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ESTIMAÇÃO POR INTERVALO DE

CONFIANÇA

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DEFINIÇÃO

Um itervalo de confiança (ou estimativa intervalar) é uma faixa (ou um intervalo) de valores usada para se estimar o verdadeiro valor de umparâmetro populacional.

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NÍVEL DE CONFIANÇA

Fornece a taxa de sucesso do procedimento usado para a construção do intervalo de confiança.

É expresso por 1 – α . Indica a probabilidade de que um intervalo de

confiança contenha o valor do parâmetro.

α é a probabilidade de erro na estimação por intervalo.

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NÍVEL DE CONFIANÇA

Salvo menção em contrário, supomos os intervalos de confiança simétricos em probabilidade, isto é, tais que a probabilidade de o parâmetro ficar fora do intervalo à sua esquerda é igual à probabilidade de ficar fora à direita, ambas iguais a α/2 .

As escolhas mais comuns para o nível de confiança são: 90%, 95% e 99%.

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INTERVALO DE CONFIANÇA PARA UMA PROPORÇÃO p

Dada uma v.a. com distribuição Binomial:

X ~ B(n, θ) A proporção de valores X, obtida com base em

uma amostra é:

Essa proporção é uma estimativa da probabilidade de ocorrer o evento de interesse na população.

p=Xn

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INTERVALO DE CONFIANÇA PARA UMA PROPORÇÃO p

Essa estimativa está associada a uma variabilidade.

A variabilidade é medida pelo desvio padrão:

σ= p×qn

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INTERVALO DE CONFIANÇA PARA UMA PROPORÇÃO p

O intervalo de 95% de confiança para a probabilidade p, para grandes amostras, é dado por:

p±1,96σ

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MARGEM DE ERRO

A proporção de determinado evento na amostra estima a proporção desse evento na população de onde a amostra foi selecionada.

O intervalo de confiança fornece a margem de erro da estimativa.

Essa margem de erro é dada pela amplitude do intervalo de confiança.

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EXEMPLO

Um teste realizado com 280 pessoas consistia em “adivinhar” em qual das mãos (ambas fechadas) do pesquisador estava uma moeda. Em 44% das tentativas a identificação foi correta da mão selecionada.

A estimativa de intervalo de confiança de 95% para a proporção populacional p é

0,381 < p < 0,498 Margem de erro

0,498 – 0,381 = 0,117

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EXEMPLO

Neste exemplo, o pesquisador está 95% seguro de que a proporção de pessoas que acertarão a mão com a moeda está entre 38,1% e 49,7%. A margem de erro é de 11,7%.

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EXERCÍCIO 1

Considere a situação do exemplo anterior. Determine o intervalo de confiança e a margem

de erro se a amostra envolver 1000 pessoas.

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INTERVALO DE CONFIANÇA PARA UMA MÉDIA

Dada uma v.a. X com distribuição Normal

X ~ N(µ, σ²) O intervalo de 95% de confiança para a média, para grandes

amostras, é dado por:

Onde é o erro padrão da média, isto é, uma estimativa da variabilidade das médias, caso o pesquisador tomasse, nas mesmas condições, um grande número de amostras.

x±1,96 sx

sx=s

n

sx

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EXEMPLO

Em uma indústria de refrigerantes, a quantidade de refrigerante inserida em latas tem-se comportado como uma v.a. com média 350 ml e desvio padrão 3 ml. Após alguns problemas na linha de produção, suspeita-se que houve uma alteração na média. Uma amostra de 50 latas acusou média de 346 ml. Constrir um intervalo de confiança para o novo valor da quantidade média de refrigerante inserida em latas, com nível de confiança de 95%, supondo que não houve alteração no desvio padrão do processo.

344,69 ml < µ < 347,31 ml

margem de erro 1,31 ml

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EXEMPLO

A quantidade média µ de refrigerante inserida nas latas, após os problemas na linha de produção, é de 346 ml, tolerando, com 95% de confiança, uma margem de erro de até 1,31 ml. Assim, o intervalo (344,69 ; 347,31) contém, com 95% de confiança, o valor µ . Isso mostra que estatisticamente houve alteração média do processo, pois o valor da média antiga (350ml) não pertence ao intervalo.

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EXERCÍCIO 2

Uma fundição produz blocos para motor de caminhões. Os blocos têm furos para as camisas e deseja-se verificar qual é o diâmetro médio no processo do furo. A empresa retirou uma amostra de 36 blocos e mediu os diâmetros de 36 furos (um a cada bloco). A amostra acusou média de 98 mm e desvio padrão de 4 mm. Construir um intervalo de confiança para média do processo, com nível de confiança de 95%. Interpretar o resultado. Se o processo deveria ter média 100 mm, há evidência estatística (com 95% de confiança) de que a média do processo não está no valor ideal? Explique.

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EXERCÍCIO 3

● A Companhia de Instrumentos Científicos de Precisão fabrica termômetros que devem informar temperaturas de 0ºC no ponto de congelamento da água. Testes em uma amostra de 100 desses instrumentos revelam que no ponto de congelameto da água, alguns termômetros indicam temperaturas abaixo de 0º (indicadas por números negativos) e alguns dão temperatura acima de 0º (indicadas por números positivos). Suponha que a leitura média seja 0ºC e o desvio padrão das leituras seja 1ºC. Suponha, também, que as leituras sejam normalmente distribuídas. Construir um intervalo de confiança para a média do processo, com nível de confiança de 95%. Interpretar o resultado.

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VALOR CRÍTICO

● Muitos métodos estatísticos incluem o uso de um escore padrão (z), que pode ser usado para se distinguir entre estatísticas amostrais que têm chance de ocorrer e aquelas que não têm. Tal escore z é chamado VALOR CRÍTICO.

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VALOR CRÍTICO - DEFINIÇÃO

● Número na fronteira que separa estísticas amostrais que têm chance de ocorrer daquelas que não têm.

● O número zα/2 é um valor crítico que é um escore z com aprobabilidade de separar uma área de α/2 na cauda direita da distribuição normal padronizada.

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EXEMPLO

● Para calcular o valor crítico zα/2 correspondente ao nível de confiança de 95%, não devemos procurar 0,95 na tabela.

● Um nível de confiança de 95% corresponde a

α = 0,05, enquanto que α/2 = 0,025.● Na tabela vemos que zα/2 = 1,96, observando que a área à sua

esquerda deve ser

1 – 0,025 = 0,975.● Voltando à tabela, encontramos que a área de 0,975 (corpo da

tabela) corresponde a exatamente 1,96 (escore z).● Portanto, para um nível de confiança de 95%, o valor crítico é

zα/2 = 1,96.

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EXERCÍCIO 4

Complete a tabela:

Nível de confiança α Valor crítico zα/2

90% 0,10

95% 0,05 1,96

99% 0,01

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EXERCÍCIO 5

Use o nível de confiança dado e os dados amostrais para achar o intervalo de confiança para estimar a média populacional µ.

Salários de graduados que tiveram a disciplina de estatística na faculdade: 90% de confiança; n = 40, = R$16720,00 e = R$18270,00.X

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EXERCÍCIO 6

Use o nível de confiança dado e os dados amostrais para achar a margem de erro e o intervalo de confiança para a média populacional. Suponha que a população tenha uma distribuição normal.

Tempo de vida de um computador de mesa: 99% de confiança; n = 30, = 6,8 anos,

s = 2,4 anos.

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