Cap´ıtulo 1 Matrizes e sistemas de equac¸oes alg˜ ebricas...

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Capıtulo 1

Matrizes e sistemasde equac oes alg ebricas lineares

Definic oes

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Equacao linear

Uma equacao (algebrica) linear na incognita x tem a forma

ax = b

onde o coeficiente a e o termo independente b sao numeros reais (oucomplexos).

x : incognita (ou variavel)a : coeficienteb : termo independente

Definic oes

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Equacao linear

Uma equacao (algebrica) linear nas incognitas x1, x2, . . . , xn tem a forma

a1x1 + a2x2 + · · · + anxn = b

oun

∑

j=1

ajxj = b,

onde os a1, a2, . . . , an e o termo independente b sao numeros reais (oucomplexos).

x1, x2, . . . , xn : incognitasa1, a2, . . . , an : coeficientes

b : termo independente

Definic oes

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Sistema de equacoes lineares

Um sistema de m equacoes lineares e n incognitas em R (ou C) e umaconjuncao de m equacoes lineares nas mesmas n incognitas:

(1)

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2

......

...am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm

isto e,

n∑

j=1

aijxj = bi , para i = 1, . . . ,m.

xj : variaveisaij : coeficientesbi : termos independentes

Soluc ao

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Uma solucao do sistema (1) e uma sequencia ordenada (α1, . . . , αn) denumeros reais (ou complexos), tal que (1) e verdadeiro quando

x1 = α1, . . . , xn = αn .

Exemplo

Considere o sistema de 2 equacoes lineares e 3 incognitas em R:

(2)

{

2x − y + z = 0−x + y − z = 1

• (1, 0,−2) e solucao do sistema (2).

Nova representac ao de um sistema de equac oes

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a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2

......

...am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

......

...am1 am2 · · · amn

x1

x2

...xn

=

b1

b2

...bm

Ax = b

Exemplo

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O sistema

{

2x − y + z = 0−x + y − z = 1

pode ser representado do seguinte modo:

[

2 −1 1−1 1 −1

]

xyz

=

[

01

]

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Matriz

Uma matriz do tipo m × n e de entradas reais (ou complexas) e um quadrode mn numeros reais (ou complexos) dispostos em m linhas e n colunas.

A =

a11 . . . a1j . . . a1n

......

...ai1 . . . aij . . . ain

......

...am1 . . . amj . . . amn

Notacao: A = [aij ]

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Entrada de uma matriz

A =

a11 . . . a1j . . . a1n

......

...ai1 . . . aij . . . ain

......

...am1 . . . amj . . . amn

Elemento ou entrada (i, j)

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Linhas de uma matriz

A =

a11 . . . a1j . . . a1n

......

...ai1 . . . aij . . . ain

......

...am1 . . . amj . . . amn

Linha i

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Colunas de uma matriz

A =

a11 . . . a1j . . . a1n

......

...ai1 . . . aij . . . ain

......

...am1 . . . amj . . . amn

Coluna j

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Matriz nula

[aij ] e a matriz nula se aij = 0, para i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n, i.e.,todas as entradas sao nulas.

0 . . . 0 . . . 0...

......

0 . . . 0 . . . 0...

......

0 . . . 0 . . . 0

• A matriz nula do tipo m × n designa-se por 0m×n.

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Matriz coluna e matriz linha

Matriz coluna:

a1

...am

Matriz linha:

[

a1 . . . an

]

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Matrizes quadradas

Uma matriz diz-se quadrada se o numero de linhas e igual ao numero decolunas.

a11 . . . a1i . . . a1n

.... . .

......

ai1 . . . aii . . . ain

......

. . ....

an1 . . . ani . . . ann

• n diz-se a ordem da matriz

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Matrizes quadradas

A =

a11 . . . a1i . . . a1n

.... . .

......

ai1 . . . aii . . . ain

......

. . ....

an1 . . . ani . . . ann

• Diagonal principal de A: a11, a22, . . . , ann

• O traco de A, tr A, e a soma de todas as entradas da diagonalprincipal.

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Matriz triangular inferior

Uma matriz quadrada A = [aij] diz-se triangular inferior se aij = 0 parai < j.

a11 0...

. . .

ai1 . . . aii

......

. . .

an1 . . . ani . . . ann

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Matriz triangular superior

Uma matriz quadrada A = [aij] diz-se triangular superior se aij = 0 parai > j.

a11 . . . a1i . . . a1n

. . ....

...aii . . . ain

. . ....

0 ann

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Matriz diagonal

Uma matriz quadrada A = [aij] diz-se diagonal se aij = 0 para i 6= j.

A =

a11 . . . 0 . . . 0...

. . ....

...0 . . . aii . . . 0...

.... . .

...0 . . . 0 . . . ann

Se todas as entradas da diagonal principal forem iguais, diremos que amatriz e escalar.

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Matriz identidade

A matriz diagonal de ordem n cujas entradas da diagonal principal saoiguais a 1 designa-se por matriz identidade (de ordem n).

In =

1 0. . .

1. . .

0 1

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Igualdade de matrizes

Duas matrizes A = [aij ] e B = [bij], do tipo m × n, dizem-se iguais se

aij = bij ,

para i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n.

• Nestas condicoes, escrevemos A = B.

Operac oes com matrizes

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Adicao de matrizes

Se duas matrizes A = [aij ] e B = [bij ] forem do mesmo tipo m × n, entaoa soma A + B e a matriz do tipo m × n cuja entrada (i, j) e

aij + bij ,

para i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n.

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Propriedades da adicao de matrizes

• ∀A,B,C (m × n), (A + B) + C = A + (B + C)

• ∀A,B (m × n), A + B = B + A

• ∀A (m × n), A + 0m×n = A

• ∀A = [aij] (m × n), ∃A′ = [−aij ] (m × n), A + A′ = 0m×n

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Multiplicacao de um numero por uma matriz

O produto de um numero (real ou complexo) α por uma matriz A = [aij ] dotipo m × n e a matriz igualmente do tipo m × n tal que a entrada (i, j) e

αaij ,

para i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n.

• Nestas condicoes, usamos a seguinte notacao: αA.

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Propriedades do produto de um numero por uma matriz

• ∀α, β, ∀A, (αβ)A = α(βA)

• ∀α, ∀A,B, α(A + B) = αA + αB

• ∀α, β, ∀A, (α + β)A = αA + βA

• ∀A, 1A = A

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Multiplicacao de matrizes

O produto de A = [aij], do tipo m × n, por B = [bij], do tipo n × p e amatriz do tipo m × p, tal que a entrada (i, j) e definida por

n∑

q=1

aiqbqj ,

para i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , p.

• Notacao para o produto de A por B: AB ou A × B.

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Multiplicacao de matrizes

cij =n

∑

q=1

aiqbqj

= ai1b1j + ai2b2j + · · · + ainbnj

=[

ai1 ai2 · · · ain

]

b1j

b2j

...bnj

= (linha i de A) × (coluna j de B)

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Propriedades do produto de matrizes

• ∀A (m × n),∀B (n × p),∀C (p × r), (AB)C = A(BC)

• ∀A,B (m × n),∀C (n × p), (A + B)C = AC + BC

• ∀A (m × n),∀B,C (n × p), A(B + C) = AB + AC

• ∀A (m × n),∀B (n × p),∀α, α(AB) = (αA)B = A(αB)

• ∀A (m × n), A0n×p = 0m×p, 0p×mA = 0p×n

• ∀A (m × n), AIn = A, ImA = A

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OBSERVACAO:

• A MULTIPLICACAO DE MATRIZES NAO E COMUTATIVA !!

• AS LEIS DO ANULAMENTO DO PRODUTO EM MATRIZES NAO SAOVALIDAS !!

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Transposta de uma matriz

A transposta de uma matriz A do tipo m × n, AT , e uma matriz do tipon × m cujas linhas sao as colunas de A pela mesma ordem.

Exemplo

A =

[

1 2 −13 0 1/2

]

AT =

1 32 0−1 1/2

• Se A = AT , entao diremos que A e simetrica.

• Se A = −AT , entao diremos que A e anti-simetrica.

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Propriedades da transposicao

Considere as matrizes A,B do tipo m× n, e C do tipo n× p, e um numeroα.

• (AT )T = A

• (A + B)T = AT + BT

• (AC)T = CT AT

• (αA)T = αAT

Matrizes invertıveis

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Inversa de uma matriz

Uma matriz quadrada A, de ordem n, e invertıvel se existir uma matrizquadrada B, de ordem n, tal que AB = BA = In .

Exemplo

Uma inversa de[

2 −11 −1

]

e?

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Propriedades da inversa de uma matriz

• Se A e invertıvel, entao a inversa e unica e denota-se por A−1.

• Se A e B sao matrizes invertıveis, entao AB e uma matriz invertıvel e(AB)−1 = B−1A−1.

• Se A e invertıvel, entao (AT )−1 = (A−1)T .

• Se A e invertıvel e k e um numero inteiro, entao (Ak)−1 = (A−1)k.

• Se A e invertıvel e α e um escalar nao-nulo, entao (αA)−1 = 1

αA−1.

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Matrizes elementares

Chama-se matriz elementar de ordem m a toda a matriz que se obtem deIm por aplicacao de uma operacao elementar as respectivas linhas, i.e.

I. Troca entre si de duas linhas

II. Multiplicacao de todos os elementos de uma linha por um numerodiferente de zero

III. Substituicao de uma linha pela soma dessa linha com um multiplo deoutra

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Matrizes elementares do tipo I

Para i, j ∈ {1, · · · ,m}, com i 6= j, Pij e a matriz que resulta de Im

trocando entre si a linha i com a linha j

Exemplos

P12 =

0 1 01 0 00 0 1

= P21 ; P24 =

1 0 0 00 0 0 10 0 1 00 1 0 0

= P42

• Seja A m × n. PilA e a matriz que se obtem de A trocando a linha icom a linha j.

Teorema

(Pij)−1 = Pij

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Matrizes elementares do tipo II

Para i ∈ {1, . . . ,m} e α um escalar nao nulo, Di(α) e a matriz que seobtem de Im multiplicando a linha i por α

Exemplos

D2(7) =

1 0 00 7 00 0 1

; D3(9) =

1 0 0 00 1 0 00 0 9 00 0 0 1

• Seja A m × n. Di(α)A e a matriz que se obtem de A multiplicando alinha i por α.

Teorema

(Di(α))−1 = Di(α−1)

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Matrizes elementares do tipo III

Para i, j ∈ {1, . . . ,m}, com i 6= j, e α um escalar, Eij(α) e a matriz quese obtem de Im substituindo a linha i pela soma da linha i com a linha jpreviamente multiplicada por α

Exemplos

E24(−4) =

1 0 0 00 1 0 −40 0 1 00 0 0 1

; E31(1/2) =

1 0 0 00 1 0 0

1/2 0 1 00 0 0 1

• Seja A m × n. Eij(α)A e a matriz que se obtem de A adicionando alinha i a linha j previamente multiplicada por α.

Teorema

(Eij(α))−1 = Eij(−α)

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Observacoes

• Se E for uma matriz elementar, EA e a matriz que se obtem de Aaplicando-lhe as linhas as mesmas operacoes elementares que foramaplicadas as linhas de Im para obter. E

• Resultado analogo e valido para o produto AE, reflectindo-se agora oefeito da multiplicacao nas colunas de A: AE e a matriz obtida de Aaplicando-lhe as colunas as mesmas operacoes elementares queforam aplicadas as colunas de In para obter E.