Capítulo 9 Controle multivariável de processos - ene.unb.br · Evaporador. Variáveis controladas...

23/06/2017

Capítulo 9Controle multivariável de

processos

• Até agora só foram considerados processos com um único objetivo de controle ou uma única variável a sercontrolada.

Controle de sistemas multivariáveis

Introdução

• É comum termos processos com múltiplos objetivos de controle ou com múltiplas variáveis a seremcontroladas.

• Podem ser definidos objetivos de controle individuais e o uso de técnicas específicas individuais para cadacontrole, caso os objetivos ou a variáveis não interajam umas com a outras.

• Abordaremos agora as técnicas de controle quando não há como fazer um tratamento individual de cadaobjetivo de controle, ou seja, consideram-se interações entre os objetivos.

• Trataremos dos sistemas MIMO (multiple input / multiple output systems) ou sistemas multivariáveis.

• Abordaremos a questão da interação (acoplamento) entre malhas de controle.

• Veremos como eliminar ou diminuir o acoplamento entre variáveis associadas a malhas distintas.

23/06/2017

Exemplos de sistemas MIMO:

Controle de sistemas multivariáveis

Sistemas MIMO – Interação entre laços

Tanque de mistura.

Variáveis controladas (saídas):

• Vazão da mistura (w)• Composição da mistura (x)

Variáveis manipuladas (entradas):

• Vazão de escoamento do líquido 1 (w1)• Vazão de escoamento do líquido 2 (w2)

Exemplos de sistemas MIMO:

Controle de sistemas multivariáveis

Sistemas MIMO – Interação entre laços

Reator químico.

Variáveis controladas (saídas):

• Temperatura• Composição

Variáveis manipuladas (entradas):

• Vazão de água refrigerante• Vazão de alimentação do processo

23/06/2017

Exemplos de sistemas MIMO:

Controle de sistemas multivariáveis

Sistemas MIMO – Interação entre laços

Evaporador.

Variáveis controladas (saídas):

• Nível• Vazão de processo• Composição de saída

Variáveis manipuladas (entradas):

• Vazão de vapor• Vazão de entrada• Vazão de saída

Aspectos a serem considerados no controle de sistemas MIMO:

Controle de sistemas multivariáveis

Sistemas MIMO – Interação entre laços

• Quais os efeitos do acoplamento (interação) entre malhas de controle na respostado sistema.

• Qual o nível de acoplamento entre as malhas e como associar (parear), da melhorforma, as variáveis controladas e as variáveis manipuladas.

• Possibilidade do acoplamento entre malhas ser eliminado ou reduzido através deum controle apropriado.

23/06/2017

Exemplo de acoplamento entre malhas de sistemas MIMO – efeitos na resposta:

Controle de sistemas multivariáveis

Sistemas MIMO – Interação entre malhas

Tanque de mistura. Características do projeto do processo:• solução 1: 10% de peso em sal;• solução 2: 35% de peso em sal;• solução de saída: fluxo de 100lb/h com 20% de

peso em sal

Em regime permanente - Balanço entre massatotal e massa de sal no tanque:

2211

21

xwxwwx

www

+=

+=

35,0

10,0

20,0

lb/h100

2

1

=

=

=

=

x

x

x

w

Solução:

lb/h0,40

lb/h0,60

2

1

=

=

w

w

Exemplo de acoplamento entre laços de sistemas MIMO:

Controle de sistemas multivariáveis

Sistemas MIMO – Interação entre malhas

Tanque de mistura. Seja o escoamento 2 e um aumento da vazão (w2) de2,0lb/h, ou seja, de 40,0lb/h para 42,0lb/h.

Pelo modelo, isso causa uma aumento da composição (x)para 20,3%.

Em regime permanente o ganho estático será

=

−

−=

lb/h

%sal 15.0

0,400,42

0,203,202xK

Ganho relacionando a composição de saída emrelação à vazão do escoamento do líquido 2.

A vazão de saída cresceu para 60,0 + 42,0 =102,0lb/h.

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Exemplo de acoplamento entre laços de sistemas MIMO:

Controle de sistemas multivariáveis

Sistemas MIMO – Interação entre malhas

Tanque de mistura. Efeito do acoplamento entre os laços no ganho

Controle da vazão do produto a partir damanipulação do escoamento 1.

Seja o escoamento 2 e um aumento da vazão (w2) de2,0lb/h, ou seja, de 40,0lb/h para 42,0lb/h.

Como consequência, o controlador ajusta (em regimepermanente) a vazão w1 para 58,0lb/h. Isso para manter xem 100,0lb/h.

Pela equação do balanço de massas, a composição desaída cresce para 20,5% de sal.

O ganho relacionando a composição de saída em relação àvazão do escoamento do líquido 2 passa a ser

=

−

−=′

lb/h

%sal 25.0

0,400,42

0,205,202xK Aumento

de 67%

Exemplo de acoplamento entre laços de sistemas MIMO:

Controle de sistemas multivariáveis

Sistemas MIMO – Interação entre malhas

Tanque de mistura. Efeito do acoplamento entre os laços no ganho

Controle da vazão do produto a partir damanipulação do escoamento 1.

Malha aberta

Malha fechada

23/06/2017

Exemplo de acoplamento entre laços de sistemas MIMO:

Controle de sistemas multivariáveis

Sistemas MIMO – Interação entre malhas

Tanque de mistura. Efeito do acoplamento entre os laços no ganho

Controle da vazão do produto a partir damanipulação do escoamento 1.

Algo semelhante ocorre no ganho em relação à vazão desaída, se um laço de composição for criado.

Ocorreu um acoplamento positivo

O fechamento de uma malha (laço) causou um aumento doganho (positivo) em uma outra possível malha.

Em um acoplamento negativo o fechamento de uma malhacausa uma diminuição do ganho em uma outra possívelmalha, podendo até torna-lo negativo.

Obs. Inversão de sinal em um ganho ao longo de umamalha pode causar instabilidade.

Associando variáveis controladas com variáveis manipuladas

Controle de sistemas multivariáveis

Sistemas MIMO – Interação entre malhas

Precisamos de medidas quantitativas que permitam fazer associações (pareamentos) entre variáveis controladase variáveis manipuladas.

Seja o sistema MIMO dado a seguir

Esquema geral de um processso 2 x 2 - duas entradas (m1 e m2) e duas saídas (c1 e c2)

Variáveis manipuladas

Variáveis controladas

23/06/2017

Associando variáveis controladas com variáveis manipuladas

Controle de sistemas multivariáveis

Sistemas MIMO – Interação entre malhas

Vamos calcular a sensibilidade (ganho) de cada variávelcontrolada para cada variável manipulada.

Os 4 ganhos de malha aberta:

cte 1

111

2 →∆

∆=

mm

cK

cte 2

112

1→∆

∆=

mm

cK

cte 1

221

2 →∆

∆=

mm

cK

cte 2

222

1→∆

∆=

mm

cK

Kij : ganho relacionando a j-ésima entrada à i-ésima saída.

IMPORTANTE: Observar que quando se varia uma variável manipulada a outra é mantida constante.

Associando variáveis controladas com variáveis manipuladas

Controle de sistemas multivariáveis

Sistemas MIMO – Interação entre malhas

Seja K12 > K11. Pode parecer que devemos escolher m2para ajustar c1. Isso nem sempre será correto.

O problema é que não podemos comparar diretamente ganhos que possuem unidades diferentes.

Mesmo trabalhando com quantidades relativas (%TO / %CO), ranges de sensores/transmissores e deelementos finais de controle influenciariam os ganhos, mas não tendo relação com os acoplamentosexistentes no processo.

Além dos ganhos de malha aberta, calcularemos também os ganhos em malha fechada.

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Associando variáveis controladas com variáveis manipuladas

Controle de sistemas multivariáveis

Sistemas MIMO – Interação entre malhas

Para cada (pareamento) associação (variável controlada/ variável manipulada), determina-se o ganho para umasaída, mantendo-se a outra constante.

Isso implica que dada uma variável manipulada e uma variável controlada no cálculo de um ganho, asoutras variáveis manipuladas devem ser ajustadas por malhas fechadas para levar as outras variáveiscontroladas a seus valores de referência.

Associando variáveis controladas com variáveis manipuladas

Controle de sistemas multivariáveis

Sistemas MIMO – Interação entre malhas

Vamos calcular a sensibilidade (ganho) de cada variávelcontrolada para cada variável manipulada (com asoutras variáveis controladas constantes).

Os 4 ganhos de malha fechada:

cte 1

111

2 →∆

∆=′

cm

cK

cte 2

112

2 →∆

∆=′

cm

cK

cte 1

221

1→∆

∆=′

cm

cK

cte 2

222

1→∆

∆=′

cm

cK

K’ij : ganho relacionando a j-ésima entrada à i-ésima saída.

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Associando variáveis controladas com variáveis manipuladas

Controle de sistemas multivariáveis

Sistemas MIMO – Interação entre malhas

Medidas de acoplamento ou ganhos relativos:

ij

ij

ijK

K

′=µ

µ ij : medida de acoplamento ou ganho relativo

11

1111

K

K

′=µ

12

1212

K

K

′=µ

21

2121

K

K

′=µ

22

2222

K

K

′=µ

Para um processo 2 x 2:

• Ganhos relativos são adimensionais.• Ganhos relativos são independentes de ranges de sensores/transmissores e de elementos finais de

controle.

Associando variáveis controladas com variáveis manipuladas

Controle de sistemas multivariáveis

Sistemas MIMO – Interação entre malhas

Medidas de acoplamento ou ganhos relativos:

ij

ij

ijK

K

′=µ

µ ij : medida de acoplamento ou ganho relativo

Interpretações:

• Se o ganho relativo para um determinado par saída i - entrada j não depender de outras malhas o µij

correspondente é unitário.• Quanto maior o acoplamento, mais µij se desvia da unidade.• Quando o acoplamento é positivo µij é positivo e menor que a unidade.• Quando o acoplamento é negativo µij é positivo maior que a unidade ou negativo.

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Associando variáveis controladas com variáveis manipuladas

Controle de sistemas multivariáveis

Sistemas MIMO – Interação entre malhas

Regra para pareamento (associação):

Para diminuir os acoplamentos em um sistema MIMO os pares (variável manipulada – variável controlada) devem ser tais que os ganhos relativos sejam os mais próximos da unidade.

Observações:

• Até aqui todas as discussões foram feitas considerando-se apenas a condição de regime permanente.• Em sistemas que exibem acoplamentos negativos a regra pode não ser válida.• Pareamento com ganho relativo negativo deve ser evitado ao máximo (possibilidade de instabilidade).• Evitar pareamento com ganho relativo nulo (ganho nulo de malha aberta) e ganho relativo muito alto (ganho

de malha fechada próximo de zero).

Associando variáveis controladas com variáveis manipuladas

Controle de sistemas multivariáveis

Sistemas MIMO – Interação entre malhas

Exemplo:

Seja a tabela com ganhos relativos:

• Pode-se mostrar que a soma dos elementos de uma coluna vale a unidade, bem como a soma dos elementos de uma linha também vale a unidade.

• µ11 = µ22 = 0,20 = 1/5, logo para esses pareamentos o ganho de uma malha cresce 5 vezes com o fechamento da outra malha.

• µ12 = µ21 = 0,80 = 4/5, logo para esses pareamentos o ganho de uma malha cresce apenas 1,25 vezes com o fechamento da outra malha.

• O acoplamento será menor criando os pares (c2,m1) e (c1,m2).

m1 m2

c1 0,20 0,80

c2 0,80 0,20

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Associando variáveis controladas com variáveis manipuladas

Controle de sistemas multivariáveis

Sistemas MIMO – Interação entre malhas

Exemplo:

Seja a tabela com ganhos relativos:

• µ11 = µ22 = 2,0= 1/0,5, logo para esses pareamentos o ganho de uma malha cai a metade com o fechamento da outra malha.

• µ12 = µ21 = -1,0 = 1/(-1), logo para esses pareamentos o ganho de uma malha muda de sinal com o fechamento da outra malha. É uma situação indesejada.

• O acoplamento será menor criando os pares (c1,m1) e (c2,m2).

m1 m2

c1 2,0 -1,0

c2 -1,0 2,0

Cálculo dos ganhos relativos para um sistema 2 x 2

Controle de sistemas multivariáveis

Sistemas MIMO – Interação entre malhas

• Seja o sistema em condição de regime permanente.• Caso o sistema seja não linear assuma uma

linearização em torno de um certo ponto de operação.• Podemos determinar os ganhos relativos a partir

apenas dos ganhos em malha aberta.• Em caso de alteração do ponto de operação no

sistema não linear, uma nova linearização deverá serrealizada.

A partir dos ganhos estáticos em malha aberta e em condição de regime permanente:

2221212

2121111

mKmKc

mKmKc

∆+∆=∆

∆+∆=∆

• Foi utilizado o princípio da superposição, já que se considera o sistema linear.• Cada variação de uma variável controlada foi expressa como combinação linear das variações das

variáveis manipuladas. As coordenadas das combinações são os ganhos em malha aberta.

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Cálculo dos ganhos relativos para um sistema 2 x 2

Controle de sistemas multivariáveis

Sistemas MIMO – Interação entre malhas

Seja o pareamento entre a entrada m1 e a saída c1. Fechemos a malha para o par (m2,c2).

Assumindo que o controlador tem ação integral, se variarmos m1, m2 será variado para manter constante c2 novalor de setpoint. Assim∆c2=0.

02221212 =∆+∆=∆ mKmKc 1

22

212 m

K

Km ∆−=∆⇒

1

22

21

121111m

K

KKmKc ∆−∆=∆⇒

Cálculo dos ganhos relativos para um sistema 2 x 2

Controle de sistemas multivariáveis

Sistemas MIMO – Interação entre malhas

Pareamento entre a entrada m1 e a saída c1. Malha fechada para o par (m2,c2).

Pela definição de ganho de malha fechada:

cte 1

1

11

2 →∆

∆=′

cm

cK

1

22

21

121111m

K

KKmKc ∆−∆=∆

22

21122211

22

21121111

K

KKKK

K

KKKK

−=−=′⇒ Ganho de malha fechada obtido a

partir dos ganhos de malha aberta.

23/06/2017

Cálculo dos ganhos relativos para um sistema 2 x 2

Controle de sistemas multivariáveis

Sistemas MIMO – Interação entre malhas

Por procedimento semelhante, os ganhos de malhafechada para os outros três pares possíveis((m1,c2),(m2,c1),(m2,c2)) podem ser obtidos:

22

2112221111

K

KKKKK

−=′

21

2112221112

K

KKKKK

−

−=′

12

2112221121

K

KKKKK

−

−=′

11

2112221122

K

KKKKK

−=′

Cálculo dos ganhos relativos para um sistema 2 x 2

Controle de sistemas multivariáveis

Sistemas MIMO – Interação entre malhas

Finalmente os ganhos relativos poder ser obtidos:

21122211

221111

KKKK

KK

−=µ

21122211

211212

KKKK

KK

−

−=µ

21122211

211221

KKKK

KK

−

−=µ

21122211

221122

KKKK

KK

−=µ

Observamos que:• µ11=µ22, pois representam a mesma

escolha de pares.• De forma semelhante µ12=µ21.• Vemos que µ11+µ12 = µ21+µ22 = µ11+µ21 =

µ12+µ22 = 1.• Essas propriedades se estendem para

sistemas n x n.

23/06/2017

Cálculo dos ganhos relativos para um sistema 2 x 2

Controle de sistemas multivariáveis

Sistemas MIMO – Interação entre malhas

2211

21

xwxwwx

www

+=

+=

j

i

ctemj

i

mij

m

c

m

cK

jkk

j ∂

∂=

∆

∆=

≠

=

→∆ 0lim

Os ganhos em malha aberta são dados por:

Exemplo: Tanque de mistura

Expressando as variáveis controladas em funçãodas variáveis manipuladas:

2

2211

2

1

1

ww

xwxwx

www

+

+=

+=Não linear

Cálculo dos ganhos relativos para um sistema 2 x 2

Controle de sistemas multivariáveis

Sistemas MIMO – Interação entre malhas

Exemplo: Tanque de misturaCalculando as derivadas parciais:

11 =wK 12 =wK

( )( )2

21

122

1ww

xxwK x

+

−−=

( )( )2

21

121

2ww

xxwK x

+

−=

Calculando os ganhos relativos:21

11

ww

ww

+=µ

21

2

2ww

ww

+=µ

21

2

1ww

wx

+=µ

21

1

2ww

wx

+=µ

23/06/2017

Cálculo dos ganhos relativos para um sistema 2 x 2

Controle de sistemas multivariáveis

Sistemas MIMO – Interação entre malhas

Exemplo: Tanque de mistura

21

1

1ww

ww

+=µ

21

22

ww

ww

+=µ

21

21

ww

wx

+=µ

21

12

ww

wx

+=µ

• Ganhos relativos positivos e menores que a unidade.

• Os pareamentos devem ser feitos tal que os ganhosrelativos associados sejam o mais próximo da unidade.

• Devido à não linearidade os ganhos relativos e osconsequentes pareamentos dependem das condições deoperação.

• O pareamento depende qual vazão de entrada é maior

� Se w1>w2: escolher os pares (w,w1) e (x,w2).� Se w2>w1: escolher os pares (w,w2) e (x,w1).

Estratégia geral de pareamento: Controlar a vazão de saídacom o escoamento de maior vazão de entrada e controlar acomposição de saída com o escoamento de menor vazão deentrada.

Cálculo dos ganhos relativos para sistemas n x n (n malhas de controle ou n pares entrada-saída)

Controle de sistemas multivariáveis

Sistemas MIMO – Interação entre malhas

Ganhos relativos a partir dos ganhos de malha aberta para sistemas n x n (método matricial de Bristol, 1966)

K’ij : ganho de malha fechada relacionando a j-ésima entrada à i-ésima saída (ck constante c/ k≠i).

Kij : ganho de malha aberta relacionando a j-ésima entrada à i-ésima saída (mk constante c/ k≠j).

ij

ij

cj

i

mj

i

ijK

K

m

c

m

c

ikk

jkk

′=

∆

∆

∆

∆

=

≠

≠µ

Como no caso de sistemas 2 x 2

Seja K a matriz dos ganhos estáticos de malha aberta.

Na forma vetorial-matricial o vetor variações das variáveis controladas (∆c) em função do vetor variações dasvariáveis manipuladas (∆m) é dado por

mKc ∆=∆

23/06/2017

Cálculo dos ganhos relativos para sistemas n x n (n malhas de controle ou n pares entrada-saída)

Controle de sistemas multivariáveis

Sistemas MIMO – Interação entre malhas

mKc ∆=∆ logo cKm ∆=∆ −1 Seja 1−= KB cBm ∆=∆⇒

Para o j-ésimo elemento de ∆m:njnijijj cBcBcBm ++∆++∆=∆ ......11

ondeijci

j

jiKc

mB

jkk

′=

∆

∆=

≠

1

ou seja, os elementos de B correspondem aos inversos dos ganhos de malha fechada transpostos.

Combinando a expressão de Bji com a expressão de µij vemos que

ijji

ij

ij

ij KBK

K=

′=µ

Controle de sistemas multivariáveis

Sistemas MIMO – Desacoplamento entre malhas

A partir da análise pelos ganhos relativos (menores desvios em relação à unidade) pode-se tentar desacoplar asmalhas que mantêm interação.

O projeto de desacopladores é semelhante ao projeto do controladores feedfoward, com a diferença que osdesacopladores fazem parte de malhas de controle realimentadas.

Seja o processo linear MIMO 2 x 2 dado na forma de diagrama de blocos (caracterização dinâmica no domínio s):

No processo MIMO G12(s) e G21(s) sãoresponsáveis pelo acoplamento.

Gv1(s) e Gv2(s) modelam os elementosfinais de controle.

23/06/2017

Controle de sistemas multivariáveis

Sistemas MIMO – Desacoplamento entre malhas

Digamos que pela análise dos ganhos relativos os pares formados são (m1, c1) e (m2, c2). O controle será feito daseguinte forma.

Projeto de desacoplador a partir do diagrama de blocos

Para o par (m1, c1) o controlador édado por Gc1(s).Para o par (m2, c2) o controlador édado por Gc2(s)

Como essas malhas poderiam serdesacopladas?

H1(s) e H2(s) modelam ossensores/transmissores.

Controle de sistemas multivariáveis

Sistemas MIMO – Desacoplamento entre malhas

Na proposta a seguir, o desacoplamento é obtido com as funções de transferência D21(s) e D12(s)

Projeto de desacoplador a partir do diagrama de blocos

D21(s) deve cancelar o efeito de M1(s)em C2(s) e D12(s) deve cancelar oefeito de M2(s) em C1(s).

Então

0)()()()()()(

)(12211112

2

1 =+= sGsGsGsGsDsM

sCvv

0)()()()()()(

)(21122221

1

2 =+= sGsGsGsGsDsM

sCvv

23/06/2017

Controle de sistemas multivariáveis

Sistemas MIMO – Desacoplamento entre malhas

M1(s) é visto como uma perturbação para C2(s) e M2(s) é visto como uma perturbação para C1(s)

Projeto de desacoplador a partir do diagrama de blocos

Resolvendo as equações para D12(s) eD21(s)

)()(

)()()(

111

122

12sGsG

sGsGsD

v

v−=

)()(

)()()(

222

211

21sGsG

sGsGsD

v

v−=

Essa técnica pode ser usada parasistemas MIMO 2 x 2, mas é necessárioconhecer os modelos dos elementos(seja por modelagem física/matemáticaou por identificação).

Controle de sistemas multivariáveis

Sistemas MIMO – Desacoplamento entre malhas

Projeto de desacoplador a partir do diagrama de blocosAs funções de transferênciarelacionando variável manipulada ecorrespondente variável controlada são

)()()()()()(

)(12221111

1

1 sGsGsDsGsGsM

sCvv +=

)()()()()()(

)(21112222

2

2 sGsGsDsGsGsM

sCvv +=

Substuindo D21(s) e D12(s)

−=

)(

)()()()(

)(

)(

22

1221

111

1

1

sG

sGsGsGsG

sM

sCv

−=

)(

)()()()(

)(

)(

11

2112

222

2

2

sG

sGsGsGsG

sM

sCv

Com essas funções, mais H1(s) e H2(s), os controladores agora podem ser projetados, independentemente.

23/06/2017

Controle de sistemas multivariáveis

Sistemas MIMO – Desacoplamento entre malhas

Projeto de desacoplador para sistemas MIMO n x n

Para generalizar o procedimento de desacoplamento devemos trabalhar com notação vetorial-matricial.

Quanto maior o número de variáveis controladas, maior a complexidade do projeto.Por exemplo, em um sistema 4 x 4 são necessários 12 desacopladores. De forma geral são necessários n(n-1)desacopladores.

Para desacoplamento devemos ter

=

)(

)(

)(

.

1)()(

)(1)(

)()(1

.

)()()(

)()()(

)()()(

)(

)(

)(

2

1

21

221

112

2

1

21

22221

11211

sM

sM

sM

sDsD

sDsD

sDsD

sGsGsG

sGsGsG

sGsGsG

sC

sC

sC

nnn

n

n

PPP

PPP

PPP

n nnnn

n

n

M

L

MOMM

L

L

L

MOMM

L

L

M

)(sC )(sM)(sPG )(sD

)()()()( ssss P MDGC =ou seja

Controle de sistemas multivariáveis

Sistemas MIMO – Desacoplamento entre malhas

Projeto de desacoplador para sistemas MIMO n x n

)()()( sss P MGC ′=seja )()()( sss PP DGG =′onde

)()()()( ssss P MDGC =

( ) )()()(1

ssS PP GGD ′=−

)(.

)(00

0)(0

00)(

)(22

11

s

sG

sG

sG

s

nnP

P

P

MC

′

′

′

=

K

MOMM

L

L

logo

diagonal

Para determinar D(s) são montadas n2 equações independentes. As n2 incógnitas são os n(n-1) elementos nãodiagonais de D(s) e os n elementos diagonais de G´P(s).

Na prática esse procedimento pode ser muito complexo em função da inversão de matriz de funções detransferências. Existem métodos (não discutidos aqui) que podem ser utilizados para resolver esse problema (verreferências).