2013

Universidade Federal do MaranhoCentro de Cincias Exatas e Tecnologia

Departamento de MatemticaMestrado Profissional em Matemtica

A Importncia das Dedues das FrmulasTrigonomtricas para a Construo de

uma Aprendizagem Significativa

por


sob orientao do

Prof. Jos Antnio Pires Ferreira Maro

Maro de 2013

So Lus - MA

Castelo Branco, Emerson Carlos.

A importncia das dedues das frmulas trigonomtricas para a construo

de uma aprendizagem significativa/ Emerson Carlos Castelo Branco: UFMA, 2013.

Dissertao (Mestrado) - Universidade Federal do Maranho, Mestrado Profissional

em Matemtica, 2013.

1.Razes trigonomtricas. 2. Equaes trigonomtricas . 3. Funes circulares.

I. Ttulo.

CDU: 514.116.3

87fOrientador: Prof. Jos Antnio Pires Ferreira Maro

Universidade Federal do Maranho

Centro de Cincias Exatas e Tecnologia

Departamento de Matemtica

Mestrado Profissional em Matemtica

A Importncia das Dedues das Frmulas Trigonomtricaspara a Construo de uma Aprendizagem Significativa

por


Dissertao apresentada ao PROFMAT/

Universidade Federal do Maranho como

requisito parcial para a obteno do grau de

Mestre em Matemtica.

rea de Concentrao: Geometria, Trigonometria Plana e Matemtica Elementar.

Aprovada em: ......../....../........

Prof. Jos Antnio Pires Ferreira Maro - UFMA (Orientador)

Prof. Dr. Felix Siva Costa - UEMA

Prof. Manoel Ferreira Borges Neto - UNESP

Lissandra , Emerson Filho

e Leide Chantrelle.

Agradecimentos

Primeiramente a Deus, por ter me oportunizado enfrentar os obstculos e as dificuldades

durante o acesso e permanncia neste grande programa de qualificao.

minha esposa Leide, aos meus filhos Emerson Filho e Lissandra, pelas horas e as vezes

dias de afastamento pela dedicao ao programa.

minha me D. Graa e aos meus irmos Lidiane, Heliakim e Hlio (in memorian.)

Ao meu orientador, professor Maro, pelo grande empenho e auxlio nas horas difceis,

sempre com uma sugesto ou bibliografia, durante todo o PROFMAT e ainda para que se

concretizasse este trabalho.

Ao professor Joo de Deus, que mesmo quando de forma mais incisiva nos cobrava, deixava

claro que queria o melhor dos alunos e o engrandecimento do PROFMAT.

Aos demais professores colaboradores do PROFMAT no mbito regional e nacional, bem

como SBM e ao IMPA.

Aos amigos de turma, sempre entusiasmados com a oportunidade e de um modo geral

empenhados para que tudo fosse concludo com xito e qualidade.

Aos meus amigos de trabalho, em especial, Ajax, Eduardo, Ana Ruth, Rosrio, Vale, Aldo e

Otamar, pelas palavras de encorajamento e por compartilharem da minha felicidade.

Ao ex-professor e amigo Chaves pela grande contribuio e suporte no uso das ferramentas

indispensveis materializao deste trabalho.

professora Yone, que como gestora da minha escola teve grande sensibilidade e apreo

ao processo formativo.

CAPES, pelo suporte financeiro e credibilidade dispensada ao PROFMAT.

Enfim, a todos que direta ou indiretamente contriburam para este importante marco de

realizao pessoal e profissional.

A Matemtica se revela em mentes

sensveis, capazes de ver um espiral

em um girassol, ngulos em umaestrela e Deus no infinito."

Manoel Paiva.

Resumo

O presente trabalho faz uma breve abordagem das razes trigonomtricas, seguidas de um

estudo sobre arcos e crculos trigonomtricos, bem como das funes circulares, de suas vari-

aes e de seus respectivos grficos. As dedues das relaes recprocas so feitas de forma

geomtrica. As frmulas trigonomtricas de adio e transformao em produto, so deduzi-

das de modo bem simples. Abordam-se as equaes trigonomtricas de uma forma diferente e

finaliza-se com aplicaes.

Palavras-chave: Razes trigonomtricas, Equaes Trigonomtricas, Funes Circulares.

Abstract

This work makes a brief overview of the trigonometric ratios, followed by a study of arcs and

circles trigonometric and circular functions, their variations and their respective charts. Deduc-

tions are made of reciprocal relationships of geometric shape. The trigonometric formulas for

addition and transformation products, are deducted so simple. It addresses the trigonometric

equations in a dierent manner and ends with applications.

Keywords: Trigonometric Ratios, Trigonometric Equations, Circular Functions.

Sumrio

Lista de Figuras 10

Introduo 12

1 Um pouco da Histria da Trigonometria 15

2 Razes trigonomtricas em um tringulo retngulo 18

2.1 Seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3 Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Medidas dos Arcos e dos ngulos 24

3.1 O grau () . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2 O radiano (rad) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3 Comprimento de um arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.4 Circunferncia Orientada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.5 Arco Orientado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.6 Crculo Trigonomtrico ou Ciclo Trigonomtrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4 Funes Circulares 31

4.1 Seno e cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2 Tangente e cotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.3 Secante e cossecante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.4 Sinal das funes circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

8

4.5 Crescimento e Decrescimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.6 Arcos Simtricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.7 Reduo ao primeiro quadrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.8 Funes Peridicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.9 Arcos complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.10 Relaes Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.10.1 Semelhana de tringulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.11 Relaes trigonomtricas derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5 Frmulas trigonomtricas e operaes com arcos de funes trigonomtricas 50

5.1 Frmulas de Adio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.2 Arco duplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.3 Arco metade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.4 Frmulas de multiplicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6 Lei dos Senos e Lei do Cosseno 64

6.1 A Lei dos senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.2 A Lei do cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.3 Aplicaes da Lei do Cosseno para Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

7 Equaes Trigonomtricas 72

7.1 Equaes Trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

7.2 Equaes trigonomtricas elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

7.2.1 Resoluo da equao senx = t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737.2.2 Resoluo da equao cosx = t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747.2.3 Resoluo da equao t g x = t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

7.3 Equaes trigonomtricas que exigem certos artifcios . . . . . . . . . . . . . . . . 76

7.4 Uma equao clssica: asenx+bcosx = c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Consideraes Finais 82

Referncias 85

Lista de Figuras

1.1 Corda de arco duplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1 Tringulo retngulo ABC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 Quadrado de lado l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3 Tringulo equiltero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4 Ilustrao da terra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.5 Crculos tangentes externamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.6 Crculos tangentes externamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.1 Circunferncia orientada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2 Arco orientado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3 Crculo trigonomtrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30



4.2 Sinal das funes circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.3 Secante e cossecante de 45 no ciclo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.4 Tangente de t g2230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.5 Funo seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.6 Funo cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.7 Funo tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.8 Funo cotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.9 Funo secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.10 Funo cosecante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.11 Arcos simtricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

10

11

4.12 Eixo das tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.13 Tringulos semelhantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46



5.2 Crculo trigonomtrico (eixo rotacionado) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.3 Crculo trigonomtrico (coordenadas paramtricas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6.1 Tringulo acutngulo em A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.2 Tringulo obtusngulo em A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.3 Tringulo acutngulo em A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.4 Tringulo obtusngulo em A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.5 Tringulo (modelagem) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.6 Tringulo escaleno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.7 Vetor soma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Introduo

muito comum os estudantes, sobretudo aqueles de escolas pblicas, terem o primeiro

contato com o estudo da Trigonometria apenas na segunda srie do ensino mdio. As dificulda-

des no desenvolvimento desse assunto ocorrem com frequncia considervel. Acredita-se que

essa dificuldade, deve-se ao fato de os alunos terem pouco contato no ensino fundamental com

estudo de Geometria Plana. Tpicos como ngulos, congruncia e principalmente, semelhana

de tringulos, so de extrema relevncia para um bom incio no estudo da Trigonometria Plana.

Outro aspecto que deve ser considerado para que a aprendizagem da Trigonometria no

ocorra de modo consistente a abordagem feita por parte de muitos professores e por muitas

produes Matemticas que so disseminadas em nosso pas! O conhecimento das definies

que deveriam ser aplicadas em boa parte das demonstraes, seja das frmulas, seja das

relaes trigonomtricas, muitas vezes negligenciado em detrimento de certas "receitas" como

mero processo de memorizao. No correto afirmar que em Matemtica no se deva fazer

uso de artifcios que possibilitem o educando a assimilar determinados contedos por meio

de um processo mecnico, sobretudo num primeiro contato, porm, utilizar-se desse mtodo

como o nico ou o mtodo predominante, para que se crie um fictcio de que a aprendizagem

est ocorrendo de forma satisfatria, o que se prope discutir neste trabalho.

Um dos motivos do fracasso do ensino de Matemtica, est tradicionalmente

pautado em manipulaes mecnicas de tcnicas operatrias, resoluo de exer-

ccios, que so rapidamente esquecidos, assim como a memorizao de frmulas,

tabuada, regras e propriedades (PAIVA, 2009).

Est longe de se esgotar as discusses acerca da eficcia ou no das demonstraes no

processo ensino-aprendizagem. No especificamente de um ou outro assunto, mas sobre a

Matemtica de um modo geral. H quem defenda e aqueles que veem com preocupao a

metodologia de que se trabalhe a Matemtica numa perspectiva de demonstraes.

12

Introduo 13

A Matemtica uma cincia dedutiva: partindo de certas premissas, chega,

por um estrito processo de deduo, aos vrios teoremas que a constituem.

verdade que, no passado, as dedues matemticas eram com frequncia muito

destitudas de rigor; tambm verdade que o rigor um ideal dificilmente

alcanvel. No obstante, se faltar rigor em uma prova matemtica, ela ser, sob

esse aspecto defeituosa; no constitui defesa a alegao de que o senso comum

mostra ser o resultado correto, porquanto, se tivssemos de confiar nisso, melhor

seria abandonar completamente o argumento do que trazer a falcia em socorro

do senso comum. Nenhum apelo ao senso comum, ou ?intuio? ou qualquer

outra coisa que no a estrita lgica dedutiva, deve ser necessrio Matemtica

aps estabelecidas as premissas (RUSSEL, 1976).

Para alguns autores, o importante a adequao do nvel de abordagem e muitas vezes a

necessidade da diversificao dos dos mtodos utilizados nas demonstraes.

O desenvolvimento cognitivo dos estudantes deve ser levado em conta tal que a

prova seja apresentada em formas que sejam para eles potencialmente significa-

tivas. Isto requer que os educadores e os matemticos repensem a natureza da

prova matemtica e considerem o uso de diferentes tipos de prova de acordo com

o desenvolvimento cognitivo do indivduo (TALL apud BALACHEFF, 2004).

Por outro lado, temos autores que compreendem que a maior dificuldade no est nas

demonstraes propriamente ditas, mas sim na compreenso da necessidade de se demonstrar

implicaes lgicas para a veracidade de certas teorias.

O problema dos alunos com a demonstrao reside mais na falta de motivao

e de compreenso da respectiva funo do que na falta de competncia no ra-

ciocnio lgico, apontando estudos reveladores de que crianas muito novas so

capazes de raciocinar logicamente num contexto de situaes reais significativas

para elas (VILLIERS, 2001).

Neste trabalho faremos no primeiro captulo uma abordagem Histrica do surgimento, dos

"criadores", do desenvolvimento, e dos primeiros objetivos da Trigonometria.

No segundo captulo, faremos um breve estudo das razes trigonomtricas no tringulo

retngulo e definiremos semelhana de tringulos para fins didticos, pois esses tpicos sero

necessrios para uma melhor compreenso do desenvolvimento dos nossos objetivos.

14 Introduo

J no terceiro captulo, faremos um estudo sobre arco e ngulo central, bem como o estudo

das unidades de medida do arco como o grau e o radiano. Neste captulo ser evidenciado o

porqu da preferncia da unidade radiano em vez do grau.

A partir do quarto captulo, faremos as definies das funes circulares, o estudo dos

sinais, estudo de suas variaes e os esboos de seus grficos como funes peridicas. Ainda

no quarto captulo, veremos as relaes fundamentais e desenvolveremos a ideia das relaes

recprocas numa perspectiva geomtrica, utilizando a semelhana de tringulos.

No quinto captulo, faremos as dedues de vrias frmulas trigonomtricas: frmulas de

adio, arco duplo, arco metade e transformao em produto de modo simples, mas sem deixar

de lado o rigor que exige a Matemtica.

No sexto captulo, abordamos o clculo da rea de um tringulo usando o seno do ngulo

compreendido entre dois lados conhecidos. Deduzimos a Lei dos Senos utilizando a frmula

para a rea de um tringulo, apresentada anteriormente . Ainda no sexto captulo faremos

a deduo da Lei do Cosseno e ainda uma abordagem de soma de vetores, como aplicao

prtica da lei do cosseno .

Por fim, destinamos o stimo captulo para uma abordagem diferenciada no estudo das

equaes, sempre que possvel utilizando o que foi estudado nos captulos anteriores, objeti-

vando sempre uma busca constante dos tpicos j vistos, no intuito de fixarmos qualitativa-

mente os conhecimentos apresentados.

Captulo 1

Um pouco da Histria da Trigonometria

O presente captulo servir como embasamento histrico para o desenvolvimento da Trigono-

metria. Alm disso, traz fatos que auxiliam para um melhor entendimento de conceitos posteriores

na Trigonometria Plana. As notas histricas de Joo Bosco Pitombeira de Carvalho, contidas em

[5], apresentam importantes fases do desenvolvimento da trigonometria que serviram de suporte

para a construo deste captulo.

bem verdade que devido s necessidades na Astronomia, na navegao e na Geografia,

os conhecimentos acerca da trigonometria, primeiramente com tringulos esfricos (tringulos

sobre superfcie de uma esfera) datam, aproximadamente de 300 a.C.. Euclides, que viveu nessa

poca, desenvolveu em um de seus trabalhos, "o Fenmenos", estudos sobre Geometria esfrica.

Muitos contriburam para o desenvolvimento da Trigonometria: Aristarco de Samos, que

viveu em torno de 300 a.C., Apolnio de Perga que viveu em torno de 200 a.C., Teodsio, entre

outros.

Aristarco de Samos, em seu livro Sobre as Distncias do sol e da Lua", utilizou raciocnio

dedutivos corretos, contudo erros foram cometidos devidos aos dados experimentais de suas

observaes.

Deve-se a Hiparco de Nicia (que viveu em torno de 120 a.C.), o ttulo de fundador da

Trigonometria. No muito o que se sabe sobre a vida de Hiparco. Hiparco foi o primeiro a

determinar com preciso o nascer e o ocaso de vrias estrelas, usando uma tabela de cordas

que ele prprio calculou.

15

16 Um pouco da Histria da Trigonometria

Os matemticos gregos no usavam ainda o seno de um ngulo e sim a corda que determina

o arco duplo, conforme Figura 1.1.

Figura 1.1: Corda de arco duplo

Um pouco depois, Hiparco e Menelao de Alexandria que viveu em torno de 100 a. C., j

desenvolviam uma Trigonometria bem avanada, j com algumas demonstraes.

A Trigonometria grega atingiu seu pice com Ptolomeu1, j em 150 d.C.. Uma importante

obra de Ptolomeu foi o "Almagesto".

Ptolomeu deduziu expresses para sen(ab) e demonstrou para um ngulo agudo que

sen2A+ cos2A = 1.

Muito da Trigonometria trazida por Ptolomeu no "Almagesto" ainda persistiu at o Renasci-

mento.

Com os Hindus2, a Trigonometria tambm tinha por finalidade a Astronomia. A Trigonome-

tria hindu era essencialmente aritmtica, enquanto a grega era predominantemente geomtrica.

Os rabes introduziram a tangente, a cotangente, a secante e a cossecante, com o intuito

de facilitar os clculos.

A partir do Renascimento, a Trigonometria passou a ser utilizada em Cartografia e em

Topografia, como j propunha Fibonnaci por volta de 1180 a 1250, em sua obra, Prtica da

Geometria" de 1220.

1Cludio Ptolemeu: (90 d.C.-168 d.C.), foi um cientista grego que viveu em Alexandria, uma cidade do Egito.2Povos que habitavam o vale do rio Indo, situado entre o Paquisto e a ndia.

Um pouco da Histria da Trigonometria 17

Coprnico (1473-1543) produziu partes substanciais dedicadas Trigonometria e com demons-

trao de grande domnio do assunto.

George Joaquim Rtico (1514-1576) fundiu as ideias de Coprnico e Regiomontano e ainda

com suas prprias contribuies, produziu o mais completo tratado de Trigonometria at ento

publicado. O tratamento dispensado por Rtico assemelha-se como o que feito at hoje.

O matemtico francs Franois Vieta (1540-1603) sistematizou o estudo da Trigonometria

esfrica. Deduziu frmulas para sen(n) e cos(n), bem como,

sen sen= 2sen(2

).cos

(+2

).

Paralelamente, tambm na Europa, identidades como

2cosA.cosB = cos(A+B)+ cos(AB),

j estavam sendo utilizadas. Nessa poca j existiam boas tabelas trigonomtricas, com at 15

casas decimais.

A prostafrese (substituio de produtos por somas) antecedeu a ideia dos logaritmos como

tcnica para simplificar clculos. Para multiplicar nmeros com muitas casas decimais, aps

transformaes convenientes, eram usados tbuas de cossenos.

A partir de Galileu (1564-1642), Descartes (1596-1650) e Fermat (1601-1665), muito foi desen-

volvido no estudo das curvas.

A curva seno foi introduzida por Roberval (1602-1675), no livro Mecnica de Wallis (1616-

1703) publicado em 1670.

J nos sculos XVIII e XIX, as funes trigonomtricas passaram a ser vistas como essenciais

na resoluo de certos problemas na Matemtica e na Fsica. A introduo das sries de Fourier

evidenciou ainda mais a importncia das funes trigonomtricas na Anlise Matemtica

moderna e em vrias aplicaes.

A palavra Trigonometria vem do grego: trgonos, que significa tringulo", e mtron, me-

dida".

Captulo 2

Razes trigonomtricas em um tringulo

retngulo

As razes trigonomtricas so de grande importncia para o estudo da trigonometria, no que

tange ao tringulo retngulo e trigonometria no crculo. Sendo assim, sero aqui mostradas

estas relaes, alm da construo de uma breve relao de ngulos notveis, onde cabe ressaltar

que esta construo no encontrada na maior parte das bibliografias adotadas para o ensino

mdio ou fundamental, onde estes valores so dados, em geral, na forma de tabelas.

Consideremos o tringulo ABC abaixo, retngulo no vrtice A.

AB

C

a b

c

Figura 2.1: Tringulo retngulo ABC

Temos necessariamente que e so ngulos agudos. Os lados AB e AC so denominados

catetos (do grego, vertical ou perpendicular) e BC a hipotenusa (que significa linha estendida

por baixo).

Em relao ao ngulo agudo , o cateto AB dito adjacente enquanto o cateto AC dito

oposto. Em relao ao ngulo , o cateto AC dito adjacente enquanto o cateto AB dito

18

Razes trigonomtricas em um tringulo retngulo 19

oposto.

Definem-se em um tringulo retngulo, as seguintes razes trigonomtricas dos ngulos

agudos e .

2.1 Seno

Seno a razo entre o cateto oposto e a hipotenusa.

sen= ACBC

= ba

e sen= ABBC

= ca.

2.2 Cosseno

Cosseno a razo entre o cateto adjacente e a hipotenusa.

cos= ABBC

= ca

e cos= ACBC

= ba.

2.3 Tangente

Tangente a razo entre o cateto oposto e a cateto adjacente.

t g= ACAB

= bc

e t g= ABAC

= cb.

A tangente de um ngulo agudo pode ser obtida quando so conhecidos sen e cos.

Como j foi definido, t g= bc. Dividindo-se o numerador e o denominador por a" , teremos:

t g=b

ac

a

= sencos

.

Portanto,

t g= sencos

.

Alguns ngulos, como por exemplo, 30, 45 e 60, ocorrem com muita frequncia em

problemas iniciais de Trigonometria Plana. Com um pouco de conhecimento de Geometria

bsica, podemos obter os senos, cossenos e tangentes desses ngulos.

20 Razes trigonomtricas em um tringulo retngulo

Consideremos um quadrado de lado l . Sabemos que suas diagonais medem lp2 e ainda

dividem o quadrado em dois tringulos retngulos issceles conforme a Figura 2.2:

l

l

l

l

A B

CD

45o45o

lp2

Figura 2.2: Quadrado de lado l

No tringulo retngulo ABC obtido, temos:

sen45o = llp2= sen45o =

p2

2;

cos45o = llp2= cos45o =

p2

2;

t g45o = ll= t g45o = 1.

Consideremos agora um tringulo equiltero de lado l . Sabemos que sua altura h medelp3

2e divide o tringulo equiltero em dois tringulos retngulos congruentes, cujos

ngulos agudos so 30 e 60, conforme a Figura 2.3:

Figura 2.3: Tringulo equiltero


Para o tringulo retngulo AMC , temos:

sen30o =l

2l= l2.1

l= sen30o = 1

2;

cos30o =lp3

2l

= lp3

2.1

l= cos30o =

p3

2;

t g30o =l

2lp3

2

= l2.2

lp3= t g30o =

p3

3.

E ainda,

sen60o =lp3

2l

= lp3

2.1

l= sen60o =

p3

2;

cos60o =l

2l= l2.1

l= cos60o = 1

2;

t g60o =lp3

2l

2

= lp3

2.2

l= t g60o =p3.

O exemplo seguinte, motiva uma importante aplicao das razes trigonomtricas[5].

Exemplo 2.1 Seja um objeto de altura conhecida h. Mede-se o ngulo que faz a retaBC do

horizonte de B com o segmento vertical BO, Figura 2.4.

Figura 2.4: Ilustrao da terra

22 Razes trigonomtricas em um tringulo retngulo

Determine o raio aproximado da terra.

Resoluo:

O tringulo BCO retngulo em C . Tem-se:

sen = RR+h .

Da, segue-se que,

Rsen+hsen =R.

Isolando e pondo R em evidncia, teremos

R(1 sen)= hsen,

ou seja,

R = hsen1 sen .

Portanto, conhecendo-se h, e uma tabela de senos, teremos uma medida aproximada do

raio R da Terra.

Exemplo 2.2 Considere dois crculos de raios r e R , centrados em A e B , respectivamente, que

so tangentes externamente e cujas retas tangentes comuns formam um ngulo de 60o .

Figura 2.5: Crculos tangentes externamente

Qual a distncia entre as projees dos centros A e B sobre a tangente horizontal, em funo de

r ?


Resoluo:

Representando por A e B , respectivamente as projees dos centros A e B sobre a

tangente horizontal. Seja X um ponto do segmento BB , tal que AX seja paralelo a AB .

Temos que o tringulo BX A retngulo em X e o ngulo X AB mede 30o .

Figura 2.6: Crculos tangentes externamente

Aplicando a razo seno no tringulo BX A, temos:

sen30o = R rR+ r ,

ou seja,1

2= R rR+ r .

Pela propriedade fundamental das propores, obtemos 2R2r =R+ r , ou ainda, R = 3r .Como R = 3r , temos que AB =R+ r = 4r e BX =R r = 2r . Seja a distncia procurada d

de A a B , podemos obt-la pelo teorema de Pitgoras no tringulo BX A:

d2+ (2r )2 = (4r )2 = d2 = (4r )2 (2r )2 = 12r 2 = d =12r 2.

Portanto, a distncia procurada d = 2rp3.

Captulo 3

Medidas dos Arcos e dos ngulos

Neste captulo, estabelecemos as medidas de arco, comprimento de um arco e desenvolvemos

a ideia de crculo trigonomtrico. Estes elementos so indispensveis ao estudo das funes circu-

lares.

Sabe-se dos estudos da Geometria Plana, que um arco de circunferncia e um ngulo central

correspondente tm em comum o mesmo nmero como medida, sempre que for considerado

para a unidade de ngulo, o ngulo central correspondente unidade de arco.

De agora em diante, usaremos sempre a expresso arco quando nos referirmos a ngulo

central.

necessrio ento que seja estabelecida uma unidade de medida de arco.

Sabe- se da existncia de vrias unidades de medida de arco. Faremos o uso de duas das

mais utilizadas: o grau e o radiano, onde esta ltima com uma maior frequncia.

3.1 O grau ()

Considerada como uma medida sexagesimal - o arco que corresponde a1

90de um ngulo

reto ou a1

360da circunferncia. Cada 1 grau (1) subdivide-se em 60 minutos (60) e cada 1

minuto em 60 segundos (60).

Assim:

1 = 60 e 1 = 60.

24

Medidas dos Arcos e dos ngulos 25

3.2 O radiano (rad)

Considerada como unidade do sistema circular - o arco de circunferncia cujo compri-

mento coincide com a medida do raio da circunferncia que o contm.

Como o comprimento de uma volta de circunferncia dado por 2pir , segue que:

Comprimento Medida

2pir r 1r ad

Ou seja, = 2pi r ad . Assim, temos que o arco de uma volta tem por medida 2pi r ad .Naturalmente, sentimo-nos motivados a relacionar tais unidades.

Como o arco de uma volta corresponde a 360 e a 2pi r ad , teremos: 360 = 2pi r ad , oumais simplificadamente, 180 =pi r ad .

Com a utilizao de uma regra de trs simples, facilmente pode-se determinar a medida

correspondente do arco na outra unidade.

Vejamos os exemplos:

Exemplo 3.1 Converta 40 para radiano.

Resoluo:

Seja a medida do arco equivalente em radiano, temos:

180 pir ad40

Temos que

180.= 40.pir ad == 40pi

180r ad .

Simplificando, teremos: = 2pi9r ad .

Exemplo 3.2 Qual a medida em graus, minutos e segundos de 1r ad ?

Resoluo:

Seja a medida do arco equivalente em graus, minutos e segundos.

180 pir ad 1r ad

26 Medidas dos Arcos e dos ngulos

Temos que

pi.= 180 ==(180

pi

)= (57,29577951...) ,

ou ainda

= 57+0,29577951 .60 = 5717+ (0,746770784 ).60 = 571744,806 .

Dada a grande utilizao, conveniente que se conhea de forma mais imediata algumas

correspondncias:

30 = pi6r ad 45 = pi

4r ad 60 = pi

3r ad 90 = pi

2r ad

120 = 2pi3r ad 135 = 3pi

4r ad 150 = 5pi

6r ad 180 =pir ad

210 = 7pi6r ad 225 = 5pi

4r ad 240 = 4pi

3r ad 270 = 3pi

2r ad

300 = 5pi3r ad 315 = 7pi

4r ad 330 = 11pi

6r ad 360 = 2pir ad

3.3 Comprimento de um arco

Sempre que se tem um arco com medida em radiano, o comprimento desse arco obtido

imediatamente pelo produto da medida do arco pelo raio da circunferncia.

Seja l o comprimento de um arco de medida radianos numa circunferncia de raio r .

Teremos:

l =.r.

Muitos sero os casos, no decorrer deste texto, que faremos referncias a circunferncias

de raio unitrio, isto , quando r = 1. Nesses casos, o comprimento l do arco, identifica-secom sua medida em radianos, isto , l = unidades de comprimento. A preferncia daunidade radiano, se d exatamente por esse motivo, uma vez que fica fcil associar a cada

comprimento de arco, um nmero real correspondente, identicamente.

Caso a medida do arco seja dada em graus, tm-se duas possibilidades para a obteno de

seu comprimento:


Converter a medida do arco para radiano e, em seguida, efetuar o produto desse arco

pelo raio da circunferncia;

Recorrermos regra de trs simples:

Arco Comprimento

360 2pir l

Da, segue:

l = .pi.r180

.

Exemplo 3.3 Qual o comprimento de um arco de 72 em uma circunferncia cujo raio mede(10

pi

)cm?

Resoluo:

Seja l o comprimento do arco, teremos:

l = .pi.r180

=72.pi.

(10

pi

)180

= 720180

= 4cm.

Portanto, o comprimento procurado do arco l = 4cm.

Exemplo 3.4 Calcular o comprimento de um arco que mede 1,5r ad em uma circunferncia de

raio4

3m.

Resoluo:

Seja l o comprimento do arco, teremos:

l =.r = 1,5.43= 2m.

Portanto, o comprimento procurado do arco l = 2m.


3.4 Circunferncia Orientada

Seja uma circunferncia de centro O. Tomemos um ponto A nessa circunferncia. Para

determinarmos um arco com origem em A, podemos percorrer dois sentidos: o anti-horrio

(chamado de positivo) ou o horrio (chamado de negativo), conforme a Figura 3.1.Figura 3.1: Circunferncia orientada

Chama-se de circunferncia orientada, toda circunferncia na qual se estabelece um sen-

tido de deslocamento como sendo positivo. Em geral, utiliza-se o sentido positivo para a

representao dos arcos trigonomtricos.

3.5 Arco Orientado

Sejam dois pontos A e B distintos de uma mesma circunferncia orientada. Consideremos

o arco

AB de origem em A e extremidade em B , no sentido positivo. No necessariamente o

arco

AB ter medida inferior a 2pir ad ou 360

. O arco

AB pode representar um arco aps

uma, duas ou at um nmero grande de voltas na circunferncia orientada.

Figura 3.2: Arco orientado


Quando a medida do arcoAB vier precedida do sinal positivo (+), diz-se que a extremidadeB foi localizada percorrendo-se o sentido anti-horrio e quando vier precedida do sinal negativo

(), a extremidade B foi localizada percorrendo-se o sentido horrio.

Diz-se que dois arcos so cngruos quando possuem as mesmas extremidades, ainda que

sejam determinados em voltas distintas. Assim, se considerarmos o arco AB com medida ,teremos como congruentes a os arcos:

,+2pi,+4pi,+6pi, , {+2kpi, k Z}

ou, de forma equivalente,

,+360,+720,+1080, , {+k360, k Z}.

Resumidamente, pode-se escrever conforme [3].

AB (mod .2pi) ou AB (mod .360).Nota: Com respeito notao acima, vale recordar que a b(mod .r ), onde se l, a

congruente a b mdulo r , corresponde a dizer que r divide ab, ou, ab mltiplo de r .

Podemos dizer ento que, por exemplo:

780 60(mod .360) e 33pi4

pi4(mod .2pi).

D-se o nome de primeira determinao positiva ao menor dos arcos no negativo, cngruo

a um arco dado. Obviamente que a primeira determinao positiva deve obedecer

0< 2pir ad ou 0 < 360.

Nos dois ltimos casos, temos 60 epi

4r ad como primeira determinao positiva de 780 e de

33pi

4, respectivamente.


3.6 Crculo Trigonomtrico ou Ciclo Trigonomtrico

D-se o nome de crculo trigonomtrico a um crculo orientado de raio unitrio (r = 1).Seja um sistema cartesiano de eixos ortogonais Ox e Oy no crculo trigonomtrico de

centro O. A orientao que est indicada na Figura 3.3 continua sendo a positiva.Figura 3.3: Crculo trigonomtrico

Como o raio do crculo trigonomtrico r = 1, as coordenadas de A e A

sero (1,0) e

(1,0) enquanto que, as coordenadas de B e B

sero (0,1) e (0,1), respectivamente.

O ponto A sempre considerado origem dos arcos representados no crculo trigonomtrico.

Cada uma das quatro regies determinadas pelos eixos Ox e Oy denominada quadrante.

Por conveno ficam estabelecidos os quatro quadrantes como indicados na Figura 3.4.

Figura 3.4: Crculo trigonomtrico

Assim, as regies compreendidas entre os arcos AB , BA,AB e B A correspondem, res-pectivamente, ao 1o , 2o , 3o e 4o quadrantes.

Captulo 4

Funes Circulares

As funes circulares aqui definidas, so exploradas utilizando-se os conhecimentos de coor-

denadas cartesianas, um pouco de semelhana e ainda as definies das razes trigonomtricas

dadas para um tringulo retngulo, no Captulo 2. A abordagem das funes circulares neste

captulo, feita de um modo geral, mais de forma geomtrica que propriamente algbrica.

Seja P um ponto da circunferncia do crculo trigonomtrico, distinto de A. Fica ento

determinadoAP com origem A e extremidade P . Indicaremos por a medida do arcoAP .Tracemos duas retas tangentes (t e t ) circunferncia. A primeira passando em A e a

outra em B . Tracemos por sua vez uma terceira tangente (t ) circunferncia passando em

P , conforme descrito na Figura 4.1.


31

32 Funes Circulares

Sejam C e S respectivamente os pontos de interseco da terceira tangente com os eixos

Ox e Oy .

Sejam ainda T e T os pontos de interseco da retaOP com as tangentes t e t .

Naturalmente que P corresponde abscissa de P e P ordenada de P . Ficam assim

definidas as funes circulares.

4.1 Seno e cosseno

Definem-se por seno e cosseno do arco , como sendo a ordenada e a abscissa de sua

extremidade P , que representaremos por sen (seno de ) e cos (cosseno de ). Assim,

conforme a figura 4.1:

sen= P P =OP e cos= P P =OP .

O eixo Ox , suporte do segmento OP o eixo dos cossenos e o eixo Oy , suporte do

segmento OP o eixo dos senos.

Definio 4.1 (Funo Limitada) Uma funo f dita limitada, em seu domnio, quando sua

imagem est contida num intervalo , ou seja, Im f [a,b] , onde a e b R .

De acordo com a definio acima, temos que as funes seno e cosseno so limitadas.

4.2 Tangente e cotangente

Definem-se por tangente e cotangente do arco , como sendo respectivamente as medidas

dos segmentos AT e BT , que representamos por t g (tangente de ) e cotg (cotangente

de ). Assim, conforme a figura 4.1:

t g= AT e cotg=BT .

Diz-se tambm que o eixo suporte do segmento AT o eixo das tangentes e o eixo suporte

do segmento BT o eixo das cotangentes.

Funes Circulares 33

4.3 Secante e cossecante

Definem-se por secante e cossecante do arco , como sendo respectivamente as medidas

dos segmentos OT e OT , que representamos por sec (secante de ) e cossec (cossecante

de ). Assim, conforme a figura 4.1:

sec=OT e cossec=OT .

A secante e a cossecante do arco tambm correspondem, respectivamente, abscissa do

ponto S e ordenada do ponto C , conforme na Figura 4.1. Assim:

sec=OS e cossec=OC .

4.4 Sinal das funes circulares

Para conhecermos o sinal das funes, basta supormos a extremidade P do arco AP , emcada um dos quadrantes.

Percebe-se que as funes duas a duas tm o mesmo sinal:

(i) As funes seno e cossecante so positivas no primeiro e segundo quadrante e negativas

no terceiro e quarto quadrante;

(ii) As funes cosseno e secante so positivas no primeiro e quarto quadrante e negativas

no segundo e terceiro quadrante;

(iii) As funes tangentes e cotangente so positivas no primeiro e terceiro quadrante e

negativas no segundo e quarto quadrante. Resumindo, teremos:Figura 4.2: Sinal das funes circulares

34 Funes Circulares

Exemplo 4.2 Mostre, geometricamente, que sec45 = cossec45 =p2.

Resoluo:

Vejamos a circunferncia trigonomtrica e os pontos assinalados, como mostra a Figura 4.3:Figura 4.3: Secante e cossecante de 45

no ciclo

Para o arco

AP = 45

, o tringulo OAT retngulo issceles. Nesse caso teremos T

e T

coincidentes, o que acarreta em

sec45

= cossec45

,

pois ocorre OT =OT

.

Fazendo OT =OT

= k e aplicando o teorema de Pitgoras no tringulo OAT , obtm-se:

k

2

= 1

2

+1

2

= 2= k =

p

2.

Portanto,

sec45

= cossec45

=

p

2.

Exemplo 4.3 Mostre, geometricamente, que t g22

30

=

p

21.

Resoluo:

Vejamos a circunferncia trigonomtrica e os pontos assinalados, como mostra a Figura 4.4:

Funes Circulares 35Figura 4.4: Tangente de t g22

30

Construindo-se

AP = 45

, segue que t g45

= 1, imediatamente, pois o tringulo OAT

issceles o que resulta em AT =OA = 1.

Construindo-se OT

1

como bissetriz interna ao ngulo A

OT , segue que:

A

OT

1

= 22

30

.

Fazendo t g22

30

= AT

1

= z , teremos:

T

1

T = 1 z.

Vale lembrar que OT =

p

2 e OA = 1. Utilizando-se o teorema da bissetriz Interna, segue

que:

p

2

1 z

=

1

z

z

p

2= 1 z z =

1

p

2+1

z =

1.(

p

21)

(

p

2+1)(

p

21)

.

Segue que:

z =

p

21.

Portanto, t g22

30

=

p

21, como queramos demonstrar.

Mais adiante, veremos como calcular t g22

30

, com o uso de frmulas.

36 Funes Circulares

4.5 Crescimento e Decrescimento

A variao do seno pode ser resumida assim:

x 0pi

2pi

3pi

22pi

senx 0 1(mx)

""

0

##

1(mn) 0

var iao

Funes Circulares 37Figura 4.6: Funo cosseno

O grfico da funo cosseno chamado senide.

Nota: Os grficos das funes seno e cosseno correspondem mesma curva, por isso

recebem o mesmo nome.

Para fazermos os grficos completos de y = senx e de y = cosx , deveramos repetir inde-

finidas cpias desses esboos esquerda e direita, fazendo com que x varie em todos os

reais.

A variaes da tangente e da cotangente podem ser resumida conforme o quadro abaixo:

x 0

pi

2

pi

3pi

2

2pi

tgx 0 0 0

var iao

@@

@@

??

>>

cotgx

0

0

var iao

Podemos concluir que a funo y = t g x sempre crescente enquanto y = cotg x sempre

decrescente.

O grfico de y = t g x a tangentide.

38 Funes Circulares

Figura 4.7: Funo tangente

O grfico de y = cotg x a cotangentide.

Figura 4.8: Funo cotangente

Funes Circulares 39

Conclui-se ainda que a tangente e a cotangente variam no intervalo ilimitado (,+).As variaes da secante e da cossecante podem ocorrer da seguinte forma:

x 0pi

2pi

3pi

22pi

secx 1 1

!!

!!

1

var iao

@@ >>

cossecx

1 1

!!

var iao

>> ==

O grfico de y = secx chamado de secantide.Figura 4.9: Funo secante

40 Funes Circulares

O grfico de y = cossecx chamado de cossecantide.Figura 4.10: Funo cosecante

Conclui-se ainda que a secante e a cossecante variam no intervalo (,1] [1,+).

Do exposto acima, vimos que as funes seno e cosseno so limitadas, enquanto as funes,

secante, cossecante, tangente e cotangente so ilimitadas.

Exemplo 4.4 Determine o valor mximo e o mnimo assumidos pelas funes:

(a) f (x)= 4+3senx

(b ) f (x)=2+4cosx

(c) f (x)= sen(e

x

)

Resoluo (a):

Vimos que a funo seno limitada no intervalo [-1,1], ou seja, 1 senx 1. Assim sendo,

multiplicando-se por 3 todos os membros dessa expresso, teremos:

3 3senx 3.

Adicionando-se 4, a todos os termos da expresso acima, segue:

Funes Circulares 41

43 4+3senx 4+3= 1 4+3senx 7.

Portanto, o valor mnimo ser 1 e o valor mximo ser 7.

Resoluo (b):

Vimos que a funo cosseno limitada no intervalo [-1,1], ou seja, 1 cosx 1. Assimsendo, multiplicando-se por 4 todos os membros dessa expresso, teremos:

4 4senx 4.

Adicionando-se 2, a todos os termos da ltima expresso, segue,

(2)42+4senx (2)+4=62+4senx 2.

Portanto, o valor mnimo ser 6 e o valor mximo ser 2.Resoluo (c):

Teremos agora uma funo com um coportamento diferente quando analisamos x < 0 oux suficientemente grande.

Para x suficientemente grande, a expresso ex , certamente vai para zero e consequente-

mente, sen(ex)= sen0= 0.Para x < 0, a expresso ex ter variao em R+, o que corresponde a afirmar que sen(ex)

estar limitado no intervalo [-1,1].

Portanto, o valor mnimo ser 1 e o valor mximo ser 1.

Exemplo 4.5 Determine os possveis valores de k para que a expresso

cosx = 2k35

esteja bem definida.

Resoluo:

J vimos que cosx deve estar compreendido entre 1 e 1, isto , 1 cosx 1. Substi-tuindo cosx por

2k35

, segue:

1 2k35

1.

42 Funes Circulares

Multiplicando por 5 a ltima expresso, teremos:

5 2k3 5=5+3 2k 5+3

onde 2 2k 8=1 k 4.Portanto, os possveis valores de k so tais que 1 k 4.

4.6 Arcos Simtricos

Dois arcos orientados so simtricos quando a soma de suas medidas algbricas nula,

isto , zero.

Denota-se por x a medida algbrica do arco simtrico a x .Figura 4.11: Arcos simtricos

Definio 4.6 Uma funo f dita par quando qualquer que seja x R, tem-se f (x)= f (x) e

dita mpar quando para todo x R, tem-se f (x)= f (x) .

Conforme essa definio, as funes senx, tgx, cotg x e cossecx so mpares, enquanto cosx

e secx so pares. Assim, ocorre que:

sen(60

)=sen60

cos(pix)= cos(xpi)

cotg (ab)=cotg (ba)

Funes Circulares 43

4.7 Reduo ao primeiro quadrante

de extrema importncia a reduo da extremidade de um arco ao primeiro quadrante,

pois dessa forma, os clculos das funes circulares j vistas, ficam reduzidos aos clculos das

funes para um arco de 0 r ad api

2r ad , a menos do sinal.

Os valores associados s funes trigonomtricas sero os mesmos em valor absoluto

quando da reduo ao primeiro quadrante. Resta ento a preocupao do sinal correto do

valor da funo associado extremidade do arco original.

Para reduzirmos um arco ao primeiro quadrante, pode-se proceder das seguintes maneiras:

(i) Obtm-se a primeira determinao positiva do arco dado, o que nos leva determinao

do quadrante da extremidade do arco. Caso j o seja do primeiro quadrante, nada mais h a

fazer, pois tal arco j estar reduzido ao primeiro quadrante;

(ii) Caso a extremidade recaia no segundo, terceiro ou quarto quadrante, iguala-se a primeira

determinao positiva, respectivamente a pi x ou (180), pi+ x ou (180 x) , 2pi x ou(360 x) conforme o arco esteja em radiano ou grau. A medida assim obtida ser o arcocorrespondente ao arco dado, no primeiro quadrante.

Exemplo 4.7 Obtenha o arco x do primeiro quadrante correspondente a:

(a)22pi

3r ad

(b) 2295

Resoluo (a):

A primeira determinao do arco22pi

3r ad obtida da seguinte forma:

22pi

3= 18pi

3+ 4pi

3= 6pi+ 4pi

3= 3.2pi+ 4pi

3.

O que quer dizer que o arco22pi

3r ad cngruo a

4pi

3r ad e = 4pi

3r ad a primeira

determinao positiva. Como a extremidade do arco4pi

3r ad est no terceiro quadrante,

devemos igual-lo a pi+x . Assim:

pi+x = 4pi3= x = pi

3.

44 Funes Circulares

Portanto, o arco procurado x = pi3.

Resoluo (b):

Dividindo-se o arco 2295 por 360, obtm-se o quociente 6 ( que corresponde ao nmero

de voltas) e resto 135 que a primeira determinao positiva. Como a extremidade de 135

do segundo quadrante, deve-se fazer 135 = 180x = x = 45.Portanto, o arco procurado x = 45.

Exemplo 4.8 Mostre que:

(a) sen(451,75pi)=p2

2

(b) t g (361,8pi)=t g pi5

Resoluo (a):

sen(451,75pi)= sen(450pi+1,75pi)= sen(1,75pi)= sen(7pi

4

).

Como7pi

4r ad tem extremidade no quarto quadrante, seu correspondente no primeiro

quadrante ser7pi

4= 2pix, ou seja, x = pi

4r ad .

Portanto, sen(451,75pi)=sen(pi4)=

p2

2.

Resoluo (b):

Conforme a figura 4.12,Figura 4.12: Eixo das tangentes

Funes Circulares 45

temos que:

t g (361,8pi)= t g (360pi+1,8pi)= t g (1,8pi)= t g 9pi5=t g (9pi

5)=t g (2pi 9pi

5),

ou seja, t g (361,8pi)=t g pi5.

4.8 Funes Peridicas

Toda funo de uma varivel x , em que f (x) repete seus valores em ciclos igualmente

intervalados, chamada de peridica. O menor intervalo de valores de x que corresponde a

um ciclo completo de valores chamado perodo P da funo.

Pelos grficos vistos anteriormente, fica claro que as funes senx, cosx, secx e cossecx

tm perodo 2pi enquanto t g x e cotg x tm perodo pi.

Para funes mais gerais como, por exemplo,

f (x)= a+b.sen(cx+d) ou f (x)= a+b.cos(cx+d),

com c > 0, teremos o perodo dado pela expresso P = 2pic.

Demonstrao:

Supondo que um perodo inicia-se em x1 e completa-se em x2, teremos P = x2x1.Fazendo cx1+d = 0 e cx2+d = 2pi, segue-se que:

x1 =dc

e x2 = 2pidc

.

O que nos conduz a: P = x2x1 = 2pidc

(dc

)= 2pi

c.

Logo, teremos P = 2pic.

De modo muto parecido, as funes mais gerais que envolvem tangente e cotangente,

f (x)= a+b.t g (cx+d) ou f (x)= a+b.cotg (cx+d),

com c > 0, tero o perodo dado pela expresso P = pic.

46 Funes Circulares

4.9 Arcos complementares

Dois arcos a e b so complementares quando a soma algbrica de suas medidas 90 oupi

2r ad . Sejam a e b, dois arcos complementares, tm-se:

cosb = sena; cossecb = seca; cotgb = t g a.

Em outros termos, as funes cosx , cossecx e cotg x so co-funes, respectivamente a

senx, secx e t g x . As funes circulares de um arco so iguais s respectivas co-funes do

arco complementar.

4.10 Relaes Fundamentais

4.10.1 Semelhana de tringulos

Antes de trabalharmos as relaes fundamentais da trigonometria, vale recordar a definio

de semelhana de tringulos.

Definio 4.9 Dois tringulos so semelhantes se, e somente se, possuem os trs ngulos ordena-

damente congruentes e os lados homlogos proporcionais.

Figura 4.13: Tringulos semelhantes

Pela definio dada, temos:

A

A ,

B

B e

C

C ; e ainda:

a

a

=

b

b

=

c

c

= k , onde k

chamado de razo de semelhana.

A semelhana de tringulos essencial para o estudo da Trigonometria.

Funes Circulares 47

As cinco relaes trigonomtricas que sero deduzidas a seguir so consideradas funda-

mentais:


Vimos que OP

= cos, OP

= P

P = sen, AT = t g, BT

= cotg, OT =OS = sec e

OT

=OC = cossec.

(i) Para todo R, tem-se sen

2

+ cos

2

= 1.

Pelo teorema de Pitgoras no tringulo retngulo OP

P acima, teremos:

(

P

P

)

2

+

(

OP

)

2

=

(

OP

)

2

= |sen|

2

+|cos|

2

= 1.

Como |x|

2

= x

2

; x R, tem-se:

sen

2

+ cos

2

= 1. (F

1

)

(ii) Sabemos que os tringulos OP

P e OAR so retngulos e semelhantes. Temos pela

semelhana:

AT

P

P

=

OT

OP

=

OA

OP

=

|t g|

|sen|

=

|sec|

1

=

1

|cos|

.

Da, segue:

|t g|

|sen|

=

1

|cos|

= |t g| =

|sen|

|cos|

.

48 Funes Circulares

Como t g tem sempre o mesmo sinal que o quocientesen

cos, podemos concluir que:

t g= sencos

, 6= pi2+k.pi;k Z (F2)

Podemos ter ainda:

|sec| = 1|cos| .

Como sec tem sempre o mesmo sinal que o quociente1

cos, podemos concluir que:

sec= 1cos

; 6= pi2+k.pi;k Z. (F3)

(iii) Por fim, sabemos que os tringulos OP P e OB tambm so retngulos e semelhantes.

Teremos:BT

P P= OBOP

= OT

OP= |cotg||cos| =

1

|sen| =|cossec|

1.

Da, segue:

|cotg| = |cos||sen| .

Como cotg tem sempre o mesmo sinal que o quocientecos

sen, podemos concluir que:

cotg= cossen

; 6= k.pi;k Z. (F4)

Podemos ter ainda,

|cossec| = 1|sen| .

Como cossec tem sempre o mesmo sinal que o quociente1

sen, podemos concluir que:

cossec= 1sen

; 6= k.pi;k Z. (F5).

4.11 Relaes trigonomtricas derivadas

Destacaremos trs relaes derivadas das fundamentais:

A cotangente de um arco x igual ao inverso da tangente do arco x sempre que ocorrer

Funes Circulares 49

6= pi2 +k.pi;k Z e 6= k.pi;k Z.Multiplicando-se membro a membro os termos das relaes fundamentais (F2) e (F4),

obteremos:

t g.cotg= sencos

.cos

sen,

donde

cotg= 1t g

, 6= pi2+k.pi;k Z e 6= k.pi;k Z. (D1)

O quadrado da secante de um arco x igual a uma unidade somada ao quadrado da

tangente do arco x .

Elevando-se ao quadrado ambos os membros da relao fundamental (F2), teremos:

t g 2= sen2

cos2.

Substituindo sen2 por 1 cos2, na expresso acima, chega-se a:

t g 2= sec21,

ou ainda

sec2= 1+ t g 2. (D2)

O quadrado da cossecante de um arco x igual a uma unidade somada ao quadrado da

cotangente do arco x .

Elevando-se ao quadrado ambos os membros da relao fundamental (F4), teremos:

cotg 2= cos2

sen2.

Substituindo cos2 por 1 sen2, na expresso acima, chega-se a:

cotg 2= cossec21,

ou ainda

cossec2= 1+ cotg 2. (D3)

Captulo 5

Frmulas trigonomtricas e operaes

com arcos de funes trigonomtricas

As frmulas trigonomtricas serviro de subsdio para a aquisio de novos valores para as

funes trigonomtricas, a partir de alguns j conhecidos. O domnio algbrico dessas relaes

tm por consequncia, uma compreenso ampliada na utilizao de tcnicas de resolues de

equaes trigonomtricas e de outros problemas relacionados.

5.1 Frmulas de Adio

Para obtermos uma das frmulas de adio, usaremos inicialmente o teorema de Pitgoras

para determinarmos a distncia entre dois pontos de um plano (x1, y1) e (x2, y2), que dada

por: (x2x1)2+ (y2 y1)2.

Consideremos no crculo trigonomtrico os pontos P e Q tais que

AP = a e AQ = b.Sabemos que:

P (cosa, sena),Q(cosb, senb) e A(1,0)

.

50

Frmulas trigonomtricas e operaes com arcos de funes trigonomtricas 51


Chamando de d , a distncia entre os pontos P e Q , teremos:

d =

(cosb cosa)

2

+ (senb sena)

2

= d

2

= (cosb cosa)

2

+ (senb sena)

2

.

segue que:

d

2

= cosb

2

2cosa.cosb+ cos

2

a+ senb

2

2sena.senb+ sen

2

a.

Lembrando-se da relao fundamental sen

2

x + cos

2

x = 1, podemos reduzir a expresso

acima para:

d

2

= 22(cosa.cosb+ sena.senb).

Fazendo-se uma mudana de coordenadas com uma rotao dos eixos Ox e Oy de um

arco de medida b, para que o novo eixo Ox

contenha Q , as novas coordenadas de Q sero

(1,0) e de P sero:

(cos(ab), sen(ab)).

52 Frmulas trigonomtricas e operaes com arcos de funes trigonomtricas

Figura 5.2: Crculo trigonomtrico (eixo rotacionado)

A distncia de P a Q tambm ser

d

2

= [cos(ab)1]

2

+ [sen(ab)0]

2

= d

2

= cos(ab)

2

2cos(ab)+1+ sen

2

(ab).

segue que, d

2

= 22cos(ab).

Igualando os dois valores de d

2

, teremos:

22(cosa.cosb+ sena.senb)= 22cos(ab).

Da, temos que:

cos(ab)= cosacosb+ senasenb. (1).

Substituindo b por b em (1), teremos:

cos(a+b)= cos[a (b)]= cosacos(b)+ senasen(b),

ou seja

cos(a+b)= cosacosb senasenb. (2).


Sabe-se que sen(a+b)= cos[pi2 (a+b)

]. Assim:

sen(a+b)= cos[(pi

2a)b)

]= cos

(pi2a)cosb+ sen

(pi2a)senb.

Da, conclui-se que:

sen(a+b)= senacosb+ senbcosa. (3).


sen(ab)= sen(a+ (b))= senacos(b)+ sen(b)cosa = senacosb senbcosa. (4).

Nas dedues acima usamos os conhecimentos de paridade, aonde vimos que

sen(x)=senx e cos(x)= cosx

e a propriedade de arcos complementares.

Vimos nas relaes fundamentais que t g x = senxcosx

, sempre que x 6= pi2+k.pi;k Z. Podemos

ento fazer t g (a+b)= sen(a+b)cos(a+b) . Da, segue:

t g (a+b)= senacosb+ senbcosacosacosb senasenb .

Dividindo-se o numerador e o denominador por cosacosb, teremos:

t g (a+b)=senacosb

cosacosb+ senbcosacosacosb

cosacosb

cosacosb senasenbcosacosb

=sena

cosa+ senbcosb

1 senasenbcosacosb

ou, de forma equivalente:

t g (a+b)= t g a+ t gb1 t g a.t gb . (5).



t g (ab)= t g (a+ (b))= t g a+ t g (b)1 t g a.t g (b) =

t g a t gb1+ t g a.t gb (6).

5.2 Arco duplo

Muitas vezes conveniente que se tenha expresses para sen2a, cos2a e t g2a, quando j

so conhecidas as funes em a . Para isso, basta fazermos b = a nas frmulas (2), (3) e (5),como segue:

cos(2a)= cos(a+a)= cosa.cosa sena.sena = cos2a sen2a.

Portanto,

cos(2a)= cos2a sen2a = 2cos2a1= 12sen2a. (7).

Para sen2a, teremos:

sen(2a)= sen(a+a)= senacosa+ senacosa = 2senacosa.

Portanto,

sen(2a)= 2senacosa. (8).

Para t g2a, teremos:

t g (2a)= t g (a+a)= t g a+ t g a1 t g a.t g a =

2t g a

1 t g 2a .

Portanto,

t g (2a)= 2t g a1 t g 2a . (9).

As relaes (7), (8) e (9), so conhecidas como frmulas de arco duplo.

Uma importante consequncia das frmulas de arco-duplo a possibilidade de deduzirmos

expresses racionais para senx, cosx e t g x , isto , sem o uso de radicais, em termos de um


parmetro t , sendo t = t g (x2), como veremos abaixo.

Pela frmula (8),

senx = 2sen(x2

).cos(x2

)=

2sen(x2

).cos(x2

)sen2

(x2

)+ cos2

(x2

) .

Dividindo-se o numerador e o denominador por cos2(x2

), teremos

senx =

2sen(x2

).cos(x2

)cos2

(x2

)sen2

(x2

)cos2

(x2

) + cos2(x2

)cos2

(x2

).

Da, segue que

senx =2t g(x2

)1+ t g 2

(x2

) ,ou ainda

senx = 2t1+ t2 .

Pela frmula (7),

cosx = cos2(x2

) sen2

(x2

)=cos2

(x2

) sen2

(x2

)cos2

(x2

)+ sen2

(x2

) .

Dividindo-se o numerador e o denominador por cos2(x2

), teremos

cosx =

cos2(x2

)cos2

(x2

) sen2(x2

)cos2

(x2

)cos2

(x2

)cos2

(x2

) + sen2(x2

)cos2

(x2

).


Da, segue que

scosx =1 t g 2

(x2

)1+ t g 2

(x2

) ,ou ainda

senx = 1 t2

1+ t2 .

Pela frmula (9), de forma mais direta, teremos:

t g x =2t g(x2

)1 t g 2

(x2

) ,ou ainda

t g x = 2t1 t2 .

Estas ltimas expresses nos permitem descrever de forma parametrizada, os pontos do

crculo trigonomtrico com funes racionais de um parmetro t , conforme representado na

Figura 5.3

Figura 5.3: Crculo trigonomtrico (coordenadas paramtricas)


5.3 Arco metade

Pode-se ainda determinar expresses que permitam calcular cos(a2

), sen

(a2

)e t g

(a2

),

quando j so conhecidas as funes em a. Para isso, utilizaremos a frmula (7), substituindo

2a por a como segue:

cosa = cos2(a2

) sen2

(a2

),

que equivalente a:

cosa = cos2(a2

)[1 cos2

(a2

)]= 2cos2

(a2

)1.

Isolando cos(a2

), teremos:

cos(a2

)=1+ cosa

2. (10).

A frmula cosa = cos2(a2

) sen2

(a2

), , tambm equivalente a

cosa =[1 sen2

(a2

)] sen2

(a2

)= 12sen2

(a2

).

Isolando sen(a2

), teremos:

sen(a2

)=1 cosa

2. (11).

Para obtermos t ga

2, faremos uso das expresses (10) e (11) e da relao

t ga

2=sen

a

2

cosa

2

.

Assim:

t ga

2=

1 cosa

21+ cosa

2

.


Portanto, teremos:

t ga

2=1 cosa1+ cosa . (12).

As relaes (10), (11) e (12), so conhecidas como frmulas de arco-metade.

Exemplo 5.1 Determine o valor de:

(a) sen75 (b) cos105 (b) t g15

Resoluo (a):

Fazendo sen75 = sen(45+30), teremos:

sen75 = sen(45+30)= sen45.cos30+ sen30.cos45.

Substituindo os valores j conhecidos, segue:

sen75 =p2

2.

p3

2+ 12.

p2

2.

Logo,

sen75 =p6+p24

.

Resoluo (b).

Fazendo cos105 = cos(60+45), teremos:

cos105 = cos(60+45)= cos60.cos45 sen60.sen45.


cos105 = 12.

p2

2p3

2.

p2

2.

Logo,

cos105 =p2p64

.

Resoluo(c).


Fazendo t g15 = t g (6045), teremos:

t g15 = t g (6045)= t g60 t g45

1+ t g60.t g45 .


t g15 =p31

1+p3.1 =p31p3+1.

Racionalizando o denominador, teremos:

t g15 =p31p3+1.

p31p31 =

42p32

.

Logo,

t g15 = 2p3.

Exemplo 5.2 Sabendo que x um arco do primeiro quadrante e t g x+ cotg x = 4, determine ovalor de sen2x .

Resoluo:

Pode-se reescrever t g x+ cotg x = 4 em termos de senx e cosx , assim:

t g x+ cotg x = 4= senxcosx

+ cosxsenx

= 4= sen2x+ cos2x

senxcosx= 4= 1

senxcosx= 4.

Segue que 4senxcosx = 1= 2.(2senxcosx)= 1= 2senxcosx = 12= sen2x = 1

2.

Exemplo 5.3 Sabendo que senx cosx = 0,6, calcule o valor de cos2x .

Resoluo:

Elevando-se ao quadrado ambos os membros da igualdade senx cosx = 0,6, segue:

(senx cosx)2 = (0,6)2 = sen2x2senxcosx+ cos2x = 0,36.

Da, temos que:

sen2x = 10,36= 0,64.


Substituindo sen2x = 0,64, na relao sen22x+ cos22x = 1, segue:

(0,64)2+ cos22x = 1= cos22x = 10,4096= cos22x = 1 256625

.

Logo,

cos22x = 369625

= cos2x =369

625.

Portanto:

cos2x =2p41

25.

Exemplo 5.4 Calcule o valor de t g2230.

Resoluo:

Sabe-se que 2230 = 45

2. Aplicando a frmula de nmero (12) e sabendo que cos45 =

p2

2,

teremos:

t g2230 = t gp2

2=

1

p2

2

1+p2

2

=2p22+p2 =

2p22+p2.

2p22p2 =

2p2p2

.

Racionalizando o denominador, segue que:

t g2230 =p21.

5.4 Frmulas de multiplicao

Em muitos casos conveniente transformarmos uma soma ou diferena de funes trigo-

nomtricas na forma de produto.

Sejam os arcos trigonomtricos p e q , quaisquer. Podemos escrever p = a+b e q = ab,e, assim, a = p+q

2e b = pq

2.

Com o auxlio dessas expresses, podem-se transformar em produto:

senp+ senq, senp senq, cosp+ cosq, cosp cosq, t g p+ t g q e t g p+ t g q.


Assim:

senp+senq = sen(a+b)+sen(ab)= senacosb+senbcosa+senacosbsenbcosa = 2senacosb.

Logo,

senp+ senq = 2sen(p+q

2

)cos(pq

2

). (13).

Portanto, a soma dos senos de dois arcos igual ao duplo produto do seno da semi-soma

desses arcos pelo cosseno da semi-diferena desses arcos.

Por outro lado,

senpsenq = sen(a+b)sen(ab)= senacosb+senbcosasenacosb+senbcosa = 2senbcosa.

Logo,

senp senq = 2sen(pq

2

)cos(p+q

2

). (14).

Portanto, a diferena dos senos de dois arcos igual ao duplo produto do seno da semi-

diferena desses arcos pelo cosseno da semi-soma desses arcos.

Temos tambm que:

cosp+cosq = cos(a+b)+cos(ab)= cosacosbsenasenb+cosacosb+senasenb = 2cosacosb.

Logo,

cosp+ cosq = 2cos(p+q

2

)cos(pq

2

). (15).

Portanto, a soma dos cossenos de dois arcos igual ao duplo produto do cosseno da

semi-soma desses arcos pelo cosseno da semi-diferena desses arcos.

Temos tambm que:

cospcosq = cos(a+b)cos(ab)= cosacosbsenasenbcosacosbsenasenb =2senasenb.

Logo,

cosp cosq =2sen(p+q

2

)sen(pq

2

). (16).


Portanto, a diferena dos cossenos de dois arcos igual ao duplo produto negativo do seno

da semi-soma desses arcos pelo seno da semi-diferena desses arcos.

Finalmente, temos:

t g p+ t g q = senpcosp

+ senqcosq

= senpcosq + senqcospcospcosq

= sen(p+q)cospcosq

. (17).

Temos tambm que:

t g p t g q = senpcosp

senqcosq

= senpcosq senqcospcospcosq

= sen(pq)cospcosq

. (18).

Exemplo 5.5 Simplifique as expresses:

(a)senx+ senycosx+ cosy (b)

cosx senysenx seny

Resoluo (a).

Aplicando as frmulas (13) no numerador e (15) no denominador, teremos:

senx+ senycosx+ cosy =

2sen(x+ y

2

)cos(x y

2

)2cos

(x+ y2

)cos(x y

2

) = sen(x+ y

2

)cos(x+ y

2

) ,ou seja:

senx+ senycosx+ cosy = t g

(x+ y2

).

Resoluo(b).

Aplicando as frmulas (16) no numerador e (14) no denominador, teremos:

cosx senysenx seny =

2sen(x+ y

2

)sen(x y

2

)2sen

(x y2

)cos(x+ y

2

) = sen(x+ y

2

)cos(x+ y

2

) ,ou seja:

senx+ senycosx+ cosy =t g

(x+ y2

).

Exemplo 5.6 Transforme em produto a expresso 1+ cos2x+ cos4x+ cos6x .


Resoluo:

Lembrando que cos0 = 1, podemos escrever a expresso acima na forma cos0+ cos2x +cos4x+ cos6x . Associando-se os dois primeiros termos e os dois ltimos e ainda aplicando afrmula (15) nos dois parnteses, teremos:

cos0+ cos2x+ cos4x+ cos6x = (cos0+ cos2x)+ (cos4x+ cos6x)= 2cos

(0+2x2

)cos

(02x2

)+2cos

(4x+6x

2

)cos

(4x6x

2

)= 2cosxcos(x)+2cos5xcos(x)= 2cosxcosx+2cos5xcosx= 2.cosx[cosx+ cos5x]= 2cosx.2cos

(x+5x2

)cos

(x5x2

)= 2cosx.2cos3xcos(2x).

Assim:

1+ cos2x+ cos4x+ cos6x = 4cosxcos2xcos3x.

Captulo 6

Lei dos Senos e Lei do Cosseno

Este captulo de grande relevncia, sobretudo para a resoluo de problemas que envolvem

tringulos, bem como nos estudos de vetores, que no ensino mdio, tem forte ocorrncia no estudo

de certas grandezas vetoriais na Fsica.

6.1 A Lei dos senos

Para demonstrarmos que os comprimentos dos lados de um tringulo qualquer so propor-

cionais aos senos dos ngulos opostos, usaremos o fato de que a rea de um tringulo ABC

dada por S = 12bcsen A, onde b e c so os comprimentos dos lados formadores do ngulo A.

A partir da frmula clssica para a rea de um tringulo, demonstraremos a veracidade da

frmula acima.Figura 6.1: Tringulo acutngulo em A

Figura 6.2: Tringulo obtusngulo em A

(i) Se agudo (Figura 6.1) temos, sen= hc h = c.sen. Substituindo h em S, segue:

64

Lei dos Senos e Lei do Cosseno 65

S = 12bh = 1

2bcsen A;

(ii) obtuso (Figura 6.2), e lembrando que sen(180 A)= sen A, temos

S = 12bh = 1

2bcsen(180 A)= 1

2bcsen A;

(iii) Se reto (Figura 6.1), e lembrando que sen90 = 1, temos

S = 12bh = 1

2bc.1= 1

2bcsen A.

Portanto, conhecendo-se dois lados b, c e o ngulo A por eles formado, est provado que

a rea do tringulo ABC pode ser obtida por:

S = 12bcsen A.

De modo anlogo podemos obter para o mesmo tringulo

S = 12acsenB e S = 1

2absenC .

Para demonstrarmos a lei dos senos j enunciada, multiplicamos ambos os membros das

trs ltimas frmulas acima, pelo comprimento do lado oposto ao ngulo utilizado. Assim:

aS = 12abcsen A = a

sen A= abc

2S;

bS = 12abcsenB = b

senB= abc

2S;

cS = 12abcsenC = c

senC= abc

2S.

Comparando as trs expresses direita, podemos concluir que num tringulo qualquer,

vale a relaoa

sen A= bsenB

= csenC

,

conhecida por lei dos senos.

66 Lei dos Senos e Lei do Cosseno

6.2 A Lei do cosseno

Seja um tringulo ABC qualquer de lados cujos comprimentos medem a,b e c . Provaremos

que O quadrado da medida de um dos lados igual soma dos quadrados dos outros dois,

menos o duplo produto desses lados pelo cosseno do ngulo por eles formado", ou seja:

a2 = b2+ c22.b.c.cos A.

Consideremos os dois casos:

(i) A agudo.

Tracemos BH , perpendicular reta suporte de AC . Fazendo BH = h e AH =m, temos notringulo retngulo BHC , pelo teorema de Pitgoras:

Figura 6.3: Tringulo acutngulo em A

Ento, temos:

a

2

= h

2

+ (bm)

2

= a

2

=

2

m

2

+b

2

2bm+m

2

= a

2

= c

2

+b

2

2bm.

Pelo cos

A, no tringulo retngulo BHA, temos que m = c.cos

A, da, segue-se:

a

2

= b

2

+ c

2

2bc.cos

A.

(ii)

A obtuso.


Tracemos BH , perpendicular reta suporte de AC . Fazendo BH = h e AH =m, temos notringulo retngulo BHC , pelo teorema de Pitgoras:

Figura 6.4: Tringulo obtusngulo em A

Ento, temos:

a

2

= h

2

+ (b+m)

2

= a

2

= c

2

m

2

+b

2

+2bm+m

2

= a

2

= c

2

+b

2

+2bm.

Do tringulo retngulo BHA, temos que

cos(180

A)=cos

A e m = c.(cos

A).

Substituindo na relao acima, teremos:

a

2

= b

2

+ c

2

2.b.c.cos

A.

Portanto, de (i ) e (i i ), pode-se concluir que num tringulo qualquer vale:

a

2

= b

2

+ c

2

2.b.c.cos

A.

A expresso acima chamada lei do cosseno. Vale ressaltar que a lei do cosseno resulta

numa relao equivalente ao teorema de Pitgoras quando reto, uma vez que cos90

= 0.

Exemplo 6.1 Seja S a rea de um tringulo cujo ngulo compreendido entre os lados de medidas

a e b < 90

. Determine a rea do tringulo que possui tambm os lados a e b, sendo 2 a

medida do ngulo compreendido.


Resoluo:

Sejam os tringulos (1) e (2) abaixo:

(1)a

b

a

b

2

(2)

Para o tringulo (1), teremos:

S1 = 12.a.bsen.

Para o tringulo (2), teremos:

S2 = 12.a.bsen2= S2 = 1

2.a.b(2sencos).

Podemos, por associatividade, escrever S2 assim: S2 =(1

2.a.bsen

)(2cos) .

Substituindo(1

2.a.bsen

)por S1, teremos: S2 = 2S1cos.

Exemplo 6.2 Sejam duas estacas A e B em uma mesma margem de um rio e uma terceira estaca

C na outra margem. Sabendo que so conhecidas as medidas dos ngulos A e B, bem como a

distncia de A at B, determine a distncia entre as estacas A e C.

Resoluo:

A situao acima pode ser descrita conforme a Figura 6.5:

Figura 6.5: Tringulo (modelagem)


Sabemos que C = 180 (A+B) e ainda que sen[180 (A+B)]= sen(A+B). Aplicandoa lei dos senos no tringulo ABC , segue:

AC

senB= ABsen[180 (A+B)] =

AC

senB= ABsen(A+B) .

Portanto,

AC = AB . senBsen(A+B) .

Exemplo 6.3 Sejam as medidas dos trs lados de um tringulo ABC, os nmeros consecutivos 4,

5 e 6. Mostre que o ngulo B o dobro do ngulo A.

Resoluo:

Consideremos o tringulo escaleno ABC da Figura 6.6.Figura 6.6: Tringulo escaleno

Aplicando a lei do cosseno para o vrtice A, teremos:

4

2

= 5

2

+6

2

2.5.6.cos

A = cos

A =

3

4

.

Aplicando a lei do cosseno tambm para o vrtice B , teremos:

6

2

= 4

2

+5

2

2.4.5.cos

B = cos

B =

1

8

.

Pela frmula (7) de arco duplo, vimos que cos2

A = 2cos

2

A1. Assim:

cos2

A = 2.

(

3

4

)

2

1=

1

8

= cos

B .

Portanto,

B = 2

A.


6.3 Aplicaes da Lei do Cosseno para Vetores

A presente seo mostrar uma aplicao natural da lei do cosseno para vetores conforme ser

visto a seguir.

Grandezas como fora, deslocamento, ou velocidade, so consideradas grandezas vetoriais,

pois para estarem bem definidas, necessitam de um mdulo ou intensidade, uma direo e um

sentido.

Uma grandeza vetorial em geral, representada geometricamente por um segmento de reta

denominado vetor.

Geralmente, o objeto" vetor apresentado aos alunos da primeira srie do ensino mdio,

na disciplina Fsica, mas importante ressaltar que o vetor um ente matemtico de extrema

relevncia na prpria Matemtica, bem como em outras reas do conhecimento.

A soma de vetores uma importante aplicao prtica da Trigonometria Plana. A resultante

ou a soma vetorial de dois ou mais vetores coplanares, corresponde a um vetor desse plano,

capaz de gerar o mesmo efeito de todos os vetores envolvidos simultaneamente.

Sejam dois vetores ~u e ~v , ambos representados com a mesma origem e o ngulo formado

pelos segmentos que correspondem aos vetores ~u e ~v .

Teremos como vetor soma ou resultante, o vetor designado por R , que corresponde

medida da diagonal do paralelogramo ilustrado na Figura 8.1.

180

v

u R

v

Figura 6.7: Vetor soma.

Pela lei do cosseno, teremos:

R2 = u2+ v22.u.v.cos(180)= u2+ v22.u.v.(cos).


Da, teremos:

R =u2+ v2+2.u.v.cos.

Em particular, poderamos ter:

1. = 0

R =u2+ v2+2.u.v.cos0 =

u2+2.u.v + v2 = |u+ v |.

2. = 180

R =u2+ v2+2.u.v.cos180 =

u22.u.v + v2 = |u v |.

3. = 90

R =u2+ v2+2.u.v.cos90 =

u2+ v2.

Captulo 7

Equaes Trigonomtricas

As equaes trigonomtricas sero abordadas neste captulo de modo a valorizarmos a uti-

lizao dos conhecimentos vistos at o momento. Dessa forma, objetiva-se que a obteno das

solues sejam feitas de forma clara, didtica e bem significativa, vez que, em geral, os alunos

tendem a apresentar um grau de dificuldade maior na interpretao de situaes em um "caminho

de volta", em relao queles estabelecidos nas definies iniciais das funes circulares.

7.1 Equaes Trigonomtricas

So equaes cujas incgnitas so dadas em termos das funes circulares.

Equaes do tipo senx cos2x = 12

ou t g x + cotx = 4, so consideradas equaes trigo-nomtricas.

Resolver uma equao trigonomtrica consiste em determinar toda a famlia de arcos tri-

gonomtricos que verificam as respectivas equaes.

Sempre que uma equao trigonomtrica no campo dos reais possvel, esta admite

infinitas solues. Todos os arcos cngruos quele(s) j determinado(s) tambm o sero solues

da referida equao.

7.2 Equaes trigonomtricas elementares

Dada a sua simplicidade, equaes do tipo senx = t , cosx = t e t g x = t , so chamadasequaes elementares.

72

Equaes Trigonomtricas 73

7.2.1 Resoluo da equao senx = tSendo 1 t 1, sabemos que existem arcos tais que sen= t . Dessa forma, a equao

dada equivalente a senx = sen, ou ainda:

senx sen= 0.

Transformando o primeiro membro dessa ltima equao em produto, teremos:

2sen(x

2

)cos(x+

2

)= 0.

Pela propriedade de nulidade do produto, segue:

sen(x

2

)= 0 (1) ou cos

(x+2

)= 0. (2)

De (1), segue,x2

= kpi= x =+2kpi, k Z.

De (2), segue,

x+2

= pi2+kpi= x =pi+2kpi, k Z= x =+ (2k+1)pi, k Z.

Pode-se ainda resumir as solues da equao senx = t , em uma s expresso:

S = {x R;x = (1)k+kpi, k Z}.

Exemplo 7.1 Resolver a equao senx = 12.

Resoluo:

Uma soluo imediata de senx = 12

= pi6r ad , pois sen

pi

6= 12. Portanto, o conjunto

soluo da equao senx = 12 dado por:

S = {x R;x = (1)k .pi6+kpi, k Z}.

74 Equaes Trigonomtricas

Exemplo 7.2 Resolver a equao senx =p2

2.

Resoluo:

Como a funo senx impar, sabemos que =pi4r ad soluo de senx =

p2

2, pois

sen(pi4

)=

p2

2. Portanto, todas as solues sero dadas por:

S = {x R;x = (1)k .(pi4

)+kpi, k Z}.

7.2.2 Resoluo da equao cosx = t

Sendo 1 t 1, sabemos que existem arcos tais que cos= t . Dessa forma, a equaodada equivalente a cosx = cos, ou ainda:

cosx cos= 0.

Transformando o primeiro membro dessa ltima equao em produto, teremos:

2sen(x+

2

)sen(x

2

)= 0.

Pela propriedade de nulidade do produto, segue:

sen(x+

2

)= 0 (1) ou sen

(x2

)= 0. (2)

De (1), segue,x+2

= kpi= x =+2kpi, k Z.

De (2), segue,

x2

= kpi= x =+2kpi, k Z= x =+2kpi, k Z.

Pode-se ainda resumir as solues da equao senx = t , em uma s expresso:

S = {x R;x =+2kpi, k Z}.


Exemplo 7.3 Resolver a equao cosx = 12.

Resoluo:

Uma soluo imediata de cosx = 12

= pi3r ad , pois cos

pi

3= 12. Portanto, o conjunto

soluo da equao cosx = 12 dado por:

S = {x R;x =pi3+2kpi, k Z}.

Exemplo 7.4 Resolver a equao cosx =p3

2.

Resoluo:

Uma soluo imediata de cosx =p3

2 =pi pi

6= 5pi

6, pois cos

5pi

6=

p3

2. Portanto, o

conjunto soluo da equao cosx =p3

2 dado por:

S = {x R;x =5pi6+2kpi, k Z}.

Nota: Nas equaes elementares senx = t e cosx = t , sempre que ocorrer |t | > 1, teremos oconjunto vazio como soluo. Equaes como, por exemplo, cosx =p2 ou senx = 3

2, tero

como soluo o conjunto vazio, ou seja: S =.

7.2.3 Resoluo da equao t g x = t

Sendo t R, temos que a equao acima possui solues, pois como vimos, a funot g x varia de a +, ou seja, existem R, tais que t g x = t g ou t g x t g = 0.Transformando em produto o primeiro membro da ltima equao, segue que:

t g x t g= sen(x)cosxcos

= 0,

o que acarreta em sen(x)= 0, ou seja, x= kpi= x =+kpi, k Z.


Portanto, o conjunto soluo da equao t g x = t , dado que uma soluo conhecida :

S = {x R;x =+kpi, k Z}.

Exemplo 7.5 Resolver a equao t g x =p3

3.

Resoluo:

Uma soluo imediata de t g x =p3

3 = pi

6r ad , pois t g

pi

6=p3

3.

Portanto, o conjunto soluo da equao t g x =p3

3 dado por:

S = {x R;x = pi6+kpi, k Z}.

Exemplo 7.6 Resolver a equao t g x =p3.

Resoluo:

Uma soluo imediata de t g x =p3 =pi3r ad , pois t g

(pi3

)=p3.

Portanto, o conjunto soluo da equao t g x =p3 dado por:

S = {x R;x =pi3+kpi, k Z}.

7.3 Equaes trigonomtricas que exigem certos artifcios

So equaes que necessitam de um pouco mais de habilidades em sua resoluo. Pode

ocorrer uma ou mais funes circulares ou uma funo com diferentes arcos.

Em geral, devemos escolher certa funo circular como varivel auxiliar e, a partir dela,

substitu-la na equao proposta, de modo a obtermos uma equao equivalente com apenas

uma funo ou apenas um arco.

A escolha da varivel auxiliar deve ser feita de modo a evitar sempre que possvel o

surgimento de expresses que envolvam radicais, pois alm de torn-las mais complicadas,

podem surgir razes desnecessrias ou estranhas.

Exemplo 7.7 Resolva a equao t g x+ cotg x = 4.


Resoluo:

Reescrevendo a equao acima em termos das funes senx e cosx , segue:

senx

cosx+ cosxsenx

= 4.

Reduzindo-a ao mesmo denominador,

sen2x+ cos2xsenxcosx

= 4senxcosxsenxcosx

= 4senxcosx = 1= 2(2senxcosx)= 1.

Logo,

sen(2x)= 12.

Como vimos nas equaes elementares, podemos fazer:

2x = (1)k .pi6+kpi.

Isolando-se x , teremos:

x = (1)k . pi12+kpi

2.

Portanto, a soluo procurada dada por:

S = {x R;x = (1)k . pi12+kpi

2, k Z}.

Nota: Caso queiramos as solues na primeira volta, ou seja, no intervalo [0,2pi] ou

[0,360], basta substituirmos em S, k = 0,1,2,3. Assim:Para k = 0 , tem-se S0 = pi

12r ad = 15;

Para k = 1 , tem-se S1 = pi2 pi12= 5pi12

r ad = 75;

Para k = 2 , tem-se S2 =pi+ pi12= 13pi

12r ad = 195;

Para k = 3 , tem-se S3 = 3pi2 pi12= 17pi

12r ad = 255.

Logo, as razes da primeira volta so:

S ={pi

12,5pi

12,13pi

12,17pi

12

}ou S = {15,75,195,255.}


Exemplo 7.8 Resolva a equao1

1 senx +1

1+ senx =8

3.

Resoluo:

Reduzindo ao mesmo denominador os termos da equao1

1 senx +1

1+ senx =8

3, tem-se,

3.(1+ senx)+3(1 senx)3(1 senx)(1+ senx) =

8(1 senx)(1+ senx)3(1 senx)(1+ senx) = 3+3senx+33senx = 8(1 sen

2x).

Da, temos que 8cos2x = 6= cosx =3

4=

p3

2.

Portanto, o conjunto soluo da equao dado por:

S = {x R;x =pi6+kpi, k Z}.

As solues da equao1

1 senx +1

1+ senx =8

3, primeira volta, so:

S ={pi

6,5pi

6,7pi

6,11pi

6

}ou S = {30,150,210,330.}

Exemplo 7.9 Resolva a equaop1 cosx+p1+ cosx =p2.

Resoluo:

Elevando-se ao quadrado ambos os membros da equaop1 cosx +p1+ cosx = p2,

teremos:

(p1 cosx+p1+ cosx

)2 = (p2)2 = 1 cosx+2(1 cosx)(1+ cosx)+1+ cosx = 2.Segue que:

21 cos2x = 0=

sen2x = 0= senx = 0.

O que acarreta em x = kpi.Portanto, a soluo procurada dada por:

S = {x R; x = kpi, k Z}.


Exemplo 7.10 Resolva a equao senx+ cosx = secx .

Resoluo:

Reescrevendo a equao senx+ cosx = secx , em termos das funes senx e cosx , segue:

senx+ cosx = 1cosx

.

Reduzindo-a ao mesmo denominador,

senxcosx+ cos2xcosx

= 1cosx

= senxcosx+1 sen2x = 1= senxcosx sen2x = 0.

Pondo-se senx em evidncia,

senx(cosx senx)= 0.

Da, pela nulidade do produto,

senx = 0= x = kpi (1)

ou cosx senx = 0. Elevando-se ao quadrado ambos os membros, resulta em:

cos2x2senxcosx+ sen2x = 0= sen(2x)= 1= x = pi4+kpi. (2)

Portanto, a soluo procurada dada pela reunio de (1) e (2):

S = {x R; x = kpi, ou x = pi4+kpi. k Z}.

Exemplo 7.11 Resolva a equao 1+ cos2x+ cos4x+ cos6x = 0.

Resoluo:

J vimos no exemplo 16 (frmulas de multiplicao) que 1+ cos2x + cos4x + cos6x equivalente a 4.cosx.cos2x.cos3x . Podemos fazer:

4.cosx.cos2x.cos3x = 0.


Da nulidade do produto, surge que:

cosx = 0= x = pi2+kpi; (1)

cos2x = 0= x = pi4+ kpi

2; (2)

cos3x = 0= x = pi6+ kpi

3; (3)

Portanto, a soluo procurada dada pela reunio de (1), (2) e (3):

S = {x R; x = pi2+kpi, ou x = pi

4+ kpi

2ou x = pi

6+ kpi

3. k Z}.

Exemplo 7.12 Resolva a equao sen2x+ cos2x+ t g 2x+ cotg 2x+ sec2x+ cossec2x = 7.

Resoluo:

Substituindo sen2x + cos2x por 1 na equao acima e escrevendo os demais termos doprimeiro membro em funo de senx e cosx , teremos:

1+ sen2x

cos2x+ cos

2x

sen2x+ 1cos2x

+ 1sen2x

= 7= sen2x+1

cos2x+ cos

2x+1sen2x

= 6.

Reduzindo ao mesmo denominador, segue:

sen2x(1+ sen2x)+ cos2x(cos2x+1)sen2xcos2x

= 6sen2xcos2x

sen2xcos2x.

Da, temos que:

sen4x+ sen2x+ cos4x+ cos2x = 2sen2xcos2x+4sen2xcos2x

ou, de forma equivalente,

sen4x2sen2xcos2x+ cos4x+1= 4sen2xcos2x = (cos2x sen2x)2+1= (2senxcosx)2.Pelas frmulas (7) e (8) de arco duplo, no primeiro e segundo membros, respectivamente

cos22x+1= sen22x = cos22x sen22x =1.


Novamente pela frmula (7) de arco duplo no primeiro membro, teremos:

cos4x =1= 4x =pi+2kpi= x = pi4+ kpi

2.

Portanto, o conjunto soluo da equao dada :

S = {x R; x = pi4+ kpi

2, k Z}.

7.4 Uma equao clssica: asenx+bcosx = c.Neste caso, sabemos que a e b so diferentes de zero, pois se ocorresse a = 0 ou b = 0, a

equao dada seria reduzida a uma equao elementar j vista.

Resolvem-se equaes desse tipo do seguinte modo: Dividimos os termos da equao dada

por r =pa2+b2, que diferente de zero.

A equao inicial passa a ter a forma:

a

rsenx+ b

rcosx = c

r. ()

Sabe-se que(ar

)2+(b

r

)2= 1. Ento existe um arco real tal que sen= a

re cos= b

r.

Substituindo sen= ar

e cos= br

na equao (), segue:

sensenx+ coscosx = cr.

Pelas frmulas de adio j deduzidas, podemos fazer:

cos(x)= cr.

Esta ltima equao recai numa elementar, que geralmente de fcil resoluo.

Exemplo 7.13 Resolva as equaes:

(a)p3senx+ cosx = 2 (b) senxp3cosx = 1

Resoluo (a):

82 Consideraes Finais

Seja r =(p3)2+12 = 2. Dividindo todos os termos da equao por 2, teremos:

p3

2senx+ 1

2cosx = 1= senpi

3senx+ cospi

3cosx = 1,

ou seja:

cos(x pi

3

)= 1= x pi

3= 2kpi= x = pi

3+2kpi.

Portanto,

S = {x R; x = pi3+2kpi, k Z}.

Resoluo (b):

Seja r =12+ (p3)2 = 2. Dividindo todos os termos da equao por 2, teremos:

1

2senx

p3

2cosx = 1

2= senpi

6senx cospi

6cosx =

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