Probabilidade e Estatistica

Probabilidade e Estatística– Autor: Professor Diogo Eduardo Pasqual Penna - [email protected]– www.ucs.br – 54 9104 24 88 -

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ÍNDICE CAPÍTULOS I-INTRODUÇÃO.................................................................... pág.4

• Estatística Descritiva • Estatística Indutiva ou Inferencial a) coleta contínua b) coleta periódica c) coleta ocasional

Apuração dos Dados; Apresentação dos Dados; Análise dos resultados; A Estatística nas Empresas II-POPULAÇÃO e AMOSTRA (ESTIMADOR ESTATÍSTICO)....pág.5 Variável;Variável qualitativa (qualidade);Variável quantitativa (quantidade); População;Amostra Simbologia Utilizada para o estudo de uma população; Simbologia Utilizada para o estudo de uma amostra; III- CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS: em Barras, em Colunas, de Setores IV- MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL – DADOS NÃO AGRUPADOS ...........................................................................................pág.8 a)Cálculo da Média (mean): b)Cálculo da Moda (mode) c)Cálculo da Mediana (median): V- A DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA DE DADOS AGRUPADOS – MAS SEM INTERVALOS DE CLASSES..............................................pág.10 Diagramas de freqüência - tabelas Média; Mediana e Moda – Exercícios diversos Dados Brutos e Rol VI – MEDIDAS DE DISPERSÃO OU VARIABILIDADE ................pág.14 Desvio Médio; Variância; Desvio Padrão; Coeficiente de Variação de Pearson e de Thorndike; VI-a – SEPARATRIZES.........................................................................pág.19 (Quartis- Decis- Percentis) – Medidas de Posição – Coeficiente Percentílico de Curtose - Classificação das Curvas ( leptocúrtica; mesocúrtica e platicúrtica); Rol e Dados Brutos – Exercícios


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VI-b –COEFICIENTE DE ASSIMETRIA.............................................pág.23 VI–c–SÉRIES ESTATÍSTICAS DISCRETAS COM CÁLCULO ABREVIADO DA VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO (SEM CALCULAR O DESVIO MÉDIO)................................................................................pág.24 VII – DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA EM CLASSE ( DADOS AGRUPADOS).........................................................................................pág.25 Dados Brutos e Rol Conceitos Básicos: 1.Limites de Observação 2.Intervalo de Observação 3.Amplitude de Observação 4.Definição do número de classes – Regra de Sturges 5.Construção da Distribuição de Freqüência : 6.Construção da Distribuição de Freqüência 7.Classe de uma (Distribuição de Freqüência) 8.Limites de Classe 9.Amplitude de Classe (h) 10.Limites da Distribuição de Freqüência 11.Amplitude da Distribuição de Freqüência 12.Número de observações 13.Variável: 14.Ponto Médio de Classe Fórmulas para calcular a mediana, a Moda calculada e a Curtose: 15.O Cálculo da Mediana na Distribuição de Freqüência com Dados Agrupados ou Grupados 16.O cálculo da Moda Calculada 17.O cálculo da CURTOSE (Coeficiente Percentílico de Curtose) na Distribuição de Freqüência em Classes ( Dados Agrupados). 18.Fórmulas para o cálculo dos quartis; Fórmula para o cálculo dos percentis; 19.Classificação das Curvas; Gráfico da curva polida 20.A freqüência calculada VIII – PROBABILIDADE.......................................................................pág31 Experimento Aleatório Definição Espaço Amostral


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Tipos de Probabilidade: • probabilidade clássica ( ou teórica) • probabilidade empírica ( ou estatística) • Probabilidade Subjetiva

VIII. a) DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE..............................pág.37 VIII b) PROBABILIDADE CLÁSSICA.................................................pág.41

• Probabilidade de um Evento • Probabilidade da não ocorrência de um evento • Probabilidade de uma união (eventos mutuamente excludentes)

ou“o terceiro postulado de probabilidade” • Probabilidade de uma intersecção • Intersecção e união no mesmo exercício – utilização conjunta de

ambos na mesma fórmula: • evento elementar: apenas um ponto amostral • evento certo: igual ao espaço amostral S • evento impossível: conjunto vazio

• Princípio da Multiplicação • Amostragem com reposição • Amostragem sem reposição

• Arranjos !

( )!

n

n k−

• Combinações

• Probabilidade Condicional Pr( )Pr( )

Pr( )

A BA B

B

∩=

Eventos independentes: são dois eventos que não se afetam mutuamente. Probabilidade Condicional: é a probabilidade de ocorrência de um determinado evento, quando se sabe que outro evento ocorreu.

• Eventos complementares (p + q =1 ⇒ q = 1- p)

• Eventos Independentes Pr( ) Pr( )A B A= Pr( ) Pr( )A B A=

• Eventos Mutuamente Exclusivos • Exercícios

IX – Regressão e Correlação Linear................................................. pág.62


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X –Distribuição Normal Reduzida.................................................... pág.69 XI- Intervalos de Confiança para a Média....................................... .pág 72 XII-Testes de Hipóteses e Níveis de Significância......................... pág 79 XIII – BIBLIOGRAFIA........................................................................pág.83 Fórmulas ............................................................................... págs. 84 Tabela z....................................................................................... pág.89 ---------------------------------------------------------------------------------------------- I-INTRODUÇÃO:

A Estatística é uma parte da Matemática Aplicada que fornece métodos para a coleta, organização, descrição, análise e interpretação de dados e para a utilização dos mesmos na tomada de decisões. Estatística Descritiva: trata da coleta, da organização e da descrição dos dados. Estatística Indutiva ou Inferencial : trata da análise e da interpretação dos dados. A coleta pode ser direta ou indireta. A direta pode ser:

a)coleta contínua: registro de nascimentos e óbitos e da freqüência dos alunos às aulas. b)coleta periódica: feita em intervalos constantes como os censos (10 em 10 anos) e as avaliações mensais de alunos. c)coleta ocasional: quando feita extemporaneamente. Exemplo: no caso de epidemias que assolam ou dizimam rebanhos inteiros.

A coleta indireta é feita através de dados colhidos por uma coleta direta (exemplo: pesquisa sobre a mortalidade infantil). Apuração dos Dados: é a soma e o processamento dos dados obtidos e a disposição mediante critérios de classificação. Pode ser manual ou eletrônica. Apresentação dos Dados: Os dados devem ser apresentados sob forma adequada (tabelas e/ou gráficos) tornando mais fácil o exame e o tratamento estatístico.


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Análise dos resultados: O objetivo último da Estatística é tirar conclusões sobre o todo (população) a partir de informações fornecidas por parte representativa do todo (amostra). Nesta fase entramos na Estatística Indutiva ou Inferencial da onde tiramos conclusões e previsões. A Estatística nas Empresas : no mundo atual , a empresa é uma das vigas-mestras da Economia dos Povos. A direção de uma empresa, de qualquer tipo, privadas estatais ou governamentais (públicas), exige de seu administrador a importante tarefa de tomar decisões, e o conhecimento e o uso da Estatística facilitarão seu tríplice trabalho de organizar, dirigir e controlar a empresa. Por meio de sondagem, de coleta de dados e de recenseamento de opiniões, podemos conhecer a realidade geográfica e social, os recursos naturais, humanos e financeiros disponíveis, as expectativas da comunidade sobre a empresa, e estabelecer suas metas, seus objetivos com maior possibilidade de serem alcançados a curto, médio ou longo prazos. A Estatística ajudará em tal trabalho, como também na seleção e organização da estratégia a ser adotada do empreendimento e, ainda, na escolha das técnicas de verificação e avaliação da quantidade e da qualidade do produto e mesmo dos possíveis lucros e /ou perdas. Tudo isso que se pensou, que se planejou, precisa ficar registrado, documentado, para evitar esquecimentos, a fim de garantir o bom uso do tempo, da energia e do material e, ainda, para um controle eficiente do trabalho. O esquema do planejamento é o plano, que pode ser resumido, com auxílio da Estatística, em tabelas e gráficos, que facilitarão a compreensão visual dos cálculos matemático-estatísticos que lhes deram origem. O homem e a mulher de hoje, em suas múltiplas atividades, lançam mão de processos e técnicas estatísticas, e só estudando-as evitaremos o erro das generalizações apressadas à respeito de tabelas e gráficos apresentados em jornais e revistas e na televisão, frequentemente cometido quando se conhece apenas “por cima” um pouco de Estatística. Concluído este curso o aluno terá um conhecimento básico que deverá ser aperfeiçoado no futuro, mas o pontapé inicial será dado aqui. II-POPULAÇÃO e AMOSTRA (ESTIMADOR ESTATÍSTICO) variável: é o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno. Matematicamente é representada pelas últimas letras do alfabeto: r, s, t, u. v,


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w, x, y e z. A soma de todas as variáveis será representada aqui pela letra “n”

ou 1

n

i

fi=∑ . Símbolo de somatório ∑ .

Variável qualitativa (qualidade): é quando seus valores são expressos por atributos:sexo masculino ou feminino, cor da pele (amarela, branca, negra, vermelha, parda, etc.) . Variável quantitativa (quantidade):quando seus valores são expressos em números (salários, idades etc). Podem ser Contínuas ou Discretas. População: Conjunto a ser estudado Amostra: subconjunto finito de uma população.

- a amostra deve ser suficientemente grande. - seus constituintes devem ter sido selecionados ao acaso.

A Estatística Indutiva tem por objetivo tirar conclusões sobre as populações, com base em resultados verificados em amostras retiradas dessa população. Mas para as inferências serem corretas, é necessário garantir que a amostra seja representativa da população, isto é, deve possuir as mesmas características básicas da população, no que diz respeito ao fenômeno que desejamos pesquisar. É preciso que a amostra seja obtida por processos adequados.A amostragem pode ser simples ou complexa. É importante que cada elemento da população tenha a mesma chance de ser amostrado. Técnicas de Amostragem:

• Amostragem casual ou aleatória simples. • Amostragem estratificada: utilizada quando a população se divide em

subpopulações – estratos.(90 alunos(as) de uma escola) sexo população 10% Amostra MASCULINO 54 10x54/100 = 5,4 5 FEMININO 36 10x36/100 = 3,6 4 total 90 10x90/100 = 9 9 Tabela n.º 01

• Amostragem Sistemática: é quando os elementos da população já se acham ordenados, não havendo necessidade de construir o sistema de referência. São exemplos os prontuários médicos de um hospital, os prédios de uma rua, as linhas de produção. Exemplo: Suponhamos uma rua contendo novecentos prédios, dos quais desejamos obter uma amostra formada de cinqüenta prédios. 900/50=18. Seriam selecionados 18 prédios através de sorteio sistemático.


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Simbologia Utilizada para o estudo de uma população: µ = mi ou mu (utilizada para representar a média da população). σ = sigma ( utilizada para representar o desvio padrão da população)

2σ = sigma ao quadrado. (utilizado para representar a variância da população) N = n.º total de elementos da população (’N’ maiúsculo) Simbologia Utilizada para o estudo de uma amostra: X = X BARRA ( utilizado para representar a média da amostra). S = do inglês – standard deviation (utilizado para representar o desvio padrão da amostra.

2S = S ao quadrado (utilizada para representar a variância da amostra) n = n.º total de elementos da amostra ( ‘n’ minúsculo) III-SOMATÓRIOS símbolo = ∑ = Letra sigma maiúscula do alfabeto grego que representa uma soma. Exemplo: 1 2 3 4 5 6X X X X X X+ + + + + pode ser representado abreviadamente por

6

1i

i

X=∑ (lê-se: somatório de iX com i variando de 1 a 6)

Neste caso 1 é o limite inferior do somatório e 6 o limite superior do somatório. lim sup

lim inf

ite erior

iite erior

X∑

Exemplo: calcule 5

2

1

3i

i=∑ resolução: 2 2 2 2 23.1 3.2 3.3 3.4 3.5+ + + +

52

1

3i

i=∑ =3 + 12 + 27 + 48 + 75 →

52

1

3i

i=∑ = 165

Exercícios de Aprendizagem:

1- Calcule: a) 6

1

(5 2)i

i=

−∑ Resp: 93 ; b) 2

3

(1 )i

i=−

−∑ Resp: 9


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2- Calcule: ( )10

0

1

2i

i

=

−∑ Resp: 22

3- Encontre S, sendo S = 3 5

2 2

1 1

( 2 )j r

j r r= =

+ −∑ ∑ Resp: 39

4- Calcule 3 4

2

0 1

( 1) (4 )n j

n j= =

− + −∑ ∑ Resp: -12

5- Calcule 1

1

2nn

∞

=∑ Resp: � 0 (aproximadamente zero)

IV- MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL – DADOS NÃO AGRUPADOS Média, mediana, moda. Separatrizes: Mediana, quartis, decis e percentis Estudaremos a seguir três medidas de tendência central, são elas: Media – Mediana – Moda Dados os seguintes valores: 7, 8, 10, 10, 10, 9, 15, 13, 12, 11

a) Cálculo da Média (mean):

µ = 7 8 9 10 10 10 11 12 13 15

10

+ + + + + + + + + = 10,5

A média é utilizada quando desejamos obter a medida de posição que possui maior estabilidade e quando houver necessidade de um tratamento algébrico ulterior. Desvantagem: é afetada pelos valores extremos.

b) Cálculo da Moda: A moda é o valor que ocorre com maior freqüência. Mo = 10

Se nenhum valor se repetisse a distribuição seria amodal (sem moda). Assim como poderia haver duas modas (bimodal), três modas (trimodal) e mais de três modas (multimodal). A moda é utilizada quando desejamos obter uma medida rápida e aproximada de posição e quando a medida de posição deve ser o valor mais típico da distribuição.


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c)Cálculo da Mediana (median): é uma medida de posição definida como o n.º que se encontra no centro de uma série de números, estando estes dispostos segundo uma ordem (crescente ou decrescente). É o valor situado de tal forma no conjunto que o separa em dois subconjuntos de mesmo n.º de elementos.

Md = 7, 8, 9,10, 10, 10, 11, 12, 13, 15 Verificamos que, estando ordenados os valores de uma série e sendo “n” o n.º de elementos da série, o valor mediano será:

-O termo de ordem 1

2

n + , se n for ímpar

-A média aritmética dos termos de ordem 12 2

n ne + se n for par.

No exemplo acima n é par. Então o cálculo da mediana será a soma dos termos centrais divididos por dois. 10 + 10 = 10. Ou então: 2

0 010 101 5 6

2 2e e+ = (é a média aritmética entre o quinto e o sexto elemento da

distribuição) Mediana: 10 + 10 = 10 2 Exercícios: α)calcular a média, a moda e a mediana da série abaixo relacionada: 5, 13, 10, 2, 18, 15, 6, 16, 9 Resp: Md = 10; µµµµ = 10,4; amodal β) 2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 21 χ) 5, 7, 13, 15 δ)5, 7, 10, 13, 65 ε)2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9


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V- A DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA DE DADOS AGRUPADOS – MAS SEM INTERVALOS DE CLASSES Quando trabalhamos com dados discretos (valores inteiros) utilizamos a seguinte organização dos dados: Suponha uma população com uma distribuição estatística conforme a tabela abaixo: Disciplina: BIOESTATÍSTICA n.º 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 nota 5 4 6 8 3 5 7 6 8 4 6 9 7 5 7 5 6 8 7 9 4 6 6 8 7 (tabela n.º 2)

- População estatística: grupo dos 25 alunos de Bioestatística. - Unidade estatística: cada aluno desta turma - Variável estatística: as notas de uma prova de Bioestatística.

Organização destes dados através de uma Tabela de Freqüência

iX if iF rif riF 3 1 1 1/25 = 4 % 4% 4 3 4 3/25 = 12% 16% 5 4 8 4/25 = 16% 32% 6 6 14 6/25 = 24% 56% 7 5 19 5/25 = 20% 76% 8 4 23 4/25 = 16% 92% 9 2 25 2/25 = 8 % 100%

∑ 25 100%

(tabela n.º 03) iX = variável estatística: nota de cada aluno podendo variar de 0 a 10.

if = freqüência simples ou absoluta é os valores que realmente representam o n.º de dados.

iF = frequência acumulada é o total das freqüências de todos os valores inferiores ao limite superior de cada dado.

rif = frequência relativa: são os valores das razões entre as freqüências simples

e a freqüência total: rif = if /1

n

i

fi=∑ .

Pergunta-se: Quanto por cento dos alunos tirou nota igual ou inferior a 6? Resp: 56%.


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Qual o percentual de alunos que tirou nota igual ou superior a 7 ? Resp: 44% Qual a nota que obteve o maior percentual de ocorrência ? Resp: 6 (24%). Desta forma, com os dados organizados, é possível tirar conclusões. Utilizando os dados das tabelas n.ºs 2 e 3, pág 5, calcule a média, a mediana e a moda.

iX if iF iX . if

3 1 1(até o prim.) 3x1 = 3 4 3 4(até o quar.) 4x3 = 12 5 4 8(até o oitavo) 5x4 = 20 6 6 14(até o 14 ) 6x6=36 7 5 19 7x5=35 8 4 23 8x4=32 9 2 25 9x2=18

∑ 25 156

Tabela n.º 4 Quando os dados estão agrupados utiliza-se as seguintes fórmulas para o cálculo da:

Média = µ = i i

i

X f

f∑∑

= 156

25= 6,24

Obs: Quando não temos freqüência utiliza-se: i

ri

ff

n=∑

, sendo n minúsculo

quando se trata de amostra e N maiúsculo quando é toda a população que está sendo calculada. (n = total da amostra; N = total da população). Moda = não é necessário cálculos para obtenção da moda, basta observar na coluna das freqüências simples ou absolutas qual o valor que mais ocorre (aquele que têm a maior freqüência), neste caso é a nota 6. Mo = 6

Mediana = Utiliza-se a fórmula : 2

ifP = ∑ = 25/2 = 12,5

Ou utiliza-se a regra: 1

2

n + 025 113

2

+=

Ou seja, a mediana está situada entre o 012 e o 013 elementos (soma-se os dois e divide-se por dois). Observa-se então na coluna das freqüências acumulada aonde se encontra o 13 (décimo-terceiro) elemento. Este corresponde a variável 6.


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Md = 6 Exercícios de Aprendizagem φ ) Um dado foi jogado 20 vezes, sendo obtidos os seguintes pontos:1, 5, 6, 5, 2, 2, 2, 4, 6, 5, 2, 3, 3, 1, 6, 6, 5, 5, 4, 2. Elabore um quadro com distribuição de freqüências absolutas, frequências absolutas acumuladas, freqüências relativas e freqüências relativas acumuladas. Qual a média, a mediana e a moda desta distribuição de freqüências com dados agrupados mas “sem intervalos de classe”. γ )Após montar a tabela do exercício anterior ‘ φ ’ responda as questões abaixo: a)Quantas vezes o n.º 2 foi obtido no dado ? resp: 5 vezes b)Quantas vezes o n.º obtido do dado foi menor do que 5 ? resp: 11 vezes c)Qual o índice em % em que o n.º 6 foi obtido no dado ? resp: 20% d)Qual o índice em % em que n.ºs maiores do que 4 foram obtidos no dado? Resp: 45% θ ) A tabela abaixo mostra a média dos 25 alunos de uma turma de um curso de Administração noturno na disciplina de Matemática Aplicada. Responda as perguntas abaixo: a)Elabore uma quadro de freqüências absolutas, absolutas acumuladas; de freqüências relativas e relativas acumuladas. Calcule a média, a mediana e a moda desta distribuição. b)Quantos alunos obtiveram a média 6? Resp: 6 c)Quantos alunos obtiveram média menor do que 6 ? resp: 12 d)Quantos alunos obtiveram média superior a 6 ? 7 e)qual o índice em % de reprovação considerando a média 5? Resp: 20% f)Qual o índice em % de alunos eu obtiveram média maior do que 7? 16% g) Qual o índice em % de alunos que obtiveram média maior ou igual a 5,0 e menor do que 7? Resp: 52 %. Quadro - Disciplina: Matemática Aplicada – Turma de Administração -


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n.º 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 nota 4 7 5 5 5 4 9 4 5 6 6 7 6 6 5 4 4 8 7 6 6 8 5 5 8 Tabela n.º 5

iX if iF iX if rif riF

4 5 6 7 8 9 ∑∑∑∑ Tabela n.º 6

ρ ) Em uma escola, o conceito de cada bimestre é representado por letras: A, B, C, D e E. Em um determinado bimestre, os conceitos dos alunos em geografia foram os seguintes: Disciplina: geografia – conceitos do bimestre n.º 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C B A C C D C D A A C E D D C B C B C C B

Tabela n.º 7 Elabore um quadro de distribuição de frequências absolutas e freqüências absolutas acumuladas.

τ ) Os salários mensais, em dezenas de reais, dos 20 funcionários de uma empresa são:

72, 72, 80, 88, 84, 72, 76, 80, 92, 72, 76, 80, 84, 72, 68, 76, 80, 72, 88 e 76 Elabore um quadro de distribuição de freqüências absolutas e absolutas acumuladas. Calcule os salários: médio, mediano e modal. Tabela 8 (completar) VI – MEDIDAS DE DISPERSÃO OU VARIABILIDADE


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Estudaremos aqui o Desvio Médio (dm); a Variância [ ( 2 2ou Sσ → ]; o desvio padrão [ ou Sσ → → ] e os Coeficientes de Variação de Pearson e de Thorndike. Desvio Médio: O quadro abaixo mostra o n.º de acidentes ocorridos durante um ano, subdivididos em 4 trimestres em uma Fundição Trimestre 1.º 2.º 3.º 4.º Acidentes 5 8 6 9 Tabela 9 Cálculo da média de acidentes:

µ = 1 2 3 4 5 8 6 9

4 4

X X X X+ + + + + += = = 7

Calculemos agora as diferenças entre cada uma das notas e a média X ou X Xµ − → → −

dm = 61,5

4 4

5 − 7+8 − 7+6 − 7+9 − 7= = Daí podemos dizer que a fórmula

para calcular o desvio médio quando não temos freqüência é a

seguinte: 1 1

n n

i ii i

X X Xdm ou dm

N n

µ= =

− − = → → =∑ ∑

x f X (media) d(desvio) f.d 2d f. 2d

5 1 7 2 2 4 4 8 1 7 1 1 1 1 6 1 7 1 1 1 1 9 1 7 2 2 4 4

∑ 4 10

2

2

1

f X XS

f

−=

−∑∑

(fórmula para o cálculo da variância de uma amostra)

2

2 f X

f

µσ

−= ∑

∑(fórmula para o cálculo da variância da população)


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10

4 = 2,5 (variância = somatório dos desvios elevados ao quadrado

divididos pelo tamanho total da população)

2s s= (fórmula para calcular o desvio padrão da amostra)

2σ σ= (fórmula para o calculo do desvio padrão da população)

2,5σ = = 1,58 (desvio padrão = raiz quadrada da variância)

CV= Coeficiente de Variação de Pearson

CV = 1,58.100 .100

7

S

X= = 0,2257.100 = 22,57%

Exercício: Qual o desvio médio do conjunto de dados: 7, 12,, 20, 16, 10 Resp: 4; Calcular o desvio padrão. Cálculo do Desvio Médio quando temos freqüências.

Fórmula a ser utilizada: 1

n

i

X

N

µ=

ƒ − ∑

Exemplo: O quadro a seguir nos mostra a distribuição dos erros cometidos por 25 alunos numa prova de Biologia. Nessas condições, qual é o desvio médio dessa distribuição ? n.º de erros( ix )

n.º de

alunos ( if ) aF (FREQ.

ACUMULADA)

X (MÉDIA) d= x X−

.i if d

0 3 3 2 d= 0 2− =2 3x2=6

1 6 9 2 d= 1 2 1− = 6x1=6

2 8 17 2 d= 2 2 0− = 8x0=0

3 5 22 2 d= 3 2 1− = 5x1=5

4 2 24 2 d= 4 2 2− = 2x2=4

5 1 25 2 d= 5 2 3− = 1x3=3

∑ 25 24


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16

25

1

.24

0,9625

ii

i

fi d

f

= = =∑

∑. Então o desvio médio é de 0,96.

Calcular o desvio padrão e o coeficiente de variação da população acima. Dada a tabela abaixo, calcule o desvio padrão e o coeficiente de variação amostral: x f F x.f X X− =

d f.d 2 2X X d− =

2 2. .f X X f d− =

0 10 1 19 2 7 3 7 4 2 5 1 6 4

∑ 50 91 145,40 2

2 145,4~ 1,7

1 49

f X Xs s

n

−= → = ≈

−∑

;

1,7.100 94, 44%

1,8X

X

σ= = =

. 911,8

50

X fX

n= = =∑

C.V= 1,7

.100 94, 44%1,8

XX

σ= = =

Exercícios complementares: a) O tempo gasto por 6 alunos para fazer um trabalho foi, em minutos: 6,

5, 5, 3, 3 e 2. Nessas condições, calcule a média aritmética, o desvio médio, a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação dessa distribuição.

x f F µ x.f x µ− d f.d d² f.d²

2 1 3 2 5 2 6 1 Σ


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17

Respostas: Dm(desvio médio) = 1,33; Média = 4; variância = 2; desvio padrão=1,41; Coeficiente de variação: 35,25%. Calcule também a mediana e a moda. b- A tabela a seguir nos mostra o n.º de operários acidentados por mês numa fábrica durante o ano de 1991. x f F µ x.f x µ− d f.d 2d f. 2d

3 4 4 3 6 1 7 2 8 2

∑ Respostas: media = 5; desvio médio = 1,83; variância = 3,83; desvio padrão = 1,96; coeficiente de variação = 39,2%. Calcule a mediana e a média.

c-O quadro nos mostra o n.º de defeitos por carro de uma determinada marca numa frota de 40 veículos, calcule as medidas de dispersão e de tendência central.

x f F µ x.f x µ− d f.d 2d f. 2d

0 6 1 9 2 7 3 4 4 9 5 5 Σ Respostas: media = 2,4; desvio médio= 1,49; variância = 2,79; desvio padrão = 1,67; mediana = 2 ; moda = 1 e 4; moda calculada: 1,2.

d- Determine a média aritmética, a moda, a mediana, o desvio padrão, o desvio médio, a variância e o coeficiente de variação de Pearson e de Thorndike, dos valores apresentados na tabela seguinte: x f F x.f µ x µ− d f.d 2d f. 2d

2 5 3 10 4 15 5 12


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18

6 5 7 3 Σ Respostas: media = 4,22; desvio médio = 1,06; variância = 1,72; desvio padrão = 1,31 ; mediana = 4; moda = 4; moda calculada: e- As alturas dos elementos de uma equipe de basquete são, em centímetros = 195, 198, 201, 192, e 204. Nessas condições determine as medidas de tendência central (média, mediana e moda) e as de dispersão (desvio médio, variância, desvio padrão e coeficiente de Pearson). i (contador) x µ x µ− d 2d

1 192 198 2 195 198 3 198 198 4 201 198 5 204 198 Σ

Respostas: 1

n

ii

XX

n==∑

= 990/5 = 198; desvio médio = 1

n

ii

d

n=∑

= 18/5 = 3,6

2

2 1

n

ii

d

nσ ==

∑ 2

2 1

n

ii

d

nσ ==

∑=90/5 = 18; 2 18 ~ 4, 24σ σ= = ≈

VI-a – SEPARATRIZES (Quartis- Decis- Percentis) – Medidas de Posição Assim como a média, a mediana e a moda são medidas de posição, os quartis, decis e percentis também são. Os quartis, decis e percentis são muito similares à mediana, uma vez que também subdividem a distribuição de medidas de acordo com a proporção das freqüências observadas, enquanto que a mediana divide a distribuição em duas metades ( à mediana ocupa a posição central de duas partes iguais deixando 50% dos valores para cada lado), os quartis dividem-na em 4 quartos (4 partes de 25% cada), os decis em 10 décimos ( 10 partes de 10% cada uma) e os pontos percentis dividem-na em 100 partes iguais.


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19

Em função de que à fórmula para o cálculo da Curtose (coeficiente

percentílico de curtose), utilizar apenas o 1Q = primeiro quartil = (n + 1) 1

4;

3Q = terceiro quartil = (n + 1) 3

4; 90P = percentil 90 (noventa) = (n +1) 90

100 e

10P = percentil 10(dez) = (n + 1) 10

100, utilizaremos apenas estas quatro

separatrizes.

A Fórmula de Curtose utilizada é a seguinte: 3 1

90 102( )

Q Qc

P P

−=

−

Em função da curtose temos a classificação das curvas em relação à curva normal ou curva de Gauss. Relativamente à curva normal temos: C=0,263 C = 0,263 → curva mesocúrtica ( curva de frequência com grau de achatamento igual ao da curva de Gauss) C < 0,263 →curva leptocúrtica ( curva de freqüência com grau de achatamento menor do que o da curva de Gauss) C > 0,263 → curva platicúrtica ( curva de freqüência com grau de achatamento maior do que a curva de Gauss). Formato das curvas classificadas conforme o grau de achatamento:

CURVA MESOCÚRTICA CURVA LEPTOCÚRTICA CURVA PLATICÚRTICA

Exemplo: Sabendo-se que uma distribuição de frequência apresenta as seguintes medidas:

1

1 1 13( 1). (12 1). 3,25

4 4 4Q n= + = + = = 1Q = 24,4 cm; 3Q = 41,2 cm; 10P = 20,2 cm;

90P = 49,5 cm


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20

41, 2 24, 4 16,8

0,28662(49,5 20,2) 58,6

C−

= = =−

onde concluímos que a distribuição é

platicúrtica em relação a normal ou em relação a curva de frequência de Gauss, pois 0,2866 > 0,263. Exercícios de Fixação: a) Consideremos as seguintes temperaturas elevadas registradas em 12

cidades européias em graus Fahrenheit em um dia de junho ( verão europeu):

Dados Brutos coletados: 90 75 86 77 85 72 78 79 94 82 74 93 Rol: dados organizados: 72 74 75 77 78 79 82 85 86 90 93 94 A temperatura mediana corresponde ao quartil 2 e vale 80,5 ºF. 80.5 ºF valem 26,94 ºC. Então n = 12.

89 75,5 13,5 13,50,319

2(93,7 72,6) 2(21,10) 42,2C

−= = = =

−. Conclusão: como 0,319 > 0,263 a

curva é platicúrtica em relação a normal. (é achatada). b) Observando os dois conjuntos abaixo diga qual dos dois apresenta maior dispersão:

• 10 11 11 11 12 12 12 12 13 14 14 ; Amplitude: 14-10= 4 • 1 5 6 9 11 12 12 15 18 21 22 ; Amplitude : 22 -1= 21

O 2.º conjunto é mais disperso do que o 1.º e)Os dados abaixo referem-se ao peso, em kilogramas, de 25 pacientes de um hospital: 51,4 63,5 64,3 71,3 85,7 68,8 77,8 76,5 89,3 43,5


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21

74,6 76,5 50,7 55,7 59,7 77,8 75,6 61,3 68,7 69,8 64,5 65,7 63,7 81,0 46,7 Calcule a media, mediana, moda, moda calculada; quartil 1, quartil 3, percentil, 10, percentil 90, amplitude, intervalo interquartil, desvio medio, variância, desvio padrão, coeficiente de variação de Pearson e de Thorndike, assimetria de Pearson, Curtose e frequências relativas e acumuladas. Resposta em kilos: µµµµ=67,36; md=68,70; moda=76,5; moda calculada: 71,38; Quartil 1 =60,65; Quartil 3 = 76,50; percentil 10 = 49,10; percentil 90 = 82,88; amplitude = 45,8; intervalo interquartil = 15,85 ; desvio médio = 9,41; variância = 133,73; desvio padrão = 11,56; Coeficiente de Variação de Pearson = 17,17 %; C.V. de Thorndike =16,83%; Assimetria = -0,3478 Curtose = 0,234 VI-b –COEFICIENTE DE ASSIMETRIA Calcula-se o coeficiente de assimetria através da fórmula abaixo, tendo-se conhecidas a média, a mediana e o desvio padrão.

3( )S

MdA

µσ−

=

Se o coeficiente estiver no intervalo de 0,15 < SA < 1 a assimetria é

moderada. Se o coeficiente de assimetria for SA > 1 a assimetria é forte.

Se a media e a mediana forem iguais 0SA = e a curva é simétrica. Se a mediana for maior do que a média a assimetria é negativa.(cauda para a esquerda onde mo md µ< < ). Se a mediana for menor do que a média a assimetria é positiva ( cauda para à direita onde mo md µ< < ). Cálculo da variância e do Desvio Padrão da População:

Fórmula: 2

2 ( )x

N

µσ −=∑ e 2σ σ=

N maiúsculo = n.º total da população Cálculo da variância e do Desvio Padrão da Amostra:

2

2 ( )

1

x Xs

n

−=

−∑ e 2s s=


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22

n minúsculo = n.º total da amostra. VI–C–SÉRIES ESTATÍSTICAS DISCRETAS COM CÁLCULO ABREVIADO DA VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO (SEM CALCULAR O DESVIO MÉDIO) Exercícios: 1-calcule: média; mediana; moda; quartil 3 e quartil 1; variância; desvio padrão; coeficiente de variação de Pearson e de Thorndike dos dados: Cruzamento (i) n.º de acidentes (X) X² 1 7 49 2 5 25 3 8 64 4 6 36 5 4 16 ∑∑∑∑ ∑∑∑∑X = 30 ∑∑∑∑ X² =190 a)µµµµ=6 acidentes; b)md=6 acidentes; c) mo=amodal; d) 3Q = calculado = 7,5 deduzido =

7 acidentes; e) 1Q = 5 acidentes; calculado 4,5; f)variância: calcula-se pela fórmula: 22

2 190 30

5 5

X X

n nσ

= − = −

∑ ∑ =38- 36 =2 acidentes g)desvio padrão =

σ = 2 2 1,41σ = = acidentes. h)CV de Pearson = 23,50%; i) CV de Thorndike = 23,50% Exercício n.º 2- Calcule a media, o desvio padrão e o coefic. de variação de Pearson: n.º de dependentes (X)

n.º de empregados (f)

f.X X² f.X²

0 8 0 0 0 1 7 7 1 7 2 9 18 4 36 3 3 9 9 27 4 2 8 16 32 5 1 5 25 25 ∑∑∑∑ 30 47 / 127

a)µµµµ=1,57 dependentes; b) 22

2 . . 127 474, 23 2,46 1,77

30 30

f x f x

n nσ

= − = − = − =

∑ ∑

b) desvio padrão 2 1,77 1,33σ σ= = = dependentes c) Coeficiente de variabilidade de Pearson = 84,71 %


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Até aqui trabalhamos com a estatística discreta, valores inteiros. Daqui para frente trabalharemos com dados contínuos (valores reais). Exercício n.º 3 - Calcule a media, a mediana e a moda calculada, o intervalo interquartil, a amplitude e o coeficiente de assimetria e de curtose do conjunto abaixo: 13 9 18 15 14 21 7 10 11 20 5 18 37 16 17 Resp: µµµµ =15,4; md= 2Q = 15; mo=18; 90 27,4P = 1Q = 10; 3Q = 18; 10P = 6,2; 90 27,4P = Amplitude= 32; intervalo interquartil=8; C = 0,1887 ; Assimetria= 0,162 Desvio padrão =7,4. Exercício n.º 4- A partir dos dados abaixo calcule a media, moda, mediana, variância, desvio padrão; coeficiente de variação, coeficiente de assimetria , curtose, amplitude e intervalo interquartil dos dados a seguir que referem-se aos custos das mensalidades, em milhares de dólares, para 25 faculdades de artes estão relacionados abaixo: 23 25 30 23 20 22 21 15 25 24 30 25 30 20 23 29 20 19 22 23 29 23 28 22 28 respostas: µµµµ=24; md=23; mo=23;moda-calculada= 3 28Q = ; 10 19,6P = ; CV Pearson = 16,1; CV Thorndike = ; Coef. Assim= 0,7692;

3 28Q = ; 1 21,5Q = ; 90 30P = ; 10 19,6P = ; curtose = VII – DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA EM CLASSE ( DADOS AGRUPADOS) Dados Brutos : São aqueles que ainda não foram numericamente organizados. Rol: é um arranjo de dados numéricos brutos colocados em ordem crescente ou em ordem decrescente de grandeza. Quando se resumem grandes massas de dados brutos costuma-se frequentemente distribuí-los em classes ou categorias, determinando o número de indivíduos pertencentes a cada uma das classes. Essa distribuição em classes é denominada distribuição de freqüência.


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Exemplo: Sejam as notas de 50 alunos (avaliadas de zero a cem) abaixo (dados brutos): 80 67 60 98 25 31 49 39 12 27 45 40 46 53 59 64 71 85 87 53 59 28 61 57 53 22 57 36 29 22 18 05 03 20 38 08 07 09 79 65 58 55 48 41 15 63 75 79 75 37 Rol: o próximo passo é colocar os dados brutos acima em ordem crescente ou decrescente para a seguir estudar e entender os conceitos básicos a seguir: 3 5 7 8 9 12 15 18 20 22 22 25 27 28 29 31 36 37 38 39 40 41 45 46 48 49 51 53 53 53 55 57 57 58 59 59 60 63 64 65 67 71 75 75 79 79 80 85 87 98 Conceitos Básicos 1.Limites de Observação: são os valores extremos encontrados nos dados brutos.

iL = limite inferior (menor valor dos dados coletados)

iL = 03 sL = limite superior (maior valor dos dados coletados)

sL = 98

2.Intervalo de Observação: é definido pelos limites de observação. [ ] [ ]; 3;98i SL L =

3.Amplitude de Observação:é a diferença entre os limites de observação.

98 03 95s iL L− = − = 98 03 95s iL L− = − = 4.Definição do número de classes: Para determinar o número de classes há diversos métodos. A regra de Sturges, um dos métodos, estabelece que o n.º de classes é igual a: 101 3.3logk n= + onde k representa o n.º de classes e n o número total de observações. No exemplo acima n =50 e log de 50 = 1,69897 então aplicando a regra de Sturges temos: Poderíamos então montar a nossa distribuição em 07 classes. Mas podemos utilizar, por exemplo, 5 classes, nada impede nossa decisão.


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Definindo a largura da classe: Como temo uma amplitude 95 de observação então dividindo-se 95 por 7 (classe) teremos aproximadamente 14. podemos assim definir a nossa distribuição em sete classes com largura 14 para cada classe. 5.Construção da Distribuição de Freqüência :

00 14-----6

14 28-----7

28 42-----9

42 56-----8

56 70----11

70 84-----6

84 98----3

6.Construção da Distribuição de Freqüência:poderia ser assim: 03 17 →

17 31 →

31 45 →

45 59 →

63 77 →

77 91 →

91 105 →

Como existe a probabilidade de um aluno tirar a nota 0 e também a nota 100, a amplitude da DF é 100 e a nossa DF deveria conter as notas extremas 0 e 100 e a DF ficaria com largura 15 e sete classes, com o seguinte formato: 00 15

15 30

30 45

45 60

60 75

75 90

90 105

O símbolo − significa que o intervalo de observação de cada classe é fechado

à esquerda e aberto à direita, assim todos os limites superiores de classe não estão contidos nelas mas sempre na classe seguinte. Por exemplo: a 1.ª classe


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vai de 0 a 14, mas o 14 não está contido nessa classe e sim na 2.ª classe que vai de 14 a 28 e assim por diante. 7.Classe de uma (Distribuição de Freqüência): é o nome dado a cada subintervalo da distribuição. 8.Limites de Classe: são os valores extremos encontrados em cada classe e representados por l (éle) minúsculo.

il = limite inferior de classe; sl = limite superior de classe Exemplo:

il = 00 na classe 1 e sl =14 na classe 1 9.Amplitude de Classe (h): é a diferença entre os limites de classe. A amplitude de classe pode ser variável ou constante. Exemplo: Largura da 1.ª classe s ih l l= − = 14 - 00 = 14 10.Limites da Distribuição de Freqüência: são o limite inferior da primeira classe e o limite superior da última classe. Esses limites geralmente não coincidem com os limites de observação. Deveria ser 00 e 100, mas como o limite superior observado foi 98, com 7 classes e largura 14 nossos limites ficaram:

00

98S

Li

L

==

No nosso casso o limite inferior da distribuição é 00 e o limite inferior observado é 03. O limite superior da distribuição e o limite superior observado são , neste caso, igual, ou seja, 98. 11.Amplitude da Distribuição de Freqüência: é a diferença entre os limites da distribuição.

98 00 98DFH = − = , já a amplitude da observação é de 95. 98 03 95obsH = − =

12.Número de observações: é o número que representa a quantidade dos dados a serem organizados.


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27

Símbolo: n (amostra) ou N (população) ou 1

n

ii

f=∑ , em nosso exercício N =

50. 13.Variável: Variável é um símbolo que associamos ao conjunto objeto de estudo que representa esse conjunto. Atribuímos o símbolo x para esta variável. 14.Ponto Médio de Classe: é a média aritmética simples dos extremos de cada classe.

2

i si

l lx

+= em nosso exercício somando-se o limite inferior com o

superior da 1.ª classe, por exemplo, obtemos: 00 147

2ix+

= = , que é o ponto

médio da 1.ª classe.

15.O Cálculo da Mediana na Distribuição de Freqüência com Dados Agrupados ou Grupados

Fórmula utilizada: Md = 2 .anterior

fF

li hf

−

+

∑

Onde li = limite inferior da CME (classe mediana)

2

f∑ = Ponto central da distribuição – local aonde se encontra a md

anteriorF = Freqüência acumulada anterior à CME h = largura da CME f = freqüência simples ou absoluta da CME

16.O cálculo da Moda Calculada:

3( ) 2( )calculadaMo mediana média= − 17.O cálculo da CURTOSE (Coeficiente percentílico de Curtose) na Distribuição de Freqüência em Classes ( Dados Agrupados).

3 1

90 102( )

Q QC

P P

−=

−


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18.Fórmulas para o cálculo dos quartis: 3

3

4

fQ = ∑ ; 1

1.

4

fQ = ∑

Fórmula para o cálculo dos percentis: 10

10

100

fP = ∑ ; 90

90

100

fP = ∑

19.Classificação das Curvas: =0,263: mesocúrtica (curva de Gauss)

� 0,263: platicúrtica < 0,263 : leptocúrtica

Exercícios de Distribuição de Freqüência em Classes:

a- Sabemos que a fração mínima de terras escriturava é de 2 (dois)

hectares em zonas rurais, e que são taxadas com ITR (imposto territorial rural) em vez de IPTU (imposto predial e territorial urbano) e cujo fracionamento em módulos é feito pelo INCRA. A distribuição abaixo nos mostra as terras cultivadas de uma determinada região em hectares (h a). Frações territoriais rurais menores do que dois hectares devem ser licenciados pela FEPAM ou pela SEMMA, para terem escrituras reconhecidas e registradas em cartório.

Classe x f F x.f µ X µ− d F.d 2d f. 2d

2 −8 10

8 −14 9

14 −20 21

20 −26 7

26 −32 3

∑ Resposta: media = 15,08; Desvio médio: 5,5; variância = 45,27; Desvio Padrão = 6,72; Coeficiente de variação = 44,56%. ; Mediana = 15,7; moda = Moda Calculada= ;Quartil 1 = 9,7; Quartil 3 = 19,3; Percentil 10 = 5; Percentil 90 = 24,3; Curtose 0,2; Assimetria= -0,3.

b- Na tabela a seguir estão relacionados os valores correspondentes ao consumo individual de energia elétrica medido em quilowatts-hora em um grupo de 50 usuários particulares.


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Dados Brutos 58 62 80 57 8 126 136 96 144 19 90 86 38 94 82 75 148 114 131 28 66 95 121 158 64 105 118 73 83 81 50 92 60 52 89 58 10 90 94 74 9 75 72 157 125 76 88 78 84 36 Rol 8 9 10 19 28 36 38 50 52 57 58 58 60 62 64 66 72 73 74 75 75 76 78 80 81 82 83 84 86 88 89 90 90 92 94 94 95 96 105 114 118 121 125 126 131 136 144 148 157 158 Utilize a regra de Sturges (k = 1+ 3,3 log n) para determinar o número de classes. Lembre-se que o log 50 = 1,69897 K = 1 + 3,3 log 50; K = 1+3,3 . 1,69807; K= 6,6 Total = 7 classes. Definindo a largura das classes: 158 – 8 = 150/7 = 22,7

classes x f F x.f µ X µ− d f.d 2d f. 2d

8 30

30 52

52 74

74 96

96 118

118 140

140 162

Σ Respostas: Média = 83,24; Mediana = 82,1; moda não calculada: 81,5; moda calculada (3md - 2 µ ) = ; Q1 =61,9; Q3 = 99,7; P10 = 30; P 90 = 136,3

Variância = 1255,3; Desvio Padrão= 35,4; CV= 42,6; Assimetria = 0,0966; Curtose= 0,177 (curva leptocúrtica); Intervalo Interquartil = 37,8; c-Em um estudo de seguro de acidentes com veículos motorizados no estado de Nova York, classificam-se as colisões fatais de acordo com a hora da manhã. Conforme tabelas abaixo. [fonte: dados do New York State Department of Motor Vehicles – Departamento de Veículos motorizados do Estado de Nova York]


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30

Responda as questões abaixo: a) Média =.................................... b) Mediana =................................. c) Moda =...................................... d) Desvio médio =......................... e) Variância =................................. f) Desvio padrão =............................ g) Coeficiente de Variação de Pearson =.............................. h) Coeficiente de Variação de Thorndike=.............................. i) Assimetria =..................................................................... j) Quartil 1 =.................................................. k) Quartil 3 =............................................. l) Percentil 10 =........................................ m) Percentil 90 = n) Curtose (SEPARATRIZES) e classificação da curva em leptocúrtica, Mesocúrtica

ou platicúrtica =.................................................. o) Intervalo Interquartil =............................................. p) Amplitude =................................................... q) Qual o percentual de acidentes fatais entre as zero (0) horas e às 4 da

madrugada................... r) Qual o percentual de acidentes fatais entre as 8 da manhã e o meio dia (12

horas)...................... HORA (f) (F) x .f.x

cf Xx µ−

(d) f.d

2d

f. 2d fr. Fra

00 02

194

02 04

149

04 06

100

06 08

131

08 10

119

10 12

160

∑

d)Exercício utilizando fórmulas da variância e do desvio padrão amostral:


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31

Considerando que distribuição de freqüência acima tenha seus dados obtidos através de uma amostragem calcule: a variância e o desvio padrão amostral utilizando as fórmulas:

22 ( )

var1

X XS

n

−= =

−∑ ;

∑ = desvio padrão amostral:

e)Exemplo: Determine a média e o desvio padrão da amostra do conjunto de dado. n.º de crianças em 50 famílias: 1 3 1 1 1 1 2 2 1 0 1 1 0 0 0 1 5 0 3 6 3 0 3 1 1 1 1 6 0 1 3 6 6 1 2 2 3 0 1 1 4 1 1 2 2 0 3 0 2 4 Você coletou uma amostra aleatória do n.º de crianças por família em uma região. Os resultados estão dispostos na tabela acima. X f x.f X X− 2( )X X− 2( )X X− .f

0 10 0 -1,8 3,24 32,40 1 19 19 -0,8 0,64 12,16 2 7 14 0,2 0,04 0,28 3 7 21 1,2 1,44 10,08 4 2 8 2,2 4,84 9,68 5 1 5 3,2 10,24 10,24 6 4 24 4,2 17,64 70,56 ∑ =50 ∑ =91 ∑ =145,40

(media da amostra);

22 ( ) . 145, 4

1,71 50 1

X X fs s

n

−= = = ≈

− −∑ (desvio padrão de 1,7 crianças)

VIII – P ROBABILIDADE O cálculo das probabilidades pertence ao campo da Matemática. Sua inclusão neste estudo, cujo objetivo é essencialmente a Estatística encontra explicação no fato de que a maioria dos fenômenos de que trata a Estatística são de natureza aleatória ou probabilística. Conseqüentemente, o


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conhecimento dos aspectos mais fundamentais, do cálculo de probabilidades é uma necessidade essencial para o estudo da Estatística. Experimento Aleatório Em quase tudo, em maior ou menor grau, vislumbramos o acaso. Assim a afirmação: “é provável que meu time do coração ganhe a partida hoje”, pode resultar: a)que apesar do favoritismo perca; b)que, como pensamos, ganhe; c)que empate. Como vimos , o resultado final depende do acaso. Fenômenos como esse denominamos fenômenos aleatórios ou experimentos aleatórios. ----------------------------------------------------------------------------------------------. Aleatório: é aquilo que depende de acontecimentos futuros incertos; casual; fortuito; contingente; que pode ou não suceder; eventual; duvidoso; inopinado. Os postulados da probabilidade: 1.º POSTULADO: As probabilidades são números reais positivos ou zero ; simbolicamente:P(A) 0 para qualquer evento A . 2.º POSTULADO: Qualquer espaço amostral tem probabilidade 1; simbolicamente P(S) = 1 para qualquer espaço amostral S. Definição Experimentos ou fenômenos aleatórios são aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes apresentam resultados imprevisíveis, isto é, não podem ser previstos ou vistos com antecedência. Exemplos:

1. O lançamento de uma moeda ( probabilidade: ½); 2. A aposta em um jogo qualquer da loteria esportiva (probabilidade:1/3); 3. A disputa de par ou ímpar (probabilidade: ½) 4. O lançamento de uma dado (probabilidade: 1/6) 5. O lançamento de um tetraedro ( probabilidade: ¼) 6. Tirar uma dama num baralho de 52 cartas (probabilidade: 1/52)

Espaço Amostral O conjunto S (space), de todos os resultados possíveis de um dado experimento aleatório chama-se espaço amostral. Qualquer elemento do espaço amostral é chamado de amostra ou ponto amostral.


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Exemplo 1: No lançamento de um dado o espaço amostral é o conjunto S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n(S) = 6 Exemplo 2: Quando jogamos uma moeda o espaço amostral é o conjunto: S = {CARA, COROA}. n(S) = 2. Exemplo 3: Ao disputarmos um par ou ímpar o espaço amostral da soma dos Resultados, é S={PAR, IMPAR}. n(S) = 2. Tipos de Probabilidade Há três tipos de probabilidade: clássica, empírica e subjetiva. A probabilidade de um evento E ocorrer é escrita com P(E) – lê-se “a probabilidade do evento E”. Definição- a) A probabilidade clássica ( ou teórica) é usada quando cada resultado no espaço amostral tem a mesma probabilidade de ocorrer. A probabilidade clássica para um evento E é dada por: P (E) = número de resultados em E , onde S = espaço amostral e 0≤≤≤≤ P(E) ≤≤≤≤ 1 n.º total de resultados em S Exemplo: Um dado de seis faces é jogado. Obtenha a probabilidade dos seguintes eventos:

1.Evento A: obter um 3 – Solução: { P (3) = 1/6 ( )f f

P E oun f

=∑

≈ 0,167}

2.Evento B: obter um 7 – Solução: { P (7) = 0/6 = zero 3.Evento C: obter um n.º menor do que 5. – Solução: há 4 resultados menores do que 5 - C={1, 2, 3 e 4}. Assim, 4/6 = 2/3 ≈ 0,667.

b) A probabilidade empírica ( ou estatística) baseia-se em observações obtidas de experimentos probabilísticos. A probabilidade empírica de um evento E é a freqüência relativa desse evento

P(E) = Freqüência do Evento E onde 0≤≤≤≤ P(E) ≤≤≤≤ 1 frequência Total


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( )f f

P E oun f

=∑

Exemplo: obtendo probabilidades empíricas. Um açude

contém três tipos de peixes: carpa húngara; catfish e bagre africano. Cada peixe no açude tem a mesma probabilidade de ser capturado. Você pesca 40 peixes e anota seu tipo. Após cada captura, você devolve o peixe ao açude. A seguinte distribuição de freqüência mostra seus resultados. Tipo de Peixe (x) n.º de vezes em que foi pescado (f) Carpa húngara 13 Catfish 17 Bagre africano 10 Se após isso você capturar um novo peixe, qual será a probabilidade de que ele seja uma carpa húngara ? P(Carpa Húngara) = 1.000f =∑

Na tabela abaixo temos algumas probabilidades de alguns eventos: Aparecer na televisão Uma em 490.000 Cair um raio na Cabeça (U.S.A) Uma em 700.000 Ganhar na Loteria de New York (acertar 6 de 54 números)

Uma em 25.827.165

Probabilidade de acertar a placa de um automóvel 3 426 17.576;10 10.000= =

Uma em 175.760.000

Ser vítima de um crime sério 5% O congresso derrubar um veto 4% Escrever um livro de sucesso 0,00205 Obter um Ph.D (doutorado em Filosofia) 0,008 Usando as distribuições de freqüência para obter as probabilidades Exemplo: você levanta uma amostra de mil funcionários em uma companhia e registra a idade de cada um deles, os resultados estão a seguir na distribuição de freqüência abaixo. Pergunta: se você selecionar ao acaso outro funcionário, qual será a probabilidade de a idade dele estar entre 25 e 34 anos ?


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(x) idade dos funcionários Freqüência (f) 15 a 24 54 25 a 34 366 35 a 44 233 45 a 54 180 55 a 64 125 65 ou mais 42 1.000f =∑

Solução: P(faixa etária entre 25 e 34)=366/1000 = 0,366 x 100 = 36,6% Qual a probabilidade de o funcionário não estar nesta faixa etária. P(E’) = 1 – P(E) = 1- 0,366 = 0,634. c)Probabilidade Subjetiva

O terceiro tipo de probabilidade é a subjetiva. A probabilidade subjetiva resulta de intuição, estimativa, ou de um “palpite bem fundamentado”. Por exemplo, dado o estado de saúde do paciente e a extensão dos ferimentos , um médico pode sentir que esse paciente tem uma chance de 90% de se recuperar completamente. Um analista de negócios pode predizer que a chance dos funcionários de uma determinada companhia entrarem em greve é de 0,25. Um geólogo sismologista ou geofísico pode prever que a probabilidade de ocorrer um terremoto acima de 5 na escala Richter, em Los Angeles, nos próximos 100 anos é de 30%. Na tabela abaixo temos um resumo dos 3 tipos de probabilidade: Tipo Resumo Fórmula Probabilidade Clássica O n.º de resultados em S

é conhecido e cada resultado é equiprovável

P(E) = n.º de resultados no evento E n.º de resultados no espaço amostral

Probabilidade Empírica (estatística)

A freqüência de resultados em S é estimada a partir da experimentação

P(E) = frequencia do evento E = f = f frequência Total n ∑f

Probabilidade Subjetiva As probabilidades resultam de intuição, experiência ou estimativa

Nenhuma


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Exercícios usando a distribuição de freqüência (probabilidade empírica) para obter probabilidades: Utilizando a TABELA abaixo responda: A probabilidade de um eleitor escolhido ao acaso ter entre 21 e 24 anos e a de não ter entre 18 e anos. Idade dos eleitores (x) Freqüência ( em milhões) (f ) 18 a 20 anos de idade 10,8 21 a 24 anos de idade 13,9 25 a 34 anos de idade 40,1 35 a 44 anos de idade 43,3 45 a 64 anos de idade 53,7 65 anos de idade ou mais 31,9

Resposta: Exercícios – ESPAÇOS DE PROBABILIDADES: 1.Seja um experimento aleatório deixar cair um dado e verificar o n.º da face voltada para cima. S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } n(S) = 6 a) Qual é a probabilidade de ocorrer um n.º menor ou igual a 4 ? A= {1, 2, 3, 4} P(A) = 4/6 =2/3 ou 0,67 ou 67 % n(A) = 4 b) Qual é a probabilidade de ocorrer um múltiplo de 3 ? B={3, 6} P(B) = 2/6 = 0,33 ou 33% n(B) = 2 c)Qual é a probabilidade de ocorrer um n.º maior do que 6 ? C= ∅∑ P (C) = 0/6 P( C ) = 0 n( C ) = 0

d)Qual é a probabilidade de ocorrer um n.º menor ou igual a 6 ? D = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}; P(D) = 6/6 = 1 ou 100% n(D) = 6 e)Qual é a probabilidade de ocorrer um n.º maior ou igual a 2 ?


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E ={2, 3, 4, 5, 6}; P(E) = 5/6 = 0,8333 ou 83,3 % n(E) = 5 2.No lançamento sucessivo de dois dados, cujos elementos do espaço amostral são equiprováveis determine: (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) Observe que na diagonal principal os valores se repetem.(i = j ); Acima da diagonal principal i < j; Abaixo da diagonal principal i > j; a)qual a probabilidade dos pares de números serem iguais ? P(a) = 6/36; P(a) = 0,1667; P(a) = 16,67% b) qual a probabilidade da soma dos n.ºs ser 3 ? (1,2) (2,1); P(b) = 2/36; P(b) = 0,0556; P(b) = 5,56% c)qual a probabilidade dos números serem 5 ou 7 ?

Observação: “ou “ significa união ou adição. d)qual a probabilidade do n.º do 1.º dado ser menor do que o do 2.º dado ? P(d) = 15/36; P(d) = 41,67% VIII. a) DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE O conjunto dos valores de uma variável, associado às respectivas

probabilidades, constitui uma distribuição de probabilidade. Onde 1

( ) 1n

ii

P x=

=∑


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Exemplos: 1-Consideremos a distribuição do n.º de caras obtido ao se lançar uma moeda 3 vezes. As possibilidades são: 0, 1, 2, 3 (caras) e as probabilidades são: P(0) = 1/8; P(1) = 3/8; P(2) = 3/8; P(3) = 1/8. Denominando ix os valores da variável e P ( ix ) as probabilidades respectivas, temos a seguinte distribuição de probabilidades: (variável) ix P( ix ) 0 1/8 1 3/8 2 3/8 3 1/8

∑ 1

A representação gráfica desta distribuição de probabilidade é:


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2. Tomemos a distribuição do n.º de crianças do sexo masculino em famílias de 4 filhos. Construa a árvore de probabilidades.

As probabilidades correspondentes são: ,

!

!( !)n x

nc

x n x=

−

P(0) = P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = A distribuição de probabilidades e o gráfico correspondente são:


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ir

i

ff

f=∑

P( ix )

0 1/16 1 4/16 2 6/16 3 4/16 4 1/16 ΣΣΣΣ 1 Freqüência Relativa (porcentagem da classe) Quando o conjunto universo das possibilidades de uma prova é indeterminado, não de pode fixar a probabilidade que se associa a cada valor da variável. Nesse caso, usamos a freqüência relativa (fi) como estimativa da probabilidade. Seja, por exemplo, uma prova que consiste em verificar o n.º de peças produzidas com defeito, semanalmente, por uma máquina durante 30 semanas. ix 0 1 2 3 4 5 6 if 2 5 8 6 4 2 3

ix = n.º semanal de peças defeituosas onde: rif = if

N ou i

i

f

f∑

if = n.º de semanas A freqüência relativa (fr), que constitui a estimativa da probabilidade de cada

valor / 30ri if f= , é dada por: ir

i

ff

f=∑

ix if / 30ri if f=

0 2 1 5 2 8 3 6 4 4 5 2 6 3

∑ 30


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P(0) = …. ; P(1) = ….. ; P(2) = ……. ; P(3) = ….. ; P(4) = …… ; P(5) =……. ; P(6) =…….. ; VIII – b - PROBABILIDADE CLÁSSICA

• Probabilidade de um Evento

a-) ( )( )r

N Ep E

S=

( )( )r

N Ep E

S= . Exemplos de determinação da probabilidade de

um evento. 1-Qual a probabilidade de obter-se uma cara em 3 jogadas de uma moeda honesta ? Resp: há 32 8= , resultados possíveis e, assim, S =8. Há 3 resultados que dão uma cara {KCC, CKC, CCK} e assim se “E” é o evento que resulta em uma cara, então N(E) = 3. Portanto, Pr(E) = 3/8 = 0,3740 = 37,40% Construa a árvore de probabilidades. 2-Qual é a probabilidade de obter-se o total 5 na jogada de 2 dados ?


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Resp: Há 36 resultados possíveis: s=36. Seja E o evento que consiste em obter 5 nos dados; E contém 4 resultados: E = {(1, 4), ( 2, 3), (3, 2), (4, 1)}, então N(E) = 4 e Pr(E) = 4/36 = 1/9 = 11,11% 4- Qual é a probabilidade de sair um às na extração de uma carta de um baralho ? Resp: como há 52 resultados possíveis, s =52. E seja “E”, o evento “extrair uma às, então “E” contém 4 resultados: Às de Copas (♥); Às de Ouros (♦); Às de Paus (♣) e Às de Espadas (♠) Então N(E) = 4 e Pr(E) =4/52 = 1/13 = 7,69%. Um baralho de cartas contém 4 naipes (♥♦♣♠) com as seguintes cartas: As (♥) Às(♦) Às(♣) Às(♠) 2 (♥) 2 (♦) 2(♣) 2(♠) 3 (♥) 3 (♦) 3(♣) 3(♠) 4 (♥) 4 (♦) 4(♣) 4(♠) 5 (♥) 5 (♦) 5(♣) 5(♠) 6 (♥) 6 (♦) 6(♣) 6(♠) 7 (♥) 7 (♦) 7(♣) 7(♠) 8 (♥) 8 (♦) 8(♣) 8(♠) 9 (♥) 9 (♦) 9(♣) 9(♠) 10 (♥) 10(♦) 10(♣) 10(♠) Figura Figuras Figura Figuras Vermelha Vermelhas Preta Pretas J (♥) J(♦) J(♣) J(♠) Q (♥) Q(♦) Q(♣) Q(♠) K (♥) K(♦) K(♣) K(♠) _____ _____ ______ ______ 13 (♥) 13 (♦) 13 (♣) 13 (♠) TOTAL = 52 CARTAS 26 são pretas (♣)(♠) – naipes de paus e espadas ; 26 (♥)(♦) são vermelhas- naipes de copas e ouro – Figuras: temos 4 figuras de cada naipe, Valete, Dama, Rei e Às, totalizando 12 figuras ( 6 pretas e 6 vermelhas).


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Encima destes dados podemos estudar todas as probabilidades em que estamos interessados.

• Probabilidade da não ocorrência de um evento

Muitas vezes interessa-nos saber a probabilidade de não ocorrência de um evento. Por exemplo, se, no jogo de dois dados, estamos interessados em não obter 7, e esta é 1/6 então há 5/6 de chances de não obter 7. N(E) = 30 e Pr(E) = 30/36 = 5/6. De um modo geral, se p é a probabilidade de ocorrência de um evento E, então 1-p é a probabilidade de não ocorrência deste evento. Podemos chamar de complemento de E ao conjunto que contém todos os resultados que não estão em E. Então Pr( CE ) = 1 – Pr ( E) e podemos chamar de CE de complemento de E. Outra forma é: p = 1 - q onde q é a não probabilidade ou o insucesso e p a probabilidade ou o sucesso. Este resultado é importante para os cálculos, pois, às vezes, é mais fácil calcular a probabilidade de não ocorrência de um evento do que a probabilidade de sua ocorrência. • Probabilidade de uma união (eventos mutuamente excludentes) ou “o terceiro postulado de probabilidade”

A probabilidade de ocorrência de um ou outro evento é igual a soma de suas probabilidades. Por exemplo: a probabilidade de as condições meteorológicas melhorarem no decorrer de certa semana é de 0,62 e a probabilidade de se manterem inalteradas é de 0,23, então a probabilidade de às condições melhorarem ou se manterem alteradas é de 0,62 + 0,23 = 0,85. Suponhamos que nos interesse o total 5 ou o total 7 na jogada de dois dados. Evento A = obter 7: A={(1, 6) (2, 5) (3, 4) (4, 3) (5, 2) (6, 1)} Evento B = obter 5: B ={(1, 4) (2, 3) (3, 2) (4, 1)}. Seja C o evento obter 5 ou 7, então C = {(1, 6) (2, 5) (3, 4) (4, 3) (5, 2) (6, 1) (1, 4) (2, 3) (3, 2) (4, 1)}. Sendo assim C = A união com B Ou, representado matematicamente por C = A ∪ B. E se quiséssemos saber qual a probabilidade de ocorrer pelo menos um deles ? então basta somar as probabilidades: Pr(A ou B) = Pr(A∪ B) = Pr (A) + Pr (B). Este resultado só é válido quando não há possibilidade de os eventos A e B ocorrerem simultaneamente. No caso de uma jogada de dois dados não é possível obter 5 e 7 em uma única jogada de um par de dados. Dois eventos que não podem ocorrer simultaneamente dizem-se disjuntos ou mutuamente excludentes.


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Exemplo: Ao jogar um dado honesto “ o n.º da face voltada para cima” é par: A = {2, 4, 6} e n(A) = 3 O “n.º da face voltada para cima” é divisor de 6: B = { 1, 2, 3 , 6 } e n(B) = 4 O “n.º da face voltada para cima” é um n.º par OU ( ∪ ) é um n.º divisor de 6. C = A ∪ B={ 1, 2, 3, 4, 6 } e n(A ∪ B) = 5

• Probabilidade de uma intersecção

Consideremos agora o caso de dois eventos que podem ocorrer simultaneamente. Evento intersecção.

No caso do exemplo anterior, se quiséssemos saber: “ o n.º da face voltada para cima” é um n.º par E ( ∩ ) é um n.º divisor de 6; C = A ∩ B= {2,6} e n(A ∩ B) = 2 Eis alguns exemplos de intersecção:

- se V é um conjunto de vogais e C é o conjunto de consoantes, então V ∩ C = ∅ (conjunto vazio).

- Se A é o conjunto de mãos com cinco cartas em sequência e B é o conjunto de mãos com cinco cartas do mesmo naipe, então A∩ B é o conjunto de todos os “straight flushes”.

• Intersecção e união no mesmo exercício – utilização conjunta

de ambos na mesma fórmula: Consideremos agora a possibilidade de obter uma figura ou uma carta

vermelha de um baralho comum. Se F é o evento “obter figura” e V o evento “obter carta vermelha” não podemos usar a soma das probabilidades já que existem figuras que são vermelhas assim teremos que utilizar, escrito matematicamente, o seguinte raciocínio: N(A ∪ B) = N(A) + N(B) – N(A ∩ B) Esta fórmula vale para dois eventos eventos arbitrários, quer sejam mutuamente excludentes ou não. Se A e B são mutuamente excludentes, então Pr (A e B) = 0, e voltamos a fórmula já achada anteriormente: Pr(A ou B) = Pr(A) + Pr (B).


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Pr(F) = 12

52; Pr(V) = 26

52 então N(F ∪ V) = 12

52+ 26

52- 6

52= 32

52= 0,6154 ou

61,54 % de probabilidade de ser carta vermelha ou figura. Exemplo 2: Qual é a probabilidade de obter-se um único seis na jogada de dois dados: PR(E1 ∪ E2) = Pr(E1) + Pr(E2) – Pr (E1 ∩ E2)

= 1

6 + 1

6 - 1

36 = 11/36

Exemplos de união ( ∪ ) e intersecção ( ∩ ) Considere duas apostas sucessivas de par ou ímpar, indicando o resultado par por (p) e o resultado ímpar por (i): S = {(p,i) (p,p) (i,p) (i,i)} Pergunta-se: a)Qual o evento B da ocorrência de um resultado par e um resultado ímpar ? B={(p,i) (i,p)} n(B) = 2 b)Qual o evento D da ocorrência de pelo menos um resultado para ou um resultado ímpar ? D={(p,i) (p,p) (i,p) (i,i)} n(D) = 4 Outras perguntas sobre o espaço amostral de duas apostas sucessivas de para ou ímpar: c)Qual é o evento A da ocorrência de pelo menos um resultado par ? Lembre que pelo menos um pode ser dois, três ou n resultados. A={(p,i) (p,p) (i,p)} n(A) = 3 d)Qual é o evento C da ocorrência de nenhum resultado par ? C={(i,i)} n(C) = 1 e)Qual é o evento E da ocorrência de nenhum resultado par nem ímpar ?


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E={ ∅ } = conjunto vazio n(E) = 0 Observações: O evento C, por ter apenas um ponto amostral, é dito evento elementar. O evento D, por ser igual ao espaço amostral S, é dito evento certo. O evento E, por ser igual ao conjunto vazio, é dito evento impossível. Lembre-se que se A e B são eventos mutuamente excludentes (não podem ocorrer conjuntamente) então: Pr(A ou B) = Pr (A) + Pr (B). Mas se A e B não são mutuamente excludentes, então: Pr(A ou B = Pr(A) + Pr (B) – Pr (A e B). • Princípio da Multiplicação a x b Exemplos: 1.Jogando-se duas moedas, cada uma pode apresentar dois resultados; logo, o n.º total de resultados é 2 x 2. 2. Na jogada de 2 dados, cada um pode apresentar 6 resultados, logo o n.º total de resultados possíveis é 6 x 6 =36. 3.Se uma sorveteria oferece mini-sundaes com escolha de 20 sabores diferentes, associados a 8 coberturas diferentes, de quantas maneiras um cliente pode pedir um mini-sundae ? m =20 sabores; n= 8 coberturas; m x n = 20 x 8 = 160 escolhas diferentes. 4.Uma lanchonete oferece uma refeição especial constante de um sanduíche (utilizando um dentre 8 tipos diferentes de carne e um dentre 4 tipos diferentes de pão) acrescido de sopa e bebida ( um dentre 4 tipos diferentes de sopa e um dentre 3 tipos diferentes de bebida). De quantas maneiras um cliente pode escolher uma refeição especial ? N1 X N2 X N3 X N4 = 8 X 4 X 4 X 3 = 384 maneiras de escolher. • Amostragem com reposição


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a)Suponha agora o leitor que tem cinco blusas em sua gaveta, cada manhã abre a gaveta e escolhe uma ao acaso, repondo-o na gaveta ao voltar à tarde. De quantas maneiras podem ser escolhidas as blusas em uma semana ?

75 = 5 X 5 X 5 X 5 X 5 X 5 X 5 =78.125 Qual é a probabilidade de escolher a mesma blusa todos os sete dias ?

P = 5

78.125 = 0,000064.

A idéia fundamental da amostragem com reposição é que, escolhido um elemento, nada impede que esse elemento volte a ser escolhido.

d) Suponha o leitor que esteja querendo adivinhar o n.º da licença do carro de uma amigo. Cada placa consiste de três letras e três algarismos. Por exemplo: LXD 898.

Solução: Probabilidade para as 3 letras, supondo alfabeto de 26 letras: 310 1.000= 326 17.576= ;

Algarismos decimais: 10. Então 310 1.000= . Como a combinação de letras pode associar-se a cada combinação de algarismos então: 17.576 x 1.000 = 17.576.000 licenças possíveis.

A chance de adivinhar o n.º da placa é: 810,000000057 5,7 10

17.576.000x −= =

• Amostragem sem reposição

Suponha que você tenha sete camisas em sua gaveta; cada manhã escolhe uma e veste, mas ao voltar, em lugar de devolver a camisa à gaveta coloca-a no depósito de roupa para lavar. ( a lavagem de roupa ocorre uma vez por semana). De quantas maneiras é possível fazer as escolhas da semana ? Resolução: No Domingo a 7 escolhas; na 2.ª feira há 6 e assim por diante...Utilizamos a expressão do fatorial para resolução da questão. 7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5.040 escolhas para a semana. Exemplos: Amostragem sem reposição


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1-De quantas maneiras distintas podemos misturar um baralho de 52 cartas ? Solução: Há 52 possibilidades para a 1.ª carta, 51 para a 2.ª carta e assim por diante; há, pois, ao todo, 52! = 8,07 x 6710 maneiras.

2- Consideremos 5 menus diferentes, a serem escolhidos para cinco dias: hambúrger, cachorro quente, pizza, talharim e feijoada. De quantas maneiras é possivel escolher esses menus, de forma que não haja repetição na semana ? Solução: 5! = 120

• Arranjos

Exemplo 1: Suponha que você tenha agora 10 camisas ( que ainda são lavadas semanalmente). De quantas maneiras diferentes pode escolher as camisas da semana ?

Utiliza-se a seguinte fórmula: !

( )!

n

n k−, onde temos a escolha de k camisas,

sem reposição, de uma população de n camisas. Substituindo-se na fórmula

temos: 10!

(10 7)!−.

• Combinações

Exemplo 1: Quantas mãos de 13 cartas podemos obter com um baralho de 52 cartas ? Solução:

11! 52!6,35 10

!( )! 13!(52 13)!

nx

k n k= =

− −

Exemplo 2: Qual a probabilidade de ganhar na mega-sena ? Espaço Amostral n = 60

Evento K = 6 ! 60!

!( )! 6!(60 6)!

n

k n k=

− −

60.59.58.57.56.5550.063.860

720=


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49

( ) 10,00000002

( ) 50.063.860

100 0,000002%

E EVENTO

S ESPAÇOAMOSTRAL

X

= =

=

2 22 2

. .

[ ( ) ][ ( ) ]

n x y x yr

n x x n y y

−=

− −

∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑

• Probabilidade Condicional

Eventos independentes: são dois eventos que não se afetam mutuamente. Probabilidade Condicional: é a probabilidade de ocorrência de um determinado evento, quando se sabe que outro evento ocorreu. O evento em que ambos A e B ocorrem é chamado A intersecção B,

portanto a probabilidade de o evento A ocorrer , dado que ( 1

16A B∩ ) B

ocorreu, é:

( )Pr( )

( )

N A BA B

N B

∩= e a probabilidade é:

Exemplo 1: Seja A o evento “obter o total 8 com um par de dados”. Seja B o evento “obter 5 na primeira jogada” Pr(B) = 1/6; Calcular a Pr(A B) : Solução: A B∩ = evento “obter 5 na primeira jogada e o total 8” A B∩ = só pode ocorrer se obtivermos (5,3); logo Pr( A B∩ )=1/36

Assim:

1Pr( ) 136Pr( )

1Pr( ) 66

A BA B

B

∩= = =

Exemplo 2: Seja A o evento “obter quatro caras em seqüência” Seja B o evento “obter duas caras nas duas primeiras jogadas”. Calcular Pr( A B )

Pr(B) = ¼

Pr( A B∩ ) = 1

16

1Pr( ) 4 116Pr( )

1Pr( ) 16 44

A BA B

B

∩= = = =


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50

• Eventos complementares

Sabemos que um evento pode ocorrer ou não. Sendo p a probabilidade de que ele ocorra (sucesso) e q a probabilidade de que ele não ocorra (insucesso), para um mesmo evento existe sempre a relação:

p + q =1 ⇒ q = 1- p Assim se a probabilidade de se realizar um evento é p = 1/5, a probabilidade de que ele não ocorra é : q = 1 – p ⇒ q = 1 – 1/5 = 4/5

• Eventos Independentes

Dizemos que dois eventos são independentes quando a realização ou a não-realização de um dos eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e vice-versa.

Por exemplo, quando lançamos dois dados, o resultado obtido em um deles independe do resultado obtido no outro.

Se dois eventos são independentes, a probabilidade de que eles se realizem simultaneamente, é igual ao produto das probabilidades de realização dos dois eventos.

Assim, sendo 1p a probabilidade de realização do primeiro evento e 2p a probabilidade de realização do segundo evento, a probabilidade de que tais eventos se realizem simultaneamente é dada por:

1 2p p p= Exemplos: Lançamos dois dados. A probabilidade de obtermos 1 no primeiro dado

é 1

1

6p =

A probabilidade de obtermos 5 no segundo dados é: 1 2p p p= + 2

1

6p =

Logo a probabilidade de obtermos, simultaneamente, 1 no primeiro e 5 no segundo é:

P = 1 1 1

6 6 36x =


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51

Definição formal de independência é: Os eventos A e B são independentes se Pr( ) Pr( )A B A= Pr( ) Pr( )A B A=

Exemplo 1: A probabilidade de tirarmos dois pares em um jogo atual de cartas não é afetado pelo fato de termos tirado dois pares em um jogo anterior que nada tem a ver com o jogo atual. Exemplo 2: A probabilidade de tirar 4 na jogada de um dado não é afetada pelo fato de termos tirado cara, ou coroa, na jogada de uma moeda.

Dedução: Pr( )Pr( )

Pr( )

A BA B

B

∩= , mas se A e B são independentes então

Pr( ) Pr( )A B A= e Pr( )Pr( )

Pr( )

A BA

B

∩= e Pr( ) Pr( )Pr( )A B A B∩ = e Pr( ) Pr( )A B A=

Sendo a fórmula: Pr(A e B) = Pr(A) X Pr(B). Em palavras: para calcular a probabilidade de ocorrência conjunta de dois eventos independentes basta multiplicarmos as respectivas probabilidades.

• Eventos Mutuamente Exclusivos

Dizemos que dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um exclui a realização do(s) outro(s). Assim, no lançamento de uma moeda, o evento “tirar cara” e o evento “tirar coroa” são mutuamente exclusivos, já que, ao se realizar um deles, o outro não se realiza. Se dois eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade de que um ou outro se realize é igual à soma das probabilidades de que cada um deles se realize: 1 2p p p= + Exemplo: Lançamos um dado. A probabilidade de se tirar 3 ou 5 é: P= 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3, pois, os dois eventos são mutuamente exclusivos. Exercícios 1.Qual a probabilidade de sair o ás de ouros quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas ?


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52

RESP: P=1/52 2.Qual a probabilidade de sair um rei quando retiramos uma carta de uma baralho de 52 cartas ? RESP: P=4/52 = 1/13 3 Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Sendo retirada uma peça, calcule:

a) a probabilidade de essa peça ser defeituosa RESP: P = 4/12 = 1/3

b) a probabilidade de essa peça não ser defeituosa.

RESP: 2/3 4. No lançamento de dois dados, calcule a probabilidade de se obter soma igual a 5. {obs.:O evento é formado pelos elementos (1, 4), (2, 3), (3, 2) e (4, 1)} P=4/36 = 1/9 5.De dois baralhos de 52 cartas retiram-se, simultaneamente, uma carta do primeiro baralho e uma carta do segundo. Qual a probabilidade de a carta do primeiro baralho ser um rei e a do segundo ser 5 de paus ? (obs.: lembrar que estes acontecimentos são independentes e simultâneos). P1 = 4/52 = 1/13; P2 = 1/52 P = 1/13 X 1/52 = 1/676 6. Uma urna A contém: 3 bolas brancas, 4 pretas e 2 verdes; uma urna B contém: 5 bolas brancas, 2 pretas e 1 verde e uma urna C contém: 2 bolas brancas, 3 pretas e 4 verdes. Uma bola é retirada de cada urna. Qual é a probabilidade de as três bolas retiradas da primeira, segunda e terceira urnas serem, respectivamente, branca, preta e verde ? (obs.: lembrar que estes três eventos são independentes e simultâneos) P = 1/3 X 1/4 X 4/9 = 4/108 = 1/27


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53

7.De um baralho de 52 cartas retiram-se, ao acaso, duas cartas sem reposição. Qual é a probabilidade de a primeira carta ser o ás de paus e a segunda ser o rei de paus ? Resp: 1/52 Resolução: A probabilidade de sair o ás de paus na primeira carta é: Após a retirada da primeira carta, restam 51 cartas no baralho, já que a carta retirada não foi reposta. Assim, a probabilidade de a segunda carta ser o rei de paus é: RESP: 1/51 (como esses dois eventos são independentes, temos: ) P = 1/52 X 1/51 = 1/2652 8. Qual a probabilidade de sair uma figura quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas ? (lembrar que estes eventos são mutuamente exclusivos) RESP: P= 12/52 = 3/13 9.Qual a probabilidade de sair uma carta de copas ou de ouros quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas ? (lembrar que estes eventos são mutuamente exclusivos) PC = ¼; PO = ¼ = P = ¼ + ¼ = 2/4 = ½ = 0,5 = 50% 10. No lançamento de um dado, qual a probabilidade de se obter um n.º não-inferior a 5? RESP: P = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3 11. São dados dois baralhos de 52 cartas. Tiramos, ao mesmo tempo, uma carta do primeiro baralho e uma carta do segundo. Qual é a probabilidade de tirarmos uma dama e um rei, não necessariamente nessa ordem ? (lembrar que os eventos são mutuamente exclusivos).


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54

1/169 + 1/169 = 2/169 12. Dois dados são lançados conjuntamente. Determine a probabilidade de a soma ser 10 ou maior que 10 . (lembrar que estes eventos são mutuamente exclusivos). RESP: P = 3/36 + 2/36 + 1/36 = 6/36 = 1/6 TRABALHO DE PROBABILIDADE + Distribuição Binomial – VALOR: .....– GRUPOS DE NO MÁXIMO 4 ALUNOS

1. Determine a probabilidade de cada evento: a) Um número par aparece no lançamento de um dado.

b) Uma figura aparece ao se extrair uma carta de baralho de 52 cartas.

c) Uma carta de ouros aparece ao se extrair uma carta de um baralho de 52 cartas.

d) Uma só coroa aparece no lançamento de 3 moedas.

2. Um número inteiro é escolhido aleatoriamente dentre os números 1,2,3,

..., 49, 50. Determine a probabilidade de: a) o número ser divisível pro 5;

b) o número terminar em 3;

c) o número ser divisível por 6 ou por 8;

d) o número ser divisível por 4 ou por 6.


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55

3. Dois dados são lançados simultaneamente. Determine a probabilidade de:

a) a soma ser menor que 4;

b) a soma ser 9;

c) o primeiro resultado ser maior que o segundo;

d) a soma ser menor ou igual a 5.

4. Uma moeda é lançada 2 vezes. Calcule a probabilidade de: a) não ocorrer cara nenhuma vez;

b) obter-se cara na primeira ou na segunda jogada.

5. Um inteiro entre 3 e 11 será escolhido ao acaso.

a) Qual é a probabilidade de que este número seja ímpar?

b) Qual é a probabilidade de que este número seja ímpar e divisível por 3?

6. Uma carta é retirada ao acaso

7. de um baralho de 52 cartas. Qual a probabilidade de que a carta retirada seja uma dama ou uma carta de copas?


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56

8. No lançamento de dois dados, qual a probabilidade de se obter um par de pontos iguais?

9. Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Sendo retiradas aleatoriamente 2 peças, calcule:

a) a probabilidade de ambas serem defeituosas;

b) a probabilidade de ambas não serem defeituosas.

10. No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de sair um número 6

ou um número ímpar?

11. Duas cartas são jogadas ao acaso de um baralho de 52 cartas. Calcule a probabilidade de se obterem:

a) dois valetes;

b) um valete e uma dama.

12. Um casal planeja ter três filhos. Determine a probabilidade de

nascerem: a) três homens;

b) dois homens e uma mulher.


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13. Uma moeda é lançada três vezes. Calcule a probabilidade de obtermos:

a) três caras;

b) duas caras e uma coroa;

c) uma cara somente;

d) nenhuma cara;

e) pelo menos uma cara;

f) no maximo uma cara.

14. Um dado é lançado duas vezes. Calcule a probabilidade de: a) sair um seis no primeiro lançamento;

b) sair um seis no segundo lançamento;

c) não sair um seis em nenhum lançamento

d) sair um seis pelo menos.

15. Uma urna contém 50 bolas idênticas. Sendo as bolas numeradas de 1 a

50, determine a probabilidade de, em uma extração ao acaso: a) obtermos a bola de número 27;


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58

b) obtermos uma bola de número par;

c) obtermos uma bola de número maior que 20;

d) obtermos uma bola de número menor ou igual a 20.

16. Uma loja dispõe de 12 geladeiras do mesmo tipo, das quais 4

apresentam defeitos. a) Se um freguês vai comprar uma geladeira, qual a probabilidade de levar

uma defeituosa?

b) Se um freguês comprar duas geladeiras, qual a probabilidade de levar duas defeituosas?

c) Se um freguês comprar duas geladeiras, qual a probabilidade de levar pelo menos uma defeituosa?

17. Um par de dados é atirado. Encontre a probabilidade de que a soma seja

10 ou maior que 10 se: a) um 5 aparece no primeiro dado;

b) um 5 aparece pelo menos em um dos dados. 18. Lança-se um par de dados. Aparecendo dois números diferentes,

encontre a probabilidade de que: a) a soma seja 6;


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b) o 1 apareça;

c) a soma seja 4 ou menor que 4. 19. Um lote é formado por10 peças boas, 4 com defeitos e 2 com defeitos

graves. Uma peça é escolhida ao acaso. Calcule a probabilidade de que: a) ela não tenha defeitos graves;

b) ela não tenha defeitos;

c) ela seja boa ou tenha defeitos graves.

20. Considere o mesmo lote do problema anterior. Retiram-se duas peças ao

acaso. Calcule a probabilidade de que: a) ambas sejam perfeitas;

b) pelo menos uma seja perfeita;

c) nenhuma tenha defeitos graves;

d) nenhuma seja perfeita.

21. Retira-se uma carta de um baralho completo de 52 cartas. Qual a

probabilidade de sair um rei ou uma carta de espadas?

22. Qual a probabilidade de num baralho com 52 cartas, ao se retirarem 4 cartas, ao acaso, sem reposição, se obter uma quadra?


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60

23. Duas bolas vão ser retiradas de uma urna que contém 2 bolas brancas, 3

pretas e 4 verdes. Qual a probabilidade de que ambas sejam: a) Verdes

b) sejam da mesma cor 24. De quantas maneiras podem os 4 ases localizar-se em um baralho de 52

cartas?

25. Suponha que você esteja se vestindo em um quarto escuro. Em sua gaveta você tem 4 meias vermelhas, 3 azuis e 2 marrons. Se você escolhe aleatoriamente 2 pés de meia, qual é a probabilidade de eles formarem um par?

26. Se você tem 5 moedas de 5 centavos e 4 de 10 centavos em seu bolso, e tira duas delas aleatoriamente, qual a probabilidade de obter um total de 20 centavos?

27. Se dispomos de 10 cadeiras grandes e 5 cadeiras pequenas, de quantas maneiras elas podem ser dispostas ao redor de uma mesa redonda?

28. Jogando-se 3 dados, qual a probabilidade de todos eles apresentarem o mesmo número?


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61

29. Qual a probabilidade de extrair um valete (J espadas, copas, ouros e paus) de um baralho de 52 cartas, se você tirou uma figura?

30. Qual a probabilidade de obter-se 3 números primos em 5 jogadas de um dado?

31. Suponha-se que 45% dos SILVA no mundo sejam mulheres. De 3 SILVA escolhidos aleatoriamente, qual é a probabilidade de ao menos 2 serem mulheres?

32. Jogando-se uma moeda honesta, qual a probabilidade de obter-se ao menos 4 caras em 5 jogadas?

33. Qual a probabilidade de 2 dos próximos 3 presidentes do Brasil terem nascido num domingo?

34. Suponha que 2/5 da população tenham sangue do tipo O+. Escolhidos aleatoriamente 6 pessoas, qual a probabilidade de 4 delas terem sangue O+?


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IX- CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR -A reta dos Mínimos quadrados. Fórmulas: a- REGRESSÃO – Ajustamento da Reta Estimada

Sempre que desejamos estudar determinada variável em função de outra fazemos uma análise de regressão. Esta análise tem por objetivo descrever, através de um modelo

matemático, a relação entre duas variáveis, partindo-se de n observações das mesmas.

O cálculo do Coeficiente Angular ou a Reta Tangente: a

22

. .

( )

n x y x ya

n x x

−=

−∑ ∑ ∑∑ ∑

; n = número de observações

;x y

X Yn n

= =∑ ∑ b Y aX= − ; ;x y

X Yn n

= =∑ ∑

b –CORRELAÇÃO –

2 22 2

. .

[ ( ) ][ ( ) ]

n x y x yr

n x x n y y

−=

− −

∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑

Este coeficiente deve indicar o grau de intensidade da correlação entre duas variáveis e, ainda, o sentido dessa correlação (positivo ou negativo) O valor de r pertence ao intervalo fechado [-1,+1]. Assim a correlação pode não existir: ser igual a zero; ser positiva ou ser negativa. • Se a correlação entre duas variáveis é perfeita e positiva, então r=1 • Se a correlação é perfeita e negativa, então r =2 • Se não há correlação entre a s variáveis então r=0 • Se 0,0 0,3r≤ ≤ 0,3 0,6r≤ ≤ a correlação é relativamente fraca entre as

variáveis • Se 0,6 1,0r≤ ≤ podemos tirar conclusões significativas

• Se 0,0 0,3r≤ ≤ a correlação é muito fraca e pouco ou nada se pode

concluir sobre a relação entre as variáveis em estudo. Exemplos de variáveis correlacionáveis:


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• Dose de um remédio(x) X Temperatura do Corpo(y) • IMC (x) X PAS, onde IMC é o Indice de Massa Corporal (peso / altura

ao quadrado) e PAS é a Pressão Sanguínea Sistólica. • Hemoglobina (g/dL) (x) X Absorvância (y), neste caso as absorvâncias

obtidas na calibração do método de cianetohemoglobina pela utilização de diferentes diluições de um padrão de hemoglobina.

• Concentração de ascorbato (x) X Concentração de glicose (y) • Tempo de estudo (horas) (x) X Nota (y) • Tempo de exposição (horas) (x) X tempo de vida (dias) (y) • Dados referentes ao crescimento de uma colônia de bactérias: Dias desde a inoculação(x) X Contagem de bactérias em milhares(y) • Dados referentes do alcance auditivo de pessoas expostas ao ruído de

decolagem de aviões durante um certo período de tempo Numero de semanas de exposição (x) X Alcance auditivo

• Dados referentes a doses de raios cósmicos medidos em diversas altitudes: Altitudes(x) X Taxa de doses em mrem/ano (y)

• Notas de matemática(x) X notas de Estatística (y) Exercício de Aplicação: x 0 1 2 3 4 5 y 1 3 4 5 7 6 I(contador) x y x.y x² y² $y (y- $y ) (y- $y )² 1 0 1 0 0 1 1,62 (1-1,62)

=-0,62 0,3844

2 1 3 3 1 9 2,71 (3-2,71) = 0,29

0,0841

3 2 4 8 4 16 3,80 (4-3,8) = 0,2

0,0400

4 3 5 15 9 25 4,89 (5-4,89) = 0,11

0,0121

5 4 7 28 16 49 5,98 (7-5,98) = 1,020

1,0404

6 5 6 30 25 36 7.07 (6-7.07) = -1,07

1,1449

∑ 15 26 84 55 136 //////// -0.07 2,7059

0, 29 0, 20 0,11 1.020 1,62+ + + + =∑ ; 1,07 0,62 1,69− − − = −∑


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64

2 1 RETA

med

QER

QE= − ; R² = 1 -

[ ]

12

2

1 1

ˆ( )²

.

n

i

n n

i ii i

y y

y yn

n n

=

= =

−

−

∑

∑ ∑ = R² = 1 -

2,70590,88

22,9333= 4

R² = 0,88 4; 0,884 0,9402R = =

0,884 0,94R = = Com as equações acima chega-se a reta de regressão estimada: Y = ax + b, calculada através dos n pares ordenados discretos obtidos . $y = 1,09x + 1,62 Coeficiente de determinação ou de explicação ( R²). Cidade Renda

($1.000) Pizzas (milhares)

Y estimado

Y

Resíduo ˆ( )Y Y−

Resíduo ao quadrado

2ˆ( )Y Y−

X Y X.Y X² Y² 1 5 27 135 25 729 29,102 -2,102 4,418 2 10 46 460 100 2.116 43,627 2,373 5,631 3 20 73 1460 400 5.329 72,677 0,323 0,104 4 8 40 320 64 1.600 37,817 2,183 4,765 5 4 30 120 16 900 26,197 3,803 14,463 6 6 28 168 36 784 32,007 -4,007 16,056 7 12 46 552 144 2.116 49,437 -3,437 11,813 8 15 59 885 225 3.481 58,152 0,848 0,719 Σ (TOTAL)

80 349 4.100 1.010 17.055 349 0 57,970

µ (MEDIA)

10 43,63 512,5 126,25 2.131,88

A equação linear ajustada (estimada) é: Y

PRECISÃO DA RETA DE REGRESSÃO: é medida da discrepância entre os pontos da reta estimada e os pontos do gráfico (dispersão):

medQE = QUADRADO DOS ERROS EM RELAÇÃO A MÉDIA

RETAQE =QUADRADO DOS ERROS EM RELAÇÃO A RETA.

Mede-se pela seguinte equação: 1

ˆ( )²n

RETAi

QE y y=

= −∑


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65

Se RETAQE é zero, então a reta se ajusta perfeitamente aos dados. Mas se o valor numérico

de RETAQE for maior do que zero temos de procurar uma comparação para que possamos determinar se o ajuste da reta é bom. O total dos quadrados dos erros de y em relação à sua média . ( )medQE nVar y= COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO ( 2R ):

2R = Medida de como a variável independente em uma análise de regressão linear simples pode explicar variações na variável dependente; seu valor situa-se entre 0 (fraco ajuste) e 1 ( ajuste perfeito). E definiremos, pois, como segue a nossa medida de precisão da reta de regressão como a expressão do coeficiente de determinação dada por:

2 1 RETA

med

QER

QE= − R² = 1-

[ ]

12

2

1 1

ˆ( )²

.

n

i

n n

i ii i

y y

y yn

n n

=

= =

−

−

∑

∑ ∑ esta medida nos diz que:

1. se RETAQE = 0, então

22var( ) ( )

y yy

n n= −∑ ∑

Se 2R = 1 o ajuste da reta é perfeito.

2. Se RETAQE= medQE

, então 2R = 0 e o ajuste é muito fraco.

Calculamos então o resíduo subtraindo o valor efetivo de y do valor predito. Eis uma tabela dos resultados: Cidade

x Valor efetivo y

Valor Predito

Y

Residuo ˆ( )y y−

Residuo ao quadrado 2ˆ( )y y−

1 5 27 29,102 -2,102 4,418 2 10 46 43,627 2,373 5,631 3 20 73 72,677 0,323 0,104 4 8 40 37,817 2,183 4,765 5 4 30 26,197 3,803 14,463 6 6 28 32,007 -4,007 16,056 7 12 46 49,437 -3,437 11,813 8 15 59 58,152 0,848 0,719 ΣΣΣΣ 80 349 349 0 57,970 QE da reta Propriedades interessantes de uma reta de regressão:


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66

1- a soma dos resíduos é sempre zero 2- a soma dos valores preditos de y é sempre igual à soma dos valores observados de

y. Para calcularmos o coeficiente de determinação podemos utilizar a fórmula:

2 57,9701 1 0,968

1.829,875RETA

med

QER

QE= − = − = , então podemos dizer que a reta de regressão se

ajusta muito bem aos dados; 98,6% da variação nas vendas de pizza podem ser explicados por variações na renda. Para calcular a variância dos valores de y utilizamos a fórmula:

n. {2

2var( ) ( )y y

yn n

= −∑ ∑ }

n. 2 217.055 349var( ) ( ) 2.131,875 (43,625) 228,734

8 8y = − = − =

Como RETAQE n.Var(y) = 8 x {228,734} = 1.829,875 (QE media) EXERCÍCIOS DE REGRESSÃO LINEAR (AJUSTE DA RETA PELO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS E CORRELAÇÃO LINEAR . 1. A tabela a seguir indica as quantidades produzidas, de um certo produto, e os respectivos custos totais de produção, apresentados por uma empresa: Pede-se o valor estimado Custo Total para uma produção de 150 unidades, opinando e justificando a validade desta projeção, com base no coeficiente de correlação(r) de Pearson. Xi Yi XiYi Xi2 Yi2 10 146 25 295 50 540 80 839 100 1020 ∑ = ∑ = ∑ = ∑ = ∑ =


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2. Considerando as dados Quociente de Liquidez (X1) e Quociente Relativo de participação de Capitais (Y1) relativos à 8 empresas pesquisadas, conforme demonstrativo abaixo: Empresas Xi Yi XiYi Xi2 Yi2 A 2,81 1,33 B 3,69 1,62 C 2,99 1,47 D 4,12 2,97 E 2,87 1,93 F 3,12 1,85 G 1,61 0,89 H 3,51 2,76 ∑ = ∑ = ∑ = ∑ = ∑ = ∑ = Determine: A) Coeficiente de Correlação de Linear; b) Equação do quociente Relativo de participação de capitais em função do Quociente de Liquidez; c) Quociente relativo de participação de capitais estimado para um coeficiente de liquidez igual a 1,5. 3. As importações de uma determinada matéria prima (em toneladas), no período de 1971/1976 encontram-se na tabela a seguir: ANO Xi IMPORTAÇÃO Yi XiYi Xi2 Yi2 1 120 2 117 3 105 4 100 5 84 6 80 ∑ = ∑ = ∑ = ∑ = ∑ = Calcule o coeficiente de correlação de Pearson 4.Baseado na tabela do exercício 3, calcule a equação de regressão Y para X. 5.Baseado nos dados no exercício 3, estime o valor das importações em 1977. 6.Considerando as variáveis abaixo, Índice de Preços ao Consumidor IPC (Y) e Moeda em circulação MOEDA (X), calcule o coeficiente de correlação. ANO Moeda xi IPC yi Xiyi Xi2 Yi2 1 12 62 2 14 65 3 15 72 4 16 82


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5 18 90 6 20 96 7 22 99 8 24 103 9 25 107 10 28 110 ∑ ∑ 7. Baseado nos valores do exercício anterior, calcule a equação de regressão de Y para X. 8.Baseado nos valores do exercício 6, estimar o Índice de Preços ao Consumidor para um montante de moeda em circulação igual a 30. 9. Baseado nos valores do exercício 7, apresente o diagrama de dispersão e no mesmo gráfico ajuste um reta de mínimos quadrados. 10.A administração de um banco desejava estabelecer em critério objetivo para avaliar a eficiência de seus gerentes. Para isso levou, para cada um dos subdistritos onde possui agência, dados a respeito do depósito médio mensal (em R$ 1.000,00), por agência, e o número de estabelecimentos comerciais existentes nestes subdistritos, obtendo os seguintes valores: (qual a equação da reta estimada e o Coeficiente de Correlação ?) Nº Estab. Xi Depósitos Yi XiYi Xi2 Yi2 16 14 30 16 35 19 70 30 90 31 120 33 160 35 237 43 378 50 ∑ = ∑ =


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X – Distribuição Normal Reduzida (z) Distribuição Normal Padrão (z)

Sendo o perfil de uma curva normal determinado pelo desvio padrão, pode-se reduzir qualquer curva normal a uma curva normal padrão. A variável X da distribuição normal é transformada numa variável Z, que constitui uma distribuição normal padrão ou reduzida. Tomemos a distribuição normal da variável X. Fazendo X – µµµµ, isto é, subtraindo a média de cada valor da variável desloca-se para a esquerda centrando em zero. A nova variável, X – µµµµ, tem média zero e o mesmo desvio padrão da variável X . Se, agora, dividimos todos os valores da variável X – µµµµ, pelo desvio padrão σσσσ, a nova variável, denominada Z, terá média zero (0) e desvio padrão igual a um (1).

Assim a variável X

zµ

σ−

= tem os parâmetros: µµµµ = 0 e σσσσ =1

- 1 0 1 2 3- 2- 3

Sendo: µµµµ = 0 e σσσσ = 1 constantes, as áreas sob a curva normal padrão podem ser calculadas e tabeladas, pois dependem exclusivamente do valor da variável Z. Nessa tabela, a primeira coluna e a primeira linha dão o valor de Z, sendo que a coluna dá valores de Z com o primeiro digito decimal e a linha, com o segundo digito decimal. Na intersecção da coluna com a linha, encontramos a área sob a curva, que é a probabilidade de a variável situar-se entre o zero (0) e o valor de Z procurado. Ao redor de 68% das médias estão entre –1 e 1 desvios padrão. Ao redor de 95% das médias estão entre –2 e 2 desvios padrão. Ao redor de 99,7% das médias estão entre –3 e 3 desvios padrão. Exercícios I PARTE:

1. Qual a área sob a curva normal padrão de Z = 0 a Z = 1?


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2. Qual a área entre Z = - 0,56 e Z = - 0,20?

3. Qual a área entre Z = 2,5 e Z = 2,8?

4. Qual a área entre Z = - 0,2 e Z = 0,4?

5. Qual a área á esquerda de Z = - 0,3?

6. Qual a área á direita de Z = 0,56?

7. Qual a probabilidade da variável Z afastar-se mais de dois desvios padrão da média?


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8. Sendo X uma variável normalmente distribuída com média 10 e desvio padrão 2, qual a probabilidade de X > 13?

9. Uma variável X de distribuição normal tem média 30 e desvio padrão 4. Qual a probabilidade de 28 < X <35?

10. O peso médio dos alunos de uma escola de 1.º grau é de 32 kg e o desvio padrão

4kg. Qual a percentagem de alunos com mais de 30 kg e com menos de 35kg?

11. Suponha que a renda média de uma comunidade possa ser razoavelmente aproximada por uma distribuição normal, com média de $ 150,00 e desvio padrão $ 30,00. Qual a percentagem da população que terá renda superior a $ 186,00?

12. Numa amostra de 50 assalariados, ( problema 11 ), quantos podemos esperar que tenham menos de $ 105,00 de renda?

13. Os peixes pescados por uma traineira têm peso médio de 4,5kg e desvio padrão de 0,5 kg. Qual a percentagem de peixes que pesam menos de 4kg?

14. Se os diâmetros de 400 peças produzidas por uma máquina, num dia, têm distribuição normal com média 50,2 mm e desvio padrão 0,15 mm. Qual o número provável de pecas com mais de 50,5 mm de diâmetro?

]


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15. Numa prova final de matemática, as notas dos alunos tiveram uma distribuição normal com média 6 e desvio padrão 1,5. Sendo 5 a nota mínima de aprovação, qual a proporção de alunos reprovados?

16. Se a altura média dos estudantes de uma Faculdade é 1,72m e o desvio padrão 0,07m, qual a probabilidade de um estudante, sorteado ao acaso, ter uma altura entre 1,60m e 1,70m?

17. A experiência tem mostrado que a duração média das lâmpadas de retroprojetores é de 70 horas, com desvio padrão de 8 horas. Qual a probabilidade de determinada lâmpada durar mais de 82 horas?

18. Uma máquina produz eixos com o diâmetro médio de 20 mm. Se o desvio padrão dos diâmetros é 0,02 mm, qual a proporção de eixos fora da tolerância, que é 20 ± 0,05?

Exercícios – II PARTE

1-Os pesos de 600 estudantes são normalmente distribuídos com

média 65,3 Kg e desvio padrão 5,5 Kg. Encontre o n. de alunos

que pesam

a) entre 60 e 70 Kg ; resp: 380 alunos; b) mais que 63,2 Kg; resp: 389 alunos 2-Uma fábrica de pneumáticos fez um teste para medir o

desgaste de seus pneus e verificou que ele obedecia a uma

distribuição normal, de média 48.000 Km e desvio padrão 2.000

km. Calcular a probabilidade de um pneu escolhido ao acaso:

a) dure mais que 46.000 km; resp:0,8413 b) dure entre 45.000 e 50.000 km;resp: 0,7745

3- O salário semanal dos operários industriais são

distribuídos normalmente em torno de uma média de U$180,00

com desvio padrão de R$ 25,00. Pede-se:

a) encontre a probabilidade de um operário ter salário

semanal situado entre R$ 150,0 e R$178,00. resp:0,3530


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b)dentro de que desvios de ambos os lados da média, cairão

96% dos salários? Resp: 128,75 231,25x≤ ≤

4-Suponha que o índice pluviométrico em uma cidade tenha

distribuição normal com média 40 e desvio padrão 5.

a)qual é a probabilidade de a cidade ter menos de 33 polegadas de chuva no próximo ano ? resp: z=-1,4; 0,4192-05 =0,0808 = 8,08%.

b)Qual é a probabilidade de a cidade ter mais de 38 polegadas

de chuva ? resp:z=-0,4; 0,1554 + 0,5000 = 0,6554 = 65,54%

5-Suponha que o escore de um estudante no vestibular seja uma variável aleatória selecionada de uma distribuição normal com média 550 e variância 900 (o desvio padrão é a raiz quadrada da variância). Se a admissão em certa faculdade exige um escore de 575: a) qual é a probabilidade de ser admitido ? resp: z=0,83; 0,5 –0,2967 = 0,2033 = 20,33% b)e se o escore mínimo for 540 ? resp: -0,33; 0,1293 +0,5= 0,6293 = 62,93% 6- Suponha que você é gerente de um banco onde os montantes

diários dos depósitos e de retiradas são dados por variáveis

aleatórias independentes com distribuições normais. Para os

depósitos a média é de r$ 12.000,00 e o desvio padrão é de

r$5.000,00. Calcule a probabilidade de cada um dos eventos

abaixo em determinado dia:

a) A dos depósitos ser superior a r$ 13.000,00. Resp: z =0,25; 0,5000 – 0,00987 = 0,4013 = 40,13 %

b)A das retiradas serem superiores a r$ 13.000,00 Resp:z =0,6; 0,2258 – 0,5000 = 0,2742 = 27,42%

7--Suponha que a vida de um circuito eletrônico tenha

distribuição normal com média 50.000 horas e desvio-padrão

8.000 horas. a-Escolhido aleatoriamente um desses circuitos, qual é a

probabilidade de durar menos de 30.000 horas ?

resp: 0,0062 = 0,62% b)Qual é a probabilidade de m circuito escolhido ao acaso

durar mais de 55.000 horas ?

resp:0,2676 = 26,76%. c)Qual é a probabilidade de X superar 80.000 horas ?

8-Uma empresa produz um equipamento cuja vida útil admite

distribuição normal com média 300 horas e desvio padrão 20

horas. Se a empresa garantiu ma vida útil de menos 280 horas

para uma das unidade vendidas, qual a probablidade de ela ter

que repor essa unidade ?

resp: 15,87% 9-Os balancetes semanais realizados em uma empresa mostraram

que o lucro realizado distribuiu-se normalmente com média r$

48.000,00 e desvio padrão r$ 8.000,00 Qual a probabilidade de

que:a-Na próxima semana o lucro seja maior do que r$50.000,00


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? resp:40,18% b)Na próxima semana o lucro esteja entre

r$40.000,00 e 45.000,00 ? resp:19,33%% c)Na próxima semana haja prejuízo. Resp: 0%

10-Uma máquina produz um tubo de plástico rígido cujo

diâmetro admite distribuição normal de probabilidades, com

média 100 mm e desvio –padrão 0,5 mm. Os Tubos com diâmetro

menor que 98,2 mm ou maior que 100,6 mm são considerados

defeituosos, e devem ser reciclados. Qual a proporção da

produção que deverá ser reciclada ? resp: 11,53% 11-O levantamento do custo unitário de produção de um item da

empresa revelou que sua distribuição é normal com média 50 e

desvio padrão 4. Se o preço de venda unitário desse produto é

60, qual a probabilidade de uma unidade desse item escolhida

ao acaso ocasionar prejuízo a empresa ? resp:0,0062 = 0,62%.

12-O departamento de marketing da empresa resolve premiar 5%

dos seus vendedores mais eficientes. Um levantamento das

vendas individuais por semana mostrou que elas se distribuíam

normalmente com média R$ 240.000,00 e desvio padrão

30.000,00. Qual o volume de vendas mínimo que um vendedor deve realizar para ser premiado ? RESP:acima de 95%, aonde z =1,645 e x = 289.350,00.Faça o gráfico da normal para melhor interpretação.

13- Suponha que o diâmetro médio dos parafusos produzidos por

uma fábrica é de 0,25 polegadas, e o desvio padrão 0,02. Um

parafuso é considerado defeituoso se seu diâmetro é maior que

0,28 polegadas ou menor que 0,20. a) qual a % de parafusos

defeituosos? RESP: 7,3%. B)Qual deve ser a medida mínima para

que tenhamos no máximo 12% de parafusos defeituosos ?

resp:0,2266. Prof. Diogo E. P. Penna, M.Sc. Especialista em Estatística.

XI – INTERVALOS DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA DA POPULAÇÃO – ERRO MÁXIMO DE ESTIMATIVA – TAMANHO MÍNIMO DA AMOSTRA – ( µµµµ.) Admitindo-se x como sendo uma variável normalmente distribuída com média µ. (mi ou mu) e desvio padrão σ (sigma) , pode-se estabelecer um limite inferior e um limite superior, definindo-se um intervalo que contém certo percentual dos valores de X . Geralmente usam-se os percentuais 90 % ,95 %, 99 %, que são denominados níveis de confiança para a média da população. Na distribuição normal padrão, os valores de Z que limitam os intervalos acima são representados por:


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90% 95% 99%

-1,645 1,645 -1,96 1,96 -2,575 + 2,575

A variável média ( X ) é reduzida á variável Z através da fórmula:

Xz

n

µσ−

=

onde o desvio padrão da amostral (desvio padrão da média) é: sn

σ=

Para fixarmos um intervalo de confiança para a µ (média populacional), o valor de Z, correspondente a 25n ≥ X (média amostral) obtido da amostra, deverá estar compreendido entre os valores- limites de Z, conforme o nível de confiança estabelecido. Sejam –Z. e + Z os valores- limites do intervalo de confiança e Z o valor correspondente á X , então:

Xz z

n

µσ−

− < < +

Isolando µ .vem

1 1

s sX t X t

n nµ− < < +

− −

ERRO MÁXIMO DE ESTIMATIVA

Na fórmula X z X zn n

σ σµ− < < + a expressão zn

σ constitui o erro

máximo de estimativa.


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Esse valor indica o afastamento máximo que o parâmetro µ pode ter em relação aos limites de confiança para determinado nível. Se, por exemplo, o intervalo de confiança para µ no nível de 95 %, é

65 < µ < 70

o erro máximo de estimativa é 2,5. Isto significa que há uma probabilidade de 95 % de que a média (µ.) da população se afaste até 2,5 unidades de 65 ou de 70.

A quantidade de erro numa estimativa nada mais é do que a metade da amplitude do intervalo de confiança. Assim, para diminuir o erro máximo de estimativa, dando a esta maior precisão, a única alternativa de que dispomos é o aumento do tamanho da amostra. Desta forma, se fixarmos previamente o erro máximo de estimativa e o nível de confiança, podemos determinar o tamanho da amostra a ser tomada.

E = zn

σ - 2

.zn

e

σ =

Exemplos:

1. Desejando estimar, no nível de 95 %, a média de uma população, de modo que ela não exceda a 2 unidades, sendo σ= 8, qual o tamanho da amostra a ser tomada ?

2. Idem ao ( ex. 1 ), sabendo que o erro máximo é 1,5 e o desvio padrão

é 6.

DISTRIBUIÇÃO t DE STUDENT Ao estimarmos a µ, através de um intervalo de confiança , podemos

substituir σσσσ por s para amostra consideradas grandes ( 25)n ≥ (para alguns autores 30n ≥ ), sem prejuízo para a estimativa. Entretanto quando tratamos


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com amostra pequenas Xt

s

n

µ−= ( 25n < ) (para alguns autores 30n < ), o desvio

padrão amostral (s) não é boa estimativa do desvio padrão populacional (σ). Neste caso, devemos empregar uma nova variável para o cálculo de estimativas de µ . Esta variável é denominada t de student, onde

X

ts

n

µ−=

e a fórmula para calcular o intervalo de confiança da distribuição t é:

X t X tn n

σ σµ− < < + sendo que alguns autores utilizam n-1 na raiz do

denominador com a finalidade de retirar algum valor mais discrepante ficando a fórmula:

1 1

s sX t X t

n nµ− < < +

− −

A distribuição da variável t é bastante aproximada da normal padrão z para grandes valores de n ( 25n ≥ ). Entretanto para valores menores de n a distribuição t afasta-se de Z , de forma que aquela é uma função do número de graus de liberdade V ( V = n – 1 ). Assim, quanto menor o valor de n , mais afastados estarão os valores de t e Z .

A forma da distribuição t é bastante parecida com a normal.

A principal diferença entre as duas distribuições é que a distribuição t tem maior área nas caudas.


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z →t→

A tabela anexa dá valores de t , onde P é a probabilidade de t exceder o valor de t correspondente a determinado grau de liberdade V. As probabilidades da primeira linha da tabela correspondem aos valores das áreas localizadas nas caudas da curva, à esquerda de – t e a direita de t . Na primeira coluna estão os graus de liberdade V.

Na intersecção dos valores considerados temos os valores limites de t .

Exemplo 1 : Para n = 10 e P = 0,05 ( 5 % ), temos

1.ª coluna: V = 9 ( n – 1 )

1.ª linha: P = 0,05 t = 2,26

Este valor de t indica que há uma probabilidade de 2,5 % para t < - 2,26 e de 2 , % de t > 2,26. Portanto, a área sob a curva para – 2,26 < t < 2,26 é 95 %.

Exemplo 2 : Para n = 16 e P = 0,10 ( 10 % ), temos

1.ª coluna: V = 15

2.ª linha: P = 0,10 t = 1,75

P ( - 1,75 < t < 1,75 ) = 0,90


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VALORES CRÍTICOS DE t DE STUDENT - TABELA Interv. Conf. (90%) (95%) (99%) V/P 0,10 0,05 0,025 0,01 0,005 1 6,31 12,71 25,54 63,66 127,32

2 2,92 4,30 6,21 9,92 14,09

3 2,35 3,18 4,18 5,84 7,45

4 2,13 2,78 3,50 4,60 5,60

5 2,02 2,57 3,16 4,03 4,77

6 1,94 2,45 2,97 3,71 4,32

7 1,89 2,36 2,84 3,50 3,04

8 1,86 2,31 2,75 3,36 3,83

9 1,83 2,26 2,69 3,25 3,69

10 1,81 2,23 2,63 3,17 3,58

11 1,79 2,20 2,59 3,11 3,50

12 1,78 2,18 2,56 3,05 3,43

13 1,77 2,16 2,53 3,01 3,37

14 1,76 2,14 2,51 2,98 3,33

15 1,75 2,13 2,49 2,95 3,29

16 1,75 2,12 2,47 2,92 3,25

17 1,74 2,11 2,46 2,90 3,22

18 1,73 2,10 2,45 2,88 3,20

19 1,73 2,09 2,43 2,86 3,17

20 1,72 2,09 2,42 2,85 3,15

21 1,72 2,08 2,41 2,83 3,14

22 1,72 2,07 2,41 2,82 3,12

23 1,71 2,07 2,40 2,81 3,10

24 1,71 2,06 2,39 2,80 3,09

25 1,71 2,06 2,38 2,79 3,08

26 1,71 2,06 2,38 2,78 3,07

27 1,70 2,05 2,37 2,77 3,06

28 1,70 2,05 2,37 2,76 3,05

29 1,70 2,05 2,36 2,76 3,04

30 1,70 2,04 2,36 2,75 3,03


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Aplicações.

1) Estabelecer o intervalo de confiança de 95% para µ, sabendo que uma amostra tamanho 36 dessa população, forneceu X X = 30 e S = 4.

2) Determine o intervalo de confiança de 99% para µ sabendo que uma amostra tamanho 50 forneceu X = 75 e S = 7.

3) Uma amostra de 64 elementos de uma variável normalmente distribuída forneceu X = 25,4 e S = 5,2 . Determina os limites de confiança de 90% para µ.

4) Estimar no nível de 90% o QI de uma comunidade onde uma amostra de 50 pessoas forneceu X = 100,8 e S = 12,3

5) Qual é o intervalo de confiança para µ no nível de 95% sabendo que uma amostra de tamanho 20 forneceu X = 38 e S = 5 ?

6) Estabelecer os limites de confiança para µ nível de 90% sabendo que uma amostra de tamanho 18 forneceu X = 70 e S = 6,8.

7) Calcular os limites de confiança para µ nível 99% sabendo que uma amostra de tamanho 14 forneceu X = 35,7 e S = 4,3.

8) Desejando estimar no nível de 95%, a média de uma população, de modo que ela não exceda a 2 unidades (e = 2), sendo σ = 8 qual o tamanho da amostra a ser tornada?

9) Idem ao exemplo (1) sabendo que o erro máximo é de 1,5 e o desvio padrão é 6.

10)Estimar no nível de 95% o QI de uma comunidade, onde uma amostra de 60 pessoas forneceu X = 105,4 e S = 9,6.

11)Uma amostra de tamanho 10, de uma variável X normalmente distribuída, forneceu X = 20 e S = 4. Encontrar os limites de confiança para a média µ, no nível de 99%.

12)Uma amostra de 36 crianças de uma escola de 1.º grau forneceu o peso médio de 28,5 kg e desvio padrão de 5,2 kg. Determinar no nível de 99% :

a) O intervalo de confiança para a média µ.


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b) O tamanho da amostra para que o erro máximo(e) seja igual 1,2 kg.

c) O erro máximo de estimativa (e)se a amostra fosse de 200 crianças.

13)Uma variável X tem: média 4,6 e desvio padrão 2,33. Calcular o intervalo de confiança para média no nível de 95%, sabendo que o tamanho da amostra é igual a 50.

14)Uma amostra de 70 alunos forneceu X = 97,86 e S = 13.30. Determinar o intervalo de confiança para a média no nível de 90%.

15)Uma amostra de pesos de 12 alunos de uma escola forneceu X = 46,38 e S = 7,46. Estimar o intervalo de confiança para a média no nível de 95%.

16)Uma amostra de 7 pessoas mostrou uma média de 1,74 metros e desvio padrão 0,64 metros. Calcular o intervalo de confiança para a média no nível de 95%.

17)Sendo X normalmente distribuída uma amostra de 24 elementos forneceu X = 78,4 e S = 6,2.

a)Estimar no nível de 99% a média da população.

b)Qual deveria ser o tamanho da amostra para um erro de estimativa igual a 2 ? XII– TESTES DE HIPÓTESES Decisões Possíveis Estados Possíveis

Hipótese nula Verdadeira Hipótese nula Falsa Aceitação da hipótese nula ou não rejeitar Ho

Aceita corretamente Decisão Correta

Erro do Tipo II

Rejeição da Hipótese nula Rejeitar Ho

Erro Tipo I Rejeita Corretamente Decisão Correta

O teste de hipótese é algumas vezes comparado ao sistema judicial dos Estados Unidos. Decisões Possíveis Estados Possíveis

O réu é inocente O réu é culpado Veredito inocente Justiça Erro do Tipo II Veredito culpado Erro Tipo I Justiça


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Sob este sistema, são usadas as seguintes etapas: 1.Éescrita uma acusação cuidadosamente traduzida em palavras. 2.O réu é inocente (Ho) até que se prove o contrário. O ônus da prova cabe à acusação. Se a evidência não é suficientemente forte, não há condenação. Um veredicto inocente não prova que o acusado seja realmente inocente. 3.As evidências devem ser conclusivas além de uma dúvida razoável. O sistema presume que há mais danos ao se condenar um inocente (erro do tipo I) do que não condenando um culpado (erro do Tipo II).

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1- Um auditor deseja testar a hipótese de que o valor médio de todas as contas a receber em uma dada firma é de $ 260,00, tomando para tanto uma amostra n = 36 e calculando a média amostral ele deseja rejeitar o valor hipotético de $ 260,00 somente se tal valor for claramente contraditado pela média da amostra, sendo que, desta maneira, é dado ao valor suposto o “benefício da dívida”. As hipóteses nula e alternativa para este teste são Ho: µ = $ 260,00 e H1: µ ≠ 260,00.

Etapas básicas em um teste de hipótese Em um teste de hipótese, principiamos com um valor suposto (hipotético) de um parâmetro da população. Depois de coletar uma amostra aleatória, comparamos a estatística da amostra, tal como a média amostral (x), com parâmetro suposto, tal como a média populacional hipotética(µ). Então, ou aceitamos ou rejeitamos o valor hipotético como sendo corrreto. O valor hipotético é rejeitado somente se o resultado da amostra for claramente improvável de ocorrer quando a hipótese for verdadeira. Etapa 1: Formular a hipótese nula e a hipótese alternativa. A hipótese nula (Ho) é o valor suposto do parâmetro o qual é comparado com o resultado da amostra. Ele é rejeitado somente se o resultado da amostra for improvável sendo a hipótese considerada verdadeira . A hipótese alternativa (H1) é aceita somente se a hipótese nula é rejeitada. Etapa 2: Especificar o nível de significância(α) a ser utilizado. O nível de significância é o padrão estatístico especificado para rejeitar a hipótese nula. Se é especificado um nível de significância de 5%, a hipótese nula é rejeitada somente se o resultado da amostra é tão diferente do valor suposto que uma diferença igual ou maior ocorreria por acaso com uma probabilidade máxima de 0,05. Para testes bicaudais o nível de significância é α/2 em cada cauda.


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Observe que, se for utilizado um nível de significância de 5%, existe uma probabilidade de 0,05 de rejeitar a hipótese nula sendo a mesma verdadeira. Este é o chamado Erro do Tipo I. A probabilidade do Erro do Tipo I é sempre igual ao nível de significância utilizado com padrão para rejeitar a hipótese nula ( é representado pela letra alfa α . ( os mais utilizados são os de 1%, 5% e 10%). Um Erro do Tipo II ocorre quando a hipótese nula é aceita sendo a mesma falsa. Etapa 3: Selecionar a estatística do teste. (exemplo: se for uma distribuição normal o valor da média da amostra é transformado em uma valor z. A estatística do teste será a estatística da amostra. Etapa 4: Estabelecer (os) o valor (es) crítico (s) da estatística do teste. O valor crítico identifica o valor da estatística do teste unilateral ou bilateral necessário para rejeitar a hipótese nula. Exemplo: o teste z com nível de significância α de 5% possui valor crítico de 1,96. Etapa 5: Determinar o valor real da estatística do teste. Por exemplo. Para testar um valor hipotético da média populacional, coleta-se uma amostra aleatória de determina-se o valor da média da mostra. Se o valor crítico foi estabelecido com um valor z, a media da amostra será, então, convertida em um valor x. Etapa 6: Tomar a decisão. O valor observado da estatística da amostra é comparado com o valor crítico da estatística do teste. A hipótese nula, é então, ou aceita, ou rejeitada. Se a hipótese nula é rejeitada a hipótese alternativa é aceita. Por seu turno, esta decisão terá relevância em relação a outras decisões a serem tomadas por administradores, tais como se deve ou não manter um padrão de desempenho, ou sobre o qual, de duas estratégias de mercado, deve empregar-se. Exemplo 2. Para hipótese nula formulada no Exemplo 1, determinar os valores críticos da média da mostra para testar a hipótese a um nível de significância de 5%. Dado que se conhece o desvio padrão dos valores a receber, σ = $ 43,00.

Os valores críticos são: µ ± z.n

σ = 260,00 ±1,96 43

36 = $245,95 e $ 274,05\

Portanto, para se rejeitar a hipótese nula, a media da amostra deve ter uma valor menor do que $ 245,95 ou maior do que $ 274,05. Então, existem duas regiões de rejeição no caso de um teste bilateral. Os valores de z = ± 1,96 são utilizados para estabelecer os limites críticos, uma vez que, para a distribuição normal padronizada, permanece uma proporção de área nas duas caudas, o que corresponde ao nível especificado α = 0,005.


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1-O valor P para um teste de hipótese é P = 0,0237. Qual deve ser sua decisão se o nível de significância for (1) α = 0,05 e (2) α = 0,01 ? pag. 258 2- Determine o valor P para um teste de hipótese monocaudal esquerdo com um estatística teste de z = -2,23. Sendo o nível de significância α = 0,01, decida se é possível rejeitar Ho. Pág 258 3. Determine o valor P para um teste de hipótese bicaudal com uma estatística teste de z = -2,14. Decida se é possível rejeitar Ho sendo α = 0,05. Pág 259 4. Em um anúncio, uma pizzaria alega que o tempo médio de entrega é inferior a 30 minutos. Uma seleção aleatória de 36 tempos de entrega tem uma média amostral de 28,5 minutos e um desvio padrão de 3,5 minutos. Há evidências suficientes para confirmar a alegação com α = 0,01 ? Use um valor P. pág. 260 5.Você acha que as informações sobre os investimentos médios em franquias dadas no gráfico estão incorretas. Assim, selecione ao acaso 30 franquias e determine investimentos necessários para cada um. O investimento médio amostral foi de U$ 135.000, com desvio padrão de U$ 30.000. Se α = 0,05 há evidência suficiente para confirmar sua alega’~ao ? use um valor P. RESOLUÇÃO: a alegação é “a média diferente de U$ 143.260”assim, as hipóteses nula e alternativa são Ho: µ = U$ 143.260 e Há: µ ≠ 143.260. O nível de significância α = 0,05. Usando o teste z, a estatística teste padronizada é: Pág 261

REGIÃO DEACEITAÇÃO

R$245,95 R$260,00 R$274,05

REGIÃO DE REJEIÇÃO

REGIÃO DE REJEIÇÃO


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6.Obtenha o valor crítico e a região de rejeição para um teste monocaudal com α = 0,01. O teste é monocaudal esquerdo. Pág 263 7. Funcionários de uma grande firma de contabilidade alegam que seu salário médio é menor que o do seu concorrente, que é U$ 45.000. Uma amostra aleatória de 30 contadores da empresa gera um salário médio de U$ 43.500, com desvio padrão de U$ 5.200. Teste a alegação dos empregados, com α = 0,05. Pág.264. XIII– BIBLIOGRAFIA

Bibliografia básica

DEVORE,Jay L. Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências Editora THOMSON, 2006 PENNA, Diogo Eduardo Pasqual, apostila de Probabilidade e Estatística, 2007. Motta, T. Valter. Bioestatística. EDUCS – 2.a Edição, 2006 Crespo, Antônio Arnot. Estatística Fácil. Editora Saraiva, 1998

Filho, Doria Ulysses, Introdução à Bioestatística, Negócio Editora, 3.a

Edição, 1999.

Giovanardi, Omar Victório. Apostila – Prof. UCS,2001

Fonseca, J e Martins, G. Curso de Estatística. Ed. Atlas, 2000. Spiegel, M. R. Estatística. Makron Books, 1993. STEVENSON, J. W. Estatística Aplicada à Administração. São Paulo: Harbra.

DOWNING, Douglas; CLARK, Jefrey. Estatística Aplicada. 2ª Ed. São Paulo: Saraiva, 2002.

FREUND, John E.; SIMON, Gary A. Estatística Aplicada. 9.ed. Porto Alegre: Bookman, 2000.

Bibliografia complementar Meyer, Paul L. Probabilidade: aplicações à estatística. Livros técnicos e científicos, 1983. Silva, Paulo A. L. Probabilidades e Estatística. Rio de Janeiro: Reichmann & Afonso Editores, 1999. Toledo, G. L. e Ovalle, I.I. Estatística básica, 1995. Triola, M. Introdução à estatística. Livros técnicos e científicos, 1999.


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BUSSAB, Wilton O. Análise de Variância e Regressão. São Paulo: Saraiva, 2000.

BUSSAB, Wilton O.; MORETIN, Pedro A. Estatística Básica. 5.ed. São Paulo: Saraiva, 2002.

FONSECA, Jairo Simon; MARTINS, Gilberto A. Curso de Estatística, 3. ed. São Paulo: Atlas,

1980.

MARTINS, Gilberto A.; DONAIRE, Denis, Princípios de Estatística. São Paulo: Atlas.

WONNACOTT, Thomas H.; WONNACOTT, Ronald. Introdução à Estatística. São Paulo: LTC - Livros Técnicos e Científicos S/A. 1.ª PARTE FÓRMULAS UTILIZADAS PARA DADOS DISCRETOS

Média da Amostra: .f X

Xf

= ∑∑

ou .f X

X onden

= ∑ n é o total da amostra.

Média da População: .f X

fµ = ∑

∑ou

.f Xonde

nµ = ∑ n é o total da população.

Mediana: 2

fMd = ∑ ou

2

nMd =

Moda: é o valor que mais ocorre – (a maior freqüência simples ou absoluta)

Desvio Médio:.

m

f dd

f= ∑∑

onde d = x X− ou d

dmn

= ∑

Variância Populacional: 2

2 .f d

fσ = ∑

∑ ou

22 d

nσ = ∑

Variância Amostral: 2

2 .

1

f dS

f=

−∑∑

ou 2

2

1

dS

n=

−∑

Desvio Padrão Populacional: 2σ σ=

Desvio Padrão Amostral: 2S S=

Coeficiente de Variação Populacional: 100CV Xσµ

=


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Coeficiente de Variação Amostral: 100S

CV XX

=

Assimetria: 3( )

s

X mdA

S

−=

Quartil 1 - 1

1( 1).

4Q n= +

Quartil 3 - 3

3( 1).

4Q n= +

Percentil 10 - 10

10( 1).

100P n= +

Percentil 90 - 90

90( 1).

100P n= +

Curtose: 3 1

90 102( )

Q QC

P P

−=

−

_________________________________________________________________________ 2.ª PARTE FÓRMULAS PARA O CÁLCULO DA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA EM CLASSE – DADOS CONTÍNUOS

1-Média: .f X

fµ = ∑

∑

2-Moda: é a maior freqüência simples (f) da Classe Mediana: da CME.

Mo = inf sup

2erior eriorl L+

da Classe Modal.

3- Mediana: 2 .ANT

fF

Md li hf

−

= +

∑

4-Desvio em torno da média populacional d X µ= −

5-Desvio em torno da média amostral d X X= −

5- Desvio Médio: .f d

dmf

= ∑∑


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6-Variância populacional: 2

2 .f d

fσ = ∑

∑

7-Variância amostral: 2

2 .

1

f dS

f=

−∑∑

8-

9-Desvio Padrão Amostral: 2.

1

f dS

f=

−∑∑

ou calculando diretamente: 2S S=

10-Desvio Padrão Populacional: 2.f d

fσ = ∑

∑ ou calculando diretamente:

2σ σ=

11-Assimetria: 3( )

pearson

X MdAs

S

−=

12- 14 .

anterior

fF

Q li hf

−

= +

∑

13- 3

3.

4 .anterior

fF

Q li hf

−

= +

∑

14- 10

10

100 .anterior

fF

P li hf

−

= +

∑

15- 90

90

100 .anterior

fF

P li hf

−

= +

∑


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C = 0,263⇒Curva Mesocúrtica C> 0,263 ⇒Curva Platicúrtica C< 0,263⇒Curva Leptocúrtica

16-Coeficiente Percentílico de Curtose: 3 1

90 102( )

Q QC

P P

−=

−

17- Intervalo Interquartil: 3 1Q Q− 18-Amplitude: MAX MINValor Valor− ou X máximo - Xmínimo

19-Coeficiente de Variação Amostral: 100amostral

SCV x

X=

20-Coeficiente de Variação Populacional: 100populacionalCV xσµ

=

21-Coeficiente de Variação de Thorndike: 100thorndikeCV xMd

σ=

22-Moda Calculada: 3( ) 2( )pearsonMo Md X= −

23-Moda de Czuber: 1

1 2

.mo li h∆

= +∆ + ∆

(utilizada quando os intervalos de classe

forem diferentes em suas larguras)

24- Frequência Relativa: simplesr

ff

f=∑

x 100

25- A curva de frequência polida: 1 12

4i i

i

f f ffc − ++ +

=

26-Regra de Sturges: K = 1+ 3.3 10log n onde K representa o n.º de classes e n o tamanho da amostra. 27- Largura da Classe: Amplitude ÷÷÷÷ n.º de Classes 28-Desvio Padrão para dados não-agrupados ( sem freqüências) sem precisar calcular o desvio (modo abreviado):

inf sup

2erior eriorl L+

29-Cálculo do Desvio Padrão para dados Agrupados (com freqüências) – modo abreviado (sem precisar calcular o desvio):

22. .f X f Xs

n n

= −

∑ ∑ ou

22. .f X f Xs

f f

= −

∑ ∑∑ ∑

Histórico do Autor


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Nascimento: Caxias do Sul – Bairro São Pelegrino – Em 29.01.1955 1958/1959/1960: Jardim da Infância Colégio São Carlos 1961: pré-escolar: Colégio São Carlos 1962/1967: Colégio La Salle – Curso Primário 1968: Ginásio – Colégio Cenesista Santo Antônio 1969/1972: Curso Ginasial – Escola Estadual Cristóvão de Mendoza 1969 – Curso de Violão popular – Instituto Musical Verdi 1969 – Curso de Datilografia – Círculo Operário Caxiense 1970-1973- Curso de Inglês no Instituto Cultural Brasileiro Norte- Americano 1973/1975: Curso Científico com Habilitação em Química – Escola Estadual Cristóvão de Mendoza - Estágio de Fiscal da Uva pelo Instituto de Enologia de Caxias do Sul – Professor de Música – Violão popular pelo Instituto Musical Verdi –Caxias do Sul- 1974 – Serviço Militar – BCS – Bateria de Comando de Serviços - COAA – Centro de Operações Anti-Aéreas – 3.º Grupo de Artilharia Anti-Aérea – Caxias do Sul – RS Curso de Eletricista Instalador para Soldados do 3.º GAAAe - SENAI 1976/1982: Curso de Geologia na Universidade do Vale do Rio dos Sinos – Cursadas 70 disciplinas de 4 créditos + 2 créditos de Educação Física: 282 créditos 1980: Estágio pela Union Carbide em Currais Novos – RN 1981: Estágio na Bacia de Campos – Plataforma de Alto Mar – Petrobrás-Macaé/Rj Julho de 1982 : Graduação em Geologia. Agosto de 1982 à abril de1987: Geólogo Prospector de Ouro e Cassiterita nos Estados de Roraima/Amazonas/Pará e Rondônia. Sócio – Gerente das Empresas: SERGAM –Serviços Geológicos da Amazônia Ltda e MINALUA – Mineração Aluvionar da Amazônia Ltda., ambas com sede em Manaus/Am. 1987/1990 – Professor de Violão Clássico e Popular pelo Instituto Musical Verdi. Professor da UNISINOS – Geologia Econômica 1 e 2 –São Leopoldo – RS 1988 – Curso de Piloto Privado – Aeroclube de Caxias do Sul 1989- Professor de Física I no Colégio Nossa Senhora do Carmo – Caxias do Sul -RS Cursão Caxias: Auxiliar de Disciplina. 1990 – Licenciatura em Matemática pela Universidade de Caxias do Sul –RS Auxiliar de Laboratório pela Fundação Salzano Liberato Vieira da Cunha em Caxias do Sul- Sede da escola: Novo Hamburgo-RS. 1991 /1994 – Mestre em Ciências – Geofísica -pela Universidade Federal do Pará – Belém/Pa – Convênio Petrobrás. 1992 –Curso de Aperfeiçoamento em Gerenciamento Ambiental no NUMA – Núcleo de Meio Ambiente da Universidade Federal do Pará – Convênio CVRD / ALUNORTE/FADESP – Belém - Pará Março/julho:1994- Professor da Universidade de Caxias do Sul – UCS Agosto/dezembro: 1994 – Curso de Auditor Fiscal da Receita Federal Professor de Música no Instituto Musical Verdi 1995/1997 – Professor da Rede Estadual nos Colégios: Santa Catarina e outros. 1995/2006 – Professor da Universidade de Caxias do Sul – UCS 1996/2001 -Sócio Gerente das Empresas: Mineração Indústria e Comércio Geo-Criptônia Ltda. e Geosphera – Licenciamentos Ambientais Ltda. 1996/2000 –Curso de Doutorado pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul – UFRGS – 42 créditos concluídos ( mestrado + doutorado). Tese: não concluída. 2004/2006 – Professor da Faculdade Nossa Senhora de Fátima Caxias do Sul 2004 – Curso de Georreferenciamento de Imóveis Rurais. – Cadastro INCRA: CDT – Curso pela Universidade de Caxias do Sul – Convênio UFSM – Santa Maria/RS. 2005 – Curso de AUTOCAD –SENAC. 2005: Sócio Gerente da Empresa Impacto Ambiental em atividade. 2007-Início do Curso de Pós- Graduação em Estatística com término previsto para agosto de 2008 – UCS. 1982/2006:Profissional Liberal na área de Consultoria em Geologia; Topografia; Meio Ambiente e Georreferenciamento de Imóveis Rurais – Cadastrado no INCRA; no IBAMA; na FEPAM; na SEMA:Secretaria do Meio Ambiente Municipal; no CREA do Amazonas, com VISTO: no Rio Grande do Sul/ Rondônia/Pará e Mato Grosso. Realização de Projetos de Disposição Final de Resíduos Sólidos Industriais e Domésticos; Licenciamentos de Indústrias; Postos de Combustíveis; Loteamentos; Pedreiras; Olarias; Fábrica de águas minerais; Parques Termais; Parques de Lazer entre outros.


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PARTE III -

1- Responda a seguinte pergunta utilizando a tabela da Distribuição Normal Padrão. Em novembro de 2005 entrou em vigor à lei 10.267 de 28 de agosto de 2001, inicialmente para áreas acima de 1000 hectares. Esta lei do georreferenciamento de imóveis rurais permite que todas as terras brasileiras tenham nos seus respectivos registro de imóveis sua localização precisa, em coordenadas geográficas, obrigando os cartórios de todo o Brasil a se reestruturarem. O erro padrão que será admitido para as divisas de terra estipulado pelo INCRA – Instituto nacional de Colonização e Reforma Agrária é de x = ± 0,5 metro (erro padrão de 0,5 metros – para mais ou para menos). Considerando um desvio padrão, z = 1 ( um desvio padrão) equivalente a x = 0,5 metros e utilizando a tabela, qual o intervalo o intervalo de confiança utilizado pelo INCRA ? Responda utilizando duas casas decimais. 2. O salário semanal dos operários industriais são distribuídos normalmente em torno de uma media de $ 180,00 com desvio padrao de $ 25,00. Pede-se:

a) encontre a probabilidade de um operário ter salário semanal situado entre $ 150,00 e $ 178,00

b)dentro de que desvios de ambos os lados da media, cairão 96% dos salários ?

3.Suponha que o diâmetro médio dos parafusos produzidos por. uma fabrica e de 0,25 polegadas, e o desvio padrao 0,02 polegadas. Um parafuso e considerado defeituoso se o seu diâmetro e maior que 0,28 polegadas ou menor que 0,20 polegadas.

a) Encontre a porcentagem de parafusos defeituosos. b) Qual deve ser a medida mínima para que tenhamos no Maximo 12% de parafusos defeituosos.

4-Sabe-se que X tem distribuição normal com media 60 e variância M. Sabe-se também que P (X≥70) = 0,0475. Qual o valor de M ? Resposta arredondada para o inteiro mais próximo.


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5- A duração de um certo componente eletrônico tem media 850 dias e desvio-padrão 50 dias. Calcular a probabilidade desse componente durar: a)entre 700 e 1.000 dias. .......................................... b)mais que 800 dias: ........................................................ c)menos que 750 dias = .......................................................................... 6- Do problema anterior: que dure exatamente 1.000 dias =........................ 7-Um processo industrial produz canos com diâmetro médio de 2 polegadas e desvio padrao de 0,01 polegada. Os canos com diâmetro que variem mais de 0,03 polegadas, a contar da media, são considerados defeituosos.

a) Qual a percentagem de canos defeituosos ?

b) Numa partida de 5.000 canos, quantos não serão defeituosos ?


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8. Sabendo-se que o conteúdo de cerveja numa lata de 350 ml, da fabrica XYZ, tem distribuição normal, com media 320 ml e desvio padrao 25 ml:

a) que percentagem de latas terá menos de 300 ml ?

b) que percentagem de latas terá mais de 300 ml ?

c) que percentagem apresentara variação não superior a 30 ml em relação a media ? d) que percentagem apresentara variação entre 315 ml e 330 ml ? 9. Suponha que o índice pluviométrico de uma cidade tenha distribuição normal com media 40 e desvio padrao 5. (valor da questão = 1,0 ) a) Qual e a probabilidade de a cidade ter menos de 33 polegadas de chuva no próximo ano? b)Qual e a probabilidade de a cidade ter mais de 38 polegadas de chuva ?

10.Se a quantidade de radiação cósmica a que uma pessoa está exposta ao atravessar o território dos E.U.A. em um avião a jato é uma variável aleatória normal com µ = 4,35 mrem e σ = 0,59 mrem, determine as probabilidades de uma pessoa em tal vôo estar exposta a:

a) mais de 5 mrem de radiação cósmica


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b) de 3 a 4 mrem de radiação cósmica.

11 Sabe-se que X tem distribuição normal com média 60 e variância M. Sabe-se também que P(X>70) = 0,0475. Qual o valor de M? Resposta arredondada para o inteiro mais próximo.

12..Suponha que o escore de um estudante no vestibular seja uma variável aleatória selecionada de uma distribuição normal com média 600 e variância 900. Se a admissão em certa faculdade exige um escore de 500, qual é a probabilidade de ser admitido? E se o escore mínimo for de 550 ?

13-Uma amostra aleatória simples de 60 itens resultou em uma média amostral de 30 e um desvio padrão da amostra de 5. (valor da questão: 0,6)

a) Forneça um intervalo de confiança de 90% para a média da população.

b) Forneça um intervalo de confiança de 95% para a média da população. c)Forneça um intervalo de confiança de 99% para a média da população. 14-Em um esforço para estimar a quantia média gasta por cliente para jantar em um grande restaurante de Atlanta, foram coletados os dados de uma amostra de 60 clientes em um período de 4 semanas. (valor da questão = 0,6).


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a)Considerando um desvio – padrão da população de U$ 3,50, qual a margem de erro para um intervalo de confiança de 95% ? b) Se a média da amostra (x) é de U$ 25,60, qual é o intervalo de confiança de 95% para a média da população (µ) ? 15- A Companhia Grear Tire acabou de desenvolver um novo pneu radial cintado em aço que será vendido com desconto através de uma cadeia nacional de lojas. Como o pneu é um novo produto, os gerentes da Grear acreditam que a garantia de quilometragem oferecida com o pneu será um fator importante na aceitação do produto. Antes de concluírem a política de garantia de quilometragem, os gerentes da Grear desejam informações de probabilidade sobre o n.º de quilômetros em que os pneus se gastarão. A partir de testes reais com pneus em auto – estrada, o grupo de engenharia Grear Tire estimou a quilometragem média do pneu em µ = 40.000 km e o desvio-padrão em σ = 10.000 km. Além disso, os dados coletados indicam que a distribuição normal é uma hipótese razoável. Qual a porcentagem dos pneus que apresenta expectativa de durar mais que 50.000 km ? Represente na curva em sino o raciocínio para desenvolver o problema. 16-O número de anual de grandes furacões no Texas é uma variável aleatória aproximadamente normal com µ = 10 e σ = 2. Determine a probabilidade para que em dado ano, haja: a)no mínimo 10 grandes furacões b)no máximo 10 grandes furacões c)exatamente 10 furacões


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Tabela da Distribuição Z – Padronizada. ÁREA LIMITADA PELA CURVA NORMAL REDUZIDA DE 0 a Z : 0,5000 ou 50%. Os valores da variável Z variam de 0,0 a 3,99 e as probabilidades de 0,0 a 0,5000 e representam tanto a parte positiva da curva normal com a parte negativa, assim 100% das probabilidades podem ser calculadas com está tabela z. No estudo dos Intervalos de Confiança para amostras com n ≥ 30 utiliza-se também esta tabela. z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0754 0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 0,6 0,2258 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2518 0,2549 0,7 0,2580 0,2612 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2996 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 0,9 0,3158 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 1,0 ,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 1,1 ,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 1,2 ,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 1,3 ,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 1,4 ,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 1,5 ,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 1,6 ,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 1,7 ,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 1,8 ,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 1,9 ,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 2,0 ,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817 2,1 ,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857 2,2 ,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890 2,3 ,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916 2,4 ,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936 2,5 ,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952 2,6 ,4953 0,4940 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964 2,7 ,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974 2,8 ,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981 2,9 ,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4984 0,4985 0,4986 0,4986 3,0 ,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990 3,1 ,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993 3,2 ,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4994 0,4995 0,1995 3,3 ,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997 3,4 ,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998 3,5 ,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 3,6 ,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999


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3,7 ,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,8 ,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 Histórico do Autor Nascimento: Caxias do Sul – Bairro São Pelegrino – Em 29.01.1955 1958/1959/1960: Jardim da Infância Colégio São Carlos 1961: pré-escolar: Colégio São Carlos 1962/1967: Colégio La Salle – Curso Primário 1968: Ginásio – Colégio Cenesista Santo Antônio 1969/1972: Curso Ginasial – Escola Estadual Cristóvão de Mendoza 1969 – Curso de Violão popular – Instituto Musical Verdi 1969 – Curso de Datilografia – Círculo Operário Caxiense 1970-1973- Curso de Inglês no Instituto Cultural Brasileiro Norte- Americano 1973/1975: Curso Científico com Habilitação em Química – Escola Estadual Cristóvão de Mendoza - Estágio de Fiscal da Uva pelo Instituto de Enologia de Caxias do Sul – Professor de Música – Violão popular pelo Instituto Musical Verdi –Caxias do Sul- 1974 – Serviço Militar – BCS – Bateria de Comando de Serviços - COAA – Centro de Operações Anti-Aéreas – 3.º Grupo de Artilharia Anti-Aérea – Caxias do Sul – RS Curso de Eletricista Instalador para Soldados do 3.º GAAAe - SENAI 1976/1982: Curso de Geologia na Universidade do Vale do Rio dos Sinos – Cursadas 70 disciplinas de 4 créditos + 2 créditos de Educação Física: 282 créditos 1980: Estágio pela Union Carbide em Currais Novos – RN 1981: Estágio na Bacia de Campos – Plataforma de Alto Mar – Petrobrás-Macaé/Rj Julho de 1982 : Graduação em Geologia. Agosto de 1982 à abril de1987: Geólogo Prospector de Ouro e Cassiterita nos Estados de Roraima/Amazonas/Pará e Rondônia. Sócio – Gerente das Empresas: SERGAM –Serviços Geológicos da Amazônia Ltda e MINALUA – Mineração Aluvionar da Amazônia Ltda., ambas com sede em Manaus/Am. 1987/1990 – Professor de Violão Clássico e Popular pelo Instituto Musical Verdi. 1988 -Professor da UNISINOS – Geologia Econômica 1 e 2 –São Leopoldo – RS 1988 – Curso de Piloto Privado – Aeroclube de Caxias do Sul 1989- Professor de Física I no Colégio Nossa Senhora do Carmo – Caxias do Sul -RS Cursão Caxias: Auxiliar de Disciplina. 1990 – Licenciatura em Matemática pela Universidade de Caxias do Sul –RS Auxiliar de Laboratório pela Fundação Salzano Liberato Vieira da Cunha em Caxias do Sul- Sede da escola: Novo Hamburgo-RS. 1991 /1994 – Mestre em Ciências – Geofísica -pela Universidade Federal do Pará – Belém/Pa – Convênio Petrobrás. 1992 –Curso de Aperfeiçoamento em Gerenciamento Ambiental no NUMA – Núcleo de Meio Ambiente da Universidade Federal do Pará – Convênio CVRD / ALUNORTE/FADESP – Belém - Pará Março/julho:1994- Professor da Universidade de Caxias do Sul – UCS Agosto/dezembro: 1994 – Curso de Auditor Fiscal da Receita Federal Professor de Música no Instituto Musical Verdi 1995/1997 – Professor da Rede Estadual nos Colégios: Santa Catarina , Evaristo De Antoni e Apolinário. 1995/2006 – Professor da Universidade de Caxias do Sul – UCS 1996/2001 -Sócio Gerente das Empresas: Mineração Indústria e Comércio Geo-Criptônia Ltda. e Geosphera – Licenciamentos Ambientais Ltda. 1996/2000 –Curso de Doutorado pela Universidade Federal do Rio Grande do Sul – UFRGS – 42 créditos concluídos ( mestrado + doutorado). Tese: interrompida 2004/2006 – Professor da Faculdade Nossa Senhora de Fátima Caxias do Sul 2004 – Curso de Georreferenciamento de Imóveis Rurais. – Cadastro INCRA: CDT – Curso pela Universidade de Caxias do Sul – Convênio UFSM – Santa Maria/RS. 2005 – Curso de Autocad – SENAC. 2005: Sócio Gerente da Empresa Impacto Ambiental Ltda., em atividade. 1982/2006:Profissional Liberal na área de Consultoria em Geologia; Topografia; Meio Ambiente e Georreferenciamento de Imóveis Rurais – Cadastrado no INCRA; no IBAMA; na FEPAM; na SEMA:Secretaria do Meio Ambiente Municipal; no CREA do Amazonas, com VISTO: no Rio Grande do Sul/ Rondônia/Pará e Mato Grosso. Realização de Projetos de Disposição Final de Resíduos Sólidos Industriais e Domésticos; Licenciamentos de Indústrias; Postos de Combustíveis; Loteamentos; Pedreiras; Olarias; Fábrica de águas minerais; Parques Termais; Parques de Lazer entre outros. 2007/2008 – Especialização em Estatística Aplicada – 375 horas/aula – Universidade de Caxias do Sul

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Probabilidade e Estatistica