Joildo Fernandes Costa Junior

A média de uma variável aleatória discreta é o resultado médio

teórico para um número infinito de tentativas. Podemos

considerar tal média como o valor esperado no sentido de que é o

valor médio que esperaríamos se as tentativas pudessem

continuar indefinidamente. O valor esperado (também chamado

esperança, ou esperança matemática) tem aplicações extensas e

variadas e desempenha importante papel em uma área de

aplicação chamada teoria da decisão.

A variável aleatória discreta mais simples é aquela que assume

somente um numero finito de valores possíveis, cada um com

igual probabilidade.

Uma variável aleatória X tem uma distribuição discreta

uniforme se cada um dos n valores em sua faixa, isto

é, x1, x2,....., xn, tiver igual probabilidade. Então:

nxf i

1)(

3-66) Medidas de espessura em um processo de recobrimento são

feitas com a precisão de centésimos de milímetros. As medidas de

espessuras estão uniformemente distribuídas, com valores 0,15;

0,16; 0,17; 0,18 e 0,19. Determine a média e a variância da

espessura de recobrimento para este processo.

Uma distribuição de probabilidade binomial resulta de um

experimento que satisfaz os seguintes requisitos:

1. O experimento tem um N° fixo de tentativas;

2. As tentativas devem ser independentes;

3. Cada tentativa deve ter todos os resultados classificados em

duas categorias( sucesso e fracasso)

4. A probabilidade de sucesso permanece constante em todas as

tentativas.

n = número de tentativas

x = número de sucessos entre n tentativas

p = probabilidade de sucesso em qualquer tentativa

q = probabilidade de fracasso em qualquer tentativa (q = 1- p)

xnx

i ppx

nxf

1)(

xnx

i qpxxn

nxXP

..

!!

!)(

3-18) Cada amostra de água tem 10% de chance de conter um

determinado poluente orgânico. Considere que as amostras sejam

independentes com relação à presença do poluente. Encontre a

probabilidade de que nas próximas 18 amostras, exatamente duas

contenham o poluente.

Seja X= N° de amostras que contêm o poluente nas próximas 18

amostras analisadas. Então, X é a variável aleatória binomial com

p = 0,1 e n = 18. Assim:

Interpretação Pratica: Variáveis aleatórias binomiais são usadas

para modelar muitos sistemas físicos, e as probabilidades para

tais modelos podem ser obtidas a partir da função binomial de

probabilidade.

284,0)9,0.()1,0.(153)2(

9,0.1,0.!2!218

!18)2(

162

162

XP

XP

A. Determine a probabilidade de que no mínimo quatro amostras

contenham o poluente.

B. Determine a probabilidade de que 3 ≤ X < 7.

Se X for uma variável aleatória binomial com parâmetros p e n,

)1(22 pnpounpq

np

3-92) Amostras de 20 peças de um processo de um corte metálico

são selecionadas a cada hora. Tipicamente, 1% das peças

requerem retrabalho. Seja X o número de peças na amostra de 20

que requerem retrabalho. Suspeita-se de um problema no

processo se X exceder sua média em mais de três desvios-padrão.

a. Se a percentagem de peças que requer retrabalho permanecer

em 1%, qual será a probabilidade de X exceder sua média em

mais de 3 desvios-padrões?

Em uma série de tentativas de Bernoulli (tentativas

independentes, com probabilidade constante p de sucessos), seja

a variável aleatória X o número de tentativas até que o primeiro

sucesso ocorra. Então X é uma variável aleatória geométrica, com

parâmetros 0 < p < 1 e:

,......2,1)1()( 1 xppxf x

A probabilidade de uma pastilha conter uma partícula grande de

contaminação é de 0,01. Se for considerado que as pastilhas

sejam independentes, qual será a probabilidade de que

exatamente 125 pastilhas necessitem ser analisadas antes que a

partícula grande seja detectada?

Seja X o número de amostras analisadas até que uma partícula

grande seja detectada. Então X é uma variável aleatória

geométrica, com p = 0,01. A probabilidade requerida é:

0029,001,0)99,0()125( 124^ XP

Em uma série de tentativas de Bernoulli ( tentativas

independentes, com probabilidade constante p de sucessos), seja

a variável aleatória X o número de tentativas até que r sucessos

ocorram. Então X é uma variável aleatória binomial negativa,

com parâmetros 0 < p < 1 e r = 1, 2, 3....

,......2,1,)1(1

1)(

rrrxpp

r

xxf rrx