Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de

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Comportamento Assintótico e Sincronização Robusta de Equações

Diferenciais não Lineares

MÁRCIO FUZETO GAMEIRO

Orientador: HILDEBRANDO MUNHOZ RODRIGUES

Dissertação apresentada ao Instituto de

Ciências Matemáticas e de Computação da

Universidade de São Paulo, ICMC-USP, co-

mo parte dos requisitos para a obtenção do

título de "Mestre em Ciências na Área de

Matemática".

São Carlos

Fevereiro de 1999

'Este Trabalho teve suporte financeiro da FAPESP.

AGRADECIMENTOS

Agradeço em especial ao Hildebrando, não só pela orientação, mas prin-

cipalmente pela amizade e dedicação.

Agradeço ao Professor Gaspar pela ajuda na revisão.

Agradeço aos colegas de curso, aos professores e funcionários do ICMC e,

de uma forma geral, a todos que de alguma maneira contribuíram para

a realização deste trabalho.

Resumo

Neste trabalho apresentaremos algumas condições suficientes para dissipativi-

dade e sincronização de sistemas de equações diferenciais não lineares da forma

{ ;,', --.- f (t, z, x + m(t), 71)

onde z = (x, y) E Ift.3 x IR' = IR", w = (u, v) E R3 x IR" = IR" e -Yb 'Y2 E r c R', com m(t) e rh(t) continuas e limitadas. Veremos, também, algumas aplicações

deste tipo de sincronização a sistemas de comunicação.

Abstract

In this work we give some sufficient conditions for dissipativeness and synchro-

nization of systems of nonlinear differential equations of the form

{

i = f(t, z, x + m(t), 71)

ti) = f(t, w, x + ih(t), 72)

where z = (x, y) E IR' X IRn -- 3 = lan , W = ('l , v ) E Ias x IRn- 8 = IRn and 71, 72 E

r c Ir, with m(t) and th(t) continuous and bounded. We also present some

applications of this type of synchronization to communication systems.

Sumário

Introdução 1

1 Dissipatividade e Sincronização 5

1.1 Dissipatividade Uniforme 5

1.2 Sincronização 13

1.3 Aplicações 20

1.4 Exemplos Adicionais 54

Referências Bibliográficas 59

Introdução

O objetivo deste trabalho é desenvolver métodos matemáticos para estudar sin-cronização em sistemas acoplados. Vamos considerar dois sistemas de equações diferenciais acoplados, que dependem de parâmetros, e mostrar que se os parâmetros forem suficientemente próximos, então dada qualquer solução do primeiro sistema e qualquer solução do segundo sistema, a diferença entre as duas soluções fica peque-na quando o tempo vai para o infinito. Se os parâmetros forem idênticos, então a diferença entre as soluções tende a zero exponencialmente.

Iremos considerar um tipo de acoplamento parcial, onde o primeiro sistema é de-sacoplado do segundo, e somente o segundo sistema depende do primeiro. Este tipo de sincronização foi tratado inicialmente por Pecora e Carroll em [21] e denominado por estes de Sincronização Master-Slave.

O fenômeno de sincronização tem sido largamente estudado, principalmente em áreas aplicadas. Entre as muitas aplicações podemos citar, por exemplo, osciladores mecânicos e elétricos acoplados, estudados por Afraimovich, Verichev e Rabinovich em [3]; Anishenko, Vadiva.sova, Postnov e Safonova em [5]; Carroll e Pecora em [7]; Chua, Itoh, Kocarev e Eckert em [9]; Chua, Belykh, Verichev e Kocarev em [8]; entre outros. Outra área de aplicações é em Sistemas de Lasers, estudado pelo Prof. R. Roy e seu grupo, como mostrado em Fabiny, Colet e Roy em [12]; Gills, Iwata e Roy em [13]; Gills, Roy, Murphy e Maier em [14]. Aplicações a Sistemas de Comunicação são tratadas por Cuomo e Oppenheim em [10] e 'Presser e Worfolk em [25].

Cuomo e Oppenheim em [10] e Tresser em Worfolk em [25] propõem o uso de Sincronização Master-Slave em sistemas caóticos para criptografia de mensagens conforme descrito no exemplo a seguir.

Suponhamos ter uma mensagem a ser transmitida, que será uma função contínua e limitada m: IR —> IR. Consideremos o sistema de Lorenz

{

i = —cx + o-y

Y = rx — y — xz

i = —hz +xy

(1)

que apresenta comportamento caótico. A partir desse sistema construímos dois sistemas chamados Master e Slave respectivamente. O primeiro sistema (Master) será usado para codificar a mensagem e o segundo (Slave) será usado para decodificar a mensagem recebida.

O primeiro sistema é construído da seguinte forma

{

X = —crx +cy

Y = r (x + rn(t))—y — z (x + rn(t))

i• = —bz +y(x +rn(t))

E o segundo como segue

{

á = —o-u + et

ii = r(x(t) + rn(0)—v — w(x(t) + rn(t))

lb = —bw + v(x(t)+ rn(t))

(2)

(3)

onde x(t) é uma solução qualquer de (2).

Cuomo e Oppenheim em [10] afirmam que os sistemas (2) e (3) sincronizam. Assim estes sistemas podem ser usados para criptografia de mensagens, da seguinte forma: Com a mensagem m(t), construímos o sistema (2), então resolvemos este sistema, com qualquer condição inicial, e obtemos uma solução (x(t), y(t), z(t)). Então somamos x(t) a m(t), e enviamos a mensagem codificada x(t) + m(t). O receptor da mensagem codificada, x(t) + m(t), usa esta mensagem para construir o sistema (3). Então, após resolver o sistema (3), fazemos md(t) = x(t)+ m(t) — u(t). Como os sistemas (2) e (3) sincronizam, temos que a mensagem decodificada md(t) se aproxima da mensagem original m(t), para t grande.

Neste trabalho iremos abordar este tipo de aplicação, porém com algumas al-terações, como descreveremos a seguir.

Em aplicações práticas, os parâmetros representam algum componente físico, co-mo um resistor em um circuito elétrico por exemplo. Desta forma os parâmetros das equações (2) e (3) serão próximos, mas não exatamente iguais. Assim é importante que a sincronização seja robusta à pequenas variações nos parâmetros.

A mensagem a ser enviada x(t)+7n(t) pode sofrer alguma perturbação durante a transmissão. Sendo assim, no sistema (3) devemos colocar x(t) + fit(t), onde m(t) e riz.(t) são próximas. Na prática, as mensagens podem assumir valores apenas dentro de um certo intervalo. Portanto podemos supor que existe uma constante K > O tal que toda mensagem considerada tem norma menor ou igual a K.

As idéias acima podem ser generalizadas considerando-se sistemas da forma

= f (t, z, x + m(t), 71) (4)

= f (t, w, x + fit(t), 72)

onde z = (x , y) E rts x rtn-s = Rft, w = (u, v) E IR x = Ir, 71,t2 E r c iam e m, rit E CIAR, IR?), onde CK(IR, Ri denota o espaço de Banach das funções

: IR continuas e limitadas, com Hal' = suptER ila(t)11, e tal que liali K. Neste trabalho iremos estudar sistemas da forma acima. A estratégia para provar

a sincronização para o sistema (4) consiste primeiro em provar que o sistema é uniformemente dissipativo, ou seja, que existe um conjunto limitado E, independente dos parâmetros, tal que toda solução de (4) entra em B em tempo finito e não sai mais dele, para os parâmetros variando em alguma região. Isto é feito usando-se funções tipo Liapunov associadas ao sistema (4). Após provada a dissipatividade, usamos desigualdades integrais e estimativas exponenciais para provar a sincronização dentro do conjunto limitado E.

No Capitulo 1 apresentaremos alguns resultados que garantem a dissipatividade e a sincronização do sistema (4). Neste Capitulo apresentaremos também algumas aplicações à sistemas de comunicação.

Capítulo 1

Dissipatividade e Sincronização

Neste capítulo veremos alguns resultados sobre dissipatividade e sincronização e, veremos também, algumas aplicações a sistemas de comunicação.

Durante todo este capitulo, A denotará um subconjunto de E, onde E é um espaço de Banach e 1' denotará um subconjunto de IR'.

1.1 Dissipatividade Uniforme

Seja f E C(IR x x A, R") Lipschitz em limitados com relação a x E IR", isto é, para cada E A e cada conjunto limitado B c R x R", existe uma constante

> O tal que

xl, - f(t, x2, /-11x1 - x211, V(t, (t, x2) E B. (1.1)

Consideremos a equação

= f (t, x, A). (1.2)

Denotaremos por J (to, xo, A) = (t- (to, xo, A), ti- (to , xo , A)) o intervalo maximal de existência da solução x(t, to, xo, À) da equação (1.2) com condição inicial x(to ) = xo.

O teorema seguinte nos dá condições suficientes para que as soluções da equação (1.2) sejam uniformemente limitadas.

Teorema 1.1.1. SejaV : IR x IR" x A -+ IR uma função de classe C1 . Suponhamos que existam funções contínuas a,b,c : IRn -+ IR limitadas inferiormente, tais que, para todos (t, x, À) E IR x IR" x A, temos

a(x) V (t, x, b(x)

—V(t, x, A) c(x)

onde

a ii(t,x, A) := —a v(t,x, A) +V(t, x, f (t, x, A).

at ax

Vamos assumir também que:

(i) a(x) -+ +oo quando lixil -3 +oo.

(ii) Existe p> O, tal que o conjunto

Cp := {x E Ir : c (x p}

é não vazio e limitado em .

Seja r > O suficientemente grande de forma que

r> sup b(r xECF,

Seja Ar := {x E Rn : a(r) < r}. Então as seguintes conclusões valem para a equação (1.2):

(a) Dados to E R, zo E R" e A E A, temos que t±(to, zo, À) = +oo e existe t1 > to, tal que, para todo t > ti , z(t,to, to, À) pertence ao conjunto limitado Ar.

(b) Se r(t) é uma solução de (1.2) definida para todo t E R, com suptER Ilx(t)11 < +oo, entclo x(t) E itr para todo t E R.

Demonstração: (a) Dados to E R, zo E R" e À E A, mostremos primeiro que t±(to ,x0 ,À)= +oo. De fato, suponhamos que t±(to, x o, À) < +oo. Então temos que Ilx(t, to, xo, À) II +oo quando t -4 t+ (to , zo , À). Assim existe O < 7- < t+ (t0 X0) À) tal que r(t,to,ro,À) 0 C,,, para todo T < t < t+ (to, zo, À). Segue então que c(x(t, to, xo, A))> p para todo T < t < t+ (to, Xo, À). Assim

r(t, to, zo, ,‘), À) a' c(x(t, to, zo, ,‘)) > P

logo

I. 7 (t, r(t, to, zo, À), À) < — p < O

para todo /- < t < t+ (to, zo, À). Desta forma a função t 14 V (t, (t, to , zo , À), À) é decrescente para r < t < t+ (to, zo,À), o que é um absurdo, pois ljx(t, to, xo,À)0 -4 +oo quando t t+ (to, zo, À). Portanto t+ (to , xo, À) = +oo.

Mostremos agora que existe t1 > to tal que x(t i ,t0 ,x0 ,À) E Cp. Suponhamos que não. Então para todo t > to temos que x(t,t0 , x0 , À) S C,,, o que implica c(x(t, to, xo, À)) > p. Assim

(t, x(t, to, x0, À), À) c(x(t, to, x0, À)) > p

e então

(t, x(t, to, xo, À), < — p < O.

Isso implica que t V (t,x(t,to,x0 , À), À) é uma função decrescente de t. Como V (t, x(t, to, xo, À), À) a (x(t, to, xo, À)) e a é limitada inferiormente, temos que t V(t, x(t, to, xo, À), À) é limitada inferiormente. Portanto temos que existe e é finito o limite

teco V (t, x(t, xo, À), À).

Então temos que para todo t > to, existe st E (t,t + 1) tal que

V (t + 1, x(t + 1, to, xo, À), — V (t, x(t, to, xo, À), = 1.7 (st, x(st, to, xo, À) < —P.

Fazendo t +cio obtemos uma contradição, pois o lado esquerdo da desigual- dade acima tende a zero. Portanto existe t1 > to tal que

x(ti, to, Xo, À) E Cp.

Vamos mostrar agora que x(t, t0, x0, A) E A,. para todo t > ti. Suponhamos que não. Então existe t2 > h tal que x(t2 , to, xo, À) Ø Ar e assim

V (t2 , x(t2, to xo, A), a(x(t2, to xo, A))> r. (1.3)

Como x(t i , to, xo, À) E Cp, temos que

V (th x(th xo, À), À) S. b(x(ti, xo, À)) < r. (1.4)

Assim de (1.3) e (1.4) segue que existe r E (t1, t2) tal que

V(r, x(r, to xo À), = r

V (r, x(r, to, xo, À), À) > r, Vt E (r, t2)-

Como, para x E C4,, temos que V(t, x, À) < b(x) c r, segue que x(t, to, xe, À) 0 Cp, para t E (r,t2 ). Portanto c(x(t, to, xo, À)) > p para todo t E (r,t2 ). Logo

-fr(t, x(t, to, xo, À), À) c(x(t, to , xo A))> P

e assim

(t, X(t, to, xo, 4A) < Vt E (r,t2),

o que implica que t E (r,t2) 1—> V(t,x(t, to, x,À), À) é uma função decrescente de t. Mas isso é uma contradição, pois V(r, x(r, to, xo , À), À) = r e V (t2, x(t2 , to, xo, À), À) > r. Portanto.temos que

x(t, to, xe, À) E ,4,, Vt >

(b) Suponhamos que x(t) é urna solução de (1.2) definida para todo t E IR e tal

que suptER ilx(t)li < +cc. Mostremos que x(t) E Ar para todo t E IR. De fato, suponhamos que exista r E IR tal que x(r) 0 4. Então temos que x(t) 0 Cp para

todo t < 7, pois se x(s) E para algum $ < r teríamos, pela demonstração do item (a), que x(t) E A1. para todo t> s, o que contradiz o fato de que x(7) Ø À,..

Portanto —17"(t, x(t), À) > c(x(t)) > p e assim 1.7(4 x(t), À) < —p, para todo t < 7.

Então para todo t < 7, existe st E (t — 1,t) tal que

V (t, x(t), À) — V(t — 1, x(t — 1), À) = (st, x(st ), À) —p.

Isso implica que

e assim

V (r, x(r) , À) +p S V(r - x(r - 1),À)

V('r- x(r -1), À) + p SV(r — 2, x(r — 2), À)

V(7, x(7), À) -I- 2p S V(7 — 2, x(7 — 2), À).

Prosseguindo indutivamente obtemos

V(7, x(7), À) np V(7 — n, x(7 — n), À).

Da desigualdade acima segue que V(7 —n, x (7 —n), À) —> +oo, quando n —> +oo, o que é uma contradição, pois V(t, x(t), À) < b(x(t)) e como suptat ilx(t)11 < +00, segue que b(x(t)) é limitada, o que implica V(t, x(t), À) limitada. Portanto

X(t) E .Ár, Vt E R.

Observação 1.1.1. No Teorema 1.1.1 se tivermos que c(x) —> +oo quando 114 —> +o°, então a hipótese (ii) estará satisfeita.

Exemplo 1.1.1 (Equações de Lorenz). Consideremos o sistema de Lorenz

{

± = —o-x + cry y = rx — y — xz Z = —bx + xy

(1.5)

Seja À := (o-, r, b) e seja

A := { (o-, r, b) E iFt.3 : < a < am, rm <r<rM e

onde O < a,,, < am, O < r„, < rm e O < < bm.

Fazendo u := y, z) E rt,3, e

f (u, À) := (—o-x + o-y, rx — y — xz, —bz + xy),

tomemos a seguinte função de Liapunov

V(x, y, z, À) = x2 + 1-7—y2 + — (r + 1))2. 2r 2r 2r

Então temos que

V(x, y, z, = x2 + + (.z — (r + 1))2 ‘

2+X2 ey2 2 1:rt(Z - (r + 1))2 = 1 x2 4_ tsi_n2 4_ (z2 - 2(r + 1)z + (r + 1)2) 2rm ' 2rm ' 2rm

_L x2 4_ 4_ ara_n2 ara_ ( z2 _ 2(r +1)1z1+ (r + 1)2) 2rm 2rm d 2rm

_L .x2 4_ aa_n2 4_ /a (z2 2(rm 1)1ZI (Tm -I- 1)2) =: a(x,y, Z). 2rm ' 2rm 2rm

Ainda

V(x, y, z, À) = 2.4x2 ± ti y2 + tf. (r + 1))2 <

2:..„2 x2 _i_ e_y2 (r + 1))2 = (z2 2(r + 1)z + (r + 1)2)

2r (z2 + 2(r + 1)1z1 + (r + 1)2)

en- (z2 + 2(rm + 1)1z1 + (rm + 1)2) =

(IZI ((ri.,+ 1))2 b(x , y , z).

Temos também que

V(x, y, z, À) = t.x(—crx + cry) + y(rx — y — xz) +(z — (r + 1)) (—bz + xy) =-• —f.x2 + xy — y2 + crxy — ,z2 + fl,b7(r + 1)z — 4". (r + 1)xy =

ty2 Z2 + (*:(7. + 1)z.

Assim

—V(x, y, z, À) = .7:x2 + y2 + ¶ z2 — (r + 1)z >

e x2 + y2 + z2 £Afts,. (rm + 1)1z1rM = graxa ± riva,2 fariSri,rm (z2 cemnibbffernim (rm + 1)1zI) = Tm TAr7

Lrm-X2 chay2 embm nirmrr': (r + 1)) (2̀ízil—m—fri-embb Jr. (rm + 1)) = Tm m 2amb

2 Tm T

zusti2 gatro, (I zi aMbMr" fr 2 rM

— (EM-kat r 1))2 =: c(x , y , z). Tm ru I 2.7„,b,„r„, M tr„,b,„

Claramente as funções a, b e c satisfazem as condições do Teorema 1.1.1, portanto existe um conjunto limitado B c IR3 tal que se (x(t), y(t), z(t)) é uma solução da equação (1.5), então existe t1 tal que (x(t), y(t), z(t)) E B para todo t > ti.

120-,

100-,

80,.

60N

40,

20.

O-,

-20 100

< >

-100 _40 _ao -20 -10 O 10 20 30 40

Y x

Figura 1.1: Estimativa do Atrator de Lorenz

Na Figura 1.1 mostramos um esboço do atrator de Lorenz e da região de limi-tação.

1.2 Sincronização

Sejam f, g E COR x IR" x IR" x A, Fr) satisfazendo a condição de Lipsehitz em limitados (1.1) com relação a (x, y) E IR" x llr. Consideremos o sistema

{± f (t, x, y, Ai)

g(t,x, y, A2) (1.6)

Definição 1.2.1. Dizemos que (1.6) sincroniza (globalmente) se dado E > O, existe 5> O, tal que, se IN - jj <5, então para todos to E IR, e (xo, Yo) E Rn x Rn temos que

limsupfly(t,to,xo,yo, Ài,À2) X(ty tO2 YO, Ah A2)11 < E. t->-1-03

Teorema 1.2.1. Suponhamos que:

(i) Existe um conjunto limitado E C Rn tal que, para todos to E /R, (ra, Yo) E Rn X Rn e AI, À2 E A, a solução (x(t, ta, xa, Yo, Ai, )z), y(t, to, xa, Yo, Ai, )z)) do sistema (1.6) satisfaz: tito,xo,Yo,A17 À2) = +00 e existe ti > to tal que

(X(t,i(:), X02 YO2 Ah A2), y(t, to, ro, YO2 AI; À2)) E B x E,

para todo t> ti.

(ii) Existe uma função contínua F : R x Rn x Rn x A -> .C(Rn) tal que, para todos t E /R, (x, y) E Rn X R" e À E A, temos g(t,x, y, À) - f (t,x, y)) = F (t, x, y, )t)(y -

(iii) Existi uma constante k > O tal que, para todos to E R, (xo, Yo) E Rn x Rn e),1,),2EA, existem a>0eM>0 tal que F(t,x(t),y(t),À2) de-fine um operador de evolução T(t, s, A2), com IIT(t, s, A2)11 < Mc-°@-$) e

ftt, IIT(t, s, Az)lids < k para todos t i < s <t, onde x(t) := x(t,to,x0,Y0, Ai, A2) e y(t) := y(t, to, ro, Yo, AI; )2)•

(iv) Existe uma função H: R+ -> IFt.4., contínua em O E IR.+, com H(0) = O, tal que, para todos Ai, À2 E A, xEBetE R, temos

Ilf (t, x, y) À2) f (t,x,y, AIA 11(11À2 — Adi).

Então dados to E 1R, (xo,Yo) E Rn X Rn e À1, À2 E A temos que

x(t)II 5 — + kH(I1À2 — Ai II)

para todo t > 4, onde x(t) := x(t, to, xo,Yo, À, A2), Y(t) := Y (t , to, xo, Y0, 1\ 1,1\2),

X1 := x(ti) e := Y(t1)-

Demonstração: Dados to E /R, (xo, yo) E Rn X Rn e AI, A2 E A, seja z(t) := y(t) — x(t).

Temos•que

y — = g(t, x, y, A2) f (t, Al) = = g(t, x,y, A2) f (t, x, Y, A2) f (t, x, y, A2) f (t, Al) = = F (t, x, y, A2) — x) + (f (t, x, y, A2) f (t, x, y, AI)) •

Então

.i(t) = F (t, x (t), y(t), À2)Z(t) (f (t, x (t), y (t), A2 ) — f , x(t), y(t), Ai)) .

Considetemos o problema de valor inicial

{

lb = F (t, x (t), y(t), A2) w + (f (t , x (t), Y(t), A2) — f (t, x(t), y(t), Ai)) (1.7)

w(t i ) = z(ti) =y' — xi

Seja T(t, s, À2) o operador de evolução de ia = F (t, x (t), y(t), Ma. Então a solução da equação (1.7) é dada por

w (t) = T(t,t1, A2)w (ti) + f T(t, tr, A2) (f (t, x(t), Y(t), A2) f (t, (t),y(t), À1 ))dr.

Como (t, s, À2)11 Me-0(t-8), ftt,IIT(t, s, A2) lids < k e Ilf (t, x(t), Y(t), A2) —

f (t, x(t), (t), A1)11 S H (1l A2 — A111), Para ti S s S t, segue que

¡Int) ti; A2S(t1)11+

ft: 'Int) TI A2)11 ilf z(t),y(t), A2) — f (t, x (t) , y(t), À1 )Ijdr

H(11À2 — A111) fit, ¡Int 1-7 A2)Ildl"

- Ile-a(t-td + kH(IIÀ2 — A111)-

Portanto temos que

IIy(t) r(t)11 — xijle-°("I) +kHalÀ2 —

para todo t > t i .

Teorema 1.2.2. Suponhamos que:

(i) Existe um conjunto limitado 8 C IR" tal que, para todos to E IR, (x0, yo) E IRIZ X Ir e Ai, A2E _ A _, a solução (x(t,to,ro,Y07 À17 A2), Y(t7 to, X0) yO, AI; A2)) do sistema (1.6) satisfaz: t÷(to,xo,Yo, Al) A2) = +00 e existe ti > to tal que

(x(t, to, x0) YO, Al.) A2), y(t,to, x0, yo,À1, À2)) E 8 x

para todo t > t l .

(ii) Existe uma função V : IR x IR" x A IR, de classe C', e existem constantes positivas k l , p, al a2 e fi > 1, tais que

y—x, À)+(VW (t, y—x, À), g(t, x, y, À) —f(t, x, y, À)) —pV (t, y —x , À),

— xila V(t, y — x, À) 5 «211Y - AI°

II VV(t, y — x,

para todos (x, y)E13x/3,tEIR.eAEA, onde

OV VV(t, x, À) = (t, x, À), (t, x, À))

oxi aXn

e VV(t, y — x, À) = VV(t, z, À) I.._2.

(iii) Existe urna função H1 : IR.1. -4 RA-, contínua em O E ELF, com H1(0) =O, tal que, para todos A1,À2EA,xE13etEIR, temos

lif(t, x, y, A2) f (t, X, y, A1)11 Hl (11A2 A1l1)•

Então dados to E IR, (xo, Yo) E IR" x e AI, A2 E A temos que

- x(t)II Mb' - + kH(11A2 - Adi)

para todo t ti , onde x(t) := x(t,to, xo, Yo, À2), y(t) := a := plfi,k:=( pk,+)1113 , M:= (a2/ai)"fi e H : IR+ -4 IR+

é dada por H(r) := (Hl (r)) 1/13.

Demonstração: Dados to E IR, (xo, Yo) E Rn X IR" e A1, Az E A, temos que

— = g(t, x, y, A2) — f (t,x, y, AI) =-

= (9(t, x, y, A2) — f (t, x, y, A2)) + Cf (t, X, y, A2) f (t, x, y, AI)).

(1.8)

(1.9)

A derivada de V(t, y — x, A2) ao longo das soluções do sistema acima é dada por

y — x, À2) = AV (t, y — x, À2) (VV(t, y — x, 2), g(ty x, y, À2) f (t, x, y, A2)) y — x, A2), f (t, x, y, 1\2) f (t, x, y, AI)).

Assim

(t , y(t) — x(t), A2) = &V(7", y(t) — x(t), À2) ir=t

+(VV (t, y(t) — x(t), À2), g (t, x(t), y(t), A2) f (t)X(t), y(t), A2))

+(VV(t, y(t) — (t), A2), f (t, x(t), y(t), A2) f (t, x (t), (t), Ai)).

Para t > t1 temos que (x(t), y(t)) E .8 x 8, então

V (r, y(t) — (t), A2) =t

+(VV(t, y(t) — x(t), A2) g (t, x (t), (t), A2; f (t, x(t), Y(t), 1\ 2) ) —PV (t7 Y(t) x(t), À2)

(VV(t, y(t) — x(t), A2), f (t? X(t), y(t), A2) — f (t, x(t), y(t), AI) ) I pv (t, y(t) — x(t), A2) f(t, X(t), y(t), A2) f (t, x (t), y (t) , Ai)

5 k1i4(11À2 — Aill).

Portanto

(t, y(t) — x(t), A2) —pV (t, y(t) — x(t), A2) ± ki1/1(11À2 À111)•

Logo

ePtV(t, y(t) — x(t), À2) pePtV (t, y(t) — (t), A2) S kiePtHi (1l A2 — A111)

e assim

(e(417(t, y(t) - x(t), A2)) 5 kiesHi(11À2 — MD.

Integrando esta última desigualdade de t1 a t obtemos

f t e —d (64"V (r,y(r) - x(7 ), A2)) dr 5 kiHi. (iPa - II) f er, dr,

t1 dr

e assim

ePtV (t, y (t) - x (t), A2) S ePti V (ti, Y(ti) - x(ti), A2) + HIÜIÀ2 - II) (et - ePtI) 5 ePti V (ti , y(ti) - x(ti), A2) + (11)'2 - II) ePt•

De onde segue que

17(t, y(t) - ,r(t), A2) S 6-19(t-ti)17(th Y(t1) X(t1)) A2) ± iii-111(11A2 - A111).

Assim de (1.8) segue que

ceilly(t)-x(t)11° v(t,y(t)- x(t),À2) < e-P(t-ti)V(th Y(t1) X(t1), A2) ± Al II)

a2CP(t-ti)liy(4) - x(ti)ils + - ID•

Então temos que

Ily(0 - x(011 <

1- ese-P(t-ti)Hy(4) - x(4)11° [ze-p(t-t1)11Y(tI) —

+ - II/ 1/fl

Adi)] 1/0 vp

ki,41/1(liA2 = Me-a(t-t011y(t1) — kHa1À2 —

onde usamos que (a + b)'IP < aVP + P, para a, b>0ep> 1.

Portanto temos que

11Y(t) x(t)11 MIIYI - k11- 01À2 À111)

para todo t > ti.

Corolário 1.2.1. Se o sistema (1.6) satisfaz as condições do Teorema 1.2.1 ou do Teorema 1.2.2, então o sistema (1.6) sincroniza.

Demonstração: Dado e > O, como H : IR+ -) Ift+ é contínua em O E IR+, com H(0) = O, existe .5 > O tal que se IN -4 <1 então H(11A2 - A111) < á. Assim se 11A2 -À' < .5, dados to E IR e (xo, Yo) E Rn X Rn, seja r > t1 tal que e-a(t—ti) < 217, para todo t > r. Então

IlY(t) to) x0, yO) Al.) )'2) X(t ) t02 2:0) YO3 Al) )'2) II <

Me-a(t-gd + kil(11A2 - A111) < M2+1 k =

para todo t > r. Portanto o sistema (1.6) sincroniza.

1.3 Aplicações

Nesta seção veremos algumas aplicações de sincronização de equações diferenciais à comunicações. Mais especificamente, veremos algumas aplicações à. criptografia de mensagens. A mensagem a ser criptografada será uma função m(t) contínua e limitada.

Mais precisamente, seja f E C(IR, x 1R x IRE x r, IR") satisfazendo a condição de Lipschitz em limitados (1.1) com relação a (x, y) E IR," x IR?, onde s < n. Seja rn, fiz. E CK (R, IRE). Consideremos o sistema

= f (t, z, x + rn(t), 71)

= f(t, w, x + fiz (t), 72) (1.10)

onde z = (x, y) E RE X En-8 = R" e w = (u, v) E RE x an-8 = IR".

Suponhamos que m(t) é a mensagem a ser criptografada e que o sistema (1.10) sincroniza. Então resolvemos a primeira equação (que é independente da segun-da) com qualquer condição inicial. A seguir construímos a mensagem criptografada m(t) fazendo m(t) = m(t) + x(t). Então enviamos a mensagem criptografada rne(t). Na transmissão poderá ocorrer alguma perturbação (pequena) na mensagem enviada. Por isso a mensagem recebida será rn,(t) =i(t) x(t), onde m(t) e w(t) são próximas. O receptor usa a mensagem recebida rn,(t) = ti(t) x(t) para construir a segunda equação. Então resolve-se a segunda equação, com qual-quer condição inicial, e a seguir constrói-se a mensagem decodificada rnd(t), fazendo rnd(t) = rai.(t) — u(t). Então, como o sistema (1.10) sincroniza, para 71 e 72 sufi-cientemente próximos, temos que w(t) e z(t) estão próximos para t grande. Assim u(t) se aproxima de x(t), e então rnd(t) se aproxima de rn(t), para tempos grandes.

A seguir veremos alguns exemplos deste tipo de aplicação.

Exemplo 1.3.1 (Equações de Lorenz). Consideremos o sistema de Lorenz

{

X = —o-x + o-y

y = rx — y — xz i = —bz + xy

Sejam m, fiz. E CK (IR, IR). A partir do sistema acima construímos os sistemas

{{

± = —crix + criy ü = ri(x +m(t))—y — z(x +m(t)) i = —1)1z + y(x +m(t))

ii. = —cr2u + a2v V = r2(x + fft(t))—v — tv(x + fiz(t)) ti) = —b2w + v(x + riz(t))

(1.12)

(1.13)

onde (cri, ri, bi), (cra, ra, b2) E e

:= {(cr,r, b) IR3 : < < om, rn,<r < rm e

com O < o-m, O rn, < rm e O < < bm. Sejam A = x CK(IR, TO e = (7, m(t)) E A, onde 7 = (cr,r,b) E 1".

Mostremos, primeiro, que os sistemas (1.12) e (1.13) satisfazem as condições do Teorema 1.1.1.

Para o sistema (1.12) consideremos a seguinte função de Liapunov

onde A1 = (cri, ri, bi, m(t)).

Então temos que

Vi(x, y, z, AI) = X2 + aly2 + o-1 (z — n)2 > X2 + — n)2 =

x2 + CmY2 + cr,,,(z2 — 2nz + n2) > x2 + cr„,y2 + an,(z2 — 2rmizi + = 2:2 + cr„,y2 + o-„,(1z1 — rm)2 + — rm2) =: (x, y, z).

14(x, y, z, Ai) = x.2 + ai y2 + (z — n)2 < x2 + amy2 + CM (Z — n)2 =

x2 + a my2 + a m (z2 — 2nz + n2) < x2 -I- my2 am(z2 + 2r /giz' r1?) = x2 + m ± am az' + r /t)2 bi (x, y, z).

Temos também que

1:4(x, y, z, Al ) = 2x (—aix + aiy) + 20iY (ri (x + rrb(0) — y — z(x + rrb(t)))± 2a1(z — n)(—biz+ y(x+rn(t))) —2a1x2 + 2a1xy + 2air iy(x + m(t)) — 2uly2 — 2aiyz(x + m(t)) —2a1b1z(z — + 2u1y(z — + m(t)) = —2a1x2 + 2cr1xy + 2cri ny (x + m(t)) — 2a' y2 — 2aiyz(x + m(t)) —2a1 b1z2 + 2cr1b1nz+ 2alyz(x + m(t)) — 2a ir (x + m(t)) —2a1x2 + 2cr1xy — 2a1y2 — 2a1b1z2 + 2a1b1nz.

Assim

Ai) = 2cr1x2 — 2a1xy +2uly2 + 2aibiz2 — 2cribinz = cr1x2 a1x2 _ 2a1xy +uly2 +0"iY2 + 2a1b1z2 — 2a1b1nz =

a1 x2 + (x — y)2 ± ai y2 + 2cr1b1z2 — 2aibinz > a„,x2 a 2 + 2ambmz2 — 2ambmrmizl =: ci(x, y, z).

As funções ai, b e ci obviamente satisfazem as condições do Teorema 1.1.1, portanto existe um conjunto limitado Bi C IR.3 tal que se (x(t), y(t), z(t)) é uma solução do sistema (1.12), então existe ti tal que (x(t),y(t),z(t)) E BI para todo t > ti.

De forma análoga, para o sistema (1.13) consideremos a seguinte função de Lia-punov

V2(26, V, 2D, A2) = U2 ± 0-2V2 (72(W — 1-2)22

onde À2 = (o-2, r2, b2, fil(t)).

Então temos que

V2 (14 W, A2) = U2 ± 0-2V2 0-2(W r2)2 >

U2 ± 0-n02 ± 0",n(W — r2)2 = u2 ± 0.7702 ± uni(w2 _ 2r2w + r22) > u2 + crrav2 + o-„,(w2 — 2rm I w + rn,2) = u2 + crv2 + o-Tn(Iw I — rm)2 4- o-,,,(r,,,2 — rm2) =: a2(u, v, w).

172 (U, V, W, A2) =

u2 + crmv2 + crm(w — r2)2 = u2 + o-mv2 + o-m(w2 — 2r2w + r22) < u2 + crmv2 + crm(w2 + 2rml w I + rm2) = u2 + o-mv2 + o-m( lw I + rm)2 =: b2 (u, v, w).

Temos também que

W, A2) = 2u ( —o-2u + cr2v) + 2cr2v (7.2 (x + fh(t)) — v — w (x + 771(t)))+

20-2(w r2) —b2w + v (x + 7h(t))) = —2o-2u2 + 2c2uv + 2c2r2v(x + rn(t)) — 2cr2v2 — 2cr2vw + rn(t)) —2cr2b2w (w — r2) + 2o-2v (w — r2) (x + 771(t)) = —2o-2u2 + 2cr2uv + 2o-2r2v (x + fh(t)) — 2cr2v2 — 2cr2vw (x + r71(t)) —2o-2b2w2 + 2o-2b2r2w + 2o-2vw + 771(t)) — 2o-2r2v (x + 771.(t)) = —2cr2u2 + 2cr2uv — 2cr2v2 — 2cr2b2w2 + 20-2b2r2w•

Assim

(11, V, 2V, .À2) = 2a2112 — 20"21.W + 20.2V2 -1- 20.2b2W2 20.2b2r2W =

0.2112 0.2112 20.211V 0.2V2 0.2V2 20.2b2W2 20.2b2V2W =

0.2112 ± 0.2(n — 91)2 ± 0.2V2 ± 20.2b2W2 — 20.2b2V2W >

a,„u2 + av2 + 2arabn,w2 — 2ambAirm w I c2 (u, v, w).

Novamente, as funções az, bz e cz satisfazem as condições do Teorema 1.1.1, portanto existe um conjunto limitado 82 C IR3 tal que se (u(t), v(t), w(t)) é uma solução do sistema (1.13), então existe tz tal que (u(t), v(t), w(t)) E 132 para todo t > tz.

Sejam 13 = B U /32 e t3 = max{ti, tz}. Então para toda solução (x(t), y(t), z(t)) de (1.12) e toda solução (u(t), v(t), w(t)) de (1.13), temos que

(x(t), y(t), z(t)), (u(t), v(t), w (t))) E /3 x 13

para t> t3 .

Portanto os sistemas (1.12) e (1.13) satisfazem a condição (i) do Teorema 1.2.2. Mostremos então que estes sistemas satisfazem as demais condições do Teorema 1.2.2. Sejam

(—az + ay f (x, y, z,u, v, w, À) = r(x ± rn(t)) — y — z (x + m(t))

—bz + y(x + m(t))

(—au + av

g (x , y, z , 14, v , w , À) = r(x +m(t)) —v — w(x +m(t)) •

—bw H-• v(x + m(t))

FazendoX=u— x, Y=v—yeZ=w—ztemos

(—crX + crY tu, y, z, u, v, , A) — f (x, y, z, u, v, tu, A) = —y— z(x+sTi(t)) •

—bZ + Y (x + na(0)

Então temos o seguinte sistema

{

).‘ •= —crX + crY

Y = —37 — z(x + m(0)

Z= —bZ + Y (x + m(0)

(1.14)

Para este sistema consideremos a seguinte função de Liapunov

V(X, Y, Z, A) = 2X2 + crY2 + crZ2.

Então temos que

V(X, Y, Z, A) a2 (X2 + Y2 ± Z2) = a2 ii (X, Z)112

V(X, Y, Z, A) ai (X2 +Y2 + Z2) = II (X, Y, Z)112,

onde al = inin{2, an } e a2 = max{2, CAIE Portanto a condição (1.8) do Teorema 1.2.2 está verificada.

Ihmos também que

II VV(X, Y, Z, = 11(4X, 2crY, 2crZ)II 20211(X, Y, Z)II 2a2B

onde B > O é tal que 11(x, y, z)II < B para (x, y, z) E B. Portanto a condição (1.9) do Teorema 1.2.2 está satisfeita.

Temos ainda que

= 4X (—a X + ai') +2aY — Z (x m(t)))+ 2a Z (—bZ +Y (x + m(t))) = —4a X2 + 4a XY — 2aY2 — 2aY Z (x + m(t)) —2abZ2 + 2aY Z (x + m(t)) = —4a X2 — 2aY2 — 2abZ2 + 4a XY.

Seja p> 0 tal que p < 2an„, p < 214,„ e p < p_, onde O <p < p+ são as duas raizes da equação E2 - (2+ 2am)e + 2a = O. Então

— Y, Z,A)+pV(X,Y,Z, ),)) = 2(2a— p)X2+a(2—p)Y2+a(2b—p)Z2 -4aXY.

Vamos mostrar, pelo critério de Sylvester, que — y, Z, À) ±pV(X,Y, Z, À)) é definida positiva. Para tanto precisamos mostrar que 2(2a — p) > O, 2(2a — Aa(2—p) — 4a2 > O e a(2b — p) (2(2a — p)a(2 — — 4a2 ) > O.

Como p < 2an„, ternos que 2(2a — > 2(2aff, — p) > O. E como p < p_, temos que

2(2a — p)a (? — p)— 4a2 = 2a(p2 — (2 + 2a)p + 2a) 2a (p2 — (2 +2a p 2a) > 0.

Além disso como p < 2b„„ temos que a(2b — > a(2b — p) > O e assim a(2b — p)(2(2a — p)a(2 — p) — 42) > O. Portanto pelo critério de Sylvester temos que

— (V(X, Y, Z, + pV (X ,Y, Z, A)) O

e assim

if (X, Y, Z, À) < -pV (X, Y, Z, À).

Portanto a condição (ii) do Teorema 1.2.2 está satisfeita. Vamos então verificar a condição (iii). Temos que

f (x, y, z, ti> 14 tV3 A2) "-" f (x, IV3 À1) =

((r2 — ri)x + r277/(t) — ri/n(0 — (fit(t) — m(t))z) =

—(b2 — bOz + frii(t) in(0)Y

(—(a2 — al)x + (a2 - al)Y (r2 — rOx + (r2 — ri)fit(t) + (712.(t) — m(t))ri — (772.(t) — m(t))z

— (b2 — bi)z + fril(t) — m(t))Y

Assim segue que

Ilf (x, y, z,u,v,w,À2) f (x, y, z, u, v, w,À1)11 Ia2 —0i11X1 + Ia2 —oiIy + Ir2 — rilixi + Ir2 — riJIIfihII

— milri + — mll + Ib2 — bijzj + — millyl 10'2 — lB + 10.2 — ad/3+ 17-2 — IB + Ir2 — IK

+11711, milrm + ¡lã/ — +j1)2 - + Hitt - milB = 2B1a2 — + (K + 1r2 — ril + B1b2 —b,I + (rm + 2B)11772. — mil.

Então a condição (iii) do Teorema 1.2.2 está satisfeita.

Portanto os sistemas (1.12) e (1.13) satisfazem as condições do Teorema 1.2.2, e assim pelo Corolário 1.2.1, temos que os sistemas (1.12) e (1.13) sincronizam.

Nas Figuras (1.2) e (1.3) temos algumas simulações mostrando a sincronização dos sistemas (1.12) e (1.13). Nestas simulações foram usados os seguintes valores para os parâmetros e condições iniciais respectivamente: ui = 10, r1 = 28, b1 = 8/3, cr2 = 10 + 1/100, r2 = 28 + 1/100, b2 = 8/3 + 1/100, m(t) = 3 cos(5t), tiz(t) = 3 cos(5t) + (1/100) sen(t), x(0) = 1, y(0) = 30, z(0) = —10, u(0) = —5, v(0) = —20 e w(0) = 20.

100

5 10 15 20 25 30

(a) ix(t)-u(t)i-Fly(t)-v(t)j-Fiz(t)-w(01 (b) (x(t), y(t)) = (tt(t), v(0) = - - -

Figura 1.2: Sincronização do Sistema de Lorenz

(a) m(t) = s(t) +m(t) = - - - (b) rn(t) = ind(t) = - - -

Figura 1.3: Codificação de Mensagens com o Sistema de Lorenz

Exemplo 1.3.2. Consideremos o sistema

{

± = —a x + cy ú = h(t)x — y — x .z .*=—bz+xy

(1.15)

onde h : IR -4 IR é contínua e limitada. Observemos que para h(t) r temos o sis-tema de Lorenz (1.11). Sejam m, fiz. E CK(111, R3), onde m(t) = (mi (t) , m2 (t) , m3 (t)) e fit(t) = (t), 1712 (t), 7713 (t)) . Contruimos então os seguintes sistemas

{

± = —c i x + 0-1Y

.* = —b 1.z ± (x + rni(t)) (Y + m2(t))

(1.16)

{

ti = —a2u+ a2v b = h(t)(x + ?hl (t)) — v•— (x + riti(t)) (z + fha (0)

á = —b2w + (x + /741(0) (Y + ?fia (0)

(1.17)

onde (ai, bi), (o-2,!,2) E r e

r {(a,b) ER2 :a„, < a <am e b,,,<b < bm },

com 1 <Um < am e O < bff, < bm. Poderíamos pedir apenas que an, > O, mas isto

será feito num trabalho futuro. Sejam A = r x CKOR,R3) e À = (7, rn(t)) E A,

onde 7 = (a, b) E r.

Mostremos, primeiro, que os sistemas (1.16) e (1.17) satisfazem as condições do

Teorema 1.1.1.

Seja L > O tal que Ih(t)1 < L e seja M = max{L,K}. Para o sistema (1.16)

consideremos a seguinte função de Liapunov

V]. (X? Y,Ai) = M(201 + 1) + 1 2

± 1 (

M2 (2b1 ± 1) \ X2 M m )

onde A1 = /4, rn(0) •

Então temos que

(x, z, Ai) = )2 2m2(2b1.4.1) z ± [m2(261+112) >

bt 2M2(26:+1) izi [ M2(26m+1)1 2) = b

bm M(26,n+1) 2 1 2 1 (Ii M2(26m+1)) 2+ ambm X ± my m ZI bm

M(261+1) X I 2 •- 1.2 _E 1 (z M2(261+1)

M(2bm+1) z2 Til y2 ± ml (z2 ombm

M(2bm-F1)x2 kr. y2 ± ml ( z 2 ombm

m3 (2±// ri±j.) _ m3 ebb_V) 2

bm =: ai (x, y, z). 2

vi ( x, y, z, Ai) = M(261-1-1) x2 ± i.y2 4., mi (z Mi M 2 (2bi -1-1) ) 2 <

bi M(2bm -1-1) x2 ± ml y2 ± m

o mi% 1 ( 2 Z 2 m2(2bbii +1) z + [m2(2bb,11-1)]2)

m2(2bm+i) izi ± [ bm ) m(2bm+i) x2 ± mi y2 + m ( ombrn bm I

1 z2 ± 2 2(2bm+1)12 m

, m2(2bm+1)) 2 =: bi(x, Y, z). m(2bm+i)x2 Um bm

+ ml y2 ± mi (IZI + bm

Temos também que

1.71(x, Y, z, )i) = 2M(2bi +1) x ( ai x ± 0. 1 bi

7,27 y (h (t) (x + mi (t)) — y — (x + mi (t)) (z + m3(t)))+ 2 (z M2(2b1 +1)) (_bi Z ± (X + Mi (t)) (y + rn2(t))) = m bi

2m(2b1 +1) x2 ± 2/14.(2bi +1) xy ___ 4y2 + A4yh(t)(x + mi (t)) bi bi _ ,4 y (x ± mi (0) ( z ± m3(t)) _ wz ( z m2(2bbii-i-1)) +

h (z m2(2bbi1 +0 ) (x + mi (t)) (y + in2(t)) = 2M(21;e1 +1) x2 ___ . y2 + 7127 h(t)x y 4- kh(t)mi (t)y bi

— -4m3(t)xy — i+f mi (t)m3(t)y — 21,Lf z2 + —m2 rn2(t)x.z+

hm, (t)m2(t)z + 2M(2b1 + 1)z 2m(2b1 +1) b1

m2(t)x

2 /11"(2bbi 1 +1) m1 (t)y 2M(2:1 +1) m1 (t)m2 (t).

Assim

y , z , At ) = 2M(2:11-1-1) x2 ± hy2 h(t)xy — tf h(t)trt i (t)y+ Ima (t)xy + hirtt (t)m3 (t)y + 2,4 z2 — kr% (t)xz

2m(zbini+Orn2(t)x+ —r2itn1 (t)m2 (t)z — 2M(2b1 + 1)z + 2M(261-1-1) (t) y 2m(2b51+i)rni (t)rn2(t) >

2M(2111-1-1) x2 ± hy2 ± e. x2 _ bi tElflyi

2K' ii .24(11y1_ ?JIA l xi 2AR;

—2M(2b1 + 1)1.21 2M(261:1-1-1)K x 2M(2611-1)K lyi 2M(2bi 4-1)K2 > 6

2 eX2 114-y2 +11,-122 + (Nr4Mixl — 71A71y1) +

2M2r -1-1))iy i (9IX I — SIZI) — (4M+ (b n+1) > 2: 2m2(b2161-1-1) ix (2M ± 2M(2b1 + 1)) izi 2m3

tif x2 ± by2 z2 2M2 (bm2bm +1) i x i (4m. 2M2 (bni2bm +1)) iyi

amtbm+n —(2M ± 2M(2bm + 1)) I zi ci(x, y, z).

As funções ah bt e ci obviamente satisfazem as condições do Teorema 1.1.1, portanto existe um conjunto limitado BI C IR.3 tal que se (x(t), y(t),z(t)) é uma solução do sistema (1.16), então existe t1 tal que (x(t), y(t),z(t)) E Bi para todo t > ti.

De forma análoga, para o sistema (1.17) consideremos a seguinte função de Lia-punov

V2 (U, V W A2) = u2 a2v2 w2,

onde À2 = (Cr27 b2, fil(t)).

Seja BI > O tal que 11(x, y,z)11 < BI para (x, y, z) E Bi. Então temos que

V2(U, V, W, A2) = u2 0.2v2 ▪ w2 >

U2 7niv2 ▪ w2 =: a2 (u, v, w).

V2(U, V, W, ,\2) = u2 cr2v2 ▪ w2 <

u2 amv2 ▪ w2 =: b2(U, V, W).

Temos também que

1'f2(U, V, W, A2) = 2u( — o-2u + o-2v) + 20-2v (h(t) (x + i 1 (t)) — v — (x + (t)) (z + 7723(t))) +

2w (—b2w + (x + (t)) (Y + fii2(t))) =

— 2Cr2U2 20.2V2 2b2w2 20"211V 2a2Vh(t)(X 4- MI (t))

—2a2v(x + 774 (t))(z +m3(0) + 2w(x + frii(t)) (y + mz(t)) = —(72u2 — a2v2 — 2b2w2 — 0.2(u — v)2 + 2a2vh(t)(x + (t)) —2o2v (x + 77/1 (t)) (z + m3(t)) + 2w (x + (t)) (y + 7712(t)) •

Assim

—1.72(u,v, w, A2) = o-2u2 + cr2v2 + 2b2w2 + cr2(u — v)2+ 2a2v(x + rnd (t)) (z + 771,3(t)) — 2a2vh(t) (x + r7/1 (t)) —2w (x + 7'74 (t)) (Y + faz(t)) ?- o-2u2 + a2v2 + 2b2w2 + o-2 (u — v)2 —2a2 (BI + K)(L + B1 + K)Ivi — 2(B1+ 1021wl 7mu2 + 7mv 2 +2bmw2 — 2(B1 + K)2 Iwl —20-m(B1 + K)(L + B1 + K)iv =: c2(u, v, w).

Novamente, as funções a2, b2 e c2 satisfazem as condições do Teorema 1.1.1, portanto existe um conjunto limitado B2 C IR3 tal que se (u(t),v(t),w(t)) é uma

solução do sistema (1.17), então existe t2 tal que (u(t), v(t), w(t)) E E2 para todo t > t2.

Sejam E = Ei U 52 e t3 = max{ti,t2}. Então para toda solução (x(t), y(t),z(t)) de (1.16) e toda solução (u(t), v(t), w(t)) de (1.17), temos que

((x(t), y(t), z(t)), (u(t), v(t), w(t))) EExE

para t > t3.

Portanto, os sistemas (1.16) e (1.17) satisfazem a condição (i) do Teorema 1.2.1.

Mostremos que estes sistemas satisfazem as demais condições do Teorema 1.2.1. Sejam

(—o-x + ay

f(x, y, z, u, v, w, À) = h(t)(x + Int (t)) — y — (x + Int (t)) (z ± 'n3 (t)) —bz + (x + mi(t))(y + Inz(t))

(—cru + av g (x, y, z, u, v, w, À) = h(t)(x + mi (t)) — v — (x + mi (t)) (z + ma (t)) •

—bw + (x + mi(t)) (y + Tri2 (t))

Então temos que

g(x,y,z,u,v,w, À) — f (x,y, z, u, v, w, À) = —a

O O

() a —1 O

O O

—b

u — x v — y •

Portanto os sistemas (1.16) e (1.17) satisfazem a condição (ii) do Teorema 1.2.1 com

—a a (O

F(t, x, y, z, u, v, w, À) = O —1 O =: A(7)•

O O —b

Sejam 14(7) = —1, ita('y) = —b e p3 ey) = —a os autovalores de A(7). Então, como o> 1, temos que existe uma matriz Pey) invertível, tal que

( u1(7) 0 O

Pey)-1A(7)P(7)= O 122 (7) O =: C(7)

O O 113(7)

onde P(7) é dada por

(1 cr O

P(7)= O a-1 O •

0 0 1

Seja S(t,s, À) o operador de evolução definido por C(7). Então temos que

epi etXt-s)

S(t, s, = O O

eP2(7)(t-3) O

Então temos, da equivalência de normas, que existe uma constante )31 > O tal que

11,9(4 8, À) II _< (epi (7)(t-s) ess2 (7)(t-s) ess3(7)(t-8)) < 3p1e,

onde a = min7c (7), —µ2 (7), —µ3(7)} = min{1, 11 /2„}.

Denotando por T (t, s, À) o operador de evolução definido por A(7), temos que

T (t, s, À) = P(7)S (t, s, A)P (7)-1 .

E assim

IIT(t, 8, )011 IIP(7)11 111:1(7)-111 II5(t, 8, )1/4 )11 3MIIP(7)1111P(7)-111e-a(t-3).

Como r é compacto, temos que existe fl2 = max.,Er {II P (7)11 IIP(7)-111}. Portanto temos que

IIT(t, 8, A)11 < pe—act—s),

onde fi = 3P1P2. Desta forma segue que

E A) ilds f fie-a(t-s)ds = ge-at (eat _ cedi) < g

Portanto a condição (iff) do Teorema 1.2.1 está satisfeita.

Vamos então verificar a condição (iv). Temos que

f u, v, w, A2) f z, u, v, w, =

(—(a2 — cii)x + (c72 — cii)Y

h Will]. (t) — h(t)mi (t) — Rx + fill (t)) (z + fias (0) — (x + mi (t)) (z ± m3(t))1 — —(b2 — bi)z + (x + 7711(0) (Y + fit2 (t)) — (x + mi (t)) (y + m2(t))

-(a2 — ai )x + (aa — ai)Y (ifil(t) — mi (t)) (11(t) — z) — Rift3(t) — m3(t))x + Mi(t)#t3(t) — mi (t)rra3(t)]

—(b2 — bi)z + (fiza(t) — rn2(t))x + (Mi(t) — mi(t))y + mi (07712(t) — mi(t)m2(t)

(—(a2 — cii)x+ ((Ta — cii)Y

(7711(t) — mi (t)) (h(t) — z — 7713 (t)) — (m3(t) — m3 (t)) (x + mi (t)) . —(b2 — bi)z + (Mi (t) — mi (t)) (y + M2(t)) + (M2(t) — m2(t)) (x + mi (t))

Seja B O tal que II (x, y, < B para (x, y, z) E B. Então temos que

z, u, v, w, A2) - f (x, y, z, u, v, w, A1)11 102 — aiIx + 1(72 — lyl + Iüti — miii ih(t) — z — fra3(t)1+

IN — m311 lx + mat)i + ib2 — lz1+ nli I + *hW I + 117712 — ma 11 lx + (t) I

102 —a1 B + icr2 — ajIB + — m1 Cri + B + K)+

— m311(B + + —(1W+

— li(B + + — mzil(B + = 24(72 —ad + E1,2 — bil + (L + 2E + — II+

(E ± — m211 + (E+ — m311.

Portanto a condição (iv) do Teorema 1.2.2 está satisfeita.

Portanto os sistemas (1.16) e (1.17) satisfazem as condições do Teorema 1.2.1, e então, pelo Corolário 1.2.1, temos que estes sistemas sincronizam.

Nas Figuras 1.4 e 1.5 temos algumas simulações mostrando a sincronização dos sistemas (1.16) e (1.17). Nestas simulações foram usados os seguintes valores para os parâmetros e condições iniciais respectivamente: cri = 10, bi = 8/3, cr2 = 10+1/100, b2 = 8/3 + 1/100, h(t) = 18 arctan (t), mi (t) = 6 sen (5t), m2 (t) = 3 cos (2t) , ma(t) = 4 sen(3t), ria' (t) = 6 sen (5t) + (1/100) sen (3t), ?722(t) = 3 cos (2t) + (1/100) cos (4t), rfi.3(t) = 4 sen(3t) + (1/100) sen(t), x(0) = 15, y(0) = —20, z(0) = —10, u(0) = —20, v(0) = —15 e w(0) = 20.

5 10 15 20 25 30

(a) is(o-t4oi+Iy(t)-v(01-i-jz(t)-w(t)1 (b) (x(t), r(0) = —, (u(t), v(t)) = - - -

Figura 1.4: Sincronização do Sistema (1.15)

(a) mi (t) = z(t) + (t) = - - - (t) mi(t) = mid(0 = - - -

Figura 1.5: Codificação de Mensagens com o Sistema (1.15)

Exemplo 1.3.3 (Equações do tipo Duffing Excitadas). Consideremos a equação

= y = —wx — cy — q(h(x))3 — rh(x) cos(t)

(1.18)

onde h: IR, —> IR é limitada e Lipschitz em limitados. Sejam rn, r7R. E CK(IR, Consideremos os seguintes sistemas

= y = — ciy — q1 (11(x + m(t)))

3 — r ih(x + rn(t)) cos(t)

(1.19)

riL = V

= —W271 — C2V — q2 (h (X ± 772 (t)))3 — r2h(x + rii(t)) cos(t)

(1.20)

onde (uh, ci., 41, n.), (toa, C2)42, r2) E r e

r := 00, c, q, r) R4 : com < to < com, < c < cm, qm S q<qM e rifi < r < rm} ,

com 0 <com < com, 0 < Cm < em, O <q„, < qm e O < rn, < rm. Vamos assumir que com > 52.e. Também neste caso poderíamos omitir esta restrição, mas isto será feito num trabalho futuro. Sejam A = r x CK011..,1R) e A = (7,771(0) E A, onde

= (to, c, q, r) E r.

Mostremos que os sistemas (1.19) e (1.20) satisfazem as condições do Teorema 1.1.1.

Seja L > 0 tal que ih(x)i < L. Para o sistema (1.19) consideremos a seguinte função de Liapunov

1/1(x, y, À1) = (2£01 + c)x2 + 2y2 + 2cixY,

onde .À1 = (uh, el., 41, rt, n'i(t))•

Então temos que

14(x , y, At) = (2co1 c)x2 2y2 + 2cixy > (2col + c)x2 + 2y2 — cYx2 — y2 >

2tx2 + y2 =: a (x, y).

3 /4.(x, y, À1) = (2co1 + c?.)x2 + 2y2 + 2c1xy <

(2toi + c)x2 + 2y2 + 5_ (24,44 + c2m )x2 + 2y2 + 2cm ixi ly =: bi(x, y).

Temos também que

3 (4y + 24x) — c1y —q1 (h(x + nt(t))) — h(x (t)) cos(t)] = -2C1W1X2 - 24y2 — 44y (h(x +7n(t)))

3 — 4nyh(x + m(t)) cos(t)

—2clqix (h (x + rn(t)))3 — 24rixh(x + rn(t)) cos(t).

= (2(2wi + c)x + 24Y)Y+

Assim

-17i (X, y, = 24w1 x2 + 2ciy2 + 4qiy (h(x + rn(t)))3 + 4riyh(x.+ rn (t)) cosffl+

2ciqix (h(x + rn(t)))3 + 24rixh(x + rn(t)) cos(t)

2cio.1x2 + 24y2 — 44L3Iyi — 4riLlY1— 2441L3ixi — 24nLixl 2cniw„,x2 + 2c,02 — 2c m L(qm L2 + r m)1x1 —4L(qm L2 + r m)Iyl =: ci(x,y).

Claramente as funções ah b1 e c1 satisfazem as condições do Teorema 1.1,1, portanto existe um conjunto limitado Bi C lR2 tal que se (x(t), y(t)) é uma solução do sistema (1.19), então existe t1 tal que (x(t), y(t)) E Bi para todo t > ti.

De forma análoga, para o sistema (1.20) consideremos a seguinte função de Lia-punov

14 (U) V, d\ ."—= (20)2 + 4)142 2V2 2V2VV,

onde À2 = (wz, q2, r2, 77/(t))-

Então temos que

112(24, 22, )2) = (2W2 C)U2 2v2 + 2c2uv >

(2w2 + c)u2 + 2v2 — du2 — v2 > 2w,u2 + v2 =: n2(u, v).

V2 (ti, V, A2) = (20)2 ± d)U2 2V2 2C2UV < (2412 d)U2 2V2 2c2luilvi (2r.om + c2m)u2 + 2v2 + 2c mluilvl =: b2(u, v).

Temos também que

'1'2(u, V, A2) = (2(2W2 d)li 2C2V) V+

(4v + 2c2u) [—w2u — c2v — q2 (h.(x + rn(t)) )3 - r2h(x + th(t)) cos(t)] = —2c2w2u2 — 2c,2v2 — 4q2v (h (x + rrri(t))) 3 - 4r2vh(x + (t)) cos(t)

—2c2q2u (x + ih(t))) 3 - 2c2r2uh(x + (hW) cos(t).

Assim

-12 (u, v, A2) = 2c2w2u2 2C2V2 4q2v(h(x + th(t)))3 + 4r2vh(x + rri(t)) cos(t)±

2c2q2u (h(x + th(t)))3 + 2c2r2uh(x + th(t)) cos(t)

2c2w2u2 + 2c2v2 — 4q2L3Ivi — 4r2Livi — 2c2q2L3lui — 2c2r2Llul 2c,„wynu2 + 2c,„v2 — 2cm L(qm L2 + rm)lul —4L(q m L2 + rm)Ivi =: c2(u, v).

Claramente as funções a2, b2 e c2 satisfazem as condições do Teorema 1.1:1, portanto existe um conjunto limitado 132 C IR2 tal que se (u(t),v(t)) é uma solução do sistema (1.20), então existe t2 tal que (u(t),v(t)) E 82 para todo t > tz.

Sejam B = 8 U /32 e t3 = max{ti,t2}. Então para toda solução (x(t), y(t)) de (1.19) e toda solução (u(t),v(t)) de (1.20), temos que

((x(t), y(t)), (u(t),v(t))) E 8 x 8

para t > t3.

u — x

Portanto os sistemas (1.19) e (1.20) satisfazem a condição (i) do Teorema 1.2.1. Mostremos que estes sistemas satisfazem as demais condições do Teorema 1.2.1. Sejam

f (x, y, u, v, À) = 11

—wx — cy — q (x + m(t))) — rii(x + m(t)) cos(t)

g (x, y , u, v , = 3 - CV - q (h (X -I- m(t))) — ria(x + m(t)) cos(t)

Então temos que

g(x,y,u,v, À) — f (x, y, u, v, À) —

Portanto os sistemas (1.19) e (1.20) satisfazem a condição (ü) do Teorema 1.2.1 com

F(t, x, y, u, v, À) =

Sejam pi (7) — -c±V;2-44) e p2(7) = -'1/4i2-44) os autovalores de A(7). Como > T̀2 , segue que os autovalores são distintos e têm parte real negativa. Assim

a condição (üi) do Teorema 1.2.1 se verifica de forma análoga ao Exemplo 1.3.2, tomando

a = min{ — Re (.11 (7)) Re Otz (7)) = 7E1'

Vamos agora verificar a condição (iv). Temos que

f (x, y, u, v, À2) f (x, y, u, v, AI) =-•

(—(cia — codx — + fit(t)))3 - ql (h (X ± rre(t)))3] +

(—(c02 — oh )x — (q2 — qi.) (h (x + rit(t)))3 — [ (h (x + fit(t)))3 — (1/(x + rn(t)))3] 0. -'

(—(C2 — al)!, — (r2 — ri)h(x + fit(t)) cos(t)° — (h(x + fri(t)) — h (x + rn(t))) ri cos(t) -

(— (h (x + rit(t)) — h (x + rn(t))) Rh (x + fit(t))) 2 ± (h (X ± rn(t))) 2] qi. ±

(— (it(x + fit(t)) — h (x + rn(t)))1t(x + fit(t))h(x + rn(t))qi

(

— (c02 — uh) x — (c2 — ci.)Y — (q2 — qi.) (h (x + 771(t)) )

(_(r2 — + fit(t)) cos(t) — (Ii(x + fit(e) — + m(t)) )ri cos(t))

(—(c2 — cay — (r2h(x + fit(t)) — h(x + rn(t))) cos(0) =

Temos que o conjunto

C = {x + a(t): (x,y) el3eaE CK(IR,R)}

é limitado. Como h é Lipschitz em limitados, seja T a constante de Lipschitz para h em C. Seja também B > O tal que il(x, y)li < B para (x, y) € 5. Então temos que

ilf (x, y, u, V, À2) — f (x, y, u, v, Ai) h(x + fiz.(t)) — h(x + m(t))1L2qm + I + fiz.(t)) — h(x + m(t)) IL2qm+

ih(x + ftt(t)) — h(x + m(t)) I rqm +1(02 — w1jjxj + I c2 — iYi+

I q2 (ar + ir2 - + ih(x + tit(t)) — h(x + m(t))1rm 7-(3L2qm + rm)IIM ± 1(02 — W11B ± 102 — ciiB ± 1q2 q1)1L3 1/.2 — rdL.

Portanto a condição (iv) do Teorema 1.2.2 está satisfeita.

Portanto os sistemas (1.19) e (1.20) satisfazem as condições do Teorema 1.2.1, e então, pelo Corolário 1.2.1, temos que estes sistemas sincronizam.

Nas Figuras 1.6 e 1.7 temos algumas simulações mostrando a sincronização dos sistemas (1.19) e (1.20). Nestas simulações foram usados os seguintes valores para os parâmetros e condições iniciais respectivamente: col = 1, c1 = 1, q1 = 50, r1 = 150, coz = 1 + 1/1000, c2 = 1 + 1/1000, q2 = 50 + 1/1000, r2 = 150 + 1/1000, h(t) = arctan(t), m(t) = sen(5t), r7t(t) = sen(5t) + (1/1000) cos(2t), x(0) = 20, y(0) = 35, u(0) = 30 e v(0) = —25.

10 20 30 40

(a) Ix(t) - u(t)I +1y(t) - v(t)I (b) (r(t),y(t)) = (u(t),v(t))=-

Figura 1.6: Sincronização do Sistema (1.18)

(a) m(t) = x(t) + m(t) = - - -

AIA ALAM II Y'ln,YVT1771,TT

2 't

(b) m(t) = md(t)

Figura 1.7: Codificação de Mensagens com o Sistema (1.18)

Exemplo 1.3.4. Consideremos a equação

{

X = —cex + ah(y)cos(t)

Y = —ay — wy3 — bh(x) cos(t) (1.21)

onde h: R -4 R é limitada e Lipschitz em limitados. Sejam m,tet E CK(IR,1R2), dadas por m(t) = (mi (t), m2(t)) e rigt) = (frti(t),7n2(t)) . Consideremos os seguintes sistemas

{{

i = —aix + aih(y + rn2(t)) cos(t)

Y = —ai Y — wiy3 — bi h (x + mi (t)) cos(t)

ti = —a2u + a2h(y + r72.2(t)) cos(t) /5 = —o-2v — w2v3 — b2 h(x + ?kW) cos(t)

(1.22)

(1.23)

onde (ah o"i, ah, ai, bi), (a2, (72, wz, a2 b2) E Feféoconjuntodos'y = (a, o-, to, a, b) E 1R5 tais que O < ce,„ < a < am, O < < < O < com < < com, O < a,.„ < a< am eO<bm <b <bm. Sejam A = x R2) e À = (7, m(0) EA.

Mostremos que os sistemas (1.22) e (1.23) satisfazem as condições do Teorema 1.1.1.

Seja L > O tal que Ih(x)1 < L. Para o sistema (1.22) consideremos a seguinte função de Liapunov

Vi(x , y , = X2 + Y2,

onde A1 = o"i, uh, ai, ri(t))-

Então temos que

14(x, y, = x2 + y2 =: cii(x ,Y) •

1/4 (x , y , = x2 + y2 =: (x, y).

Temos também que

= 2x ( —ceix + alla(y+ m2(t))cos(t))+ 2y (—aly — ony3 — bih(x + (t)) cos(t)) = —2aix2 + 2aixh(y + m2(t)) cos(t) — 20"1Y2 —2wi Y4 — 2/Uh(x + (t)) cos(t).

Assim

44(x, Y, Ai) = 2ceix2 — 2ctixh(y + m2(t)) cos(t) + 20"19+ 2w1y4 + 21nyh(x + mi(t)) cos(t) ?_ 2ceix2 + 2aly2 + 2wiy4 — 2aiLlx1 — 2c4„x2 2a- y2 + 204,04 — 2amL lx I — 2bAILlyi =: (x, y)•

Claramente as funções ai, 1h e ci satisfazem as condições do Teorema 1.1.1, portanto existe um conjunto limitado BI C lR2 tal que se (x(t), y(t)) é uma solução do sistema (1.22), então existe t1 tal que (x(t),y(t)) E Si para todo t > ti.

De forma análoga, para o sistema (1.23) consideremos a seguinte função de Lia-punov

V2(24 V, A2) = 242 ± V2,

onde A2 = (aa, cfa, (02, a-2, b2,1h(t)).

Então temos que

V2(24, V, )'2) = + V2 =: aa(u, v).

V2(1, V, A2) = td2 2/2 =: b2(u, v).

Temos também que

17.2(u, v, A2) = 2u (—aau + ct2h(y + r7t2(t)) cos(t))+ 2v (—cfav — wavs — b2h(x 772.1(t)) cos (t)) = —2a2u2 + 2a2uh(y + r7i2(t)) cos(t) — 2u2v2 —2cv2v4 — 2b2vh(x + ?hl (t)) cos(t).

Assim

—17.2 (V, V, A2) = 2a2u2 — 2a2uh(y + ftia(t))cos(t) + 2u2v2+ 212/2v4 + 2b2vh(x + ril l (t)) cos (t) 2a2u2 + 2522)2 + 2cv2v4 — 2a2Llul — 2b2Livj > 2au2 + 2u,,v2 + 2w,,v4 — 2amLlul — 2bm.L I v =: (u, v).

Claramente as funções aa, 192 e ca satisfazem as condições do Teorema 1.1.1, portanto existe um conjunto limitado /32 C IR2 tal que se (u(t), v(t)) é uma solução do sistema (1.23), então existe ta tal que (u(t), v(t)) E Ba para todo t >

Sejam 8 = 8 U 82 e ta = max{ti, ta}. Então para toda solução (x(t), y(t)) de (1.22) e toda solução (u(t), v (t)) de (1.23), temos que

((x(t), y(t)), (u(t), v(t))) E .8 x

para t > ta.

Portanto os sistemas (1.22) e (1.23) satisfazem a condição (i) do Teorema 1.2.1. Mostremos que estes sistemas satisfazem as demais condições do Teorema 1.2.1. Sejam

f (x,y,u,v, ) = ( —ca + ah(y + m2(0) cos(t) )

A —ay — ofy3 — bh(x + mi (0) cos(t)

—ou + ah(y + m2(0) cos(t) g(x,y, u, v, A) = —av — wv3 — bh(x + mi(t)) cos(t) .

Então temos que

(

—a O u — x)

O —c — of(y2 + yv + v2)) (v — y .

Portanto os sistemas (1.22) e (1.23) satisfazem a condição (ii) do Teorema 1.2.1 com

(—a O F(t, x, y, u, v, À) = O --c—of(y2 +yv+v2 ) .

Mostremos agora que os sistemas (1.22) e (1.23) satisfazem a condição (iii) do Teorema 1.2.1.

De fato, dadas (x(t), y(t)) e (u(t), v(t)) soluções de (1.22) e (1.23), respectiva-mente, seja t1 como no item (i) do Teorema 1.2.1. Então dados t1 < a < t, vamos estimar o operador de evolução T(t, s, À) gerado por

F (t, x(t), y(t), u(t), v (t), = (-a

0 -a - (t)2 + y(t)v(t) + v(t)2 )

Seja w(t) = y(t)2 + y(t)v(t) + v(t)2 > O. Então temos o seguinte sistema

{ = -aY - ukp(t)Y

Seja

Tu T12 (t, a, A) T (t, 8, A) =

Então temos que Tn(t,s, A) = e-4"), 712(48,A) O e T21 (t, $, A) E O. Para T22 (t, 8, A) temos

T22 (i, , = ef :(-e'v'fr ))dr = e-e( t- s ) f: ww(r )dr <

pois cp(r) O, e assim -ist unp(r)dr O.

Então temos, da equivalência de normas, que existe M > O tal que

IIT(4 8,A)11 < —M2 (e-a(t-s) e-e(t-s)) <

onde p = min{a.„„ an } .

()1121(t, s, A) T22 (i, S , A) .

Segue então que

ilT(t, s , <í Me ) ds < —M ti t,

Portanto a condição (iii) do Teorema 1.2.1 está satisfeita

A condição (iv) do Teorema 1.2.1 se verifica de forma análoga ao Exemplo 1.3.3.

Portanto os sistemas (1.22) e (1.23) satisfazem todas as condições do Teorema 1.2.1, e então, pelo Corolário 1.2.1, temos que estes sistemas sincronizam.

Nas Figuras 1.8 e 1.9 temos algumas simulações mostrando a sincronização dos sistemas (1.22) e (1.23). Nestas simulações foram usados os seguintes valores para os parâmetros e condições iniciais respectivamente: coi = 1, ai = 1, ai = 1, b1 = 10, e1 = 12, wz = 1 + 1/1000, a2 = 1 + 1/1000, az = 1 + 1/1000, b2 = 10 + 1/1000,

= 12 + 1/1000, h(t) = arctan(t), (t) = cos(4t), m2(t) = 5 sen(t), = cos(4t) + (1/1000) sen(t), 71i2(t) = 5 sen(t) + (1/1000) cos(t), x(0) = 2, y(0) = -3, u(0) = 5 e v(0) = 1/2.

10 15 20 25 30

(a) lx(t) - v(01+ lu(t) - v(t)I (b) (r(t),y(t)) = (11(0,v(0) =---

Figura 1.8: Sincronização do Sistema (1.21)

iÁIAAAA

II fi

(a) mi(t) x(t) + mi(t) = - - - (b) (t) mid(t) = - - -

Figura 1.9: Codificação de Mensagens com o Sistema (1.21)

1.4 Exemplos Adicionais

Nesta seção apresentaremos mais alguns exemplos de sistemas de equações que, acreditamos, sincronizam. Mostraremos também algumas simulações que reforçam esta idéia. Contudo não provaremos a sincronização para estes exemplos. Isto será feito num trabalho futuro.

Exemplo

Sejam

1.4.1 (Equações

m, fiz. E CK(R,R).

= y

= —coix —

de Duffing). Consideremos a equação

= y = —um — cy — q cos(11t)x — fix3

(1.24)

(1.25)

Consideremos os seguintes sistemas

ctY — q1cos(SZit)(x 4- in(t)) — + ni(t)) 3

it = v á = —co2u — c2v — q2 cos(f22t)(x + ft t(t)) — )32(x + frt(0) 3

(1.26)

onde (col,chqi,fi1,ni),(0)2,02,4,2,fiz,ç22) Er er éo conjunto dos 7 = (co , c, q o 3 ,S-2) E

O <,6<fi<fime 0<f2„,<S2<f2m.

Nas Figuras 1.10 e 1.11 temos algumas simulações mostrando a sincronização dos sistemas (1.25) e (1.26). Nestas simulações foram usados os seguintes valores para os parâmetros e condições iniciais respectivamente: col. = 5, q = 50, b1 = 8, c1 = 3, ni = co2 = 5 + 1/1000, q2 = 50 + 1/1000, b2 = 8 + 1/1000, c2 = 3 + 1/1000, Ç22 = + 1/1000, m(t) = sen(5t) , = sen(5t) + (1/1000) cos(t), x(0) = 2, y(0) = 10, u(0) = —2 e v(0) = —10.

(a) jx(t) - u(t) ¡ ly(t) - (b) (x(t), it(t)) = (u(t),v(t)) = - - -

Figura 1.10: Sincronização do Sistema de Duffing

(a) m(t)=—, z(t)-i-ngo= - - - (1)) m(t) md(t) - -

Figura 1.11: Codificação de Mensagens com o Sistema de Dufilng

Exemplo 1.4.2 (Equações de Chua). Consideremos o sistema

{

± = —ar + ay — ah(x)

ü=x—y+z

z= —í3!, — thz

(1.27)

onde h : IR —> IR é dada por

h(x) = —bx + b ; a (1x +11 — lx — 11) ,

com a> b> Oeb<1.

Sejam na, ria E CK(IR, IR). Consideremos os seguintes sistemas

{

± = —aix + aty — aihi (x + na(t))

y=(x+rn(t))—y+z

.i = -As - ¡luz (1.28)

10 15 20 25 30

{

ú= —a2u + a2v — a2h2(x + fh(t)) V = (x + rh(t)) — v + w ti) = —)32y — paw

(1.29)

onde 111(x) = —bi x+ kir (1x +11-1x — 11), h2(x) = —b2 x + (1x +11-1x — 11), (a2, fia, 142, a2, b2) Ereréo conjunto dos ry = (a, )3, µ, a, b) e 115

tais que O < a„, < < am, O < )3,„ < < )3m, O < µ,,,, < < pm, O < b„, < b < bm < 1 e bm < 2m < a < am.

Nas Figuras 1.12 e 1.13 temos algumas simulações mostrando a sincronização dos sistemas (1.28) e (1.29). Nestas simulações foram usados os seguintes valores para os parâmetros e condições iniciais respectivamente: al = 7, PI = 100, = 1/2,

= 8/7, b1 = 5/7, a2 = 7 + 1/100, )32 = 100 + 1/100, g2 = 1/2 + 1/100, a2 = 8/7+ 1/100, b2 = 5/7+ 1/100, m(t) = 7sen(5t), th(t) = 7sen(5t) + (1/100) cos(t), x(0) = —15, y(0) = —9, z(0) = 8, u(0) = —7, v(0) = —8 e w(0) = 0.

(a) jx(t)-u(t)14-iy(t)-v(t)11-1z(t)-10(01 (b) (z(t), y(t)) = (u(t), v(0) = - - -

Figura 1.12: Sincronização do Sistema de Chua

-4

(a) m(t) = x(t)± m(t) = - - - (b) m(t) = md(t) = - - -

Figura 1.13: Codificação de Mensagens com o Sistema de Cima

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