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Encontro Nacional de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 19 a 22 de outubro, 2015 7
Colloquium Exactarum, vol. 7, n. Especial, Jul–Dez, 2015, p. 07-16. ISSN: 2178-8332. DOI: 10.5747/ce.2015.v7.nesp.000088
CLASSIFICAÇÃO DAS ÁLGEBRAS DE LIE TRIDIMENSIONAIS José Paulo Rodrigues da Silveira, Fernando Pereira de Sousa Universidade Federal de Mato Grosso do Sul – UFMS, Campus de Três Lagoas. Bolsista do Grupo PET Conexões de Saberes – Matemática/CPTL/UFMS. E-mail: josepapt@hotmail.com
RESUMO O trabalho apresenta resultados de um estudo sobre “Estruturas Algébricas com ênfase em elementos da Teoria De Lie” que foi desenvolvido como parte das atividades de pesquisa e apresentações de seminários, vinculado às disciplinas de Álgebra e Álgebra Linear, com o objetivo de um futuro aprofundamento na teoria de álgebras não comutativas. Durante o desenvolvimento do presente trabalho, foram estudados alguns conceitos de Álgebra Linear, relacionados com Espaços Vetoriais, além de alguns conceitos de álgebra, no que diz respeito a Grupos, Aneis, Corpos e Ideais. Em seguida, foram estudados as definições, proposições e teoremas necessários para a abordagem das Álgebras de Lie Solúveis e Nilpotentes, bem como a classificação de álgebras de Lie Tridimensionais. Palavras - chave: Lie, Álgebras, Solúvel, Nilpotente, Tridimensional. CLASSIFICATION OF Lie ALGEBRA DIMENSIONAL ABSTRACT The paper presents results of a study on " Algebraic Structures with an emphasis on elements of Lie Theory " that was developed as part of research activities and seminar presentations , linked to the disciplines of Algebra and Linear Algebra , with a view to a future deepening in algebra theory does not commutative . During the development of this work , we studied some concepts of linear algebra , vector spaces related , and some algebra concepts , with regard to groups, rings , Bodies and ideals . Then , the settings were studied , and theorems propositions required for the approach of Lie algebras soluble and nilpotent as well as the classification of Lie algebras dimensional Keywords: Lie, Álgebra, Soluble, Nilpotent, Three-dimensional.
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INTRODUÇÃO
Para uma melhor compreensão quanto á classificação das álgebras de Lie tridimensionais é
necessário um conhecimento básico sobre:
Definição 1: Uma álgebra de Lie é um espaço vetorial 𝔞 munido da operação colchete de
Lie:
𝔞 × 𝔞 ⟼ 𝔞 (X, Y) ⟼ [X, Y]
O colchete de Lie satisfaz às condições:
1. O colchete de Lie é bilinear, isto é,
[aX + bY, Z] = a[X, Z] + b[Y, Z][Z, aX + bY] = a[Z, X] + b[Z, Y]
, ∀ a, b ∈ ℝ e ∀ X, Y, Z ∈ 𝔞.
2. O colchete de Lie é antissimétrico, isto é, [X, X] = 0, ∀ X ∈ 𝔞.
3. A identidade de Jacobi é satisfeita ∀ X, Y, Z ∈ 𝔞:
[X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y]] = 0
Definição 2: Seja B um subconjunto de 𝔞, chamamos de centralizador de B em 𝔞, ao
conjunto z(B) = {X ∈ 𝔞/[X, Y] = 0, ∀ Y ∈ B}.
Definição 3: Se 𝔞 é uma álgebra de Lie, então o centro de 𝔞 será denotado por:
c(𝔞) = {X ∈ 𝔞/[X, Y] = 0, ∀ Y ∈ 𝔞}.
Definição 4: Seja 𝔞 uma álgebra de Lie. Dizemos que 𝔞′ é uma álgebra derivada de 𝔞 se:
𝔞′ = < {[𝑋, 𝑌]/𝑋, 𝑌 ∈ 𝔞} >.
ÁLGEBRAS DE LIE TRIDIMENSIONAIS
Seja 𝔞 uma álgebra de Lie tridimensional e seja 𝔞′ sua álgebra derivada. Classificaremos esta
álgebra através das dimensões da álgebra derivada 𝔞′.
Teorema. Seja 𝔞 uma álgebra de Lie tridimensional e tal que sua álgebra derivada 𝔞′ é nula.
Então, 𝔞 é abeliana.
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Demonstração: Suponhamos que dim (𝔞′) = 0, isto é, 𝔞′ = {0}. Neste caso, tem-se que 𝔞 é
uma álgebra abeliana.
Agora, analisaremos o caso em que dim (𝔞′) = 1. Este caso se dividirá em duas etapas, a
primeira considerando 𝔞′ ⊂ 𝑐(𝔞) e outra considerando que 𝔞′ não está contido em 𝑐(𝔞). Para
𝔞′ ⊂ 𝑐(𝔞) temos o seguinte resultado sobre classificação de álgebras de Lie tridimensionais:
Teorema. Seja 𝔞 uma álgebra de Lie tridimensional cuja álgebra derivada 𝔞′ é unidimensional.
Suponha que 𝔞′ ⊂ 𝑐(𝔞). Então, existe uma base {X, Y, Z} de 𝔞 tal que [𝑌, 𝑍] = 𝑋, [𝑋, 𝑌] = 0
e[X, Z] = 0.
Demonstração: Sejam {𝑋} e {𝑋, 𝑌1, 𝑍} bases de 𝔞′ e 𝔞, respectivamente. Como 𝔞′ ⊂ 𝑐(𝔞),
temos que para qualquer 𝑈 ∈ 𝔞′ tem-se que [U, W] = 0, ∀ 𝑊 ∈ 𝔞. Como {𝑋} é base de 𝔞′ temos
[X, W] = 0, ∀ 𝑊 ∈ 𝔞, e, em [𝑋, 𝑌1] = 0 e [𝑋, 𝑍] = 0, pois 𝑌1, 𝑍 ∈ 𝔞. Já que [𝑌1, 𝑍] ∈ 𝔞′, segue que
[𝑌1, 𝑍] = 𝑎𝑋, 𝑎 ≠ 0. Verifiquemos que 𝑎 é realmente não nulo. Caso contrário, [𝑌1, 𝑍] = 0. Como
[𝑋, 𝑌1] = 0 = [𝑋, 𝑍] temos que ∀ 𝑈, 𝑉 ∈ 𝔞, vale
[𝑈, 𝑉] = [𝑎𝑋 + 𝑏𝑌1 + 𝑐𝑍, 𝛼𝑋 + 𝛽𝑌1 + 𝛾𝑍] = 0.
Concluímos então que dim(𝔞′) = 0, contradizendo a hipótese. Definamos Y =1
𝑎𝑌1. Então,
{𝑋, 𝑌, 𝑍} também é uma base de 𝔞 e
[𝑋, 𝑌] = 0 = [𝑋, 𝑍] e [𝑌, 𝑍] =1
𝑎[𝑌1, 𝑍] =
1
𝑎𝑎𝑋 = 𝑋.
Agora, para analisar o caso em que 𝔞′ não está contido em 𝑐(𝔞) precisamos dos dois lemas a
seguir.
Lema: Seja 𝔞 uma álgebra de Lie tridimensional tal que 𝔞′ é unidimensional. Suponha que 𝔞
possua uma subálgebra bidimensional 𝔟 que não é abeliana. Então, 𝔟 é um ideal de 𝔞.
Lema. Seja 𝔞 uma álgebra de Lie tridimensional tal que 𝔞′ é unidimensional. Se 𝔞′ não está
contido em 𝑐(𝔞), então existe uma subálgebra bidimensional de 𝔞 que não é abeliana.
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Veremos a seguir, uma classificação das álgebras de Lie de dimensão três, cuja álgebra
derivada 𝔞′ é unidimensional e não está contida em 𝑐(𝔞).
Teorema. Seja 𝔞 uma álgebra de Lie tridimensional tal que 𝔞′ é unidimensional. Se 𝔞′ não está
contido em 𝑐(𝔞), então existe uma base {𝑋, 𝑌, 𝑍} de 𝔞 tal que [𝑋, 𝑌] = 𝑋, [𝑋, 𝑍] = 0 e [𝑌, 𝑍] = 0.
Demonstração: Pelo lema anterior, temos que 𝔞 possui uma subálgebra bidimensional não
abeliana 𝔟. Seja {𝑋, 𝑌} a base canônica de 𝔟 com [𝑋, 𝑌] = 𝑋. Pelos lemas anteriores, temos que 𝔟 é
um ideal de 𝔞. Logo, 𝔞 = 𝔟 ⊕ z(𝔟), onde z(𝔟) é o centralizador de 𝔟 em 𝔞. Completemos a base
{𝑋, 𝑌} de 𝔟 para obtermos a base {𝑋, 𝑌, 𝑍} de 𝔞. Como 𝔞 = 𝔟 ⊕ z(𝔟) e {𝑋, 𝑌} gera 𝔟, temos que
Z ∈ z(𝔟). Decorre daí que [𝑍, 𝑋] = 0 e [𝑍, 𝑌] = 0.
À seguir, apresentaremos o caso em que a álgebra derivada 𝔞′ é bidimensional:
Lema: Seja 𝔞 uma álgebra de Lie tridimensional tal que 𝔞′ é bidimensional. Suponha que 𝔞
possui uma subálgebra não abeliana bidimensional 𝔟. Então, o ideal 𝔞′ é diferente de 𝔟.
Demonstração: Suponhamos por absurdo que 𝔞′ = 𝔟. Tomemos uma base {X, Y} de 𝔟 com
[𝑋, 𝑌] = 𝑌. Como 𝔟 é ideal, temos que 𝔞 = 𝔟 ⊕ z(𝔟) e, daí,
𝔞′ =[ 𝔟 ⊕ z(𝔟), 𝔟 ⊕ z(𝔟)],
∴ 𝔞′ = [𝔟, 𝔟] + [𝔟, z(𝔟)] + [z(𝔟), 𝔟] + [z(𝔟), z(𝔟)]
∴ 𝔞′ = [𝔟, 𝔟] + [z(𝔟), z(𝔟)].
Como dim(𝔟) = 2 e 𝔞 = 𝔟 ⊕ z(𝔟), temos que dim(z(𝔟)) = 1. Daí, concluímos que z(𝔟) é
abeliano e, portanto, [z(𝔟), z(𝔟)] = 0. Assim, da igualdade 𝔞′ = [𝔟, 𝔟] + [z(𝔟), z(𝔟)], temos que
𝔞′ = 𝔟′. Como 𝔟′ = [ 𝔟, 𝔟] é gerado por 𝑌, temos que 𝔞′ é unidimensional, o que contradiz a
hipótese.
Definição: A aplicação ad abaixo é chamada de representação adjunta da álgebra de Lie 𝔞
𝑎𝑑(𝑋): 𝔞 → 𝔞
X ↦ 𝑎d(X)
Lema. Seja 𝔞 uma álgebra de Lie tridimensional tal que sua álgebra derivada 𝔞′ é
bidimensional. Então, ad(Z): 𝔞′ → 𝔞′ é um isomorfismo ∀ 𝑍 ∈ 𝔞, Z ≠ 𝔞′.
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O resultado a seguir classifica as álgebras de Lie Tridimensionais, cuja álgebra derivada é
bidimensional.
Teorema. Seja 𝔞 uma álgebra de Lie tridimensional tal que sua álgebra derivada 𝔞′ é
bidimensional. Então, existe uma base {X, Y, Z} de 𝔞 e escalares 𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝛿 tais que [𝑋, 𝑌] =
0, [𝑍, 𝑋] = 𝛼𝑋 + 𝛽𝑌, [𝑍, 𝑌] = 𝛾𝑋 + 𝛿𝑌, e 𝑊 = (𝛼 𝛽𝛾 𝛿
) é uma matriz invertível.
Demonstração: Por intermédio do lema anterior, como 𝔞′ é abeliana, tomemos uma base
{X, Y} de 𝔞′ com [X, Y] = 0 e estendamos esta base a uma base {X, Y, Z} de 𝔞. Ainda pelo lema
anterior, {[X, Z], [Y, Z]} também é uma base de 𝔞′, assim [𝑋, 𝑍] = 𝛼𝑋 + 𝛽𝑌 e, do mesmo modo,
[Y, Z] = 𝛾𝑋 + 𝛿𝑌, uma vez que {𝑋, 𝑌} também é base de 𝔞′. Como ad(Z) é um isomorfismo,
temos que U = (𝛼 𝛾𝛽 𝛿) é invertível, pois é a matriz do isomorfismo ad(Z).
Assim, como a transposta de uma matriz invertível também é invertível,
𝑈𝑇 = 𝑊 = (𝛼 𝛽𝛾 𝛿
) é invertível.
Definição. Duas matrizes 𝐴 e 𝐵 são chamadas cogradientes se existe uma matriz invertível
N e um número real p ≠ 0 tal que B = pNTAN.
Usaremos a notação 𝐴~𝐵 para denotar que 𝐴 é cogradientes a 𝐵.
Proposição. A relação 𝐴 é cogradientes a 𝐵 (𝐴~𝐵) é uma relação de equivalência.
A proposição a seguir nos mostra que no conjunto das matrizes simétricas e invertíveis só
existem duas classes de equivalência de matrizes cogradientes.
Proposição. Se 𝐴 é uma matriz 3 × 3 real, simétrica e invertível, então 𝐴 é cogradientes a
(1 0 00 1 00 0 1
) ou a (−1 0 00 1 00 0 1
).
Demonstração: Seja A uma matriz real, simétrica e invertível. Pelo teorema espectral,
temos que existe uma matriz ortogonal N tal que N𝑇NA é uma matriz diagonal, ou seja,
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N𝑇AN = (𝛼 0 00 𝛽 00 0 𝛾
), com 𝛼, 𝛽, 𝛾 ∈ ℝ.
Como 𝐴 é invertível e det (𝐴) ≠ 0, temos que det(N𝑇AN) = 𝛼𝛽𝛾 ≠ 0. Multiplicando
N𝑇NA por 𝛾−1, obtemos: (
𝛼
𝛾0 0
0𝛽
𝛾0
0 0 1
). Tomando 𝛼
𝛾= 𝛼′, e
𝛽
𝛾= 𝛽′, temos que 𝐴 é cogradientes a
B= (𝛼′ 0 00 𝛽′ 00 0 1
).
Mostraremos que a matriz 𝐵 é cogradiente a:
𝐶 = (1 0 00 1 00 0 1
) ou a 𝐷 = (−1 0 00 1 00 0 1
).
De fato, para mostrar isto, seja 𝑁 = (𝑥 0 00 𝑦 00 0 𝑧
).
Para simplificarmos a notação, troquemos 𝛼′ por 𝛼 e 𝛽′ por 𝛽. Dessa forma, N𝑇BN =
(𝑥2𝛼 0 0
0 𝑦2𝛽 0
0 0 𝑧²
).
Para concluir a demonstração, consideraremos todas as possibilidades para os sinais de
𝛼 e 𝛽.
Se 𝛼 > 0 e 𝛽 > 0, tomamos a matriz 𝑁 tal que 𝑥 =1
√𝛼, 𝑦 =
1
√𝛽 e 𝑧 = 1. Daí,
N𝑇BN = (1 0 00 1 00 0 1
) = 𝐶, ou seja, B~C.
Se 𝛼 < 0 e 𝛽 > 0, tomamos a matriz 𝑁 tal que 𝑥 =1
√−𝛼, 𝑦 =
1
√𝛽 e 𝑧 = 1. Daí,
N𝑇BN = (−1 0 00 1 00 0 1
) = 𝐷, ou seja, B~D.
Se 𝛼 > 0 e 𝛽 < 0, tomamos a matriz 𝑁 tal que 𝑥 =1
√𝛼, 𝑦 =
1
√−𝛽 e 𝑧 = 1. Daí,
N𝑇BN = (1 0 00 −1 00 0 1
), ou seja, B é cogradientes a E = (1 0 00 −1 00 0 1
).
Agora, observe que se tomarmos 𝑁 = (0 1 01 0 00 0 1
), teremos que
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(−1) (0 1 01 0 00 0 1
) (1 0 00 −1 00 0 1
) (0 1 01 0 00 0 1
) = (−1 0 00 1 00 0 1
).
Dessa forma, E~D.
Se 𝛼 < 0 e 𝛽 < 0, tomamos a matriz 𝑁 tal que 𝑥 =1
√−𝛼, 𝑦 =
1
√−𝛽 e 𝑧 = 1. Daí,
N𝑇BN = (−1 0 00 −1 00 0 −1
), ou seja, B~F = (−1 0 00 −1 00 0 −1
). Agora, tomemos 𝑁 =
(0 0 10 1 01 0 0
)
Notemos que:
(−1) (0 0 10 1 01 0 0
) (−1 0 00 −1 00 0 −1
) (0 0 10 1 01 0 0
) = (−1 0 00 1 00 0 1
).
Daí, temos que F~D.
Com o teorema a seguir, encerraremos as classificações das álgebras de Lie
tridimensionais:
Teorema: Seja 𝔞 uma álgebra de Lie tridimensional tal que sua álgebra derivada 𝔞′ também
é tridimensional, ou seja, 𝔞 = 𝔞′. Então, existem exatamente duas classes de álgebras de Lie
tridimensionais distintas. Uma com colchetes entre os elementos da base dados por [Y, Z] =
X; [Z, X] = Y e [X, Y] = Z e a outra com colchetes dados por [Y, Z] = −X; [Z, X] = Y e [X, Y] = Z.
Demonstração: Seja {X1, 𝑋2, 𝑋3} uma base de 𝔞. Não é difícil demonstrar que [𝑋2, 𝑋3] = 𝑌1;
[𝑋3, 𝑋1] = 𝑌2 e [𝑋1, 𝑋2] = 𝑌3 geram 𝔞′ e, portanto, constituem uma base de 𝔞′. Como 𝔞 = 𝔞′,
temos que {𝑌1, 𝑌2, 𝑌3} também é uma base de 𝔞. Denotaremos por
𝐴 = (
𝛼11 𝛼21 𝛼31
𝛼12 𝛼22 𝛼32
𝛼13 𝛼23 𝛼33
)
A matriz mudança de base de {X1, 𝑋2, 𝑋3} para a base {𝑌1, 𝑌2, 𝑌3}. Sabemos que 𝐴 é
invertível e mostremos, através da identidade de Jacobi, que a matriz A é simétrica. Com efeito,
pela identidade de Jacobi, temos que
[X1,[𝑋2, 𝑋3]] + [𝑋3[𝑋1, 𝑋2]] + [𝑋2, [𝑋3, 𝑋1]] = 0, mas
[X1,[𝑋2, 𝑋3]] + [𝑋3[𝑋1, 𝑋2]] + [𝑋2, [𝑋3, 𝑋1]] = [𝑋1, 𝑌1] + [𝑋3, 𝑌3] + [𝑋2, 𝑌2]
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= [𝑋1, 𝛼11𝑋1 + 𝛼12𝑋2 + 𝛼13𝑋3] + [𝑋3, 𝛼31𝑋1 + 𝛼32𝑋2 + 𝛼33𝑋3] + [𝑋2, 𝛼21𝑋1 + 𝛼21𝑋2 + 𝛼23𝑋3]
= 𝛼12[𝑋1, 𝑋2] + 𝛼13[𝑋1, 𝑋3] + 𝛼31[𝑋3, 𝑋1] + 𝛼32[𝑋3, 𝑋2] + 𝛼21[𝑋2, 𝑋1] + 𝛼23[𝑋2, 𝑋3]
=(𝛼12 − 𝛼21) [𝑋1, 𝑋2]+(𝛼31 − 𝛼13) [𝑋3, 𝑋1] + (𝛼23 − 𝛼32) [𝑋2, 𝑋3]
Como {𝑌1, 𝑌2, 𝑌3} é linearmente independente, a identidade de Jacobi nos diz que
𝛼12 − 𝛼21 = 𝛼31 − 𝛼13 = 𝛼23 − 𝛼32 = 0, e assim, 𝛼12 = 𝛼21, 𝛼31 = 𝛼13 e 𝛼23 = 𝛼32, mostrando
que a matriz 𝐴 é simétrica.
Consideremos agora uma outra base de 𝔞 que denotaremos por {X1 , 𝑋2
, 𝑋3 }. Temos que
X1 = 𝛽11𝑋1 + 𝛽12𝑋2 + 𝛽13𝑋3
X2 = 𝛽21𝑋1 + 𝛽22𝑋2 + 𝛽23𝑋3
X3 = 𝛽31𝑋1 + 𝛽32𝑋2 + 𝛽33𝑋3
e a matriz
𝐵 = (
𝛽11 𝛽12 𝛽13
𝛽21 𝛽22 𝛽23
𝛽31 𝛽32 𝛽33
) é invertível.
Definamos Y1 = [X2 , X3
], Y2 = [X3
, X1 ], Y3
= [X1 , X2
].
Para qualquer permutação cíclica (i, j, k) de (1,2,3) temos que
Y�� = [X��, X𝑘 ] = [𝛽𝑗1𝑋1 + 𝛽𝑗2𝑋2 + 𝛽𝑗3𝑋3, 𝛽𝑘1𝑋1 + 𝛽𝑘2𝑋2 + 𝛽𝑘3𝑋3]
= (𝛽𝑗2𝛽𝑘3 − 𝛽𝑗3𝛽𝑘2)Y1 + (𝛽𝑗3𝛽𝑘1 − 𝛽𝑗1𝛽𝑘3)Y2 + (𝛽𝑗1𝛽𝑘2 − 𝛽𝑗2𝛽𝑘1)Y3
= 𝛾𝑖1Y1 + 𝛾𝑖2Y2 + 𝛾𝑖3Y3.
Assim,
(
𝛾11 𝛾12 𝛾13
𝛾21 𝛾22 𝛾23
𝛾31 𝛾32 𝛾33
) = (𝐵𝑇)−1 det(𝐵𝑇) que é a matriz adjunta de 𝐵𝑇 .
A matriz mudança de base de {X1, 𝑋2, 𝑋3} para a base {𝑌1, 𝑌2, 𝑌3} é 𝐴 e a matriz mudança de
base de {X1 , 𝑋2
, 𝑋3 } para {X1, 𝑋2, 𝑋3} é (𝐵𝑇)−1. Portanto, se A é a matriz (𝛼𝑖𝑗 ) tal que Y�� =
��𝑖1X1 + ��𝑖2X2 + ��𝑖3X3 tem-se que
A = det(𝐵𝑇) (𝐵𝑇)−1𝐴𝐵−1
Logo 𝐴 e A são matrizes simétricas e cogradientes. Daí, 𝐴 (ou A) é cogradientes a 𝐶 ou a 𝐷
onde
𝐶 = (1 0 00 1 00 0 1
) e 𝐷 = (−1 0 00 1 00 0 1
).
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Observemos que no caso da matriz 𝐶 obtemos a primeira classe de álgebras do enunciado.
Analogamente, para a matriz 𝐷 obtemos a segunda classe de álgebras.
Exemplo. Um exemplo de álgebra de Lie tridimensional cuja álgebra derivada 𝔞′ = 𝔞 é a
álgebra 𝑠𝑙(2, ℝ) = {𝐴 ∈ 𝑀(𝑛 × 𝑛, ℝ)/ 𝑡𝑟(𝐴) = 0}.
De fato, os elementos de 𝑠𝑙(2, ℝ) são da forma (𝑎 𝑏𝑐 −𝑎
). Vamos analisar agora a sua
álgebra derivada.
𝑠𝑙(2, ℝ)′ = {[𝑋, 𝑌] / 𝑋, 𝑌 ∈ 𝑠𝑙(2, ℝ)}
Seja 𝑋 = (𝑎1 𝑏1
𝑐1 −𝑎1) e 𝑌 = (
𝑎2 𝑏2
𝑐2 −𝑎2), então
[𝑋, 𝑌] = (𝑎1 𝑏1
𝑐1 −𝑎1) (
𝑎2 𝑏2
𝑐2 −𝑎2) − (
𝑎2 𝑏2
𝑐2 −𝑎2) (
𝑎1 𝑏1
𝑐1 −𝑎1)
=(𝑏1𝑐2 − 𝑏2𝑐1 −2𝑎2𝑏1
2𝑐1𝑎2 − 2𝑎1𝑐2 −𝑏1𝑐2 + 𝑏2𝑐1).
Assim, concluímos que 𝑠𝑙(2, ℝ)′ possui dimensão 3, pois a primeira e a quarta entrada da
matriz acima são múltiplos. Portanto, 𝑠𝑙(2, ℝ) = 𝑠𝑙(2, ℝ)′.
O objetivo deste estudo é o aprofundamento na teoria de álgebras não comutativas.
METODOLOGIA
O trabalho é resultado de uma pesquisa teórica desenvolvida nos anos de 2014 e 2015,
embasada no livro “Estruturas Algébricas com ênfase em elementos da Teoria de Lie”,
desenvolvido através de discussões do tema com o orientador e apresentações de seminários
como parte das atividades do programa PET Conexões de Saberes Matemática – UFMS/CPTL no
estudo da Teoria De Lie. O trabalho incluiu uma etapa de leitura e resoluções de exercícios,
desenvolvimento das atividades propostas e a tabulação dos resultados obtidos. O estudo e as
atividades desenvolvidas foram avaliados através da apresentação de seminários de discussão.
RESULTADOS
Foram obtidos resultados importantes para a classificação de Álgebras de Lie
Tridimensionais, o que permitiu fazer aprofundamentos no tema que serão temas a serem
apresentados no TCC do curso de graduação do aluno e em apresentações de trabalhos de
pesquisas futuras.
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CONCLUSÃO
Através do trabalho foram obtidos resultados que permitem um aprofundamento em
estudos sobre a ‘Teoria de Lie’, bem como uma iniciação em conteúdos aprofundados da Álgebra
não comutativa, possibilitando assim um maior conhecimento sobre áreas diversas de
matemática.
BIBLIOGRAFIA
BARROS, C.J.B; SANTANA A.J. Estruturas Algébricas Com Ênfase em Elementos da Teoria de Lie. Maringá: Eduem, 2011. COELHO, F. U.; LOURENÇO, M. L. Um Curso de Álgebra Linear. 2ª ed. São Paulo: Edusp, 2010. HEFEZ A.; VILLELA, M. L. T. Introdução à Álgebra Linear. 1a ed. Rio de Janeiro: SBM, 2012.
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