Apostila Probabilidade e Estatistica-

8/11/2019 Apostila Probabilidade e Estatistica-

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PROBABILIDADE

E

ESTATSTICA

Grfico 4.1. Produo de Arroz do Municpio X - 1984-1994

0

500

1000

1500

2000

2500

84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

(1000 ton)

Luiz Roberto M. Bastos2005


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Probabilidade e Estatstica Luiz Roberto

SUMRIO

1 TEORIA DOS CONJUNTOS NUMRICOS ..................... 5

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5

6

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8

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17

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23

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1.1 Introduo .......................................

1.2 Smbolos .........................................

1.3 Noes sobre Conjuntos ...........................

1.4 Conjunto dos Nmeros Naturais (N) ................

1.5 Conjunto dos Nmeros Inteiros (Z) ................

1.6 Representao decimal das fraes ................

1.7 Conjunto dos Nmeros Irracionais .................

1.8 Conjunto dos Nmeros Reais (R) ...................

1.9 Intervalos .......................................

1.10 Problemas com nmero finito de elementos .........

2 ANLISE COMBINATRIA ...............................

2.1 Introduo .......................................

2.2 Fatorial de um nmero natural ....................

2.3 Princpio fundamental da contagem - PFC ..........

2.4 Arranjos simples .................................

2.5 Clculo do nmero de arranjos ....................

2.6 Permutaes simples ..............................

2.7 Permutaes com elementos repetidos ..............

2.8 Combinaes simples ..............................

2.9 Exerccios .......................................

3 PROBABILIDADE .......................................

3.1 Experimento aleatrio ............................

3.2 Espao amostral ..................................

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59

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3.3 Evento ...........................................

3.4 Probabilidade de um Evento .......................

3.5 Evento complementar ..............................

3.6 Probabilidades em espaos amostrais equiprovveis

3.7 Probabilidade da unio de dois eventos ...........

3.8 Experincia Composta .............................

3.9 Probabilidade condicional ........................

4 ESTATSTICA BSICA..................................

4.1 Conceitosfundamentais ...........................

4.2 Diviso da estatstica ...........................

4.3 Populao ........................................

4.4 Amostragem .......................................

4.5 Amostra ..........................................

4.6 Censo ............................................

4.7 Tipos de variveis ...............................

4.8 Definio do problema ............................

4.9 Definio dos objetivos (geral e especfico) .....

4.10 Planejamento ......................................

4.11 Coleta dos dados ..................................

4.12 Crtica dos dados .................................

4.13 Apurao (armazenamento) dos dados ................

4.14 Exposio ou apresentao dos dados ...............

4.15 Anlise e interpretao dos dados .................

4.16 Regras de arredondamento ..........................

4.17 Srie temporal, histrica ou cronolgica ..........

4.18 Grficos estatsticos .............................

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4.19 Principais tipos de grficos ......................

4.19.1 Grficos em curvas ou em linhas ...................

4.19.2 Grficos em colunas ...............................

4.19.3 Grficos em barras ...............................

4.19.4 Grfico em colunas mltiplas (agrupadas) .........

4.19.5 Grfico em barras mltiplas (agrupadas) ..........

4.19.6 Grfico em setores ...............................

4.20 Distribuio de freqncias ......................

4.21 Distribuies cumulativas ........................

4.22 Medidas de posio (ou de tendncia central) .....

4.22.1 Mdia aritmtica .................................

4.22.2 Esperana matemtica ............................

4.22.3 Moda (mo) .......................................

4.22.4 Mediana (md) ....................................

4.22.5 Medidas de disperso (medidas de variabilidade) .

4.22.6 Varincia .......................................

4.22.7 Desvio-padro ...................................

4.23 Distribuies discretas de probabilidade ........

4.23.1 Distribuio de bernoulli .....................

4.23.2 Distribuio binomial ...........................

BIBLIOGRAFIA ...........................................

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1 TEORIA DOS CONJUNTOS NUMRICOS

1.1 Introduo

Conjuntos numricos so certos conjuntos cujos elementos so nmerosque guardam entre si alguma caracterstica comum. Tais conjuntos possuem

elementos perfeitamente caracterizados e, dentre eles, o conjunto dos nmerosnaturais, dos inteiros, dos racionais, dos irracionais e, por fim, o dosnmeros reais.

O conjunto dos nmeros naturais surgiu da necessidade de se contarem osobjetos; os outros foram surgindo com ampliaes do conjunto dos nmerosnaturais.

Para se trabalhar com conjuntos, so adotados smbolos que representamos relacionamentos entre eles.

1.2 Smbolos

: pertence : existe

: no pertence : no existe

: est contido : para todo (ou qualquer que seja)

: no est contido : conjunto vazio N

: contm N: conjunto dos nmeros naturais

: no contm Z : conjunto dos nmeros inteiros

I : tal que Q: conjunto dos nmeros racionais

: implica que Q'= I: conjunto dos nmeros irracionais

: se, e somente se R: conjunto dos nmeros reais

: pertence : existe

: ou : e

Smbolos sobre Operaes

: A interseco B a > b: amaior que b

: A unio B : amaior ou igual a b

a - b: diferena de acom b : a e b

a < b: amenor que b : aou b

: amenor ou igual a b : Diferente

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1.3 Noes sobre Conjuntos

Conjunto vazio: um conjunto que no possui elementos. O conjunto

vazio representado por ou { }.

Subconjuntos: quando todos os elementos de um conjunto A qualquer

pertencem a um outro conjunto B, diz-se, ento, que A um subconjunto de B,

ou seja A B.

Obs.: Todo o conjunto A subconjunto dele prprio, ou seja ;

- O conjunto vazio, por conveno, subconjunto de qualquer conjunto,

ou seja

Unio de Conjuntos:dados os conjuntos A e B, define-se como unio dos

conjuntos A e B ao conjunto representado por , formado por todos os

elementos pertencentes a A ou B, ou seja: .

Interseco de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como

interseco dos conjuntos A e B ao conjunto representado por , formado

por todos os elementos pertencentes a A e B, simultaneamente, ou seja:

Diferena de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como

diferena entre A e B (nesta ordem) ao conjunto representado por A-B, formado

por todos os elementos pertencentes a A, mas que no pertencem a B, ou seja

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1.4 Conjunto dos Nmeros Naturais (N)

N o conjunto dos nmeros naturais:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ..., n, ...}

Onde nrepresenta o elemento genrico do conjunto.

Sempre que possvel, procuraremos destacar o elemento genrico do

conjunto em questo.

Quando houver ... ao final dos elementos de um conjunto, trata-se de

um conjunto de infinitos elementos, como acontece com N.

O conjunto N pode ser representado geometricamente por meio de uma reta

numerada; escolhemos sobre essa reta um ponto de origem (correspondente ao

nmero zero), uma medida unitria e uma orientao (geralmente para adireita).

unidade

O conjunto dos nmeros naturais possui alguns subconjuntos importantes:1 O conjunto dos nmeros naturais no nulos

N*={1, 2, 3, 4, 5, ..., n, ...}

N*= N - {0}

Utilizamos o * (asterisco) direita do nome do conjunto do qual se

quer suprimir o elemento zero.

2 O conjunto dos nmeros naturais pares:

Np={0, 2, 4, 6, ..., 2n, ...} n N

3 O conjunto dos nmeros naturais mpares:

Ni={1, 3, 5, 7, ..., 2n+1, ...} n N

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4 O conjunto dos nmeros primos:

Pi={2, 3, 5, 7, 11, 13 ...}

No conjunto dos nmeros naturais esto definidas duas operaes: adioe multiplicao. Note que adicionando ou multiplicando dois elementos

quaisquer de N, a soma ou o produto pertence igualmente a N. Em smbolos,

temos:

m,n N, m + n N e m * n N

Essa caracterstica pode ser sintetizada na frase:

N fechado em relao adio e multiplicao.

1.5 Conjunto dos Nmeros Inteiros (Z)

Z={..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}

Todos os elementos de Npertencem tambm a Z, o que vale dizer que N

subconjunto de Z:

N Z ou Z N

Temos tambm outros subconjuntos de Z:

Z* = Z - {0} Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ...}

Z+={0,1,2,3,4,5,...} conjunto dos inteiros no negativos

Z *+ ={1,2,3,4,5,...} conjunto dos inteiros positivos

Z_ ={..., -4, -3, -2, -1, 0} conjunto dos inteiros no positivos

Z * = {..., -4, -3, -2, -1} conjunto dos inteiros negativos__

Observe que Z+ = N.

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Nmeros Opostos

Dois nmeros inteiros so ditos opostos um do outro quando apresentam

soma zero; assim, os pontos que os representam distam igualmente da origem

(zero).

Considerando os nmeros inteiros ordenados sobre uma reta, podemos

tomar como exemplo o nmero 2.

O oposto de 2 2, e o oposto de 2 2, pois:

2 + (-2) = -2 + 2 = 0

2 unidades2 unidades

No geral, dizemos que o oposto (ou simtrico) de a -a., e vice-versa;

particularmente, o oposto de zero o prprio zero.

Mdulo de um nmero inteiro

Damos o nome de mdulo, ou valor absolutode a, distncia da origem

ao ponto que representa o nmero a.

Conjunto dos Nmeros Racionais (Q)

O conjunto Z fechado em relao s operaes adio, multiplicao e

subtrao, mas o mesmo no acontece diviso: embora

(-12):(+4) = -3 Z,

no existe nmero inteiro xpara o qual se tenha x= (+4) : (-12). Por esse

motivo, fez-se uma ampliao do conjunto Z, da qual surgiu o conjunto dos

nmeros racionais.O conjunto dos nmeros racionais inicialmente descrito como o

conjunto dos quocientes entre dois nmeros inteiros.

Os nmeros racionais so todos aqueles que podem ser colocados na forma

de frao (com o numerador e denominador Z), ou seja, o conjunto dos

nmeros racionais a unio do conjunto dos nmeros inteiros com as fraes

positivas e negativas.

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,...,...,5

2,

3

2,2,....

3

1,

2

1,10,Q

q

p= I pe qinteiros e q0

Utilizando o elemento genrico, podemos dizer que:

q

pQ = I p Z e q Z*

Desta forma, podemos definir Qcomo o conjunto das fraesq

p; assim,

um nmero racional quando pode ser escrito como uma frao

q

p, compe q

inteiros e q0.

Quando q = 1, temosq

p =

1

p = p Z, de onde se conclui que Z

subconjunto deQ.

Assim, podemos construir o diagrama:

N Z Q

No conjunto Q destacamos os seguintes sub-conjuntos:

Q*:conjunto dos racionais no nulos

Q+:conjunto dos racionais no negativos

Q

*

:conjunto dos racionais positivos+

Q :conjunto dos racionais no positivos_

Q*

: conjunto dos racionais negativos_

O conjunto Q fechado para as operaes adio, subtrao,

multiplicao e diviso.

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Exemplos:

33

22

111)

3

9

2

6

1

33)

===

=

=

=

b

a

Assim, podemos escrever:

}0e,com,|{ == qZqZpq

pxxQ

1.6 Representao decimal das fraes

q

pTome um nmero racional , tal quepno mltiplo de q.

Para escrev-lo na forma decimal, basta efetuar a diviso do numerador pelo

denominador. Nessa diviso podem ocorrer dois casos:

1) O nmero decimal obtido possui, aps a vrgula, um nmero finito de

algarismos (no nulos):

75,3207525,1

455,0

21 ===

Tais nmeros racionais so chamados decimais exatos.

2) O nmero decimal obtido possui, aps a vrgula, infinitos algarismos (nem

todos nulos), que se repetem periodicamente:

3

1= 0,333... = 0,3

7

9= 0,777... = 0,7

22

1= 0,0454545... = 0,045

66

167= 2,5303030... = 0,530

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Toda decimal exata ou peridica pode ser representada na forma de

nmero racional.

1.7 Conjunto dos Nmeros Irracionais (I)

Os nmeros irracionais so decimais infinitas no peridicas, ou seja,

os nmeros que no podem ser escritos na forma de frao (diviso de dois

inteiros).

Vejamos alguns exemplos:

1. O nmero 0,212112111... no dzima peridica, pois os algarismos

aps a vrgula no se repetem periodicamente.

2. O nmero 0,203040... tambm no comporta representao

fracionria, pois no dzima peridica.3. Os nmeros

= 1,73205083= 1,4142136 e2=3,1415926535... ,

por no apresentarem representao infinita peridica, tambm no so nmeros

racionais.

1.8 Conjunto dos Nmeros Reais (R)

Dados os conjuntos dos nmeros racionais (Q) e dos irracionais (I),

definimos o conjunto dos nmeros reais como:

R = QI = {x | x racional ou x irracional}

O diagrama abaixo mostra a relao entre os conjuntos numricos:

R

I

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Existem ainda os intervalos infinitos:

e) ]-,a] = {x R I xa}

3

3

3

f) ]-,a[ = {x R I x< a}

g) [a, +[ = {x R I xa}

h) ]a, +[ = {x R I x> a}3

1.10 Problemas com nmero finito de elementos

Exemplo 1

O Instituto de Meteorologia de Curitiba quis fazer um estudo de variao da

temperatura sombra e mediu-a de hora em hora, conforme a tabela abaixo:

Hora 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Temperatura 7 6 5 4 3 2 2 3 5 7 12 15

Hora 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

Temperatura 18 18 20 20 20 18 15 13 11 9 8 7

Nesse exemplo, so medidas duas grandezas: a hora do dia e a correspondente

temperatura. A cada hora corresponde uma nica temperatura. Dizemos, por

isso, que a temperatura funo da hora. Como mesma temperatura podem

corresponder vrias horas, a hora no funo da temperatura.

Exemplo 2Uma barraca na praia da Barra da Tijuca vende cocos e exibe a seguinte

tabela:

Nmeros de cocos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Preo (R$) 1,20 2,40 3,60 4,80 6,00 7,20 8,40 9,60 10,80 12,00

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Nesse exemplo esto sendo medidas duas grandezas: o nmero de cocos e o

respectivo preo. A cada quantidade de cocos corresponde um nico preo.

Dizemos, por isso, que o preo funo do nmero de cocos comprados. Aqui

possvel at achar a frmula que estabelece a relao de interdependncia

entre o preo (y) e o nmero de cocos (x): y= 1,20 x.

Exemplo 3

Um pedreiro vai ladrilhar uma sala de 3 x 3 metros. Com ladrilhos quadrados,

todos iguais entre si. Se ele pode escolher ladrilhos com lados 10 cm, 12 cm,

15 cm, 20 cm, 25 cm e 30 cm, qual o nmero de ladrilhos que usar em cada

caso?

Para achar o nmero de ladrilhos (y), basta dividir a rea da sala (9m2) pela

rea do ladrilho (em m2). Se o lado mede xm2, ento a frmula que relaciona y

com x : y= 9/x2.

Medida do lado do ladrilho (x) 0,10 0,12 0,15 0,20 0,25 0,30

Nmero de ladrilhos (y) 900 625 400 225 144 100

Exerccios

1. A tabela abaixo indica o deslocamento de um mvel num dado intervalo

de tempo:

Intervalo de tempo (s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Deslocamento (cm) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

a) Qual o deslocamento do mvel num intervalo de 4 segundos?

b) Qual o intervalo de tempo correspondente a um deslocamento de 21 cm?

c) O deslocamento funo do intervalo de tempo?

d) Qual o deslocamento dnum intervalo de tempo t? (supor velocidade do

mvel constante).

2. A tabela abaixo indica o custo de produo de certo nmero de peas de

automvel:

Nmero de peas 1 2 3 4 5 6

Custo (R$) 1 4 9 16 25 36

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a) Qual o custo da produo de trs peas?

b) Qual o nmero de peas produzidas com R$25,00?

c) Qual o custo c da produo de npeas?

d) Com relao ao item anterior, qual o numero mximo de peas

produzidas com R$1.000,00?

3. O preo do servio executado por um pintor consiste em uma taxa fixa,

que de R$250,00, e mais uma quantia que depende da rea pintada. A

tabela seguinte mostra alguns oramentos apresentados pelo pintor:

rea pintada (m2) 5 10 15 20 30 40 80

Total a pagar (R$) 350 550 700 850 1.150 1.450 2.050

a) Como se exprime, matematicamente, o total a pagar (y) pela pintura de x

m2?

b) Qual o preo cobrado pela pintura de uma rea de 150 m2?

c) Qual a rea mxima que pode ser pintada dispondo-se de R$6.250,00?

4. O num erro de y pessoas (em milhares) que tomam conhecimento do

resultado de um jogo de futebol, aps x horas de sua realizao dado

por xy 10= . Responda:

a) Quantas pessoas sabem o resultado do jogo aps 4 horas?

b) Quantas pessoas sabem o resultado do jogo aps um dia?

c) Aps quantas horas de sua realizao, 30 mil pessoas tomam

conhecimento do resultado do jogo?

5. A velocidade mdia de um automvel em uma estrada de 90 Km/h.

Responda:

a) Qual a distncia percorrida pelo automvel em uma hora?

b) Em quanto tempo o automvel percorre a distncia de 360 Km?

c) Qual a expresso matemtica que relaciona a distncia

percorrida (d) em funo do tempo (t)?

6. Um professor prope a sua turma um exerccio-desafio, comprometendo-se

a dividir um prmio de R$120,00 entre os acertadores. Seja xo nmero

de acertadores (x = 1, 2, ..., 40) e y a quantia recebida por cada

acertador (R$). Responda:

a) y funo de x? Por qu?

b) Quais os valores de y para x=2, x=8, x=20 e x=25?

c) Qual o valor mximo que yassume?

d) Qual a lei de correspondncia entre xe y?

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2 ANLISE COMBINATRIA

2.1 Introduo:

A necessidade de calcular o nmero de possibilidades existentes noschamados jogos de azar levou ao desenvolvimento da Anlise Combinatria.

Trata-se de uma parte da Matemtica que estuda os mtodos de contagem. Esses

estudos foram iniciados j no sculo XVI, pelo matemtico italiano Niccollo

Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia. Depois dele vieram os

franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662).

PascalFermat Tartaglia

A Anlise Combinatria visa desenvolver mtodos que permitam contar - de

uma forma indireta - o nmero de elementos de um conjunto, estando esses

elementos agrupados sob certas condies.

Consideremos o seguinte problema:

Uma lanchonete oferece a seus clientes apenas dois tipos de sanduches:

hot doge hambrger. Como sobremesa, h trs opes: sorvete, torta ou salada

de frutas.

Pergunta-se: quantas so as possibilidades de uma pessoa fazer uma refeio

incluindo um sanduche e uma sobremesa?

Podemos ter as seguintes refeies:

a) hot doge sorvete

b) hot doge torta

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c) hot doge salada de frutas

d) hambrgere sorvete

e) hambrgere torta

f) hambrgere salada de frutas

A determinao de tais possibilidades pode ser simplificada atravs de um

diagrama, em que, na 1 coluna, representaremos as possibilidades de escolha

do sanduche e, na 2 coluna, as possibilidades de escolha da sobremesa.

1 coluna 2 coluna

sorvete Refeio 1

hot dog torta Refeio 2

salada de frutas Refeio 3

sorvete Refeio 4

hambrger torta Refeio 5

salada de frutas Refeio 6

Este esquema conhecido como diagrama de rvore. Fazendo a leitura de todas

as ramificaes da rvore, obtemos as possveis refeies.

Notemos que fazer uma refeio completa representa uma ao constituda de

duas etapas sucessivas:

1 escolha do tipo de sanduche: h duas possibilidades de fazer tal

escolha.

2 escolha da sobremesa: para cada uma das possibilidades anteriores, htrs maneiras de escolher a sobremesa.

Assim, a realizao da ao (duas etapas sucessivas) pode ser feita de 2 x 3

= 6 maneiras distintas que foram anteriormente indicadas.

2.2 Fatorial de um nmero natural

Para resolver problemas de Anlise Combinatria precisamos utilizar uma

ferramenta matemtica chamada Fatorial.

Seja n um nmero inteiro no negativo. Definimos o fatorial de n (indicadopelo smbolo n!) como sendo:

n! = n . (n-1) . (n-2) . ... . 4 . 3 . 2 . 1 para n 2.

Se n = 1, ento 1! = 1.

Se n = 0, ento 0! = 1.

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Exemplos:

a) 6! = 6 . 5! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720

b) 4! = 4. 3! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24

c) 7! = 7 . 6! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5040

d) 10! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1

e) 3! = 3 . 2 . 1 = 6

Perceba que 7! = 7 . 6 . 5 . 4!, ou que

6! = 6 . 5 . 4 . 3!, e assim sucessivamente.

Relao de correspondncia: N!= n . (n 1)! , n N* e n2

Exerccios:

1) efetuar:

!6

!8

2) efetuar:!6

)!7!8( +

3) efetuar:)!1(

)!1(

+

n

n

4) efetuar:)!3(

)!4(

n

n

5) efetuar:

!5

)!5!6( + 0!

6) efetuar:)!1(

)!2(

+

+

n

n

7) efetuar:!11

)!9!10( +

8) efetuar:!6

!7+

!7

!6+

!6

!8

9) efetuar: 6! - 20

10) Resolva a equao: (n+2)! = 6n!

11) Resolva a equao:)!22(

)!2(

nn

= 12

2.3 Princpio fundamental da contagem - PFC

Suponhamos que uma ao seja constituda de duas etapas sucessivas. A

primeira etapa pode ser realizada de p maneiras distintas. Para cada uma

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dessas possibilidades, a 2 etapa pode ser realizada de q maneiras distintas.

Ento, o nmero de possibilidades de se efetuar a ao completa dado por

p x q.

Esse princpio pode ser generalizado para aes constitudas de mais de

duas etapas sucessivas.

Se determinado acontecimento ocorre em etapas independentes, e se a

primeira etapa pode ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de k2

maneiras diferentes, e assim sucessivamente, ento o nmero total T de

maneiras de ocorrer o acontecimento, composto por n etapas, dado por:

T = k1. k2. k3. ... . kn

Exemplo 1

No Brasil as placas dos veculos so confeccionadas usando-se 3 letras do

alfabeto e 4 algarismos. Qual o nmero mximo de veculos que poder ser

licenciado?

Imaginemos a seguinte situao: Placa ACD 2172.

Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numrico possui 10

algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que: para a 1 posio, temos 26

alternativas, e como pode haver repetio, para a 2, e 3 tambm teremos 26

alternativas. Com relao aos algarismos, conclumos facilmente que temos 10

alternativas para cada um dos 4 lugares. Podemos ento afirmar que o nmero

total de veculos que podem ser licenciados ser igual a:

26 . 26 . 26 . 10 . 10 . 10 . 10 = 175.760.000.

Exemplo 2

No Brasil, antes da alterao do sistema de emplacamento de automveis, as

placas dos veculos eram confeccionadas usando-se 2 letras do alfabeto e 4

algarismos. Qual o nmero mximo de veculos que podia ser licenciado neste

sistema?

Imaginemos a seguinte situao: Placa AC 2172.

Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numrico possui 10

algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que: para a 1 posio, temos 26

alternativas, e como pode haver repetio, para a 2, tambm teremos 26

alternativas. Com relao aos algarismos, conclumos facilmente que temos 10

alternativas para cada um dos 4 lugares. Podemos ento afirmar que o nmero

total de veculos que podem ser licenciados ser igual a:

26 . 26 . 10 . 10 . 10 . 10 = 6.760.000.

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Percebe-se que a incluso de apenas uma letra faz com que sejam licenciados,

aproximadamente, mais 170.000.000 de veculos.

Exemplo 3

H quatro estradas ligando as cidades e Ae B,e trs estradas ligando as

cidades Be C. De quantas maneiras distintas pode-se ir de Aa C, passando

por B?

Fazer a viagem de Aa C pode ser considerado uma ao constituda de duas

etapas sucessivas:

1 ir de Aat B: teremos quatro possibilidades

2 ir de B a C: para cada uma das possibilidades anteriores, h trs

maneiras de chegar a C, a partir de B.

Assim, o resultado procurado 4 x 3 =12.

Exemplo 4

Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos nmeros de trs algarismos

distintos podemos formar?

Formar um nmero de trs algarismos pode ser considerado uma ao constituda

de trs etapas sucessivas:

1 escolha do algarismo das centenas: so seis possibilidades.

2 escolha do algarismo das dezenas: como no pode haver repetio de

algarismo, devemos ter um algarismo diferente do algarismo escolhido para a

centena. Assim, h cinco possibilidades.

3 escolha do algarismo das unidades: devemos ter um algarismo diferente dos

dois algarismos escolhidos para a centena e para a dezena. Assim, h quatro

possibilidades.

Pelo PFC, o resultado : 6 x 5 x 6 = 120 nmeros.

Exemplo 5

Uma prova consta de 10 questes do tipoV ouF. De quantas maneiras distintas

ela pode ser resolvida?

Resolver a prova representa uma ao constituda de 10 etapas sucessivas, que

correspondem resoluo das 10 questes propostas.

Para cada questo, h duas possibilidades de escolha de resposta: Vou F.

Logo, pelo PFC, o resultado : 2 x 2 x 2 ... x 2 = 2 10= 1.024

possibilidades.10 vezes

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Exemplo 6

Quantos nmeros de trs algarismos podemos formar com os algarismos 0, 1, 2,

3, 4, 5, 6 e 7?

Algarismo das centenas: com exceo do zero, qualquer um dos algarismos dados

pode ser escolhido, havendo, portanto, sete possibilidades.

Algarismo das dezenas: no h restrio alguma, pois pode haver repetio de

algarismos. Assim, h oito possibilidades.

Algarismo das unidades: analogamente ao anterior, h oito possibilidades.

Logo, pelo PFC: 7 x 8 x 8 = 448.

Exemplo 7

Quantos nmeros mpares de trs algarismos distintos podemos formar com os

algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7?

Algarismo das unidades: h quatro possibilidades (1, 3, 5 e 7).

Algarismo das centenas: h seis possibilidades devemos excluir o zero e o

algarismo escolhido para a unidade.

Algarismo das dezenas: h seis possibilidades devemos escolher algarismos

diferentes dos algarismos escolhidos para a centena e unidade.

Assim, pelo PFC, temos: 6 x 6 x 4 = 144 nmeros.

Todo problema de contagem pode, pelo menos teoricamente, ser resolvido pelo

PFC. Porm, na prtica, a resoluo de alguns desses problemas pode se tornar

muito complicada.

Dessa forma, estudaremos tcnicas de contagem de determinados agrupamentos

baseados no PFC as quais simplificaro a resoluo de muitos problemas.

Consideraremos sempre os agrupamentos simples: arranjos, permutaes e

combinaes.

Exemplo 8

Determine o nmero de anagramas da palavra MATEMTICA.(no considere o

acento).

Soluo:

Temos 10 elementos, com repetio. Observe que a letra M est repetida duas

vezes, a letra A trs , a letra T, duas vezes. Na frmula anterior, teremos:

n=10, a=2, b=3 e c=2. Sendo k o nmero procurado, podemosescrever: k= 10! /

(2!.3!.2!) = 151.200 anagramas

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2.4 Arranjos simples

Dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se arranjo dos nelementos,

tomados k a k, a qualquer seqncia ordenada de k elementos distintos

escolhidos entre os nexistentes.

Temos um Arranjo quando os agrupamentos conseguidos ficam diferentes ao se

inverter a posio dos seus elementos.

Perceba que para formar centenas com algarismos distintos, utilizando apenas

os 5 primeiros algarismos mpares (1; 3; 5; 7; 9) teremos as seguintes

centenas: 135; 137; 139; 153, 157, e assim sucessivamente.

Se invertermos a posio dos elementos de qualquer uma destas centenas

conseguiremos outra centena diferente: 135 351.

Temos ento um ARRANJO de cinco elementos tomados de trs em trs.

Exemplo 1

Dado o conjunto A = (1, 2, 3, 4), vamos escrever todos os arranjos desses

quatro elementos tomados dois a dois.

(1, 2); (1, 3); (1, 4); (2, 1); (2, 3); (2, 4); (3, 1); (3, 2); (3, 4); (4,

1); (4, 2); (4, 3)

Notamos que (2, 3) (3, 2), isto , a troca na ordem dos elementos de um

possvel agrupamento gera um agrupamento diferente.

Exemplo 2

Um cofre possui um disco marcado com os dgitos 0,1,2,...,9. O segredo do

cofre marcado por uma seqncia de 3 dgitos distintos. Se uma pessoa

tentar abrir o cofre, quantas tentativas dever fazer(no mximo) para

conseguir abri-lo?

As seqncias sero do tipo xyz. Para a primeira posio teremos 10

alternativas, para a segunda, 9 e para a terceira, 8. Aplicando a frmula de

arranjos pelo PFC, chegaremos ao mesmo resultado: 10.9.8 = 720.

Observe que 720 = A10,3

2.5 Clculo do nmero de arranjos

Seja um conjunto de n elementos distintos. Vamos encontrar uma expresso para

o nmero de arranjos dos n elementos tomados ka k(An,k).

Escrever um arranjo de n elementos formados k a k significa escrever uma

seqncia ordenada de k elementos distintos (k n), escolhidos entre os n

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disponveis. Assim, pelo PFC, a ao pedida consta de k etapas sucessivas,

que correspondem s escolhas dos kelementos.

1etapa 2etapa 3etapa ... k-simaetapa

(h n elementos (como os elementos

para serem escolhidos) devem ser distintos,h n-1 possibilidades)

n n 1 n 2 n (k 1)

Desta forma, o nmero total de arranjos dos n elementos tomados k a k :

An,k = n. (n 1) . (n 2) ... (n- k+1)

Multiplicando e dividindo a expresso acima por(n k)! = (n k) (n k 1) ... 3 . 2 . 1 vem:

An,k = n(n 1) (n 2) ... (n- k+1) .1.2.3)...1)((

1.2.3)...1)((

knkn

knkn,

Isto :

)!(

!

kn

n

An,k = n k

Exemplo 3

Obter o valor de A4,2+ A7,3.

Temos A4,2 =)!24(

!4

=

!2

!4=

!2

!2.3.4= 12

A7,3 =)!37(

!7

=

!4

!7=

!4

!4.5.6.7= 210

Exemplo 4

O quadrangular de um torneio mundial de basquete disputado por quatro

selees: Brasil, China, Holanda e Itlia. De quantas maneiras distintas

podemos ter os trs primeiros colocados?

Um possvel resultado do torneio Holanda (campe), Brasil (2) e Itlia

(3). Se trocarmos a ordem desses elementos, obtemos, entre outras, Brasil

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(campeo), Itlia (2) e Holanda (3), que um resultado diferente do

anterior. Dessa forma, cada resultado do torneio um arranjo das quatro

equipes tomadas trs a trs.

Assim, o nmero de possibilidades :

An,k =)!(

!kn

n A4,3 =

)!34(!4 = !1!4 = 24

Exemplo 5

A senha de um carto de banco formada por duas letras distintas seguidas

por uma seqncia de trs algarismos distintos. Quantas senhas poderiam ser

confeccionadas?

Como importa a ordem que so escolhidas as letras, o nmero de maneiras de

escolh-las dado por A26,2.

Analogamente, a seqncia de trs algarismos distintos pode ser escolhida deA10,3.

Pelo PFC, o nmero de senhas que podem ser confeccionas :

A26,2 x A10,3 = 650 x 720 = 468.000.

Exemplo 6

Usando-se as 26 letras do alfabeto (A,B,C,D,...,Z), quantos arranjos

distintos com 3 letras podem ser montados?

An,k =

)!(

!

kn

n

, n=26, k=3

Resposta: A =!23

!26=

!23

23!.24.25.26= 26.25.24 = 15600

2.6 Permutaes simples

Permutaes simples de nelementos distintos so os agrupamentos formados com

todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus

elementos.

De outro modo, podemos entender permutao simples como um caso especial de

arranjo, onde n = k, ou seja:

An,k =)!(

!

kn

n

=

!0

!n =

1

!n= n!

Chega-se ento relao: Pn = n!

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Notemos que a permutao um caso particular de arranjo, pois, dado um

conjunto de nelementos distintos, selecionamos exatamente nelementos para

forma a seqncia ordenada.

Exemplo 1

Escrever todos os anagramas da palavra SOL.

Um anagrama da palavra SOL qualquer permutao das letras S, O, L de modo

que se forme uma palavra com ou sem sentido.

Assim, temos: SOL, SLO, OSL, OLS, LOS, LSO.

Exemplo 2

De quantas maneiras cinco pessoas, A, B, C, D e E podem ser dispostas em

fila indiana?

Cada maneira de compor a fila uma permutao das cinco pessoas, pois

qualquer fila obtida uma seqncia ordenada na qual comparecem sempre as

cinco pessoas.

Assim, o resultado esperado : P5= 5! = 120

Exemplo 3

Baseado no exemplo anterior, quantas filas podem ser compostas comeando por

A ou B?

A 1 posio da fila pode ser escolhidas de duas maneiras (pois tanto A como

B pode inici-la).

Definido o incio da fila, restaro sempre quatro lugares para serem

preenchidos pelas quatro pessoas restantes, num total de P4 = 4! = 24

possibilidades.

Pelo PFC, o resultado : 2 x 24 = 48.

Exemplo 4

Oito pessoas, entre elas, Antonio e Pedro, vo posar para uma foto. De

quantas maneiras elas podem ser dispostas se Antonio e Pedro se recusarem-se

a ficar lado a lado?

Caso no houvesse a restrio mencionada, o nmero total de possibilidades

seria:

P8= 8! = 40.320.

Para determinar o nmero de possibilidades em que Antonio e Pedro aparecem

juntos, vamos consider-los uma s pessoa, que ir permutar com as seis

restantes, num total de:

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P7= 7! = 5.040 maneiras.

Porm, para cada uma das possibilidades acima, Antonio e Pedro podem trocar

de lugar entre si, num total de:

P2= 2! = 2.

Desta forma, o nmero de possibilidades em que Antonio e Pedro aparecem

juntos : 2x 5.040 = 10.080.

A diferena 40.320 10.080 = 30.240 fornece o nmero de situaes em que

Antonio e Pedro no aparecem lado a lado.

Exemplo 5

Quantas possibilidades de agrupamentos h com os elementos A,B,C?

So possveis as seguintes permutaes: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA.

De forma matemtica: P3= 3! = 3 . 2 . 1 = 6

Exemplo 6

Calcule o nmero de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de um

banco retangular de cinco lugares.

P5= 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120

Exemplo 7

Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que

podem ter ou no significado na linguagem comum. Os possveis anagramas da

palavra REI so: REI, RIE, ERI, EIR, IRE e IER. Calcule o nmero de anagramas

da palavra MUNDIAL.

P7= 7! = 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5040

2.7 Permutaes com elementos repetidos

Se entre os n elementos de um conjunto, existem a elementos repetidos, b

elementos repetidos, celementos repetidos e assim sucessivamente, o nmero

total de permutaes que podemos formar dado por:

Pn(a,b,c) =!!!

!cba

n

Exemplo 1

Determine o nmero de anagramas da palavra MATEMTICA.(no considere o

acento)

Temos 10 elementos, com repeties. A letra M est repetida duas vezes, a

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letra A trs, a letra T, duas vezes. Na frmula anterior, teremos: n=10, a=2,

b=3 e c=2.

P = 10! / (2!.3!.2!) = 151200

Exemplo 2

Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra MARIA?

Neste problema temos n = 5 (cinco letras) e a = 2 (a letra A se repete duas

vezes)

P = 5!/2! = 5.4.3 = 60

Exemplo 3

Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra ARARA?

Neste problema temos n = 5 (cinco letras), a = 2 (a letra R se repete duas

vezes) e b = 3 (a letra A se repete trs vezes).

P = 5!/(3!.2!) = 5.4.3!/(3!.2) = 10

2.8 Combinaes simples

Dado um conjunto A com n elementos distintos, chama-se combinao dos n

elementos de A, tomados k a k, a qualquer subconjunto formado por k

elementos, isto , temos uma combinao quando os agrupamentos conseguidos

permanecem iguais ao se inverter a posio dos seus elementos.

Perceba que se houver cinco pessoas entre as quais desejamos formar grupos de

trs, o grupo formado por Joo, Pedro e Lus o mesmo grupo formado por

Lus, Pedro e Joo. Temos, ento, uma COMBINAO de cinco elementos em grupos

de trs.

Clculo do nmero de combinaes

Considere o seguinte problema:

Uma turma formada por 10 alunos. Deseja-se formar uma comisso de trs

alunos para representao discente na universidade. De quantas maneiras

podemos fazer tal escolha?

Calculemos inicialmente o nmero de triplas ordenadas de alunos:

A10,3=!7

!10= 720 seqncias ordenadas.

Suponhamos que A, B, C estejam entre os 10 alunos da turma. Essas 720

possibilidades incluem, entre outras, os seguintes arranjos:

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(A,B,C), (A,C,B), (B,A,C), (B,C,A), (C,A,B) e (C,B,,A)

Em cada um desses casos que diferem entre si apenas pela ordem os alunos

A, B e C faro parte da comisso. Assim, os seis arranjos acima passam a ser

equivalentes entre si, correspondendo a uma nica combinao { , poisdeterminam sempre a mesma comisso.

}CBA ,,

Desta forma, aos seis arranjos corresponde uma combinao; ento, para os 720

arranjos, teremos xcombinaes:

Logo, x =6

720= 120 comisses

Nmero de permutaes da tripla (A,B,C)

Nmero de arranjos dos 10 alunos tomados trs a trs

6 arranjos 1 combinao

720 arranjos x combinaes

De modo geral, qualquer permutao de uma determinada seqncia ordenada d

origem e uma nica combinao.

Representando por Cn,ko nmero total de combinaes de nelementos tomados k

a k (taxa k), temos:

)!(!

!

knk

n

k

kn,

P

Aou , n kCn,k = Cn,k =

Exemplo 1

Escrever todas as combinaes dos cinco elementos do conjunto

M = { tomados dois a dois.}

} }

} } } } } } }

uoiea ,,,,

Devemos determinar todos os subconjuntos de M formados por dois elementos.

Lembremos que no importa a ordem dos elementos escolhidos: = { , por

exemplo.

{ ea, ae,

Assim, as combinaes pedidas so:

{ ea, , { , { }, { }, { , { , { , { , { , { }ia, oa, ua, ie, oe, ue, oi, ui, uo,

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Exemplo 2

Cinco alunos Pedro, Lus, Jos, Abel e Mrcio participam de um concurso

que sero sorteadas trs bicicletas. Quais os possveis resultados do

concurso?

Sortear o mesmo que sortear { }, poisnas duas situaes, esses alunos ganharo as bicicletas.

{ MrcioJosPedro ,, } PedroMrcioJos ,,

Desta forma, cada resultado do sorteio uma combinao dos cinco alunos

tomados trs a trs.

Os possveis resultados do concurso so:

{ }MJP ,,

{ }MAJ ,,

, , , , , , , ,

,

{ }AJP ,,

{ }MAL ,,

{ }AMP ,, { }JLP ,, { }MLP ,, { }ALP ,, { }AJL ,, { }MJL ,,

Exemplo 3

Uma prova consta de 15 questes das quais o aluno deve resolver 10. De

quantas formas ele poder escolher as 10 questes?

Observe que a ordem das questes no muda o teste. Logo, podemos concluir que

trata-se de um problema de combinao de 15 elementos com taxa 10.

Aplicando simplesmente a frmula chegaremos a:

C15,10 = 15! / [(15-10)! . 10!] = 15! / (5! . 10!) = 15.14.13.12.11.10! /

5.4.3.2.1.10! = 3003

Tanto arranjo como combinao so agrupamentos de k elementosescolhidos a partir de um conjunto de nelementos. A diferena que,no arranjo, se mudarmos a ordem dos elementos de certo agrupamento,obteremos um novo agrupamento; na combinao, mudando a ordem doselementos de certo agrupamento, obtemos o mesmo agrupamento.

Exemplo 3

Uma prova consta de 15 questes das quais o aluno deve resolver 10. De

quantas formas ele poder escolher as 10 questes?

Observe que a ordem das questes no muda o teste. Logo, podemos concluir que

trata-se de um problema de combinao de 15 elementos com taxa 10.

C15,10 =!10)!.1015(

15!

=

!10!.5

15! =

10!5.4.3.2.1.

2.11.10!15.14.13.1 = 3003

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Exemplo 4

Um coquetel preparado com trs bebidas distintas. Se existem 7 bebidas

distintas, quantos coquetis diferentes podem ser preparados?

C7,3=!3)!.37(

7! = !3!.47! = 1.2.3!.4 7.6.5.4! = 35

Exemplo 5

Sobre uma circunferncia so marcados 9 pontos, dois a dois distintos.

Quantas retas podem ser construdas passando por estes 9 pontos?

C9,2=!2)!.29(

9!

=

!2!.7

9! =

1.2!.7

9.8.7! = 36

Exemplo 6

Uma pizzaria oferece 15 sabores de pizzas diferentes.

a) De quantas maneiras se pode escolher trs desses sabores?

b) Suponha que uma famlia sempre opte por mussarela. Como podero ser

escolhidos os outros dois sabores?

Resp. a)

Escolher as pizzas { o mesmo que escolher as pizzas { }.

Assim, cada possvel escolha uma combinao das 15 pizzas tomadas trs a

trs:

}3,2,1 PPP 1,2,3 PPP

C15,3 =!12!3

15! =

3.2.1.12!

2!15.14.13.1 = 455

Resp. b)

Como um dos sabores j foi definido, os outros dois sabores sero escolhidos

entre os 14 restantes.

C14,2 =!2!

14!

12 =

12!.2.1

14.13.12! = 91

Exemplo 7Uma turma tem 15 alunos, sendo 9 meninos e 6 meninas.

a) Quantas comisses de dois meninos e duas meninas podem ser formadas?

O nmero de escolher os meninos C9,2.

O nmero de escolher as meninas C6,2.

Pelo PFC, temos: C9,2 x C6,2 = 36 x 15 = 540

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b) Quantas comisses de quatro pessoas tm pelo menos um menino?

O nmero total de comisses de quatro pessoas, sem nenhuma restrio,

C15,4.

O nmero de comisses onde no aparecem meninos C6,4, pois as vagas sero

preenchidas pelas meninas.

Assim, o nmero de comisses onde h pelo menos um menino :

C15,4 C6,4= 1.365 15 = 1.350

Exemplo 8

Marcam-se cinco pontos sobre uma reta r. Sobre outra reta s, paralela a r,

marcam-se quatro pontos. Quantos tringulos podem ser formados com vrtices

em trs quaisquer desses pontos?

Observando a figura, vemos que para construir um tringulo no importa a

ordem dos pontos escolhidos, pois, por exemplo, { }e { determinam

o mesmo tringulo.

CBA ,, }ACB ,,

C

B

A

Por outro lado, podemos construir um tringulo se escolhermos:

1 caso: dois pontos de r e um ponto de s

Pelo PFC, h 10 x 4 = 40 possibilidades.

2 caso: um ponto de r e dois pontos de s

C4,1= 4 possibilidadesC5,2= 10 possibilidades

C5,1= 5 possibilidades C4,2= 6 possibilidades

Pelo PFC, h 5 x 6 = 430 possibilidades.

Dessa forma, o nmero total de tringulos que podem ser construdos :

40 + 30 = 70.

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Exemplo 9

Um salo tem 6 portas. De quantos modos distintos esse salo pode estar

aberto?

Para a primeira porta temos duas opes: aberta ou fechada

Para a segunda porta temos tambm, duas opes, e assim sucessivamente.

Para as seis portas, teremos ento, pelo PFC:

N = 2.2.2.2.2.2 = 64

Lembrando que uma dessas opes corresponde a todas as duas portas fechadas,

teremos ento que o nmero procurado igual a 64 - 1 = 63.

Resposta: o salo pode estar aberto de 63 modos possveis.

2.9 Exerccios

01 - Um coquetel preparado com duas ou mais bebidas distintas. Se existem 7

bebidas distintas, quantos coquetis diferentes podem ser preparados?

Resp: 120

02 - Sobre uma circunferncia so marcados 9 pontos distintos. Quantos

tringulos podem ser construdos com vrtices nos 9 pontos marcados?

Resp: 84

03 - Uma famlia com 5 pessoas possui um automvel de 5 lugares. Sabendo quesomente 2 pessoas sabem dirigir, de quantos modos podero se acomodar para

uma viagem?

Resp: 48

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3 PROBABILIDADE

Todas as vezes que se estudam fenmenos de observao, cumpre-se

distinguir o prprio fenmeno e o modelo matemtico que melhor o explique.

Os fenmenos estudados pela Estatstica so fenmenos cujos resultados,mesmo em condies normais de experimentao variam de uma observao para

outra.

Para a explicao desses fenmenos fenmenos aleatrios

adota-se um modelo matemtico probabilstico. Nesse caso, o modelo

utilizado ser o CLCULO DAS PROBABILIDADES.

3.1 Experimento aleatrio

Todo experimento que, repetido em condies idnticas, pode apresentar

diferentes resultados, recebe o nome de experimento aleatrio. A

variabilidade de resultados deve-se ao acaso.

A fim de se entender melhor a caracterizao desses experimentos,

convm observar o que h de comum nos seguintes experimentos:

E1: Retirar uma carta de um baralho com 52 cartas e observar seu naipe.

E2: Jogar uma moeda 10 vezes e observar o nmero de coroas obtidas.

E3: Retirar com ou sem reposio, bolas de uma urna que contm 5 bolas

brancas e seis pretas.

E4: Jogar um dado e observar o nmero mostrado na face de cima.

E5: Contar o nmero de peas defeituosas da produo diria da mquina A.

A anlise desses experimentos revela:

a) Cada experimento poder ser repetido indefinidamente sob as mesmas

condies.

b) No se conhece um particular valor do experimento a priori , porm

pode-se descrever todos os possveis resultados as possibilidades.

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c) Quando o experimento for repetido um grande nmero de vezes surgir uma

regularidade, isto , haver uma estabilidade da frao f = r/n

(freqncia relativa), onde n o nmero de repeties e r o nmero de

sucessos.

3.2 Espao amostral

Para cada experimento aleatrio E, define-se espao amostral o conjunto

de todos os resultados possveis desse experimento.

Consideremos um experimento aleatrio. O conjunto de todos os possveis

resultados desse experimento chamado espao amostral e indicado por

(letra grega que se l: omega).

Indicaremos o nmero de elementos de um espao amostral por n().

Exemplo 1

a) E = Jogar um dado e observar o nmero mostrado na face de cima

= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

b) E = jogar duas moedas e observar os resultados.

= {(C,C), (C,K), (K,C), (K,K)} onde C = cara e K = coroa.

Exemplo 2

Lanamos uma moeda honesta e observamos a face voltada para cima:

Temos:

= {K,C}, onde K: cara; e C: coroa; n() = 2.Chamamos cada um dos resultados possveis deponto amostral.

Exemplo 3

Uma urna contm cinco bolas vermelhas e quatro brancas. Duas bolas so

extradas, ao acaso, sucessivamente e sem reposio. Observamos a seqncia

de cores das bolas sorteadas.

Para determinar , vamos construir um diagrama de rvore:

1 extrao 2 extrao

vermelha vermelha

branca

Vermelha

branca branca

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Indicando vermelha por V e branca por B, temos:

= { } n() = 4.),(),,(),,(),,( BBVBBVVV

Cada par acima um dos pontos amostrais de .

3.3 Evento

Evento um conjunto de resultados do experimento, em termos de

conjuntos, um subconjunto de . Em particular, e (conjunto vazio) so

eventos. dito o evento certo e o evento impossvel.

Usando as operaes em conjunto, podemos formar novos eventos:

A UB o evento que ocorre se A ocorre ou B ocorre ou ambos ocorrem.

A IB o evento que ocorre se A e B ocorrem.

o evento que ocorre se A no ocorre.

Exemplo 1

a) Seja o experimento E: jogar trs moedas e observar os resultados:

= {(c,c,c), (c,c,k), (c,k,c), (k,c,c), (k,k,k), (k,k,c), (k,c,k),(c,k,k)}

Seja E1o evento: ocorrer pelo menos duas caras. Ento,

E1= {(c,c,c),(c,c,k), (c,k,c), (k,c,c)}

b) Seja o evento E2: lanar um dado e observar o nmero de cima.

Ento,

E2= = {1, 2, 3, 4, 5, 6} um evento certo.

E3: ocorrncia de nmero maior que 8.

E3= um evento impossvel.

Seja E4: ocorrer mltiplo de 2.

Ento E4= {2, 4, 6}; observe que E4 .

Seja E5: ocorrer nmero mpar.Ento E5= {1, 3, 5}; observe que E5 .

3.4 Probabilidade de um Evento

Agora podemos quantificar o grau de confiana de qualquer evento.

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Atribumos a cada evento um nmero obtido da soma das imagens de cada

um de seus elementos na relao de freqncia. Este nmero chama-se

probabilidade do evento. Observe como se resolve o seguinte caso.

Exemplo:

O experimento consiste em extrair uma bola do interior de uma caixa e

observar sua cor. H um total de nove bolas na caixa: duas brancas, trs

vermelhas e quatro pretas.

Qual ser a probabilidade de tirar uma bola que no seja preta?

Para solucionar esta questo, preparamos o esquema da figura acima:

O espao amostral da figura acima :

Elemento Imagem

(B) branca 2/9

(V) vermelha 3/9

(P) preta 4/9

= {branca, vermelha, preta}

O evento tirar uma bola de cor diferente do preto, A = {B,V}, consta

de dois elementos.

Como foi dito na definio de probabilidade, atribumos a cada evento

um nmero obtido da soma das imagens de cada elemento na relao de

freqncia.

Portanto, se somarmos as imagens da bola branca, 2/9, e da vermelha,

3/9, que aparecem na relao de freqncia deste exemplo, vamos conhecer o

valor da probabilidade do evento A, indicado por P(A).

Assim,

p(A) =9

2+

9

3=

9

5

Em alguns experimentos aleatrios, cada um dos resultados (eventos

elementares) tem a mesma freqncia relativa esperada.

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Este o caso de lanar uma moeda ou um dado e comprovar o resultado.

Dizemos, ento, que o espao amostral equiprovvel, e que sua

probabilidade uniforme.

3.5 Evento complementar

Consideremos um evento E relativo a um espao amostral . Chamamos

evento complementar de indicado por E ao evento que ocorre quando se,e somente se, Eno ocorre.

Observe o seguinte diagrama:

Notemos que E IE= e E UE=

Exemplo 1

Uma urna contm 10 bolas numeradas de 1 a 10. Retira-se da urna, ao acaso,

uma bola. Se E o evento ocorre mltiplo de 3, ento Eser:

Temos: = {1, 2, 3, ..., 10} e E = {3, 6, 9}; logo:

E= {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10} o evento no ocorre mltiplo de 3.

Notemos que E U E= .

3.6 Probabilidades em espaos amostrais equiprovveis

Consideremos o espao amostral formado por kpontos amostrais (ou eventos

elementares): = {a1, a2, a3, ..., ak}

Vamos associar cada um desses pontos amostrais um nmero real, p{ai}, ou

simplesmentep

i, chamadoprobabilidade do evento

{ai}, ou seja, probabilidadede ocorrncia do ponto amostral ai, tal que:

(I) 0 pi 1

(II) = 1 , isto , p=

k

1

i

ip 1+ p2+ ... + pk= 1

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Consideremos aqui os espaos amostrais equiprovveis, isto , aqueles cujos

pontos amostrais tm a mesma probabilidade de ocorrer. Assim, se denotarmos

por p a probabilidade de ocorrncia de cada um dos pontos amostrais de ,

temos, em (II):

p + p + p + ... + p = 1 k . p = 1 p = k1

K vezes

A probabilidade de ocorrncia de um evento E, formado por rpontos amostrais

E= {a1, a2, a3, ..., ar} , com r k, dada por:

P (E) = p1+ p2+ ... + pr p(E) =k

1+

k

1+

k

1+

k

1

p(E) =k

r= =

Nmero de elementos de E n(E)

Nmero de elementos de n

Como E , temos que n(E) n(). Assim:

n(E) tal que 0 p(E) 1

n

P(E) =

Essa definio de probabilidade intuitiva, isto , a probabilidade de

ocorrer determinado evento dada pala razo entre o nmero de casos

favorveis (ou nmero de caos que nos interessam) e o nmero de casospossveis (ou nmero total de casos).

Assim:

=Nmero de casos favorveis

Nmero de casos ossveisn()

n(E)p(E) =

Uma vez que o nmero de casos favorveis coincide com o nmero de

elementos do evento, e o nmero de casos possveis corresponde ao nmero de

elementos do espao amostral, podemos escrever:

p(A) =k

f, onde o evento Atem f elementos e ko nmero possvel de

elementos. Para ocorrer o evento A, o resultado deve ser algum desses f

elementos, que so os casos favorveis.

Assim, no exemplo do lanamento de um dado, se o evento Aconsiste em

obter um5, o nmero de casos favorveis ser 1, pois num dado no-viciado

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s existe um 5, e o nmero de casos possveis 6, portanto o espao

amostral : = {1,2,3,4,5,6}

Assim, a probabilidade do eventoAser: P (A) = 1/6

Quando dizemos que a probabilidade do evento A 1/6, isto no

significa que, se jogarmos o dado seis vezes, em uma delas sair, com toda a

certeza, o nmero 5. Pode ser que o nmero 5 no saia nenhuma vez, ou ele

pode sair mais de uma vez.

A probabilidade 1/6 indica apenas que, se repetirmos esse experimento

um nmero muito grande de vezes, o evento A vai ocorrer em aproximadamente

1/6 do total de jogadas.

Exemplo 1

Uma urna contm 15 bolas numeradas de 1 a 15. Uma bola extrada ao acaso.

Qual a probabilidade de ser sorteada uma bola com nmero maior ou igual a 11?

Temos: = {1, 2, 3, ..., 15}

Seja o evento E: o nmero da bola sorteada maior ou igual a 11.Logo: E = {11, 12, 13, 14, 15}.

Assim,p(E) = =15

=5

3

1 = 33,3%

n(E)

n()

Exemplo 2

Um dado lanado e observa-se o nmero da face voltada para cima. Qual a

probabilidade desse nmero ser:

a) menor que 3? b) Maior ou igual a 3?

a) Temos = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

E = {1, 2}. Ento, p(E) =6

2 =

3

1

b) basta considerar o evento complementar: Ec= {3, 4, 5, 6}.

Assim, p(Ec) = =6

4 =

3

2.

n(Ec)

n(

)

p(E) + p(Ec) = 1Note que

Exemplo 3

Uma moeda lanada trs vezes, sucessivamente. Qual a probabilidade de

observarmos: a) exatamente uma cara?; b) No mximo duas caras?

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Vamos construir um diagrama de rvore onde na 1, 2 e 3 colunas,

respectivamente, representaremos os possveis resultados para o 1, 2 e 3

lanamentos.

K (K,K,K)

K C (K,K,C)K

K (K,C,K)C

C (K,C,C)

K (C,K,K)K

C (C,K,C)C

K (C,C,K)C

C (C,C,C)

K: cara

C: coroa

O espao amostral formado pelas oito seqncias indicadas.

a) O evento E1= {(K,C,C), (C,C,K), (C,K,C)}

Assim, p(E1) = =8

3 = 37,5%

n(E1)

n()

b) As seqncias que nos interessam so aquelas que apresentam nenhuma,

uma ou duas caras. Assim, o evento pedido :

E2= {(C,C,C),(K,C,C),(C,K,C),(C,C,K),(K,K,C),(K,C,K),(C,K,K)}

Logo, p(e2) =8

7= 87,5%.

Exemplo 4

Uma turma tem 20 homens e 25 mulheres. Deseja-se formar uma comisso de cinco

alunos para representantes de turma. Qual a probabilidade de essa comisso

vir a ser formada exclusivamente por meninos?

O nmero de elementos de igual ao nmero de maneiras de se escolher uma

comisso qualquer de cinco pessoas, a partir dos 45 alunos. Como vimos, n()

= C45,5.

O evento que interessa aquele em que todos os alunos da comisso so

meninos. O nmero de comisses assim existentes C20,5 .

Assim, a probabilidade pedida :

P(E) = = 0,0126 = 1,26%

C20,5

C45,5

41


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Exemplo 5

Escolhe-se, ao acaso, um dos anagramas da palavra XADREZ. Qual a

probabilidade da palavra escolhida comear por XA?

O nmero de elementos de o nmero de permutaes da palavra XADREZ.

Ento, n() = P6= 6! = 720.O evento E = palavra comea por XA:

X A __ __ __ __

Definidas as duas primeiras letras, h P = 4!4maneiras de se preencherem as lacunas restantes.

Assim, n(E) = 4! = 24.

Logo, a probabilidade pedida p(E) = =720

24= 3,33%

n(E)

n()

Exemplo 6

Numa comunidade residem 100 pessoas. Uma pesquisa sobre os hbitos

alimentares dessa comunidade revelou que:

25 pessoas consomem carnes e verduras

83 pessoas consomem verduras

39 pessoas consomem carnes

Uma pessoa da comunidade escolhida ao acaso. Qual a probabilidade de ela:

a) consumir exclusivamente carne?

b) Ter o hbito alimentar de no comer nem carne nem verdura?

Vamos construir um diagrama representando carne por C e verdura por V.

comunidade

V25

C

58 143

1) H 25 pessoas na integrao de Ce V.

2) Pessoas que consomem exclusivamente verduras: 83 25 = 583) Pessoas que consomem exclusivamente carnes: 39 25 = 14

4) Como 25 + 58 + 14 = 97, h 3 pessoas que no comem carnes nem verduras.

Assim, as probabilidades pedidas so:

a)100

14= 0,14 = 14% b)

100

3= 0,03 = 3%

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3.7 Probabilidade da unio de dois eventos

Sejam Ae Beventos de um mesmo espao amostral . Vamos encontrar uma

expresso para a probabilidade de ocorrer o evento Aou o evento B, isto , a

probabilidade da ocorrncia do evento AUB.

Consideremos dois casos:

1) eventos mutuamente exclusivos

A IB =

Temos:n(A UB) = n(A) + n(B)

Como n() 0, podemos escrever:

n(A UB) n(A) n(B)

n() n() n()+=

B

A

Da definio de probabilidade, segue:

P(A UB) = p(A) + p(B)

Nesse caso, A e B so chamados eventos mutuamente exclusivos.

2) eventos com ocorrncias simultneas: A IB

Da teoria dos conjuntos, temos:

n(A UB) = n(A) + n(B) n(A IB)

De modo anlogo ao primeiro caso:

p(A UB) = p(A) + p(B) p(A IB)

A B

A IB

O eventoA IB representa a ocorrncia simultnea dos eventos Ae B.

Exemplo 1

Uma urna contm 25 bolas numeradas de 1 a 25. Uma bola extrada ao acaso

dessa urna.a) Qual a probabilidade de o nmero da bola sorteada ser mltiplo de 2

ou de 3?

Consideremos os eventos A, o nmero mltiplo de 2 e B, o nmero

mltiplo de 3. Queremos encontrar p(A UB). Temos:

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A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24} p(A) = =25

12

n(A)

n()

B = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24} p(B) = =25

8n(B)

n()

A IB = {6, 12, 18, 24}: o evento formado pelos mltiplos de 2 e 3 ao mesmo

tempo, isto , pelos mltiplos de 6. Temos: p(A IB) =25

4.

Como p(A UB) = p(A) + p(B) p(A IB)

Temos: p(A UB) =25

12+

25

8

25

4=

25

16= 0,64 = 64%.

b) Qual a probabilidade de o nmero da bola sorteada ser mltiplo de 5

ou de 7?

A = {5, 10, 15, 20, 25} p(A) =25

5

B = {7, 14, 21} p(B) =25

3

Como A IB = , temos:

p(A UB) = p(A) + p(B) p(A UB) =

25

5+

25

3=

25

8= 0,32 = 32%.

Exemplo 2

A probabilidade de um guarda rodovirio aplicar quatro ou mais multas em um

dia de 63%; a probabilidade de ele aplicar quatro ou menos multas em um dia

de 56%. Qual a probabilidade de o guarda aplicar exatamente quatro

multas?

Consideremos os eventos:

A: quatro ou mais multas; p(A) = 0,63

B: quatro ou menos multas; p(B) = 0,56

Temos:

1) A B o evento guarda aplica exatamente quatro multas. Queremos

determinar p(A IB).

I

2) A B = (em um dia o guarda aplica menos de quatro multas, ou quatro

multas, ou mais de quatro multas).

U

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Assim, p(A UB) = p() = 1 (pois A UB o evento certo). Da:

P(A UB) = p(A) + p(B) p(A IB)

1 = 0,63 + 0,56 - p(A IB) p(A IB) = 0,19 = 19%

Exemplo 3

Observe a roleta da figura abaixo e pense na probabilidade existente de sada

para cada nmero.

a) Qual a probabilidade de cada evento elementar?

P(1) = P(2) = P(4) = P(5) = P(6) = P(7) = 1/8 P(3) = 2/8

b) Qual a probabilidade de o nmero ser par? P({2,4,6}) = 3/8

c) Qual a probabilidade de dar o nmero 3? P(3) = 2/8 = 1/4

3.8 Experincia Composta

Tambm pode nos interessar o clculo da probabilidade de uma

experincia composta, ou seja, a realizao de dois ou mais experimentos

aleatrios simples.

Nesses casos, a freqncia relativa esperada para cada resultado

possvel do experimento obtida a partir do produto das freqncias

relativas esperadas de cada elemento que compe o referido resultado.

Exemplo:

Temos uma moeda e duas caixas cheias de bolas coloridas. Na caixa A

temos duas bolas vermelhas e cinco pretas, enquanto na B h quatro bolas

vermelhas e uma bola azul.

Imagine a seguinte experincia composta: lanamos uma moeda; se der

"cara", extramos uma bola da caixa A; e se der "coroa", uma bola da caixa B.

Em seguida, vamos representar por um diagrama em rvore os resultados

possveis da experincia composta.

Vamos Indicar tambm as freqncias relativas esperadas para cada

experincia parcial.

Como observamos no esquema da figura anterior, o espao amostral :

= {(cara, vermelha), (cara, preta), (coroa, vermelha), (coroa, azul)}

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cara

coroa

5

1

5

4

7

5

7

2 vermelha

2

1

2

1

preta

vermelha

azul

O objetivo definir uma probabilidade para o conjunto , que

representa os resultados possveis da experincia composta.

A relao de freqncia obtida atribuindo-se a cada resultado o

produto das freqncias relativas esperadas, que aparecem em cada ramo

completo do diagrama em rvore da figura.

Desta maneira, comprovamos que a relao de freqncia, neste caso, a

seguinte:

Elemento Imagem

cara, vermelha 1/2 x 2/7 = 2/14

cara, preta 1/2 x 5/7 = 5/14

coroa, vermelha 1/2 x 4/7 = 4/14

coroa, azul 1/2 x 1/7 = 1/10

Agora podemos calcular a probabilidade de qualquer evento dessa

experincia composta.

3.9 Probabilidade condicional

Seja E: lanar um dado e o evento A= {sair o n 3}. Ento, P(A) = 6

1

Considere agora o evento B = {sair um nmero mpar} = {1, 3, 6}.

de grande importncia para o clculo das probabilidades se calcular

a probabilidade condicional. No exemplo, pode-se querer avaliar a

probabilidade do evento Acondicionada ocorrncia do evento B. Em smbolos,

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designa-se por P(A/B) e l-se: probabilidade do evento A condicionada

ocorrncia de B, ou melhor, probabilidade de Adado B.

Assim: P(A/B) = 1/3.

Obs: dada a ocorrncia de um evento, teremos a reduo do espao-amostra; no

caso, = {1, 2, 3, 4, 5, 6} foi reduzido para `= {1, 3, 5} e neste

espao-amostra reduzido que se avalia a probabilidade do vento.

Definio: Dados dois eventos, A e B, denota-se P(A/B) a probabilidade

condicionada do evento A, quando Btiver ocorrido, por:

com P(B) 0,pois B j ocorreu

P(A B)IP(B)

P(A/B) =

Vamos encontrar uma frmula para o clculo da probabilidade condicional:

P(A IB)I

I

NCF (B)

NCF(A B)=

NTC

NCF(B)=

NCF(A B)NTC

P(B)

NTC = Nmerototal de casos

P(A/B) =

Desta maneira, para calcular a probabilidade de A dado B, basta contar o

nmero de casos favorveis ao evento A I B: [NCF(A I B)] e dividir pela

quantidade de casos favorveis ao evento B: [NCF(B)].

Exemplo: Dois dados so lanados. Consideremos os eventos:

A = {(X1, X2)/ X1 + X2 = 10} e B = {(X1, X2)/ X1 > X2}

Onde X1 o resultado do dado 1 e X2 o resultado do dado 2.

Calcular P(A); P(B); P(A/B); P(B/A)

Soluo

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1)(2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1)(3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1)(4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1)(5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)(6,1)(6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

=

NCF ao evento A

36

3

12

1=P(A) = =

NTC

Obs: apenas o par(6,4) favorvel

ao evento (A B).I

1

3

NCF a (A IB)P(A/B) = =

NTC a B

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4 ESTATSTICA BSICA

4.4 CONCEITOSFUNDAMENTAIS

A Estatstica pode ser encarada como uma cincia ou como um mtodo de

estudo. Duas concepes para a palavra ESTATSTICA:

a) no plural (estatsticas), indica qualquer coleo consistente de dados

numricos, reunidos com a finalidade de fornecer informaes acerca de uma

atividade qualquer. Por exemplo, as estatsticas demogrficas referem-se

aos dados numricos sobre nascimentos, falecimentos, matrimnios,

desquites, etc.

b) no singular (estatstica), indica um corpo de tcnicas, ou ainda uma

metodologia tcnica desenvolvida para a coleta, a classificao, a

apresentao, a anlise e a interpretao de dados quantitativos e a

utilizao desses dados para a tomada de decises.

Qualquer cincia experimental no pode prescindir das tcnicas proporcionadas

pela Estatstica, como por exemplo, a Fsica, a Biologia, a Administrao, a

Economia, etc. Todos esses ramos de atividade profissional tem necessidade de

um instrumental que se preocupa com o tratamento quantitativo dos fenmenos

de massa ou coletivos, cuja mensurao e anlise requerem um conjunto de

observaes de fenmeno ou particulares.

DEFINIO DE ESTATSTICA

Estatstica a cincia que se preocupa com a coleta, a organizao,

descrio (apresentao), anlise e interpretao de dados experimentais e

tem como objetivo fundamental o estudo de uma populao.

Este estudo pode ser feito de duas maneiras:

Investigando todos os elementos da populao ou

Por amostragem, ou seja, selecionando alguns elementos da populao.

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Modelagem

Planejamento

Experimentao

Comparao eidentificaodas melhoressolues

DocumentaoApresentao

dos resultadosImplementao

Projetoexperimental

Experimentao

Anliseestatstica

dos

resultados

Coleta dedados

Traduo domodelo

Verificaoe validao

do modelo

Formulao eanlise doProblema

Planejamento doprojeto

Formulao domodelo

conceitual

Coleta de macro

informaes

Concluso

4.5 DIVISO DA ESTATSTICA

EstatsticaInferencialEstatsticaDescritiva

MtodosEstatsticos

Estatstica Descritiva: aquela que se preocupa com a coleta, organizao,

classificao,apresentao, interpretao e analise de dados referentes ao

fenmeno atravs de grficos e tabelas alm de calcular medidas que permita

descrever o fenmeno.

Estatstica Indutiva (Amostral ou Inferencial): a aquela que partindo de

uma amostra, estabelece hipteses, tira concluses sobre a populao deorigem e que formula previses fundamentando-se na teoria das probabilidades.

A estatstica indutiva cuida da anlise e interpretao dos dados.

O processo de generalizao do mtodo indutivo est associado a uma

margem de incerteza. Isto se deve ao fato de que a concluso que se pretende

obter para o conjunto de todos os indivduos analisados quanto a determinadas

caractersticas comuns baseia-se em uma parcela do total de observaes.

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PPooppuullaaoo?? Envolve: Estimao Teste de Hiptese

Propsito:

Tomar Decises sobre ascaractersticas da Populao

PPooppuullaaoo

AAmmoossttrraa

EEssttaattssttiiccaaAAmmoossttrraall

((XX))

EEssttiimmaattiivvaass&&tteesstteess

4.6 POPULAO

o conjunto, finito ou infinito, de indivduos ou objetos que

apresentam em comum determinadas caractersticas definidas, cujo

comportamento interessa analisar.

A populao estudada em termos de observaes de caractersticas nos

indivduos (animados ou inanimados) que sejam relevantes para o estudo, e no

em termos de pessoas ou objetos em si. O objetivo tirar concluses sobre o

fenmeno em estudo, a partir dos dados observados.Como em qualquer estudo estatstico temos em mente estudar uma ou mais

caractersticas dos elementos de uma populao, importante definir bem

essas caractersticas de interesse para que seja delimitado os elementos que

pertencem populao e quais os que no pertencem.

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Exemplos:

1. Estudar os filhos tidos, tipo de moradia, condies de trabalho, tipo de

sanitrio. Nmeros de quartos para dormir, estado civil, uso da terra, tempo

de trabalho, local de nascimento, tipo de cultivo, etc., dos agricultores do

Estado do Amazonas.

Populao: Todos os agricultores (proprietrios de terra ou no) plantadores

das culturas existentes no Estado do Amazonas.

2. Estudar a precipitao pluviomtrica anual (em mm) na cidade de Manaus.

Populao: Conjunto das informaes coletadas pela Estao Pluviomtrica,

durante o ano.

4. As alturas dos cidados do Amazonas constituem uma populao ou a

populao dos pesos desses cidados.

EEssttaattssttiiccaaIInnffeerreenncciiaall((PPrroobbaabbiilliiddaaddee))

EEssttaattssttiiccaaDDeessccrriittiivvaa

AAmmoossttrraaggeemm

DadosPopulao

Diviso Da Populao

- Populao Finita: apresenta um nmero limitado de elementos. possvel

enumerar todos os elementos componentes.

Exemplos:

1. Idade dos universitrios do Estado do Par.

Populao: Todos os universitrios do Estado do Par.

- Populao Infinita: apresenta um nmero ilimitado de elementos. No

possvel enumerar todos os elementos componentes.

Entretanto, tal definio existe apenas no campo terico, uma vez que,

na prtica, nunca encontraremos populaes com infinitos elementos, mas sim,

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populaes com grande nmero de componentes; e nessas circunstncias, tais

populaes so tratadas como se fossem infinitas.

Exemplos:

1. Tipos de bactrias no corpo humano

Populao: Todas as bactrias existentes no corpo humano.

2. Comportamento das formigas de certa rea

Populao: Todas as formigas da rea em estudo.

4.4 AMOSTRAGEM

a coleta das informaes de parte da populao, chamada

amostra (representada por pela letra n), mediante mtodos adequados de

seleo destas unidades.

4.5 AMOSTRA

uma parte (um subconjunto finito) representativa de uma

populao selecionada segundo mtodos adequados.

O objetivo fazer inferncias, tirar concluses sobre populaes

com base nos resultados da amostra, para isso necessrio garantir que

amostra seja representativa, ou seja, a amostra deve conter as mesmas

caractersticas bsicas da populao, no que diz respeito ao fenmeno que

desejamos pesquisar.

O termo induo um processo de raciocnio em que, partindo-se do

conhecimento de uma parte, procura-se tirar concluses sobre a realidade no

todo.

Ao induzir estamos sujeitos a erros. Entretanto, a Estatstica

Indutiva, que obtm resultados sobre populaes a partir das amostras, diz

qual a preciso dos resultados e com que probabilidade se pode confiar nas

concluses obtidas.

4.6 CENSO

o exame completo de toda populao.

Quanto maior a amostra, mais precisas e confiveis devero ser as

indues feitas sobre a populao. Logo, os resultados mais perfeitos so

obtidos pelo Censo. Na prtica, esta concluso muitas vezes no acontece: o

emprego de amostras, com certo rigor tcnico, pode levar a resultados mais

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confiveis ou at mesmo melhores do que os que seriam obtidos atravs de um

Censo.

As razes de se recorrer a amostras so: menor custo e tempo para

levantar dados; melhor investigao dos elementos observados.

4.7 TIPOS DE VARIVEIS

Varivel Qualitativa

Quando seus valores so expressos por atributos ou qualidade.

Exemplos:

1) Populao: Estudantes universitrios do Estado do Par.

Variveis: sexo, profisso, escolaridade, religio, meio onde vivem (rural,

urbano).

2) Populao: Populao dos bairros perifricos do municpio de Belm.

Variveis: tipo de casa, existncia de gua encanada (sim, no), bairro de

origem.

Variveis qualitativas que no so ordenveis recebem o nome de nominais.

Exemplo: religio, sexo, raa, cor.

Raa do AM - 2005

Raa Freqncia

BrancaNegraPardaOutraTotal

Fonte: Fictcia

Variveis qualitativas que so ordenveis recebem o nome de ordinais.

Exemplo: nvel de instruo, classe social.

Classe social do AM - 2005Classe social Freqncia

Classe AClasse BClasse CClasse DTotal

Fonte: Fictcia

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Varivel Quantitativa

Quando seus valores so expressos por nmeros. Esses nmeros podem ser

obtidos por um processo de contagem ou medio.

Exemplos:

1) Populao: Todos os agricultores do Estado do Par.

Variveis: nmero de filhos tidos, extenso da rea plantada, altura, idade.

2) Populao: Populao dos bairros perifricos do municpio de Belm

Variveis: nmero de quartos, rea da casa em m2, nmero de moradores.

A VARIVEL QUANTITATIVA DIVIDE-SE EM:

a. Varivel Discreta: so aquelas que podem assumir apenas valores inteiros

em pontos da reta real. possvel enumerar todos os possveis valores da

varivel.

Exemplos:

. Populao: Universitrios do Estado do Par.

Variveis: nmero de filhos, nmero de quartos da casa, nmero de moradores,

nmero de irmos.

b. Varivel Contnua: so aquelas que podem assumir qualquer valor num certo

intervalo (contnuo) da reta real. No possvel enumerar todos os possveis

valores.

. Populao: Todos os agricultores do Estado do Par.

Variveis: idade, renda familiar; extenso da rea plantada (em m2 ) , peso e

altura das crianas agricultoras.

4.8 DEFINIO DO PROBLEMA

A primeira fase do trabalho estatstico consiste em uma definio ou

formulao correta do problema a ser estudado e a seguir escolher a natureza

dos dados. Alm de considerar detidamente o problema objeto de estudo o

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analista dever examinar outros levantamentos realizados no mesmo campo e

anlogos, uma vez que parte da informao de que necessita pode, muitas

vezes, ser encontrada nesses ltimos. Saber exatamente aquilo que pretende

pesquisar o mesmo que definir de maneira correta o problema.

Por exemplo:

- os preos dos produtos agrcolas produzidos no Estado do Par so menores

do que queles originados de outros Estados?

- qual a natureza e o grau de relao que existe entre a distribuio da

pluviosidade e a colheita do produto x?

- estudar uma populao por sexo: dividi-se os dois grupos em masculino e

feminino;

-estudar a idade dos universitrios, por grupos de idade: distribui-se ototal de casos conhecidos pelos diversos grupos etrios pr-estabelecidos;

- Analisar a capacidade de germinao de certo tipo de cereal:

Calcular a mdia, a mediana e a moda do nmero de sementes germinadas, ou

seja, descrever com alguns valores resultados obtidos.

Representar graficamente os resultados.

Calcular a proporo de vasos com mais de trs sementes germinadas.

4.9 DEFINIO DOS OBJETIVOS (GERAL E ESPECFICO)

definir com exatido o que ser pesquisado.

recomendvel ter em vista um objetivo para o estudo, em lugar de

coletar o material e defin-lo no decorrer do trabalho ou s no fim deste.

Objetivos mais comuns em uma pesquisa:

. Dados pessoais: grau de instruo, religio, nacionalidade, dados

profissionais, familiares, econmicos, etc.. Dados sobre comportamento: como se comportam segundo certas circunstncias.

Ex: possvel remanejamento da rea habitada.

. Opinies, expectativas, nveis de informao, angstias, esperanas,

aspiraes sobre certos assuntos.

. Dados sobre as condies habitacionais e de saneamento que avalie as

condies em que vivem e a qualidade de vida de certo grupo.

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4.10 PLANEJAMENTO

Resultados / Concluses

Metodologiade

estudo

Metodologia

Estatstica

Anlise e interpretao dos dados

Apresentao dos dados

Coleta e crtica e apurao dos dados

Planejamento da pesquisa

Definio do Problema / Objetivos

O problema est definido. Como resolv-lo? Se atravs de amostra, esta

deve ser significativa para que represente a populao.

O planejamento consiste em se determinar o procedimento necessrio para

resolver o problema e, em especial, como levantar informaes sobre o assunto

objeto de estudo. Que dados devero ser coletados? Como se deve obt-los?

preciso planejar o trabalho a ser realizado tendo em vista o objetivo que se

pretende atingir.

nesta fase que ser escolhido o tipo de levantamento a ser utilizado,

que podem ser:a) levantamento censitrio, quando a contagem for completa, abrangendo todo o

universo;

b) levantamento por amostragem, quando a contagem for parcial.

Outros elementos importantes que devem ser tratados nessa fase so o

cronograma das atividades, atravs do qual so fixados os prazos para as

vrias fases, os custos envolvidos, o exame das informaes disponveis, o

delineamento da amostra, a forma como sero coletados os dados, os setores ou

reas de investigao, o grau de preciso exigido e outros.

4.11 COLETA DOS DADOS

Refere-se a obteno, reunio e registro sistemtico de dados, com o

objetivo determinado.

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A escolha da fonte de obteno dos dados est diretamente relacionada

ao tipo do problema, objetivos do trabalho, escala de atuao e

disponibilidade de tempo e recursos.

a) Fontes primrias: o levantamento direto no campo atravs de mensuraes

diretas ou de entrevistas ou questionrios aplicados a sujeitos de interesse

para a pesquisa.

Vantagens: grau de detalhamento com respeito ao interesse dos quesitos

levantados; maior preciso das informaes obtidas.

b) Fontes secundrias: quando so publicados ou registrados por outra

organizao.

A coleta de dados secundrios se realiza atravs de documentos

cartogrficos (mapas, cartas, imagens e fotografias obtidas por sensor remoto

ou por fotogrametria e imagens de radar). Estas fontes de informao so de

extrema importncia.

Das fotografias areas em escalas reduzidas ou mais detalhadas, das

imagens de radares ou satlite e de cartas obtm-se informaes quanto ao uso

do solo, drenagem, estruturas virias e urbanas, povoamento rural, recursos

florsticos, minerais e pedolgicos, estrutura fundiria e de servios, dados

altimtricos, etc.

Vantagens: inclui um processo de reduo e agregao de informaes.

A coleta dos dados pode ser feita de forma direta ou indireta.

4.12 CRTICA DOS DADOS

A crtica dos dados deve ser feita com cuidado atravs de um trabalho

de reviso e correo, ao qual chamamos de crtica (consistncia), a fim de

no de incorrer em erros que possam afetar de maneira sensvel os resultados.

As perguntas dos questionrios uniformemente mal compreendidas, os

enganos evidentes, tais como somas erradas, omisses, trocas de respostas e

etc, so fceis de corrigir. necessrio, entretanto, que o crtico no faa

a correo por simples suposio sua, mas sim que tenha chegado a concluso

absoluta do engano.

Quelet dividiu a crtica em: externa e interna.

A crtica externa refere-se as imperfeies porventura existentes na

coleta dos dados, por deficincia do observador, por imperfeio do

instrumento de trabalho, por erro de registro nas fichas, impreciso nas

respostas aos quesitos propostos e outros fatores de erro que justificam um

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verificao minuciosa dos dados coletados antes de iniciar a elaborao do

trabalho de anlise.

A crtica interna diz respeito a verificao da exatido das

informaes obtidas. mister examinar as respostas dadas, sanando

imperfeies e omisses, de forma que os dados respondam com preciso aos

quesitos formulados.

As informaes relativas a profisso no devem ser vagas como, por

exemplo: operrio, mas sim, oleiro, pedreiro, carpinteiro, etc., conforme o

caso.

O estado civil ser declarado: solteiro, casado, vivo ou desquitado.

Em resumo, os dados devem sofrer uma crtica criteriosa com o objetivo

de afastar os erros to comuns nessa natureza de trabalho. As informaes

inexatas ou omissas devem ser corrigidas. Os questionrios devem voltar a

fonte de origem sempre que se fizerem necessrio sua correo ou

complementao.

4.13 APURAO (ARMAZENAMENTO) DOS DADOS

um processo de apurao ou sumarizao que consiste em resumir os

dados atravs de sua contagem ou agrupamento. um trabalho de condensao e

de tabulao dos dados, que chegam ao analista de forma desorganizada.

Atravs da apurao, se tem a oportunidade de cond

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Apostila Probabilidade e Estatistica-