Bruno Baierle

Maurício Furigo

Prof.ª Sheila Regina Oro (orientadora)

Edital 06/2013 - Produção de Recursos Educacionais Digitais

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA

PROBABILIDADES

Revisando - Análise combinatória

Se um evento pode ocorrer de qualquer um de 𝑛1 modos e se,

quando ele ocorre, um outro evento pode realizar-se de qualquer

um de 𝑛2 modos, então o número de maneiras segundo as quais

ambos os evento podem ocorrer numa dada ordem será 𝑛1𝑛2.

Exemplo. Se há 2 candidatos a governador e 6 a prefeito, de

quantos modos podem ser preenchidos os dois cargos?

2 X 6 = 12 modos

Revisando – Fatorial de n

O fatorial de n, é representado por n!, sendo definido como:

𝑛! = 𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 …1.

Exemplo: 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Lembrando que 0! = 1

Revisando – Permutações

Uma permutação de n objetos diferentes, tomados r de

cada vez, é um arranjo de r dos n objetos, levando-se

em consideração a ordem de sua disposição.

Sendo representado por:.𝑛 𝑃𝑟; 𝑃 𝑛, 𝑟 ou 𝑃𝑛,𝑟 e é dado

por:

.𝒏 𝑷𝒓 = 𝒏!

𝒏−𝒓 !

Exemplo. (SPIEGEL) De quantas maneiras 10 pessoas poderão

sentar-se em um banco, se houver apenas 4 lugares?

R = 10 x 9 x 8 x 7 = 5.040

O primeiro lugar pode ser preenchido de 10 maneiras, o segundo

de 9 maneiras, o terceiro de 8 maneiras e o quarto de 7 maneiras.

Revisando – Combinações

Uma combinação de n objetos diferentes, tomados r de cada vez, é uma escolha de r dos n objetos, não se levando em consideração a ordem de sua disposição.

Sendo representado por: .𝑛 𝐶𝑟; C 𝑛, 𝑟 ; 𝐶𝑛,𝑟 ou 𝑛𝑟 e é

dado por:

𝒏𝒓=.𝒏 𝑷𝒓𝒓!

Exemplo. (SPIEGEL) De quantas maneiras uma

comissão de 5 pessoas pode ser escolhida entre

9?

R = 𝑛𝑟= 𝟗!

𝟓!= 9 x 8 x 7 x 6 x 5

5 x 4 x 3 x 2 x 1= 126

Revisando – Conjuntos

Um conjunto é uma coleção de objetos, usualmente representados por letras maiúsculas. Podendo ser por união ou intersecção.

União

Exemplo: Definindo C como união de A e B, (denominado

algumas vezes a soma de A e B), então:

C = A ∪ B

Desse modo, C será formado de todos os elementos que

estejam em A, ou em B, ou em ambos.

Revisando – Conjuntos

Intersecção

Exemplo: Definindo D como a intersecção de A e B,

(denominada algumas vezes como o produto de A e B), então:

D = A ∩ B

Desse modo D, será formado por todos os elementos que estão em A e em B.

Probabilidade

Definição clássica: Se um experimento aleatório tem n resultados

igualmente prováveis, e 𝑛𝐴 desses resultados pertencem a certo

evento A, então a probabilidade de ocorrência do evento A é

definida como:

𝑷 𝑨 =𝒏𝑨

𝒏

Probabilidade

Definição experimental: Seja um experimento aleatório com

espaço amostral Ω e um evento A de interesse, onde esse

experimento é repetido n vezes e o evento A ocorreu n(A) vezes.

Então a frequência relativa do evento A é dada por:

𝒇 𝑨 =𝒏(𝑨)

𝒏

Exemplo 1. (SPIEGEL) Se em 1.000 lances de uma moeda

resultam 529 caras, a frequência relativa das caras é de 529/1.000

= 0,529. Se em outros 1.000 lances resultam 493 caras, a

frequência relativa no total dos 2.000 lances é de (529

+ 493)/2.000 = 0,511.

De acordo com a definição estatística poder-se-á chegar cada vez

mais próximos de um número que será denominado probabilidade

de ocorrer uma cara no único lance de uma moeda, de acordo com

os resultados apresentados até agora ele será de 0,5.

Espaço Amostral

Definição: É o conjunto de todos os resultados possíveis de um dado experimento. Sendo representado por S ou Ω.

Ao se estudar um número de resultados em um espaço amostral, surgem 2 possibilidades:

O espaço amostral será discreto quando este for finito ou infinito numerável.

O espaço amostral será contínuo quando este for infinito não numerável.

Espaço Amostral Finito

Condições:

(a) 𝑝𝑖 ≥ 0, 𝑖 = 1, 2, … , 𝑘

(b) 𝑝1 + 𝑝2 + …+ 𝑝𝑘 = 1

Espaço Amostral Finito

Exemplo 2. (MEYER) Suponha que somente três resultados sejam possíveis em um experimento, a saber, 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3. Além disso, suponha que 𝑎1 seja duas vezes mais provável de ocorrer que 𝑎2, o qual por sua vez é duas vezes mais provável de ocorrer que 𝑎3.

Então:

𝒑𝟏 = 𝟐𝒑𝟐 e 𝒑𝟐 = 𝟐𝒑𝟑.

𝒑𝟏 + 𝒑𝟐 + 𝒑𝟑 = 𝟏

𝟒𝒑𝟑 + 𝟐𝒑𝟑 + 𝒑𝟑 = 𝟏

𝒑𝟑 =𝟏

𝟕; 𝒑𝟐 =

𝟐

𝟕 e 𝒑𝟏 =

𝟒

𝟕

Espaço Amostral Infinito Numerável

Exemplo 3. Uma moeda ser lançada sucessivas

vezes até que ocorra uma cara (K).

Ω = { K, CK, CCK, CCCK, CCCCK, ...,}

Espaço Amostral Infinito Não Numerável

Exemplo 4. Uma lâmpada ao ser fabricada e

ensaiada, observar o seu tempo de vida.

Ω = 𝑡 ∊ 𝑅|𝑡 ≥ 0

Eventos

Definição: Um evento é um subconjunto de um espaço

amostral.

Quando o espaço amostral for finito ou infinito numerável, todo

subconjunto poderá ser considerado um evento.

Quando o espaço amostral for infinito não enumerável, nem todo subconjunto poderá ser considerado um evento.

Operações entre eventos

Evento mutuamente excludentes

Definição: Dois eventos são denominados excludentes se eles

não puderem ocorrer juntos.

Logo evento A e B serão mutuamente excludentes em:

𝑨 ∩ 𝑩 = ∅

Exemplo 5. (MEYER) Um dispositivo eletrônico é

ensaiado e o tempo total de serviço t é registrado.

Admitindo que o espaço amostral seja { t | t ≥ 0}. Sejam

A, B e C três eventos definidos da seguinte maneira:

A = {t | t < 100}; B = { t | 50 ≤ 𝑡 ≥ 200}; C = { t | t > 150}.

Portanto:

A ∪ B = {t | t ≤ 200}; A ∩ B = {t | 50≤ t < 100};

B ∪ C = {t | t ≥ 50}; B ∩ C = { t | 150 < t ≤ 200}; A ∩ C = ∅;

A ∪ C = { t | t < 100 ou t > 150}; Ᾱ = { t | t ≥ 100}; 𝐶 = { t | t ≤ 150}.

Exemplo 6. Se E1 é o evento “extração de um às de um baralho” e E2 é o da “extração de um rei”, logo:

P(𝐸1) =4

52=1

13 e P 𝐸2 =

4

52=1

13,

então, a probabilidade de se extrair ou um às, ou um rei, em um lance único é:

P(𝐸1 + 𝐸2) = P 𝐸1 + P 𝐸2 =1

13+1

13=𝟐

𝟏𝟑

Propriedades

(1) 0≤ P(A) ≤ 1.

(2) P (Ω) = 1.

(3) Se A e B forem eventos mutuamente excludentes,

P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

Teoremas

Teorema 1. Se ∅ for o conjunto vazio, então P(∅) = 0

Demonstração: para qualquer evento (A), podemos

escrever A = A ∪ ∅ , uma vez que ambas são

mutuamente excludentes, e decorre da propriedade 3,

que:

𝐏 𝐀 = 𝐏 𝐀 ∪ ∅ = 𝑷 𝑨 + 𝑷(∅)

Teoremas Teorema 2. Se Ᾱ for o evento complementar de A, então:

𝑷 𝑨 = 𝟏 − 𝑷(Ᾱ)

Demonstração: pode-se escrever Ω = A ∪ Ᾱ e, empregando as propriedades 2 e 3, tem-se:

𝟏 = 𝑷 𝑨 + 𝑷(Ᾱ)

Teoremas

Teorema 3. Se A e B forem dois eventos quaisquer, então:

𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑷 𝑨 + 𝑷 𝑩 − 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 .

Demonstração: esse teorema consiste em decompor A ∪ B e B em dois eventos mutuamente excludentes e, em seguida, a aplicação da Propriedade 3, logo:

𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑨 ∪ 𝑩 ∩ Ᾱ ,

𝑩 = 𝑨 ∩ 𝑩 ∪ 𝑩 ∩ Ᾱ

Resulta em:

𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑷 𝑨 + 𝑷 𝑩 ∩ Ᾱ ,

𝑷(𝑩) = 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩 + 𝑷 𝑩 ∩ Ᾱ

Subtraindo a segunda igualdade da primeira, têm-se:

𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 − 𝑷 𝑩 = 𝑷 𝑨 − 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)

Teoremas

Teorema 4. Se A, B e C forem três eventos quaisquer,

então:

𝑷 𝑨 ∪ 𝑩 ∪ 𝑪 = 𝑷 𝑨 + 𝑷 𝑩 + 𝑷 𝑪 − 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 −

𝑷 𝑨 ∩ 𝑪 − 𝑷 𝑩 ∩ 𝑪 + 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩 ∩ 𝑪)

Demonstração: esse teorema consiste em escrever A ∪ B ∪

C na forma (A ∪ B) ∪ C e aplicar o resultado do teorema 3.

Teoremas

Teorema 5. Se A ⊂ B, então P(A)≤ P(B)

Demonstração: pode-se decompor B em dois eventos mutuamente excludentes, da seguinte forma:

𝑩 = 𝑨 ∪ 𝑩 ∩ Ᾱ

Portanto, 𝑷 𝑩 = 𝑷 𝑨 + 𝑷 𝑩 ∩ Ᾱ ≥ 𝑷(𝑨)

Pois,

𝑷 𝑩 ∩ Ᾱ ≥ 𝟎 pela propriedade 1.

Probabilidade condicional

Consiste em calcular a probabilidade de ocorrência de um evento (A) condicionada à ocorrência prévia de um evento (B). Essa probabilidade é representada por P(A|B), ou seja, probabilidade de A dado B.

Sendo assim, seja A e B eventos quaisquer, sendo P(B) > 0, a probabilidade condicional pode ser definida por:

𝑷 𝐀 𝐁 =𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)

𝑷(𝑨)

Probabilidade condicional

Exemplo 7. (BARBETTA, pg 103) Seja o lançamento de 2 dados

não viciados e a observação das faces voltadas para cima.

Calcule:

a) A probabilidade de ocorrer faces iguais, sabendo-se que a soma

é menor ou igual a 5.

b) A soma das faces menor ou igual a 5, sabendo que as faces

são iguais.

Ω =

(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)

(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)

(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)

(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)

(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)

(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)

𝐸1 = 𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑠 1,1 , 2,2 , 3,3 , 4,4 , 5,5 , (6,6)

𝐸2 = 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑎𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠 é 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑜𝑢 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑙 𝑎 5 = 1,1 , 1,2 , 1,3 , 1,4 , 2,1 , 2,2 , 2,3 , 3,1 , 3,2 , (4,1)

Portanto, 𝐸1 ∩ 𝐸2 = * 1,1 , 2,2 +,

esquematicamente:

a) A probabilidade de ocorrer faces iguais, sabendo-se

que a soma é menor ou igual a 5.

𝑃 𝐸1 𝐸2 =𝑃 𝐸1 ∩ 𝐸2𝑃(𝐸2)

=236

1036 =2

10= 𝟎, 𝟐

b) A soma das faces menor ou igual a 5, sabendo que

as faces são iguais.

𝑃 𝐸2 𝐸1 =𝑃 𝐸2 ∩ 𝐸1𝑃(𝐸1)

=236

636 =2

6= 𝟎, 𝟑𝟑𝟑 ≡ 𝟑𝟑%

Regra do produto

A regra do produto é uma consequência da probabilidade

condicional, obtida ao isolar a probabilidade da intersecção.

𝑃 𝐴 𝐵 =𝑃(𝐴∩𝐵)

𝑃(𝐵) 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑷 𝑩 .𝑷(𝑨|𝑩)

ou

𝑃 𝐵 𝐴 =𝑃(𝐵∩𝐴)

𝑃(𝐴) 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑷 𝑨 .𝑷(𝑩|𝑨)

Exemplo 8. (BARBETTA, pg 105) Uma caixa contém 4 cartões

amarelos e 8 vermelhos. Retira-se ao acaso, 2 cartões um após o

outro, sem reposição. Qual a probabilidade que ambos sejam

amarelos ?

R= Chamando de 𝐴𝑖 o evento que representa cartão amarelo na

𝑖 -ésima extração, e 𝑉𝑖, o evento que representa cartão vermelho

na 𝑖 -ésima extração (𝑖 = 1, 2), logo:

Ω = 𝐴1, 𝐴2 , 𝐴1, 𝑉2 , 𝑉1, 𝐴2 , (𝑉1, 𝑉2)

Como a probabilidade de interesse é 𝑃 (𝐴1, 𝐴2) , aplicando a regra do

produto, têm-se:

𝑃 𝐴1 =4

12=1

3 existe 4 cartões amarelos dentre os 12 cartões, e

𝑃 𝐴2|𝐴1 =3

11 supondo que tenha sido extraído cartão amarelo na

1ª extração, restando 3 amarelos dentre 11 cartões, logo:

𝑃 𝐴1 ∩ 𝐴2 = 𝑃 𝐴1 ∙ 𝑃 𝐴2|𝐴1 =1

3 ∙3

11=1

11

Eventos Independentes

Dois ou mais eventos são independentes quando a ocorrência de

um dos eventos não influencia a probabilidade de ocorrência dos

outros eventos.

Portanto 𝑃 𝐴 𝐵 = 𝑃 𝐴 e 𝑃 𝐵 𝐴 = 𝑃 𝐵

logo evento independente pode ser definido como:

A e B são independentes 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝑷 𝑨 ∙ 𝑷(𝑩)

Exemplo 9. (SPIEGEL), Sejam 𝐸1e 𝐸2 os eventos “cara na quinta

jogada” e “cara na sexta jogada” de uma moeda, respectivamente.

Então 𝐸1e 𝐸2 são eventos independentes, de modo que a

probabilidade de ocorrer cara em ambas as jogadas, quinta e

sexta, é admitindo-se que a moeda é “honesta”, logo:

𝑃 = 𝐸1𝐸2 = 𝑃 𝐸1 𝑃 𝐸2 =1

2∙1

2=1

4

Exemplo 10. (MEYER), Admita-se que dentre 6 parafusos, dois

sejam menores do que um comprimento especificado. Se dois dos

parafusos forem escolhidos ao acaso, qual será a probabilidade de

que os dois parafusos mais curtos sejam extraídos? Seja 𝐴𝑖 o

evento (o 𝑖-ésimo parafuso escolhido é curto), 𝑖 = 1, 2.

𝑃 𝐴1 ∩ 𝐴2 = 𝑃 𝐴2 𝐴1 𝑃 𝐴1 =1

5∙2

6=1

15

Teorema da Probabilidade Total

Seja 𝐸1, 𝐸2, 𝐸3, … , 𝐸𝑛 eventos que constituem uma

partição do espaço amostral Ω , então:

a) 𝐸1 ∩ 𝐸𝑗 = ∅ para todo 𝑖 ≠ 𝑗

b) 𝑃(𝐸𝑖) > 0, para 𝑖 = 1, 2, 3, … 𝑘

c) 𝐸1 ∪ 𝐸2 ∪ …∪ 𝐸𝑘 = Ω

Teorema da Probabilidade Total

Pela regra do produto têm-se a equação do

teorema da probabilidade total.

𝑷 𝑭 = 𝑷 𝑬 𝒊

𝒌

𝒊=𝟏

∙ 𝑷(𝑭|𝑬𝒊)

Exemplo 11. As máquinas A e B são responsáveis por 70% e 30%, respectivamente, da produção de uma empresa. A máquina A produz 2% de peças defeituosas e a máquina B produz 8% de peças defeituosas. Calcule o percentual de peças defeituosas na produção desta empresa.

Solução:

P(A) = 70%; P(B) 30%; P(D|A) = 2%; P(D|B) = 8%

P D = P D A . P A + P D B . P B Teorema da Probabilidade Total

P D = 0,02.0,70 + 0,08.0,030 = 𝟎, 𝟎𝟑𝟖 ≡ 𝟑, 𝟖%

Exemplo 12. Um aluno propõe-se a resolver uma questão de um trabalho.

A probabilidade de que consiga resolver a questão sem necessidade de

uma pesquisa é de 40%. Caso faça a pesquisa, a probabilidade de que

consiga resolver a questão é de 70%. Se a probabilidade de o aluno fazer

a pesquisa é de 80%, calcule a probabilidade de que consiga resolver a

questão.

Solução

P(Sucesso | sem pesquisa) = 40%;

P(Fracasso | sem pesquisa) = 60%;

P(Sucesso | com pesquisa) = 70%;

P(Fracasso | com pesquisa) = 30%;

P(com pesquisa) = 80%;

P(sem pesquisa) = 20%

P sucesso = P sucesso ∩ sem pesquisa + P sucesso ∩ com pesquisa =

P(sucesso | sem pesquisa). P(sem pesquisa) + P(sucesso |sem

pesquisa). P(sem pesquisa)

Teorema da Probabilidade Total

P D = 0,40 ∙ 0,20 + 0,70 ∙ 0,08 = 0,08 + 0,56 = 𝟎, 𝟔𝟒 ≡ 𝟔𝟒%

Teorema de Bayes

Considere eventos 𝐸1 mutuamente excludentes e um evento F qualquer cuja união representa o espaço amostral Ω , isto é, um dos eventos necessariamente deve ocorrer.

Ou seja, o Teorema de Bayes permite obter a probabilidade de que um dos eventos 𝐸𝑖 ocorra, sabendo-se que o evento F ocorreu.

Portanto,

𝐏(𝑬𝒊|𝑭) =𝑷 𝑬𝒊 ∙ 𝑷(𝑭|𝑬𝒊)

𝑷(𝑭)

Teorema de Bayes

Exemplo 13. As máquinas A e B são responsáveis por 60% e 40%, respectivamente, da produção de uma empresa. Os índices de peças defeituosas na produção destas máquinas valem 3% e 7% respectivamente. Se uma peça defeituosa foi selecionada da produção desta empresa, qual é a probabilidade de que tenha sido produzida pela máquina B?

Solução

A: peça produzida por A

B: peça produzido por B

d: peça defeituosa

P(d|A) = 3% = 0,03

P(d|B) = 7% = 0,07

P(A) = 60% = 0,60

P(B) = 40% = 0,40

O exercício pede a probabilidade P(B | d).

Pelo Teorema de Bayes,

P(B|d) =P d|B . P(B)

P d A ∙ P A + P d B ∙ P(B)

P B d =0,07 ∙ 0,4P B

0,03 ∙ 0,6 + 0,07 ∙ 0,4= 0,6087 ≡ 𝟔𝟎, 𝟖𝟕%

Teorema de Bayes

Exemplo 14. (MEYER), Uma determinada peça é manufaturada por três

fábricas (1, 2, 3). Sabe-se que a peça 1 produz o dobro de peças que 2, e

2 e 3 produzem o mesmo número de peças. Sabe-se também que 2% das

peças produzidas por 1 e por 2 são defeituosas, enquanto 4% daquelas

produzidas por 3 são defeituosas. Todas as peças produzidas são

colocadas em um depósito, e depois uma peça é extraída ao acaso. Qual

é a probabilidade de que tenha sido produzida na fábrica 1?

Pelo Teorema de Bayes

P(Bi|A) =P A|Bi ∙P(Bi)

P A Bj P(Bj)ki=1

i = 1, 2, … , k

P Bi A =0,02 ∙ 1 2

0,02 ∙ 1 2 + 0,02 ∙14 + 0,04 ∙

14 = 0,40 ≡ 𝟒𝟎%

Referências SPIEGEL, M. R. Estatística.3ª Edição. São Paulo -SP, 2006.

BARBETTA, P. A. REIS, M. M. BORNIA, A. C. Estatística para

Cursos de Engenharia e Informática. 3ª Edição. Atlas S.A. São

Paulo - SP, 2010.

MEYER, P. L. Probabilidade: Aplicação à estatística. 2ª Edição.

LTC. Rio de Janeiro – RJ, 2012.

Bertolo, L.A. Probabilidades, Teorema da Probabilidade Total e

Teorema de Bayes. IMES- Catanduva. Disponível em:

<http://www.bertolo.pro.br/AdminFin/AnalInvest/Aula040912Revisa

o.pdf>. Acesso em Outubro de 2013.