3.1 Introdução - paginapessoal.utfpr.edu.br

Capítulo 3 SISTEMA EM POR UNIDADE

3.1 Introdução Em muitas aplicações na engenharia é útil escalar, ou normalizar, quantidades com dimensão tornando-as adimensionais. Vários componentes físicos do sistema têm diferentes valores nominais. Torna-se conveniente, portanto, obter a representação do sistema com uma base comum. O sistema por unidade permite uma pronta combinação dos elementos de circuito de um sistema, em que estão presentes diferentes níveis de tensão, sem a necessidade de converter impedâncias cada vez que se deseja uma resposta em um diferente nível de tensão. Quando um equipamento elétrico, por exemplo, uma máquina elétrica ou um transformador, é analisado usando as grandezas exatas ou dimensionais de seus parâmetros, não fica imediatamente evidente o seu desempenho quando comparado a seu similar projetado para diferente tensão e potência nominal. Entretanto, se tais parâmetros forem expressos em relação a valores de base pré-especificados, e em geral aos valores nominais do próprio equipamento, as comparações entre equipamentos de mesma natureza podem ser estabelecidas. Por exemplo, quando é dito que o enrolamento primário de um transformador é 10Ω, este valor de resistência pode ser muito alto para um transformador ou muito baixo para um outro transformador. No entanto, se é dito que a resistência de primário é 0,1pu, significa que a queda de tensão na resistência para a corrente nominal será de 10% da tensão nominal. Este resultado tem significado independente da tensão e correntes nominais do transformador. Historicamente, nos Sistemas Elétricos de Potência a normalização das grandezas do sistema foi adotada para simplificar os cálculos numéricos. O uso de computadores digitais embora tenha resolvido o

Profa Ruth Leão Email: [email protected]

3-2

problema com o volume de cálculos não fez cair a representação do sistema ‘por unidade’. Uma grandeza expressa em pu (por unidade) é definida como:

p.u. = Valor Valor Base

Dimensional (3.1)

O valor dimensional refere-se ao valor real da grandeza. Este valor real depende das condições operacionais. O valor de base tem a mesma dimensão do valor dimensional. Características do sistema pu:

Grandeza adimensional. Valor dimensional pode ser complexo. Valor base é sempre um número real. Ângulo da grandeza complexa não é normalizado.

Vantagens do Sistema Por Unidade - PU Normaliza ou referencia as grandezas com dimensão. Os equipamentos podem variar largamente em tamanho e suas

perdas e queda de tensão também variarão consideravelmente. Porém, para equipamentos de mesma natureza, as perdas e queda de tensão em pu estão na mesma ordem de grandeza independente do tamanho do equipamento.

Torna possível a comparação de desempenho entre equipamentos. Os parâmetros dos equipamentos expressos em pu tendem a

situar-se em uma faixa estreita de valores, tornando os erros mais evidentes.

Elimina os enrolamentos de um transformador ideal quando a relação entre as tensões de base é igual à relação entre as tensões nominais dos enrolamentos de primário e secundário.

O uso do fator √3 é eliminado nas relações entre tensão de linha e de fase, e na definição de potência trifásica.

O fator 3 é eliminado na equivalência de cargas em Y e Δ, e na relação entre potência trifásica e monofásica.

O circuito trifásico é analisado como um circuito monofásico.


3-3

Nos sistemas elétricos de potência para expressar os parâmetros de um equipamento em valores normalizados ou em pu, os valores de referência ou valores de base devem ser inicialmente selecionados. Na escolha dos valores de base, os valores nominais do equipamento são normalmente escolhidos como referência. Com base na relação |S| = |V|.|I|, não importa se para valores de base são selecionadas tensão nominal e corrente nominal, ou tensão nominal e potência nominal, ou corrente nominal e potência nominal. Uma vez escolhidos dois valores de base, os demais serão determinados em função dos dois primeiros. É comum ter como valores de base a tensão nominal em kV e a potência aparente nominal em kVA ou MVA, por serem estas duas grandezas, na sua grande maioria, disponibilizadas pelos fabricantes de equipamentos ao usuário. Os sistemas de transmissão e várias partes do sistema de distribuição operam com tensões em nível de quilo volts (kV). Isto resulta em grandes quantidades de potência sendo transmitida, na faixa entre kVA e MVA. Por isso, é interessante tomar como valores de base grandezas elétricas com grandes valores. Em se tratando de um sistema, com diversos equipamentos de diferentes valores nominais, os valores de base podem ser selecionados arbitrariamente.

A tensão Vb pode ser selecionada “arbitrariamente”, mas em geral coincide com o valor nominal de um dos lados, primário ou secundário, de um transformador que compõe o sistema. Ex.: 13,8kV, 69kV, 138kV, 230kV, etc.

A potência aparente de base, Sb, é escolhida arbitrariamente, e em geral com um valor múltiplo de 10. Ex.: 1MVA, 10 MVA, 100 MVA.

Se Vb e Sb são tensão e potência de base, a corrente e impedância de base são obtidas, respectivamente, por:


3-4

b

bb V

SI = (3.2)

e

b

2b

b

bb S

VIV

Z == (3.3)

A impedância em pu é dada por:

bbbbpu Z

XjZR

ZjXR

ZZZ ±=

±== (3.4)

Portanto, a resistência em pu é a relação entre resistência e impedância de base, e a reatância em pu é definida pela relação entre reatância e impedância de base. Vale lembrar que a impedância de base é uma grandeza real, portanto trata da magnitude da impedância. A potência complexa em pu é definida como:

bbbbpu S

QjSP

SjQP

SSS ±=

±== (3.5)

em que Sb é uma potência aparente. Note que a relação 3.4 e 3.5 não alteram o ângulo de fase da grandeza complexa. Problema 3.1 Considere uma fonte senoidal monofásica de 100 V em série com um resistor de 3 Ω, um indutor de 8 Ω e um capacitor de 4 Ω. a) Desenhe o diagrama unifilar do circuito representando suas

grandezas V e Z. b) Para valores de base Vb=100 V e Sb=500 VA, represente o circuito

equivalente monofásico do item (a) em pu. c) Qual a potência em cada componente do circuito? d) A partir dos valores em pu, obtenha as grandezas reais do circuito.


3-5

Problema 3.2 Uma carga consome 2 A a um fator de potência de 0,9 capacitivo quando conectada a uma fonte de 600V, 60Hz. Determine as grandezas atuais e em pu, V, I, S e Z, da carga para valores de base de 100 V e 1000 VA. 3.2 Sistema PU em Transformadores Monofásicos Para cada lado do transformador existe uma tensão de base, tensão de base de primário V1b e tensão de base de secundário V2b. As tensões de base entre primário e secundário, V1b/V2b, obedecem a relação de transformação do transformador, V1,Nom/V2,Nom. A potência aparente de base é a mesma para os dois lados do transformador.

Figura 3.1: Relação de Transformação em Transformador Monofásico. A grandeza “a“ representa a relação de transformação entre tensão de primário e tensão de secundário representadas pelos sub-índices 1 e 2 respectivamente1. A tensão em pu é dada por:

1 Observe que se “a” é a relação entre tensão de primário e secundário, para a>1 tem-se um transformador abaixador e para a<1 tem-se um transformador elevador. Há autores que expressam a relação de transformação de um trafo como sendo tensão de secundário pela tensão de primário. Neste caso, a>1 trata-se de trafo elevador e a<1 trafo abaixador.

V1 V2

N1 N2

V1 V2

a 1 :


3-6

b2

2

b1

1pu1

aVaVVVV

=

=

(3.6)

Portanto

V1pu = V2pu (3.7) Como visto no Capítulo 2, a impedância ôhmica de um transformador pode ser referenciada quer ao primário, quer ao secundário.

Figura 3.2 Circuito Equivalente Monofásico.

Quando a impedância é referida ao lado do secundário, tem-se:

2, 2 121

eqR R Ra

= + ⋅ (3.8)

e

2, 2 121

eqX X Xa

= + ⋅ (3.9)

De modo semelhante, quando a impedância é referida ao lado do primário tem-se:

21, 1 2eqR R a R= + ⋅ (3.10)

e 2

1, 1 2eqX X a X= + ⋅ (3.11) É também possível calcular a impedância equivalente do primário refletida no secundário como se segue:


3-7

( )

( )

2, 2, 1, 1,2

2 21 2 1 22

2 1 2 12 2

1

1

1 1

eq eq eq eqR jX R jXa

R a R jX j a Xa

R R j X Xa a

+ = +

= + + +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(3.12)

De modo semelhante, a impedância equivalente do secundário vista do primário é expressa como:

( )21, 1, 2, 2,eq eq eq eqR jX a R jX+ = + (3.13)

Pode-se então observar que a impedância equivalente de primário está relacionada com a impedância equivalente de secundário pela magnitude da relação de transformação ao quadrado. Para expressar a impedância de um transformador em p.u. é necessário calcular as impedâncias de base do transformador. Como regra, toma-se para potência aparente de base a potência aparente nominal do transformador. As tensões de base podem ser também as tensões nominais. Portanto, duas impedâncias de base serão calculadas: uma para o lado primário e outra para o secundário.

Z1b = b

2b1

SV

(3.14)

e

Z2b = b

2b2

SV

(3.15)

A relação entre as Eq.3.14 e 3.15 resulta em:


3-8

21 2

21 12

22 2

b

b b b

bb b

b

VZ S V a

VZ VS

⎛ ⎞= = =⎜ ⎟

⎝ ⎠

2

1 2b bZ a Z= ⋅ (3.16) As impedâncias em p.u. são calculadas dividindo-se a impedância equivalente do lado primário, Z1eq, e do lado secundário, Z2eq, pelas respectivas impedâncias de base, Z1b e Z2b.

b1

eq,1.u.p1 Z

ZZ = (3.17)

e

b2

eq,2.u.p2 Z

ZZ = (3.18)

A impedância Z2p.u., por exemplo, pode ser re-escrita:

1,2

2 . . 1 . .

1,2

1

1

eq

p u p u

b

Za

Z ZZ

a

= =⋅ (3.19)

A impedância em p.u. de um transformador é a mesma independente do lado do transformador. Quando a relação das tensões operativas de um transformador (V1/V2) é igual à relação de suas tensões de base (Vb,1/ Vb,2) que é igual à relação entre as tensões nominais (Vb,1/ Vb,2= VNOM,1/ VNOM,2), a relação de transformação “a” em p.u. torna-se:


3-9

1a1a

VV

VV

VV

VV

a1,b

2,b

2

1

2,b

2

1,b

1

.u.p =⋅=⋅== (3.20)

A relação de transformação é então 1:1. Isto é, quando o transformador opera com relação de espiras igual a nominal (N1:N2) a relação de transformação em pu é igual a 1. Neste caso, o circuito equivalente do transformador, sem considerar o ramo em derivação, no sistema em p.u. é mostrado na figura abaixo.

Fig.3.3: Circuito Equivalente em PU de Transformador Monofásico

Note que a relação de transformação foi eliminada, pois em pu a f.e.m. de primário é igual a f.e.m. de secundário. A diferença entre as tensões terminais V1pu e V2pu é dada pela queda de tensão provocada pela impedância equivalente em pu.. Exemplo 3.1 Considere um transformador monofásico com valores nominais de tensão de 220V/110V, operando em sua relação nominal de espiras (N1:N2). Se o transformador está com uma tensão no primário de 215 V, considerando que a tensão de base do primário é igual à tensão nominal de 220 V, determine: a) A relação de transformação nominal. b) A tensão de base do secundário. c) A tensão em pu de primário e secundário. d) A relação de transformação em p.u.


3-10

A relação de transformação do transformador é

a = 220/110 = 2 A tensão de base do secundário

V2b = (1/a)V1b = 220/2 = 110 V A tensão do primário em pu

V1pu = V1/V1b = 215/220 = 0,98 pu Note que é perceptível que a tensão de primário é 98% da nominal. A tensão do secundário em pu é obtida calculando-se em primeiro lugar a tensão atual do secundário sob a condição que o trafo opera na relação N1:N2, i.é.,

V2 = (1/a)V1 = 215/2 = 107,5V V2pu = V2/V2b = 107,5/110 = 0,98 pu

A relação "a" em pu é dada por

apu = (V1/V1b)/(V2/V2b) = (215/220)/(107,5/110) =1

Exemplo 3.2 Um transformador de 1,1kVA, 440/110 V, 60 Hz tem os seguintes parâmetros referidos ao primário: R1,eq=1,5Ω, X1,eq=2,5Ω, Rc=3000Ω, e Xm=2500Ω. O transformador quando em plena carga opera à tensão nominal, alimentando uma carga com um fator de potência de 0,707 atrasado. Determine para valores de base iguais aos nominais de Sb=1100VA e V2b=110 V: a) Os parâmetros em pu, R1,eq, X1,eq, Rc e Xm. b) A regulação de tensão. c) A eficiência do trafo.


3-11

A tensão de base no primário é:

' 11 2 2 2

2

440110 440110

NOM

b b b bNOM

VV V aV V VV⎛ ⎞

= = = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

Os valores de base das outras quantidades do transformador são:

I1b=Sb/V1b=1100/440=2,5A e

Z1b=V1b/I1b=440/2,5=176Ω ou simplesmente

Ω=== 1761100440

SVZ

2

b

2b1

b1

Os parâmetros equivalentes em pu são calculados como:

R 1eq,pu= 1,5/176=0,0085 pu X 1eq,pu= 2,5/176=0,0142 pu R 1c,pu= 3000/176=17,0455 pu X 1m,pu= 2500/176=14,2045 pu

Notar que as impedâncias do transformador quando expressas em pu independem do lado do transformador, i.é., a impedância em pu no primário é a mesma impedância em pu no secundário. Para verificação da afirmação considere a impedância equivalente de primário refletida para o secundário:


3-12

Ω+=+⋅=+ 625,0j375,0jXRa1jXR eq,1eq,12eq,2eq,2

A impedância de base do secundário é dada por:

Ω=⋅= 44Za1Z b12b2

A impedância equivalente em pu vista do secundário é então:

( ) ( )

( ) pu0142,0j0085,0625,0j375,0441

jXRZ1jXR eq,2eq,2

b2pueq,2eq,2

+=+=

+⋅=+

Como a tensão e corrente nominais são os valores de base, a tensão e corrente da carga em pu refletidas para o primário são:

V’1pu = 1,0∠0o pu I’1pu = 1,0∠-45o pu

em que –45o corresponde a um fator de potência de 0,707 indutivo. A corrente de excitação I0 é dada pela componente de corrente através do resistor mais a componente de corrente através da reatância de magnetização.

pu01067,580455,1701I 03

0

pu,C ∠×=∠

= −

pu901040,702045,14j01I 03

0

pu,m −∠×=∠

= −

e finalmente a corrente de excitação I0

I0,pu=IC,pu + jIm,pu = (58,67-j70,40)x10-3pu=91,64 x10-3∠-50,19o pu


3-13

A corrente I1pu é dada por: I1pu = I’1pu + I0pu= 1,0∠-450+ 91,64 x10-3∠-50,19o=1,09∠-45,410 pu A tensão aplicada V1pu é dada por: V1pu= V’1pu + (R1eq,pu +j X 1eq,pu)I1pu

=1∠0o+(0,0085+j0,0142)(1,09∠-45,410) = 1,02∠0,24º pu A tensão de primário V1 é 2% maior que a tensão nominal de primário para que a tensão no secundário se mantenha em seu valor nominal de 110 V. A tensão primária em Volts é

V1=V1b.V1pu=440. 1,02∠0,24o= 448,80∠0,24o V A regulação de tensão é:

100V

VV%RV

PC

PCvazio

×−

=

Em plena carga a tensão no secundário é de 110 V, para tanto a tensão no primário deve ser mantida em 448,80V. Em vazio, para uma tensão no primário de 448,8V a tensão corresponde no secundário é de 112,2V. Assim a regulação de tensão pode ser obtida a partir de valores dimensionais ou em pu:

( ) %2100102,1100110

1102,112%RV =×−=×−

=

ou

%21000,1

0,102,1%RV =×−

=

Se ao invés de tensão no lado do secundário a regulação for calculada para valores de tensão no primário nas condições em vazio e plena carga, tem-se:


3-14

( ) %2100102,1100440

44080,448%RV =×−=×−

=

A eficiência do transformador é calculada pela relação entre perdas e potência de entrada, i.é.,

inin

in

in

outP

Perdas1PPerdasP

PP

−=−

==η

A potência útil de entrada em pu é dada por

Pin,pu=V1pu.I1,pu.cosθ portanto

Pin,pu=V1pu.Iin,pu.cosθ=1,02x1,09.cos(0,24o+45,41o)= 0,78 pu As perdas ativas no núcleo

Pc,pu=Rc,puIc,pu2=17,0455x(58,67x10-3)2=0,059 pu

As perdas ativas de enrolamento representadas pela resistência equivalente de primário:

Penr,pu=R1eq,pu.(I1pu)2=0,0085x(1,09)2=0,010 pu A perda total

Pt = Pc + Penr = 0,059 + 0,010= 0,069 O rendimento do transformador é então de:

912,078,0

069,01 =−=η ou 91,2%


3-15

3.3 Mudança de Base de Valores em PU Em muitas circunstâncias, a impedância em pu de um componente do sistema elétrico é especificada com relação aos valores nominais do próprio componente, os quais podem diferir dos valores de base selecionados para a parte do sistema onde o componente está inserido. No entanto, para proceder a análise de um sistema, faz-se necessário que todas as impedâncias em qualquer parte do sistema sejam expressas em uma mesma base. Como resultado é necessário converter os valores em pu, expressos em relação a uma base dita “velha”, para uma base comum a todo sistema dita “nova”. No processo de conversão de uma impedância em pu da base velha para a base nova, tem-se em primeiro momento que:

[ ]( )[ ]MVA S

kV VZ

oldb

2oldbold

b = (3.21)

e

[ ]( )[ ]MVA S

kV VZ

newb

2newbnew

b = (3.22)

A impedância em seu valor dimensional Z é obtida por:

[ ] [ ]( )[ ]MVA S

kV VZ Z oldb

2oldbold

pu ⋅=Ω (3.23)

A mudança para a nova base Zpu

new:

( )[ ]( )[ ]

[ ][ ]( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

⋅⋅=⋅=

MVA MVA

kV kVZ

kV VMVA S

MVA SkV VZ

VSZZ

oldb

newb

2

newb

oldbold

pu

2newb

newb

oldb

2oldbold

pu2newb

newbnew

pu

(3.24)


3-16

Na mudança de base de impedância de um transformador, é importante notar que é indiferente se se usa tensões de primário ou tensões de secundário na relação de tensões, contanto que se Vb

OLD é de primário, Vb

NEW deverá ser de primário, ou se VbOLD é de

secundário, VbNEW deverá ser de secundário.

Em sistemas trifásicos, é indiferente se se usa potências monofásicas ou potências trifásicas, conquanto que as potências nova e velha sejam do mesmo tipo, quer monofásicas, ou quer trifásicas. Ainda em sistemas trifásicos pode-se usar quer tensões de linha, quer tensões de fase contanto que as tensões velha e nova sejam do mesmo tipo. Exemplo 3.3 Considere o sistema mostrado na figura abaixo em que dois transformadores monofásicos alimentam uma carga resistiva de 10kVA, a tensão na carga sendo mantida a 200 V. Determine o circuito equivalente em pu considerando uma potência de base de 10kVA. No circuito apresentado há três níveis de tensão envolvidos: 100 V no segmento A, 400 V em B e 200 V em C. Para cada segmento do circuito deverá ser obtida uma tensão de base. Embora não seja essencial que as tensões nominais sejam usadas como base, é essencial que as tensões de base estejam relacionadas pela relação de tensões nominais.

C A

200V

100:400V X=0,1pu 15kVA

~

400:200V X=0,15pu

15kVA

Vs B

T1 T2


3-17

Se a tensão do segmento A é tomada como tensão de base, Vb,A=100 V, então as tensões de base dos segmentos B e C são:

V4001004VVVV

a1V A,b

1T1

2A,b

1TB,b =×=⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⋅=

V2004005,0VVVV

a1V B,b

2T1

2B,b

2TC,b =×=⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⋅=

Para uma potência de base igual a Sb=10 kVA, as reatância dos transformadores 1 e 2 devem ser transformadas para os novos valores de base, i.e.:

pu0667,01510

4004001,0

1510

1001001,0

SS

VV

XX

2

2

OLD,b

NEW,b

2

NEW,b

OLD,bOLDpu,1Tpu,1T

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

pu1,01510

10010015,0

1510

40040015,0X

2

2

pu,2T

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

A impedância da carga é dada por:

2200 410.000LZ = = Ω

A impedância de base em C é dada por:

Ω== 4000.10

200Z2

C,b


3-18

A resistência da carga em pu:

pu144

ZRR

C,bpu,L ===

O circuito equivalente em pu é mostrado a seguir: A tensão na carga é 1,0∠0o pu uma vez que a tensão na carga é igual à tensão de base em C. Qual o valor da tensão Vs?

S LV jX I V= ⋅ + Se a resistência da carga é igual 1,0 pu e a tensão na carga também igual 1,0∠0o pu, a corrente então é de 1,0∠0o pu. Assim, a tensão Vs é dada por:

Vs=(0,1667∠90o x 1,0∠0o) + 1,0∠0o =1,014∠9,4810opu ou

Vs=(1+0,1667∠90o). 1,0∠0o=1,014∠9,4810opu A tensão Vs em volts:

VVVV Abpuss 5,94,1011005,9014,1,, ∠=×∠=⋅=

Se a potência de base escolhida fosse de 15kVA, mantida as mesmas tensões de base, as reatâncias de dispersão dos transformadores T1 e T2 não sofreriam alteração, mas apenas a resistência da carga que passaria a ser de:

VS VL=1∠0opu

j0,0667pu j0,1pu

RL=1,0pu

T1 T2


3-19

( ) [ ]22

,, 3

2002,67

15 10b C

b Cb

VZ

S= = = Ω

×

,4 1,5

2,67L puZ = =

Neste caso, a corrente no circuito em pu é igual a:

[ ],,

,

1,0 0 0,67 01,5 0

L puL pu

L pu

VI pu

Z∠

= = = ∠∠

e a tensão VS igual a:

Vs=(0,25∠90o x 0,67∠0o) + 1,0∠0o =1,014∠9,4810o pu A tensão Vs em volts:

VVVV Abpuss 5,94,1011005,9014,1,, ∠=×∠=⋅=

Se a tensão de base escolhida fosse de 500 V para o segmento B do circuito e a potência de base 10kVA, ter-se-ia que as reatâncias dos transformadores para os novos valores de base seriam:

pu0427,01510

1251001,0

1510

5004001,0

SS

VV

XX

2

2

OLD,b

NEW,b

2

NEW,b

OLD,bOLDpu,1Tpu,1T

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=


3-20

pu064,01510

25020015,0

1510

50040015,0X

2

2

pu,2T

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Independente qual seja os valores de base selecionados, a impedância em pu de T1 é menor que a de T2. A tensão de entrada Vs,pu:

( ), 1, 2, , ,s pu T pu T pu L pu L puV j X X I V= + + A tensão da carga em pu:

,, ,

2

200 0 200 0 0,8 01 500 2502

L LL pu

b C b BT

V VV puV Va

∠ ∠= = = = = ∠

⋅

A corrente em pu da carga:

,,

,

1 0 1, 25 00,8 0

L puL pu

L pu

SI pu

V

∗⎛ ⎞ ∠

= = = ∠⎜ ⎟⎜ ⎟ ∠⎝ ⎠

Então, Vs,pu:

( )pu

jjV pus

5,981,008,090134,008,0025,190107,0

08,0025,1064,0043,0,

∠=∠+∠=∠+∠⋅∠=

∠+∠+=

O valor da tensão Vs em volts é simplesmente:

VVVV Abpuss 025,10112581,05004001005,981,0,, ∠=×=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ××∠=⋅=

O mesmo circuito pode ser analisado para obtenção de VS, utilizando-se valores dimensionais. As correntes e tensões obtidas a partir da


3-21

condição de operação da carga devem ser refletidas para o primário de T1, levando-se em consideração as relações de transformação existentes entre fonte e carga, bem como as impedâncias. O volume de cálculo, neste caso, seria maior.

3.4 Sistema PU em Circuitos Trifásicos Equilibrados a) Tensão Tensão linha-neutro em pu:

bLN

LNpuLN V

VV,

, = (3.25)

Tensão linha-linha em pu:

bLL

LLpuLL V

VV,

, = (3.26)

A relação entre as tensões de base de linha-linha e linha-neutro é dada por:

3,

,bLL

bLN

VV = (3.27)

Substituindo em VLNpu os valores de linha-neutro por valores de linha-linha tem-se:

30

3

303

,

,,

−∠=

−∠=

bLL

LL

bLL

LL

puLN

VVV

V

V

(3.28)

Portanto 30,, −∠= puLLpuLN VV (3.29)

Em um sistema trifásico equilibrado, a tensão de fase em pu difere da tensão de linha em pu apenas na abertura angular sendo as magnitudes iguais.


3-22

Na obtenção da tensão linha-linha em pu a partir de tensões linha-neutro em pu, tem-se que:

( )

,, ,

, ,,

1 13 3

ab a bab pu

LL b LL b

a ba pu b pu

LN b

V V VVV V

V V V VV

−= =

⎛ ⎞−= = −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

(3.30)

Em um sistema equilibrado:

( )

( )

( ) ( )

, , ,

, ,

, ,

,

13

1 1203

1 1 240 3 303 3

30

ab pu a pu b pu

a pu a pu

a pu a pu

a pu

V V V

V V

V V

V

= −

= − ∠−

= − ∠ = ∠

= ∠

(3.31)

Note que para condição de tensões desequilibradas a relação |Vab|=√3|Va| já não mais se aplica e a igualdade entre tensões de linha em pu e tensões de fase em pu deixa de existir. No entanto, na análise de sistemas de potência, como p.ex. fluxo de carga, o sistema é considerado equilibrado. Em análise de curto-circuito para a condição pré-falta é assumido que o sistema está equilibrado. b) Potência Potência monofásica em pu:

bpu S

SS

,1

11

φ

φφ = (3.32)

Potência trifásica em pu:

bpu S

SS

,3

33

φ

φφ = (3.33)


3-23

Relação entre a potência de base trifásica e monofásica:

3,3

,1b

b

SS φ

φ = (3.34)

Expressando S1φpu em termos de potência trifásica, tem-se:

3S3S

Sbase3

3pu1

φ

φφ = (3.35)

Portanto

pupu SS ,3,1 φφ = (3.36) A expressão 3.36 é válida somente para sistemas equilibrados. Em um sistema trifásico qualquer se tem que:

( )pucpubpuab

cba

bpu SSS

SSSS

SS

S ,,,,1,3

3,3 3

13

++=++

==φφ

φφ (3.37)

Quando o sistema é equilibrado (Sa,pu= Sb,pu= Sc,pu) a potência trifásica em pu torna-se igual à potência monofásica em pu. c) Corrente Corrente de fase em pu:

b,F

Fpu,F I

II = (3.38)

Corrente de linha em pu:

b,L

Lpu,L I

II = (3.39)

A relação entre as correntes de base de linha e de fase é:


3-24

3I

I b,Lb,F = (3.40)

Expressando a corrente de fase em pu, IFpu, em termos de valores de linha, tem-se: 30

30

3

303

,

,,,

+∠=

+∠=

+∠=

puL

bL

L

bL

L

puF

I

II

I

I

I

(3.41)

Em um sistema trifásico qualquer (desequilibrado ou equilibrado), tem-se que a corrente de linha a é dada por:

a ab caI I I= − (3.42) Em pu:

( ) ( ) ( ), , ,,

1 13 3

ab ca ab caa pu ab pu ca pu

L b F

I I I II I I

I I− −

= = ⋅ = ⋅ − (3.43)

d) Impedância Impedância Y em pu:

2

1

LNY

VZS φ∗= ou

2

3

LLY

VZS φ∗= (3.44)

2

1,

,

LN

Y puY b

VSZ Z

φ∗

= (3.45)

ou

Iab

Ibc

Ica

Ia


3-25

2

3,

,

LL

Y puY b

VSZ Z

φ∗

= (3.46)

Impedância Δ de cada fase em pu:

2

1,

,

LL

pub

VSZ Z

φ∗

ΔΔ

= (3.47)

Expressando a relação entre as impedâncias de base Y e Δ, tem-se:

b,Yb, Z3Z =Δ (3.48) A impedância Y em pu expressa em função da impedância em Δ:

2 2

3 1

, ,3

LL LL

Ypub b

V VS S

Z Z Zφ φ∗ ∗

Δ Δ

= =

Portanto

pu,pu,Y ZZ Δ= (3.49)

ou simplesmente

pu,Yb,Y

Y

b,pu,

ZZ3Z3

ZZZ

==

=Δ

ΔΔ

(3.50)

Exemplo 3.4 Teste de curto circuito em um transformador monofásico de 100 kVA, 2400 V:120 V, 60 Hz, resultou em impedância série equivalente referida ao lado de alta tensão igual a 0,478+j1,19 Ω. Três dessas


3-26

unidades monofásicas são conectadas em Δ-Y formando um banco de transformadores trifásicos. O banco é suprido por um alimentador cuja impedância por fase é de 0,065+j0,87 Ω. A tensão no terminal transmissor da linha é mantida constante em 2400 V linha-linha. Escolha valores de base convenientes e determine a tensão em pu no lado de baixa tensão do transformador quando o banco entrega corrente nominal a uma carga trifásica equilibrada de fator de potência unitário. Seleção de valores de base:

[ ][ ]1

100

2400b

b

S kVA

V V

=

=

Cálculo da impedância de base:

( ) [ ]22

,11 3

240057,6

100 10b

bb

VZ

S= = = Ω

×

Cálculo da impedância em %:

1,,

,1

0,065 0,87 0,113 1,51%57,6

TT pu

b

Z jZ jZ

+= = = +

A impedância ZT,pu pode representar a impedância do transformador no lado de alta e baixa tensão, para conexão Δ ou Y. Como o transformador entrega corrente nominal a uma carga resistiva, significa que a corrente de carga é de 1,0∠0o pu. Assim,

( ), , ,

,1,0 0 0,00113 0,0151 1,0 0s pu r pu T pu pu

r pu

V V Z I

V jθ

= +

∠ = ∠ + + ⋅ ∠

Embora existam 2 incógnitas, a equação acima pode ser dividida em parte real e parte imaginária:

( ),

1

cos 0,00113

0,0151 0,0151 0,865r puV

sen sen

θ

θ θ −

= +

= ∴ = =

Substituindo o valor de θ na equação de cosθ, resulta para |Vr,pu|:


3-27

( ), cos 0,865 0,00113 0,999r puV pu= − =

A tensão de fase em volts na carga:

[ ], ,2 0,999 120 119,85r r pu bV V V V= ⋅ = × = A magnitude da tensão de linha na carga:

( ) [ ], 3 3 119,85 207,6r LL rV V V= = ⋅ = Exemplo 3.5 Um transformador trifásico de 300 kVA, Δ-Y, 2400/208 V de tensão de linha, 60 Hz, tem como parâmetros R/X=40,17% e Z=2,23%. Calcule a impedância por fase do transformador em ohms, vista do lado de alta e baixa tensão. A impedância do transformador é obtida por:

( )22 2 2 2 20,4017 1,16Z R X X X X= + = + =

( )20,02232,07%

1,16X = ± = ±

Como a reatância série do transformador é indutiva a raiz negativa é desconsiderada e a resistência é então dada por:

0, 4017 0,832% 0,00832R X pu= = ≡ As impedâncias de base do transformador são:

( ) [ ]22

,2,2 3

2080,144

300 10b

bb

VZ

S= = = Ω

×

Note que a impedância de base do secundário está relacionada ao tipo de conexão que é Y.

( ) [ ]22

,1,1 3

240057,6

100 10b

bb

VZ

S= = = Ω

×

A impedância de base Zb,1 refere-se à conexão delta.


3-28

A impedância do transformador vista do lado Y e delta, em ohms, é dada por:

( )[ ]

, ,2 0,00832 0,0207 0,144

0,0012 0,003 0,00321 68,1Y T pu bZ Z Z j

j

= ⋅ = + ⋅

= + = ∠ Ω

( )

[ ], ,1 0,00832 0,0207 57,6

0,479 1,192 1,29 68,1T pu bZ Z Z j

jΔ = ⋅ = + ⋅

= + = ∠ Ω

Note que se para ZΔ vista do primário for calculada seu equivalente Y e refletida para o secundário, tem-se:

[ ]

21 1 1, 29 68,1

3 133,14 3

0,00323 68,1 0,0012 0,003

YZZ

a

j

Δ ⎛ ⎞∠⎛ ⎞′ = = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= ∠ = + Ω

Observe que ZΔ é a impedância em ohms do transformador trifásico do Exemplo 3.4 e que Z’Y é igual a ZY calculado anteriormente.

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3.1 Introdução - paginapessoal.utfpr.edu.br