PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA DISTRIBUIÇÕES DE …paginapessoal.utfpr.edu.br/sheilaro/probabilidade-e-estatistica/... · n é o número de ensaios independentes; e P (sucesso) =

Bruno Baierle

Maurício Furigo

Prof.ª Sheila Regina Oro (orientadora)

Edital 06/2013 - Produção de Recursos Educacionais Digitais

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA

DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES

Variável Aleatória

Por definição uma variável aleatória pode ser entendida como

sendo uma variável quantitativa, cujo resultado depende de

fatores aleatórios.

Exemplos:

Número de coroas obtidos no lançamento de moedas;

Número de defeitos de azulejo que sai da linha de produção;

Tempo de resposta de um sistema computacional;

Resistência ao desgaste de um tipo de aço, num teste padrão;


Uma variável aleatória é uma função que associa elementos do

espaço amostral ao conjunto de números reais.

Exemplo 1. (BARBETTA, pg 117) No lançamento de 2 moedas, o

espaço amostral mais completo é Ω = {(cara, cara), (cara, coroa),

(coroa, cara), (coroa, coroa)}, enquanto que a variável aleatória

número de coroas assume valores no conjunto {0, 1, 2}.

A relação entre os dois conjuntos, é esquematizada a

seguir.


Uma variável aleatória pode ser:

Discreta: onde os possíveis resultados estão

contidos em um conjunto finito ou enumerável.

Exemplo:


Uma variável aleatória pode ser:

Contínua: onde os possíveis resultados abrangem

todo um intervalo de números reais.

Exemplo:

Variáveis Aleatórias Independentes

Variável aleatória independente, pode ser entendida quando o

conhecimento de uma variável não altera as distribuições de

probabilidade das demais variáveis (𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛).

Para variáveis aleatórias independentes:

V X + Y = V X + V(Y)

V X − Y = V X + V(Y)


Exemplo 2. (MEYER), seja X e Y a duração da vida de dois dispositivos eletrônicos. Suponha que sua fdp conjunta seja dada por

𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒆;(𝒙:𝒚), 𝒙 ≥ 𝟎, 𝒚 ≥ 𝟎,

por fatoração temos

𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒆;𝒙𝒆;𝒚,

desta forma a independência de X e Y fica estabelecida.


Definição: seja (X, Y) uma variável aleatória discreta

bidimensional. Então X e Y serão variáveis aleatórias

independentes se, e somente se:

𝑃 𝑥𝑖 , 𝑦𝑗 = 𝑝(𝑥𝑖)𝑞(𝑦𝑗) para quaisquer 𝑖 e 𝑗.

Portanto,

P 𝑋 = 𝑥𝑖 , 𝑌 = 𝑦𝑗 = 𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖 𝑃(𝑌 = 𝑦𝑗) para todo 𝑖 e 𝑗


Definição: seja (X, Y) uma variável aleatória contínua bidimensional. Então X e Y serão variáveis aleatórias independentes se, e somente se:

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑔 𝑥 𝑕(𝑥) para todo 𝑥 e 𝑦,

onde 𝑓 é a fdp conjunta, e 𝑔 e 𝑕 são as fdp marginais de X e Y, respectivamente.

Variável Aleatória Discreta


Teorema 1: Se X é uma variável aleatória discreta com

distribuição de probabilidade 𝑓 𝑥 . Definindo Y = 𝑢 𝑋 a

transformação um a um entre os valores de X e Y, então a

equação 𝑦 = 𝑢 𝑥 pode ser unicamente resolvida por 𝑥 em função

de 𝑦, digamos 𝑥 = 𝑤 𝑦 .

Então a distribuição de probabilidade de Y é

𝒈 𝒚 = 𝒇 𝒘(𝒚)


Teorema 2: Supondo que 𝑋1 e 𝑋2 são variáveis aleatórias

discretas com distribuição de probabilidade conjunta 𝑓 𝑥1, 𝑥2 , definindo a transformação um a um entre os pontos 𝑥1, 𝑥2 e

𝑦1, 𝑦2 , então as equações

𝑦1 = 𝑢1 𝑥1, 𝑥2 e 𝑦2 = 𝑢2 𝑥1, 𝑥2 ,

podem ser unicamente solucionadas para 𝑥1 e 𝑥2 em função de 𝑦1

e 𝑦2.


Onde:

𝑥1 = 𝑤1(𝑦1, 𝑦2) e 𝑥2 = 𝑤2(𝑦1, 𝑦2)

Portanto a distribuição de probabilidade conjunta 𝑌1 e 𝑌2 é:

𝒈 𝒚𝟏, 𝒚𝟐 = 𝒇,𝒘𝟏 𝒚𝟏, 𝒚𝟐 , 𝒘𝟐 𝒚𝟏, 𝒚𝟐 -

Variável Aleatória Discreta – Função de

Probabilidade

Se X for discreta, com valores {𝑋1, 𝑋2, … +, então a distribuição de probabilidade de

X, pode ser apresentada pela função de probabilidade, a qual associa a cada

valor possível 𝑋𝑖 a sua probabilidade de ocorrência 𝑝(𝑋𝑖).

Ou seja

𝒑 𝒙𝒊 = 𝑷(𝑿 = 𝒙𝒊)

Satisfazendo:

𝑝 𝑥𝑖 ≥ 0

𝑝 𝑥𝑖 = 1

.

𝑖

Variável Aleatória Discreta – Função

de Probabilidade

Representação gráfica da distribuição de probabilidade da variável

aleatória X, a qual representa o número obtido no lançamento de

um dado comum.


de Distribuição Acumulada

Por definição: 𝑭 𝒙 = 𝑷 𝑿 ≤ 𝒙 , ∀𝒙 ∊ ℜ

Assim, para todo 𝑥 ∊ ℜ, a função de distribuição acumulada

descreve a probabilidade de ocorrer um valor até 𝒙.

Exemplo:



X = número obtido no lançamento de um dado comum.

𝐹 𝑥

0 𝑠𝑒 𝑥 < 116 𝑠𝑒 1 ≤ 𝑥 ≥ 2

26 𝑠𝑒 2 ≤ 𝑥 ≥ 3

36 𝑠𝑒 3 ≤ 𝑥 ≥ 4

46 𝑠𝑒 4 ≤ 𝑥 ≥ 5

56 𝑠𝑒 4 ≤ 𝑥 ≥ 5

1 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 6

Variável Aleatória Discreta – Valor

Esperado e Variância

Valor esperado:

μ = 𝑬 𝑿 = 𝒙𝒋𝒑𝒋

𝒌

𝒋<𝟏

Variância:

σ𝟐 = 𝑽 𝑿 = (𝒙𝒋 − μ)𝟐𝒑𝒋

𝒌

𝒋<𝟏

Ou

𝑽 𝑿 = 𝑬(𝑿𝟐) − μ𝟐

Variável Aleatória Discreta – Valor

Esperado e Variância

Propriedades:

a) 𝐸 𝑐 = 𝑐

b) 𝐸 𝑋 + 𝑐 = 𝐸 𝑋 + 𝑐

c) 𝐸 𝑐𝑋 = 𝑐𝐸(𝑋)

d) 𝐸 𝑋 + 𝑌 = 𝐸 𝑋 + 𝐸 𝑌

e) 𝐸 𝑋 − 𝑌 = 𝐸 𝑋 − 𝐸(𝑌)

f) V 𝑐 = 0

g) V 𝑋 + 𝑐 = 𝑉 𝑋

h) V 𝑐𝑋 = 𝑐2𝑉(𝑋)

i) DP 𝑐𝑋 = |𝑐|𝐷𝑃(𝑋)

Modelos de Distribuição Discreta

Distribuição de Bernoulli

A distribuição de Bernoulli tem somente 2 resultados

possíveis: sucesso e fracasso.

Onde:

𝟎 ≤ 𝒑 ≤ 𝟏



Função da probabilidade p(x)

X 𝑝 𝑥

0

1

1 − 𝑝

𝑝

total 1



Função acumulada F(x)

𝑭 𝑿 = 𝟎

𝟏 − 𝒑𝟏

𝒔𝒆 𝒙 < 𝟎 𝒔𝒆 𝟎 ≤ 𝒙 ≥ 𝟏

𝒔𝒆 𝒙 ≥ 𝟏



Esperança E(X)

𝑬 𝑿 = 𝒑

Variância V(X)

𝐕 𝑿 = 𝒑. 𝟏 − 𝒑



Exemplos.

Lançamento de uma moeda:

Caso obtenha-se uma cara: sucesso

Caso obtenha-se uma coroa: fracasso

A direção que segue um veículo em bifurcação (caminho A e B):

Se segue o caminho A: sucesso

Se segue o caminho B: fracasso



Exemplo 3. Uma urna tem 30 bolas brancas e 20 verdes. Retira-se uma bola dessa urna. Seja X: nº de bolas verdes. Calcular E(X) e V(X).

Solução

X = *1 → p = 2050 = 2

5

E X = p = 𝟐𝟓 = 𝟎, 𝟒 𝐛𝐨𝐥𝐚𝐬 𝐯𝐞𝐫𝐝𝐞𝐬

V X = p ∙ 1 − p = 25 ∙ 1 − 2

5 𝟔𝟐𝟓 = 𝟎, 𝟐𝟒 𝐛𝐨𝐥𝐚𝐬 𝐯𝐞𝐫𝐝𝐞𝐬𝟐


Distribuição Binomial

Considere n experimentos independentes identicamente distribuídos, cada um com distribuição Bernoulli de parâmetro p. Se a variável de interesse x corresponde ao número de sucessos obtidos nestes n experimentos, então x é conhecida como uma variável aleatória binomial de parâmetros n e p.

Onde:

n é o número de ensaios independentes;

e P (sucesso) = p, constante para todo ensaio 0 < 𝑝 < 1






𝒑 𝒙 =𝒏𝒙

∙ 𝒑𝒙 ∙ (𝟏 − 𝒑)𝒏;𝒙 x = 0,1, 2, … , n

Onde: 𝑛𝑥

=𝑛!

𝑛 − 𝑥 ! 𝑥!




𝑭 𝒙 = 𝑷 𝑿 ≤ 𝒙𝒊 = 𝒇(𝒙𝒊)

𝒏𝒊

𝒊<𝟏



Esperança E(x)

𝑬 𝑿 = 𝒏 ∙ 𝒑

Variância V(X)

𝑽 𝑿 = 𝒏 ∙ 𝒑(𝟏 − 𝒑)



Exemplos.

Lançar uma moeda 5 vezes e observar o número de

caras;

Verificar o número de bits que não estão afetados por

ruídos, em um pacote com n bits;



Representação gráfica com n = 5 e p = 0,5

E(X)=25

Modelos de Distribuição Discreta Distribuição Binomial

Exemplo 4. (DÍAZ) Um médico aplica um teste em dez alunos de um colégio, para detectar uma enfermidade cuja incidência sobre uma população de crianças é de 10%. A sensibilidade do teste é de 80% e a especificidade é de 75%. Qual a probabilidade de que 4 pessoas apresentem um resultado positivo?

Dados:

P E = 0,1

𝑃(𝑇:|𝐸) = 0,8

𝑃(𝑇;|𝐸) = 0,75



Solução:

Pelo Teorema da Probabilidade Total

𝑃(𝑇:) = 𝑃(𝑇:|𝐸) ∙ 𝑃 𝐸 + 𝑃(𝑇:|𝐸) ∙ 𝑃 𝐸 = 𝑂, 8 ∙ 0,1 + 0,25 ∙ 0,9 = 0,305

seja 𝑋1 a v.a que contabiliza o número de resultados positivos ,

e chamando 𝑝1 = 𝑃(𝑇:), então X segue uma distribuição binomial.



Portanto

𝑋1 𝑛1 = 10, 𝑝1 = 0,305 ↔ 𝑃 𝑋1 = 𝑥 =𝑛1𝑥

𝑝1𝑥 (1 − 𝑝)𝑛1;𝑥

Logo a probabilidade de que o resultado do teste dê positivo para 4 pessoas é de:

𝑃(𝑋1 = 4) =104

0,3054 ∙ 0,6956 = 0,2048 ≡ 𝟐𝟎, 𝟒𝟖%



Exemplo 5. (WALPOLE) A probabilidade de que um paciente se recupere de uma doença sanguínea rara é de 0,4. Se 15 pessoas contraíram essa doença, calcule:

a) A probabilidade de que pelo menos 10 pessoas sobrevivam.

b) A probabilidade de que 3 a 8 pessoas sobrevivam.

c) A probabilidade de que exatamente 5 pessoas sobrevivam.

d) A esperança.

e) A variância.



Solução: seja X o número de pessoas que sobreviverão

a) P X ≥ 10 = P X = 10 + P X = 11 +⋯+ P X = 15

Onde:

𝑝 𝑥 =𝑛𝑥

∙ 𝑝𝑥 ∙ (1 − 𝑝)𝑛;𝑥



Portanto

P x = 10 →1510

∙ 0,410 ∙ (0,6)5 = 0,0245

P x = 11 →1511

∙ 0,411 ∙ (0,6)4 = 7,42X10;3

P x = 12 →1512

∙ 0,412 ∙ (0,6)3 = 1,65X10;3

P x = 13 →1513

∙ 0,413 ∙ (0,6)2 = 2,54X10;3

P x = 14 →1514

∙ 0,414 ∙ (0,6)1 = 2,42X10;5

P x = 15 →1515

∙ 0,415 ∙ (0,6)0 = 1,07X10;6

𝐩 𝐱 = 𝟎, 𝟎𝟑𝟔𝟏 ≡ 𝟑, 𝟔𝟏%




b) 𝑃 3 ≤ 𝑋 ≤ 8 = 𝑃(𝑋 ≤ 8) − 𝑃(𝑋 ≤ 3) →

P X = 8 + P X = 7 +⋯+ P X = 3 + P X = 2 + P X = 1 +P X = 0 − ,P X = 3 + P X = 2 + P X = 1 + P X = 0 -

Modelos de Distribuição Discreta Distribuição Binomial

Portanto

𝑃 3 ≤ 𝑋 ≤ 8 = P X = 8 + P X = 7 + 𝑃 𝑋 = 6 + 𝑃 𝑋 = 5 + 𝑃 𝑋 = 4

Onde:

P x = 8 →158

∙ 0,48 ∙ (0,6)7 = 0,12 P x = 7 →157

∙ 0,47 ∙ (0,6)8 = 0,18

P x = 6 →156

∙ 0,46 ∙ (0,6)9 = 0,21 P x = 5 →155

∙ 0,45 ∙ (0,6)10 = 0,19

P x = 4 →154

∙ 0,44 ∙ (0,6)11 = 0,13

𝐩 𝐱 = 𝟎, 𝟖𝟑 ≡ 𝟖𝟑%




c) p x = P X = 5 →

155

0,45 ∙ 0,610 = 𝟎, 𝟏𝟖𝟔 ≡ 𝟏𝟖, 𝟔%



d)

𝐸 𝑋 = 𝑛 ∙ 𝑝 → 15 ∙ 0,4 = 𝟔 pessoas

e)

𝑉 𝑋 = 𝑛. 𝑝 1 − 𝑝 → 15 ∙ 0,4 1 − 0,4 = 𝟑, 𝟔 𝐩𝐞𝐬𝐬𝐨𝐚𝐬𝟐


Distribuição Hipergeométrica

A distribuição hipergeométrica não necessita de independência e

se baseia na amostragem feita sem reposição.

O número X de sucessos de um experimento hipergeométrico é

chamado de variável aleatória hipergeométrica.



A distribuição de probabilidade de uma variável hipergeométrica é chamada de distribuição hipergeométrica, onde seus valores são denotados por (x, N, n, r).

Onde:

N: O número de itens na população.

r: O número de itens na população que são classificados como sucessos.

n: O número de itens na amostra.

X: O número de itens na amostra que são classificados como sucesso.






𝒑 𝒙 =

𝒓𝒙

∙𝑵 − 𝒓𝒏 − 𝒙𝑵𝒏

,𝑥 = 0,1, … ,min 𝑟, 𝑛 -




𝑭 𝒙 =

𝒓𝒙

𝑵 − 𝒓𝒏 − 𝒙𝑵𝒏

𝒙

𝒊<𝟎



Esperança E(x)

𝑬 𝑿 = 𝒏 ∙ 𝒑

Variância V(X)

𝑽 𝑿 = 𝒏 ∙ 𝒑 ∙ (𝟏 − 𝒑) ∙𝑵 − 𝒏

𝑵 − 𝟏

Onde:

𝒑 =𝒓

𝑵


Distribuição Hipergeométrica Exemplo 6. (BARBETTA, pg 133) Placas de vidro são expedidas em lotes de 30 unidades. Antes que a remessa seja aprovada, um inspetor escolhe aleatoriamente 5 placas do lote e as inspeciona. Se nenhuma das placas for defeituosa, o lote é aprovado. Se uma ou mais forem defeituosas, todo lote é inspecionado. Supondo que haja 3 placas defeituosas no lote:

a) Qual é a probabilidade de que o controle da qualidade aponte para a inspeção total?

b) Encontre a esperança e variância.

Modelos de Distribuição Discreta Distribuição Hipergeométrica

Solução: Seja X o número de placas defeituosas na amostra.

𝑃 𝑋 ≥ 1 = 1 − 𝑃(𝑋 = 0),

então:

a) p X = p 0 →30∙30;35;0305

=80,730

142,506= 𝟎, 𝟓𝟔𝟔𝟓

Logo, P X ≥ 1 = 1 − 0,5665 = 𝟎, 𝟒𝟑𝟑𝟓 ≡ 𝟒𝟑, 𝟑𝟓%



b)

E X = n ∙ p → 5 ∙ 0,1 = 𝟎, 𝟓 𝐩𝐥𝐚𝐜𝐚𝐬 𝐝𝐞 𝐯í𝐝𝐞𝐨𝐬

V X = n ∙ p ∙ 1 − p ∙N;n

N;1→ 5 ∙ 0,1 ∙ 0,9 ∙ 0,86 𝟎, 𝟑𝟗 𝐩𝐥𝐚𝐜𝐚𝐬 𝐝𝐞 𝐯í𝐝𝐞𝐨𝐬𝟐



Exemplo 7. No fichário de um hospital, estão arquivados os prontuários

de 20 pacientes, que deram entrada no PS apresentando algum problema

cardíaco. Destes 5 sofreram infarto. Retirando‐se uma amostra ao acaso

de 3 destes prontuários, qual a probabilidade de que dois deles sejam de

pacientes que sofreram infarto?



Solução:

N = 20; r = 5; n = 3; x = 2

p X =

52

∙20 − 53 − 2203

=150

1140= 𝟎, 𝟏𝟑𝟏 ≡ 𝟏𝟑, 𝟏%


Distribuição de Poisson

Propriedades

1- O número de resultados que ocorrem em um intervalo de tempo

ou em uma região específica é independente do número de

resultados que ocorre em outro intervalo de tempo disjunto ou

região do espaço disjunta – Processo de Poisson não tem

memória.



Propriedades

2- A probabilidade de que um único resultado ocorrerá durante

um breve intervalo de tempo ou em uma região pequena é

proporcional à extensão do intervalo de tempo ou ao tamanho

da região, e não depende do número de resultados que ocorrem

fora desse intervalo de tempo ou dessa região.



Propriedades

3- A probabilidade de que mais de um resultado ocorrerá em um

intervalo de tempo muito breve ou em uma região muito pequena é

desprezível.



A distribuição de Poisson é empregada quando se está interessado no número de sucessos ocorridos durante um intervalo contínuo (tempo, espaço, etc...). Exemplos:

Carros que passam por um cruzamento por minuto, durante certa hora do dia;

O número de suicídios ocorridos em uma cidade durante um ano;

Número de chegadas a um caixa automático de um banco durante um período de 15 minutos.

Modelos de Distribuição Discreta Distribuição de Poisson

Uma variável aleatória X admite distribuição de Poisson se:

1. X = 0, 1, 2, … (não tem limites)

2. P X = x =e−λλ

x

x!, x = 0, 1, 2, … n.

3. E X = μ = λ

4. V X = σ2 = λ

Modelos de Distribuição Discreta Distribuição de Poisson – Uma justificativa

X= número de ocorrência em [t, t+1]

n = intervalos de amplitude 1/n

p = probabilidade de ocorrência em cada intervalo

𝑷 𝑿 = 𝒙 ≈𝒏𝒙

∙ 𝒑𝒙 ∙ 𝟏 − 𝒑 𝒏;𝒙

𝒏 → ∞

𝒑 → 𝟎

𝒏 𝒑 → λ >0




𝒑 𝒙 =𝒆;λ λ𝒙

𝒙! 𝑥 = 0, 1, 2…




𝑭 𝒙 = λ𝒊 𝒆λ

𝒊!

𝒙

𝒊<𝟎

para x = 0,1,2…



Esperança E(x)

𝑬 X = λ

Variância V(X)

𝑽 X = λ

Onde:

𝑬 X = 𝑽 X = λ



Exemplo 8. (BARBETTA, pg. 135) Supondo que as consultas em

um banco de dados ocorrem de forma independentes e aleatórias,

com uma taxa média de 3 consultas por minuto. Calcule a

probabilidade de que no próximo minuto ocorram menos do que 3

consultas.



Solução: Seja X o número de consultas por minuto.

p x = P X < 3 = p 0 + p 1 + p(2) →

𝑒;3 30

0!+𝑒;3 31

1!+𝑒;3 32

2!= 𝟎, 𝟒𝟐𝟑𝟐 ≡ 𝟒𝟐, 𝟑𝟐%

Variável Aleatória Contínua


Teorema 1: Suponha que X é uma variável aleatória contínua, com

distribuição de probabilidade 𝑓 𝑥 . Definindo 𝑌 = 𝑢 𝑥 a

correspondência um a um entre os valores de X e Y, desse modo a

equação 𝑦 = 𝑢 𝑥 pode ser unicamente resolvida para 𝑥 em

função de 𝑦, ou seja, 𝑥 = 𝑤 𝑦 .

Portanto a distribuição de probabilidade de Y é

𝒈 𝒚 = 𝒇 𝒘(𝒚) |𝑱|

Onde 𝐽 = 𝑤` 𝑦 e é chamado de jacobiano da transformação.


Teorema 2: Seja 𝑋1 e 𝑋2 variáveis aleatórias contínuas, com distribuição

de probabilidade conjunta 𝑓 𝑥1, 𝑥2 . Considerando 𝑌1 = 𝑢1 𝑋1, 𝑋2 e

𝑌2 = 𝑢2(𝑋1, 𝑋2) uma transformação um a um entre os pontos 𝑥1, 𝑥2 e

𝑦1, 𝑦2 . Então a equação 𝑦1 = 𝑢1 𝑥1, 𝑥2 e 𝑦2 = 𝑢2(𝑥1, 𝑥2) pode ser

unicamente resolvida para 𝑥1 e 𝑥2 em função de 𝑦1 e 𝑦2.

Onde 𝑥1 = 𝑤1(𝑦1, 𝑦2) e 𝑥2 = 𝑤2(𝑦1, 𝑦2)

Portanto a distribuição de probabilidade conjunta de 𝑌1 e 𝑌2 é

𝒈 = 𝒚𝟏, 𝒚𝟐 = 𝒇 𝒘𝟏 𝒚𝟏, 𝒚𝟐 , 𝒘𝟐(𝒚𝟏, 𝒚𝟐 𝑱

Sendo 𝐽 o determinante 2x2

Variável Aleatória Contínua – Função

Densidade de Probabilidade

As probabilidades de eventos associados a uma variável aleatória contínua X

podem ser calculados pela função de densidade de probabilidade (f), que se

define como uma função 𝑓: 𝐼𝑅 → 𝐼𝑅 integrável que deve satisfazer duas

propriedades.

a) 𝒇 𝒙 ≥ 𝟎, ∀𝒙 ∈ ℜ

b) 𝒇 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟏:∞

;∞

Se A = [a, b], então

𝐏 𝐀 = 𝒇 𝒙 𝒅𝒙𝒃

𝒂



Onde



Exemplo 9. (BARBETTA, pg 144) Seja a variável aleatória T

definida como o tempo de resposta na consulta a um banco de

dados, em minutos. Suponha que essa variável aleatória tenha a

seguinte função densidade de probabilidade:

𝑓 𝑡 = 2𝑒;2𝑡 , para t ≥ 00, para t < 0

Calcule a probabilidade de a resposta demorar mais do que 3

minutos P(T > 3)



Solução

𝑃 𝑇 > 3 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 2𝑒;2𝑡𝑑𝑡 →:∞

3

:∞

3

2 −1

2𝑒;2𝑡

3

:∞

= 0 + 𝑒;2 3 = 𝒆;𝟔



Por definição

𝐹 𝒙 = 𝑷 𝑿 ≤ 𝒙 = 𝒇 𝒔 𝒅𝒔, ∀𝒙 ∈ ℜ𝒙

;∞



Exemplo 10. (BARBETTA, pg 144) Considere a função de

densidade de probabilidade do exemplo 9:

𝑓 𝑡 = 2𝑒;2𝑡 , para t ≥ 00, para t < 0

Solução: como a expressão matemática se altera no ponto zero,

deve-se então considerar os dois seguintes casos:



Para t < 0, F 𝑡 = 𝑓 𝑠 𝑑𝑠 = 0𝑑𝑠 = 0𝑡

;∞

𝑡

;∞

Para t ≥ 0, F 𝑡 = 𝑓 𝑠 𝑑𝑠 = 0𝑑𝑠 = 0 +𝑡

;∞

𝑡

;∞−𝑒;2𝑠 0

𝑡 = 1 −𝑒;2𝑡

Dessa forma a função da distribuição acumulada da variável aleatória T é dada por:

𝑭 𝒕 = 𝟏 − 𝒆;𝟐𝒕, 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐭 ≥ 𝟎𝟎, 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐭 < 𝟎

Variável Aleatória Contínua – Valor

esperado e Variância

Valor esperado:

μ = 𝑬 𝑿 = 𝒙𝒇 𝒙 𝒅𝒙:∞

;∞

Variância:

σ 𝟐 = 𝑽 𝑿 = (𝒙 − μ)𝟐𝒇 𝒙 𝒅𝒙:∞

;∞

ou

𝑽 𝑿 = 𝑬(𝑿𝟐) − μ𝟐 Onde 𝑬(𝑿𝟐) = 𝒙𝟐𝒇 𝒙 𝒅𝒙:∞

;∞

Modelos de Distribuição Contínua

Distribuição uniforme

Essa distribuição é caracterizada por uma função de

densidade que é “plana” e, portanto, a probabilidade é

uniforme em um intervalo fechado.

exemplo:



Função de densidade de probabilidade f(x)

𝒇 𝒙 =

𝟏

𝜷 − 𝜶, 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐱 ∈ ,𝛂, 𝛃-

𝟎, 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐱 ∉ ,𝛂, 𝛃-






Função de distribuição acumulada F(x)

𝑭 𝒙 =

𝟎, 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝒙 < 𝜶𝒙 − 𝜶

𝜷 − 𝜶 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝛂 ≤ 𝒙 < 𝜷

𝟏 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝒙 ≥ 𝜷






Esperança E(x)

𝑬 𝑿 =𝜶 + 𝜷

𝟐

Variância V(X)

𝑽 𝑿 =(𝜷;𝜶)𝟐

𝟏𝟐



Exemplo 11. ( WALPOLE) Uma grande sala de conferências

usada por certa empresa não pode ficar reservada por mais do que

4 hora. No entanto o uso da sala é tal que conferências longas e

curtas ocorrem com muita frequência, então pode-se assumir que

a duração X de uma conferência tem distribuição uniforme no

intervalo [0,4].

a) Qual é a função de densidade de probabilidade?

b) Qual é a esperança e a variância?



Solução:

a) f x = 1

4 0 ≤ x ≥ 4

0, caso contrário

b) E X = μ = 𝟐 𝐜𝐨𝐧𝐟𝐞𝐫ê𝐧𝐜𝐢𝐚𝐬

V X = 𝜎2 =16

12=

𝟒

𝟑𝐜𝐨𝐧𝐟𝐞𝐫ê𝐧𝐜𝐢𝐚𝐬𝟐

𝐷𝑃 𝑋 = 𝟏, 𝟏𝟓 conferências


Distribuição exponencial

A distribuição exponencial descreve processos em que:

Interessa saber o tempo até que ocorra determinado evento.

O tempo que possa ocorrer desde qualquer instante dado t, até

que isso ocorra em um instante 𝑡𝑓 , não depende do tempo

transcorrido anteriormente no qual não ocorreu nada.



Exemplos:

O tempo que pode transcorrer em um serviço de urgências, para a chegada de um paciente;

O tempo (em minutos) até a próxima consulta a uma base de dados;

O tempo (em segundos) entre pedidos a um servidor;

O tempo (em metros) entre defeitos de uma fita.



Função de densidade de probabilidade f(t)

𝒇 𝒕 =𝒅

𝒅𝒕𝑭 𝒕 = λ𝒆;λ𝒕, 𝐭 > 𝟎



Representação gráfica da função de densidade de probabilidade

de uma variável aleatória com distribuição exponencial.



Função de distribuição acumulada F(t)

𝑭 𝒕 = 𝑷 𝑻 ≤ 𝒕 = 𝟏 − 𝒆−λ𝒕



Esperança E(T)

𝑬 𝑻 =𝟏

λ

Variância V(T)

𝑽 𝑻 =𝟏

λ𝟐



Exemplo 12. (BARBETTA, pg 152) O tempo de vida (em horas) de

um transistor é uma variável aleatória T com distribuição

exponencial. O tempo médio de vida do transistor é de 500 horas.

a) Encontre a esperança e variância.

b) Calcule a probabilidade de o transistor durar mais do que 500

horas.



a)

E T = 𝜇 → 500 =1

λ= 𝟐𝐗𝟏𝟎;𝟑𝐡𝐨𝐫𝐚𝐬

V T = 𝜎2 → 500 =1

λ2= 𝟎, 𝟎𝟒𝟒𝟕 𝐡𝐨𝐫𝐚𝐬𝟐

DP T = 𝟎, 𝟐𝟏𝟏 𝐡𝐨𝐫𝐚𝐬



Solução

b)

P T > 500 = 1 − P T ≤ 500 →

F 500 = 1 − 𝑒;1 = 𝟎, 𝟔𝟑𝟐 ≡ 𝟔𝟑, 𝟐%


Distribuição Normal

Uma distribuição normal é caracterizada por uma função de

probabilidade cujo gráfico descreve uma curva em forma de sino.

Essa forma de distribuição evidencia que há maior probabilidade

de a variável aleatória assumir valores próximos do centro.




𝒇 𝒙 =𝟏

𝝈 𝟐𝝅∙ 𝒆

;𝟏𝟐𝒙;𝝁𝝈

𝟐

, ∀ 𝑥 𝜖 𝐼ℜ



Representação gráfica da função de densidade de probabilidade

normal e indicação dos parâmetros 𝜇 e 𝜎.




𝑭 𝒙 = 𝑷 𝑿 ≤ 𝒙 = 𝒇 𝒕 𝒅𝒕𝒙𝒊

;∞



Esperança E(X)

𝑬 𝑿 = 𝝁

Variância V(X)

𝑽 𝑿 = 𝝈𝟐



Diferentes distribuições normais em função dos parâmetros 𝜇 e 𝜎.


Distribuição Normal Padrão

Distribuição normal de z:

normal padrão

Distribuição de X:

Normal com 𝜇 = 170 e 𝜎 = 10


Tabela de distribuição normal padrão



Exemplo 13. (BARBETTA, pg 156) Seja Z uma variável

aleatória com distribuição normal padrão. Pela tabela

de distribuição normal padrão, encontre a probabilidade

de 𝑃 −0,42 < 𝑍 < 0,42 .


Distribuição Normal Padrão

Solução

Então,

𝑃 −0,42 < 𝑍 < 0,42 = 1 − 2 ∙ 0,3372 = 𝟎, 𝟑𝟐𝟓𝟔 ≡ 𝟑𝟐, 𝟓𝟔%



Exemplo 14. (BARBETTA, pg 159) Suponha que o tempo de

resposta na execução de um algoritmo é uma variável aleatória

com distribuição normal de média 23 segundos e desvio padrão de

4 segundos. Calcule a probabilidade de o tempo de resposta ser

menor do que 25 segundos.



Solução

𝑍 =𝑥 − 𝜇

𝜎→ 𝑍 =

25 − 32

4= 0,5

P ≤ 25 = P Z ≤ 0,5 → 1 − 0,3085 = 𝟎, 𝟔𝟗𝟏𝟓 ≡ 𝟕𝟎%


Aproximação normal à binomial

Uma variável aleatória discreta com distribuição

binomial, pode aproximar-se de uma distribuição

normal, se:

n é suficientemente grande;

p não está muito próximo nem a 0 e nem a 1.



Os parâmetros da distribuição normal devem-se

identificar ao valor esperado e ao desvio padrão do

modelo binomial.

𝝁 = 𝒏𝒑

𝝈 𝒏𝒑(𝟏 − 𝒑





Exemplo 15. (BARBETTA, pg 160) Historicamente,

10% dos pisos cerâmicos, que saem de uma linha de

produção, têm algum defeito leve. Se a produção diária

é de 1000 unidades, qual é a probabilidade de ocorrer

mais de 120 itens defeituosos?

Modelos de Distribuição Contínua Verificando os parâmetros 𝜇 e 𝜎

𝜇 = 1000 ∙ 0,1 = 100

𝜎 = 1000 ∙ (0,1) ∙ (0,9) = 90

Considerando então X uma variável aleatória normal com média 𝜇 = 100 e variância 𝜎2 = 90.

Logo 𝑧 =120;100

90= 2,11

Assim, P 𝑋 > 120 = 𝑃 𝑍 > 2,11 = 𝟎, 𝟎𝟏𝟕𝟒 ≡ 𝟏, 𝟕𝟒%


Exemplo 16. Qual é a probabilidade de mais de 6 caras em 10

lançamentos de uma moeda “honesta”?

Pela binomial

𝐩 𝒙 =𝟏𝟎𝒙

∙ (𝟎, 𝟓)𝒙∙ (𝟎, 𝟓)𝟏𝟎;𝒙

P X > 6 = p 7 + p 8 + p 9 + p 10 = 𝟎, 𝟏𝟕𝟐 ≡ 𝟏𝟕, 𝟐%



Exemplo 16. Pela normal


Aproximação normal à Poisson

A aproximação de Poisson se aproxima da normal quando λ é

grande, como o valor esperado e a variância de uma Poisson são

ambos iguais a λ, então, na aproximação normal:

𝝁 = λ

𝝈 = λ


Aproximação normal à Poisson

Distribuição de Poisson para diferentes valores de λ

λ=1

λ=5

λ=20


Gráfico de probabilidade normal

O gráfico de probabilidade normal é adequado para

verificar a suposição de um modelo normal para

determinados dados.



Exemplo 18. (BARBETTA, pg 165) Considerando 5 observações (74,0;

74,4; 74,7; 74,8; 75,9)

Então:



Exemplo 19. (BARBETTA, pg 166) Gráfico com 40 observações, com

distribuição normal



Exemplo 20. (BARBETTA, pg 166) Gráfico com 40 observações, com

distribuição normal, mas com o efeito de um valor discrepante.

Referências

BARBETTA, P. A. REIS, M. M. BORNIA, A. C. Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. 3ª Edição. Atlas S.A. São Paulo - SP, 2010.

COLCHER, Sérgio. Algumas Distribuições Discretas. Disponível em:

<http://www.inf.pucrio.br/~inf2511/inf2511_files/menu/material/transparencias/07-Distribuicoes.pdf>. Acesso em: 17 de Outubro de 2013.

DÍAZ, F. R. LÓPEZ, F. J. B. Bioestatística. Thonson. São Paulo – SP, 2007.

MEYER, P. L. Probabilidade: Aplicação à estatística. 2ª Edição. LTC. Rio de Janeiro – RJ, 2012.

WALPOLE, R. E. et. al. Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências. 8ª Edição. Pearson. São Paulo – SP, 2009.

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PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA DISTRIBUIÇÕES DE …paginapessoal.utfpr.edu.br/sheilaro/probabilidade-e-estatistica/... · n é o número de ensaios independentes; e P (sucesso) =