Contagem e Probabilidade

Contagem e

Probabilidade

Contagem

Processo para se encontrar o número de elementos de um conjunto ou das possíveis respostas em uma situação problema.

Sendo usado para esse fim um raciocínio matemático chamado Princípio Multiplicativo.

Princípio MultiplicativoSe uma escolha E1 possui n

opções, uma escolha E2 m opções e assim sucessivamente até uma escolha Ek com p opções. Temos que o número total(contagem) de maneiras de fazermos as escolhas E1, E2,..., Ek , será o produto das opções em cada escolha, ou seja, n.m.....p.

Probabilidade

possíveiscasosdetotalnfavoráveiscasosden

nEnEP

)()()(

Onde E é o evento e o espaço amostral

Vamos aos exemplos!

Exemplo 1:Maria vai sair com suas amigas e, para

escolher a roupa que usará, separou 2 saias e 3 blusas. Vejamos de quantas maneiras ela pode se arrumar.

E1E2

Fazendo a contagem pelo princípio multiplicativo

E1 E2 2 . 3 = 6 saias blusas

6 maneiras de fazer as escolhas E1 e E2 , ou seja, 6 possibilidades diferentes de se vestir.

Exemplo 2:Um restaurante prepara 4 pratos

quentes (frango, peixe, carne assada, grelhado), 2 saladas (verde e russa) e 3 sobremesas (sorvete, romeu e julieta, frutas). De quantas maneiras diferentes um freguês pode se servir consumindo um prato quente, uma salada e uma sobremesa?

E1

E2

E3

Fazendo a contagem pelo princípio multiplicativo

E1 E2 E3 4 . 2 . 3 = 24 p. q. sal. Sobr.

24 maneiras de fazer as escolhas E1, E2 e E3 , ou seja, 24 modos do cliente se servir com o cardápio.

Exemplo 3:Se o restaurante do exemplo anterior

oferecesse dois preços diferentes, sendo mais baratas as opções que incluíssem frango

ou grelhado com salada verde, de quantas maneiras você poderia se alimentar

pagando menos?

E1

E2

E3

Fazendo a contagem pelo princípio multiplicativo

E1 E2 E3 2 . 1 . 3 = 6 p. q. sal. Sobr.

6 maneiras de fazer as escolhas E1, E2 e E3 , ou seja, 6 modos do cliente se servir com o cardápio.

Qual é a probabilidade de nesse restaurante uma pessoa fazer

uma refeição barata ?

Qual é a probabilidade de nesse restaurante uma pessoa fazer

uma refeição barata ?

possíveiscasosdetotalnfavoráveiscasosdenEP

)(

Qual é a probabilidade de nesse restaurante uma pessoa fazer

uma refeição barata ?

possíveiscasosdetotalnfavoráveiscasosdenEP

)(

%2525,0246)( EP

Exemplo 4:

De quantas maneiras você pode ir da cidade A para a cidade X?

A para X

Fazendo a contagem pelo princípio multiplicativo

E1 E2 E3 5 . 2 . 4 = 40 A a Y Y a B B a X

40 maneiras de fazer as escolhas E1, E2 e E3 , ou seja, 40 caminhos diferentes de A para X.

Exemplo 5:

De quantas maneiras você pode ir da cidade A para a cidade Y?

A para Y

Fazendo a contagem pelo princípio multiplicativo

E1 E2 E3 3 . 4 . 2 = 24 A a X X a B B a Y

24 maneiras de fazer as escolhas E1, E2 e E3 , ou seja, 24 caminhos diferentes de A para Y.

Exemplo 6:

De quantas maneiras você pode ir da cidade B para a cidade Y?

B para Y

Fazendo a contagem pelo princípio multiplicativo

E1 E2 E3 4 . 3 . 5 = 60 B a X X a A A a Y

60 maneiras de fazer as escolhas E1, E2 e E3 , ou seja, 60 caminhos diferentes de B para Y.

Exemplo 7:

De quantas maneiras você pode ir da cidade B para a cidade X?

B para X

Fazendo a contagem pelo princípio multiplicativo

E1 E2 E3 2 . 5 . 3 = 30 B a Y Y a A A a X

30 maneiras de fazer as escolhas E1, E2 e E3 , ou seja, 30 caminhos diferentes de B para X.

Exemplo 8:

De quantas maneiras você pode ir da cidade A para a cidade B?

A para B

Fazendo a contagem pelo princípio multiplicativo

E1 E2 ou E3 E4 3 . 4 + 5 . 2 = 22 A a X X a B A a Y Y a B

22 maneiras de fazer as escolhas E1 e E2 ou E3 e E4 , ou seja, 22 caminhos diferentes de A para B.

Qual é a probabilidade de irmos da cidade A para X sabendo que

algumas estradas estão fechadas ?

A para X

Fazendo a contagem pelo princípio multiplicativo

E1 E2 E3 3 . 1 . 2 = 6 A a Y Y a B B a X

6 maneiras de fazer as escolhas E1, E2 e E3 , ou seja, 6 caminhos diferentes de A para X.

possíveiscasosdetotalnfavoráveiscasosdenEP

)(

Qual é a probabilidade de irmos da cidade A para X sabendo que

algumas estradas estão fechadas ?

possíveiscasosdetotalnfavoráveiscasosdenEP

)(

%1515,0406)( EP

Qual é a probabilidade de irmos da cidade A para X sabendo que

algumas estradas estão fechadas ?

Exemplo 9:

Considerando números formados com três digitos e usando os algarismos 0,2,3,5,6,7 e 9 responda:

a) Quantos nºs de três dígitos podemos formar?

b) Quantos são impares ?

c) Quantos são impares distintos ?

d) Quantos são pares ?

e) Quantos são pares distintos ?

Usando os algarismos 0,2,3,5,6,7,9a) Quantos nºs de três dígitos podemos formar? Ex: 567, 336, 999, 432, 905, 562, 037, 579, ...

E1 E2 E3

6 . 7 . 7 = 294 menos 0

294 nºs de três dígitos.

Usando os algarismos 0,2,3,5,6,7,9b) Quantos são impares ? Ex: 567, 337, 992, 439, 905, 560, 237, 579, ...

E2 E3 E1

6 . 7 . 4 = 168 menos 0 3,5,7,9

168 nºs impares de três dígitos.

Usando os algarismos 0,2,3,5,6,7,9c) Quantos são impares distintos ? Ex: 567, 337, 957, 539, 905, 565, 237, 579, ...

E2 E3 E1

5 . 5 . 4 = 100 menos 0 e E1 3,5,7,9

100 nºs impares de três dígitos distintos.

Usando os algarismos 0,2,3,5,6,7,9d) Quantos são pares ? Ex: 567, 332, 956, 536, 902, 562, 236, 579, ...

E2 E3 E1 ou E2 E3 E1

6 . 7 . 1 + 6 . 7 . 2 = 126 menos 0 0 menos 0 2,6 126 nºs pares de três dígitos.

Usando os algarismos 0,2,3,5,6,7,9e) Quantos são pares distintos ? Ex: 567, 332, 956, 536, 902, 562, 226, 576, ...

E2 E3 E1 ou E2 E3 E1

6 . 5 . 1 + 5 . 5 . 2 = 80menos 0 0 menos 0 e E1 2,6 80 nºs pares de três dígitos distintos.

Usando os algarismos 0,2,3,5,6,7,9

Impar Par Total

Ambos 168 126 294

Distinto 100 80 180

Repetido 68 46 114

Se todos os números formados estão em uma urna qual é a

probabilidade de escolhermos um número impar distinto ?

Se todos os números formados estão em uma urna qual é a

probabilidade de escolhermos um número impar distinto ?

possíveiscasosdetotalnfavoráveiscasosdenEP

)(

Se todos os números formados estão em uma urna qual é a

probabilidade de escolhermos um número impar distinto ?

possíveiscasosdetotalnfavoráveiscasosdenEP

)(

%3434,0294100)( EP

Exemplo 10:

Um professor tem 15 alunos e deseja fazer uma fila com 4 alunos. Quantas filas diferentes ele pode montar?

E1 E2 E3 E4

15 . 14 . 13 . 12 = 32760

32760 filas diferentes.

Exemplo 11: Em um país são realizadas eleições para os

cargos: presidente, vice-presidente e governador. Vinte candidatos, entre eles Pedro, disputam os cargos.

a) Quantos resultados diferentes pode ter essa eleição?

b) Quantos resultados apresentam Pedro como vice?

a) Quantos resultados diferentes pode ter essa eleição?

E1 E2 E3

20 . 19 . 18 = 6840 presi. vice gov.

6840 resultados diferentes.

b) Quantos resultados apresentam Pedro como vice?

E2 E1 E3

19 . 1 . 18 = 342 presi. vice gov.

342 resultados com Pedro como vice.

Qual é a probabilidade de Pedro ganhar como vice ?

Qual é a probabilidade de Pedro ganhar como vice ?

possíveiscasosdetotalnfavoráveiscasosdenEP

)(

Qual é a probabilidade de Pedro ganhar como vice ?

possíveiscasosdetotalnfavoráveiscasosdenEP

)(

%505,06840342)( EP

Exemplo 12: Quinze seleções disputam o torneio

olímpico de vôlei masculino, entre elas Brasil e França.

a) Quantos resultados diferentes pode ter esse torneio?

b) Em quantos resultados o Brasil recebe medalha, mas a França não?

a) Quantos resultados diferentes pode ter esse torneio?

E1 E2 E3

15 . 14 . 13 = 2730 ouro prata bronze

2730 resultados diferentes.

b) Em quantos resultados o Brasil recebe medalha, mas a França não?

E1 E2 E3

1 . 13 . 12 = 156 ou Brasil +

13 . 1 . 12 = 156 ou Brasil +

13 . 12 . 1 = 156 Brasil 468 resultados ouro prata bronze

Qual é a probabilidade do Brasil ganhar medalha e a França não?

Qual é a probabilidade do Brasil ganhar medalha e a França não?

possíveiscasosdetotalnfavoráveiscasosdenEP

)(

Qual é a probabilidade do Brasil ganhar medalha e a França não?

possíveiscasosdetotalnfavoráveiscasosdenEP

)(

%1717,02730468)( EP

Você sabe o que é um anagrama?

Anagrama é uma palavra formada pela transposição (troca) de letras de outra

palavra.

Exemploploexemmexeplopemexolloepemxxopemel

. . . . . .

Exemplo 13: Considerando os anagramas

da palavra vestibular, responda:

a) Quantos são?

b) Quantos começam por consoante e terminam por vogal?

c) Quantos apresentam as letras VESTI juntas nessa ordem ?

d) Quantos começam por E, a quarta letra é T e terminam por consoante ?

V e s t i b u l a ra) Quantos são? E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 E10

10.9 .8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 = = 3628800 anagramas.

b) Quantos começam por consoante e terminam por vogal?

E1 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 E10 E2

6. 8 . 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1. 4 = cons. vog.v,s,t,b,l,r e,i,u,a

= 967680 anagramas.

c) Quantos apresentam as letras VESTI juntas nessa ordem ?

VESTI B U L A R E1 E2 E3 E4 E5 E6

6 . 5. 4. 3. 2. 1 = VESTI

= 720 anagramas.

d) Quantos começam por E, a quarta letra é T e terminam por consoante ?

E1 E4 E5 E2 E6 E7 E8 E9 E10 E3

1. 7 . 6. 1. 5. 4. 3. 2. 1. 5 = E T cons.

v,s,t,b,l,r

= 25200 anagramas.

Exemplo 14: A senha de um computador é

formada por 5 letras, escolhidas entre as 26 do alfabeto.

a) Quantas senhas podemos formar ?b) Quantas senhas de letras distintas

podem ser formadas começando e terminando por consoante ?

a) Quantas senhas distintas podemos formar?

E1 E2 E3 E4 E5

26 . 26 . 26 . 26 . 26 =

= 11881376 senhas.

b) Quantas senhas de letras distintas podem ser formadas começando e terminando por consoante ?

E1 E3 E4 E5 E2

21 . 24 . 23 . 22 . 20 = cons. cons.

= 5100480 senhas.

Qual é a probabilidade de um bebê brincando com um teclado

digitar uma senha com letras distintas começando e

terminando por consoante?

Qual é a probabilidade de um bebê brincando com um teclado

digitar uma senha com letras distintas começando e

terminando por consoante?

possíveiscasosdetotalnfavoráveiscasosdenEP

)(

Qual é a probabilidade de um bebê brincando com um teclado

digitar uma senha com letras distintas começando e

terminando por consoante?

possíveiscasosdetotalnfavoráveiscasosdenEP

)(

%4343,0118813765100480)( EP

Exemplo 15:

Quantos carros podem circular em um país em que as placas são formadas por 2 letras seguidas de 4 dígitos ?

E1 E2 E3 E4 E5 E6

26 . 26 .-. 10 . 10 . 10 . 10 = L L N N N N

= 6760000 de placas.

Qual é a probabilidade de minha placa conter consoantes

distintas com todos os nºs impares e distintos?

possíveiscasosdetotalnfavoráveiscasosdenEP

)(

E1 E2 E3 E4 E5 E6

21 . 20 .-. 5 . 4 . 3 . 2 = L L N N N N

= 50400 de placas.

possíveiscasosdetotalnfavoráveiscasosdenEP

)(

%7,0007,0676000050400)( EP

Qual é a probabilidade de minha placa conter consoantes

distintas com todos os nºs impares e distintos?

A questão da ordem Todo problema de contagem deve

decidir se será...

Com ordem

A ordem é importante e produz resultados

diferentes

Ou

Sem ordem

A ordem não é importante e produz resultados repetidos

Então como saber se é

Com ordem sem ordem

ou

Quando as escolhas são feitas em conjuntos distintos por gênero dos

elementos (opções), basta-se apenas aplicar o Princípio Multiplicativo sem

preocupação com a ordem!

Como foi feito no caso das vestis de Maria ou da refeição no restaurante.

Mas, quando as escolhas são feitas em conjuntos semelhantes pelo gênero dos elementos (opções), é necessário :

- aplicar o Princípio Multiplicativo no caso do problema ser com ordem. (Arranjo)

Ou- aplicar o Princípio Multiplicativo dividido pela Permutação

do nº de escolhas no caso do problema ser sem ordem. (Combinação)

Exemplo de permutação: P5 = 5.4.3.2.1 = 120

Como foi feito nos casos dos anagramas, competições ou na formação de nºs com dígitos. Todos casos de arranjo.

Exemplo de Combinação(sem ordem)

Quantos grupos de 4 alunos podemos formar em uma sala de 30 alunos?

Exemplo de Combinação(sem ordem)

Quantos grupos de 4 alunos podemos formar em uma sala de 30 alunos?

30 . 29 . 28 . 27

Exemplo de Combinação(sem ordem)

Quantos grupos de 4 alunos podemos formar em uma sala de 30 alunos?

30 . 29 . 28 . 27 = 4 . 3 . 2 . 1

_________________________

Exemplo de Combinação(sem ordem)

Quantos grupos de 4 alunos podemos formar em uma sala de 30 alunos?

30 . 29 . 28 . 27 657720 = = 4 . 3 . 2 . 1 24

_________________________ ______________

Exemplo de Combinação(sem ordem)

Quantos grupos de 4 alunos podemos formar em uma sala de 30 alunos?

30 . 29 . 28 . 27 657720 = = 274054 . 3 . 2 . 1 24 grupos

_________________________ ______________

Exemplo de Combinação(sem ordem)

Dispondo-se de abacaxi, acerola, goiaba, laranja, maçã, mamão, melão, limão, manga, pêssego e amora, calcule quantos sucos com sabores diferentes pode-se preparar, usando-se 5 frutas distintas.

Exemplo de Combinação(sem ordem)

Dispondo-se de abacaxi, acerola, goiaba, laranja, maçã, mamão, melão, limão, manga, pêssego e amora, calcule quantos sucos com sabores diferentes pode-se preparar, usando-se 5 frutas distintas.

11 . 10 . 9 . 8 . 7

Exemplo de Combinação(sem ordem)

Dispondo-se de abacaxi, acerola, goiaba, laranja, maçã, mamão, melão, limão, manga, pêssego e amora, calcule quantos sucos com sabores diferentes pode-se preparar, usando-se 5 frutas distintas.

11 . 10 . 9 . 8 . 7 = 5 . 4 . 3 . 2 . 1

_______________________

Exemplo de Combinação(sem ordem)

Dispondo-se de abacaxi, acerola, goiaba, laranja, maçã, mamão, melão, limão, manga, pêssego e amora, calcule quantos sucos com sabores diferentes pode-se preparar, usando-se 5 frutas distintas.

11 . 10 . 9 . 8 . 7 55440 = = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 120

_______________________ ______________

Exemplo de Combinação(sem ordem)

Dispondo-se de abacaxi, acerola, goiaba, laranja, maçã, mamão, melão, limão, manga, pêssego e amora, calcule quantos sucos com sabores diferentes pode-se preparar, usando-se 5 frutas distintas.

11 . 10 . 9 . 8 . 7 55440 = = 462 5 . 4 . 3 . 2 . 1 120 sabores_______________________ ______________

Exemplo de Combinação(sem ordem)

Qual é a probabilidade de ganhar na mega- sena marcando-se 3 cartões?

Exemplo de Combinação(sem ordem)

Qual é a probabilidade de ganhar na mega sena marcando-se 3 cartões?

60 . 59 . 58 . 57 . 56 . 55

Exemplo de Combinação(sem ordem)

Qual é a probabilidade de ganhar na mega sena marcando-se 3 cartões?

60 . 59 . 58 . 57 . 56 . 55 =

6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1

_____________________________________

Exemplo de Combinação(sem ordem)

Qual é a probabilidade de ganhar na mega sena marcando-se 3 cartões?

36045979200 =

720 _____________________________________

Exemplo de Combinação(sem ordem)

Qual é a probabilidade de ganhar na mega sena marcando-se 3 cartões?

= 50063860

resultados

Então temos:

possíveiscasosdetotalnfavoráveiscasosdenEP

)(

%000006,000000006,050063860

3)( EP