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Sequências de números reais
Prof.a Priscila Savulski FerreiraUniversidade Tecnológica Federal do Paraná
Cálculo Integral
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Sequências de números reais 1 / 22
Referências
Guidorizzi, H. L., Um curso de Cálculo, V. 4,Livros Técnicos e Científicos Ed. Ltda, 5a edição (2002).
Stewart, J., Cálculo, V. 2,São Paulo: Cengage Learning, 7a edição (2013).
Lima, Elon L., , Análise Real, V. 1,IMPA: RJ, 12a edição (2017).
Lima, Elon L., , Curso de Análise, V. 1,IMPA: RJ, 14a edição (2017).
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Sequências de números reais
Uma sequência é uma função definida em IN = {1, 2, 3, . . .} dada pora : IN → IR
n 7→ an.
an ∈ IR é chamado de n-ésimo termo da sequência.Denotamo-a por (a1, a2, . . . , an, . . .) ou (an)n∈IN ou (an).
n
an
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Sequências de números reais
Uma sequência é uma função definida em IN = {1, 2, 3, . . .} dada pora : IN → IR
n 7→ an.
an ∈ IR é chamado de n-ésimo termo da sequência.Denotamo-a por (a1, a2, . . . , an, . . .) ou (an)n∈IN ou (an).
Ex.: ((−1)n)n∈IN
= (−1, 1, −1, 1, . . . , (−1)n, . . .)
• Sequência (1, 1, 1, . . .) 6= conjunto {1}.
• (0, 1, 1, 1 . . .) e (0, 1, 0, 1, 0, 1, . . .) são sequências diferentes
• mesmo conjunto de seus termos {0, 1}.
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Sequências de números reais
Uma sequência é uma função definida em IN = {1, 2, 3, . . .} dada pora : IN → IR
n 7→ an.
an ∈ IR é chamado de n-ésimo termo da sequência.Denotamo-a por (a1, a2, . . . , an, . . .) ou (an)n∈IN ou (an).
Ex.: ((−1)n)n∈IN = (−1, 1, −1, 1, . . . , (−1)n, . . .)
• Sequência (1, 1, 1, . . .) 6= conjunto {1}.
• (0, 1, 1, 1 . . .) e (0, 1, 0, 1, 0, 1, . . .) são sequências diferentes
• mesmo conjunto de seus termos {0, 1}.
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Sequências de números reais
Uma sequência é uma função definida em IN = {1, 2, 3, . . .} dada pora : IN → IR
n 7→ an.
an ∈ IR é chamado de n-ésimo termo da sequência.Denotamo-a por (a1, a2, . . . , an, . . .) ou (an)n∈IN ou (an).
Ex.: ((−1)n)n∈IN = (−1, 1, −1, 1, . . . , (−1)n, . . .)
• Sequência (1, 1, 1, . . .) 6= conjunto {1}.
• (0, 1, 1, 1 . . .) e (0, 1, 0, 1, 0, 1, . . .) são sequências diferentes
• mesmo conjunto de seus termos {0, 1}.
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Sequências de números reais
Uma sequência é uma função definida em IN = {1, 2, 3, . . .} dada pora : IN → IR
n 7→ an.
an ∈ IR é chamado de n-ésimo termo da sequência.Denotamo-a por (a1, a2, . . . , an, . . .) ou (an)n∈IN ou (an).
Ex.: ((−1)n)n∈IN = (−1, 1, −1, 1, . . . , (−1)n, . . .)
• Sequência (1, 1, 1, . . .) 6= conjunto {1}.
• (0, 1, 1, 1 . . .) e (0, 1, 0, 1, 0, 1, . . .) são sequências diferentes
• mesmo conjunto de seus termos {0, 1}.
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Sequências de números reais
Uma sequência é uma função definida em IN = {1, 2, 3, . . .} dada pora : IN → IR
n 7→ an.
an ∈ IR é chamado de n-ésimo termo da sequência.Denotamo-a por (a1, a2, . . . , an, . . .) ou (an)n∈IN ou (an).
Ex.: ((−1)n)n∈IN = (−1, 1, −1, 1, . . . , (−1)n, . . .)
• Sequência (1, 1, 1, . . .) 6= conjunto {1}.
• (0, 1, 1, 1 . . .) e (0, 1, 0, 1, 0, 1, . . .) são sequências diferentes
• mesmo conjunto de seus termos {0, 1}.
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Exemplo
Expanda a sequência:(
n2n + 1
)
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Exemplo
Expanda a sequência: (cos(πn))n≥5
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Exercício
Expanda as seguintes sequências:
1(22n−1
)2
(2n
2n + 1
)n∈IN
Momento de tentar! Pause o vídeo!
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Exercício – repostas
Expanda as seguintes sequências:
1(22n−1
)=
(21, 23, 25, 27, . . . , 22n−1, . . .
)2
(2n
2n + 1
)n∈IN
=
(23,
45,
67,
89, . . . ,
2n2n + 1
, . . .
)
Faça uma conclusão sobre os termos 2n, 2n− 1, 2n + 1.
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Exercício – repostas
Expanda as seguintes sequências:
1(22n−1
)=
(21, 23, 25, 27, . . . , 22n−1, . . .
)2
(2n
2n + 1
)n∈IN
=
(23,
45,
67,
89, . . . ,
2n2n + 1
, . . .
)
Faça uma conclusão sobre os termos 2n, 2n− 1, 2n + 1.
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Exercício
Expanda as seguintes sequências:1
((−1)2n−1
)2
((−1)2n+1
)n∈IN
3((−1)2n
)n∈IN
4 ((−1)n)
5((−1)n+1
)n∈IN
6
((−1)n+1 2n
2n + 1
)n∈IN
Momento de tentar! Pause o vídeo!
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Exercício – repostas
Expanda as seguintes sequências:
1((−1)2n−1
)= (−1,−1,−1, . . .)
2((−1)2n+1
)n∈IN = (−1,−1,−1, . . .)
3((−1)2n
)n∈IN = (1, 1, 1, . . .)
4 ((−1)n) = (−1, 1,−1, 1, . . . , (−1)n, . . .)
5((−1)n+1
)n∈IN =
(1,−1, 1,−1, . . . , (−1)n+1, . . .
)6
((−1)n+1 2n
2n + 1
)n∈IN
=
(23,−4
5,
67,−8
9, . . . , (−1)n+1 2n
2n + 1, . . .
)
Faça uma conclusão sobre a alternância de sinais, como pode ser representada.
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Exercício – repostas
Expanda as seguintes sequências:
1((−1)2n−1
)= (−1,−1,−1, . . .)
2((−1)2n+1
)n∈IN = (−1,−1,−1, . . .)
3((−1)2n
)n∈IN = (1, 1, 1, . . .)
4 ((−1)n) = (−1, 1,−1, 1, . . . , (−1)n, . . .)
5((−1)n+1
)n∈IN =
(1,−1, 1,−1, . . . , (−1)n+1, . . .
)6
((−1)n+1 2n
2n + 1
)n∈IN
=
(23,−4
5,
67,−8
9, . . . , (−1)n+1 2n
2n + 1, . . .
)
Faça uma conclusão sobre a alternância de sinais, como pode ser representada.
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Exemplo
Encontre a relação de recorrência ou fórmula geral da sequência(52, −7
4,
98, −11
16, . . .
).
Sinal: (n = 1→ +); (n = 2→ −); (n = 3→ +); (n = 4→ −);(n→ (−1)n+1)
Numerador: (n = 1→ 5 = 2.1 + 1 + 2); (n = 2→ 7 = 2.2 + 3);(n = 3→ 9 = 2.3 + 3); (n→ 2.n + 1 + 2 = 2n + 3);
Denominador: (n = 1→ 2 = 21); (n = 2→ 4 = 22);(n = 3→ 8 = 23); (n→ 2n);
Portanto, an = (−1)n+1(
2n + 32n
)
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Exemplo
Encontre a relação de recorrência ou fórmula geral da sequência(52, −7
4,
98, −11
16, . . .
).
Sinal:
(n = 1→ +); (n = 2→ −); (n = 3→ +); (n = 4→ −);(n→ (−1)n+1)
Numerador: (n = 1→ 5 = 2.1 + 1 + 2); (n = 2→ 7 = 2.2 + 3);(n = 3→ 9 = 2.3 + 3); (n→ 2.n + 1 + 2 = 2n + 3);
Denominador: (n = 1→ 2 = 21); (n = 2→ 4 = 22);(n = 3→ 8 = 23); (n→ 2n);
Portanto, an = (−1)n+1(
2n + 32n
)
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Exemplo
Encontre a relação de recorrência ou fórmula geral da sequência(52, −7
4,
98, −11
16, . . .
).
Sinal: (n = 1→ +); (n = 2→ −); (n = 3→ +); (n = 4→ −);
(n→ (−1)n+1)
Numerador: (n = 1→ 5 = 2.1 + 1 + 2); (n = 2→ 7 = 2.2 + 3);(n = 3→ 9 = 2.3 + 3); (n→ 2.n + 1 + 2 = 2n + 3);
Denominador: (n = 1→ 2 = 21); (n = 2→ 4 = 22);(n = 3→ 8 = 23); (n→ 2n);
Portanto, an = (−1)n+1(
2n + 32n
)
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Exemplo
Encontre a relação de recorrência ou fórmula geral da sequência(52, −7
4,
98, −11
16, . . .
).
Sinal: (n = 1→ +); (n = 2→ −); (n = 3→ +); (n = 4→ −);(n→ (−1)n+1)
Numerador: (n = 1→ 5 = 2.1 + 1 + 2); (n = 2→ 7 = 2.2 + 3);(n = 3→ 9 = 2.3 + 3); (n→ 2.n + 1 + 2 = 2n + 3);
Denominador: (n = 1→ 2 = 21); (n = 2→ 4 = 22);(n = 3→ 8 = 23); (n→ 2n);
Portanto, an = (−1)n+1(
2n + 32n
)
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Exemplo
Encontre a relação de recorrência ou fórmula geral da sequência(52, −7
4,
98, −11
16, . . .
).
Sinal: (n = 1→ +); (n = 2→ −); (n = 3→ +); (n = 4→ −);(n→ (−1)n+1)
Numerador:
(n = 1→ 5 = 2.1 + 1 + 2); (n = 2→ 7 = 2.2 + 3);(n = 3→ 9 = 2.3 + 3); (n→ 2.n + 1 + 2 = 2n + 3);
Denominador: (n = 1→ 2 = 21); (n = 2→ 4 = 22);(n = 3→ 8 = 23); (n→ 2n);
Portanto, an = (−1)n+1(
2n + 32n
)
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Exemplo
Encontre a relação de recorrência ou fórmula geral da sequência(52, −7
4,
98, −11
16, . . .
).
Sinal: (n = 1→ +); (n = 2→ −); (n = 3→ +); (n = 4→ −);(n→ (−1)n+1)
Numerador: (n = 1→ 5 = 2.1 + 1 + 2); (n = 2→ 7 = 2.2 + 3);(n = 3→ 9 = 2.3 + 3); (n→ 2.n + 1 + 2 = 2n + 3);
Denominador: (n = 1→ 2 = 21); (n = 2→ 4 = 22);(n = 3→ 8 = 23); (n→ 2n);
Portanto, an = (−1)n+1(
2n + 32n
)
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Exemplo
Encontre a relação de recorrência ou fórmula geral da sequência(52, −7
4,
98, −11
16, . . .
).
Sinal: (n = 1→ +); (n = 2→ −); (n = 3→ +); (n = 4→ −);(n→ (−1)n+1)
Numerador: (n = 1→ 5 = 2.1 + 1 + 2); (n = 2→ 7 = 2.2 + 3);(n = 3→ 9 = 2.3 + 3); (n→ 2.n + 1 + 2 = 2n + 3);
Denominador:
(n = 1→ 2 = 21); (n = 2→ 4 = 22);(n = 3→ 8 = 23); (n→ 2n);
Portanto, an = (−1)n+1(
2n + 32n
)
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Exemplo
Encontre a relação de recorrência ou fórmula geral da sequência(52, −7
4,
98, −11
16, . . .
).
Sinal: (n = 1→ +); (n = 2→ −); (n = 3→ +); (n = 4→ −);(n→ (−1)n+1)
Numerador: (n = 1→ 5 = 2.1 + 1 + 2); (n = 2→ 7 = 2.2 + 3);(n = 3→ 9 = 2.3 + 3); (n→ 2.n + 1 + 2 = 2n + 3);
Denominador: (n = 1→ 2 = 21); (n = 2→ 4 = 22);(n = 3→ 8 = 23); (n→ 2n);
Portanto, an = (−1)n+1(
2n + 32n
)
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Exemplo
Encontre a relação de recorrência ou fórmula geral da sequência(52, −7
4,
98, −11
16, . . .
).
Sinal: (n = 1→ +); (n = 2→ −); (n = 3→ +); (n = 4→ −);(n→ (−1)n+1)
Numerador: (n = 1→ 5 = 2.1 + 1 + 2); (n = 2→ 7 = 2.2 + 3);(n = 3→ 9 = 2.3 + 3); (n→ 2.n + 1 + 2 = 2n + 3);
Denominador: (n = 1→ 2 = 21); (n = 2→ 4 = 22);(n = 3→ 8 = 23); (n→ 2n);
Portanto, an = (−1)n+1(
2n + 32n
)
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A sequência em que cada termo é um algarismo do número π não possuirecorrência: (3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, . . .).
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Sequência de Fibonacci
Regra da função: f1 = 1, f2 = 1, fn = fn−1 + fn−2, para n > 2.
Assim, f = (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, . . .)
Problema: esta descreve o crescimento de uma população de coelhos, sendo agestação a cada 2 meses no 6o mês teremos 8 coelhos.
Natureza: aparece no arranjo de folhas, copas das árvores, número de pétalasdas flores.
Figura: https://atitudereflexiva.wordpress.com/2016/12/07/a-sequencia-de-fibonacci/
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Sequência de Fibonacci
Regra da função: f1 = 1, f2 = 1, fn = fn−1 + fn−2, para n > 2.
Assim, f = (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, . . .)
Problema: esta descreve o crescimento de uma população de coelhos, sendo agestação a cada 2 meses no 6o mês teremos 8 coelhos.
Natureza: aparece no arranjo de folhas, copas das árvores, número de pétalasdas flores.
Figura: https://atitudereflexiva.wordpress.com/2016/12/07/a-sequencia-de-fibonacci/
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Sequências de números reais 13 / 22
Sequência de Fibonacci
Regra da função: f1 = 1, f2 = 1, fn = fn−1 + fn−2, para n > 2.
Assim, f = (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, . . .)
Problema: esta descreve o crescimento de uma população de coelhos, sendo agestação a cada 2 meses no 6o mês teremos 8 coelhos.
Natureza: aparece no arranjo de folhas, copas das árvores, número de pétalasdas flores.
Figura: https://atitudereflexiva.wordpress.com/2016/12/07/a-sequencia-de-fibonacci/
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Sequências de números reais 13 / 22
Sequência de Fibonacci
Regra da função: f1 = 1, f2 = 1, fn = fn−1 + fn−2, para n > 2.
Assim, f = (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, . . .)
Problema: esta descreve o crescimento de uma população de coelhos, sendo agestação a cada 2 meses no 6o mês teremos 8 coelhos.
Natureza: aparece no arranjo de folhas, copas das árvores, número de pétalasdas flores.
Figura: https://atitudereflexiva.wordpress.com/2016/12/07/a-sequencia-de-fibonacci/
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Exercício – Sequência de Fibonacci
Pesquisar sobre Sequência de Fibonacci na internet, pesquisar vídeos eimagens.Assistir ao vídeo:https://www.youtube.com/watch?v=iKmJVZCoMOI&t=197s
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Sequência limitada
Um sequência (an) é dita:
limitada inferiormentequando ∃m ∈ IR tal que an ≥ m , ∀n ∈ IN,
isto significa que an ∈ [m,∞);
limitada superiormentequando ∃M ∈ IR tal que an ≤ M, ∀n ∈ IN,
isto significa que an ∈ (−∞,M];
limitadaquando ∃m ∈ IR tal que |an| ≤ m, isto é, an ∈ [−m,m], ou seja,
limitada superiormente e inferiormente.
ilimitadaquando não é limitada inferiormente e nem superiormente.
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Sequência limitada
Um sequência (an) é dita:
limitada inferiormentequando ∃m ∈ IR tal que an ≥ m , ∀n ∈ IN,
isto significa que an ∈ [m,∞);
limitada superiormentequando ∃M ∈ IR tal que an ≤ M, ∀n ∈ IN,
isto significa que an ∈ (−∞,M];
limitadaquando ∃m ∈ IR tal que |an| ≤ m, isto é, an ∈ [−m,m], ou seja,
limitada superiormente e inferiormente.
ilimitadaquando não é limitada inferiormente e nem superiormente.
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Sequência limitada
Um sequência (an) é dita:
limitada inferiormentequando ∃m ∈ IR tal que an ≥ m , ∀n ∈ IN,
isto significa que an ∈ [m,∞);
limitada superiormentequando ∃M ∈ IR tal que an ≤ M, ∀n ∈ IN,
isto significa que an ∈ (−∞,M];
limitadaquando ∃m ∈ IR tal que |an| ≤ m, isto é, an ∈ [−m,m], ou seja,
limitada superiormente e inferiormente.
ilimitadaquando não é limitada inferiormente e nem superiormente.
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Sequência limitada
Um sequência (an) é dita:
limitada inferiormentequando ∃m ∈ IR tal que an ≥ m , ∀n ∈ IN,
isto significa que an ∈ [m,∞);
limitada superiormentequando ∃M ∈ IR tal que an ≤ M, ∀n ∈ IN,
isto significa que an ∈ (−∞,M];
limitadaquando ∃m ∈ IR tal que |an| ≤ m, isto é, an ∈ [−m,m], ou seja,
limitada superiormente e inferiormente.
ilimitadaquando não é limitada inferiormente e nem superiormente.
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Sequências de números reais 15 / 22
Sequência limitada
Um sequência (an) é dita:
limitada inferiormentequando ∃m ∈ IR tal que an ≥ m , ∀n ∈ IN,
isto significa que an ∈ [m,∞);
limitada superiormentequando ∃M ∈ IR tal que an ≤ M, ∀n ∈ IN,
isto significa que an ∈ (−∞,M];
limitadaquando ∃m ∈ IR tal que |an| ≤ m, isto é, an ∈ [−m,m], ou seja,
limitada superiormente e inferiormente.
ilimitadaquando não é limitada inferiormente e nem superiormente.
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Sequências de números reais 15 / 22
Sequência limitada
Um sequência (an) é dita:
limitada inferiormentequando ∃m ∈ IR tal que an ≥ m , ∀n ∈ IN,
isto significa que an ∈ [m,∞);
limitada superiormentequando ∃M ∈ IR tal que an ≤ M, ∀n ∈ IN,
isto significa que an ∈ (−∞,M];
limitadaquando ∃m ∈ IR tal que |an| ≤ m, isto é, an ∈ [−m,m], ou seja,
limitada superiormente e inferiormente.
ilimitadaquando não é limitada inferiormente e nem superiormente.
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Sequências de números reais 15 / 22
Exemplo
1 ((−1)n)
2 (−n)
3 (n)
4 (−1, 2,−3, 4, . . .)
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Sequências de números reais 16 / 22
Exemplo
1 ((−1)n)
2 (−n)
3 (n)
4 (−1, 2,−3, 4, . . .)
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Exemplo
1 ((−1)n)
2 (−n)
3 (n)
4 (−1, 2,−3, 4, . . .)
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Sequências de números reais 16 / 22
Exemplo
1 ((−1)n)
2 (−n)
3 (n)
4 (−1, 2,−3, 4, . . .)
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Sebsequência
Dada uma sequência A = (an), uma subsequência de A é arestrição da função A a um subconjunto infinito
IN′ = {n1 < n2 < n3 < . . .} ⊂ IN. Escreve A′ = (an)IN′ ou(an1 , an2 , an3 , . . .).
Ex.: Dada ((−1)n) e IN′ = {(2n)n∈IN}, temos ((−1)n)IN′ = (1, 1, 1, 1, . . .) éuma subsequência de ((−1)n).
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Sebsequência
Dada uma sequência A = (an), uma subsequência de A é arestrição da função A a um subconjunto infinito
IN′ = {n1 < n2 < n3 < . . .} ⊂ IN. Escreve A′ = (an)IN′ ou(an1 , an2 , an3 , . . .).
Ex.: Dada ((−1)n) e IN′ = {(2n)n∈IN}, temos ((−1)n)IN′ = (1, 1, 1, 1, . . .) éuma subsequência de ((−1)n).
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Sequências monótonas
Um sequência (an) é dita:
crescentequando a1 < a2 < a3 < . . .
não-decrescentequando a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ . . ..
decrescentequando a1 > a2 > a3 > . . .
não-crescentequando a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ . . ..
Nos quatro casos, chamamos tais sequências de Sequências monótonas.
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Sequências monótonas
Um sequência (an) é dita:
crescentequando a1 < a2 < a3 < . . .
não-decrescentequando a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ . . ..
decrescentequando a1 > a2 > a3 > . . .
não-crescentequando a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ . . ..
Nos quatro casos, chamamos tais sequências de Sequências monótonas.
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Sequências de números reais 18 / 22
Sequências monótonas
Um sequência (an) é dita:
crescentequando a1 < a2 < a3 < . . .
não-decrescentequando a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ . . ..
decrescentequando a1 > a2 > a3 > . . .
não-crescentequando a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ . . ..
Nos quatro casos, chamamos tais sequências de Sequências monótonas.
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Sequências de números reais 18 / 22
Sequências monótonas
Um sequência (an) é dita:
crescentequando a1 < a2 < a3 < . . .
não-decrescentequando a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ . . ..
decrescentequando a1 > a2 > a3 > . . .
não-crescentequando a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ . . ..
Nos quatro casos, chamamos tais sequências de Sequências monótonas.
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Sequências de números reais 18 / 22
Sequências monótonas
Um sequência (an) é dita:
crescentequando a1 < a2 < a3 < . . .
não-decrescentequando a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ . . ..
decrescentequando a1 > a2 > a3 > . . .
não-crescentequando a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ . . ..
Nos quatro casos, chamamos tais sequências de Sequências monótonas.
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Sequências de números reais 18 / 22
Exemplo
Verifique se a sequência é monótona(
1n + 2
).
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Exemplo
Verifique se a sequência é monótona(
nn2 + 1
).
Considere f (x) =x
x2 + 1, para x > 1 (pois o que interessa é x ∈ IN).
Note que f ′(x) =1− x2
(x2 + 1)2 < 0, logo decrescente.
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Exemplo
Verifique se a sequência é monótona(
nn2 + 1
).
Considere f (x) =x
x2 + 1, para x > 1 (pois o que interessa é x ∈ IN).
Note que f ′(x) =1− x2
(x2 + 1)2 < 0, logo decrescente.
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Sequências de números reais 20 / 22
Exemplo
Verifique se a sequência é monótona(
nn2 + 1
).
Considere f (x) =x
x2 + 1, para x > 1 (pois o que interessa é x ∈ IN).
Note que f ′(x) =1− x2
(x2 + 1)2 < 0, logo decrescente.
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Toda sequência crescente ou não-decrescente é limitada inferiormente.
toda sequência decrescente ou não-crescente é limitada sueriormente.
n
an
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Referências
Guidorizzi, H. L., Um curso de Cálculo, V. 4,Livros Técnicos e Científicos Ed. Ltda, 5a edição (2002).
Stewart, J., Cálculo, V. 2,São Paulo: Cengage Learning, 7a edição (2013).
Lima, Elon L., , Análise Real, V. 1,IMPA: RJ, 12a edição (2017).
Lima, Elon L., , Curso de Análise, V. 1,IMPA: RJ, 14a edição (2017).
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Sequências de números reais 22 / 22
