Capítulo 2: Revisión de los fundamentos Matemáticos 2...Series de Fourier Sea una función...

Capítulo 2: Revisión de los

fundamentos Matemáticos

carlos.platero@upm.es (C-305)

Fundamentos matemáticos

Señal y sistema

Convolución:

contínua

discreta

Transformadas

Fourier

Laplace

tt

dgtxdtgxtgtxty00

*

FDT

g(t)

x(t) y(t)

X(s) G(s) Y(s)=X(s)*G(s)=X(s)G(s)

L[x(t)]

L-1[Y(s)]

Dominio temporal Dominio complejo

Dominio frecuencial

L[f(t)]

F[f(t)]

L-1[f(t)]

F-1[f(t)]

Ejemplo de convolución

Escalón unitario a un circuito RC

s

us(t

)

Respuesta del cuadripolo RC ante una entrada en escalón

0 1 2 3 4 5 6

x 10-3

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

From: U(1)

[s]

[us(t

)]

0

*

t

s e eu t u t g t u t g d

Demo de convolución continua

http://www.jhu.edu/~signals/convolve/index.html

Series de Fourier

Sea una función periódica temporal, f(t), de periodo de T,

acotada en un intervalo, con un número finito de máximo,

mínimos y puntos discontinuos, ésta puede ser representada

por una serie infinita de senos y cosenos. A esta serie se la

llama de Fourier:

T

tnsenbtnaatfn

n

n

n

2cos 0

1

0

1

00

/ 2 / 2 / 2

0 0 0

/ 2 / 2 / 2

1 2 2cos

T T T

n n

T T T

a f t dt a f t n t dt b f t sen n t dtT T T

Ejemplo 2.1

Umax

T

u(t)

t

0

0

n

n

atftf

btftf

0 1000 2000 3000 4000 50000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

[Hz]

|Ve

(w)|

Módulo del espectro de la señal tipo tren de impulsos

Tnsen

n

Udtt

TnU

Ta

TUdtU

Ta

maz

n

maz

22cos

2

1

2/

2/

max

2/

2/

max0

),...700(45.0)600(0)500(635.0)400(0

)300(06.1)200(0)100(18.35.2

7654

3210

HzVaHzVaHzVaHzVa

HzVaHzVaHzVaVa

Si la señal es cuadrada de periodo de 10 ms y amplitud 5V:

Applet de Fourier

www.jhu.edu/~signals/fourier2/index.html

Problemas para casa

-0.025 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tren de impulsos

[s]

[V]

-0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.030

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Onda semirectificada

[s]

[V]

Resolución

-0.025 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tren de impulsos

[s]

[V]

1

100

21 cos

e n

n

n

u b sen n t

b nn

Resolución

-0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.030

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Onda semirectificada

[s]

[V]

1

1cos 100

1 11 2 2

1 1

e n

n

n

u a n t

sen n sen n

an n

Transmisión de señales

Ejercicio del laboratorio

Ejercicio de examen

En el circuito de la figura se considera que el amplificador operacional es ideal.

Éste es atacado por el tren de impulsos indicado. Se pide:

1. Serie de Fourier de la señal de entrada.

2. Respuesta en frecuencia de la ganancia de tensión del circuito.

3. Diagrama de Bode y curva polar del apartado anterior.

4. Expresión analítica del armónico fundamental de la señal de salida.

-0.025 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tren de impulsos

[s]

[V]

De las series a las transformadas de Fourier

Segunda y tercera forma de expresar las series de

Fourier:

Relaciones de Euler

n

nnnnn

n

nn

a

barctgbac

Ttncatf

22

0

1

00

2cos

dtetfnFenFT

tftjn

T

Tn

tjn

00

2/

2/

00

1

De las series a las transformadas de Fourier

Tercera forma de expresar las series de Fourier:

Para la aplicación de la serie de Fourier sobre señales

aperiódicas, se procede al artificio matemático de hacer que el

periodo de la señal sea infinito, convirtiendo todas las señales

en periódicas:

dtetfnFenFT

tftjn

T

Tn

tjn

00

2/

2/

00

1

dtetfF tj

deFenF

Ttf tj

n

tjn

T 2

11lim 00

0

0

dttf

Ejemplo 2.2

Umax

t

2/2/

2 maxmax

2/

2/

max

sencUsen

UdteUU tj

e

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x 105

0

2x 10

-3 Densidad espectral del impulso

w[rad/s]

Ue(w

)

Transformadas de Laplace

Las funciones de control no tienen transformadas de

Fourier (teorización)

Convergencia y causalidad

Ejemplos

Función escalón unitario:

Función exponencial decreciente:

Señal senoidal:

00

, dtetfsFdteetfF st

js

tjt

0 0

1

ss

edtesFtfL

stst

0 0

1

ss

edteesFtfL

tsstt

0

2

0

2

0

max

000

max

max

0000

22

sU

js

e

js

e

j

Udte

j

eeUsUtuL

tjstjsst

tjtj

Teoremas importantes de la transformada de Laplace

Teorema 1: Multiplicación por una constante:

Teorema 2: Suma y resta de dos funciones:

Teorema 3: Diferenciación:

sFktfkL

sFbsFatfbtfaL 2121

0...000

...

123121

1

1

2

2321

0lim

nnnnn

n

n

n

nnnn

t

n

n

n

ffsfsfssFsdt

tfdL

dt

tfd

dt

tfds

dt

tfdstfssFs

dt

tfdL

0lim

0

fsFstfsFsdt

tfdL

t

Teoremas importantes de la transformada de Laplace

Teorema 4: Integración:

Teorema 5: Teorema del valor inicial (sólo aplicable si f(t)

está acotada):

Teorema 6: Teorema del valor final (sólo aplicable si f(t)

está acotada):

sFstfst

0

limlim

sFstfst

limlim0

s

sFdfL

t

0

n

t

n

t t

s

sFddtdfL

n

0

11

0 0

......1 2

Teoremas importantes de la transformada de Laplace

Teorema 7: Traslación compleja:

Teorema 8: Traslación temporal:

Teorema 9: Convolución:

sFtfeL t

sFeTtuTtfL sT

sFsFsFsFtftfL 212121 **

FDT

g(t)

x(t) y(t)

X(s) G(s) Y(s)=X(s)*G(s)=X(s)G(s)

L[x(t)]

L-1[Y(s)]

Transformada inversa de Laplace mediante la expansión de

fracciones simples

Señal y sistema LTI de forma polinómica

Raices simples

FDT

g(t)

x(t) y(t)

X(s) G(s) Y(s)=X(s)*G(s)=X(s)G(s)

L[x(t)]

L-1[Y(s)]

n

n

ss

k

ss

k

ss

ksY

...

2

2

1

1

issii sYssk

2

2

N sG s

D s

1

1

N sX s

D s

1 2

1 2

N s N sY s X s G s

D s D s

tsn

i

iiekty

0

s

us(t

)

Respuesta del cuadripolo RC ante una entrada en escalón

0 1 2 3 4 5 6

x 10-3

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

From: U(1)

[s]

[us(t

)]

Ejemplo 2.3

Respuesta del cuadripolo RC ante una entrada en escalón

unitario

tudt

tduRCtu s

s

e

RCs

sAV

1

1

RCs

k

s

k

RCsssAsUsU Ves

11

11 21

11

1

/1

2

01

RCs

s

ss

sURC

sk

sUsk RCt

s etu /1

Transformada inversa de Laplace mediante la expansión de fracciones

simples

Raíces múltiples

i

i

i

i

ss

r

ir

r

ss

r

ir

ss

r

ir

ss

r

ir

sYssds

d

rA

sYssds

dA

sYssds

dA

sYssA

1

1

1

2

2

2

1

!1

1

!2

1

ri

r

iirn

rn

r

irn ss

A

ss

A

ss

A

ss

k

ss

k

ssssss

sQsY

.........

2

21

1

1

1

Ejemplo 2.4

Determinar el comportamiento dinámico de un barco ante una entrada

unitaria en el cambio del timón de éste. Con este propósito se ha extraído

un diagrama a bloques y un modelo de comportamiento para un conjunto

de velocidades válidas. Así, se observa que el ángulo dado en radianes

del timón, provoca un par de giro sobre el barco de , el cual

provoca un giro sobre el barco según la siguiente ecuación diferencial,

Por otro lado, el sistema de transmisión mecánica del timón de control, x(t),

al timón del barco, responde a:

Considérese condiciones iniciales nulas.

Perturaciones

Barco Turbina Controador

Norte

x (t) (t)

(t)

(t)

Perturbaciones

Barco Turbina Transmisión mecánica

Norte

P (t)

(t)

)(t

)(500)( ttPradNm

)(002.0)(10)( tPtt

)()()( txtt

Ejemplo 2.4

Perturaciones

Barco Turbina Controador

Norte

x (t) (t)

(t)

(t)

Perturbaciones

Barco Turbina Transmisión mecánica

Norte

P (t)

(t)

110

002.0

500

1

1

3

2

1

sssP

ssG

s

sPsG

ssX

ssG

sGsGsGsXs 321

0.1 1 0.1 1

0.1

1

1 2 1 1 2 2

s

k

s

k

s

a

s

a

s s s s s

9

1001.0

9

11

11

1

1.02

11

0

2

1

0

2

2

s

s

s

s

ssk

ssk

ssds

da

ssa

tt eett 1.0

9

100

9

111

Uso de Matlab en las transformadas de Laplace

FDT y estímulo al escalón unitario

01210121

2

210

2

210

,

...

...

aaaaabbbbbtfg

sasasaa

sbsbsbb

sD

sNsG

nnmm

n

n

m

m

>>%Circuito RC

>> g1 = tf(1,[1e-3 1])

>>step(g1)

>>%Control del barco

>> g2 = tf(0.1,poly([0 –0.1 -1]))

>>step(g2)

RCs

sAV

1

1

Perturaciones

Barco Turbina Controador

Norte

x (t) (t)

(t)

(t)

Perturbaciones

Barco Turbina Transmisión mecánica

Norte

P (t)

(t)

1 0.1

1 0.1

s

X s s s s

Simulink (programación gráfica)

Parcial noviembre 2016

¿Cómo funciona?¿Cuál es el diagrama de bloques?

mT , TT

Caldera

vapor

x(t) Te

RTH uref

uT

Escape vapor

k

R,L

Radiador

Tarjeta

sensor

M

Ka,Ba

f(t)

Parcial noviembre 2016

mT , TT

Caldera

vapor

x(t) Te

RTH uref

uT Escape vapor

k

R,L Radiador

Tarjeta

sensor

M

Ka,Ba

f(t)

Problema 2.3

El sistema de control de una locomotora eléctrica está basado en una estructura de realimentación negativa. La velocidad de mando es convertida en una señal eléctrica con ganancia unitaria, la cual es comparada con la tensión de salida de un sensor de velocidad de traslación del tren, con ganancia kT. La señal de error ataca a un amplificador de tensión con ganancia k. Esta etapa se conecta con el motor eléctrico de la locomotora, generando la fuerza de empuje del tren. Se pide:

1. Para determinar la función de transferencia del motor, se le aplica una función en escalón de 100V a la entrada del motor. La fuerza de empuje se registra y describe la siguiente evolución temporal:

Obtener la FDT del motor.

2. Diagrama a bloques del sistema de control de la locomotora.

Datos: Masa del tren = 138 toneladas, k = 20, Constante del sensor de velocidad, kT = 1 [V/m/s]

1030 5.05.115000

tt

eetf

Problema 2.3

Por la expresión temporal, la transformada de Laplace de la fuerza del

motor aplicando el teorema de traslación compleja y descomposición en

fracciones simples será del tipo:

Para determinar km se aplicará el teorema del valor final:

31 2

1 1

30 10

kk kF s

ss s

10

1

30

1ss

k

su

sF m

m

6

15000

10

1

30

1

100limlim

00

mm

ssk

ss

k

sssFs

30 105000 1 1.5 0.5t t

f t e e

Problema 2.3

La relación entre la fuerza aplicada a la locomotora y su velocidad será:

smsF

svvmf

T

TTT

1

Problema 2.3

Problema 2.3 (casa)

Se desea el control automático de altura de un globo aerostático. Para ello se dispone de un quemador de gas controlado eléctricamente, de forma que ante una señal de referencia de 1 [V], dicho quemador aporta 1 1 al aire contenido en el globo. Tras linealizar las ecuaciones, se obtienen las siguientes ecuaciones que modelan su comportamiento:

Para poder cerrar el lazo de control se dispone de un altímetro electrónico cuyo cero se ha fijado a la altura de linealización de las ecuaciones. Dicho altímetro da una señal de 10 . La referencia al sistema de control inicialmente se da por medio de un potenciómetro lineal calibrado de forma que a un incremento de 1 metro en la referencia provoca un incremento en la tensión de referencia de 10 mV .

Determinar el diagrama de bloques y la dinámica del globo ante una entrada en escalón unitario.

)(2)()(

)(1,0)(3,0)(

0tZtT

dt

tZd

tTtQdt

tTd

t

segKcal

mmV

Problema del globo