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Universidade Federal de Santa Catarina Departamento de Engenharia MecânicaGrupo de Análise e Projeto Mecânico
CCUURRSSOO DDEE PPRROOJJEETTOO EESSTTRRUUTTUURRAALL CCOOMM MMAATTEERRIIAAIISS CCOOMMPPOOSSTTOOSS
PPrrooff.. JJoosséé CCaarrllooss PPeerreeiirraa
FFlloorriiaannóóppoolliiss,, aaggoossttoo ddee 22000055
SSUUMMÁÁRRIIOO
––
1 – ASPECTOS GERAIS DOS MATERIAIS COMPOSTOS __________________ 1
11..11 DeffiinniiççããoDe o ______________________________________________________________________________________________________ 11
11..2 Componnennttess cconnssttiittuuiinnttess de uum maa erriiaall ccomposstto2–– Compo e e o e de m m tte ompo o ______________________________________ 11
1.2.1 – Fibras1.2.1 – Fibras____________________________________________________________________________________________________ 11
1.2.2 – Matrizes1.2.2 – Matrizes ______________________________________________________________________________________________22
11..3 –– Inntterresssse doss maa erriiaaiiss ccompossttoss3 I e e e do m tte ompo o ______________________________________________________________33
11..4 –– Aplliiccaaççõess doss maatterriiaaiiss ccomposs oss4 Ap õe do m e ompo tto ______________________________________________________________44
11..5 –– PPrroprriiedaadess ffííssiiccaass prriinncciipaaiiss5 op ed de p p ______________________________________________________________________99
11..6 –– Caa aacc errííssttiiccaass daa miissttuurraa rrefforrçço maattrriiz6 C rr tte d m e o o--m z __________________________________________________ 1111
11..7 –– PPrroccessssoss de ffaabrriiccaaççãão7 o e o de b o ____________________________________________________________________________ 1133
1.7.1 – Moldagem sem pressão1.7.1 – Moldagem sem pressão ________________________________________________________________________ 1144
1.7.2 – Moldagem por projeção simultânea1.7.2 – Moldagem por projeção simultânea ______________________________________________________ 1155
1.7.3 – Moldagem a vácuo1.7.3 – Moldagem a vácuo ________________________________________________________________________________ 1166
1.7.4 – Moldagem por compressão a frio1.7.4 – Moldagem por compressão a frio __________________________________________________________ 1177
1.7.5 – Moldagem por injeção1.7.5 – Moldagem por injeção __________________________________________________________________________ 1177
1.7.6 – Moldagem em contínuo1.7.6 – Moldagem em contínuo ________________________________________________________________________ 1188
1.7.7 – Moldagem por centrifugação1.7.7 – Moldagem por centrifugação ________________________________________________________________ 1199
1.7.8 – Bobinamento circunferencial1.7.8 – Bobinamento circunferencial ________________________________________________________________2200
1.7.9 – Bobinamento helicoidal1.7.9 – Bobinamento helicoidal ________________________________________________________________________ 2211
1.7.10 – Bobinamento polar1.7.10 – Bobinamento polar ______________________________________________________________________________2222
11..8 –– Arrqquuii ettuurraa doss maatterriiaaiiss ccompossttoss8 A tte do m e ompo o __________________________________________________________2233
1.8.1 – Laminados1.8.1 – Laminados ____________________________________________________________________________________________2233
1.8.2 – Sanduíche1.8.2 – Sanduíche __________________________________________________________________________________________2244
11..9 –– Detterrmiinnaaççãão experriimenn aall daass cconnssttaann ess elláássttiiccaass de uumaa llââmiinnaa9 De e m o expe me tt d o tte e de m m ____________2255
2 – CONSTANTES ELÁSTICAS DOS MATERIAIS COMPOSTOS ___________28
2..11 –– Eqquuaaççõess cconnssttiittuuttiivvaass paarraa maatterriiaaiiss ccompossttoss2 E õe o p m e ompo o ________________________________________2288
2..2 –– Effeii o daa ttemperraattuurraa2 2 E e tto d empe ______________________________________________________________________________3333
3 – CONSTANTES ELÁSTICAS DOS MATERIAIS COMPOSTOS NUMA DIREÇÃO
QUALQUER ___________________________________________________34
3..11 –– Eqquuaaççõess cconnssttiittuuttiivvaass doss maatterriiaaiiss ccomposs oss nnuumaa diirreççãão qquuaallqquuerr3 E õe o do m e ompo tto m d e o e ________3344
3..2 - Effeiitto daa emperraattuurraa3 2 - E e o d ttempe ______________________________________________________________________________4422
4 – COMPORTAMENTO MECÂNICO DE PLACAS LAMINADAS _____________44
4..11 –– Teorriiaa Clláássssiiccaa de Laamiinnaadoss T..C..L..))4 Teo C de L m do ((T C L __________________________________________________________4444
4.1.1 – Comportamento em membrana4.1.1 – Comportamento em membrana ______________________________________________________________4444
4.1.2 – Comportamento em flexão4.1.2 – Comportamento em flexão____________________________________________________________________5544
4.1.3 – Efeito da temperatura4.1.3 – Efeito da temperatura ________________________________________________________________________6644
4..2 –– Teorriiaa de PPrriimeiirraa Orrdem (T..PP..O..))4 2 Teo de me O dem (T O ______________________________________________________________6699
4..3 –– Detterrmiinnaaççãão daa deffllexãão em pllaaccaass llaamiinnaadaass4 3 De e m o d de ex o em p m d __________________________________________7744
4..4 –– Detterrmiinnaaççãão daass ttennssõess de cciissaallhaamenntto rraannssvverrsso em pllaaccaass llaamiinnaadaass4 4 De e m o d e õe de h me o tt e o em p m d 8833
4..5 - Viibrraaççõess em pllaaccaass llaamiinnaadaass4 5 - V b õe em p m d __________________________________________________________________8877
4.5.1 – Equações lineares de equilíbrio de placas4.5.1 – Equações lineares de equilíbrio de placas ______________________________________________8877
4.5.2 – Vibrações de placas laminadas pela Teoria Clássica de Laminados4.5.2 – Vibrações de placas laminadas pela Teoria Clássica de Laminados __________9900
4.5.3 – Vibrações de placas laminadas pela Teoria de Primeira Ordem4.5.3 – Vibrações de placas laminadas pela Teoria de Primeira Ordem ______________9933
5 – CRITÉRIOS DE RUPTURA______________________________________99
5..11 –– Crrii érriio de ttennssãão mááxiimaa5 C tté o de e o m x m __________________________________________________________________________9999
5..2 –– Crriittérriio de defforrmaaççãão mááxiimaa5 2 C é o de de o m o m x m ________________________________________________________________ 110000
5..3 –– Compaarraaççãão ennttrre oss ccrriittérriioss de ttennssãão mááxiimaa e de defforrmaaççãão mááxiimaa5 3 Comp o e e o é o de e o m x m e de de o m o m x m 110011
5..4 –– Crriittérriioss iinntterraattiivvoss5 4 C é o e o ________________________________________________________________________________ 110044
5.4.1 – Revisão do critério de von Mises5.4.1 – Revisão do critério de von Mises ________________________________________________________ 110044
5.4.2 – Critério de Hill5.4.2 – Critério de Hill__________________________________________________________________________________ 110088
5.4.3 – Critério de Tsai-Hill5.4.3 – Critério de Tsai-Hill __________________________________________________________________________ 111100
5.4.4 – Critério de Hoffman5.4.4 – Critério de Hoffman__________________________________________________________________________ 111100
5.4.5 – Critério de Tsai-Wu5.4.5 – Critério de Tsai-Wu __________________________________________________________________________ 111111
5..4 –– Méttodo de degrraadaaççãão5 4 Mé odo de deg d o ____________________________________________________________________________ 112244
6 – MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS APLICADO AOS MATERIAIS
COMPOSTOS_________________________________________________ 142
6..11 –– Enne giiaa de defforrmaaççãão ellemennttaarr6 E errg de de o m o e eme ____________________________________________________________ 114422
6..2 –– Ennerrgiiaa cciinnéttiiccaa ellemenn aarr6 2 E e g é e eme tt ______________________________________________________________________ 114466
6..3 –– Trraabaallho eaalliizaado pellaass fforrççaass ex errnnaass6 3 T b ho rre z do pe o extte ________________________________________________ 114488
6..4 –– PPrrobllemaa essttáá iicco prriinnccíípiio doss ttrraabaallhoss vviirrttuuaaiiss6 4 ob em e tt o –– p p o do b ho __________________________________ 114499
6..5 –– PPrrobllemaa diinnââmiicco –– eqquuaaççõess de llaagrraannge6 5 ob em d m o e õe de g ge ________________________________________________ 115500
6.5.1 – Freqüências naturais e modos de vibração6.5.1 – Freqüências naturais e modos de vibração __________________________________________ 115500
6.5.2 – Resposta no tempo6.5.2 – Resposta no tempo ____________________________________________________________________________ 115511
6..6 –– Exemplloss de aaplliiccaaççãão6 6 Exemp o de p o______________________________________________________________________________ 115511
6.6.1 – Chassi de kart6.6.1 – Chassi de kart __________________________________________________________________________________ 115511
6.6.2 – Chassi de side-car6.6.2 – Chassi de side-car ____________________________________________________________________________ 115522
6.6.3 – Quadro de bicicleta (a)6.6.3 – Quadro de bicicleta (a)______________________________________________________________________ 115533
6.6.4 – Raquete de tênis6.6.4 – Raquete de tênis ______________________________________________________________________________ 115533
6.6.5 – Carroceria de caminhão baú6.6.5 – Carroceria de caminhão baú ______________________________________________________________ 115544
6.6.6 – Casco de catamaran6.6.6 – Casco de catamaran __________________________________________________________________________ 115544
6.6.7 – Quadro de bicicleta (b)6.6.7 – Quadro de bicicleta (b) ____________________________________________________________________ 115555
6.6.8 – Chassi de um caminhão leve6.6.8 – Chassi de um caminhão leve________________________________________________________________ 115555
7 – FLAMBAGEM DE PLACAS LAMINADAS __________________________ 156
7..11 –– Eqquuaaççõess lliinneaarress de eqquuiillííbrriio de pllaaccaass7 E õe e e de e b o de p __________________________________________________ 115566
7..2 –– Eqquuaaççõess nnãão lliinneaarress de eqquuiillííbrriio de pllaaccaa7 2 E õe o e e de e b o de p ______________________________________________ 115588
7..3 –– Méttodo daa perr uurrbaaççãão aaplliiccaado àà ffllaambaagem7 3 Mé odo d pe tt b o p do mb gem __________________________________________ 116611
REFERÊNCIAS________________________________________________ 174
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 1
11 –– AASSPPEECCTTOOSS GGEERRAAIISS DDOOSS MMAATTEERRIIAAIISS CCOOMMPPOOSSTTOOSS
––11..11 DDeeffiinniiççããoo
Um material composto é formado pela união de dois materiais de naturezas
diferentes, resultando em um material de performance superior àquela de seus
componentes tomados separadamente. O material resultante é um arranjo de fibras,
contínuas ou não, de um material resistente (reforço) que é impregnado em uma
matriz de resistência mecânica inferior as fibras.
11..22–– CCoommppoonneenntteess ccoonnssttiittuuiinntteess ddee uumm mm ttaa eerriiaall ccoommppoossttoo
11..22..11 –– FFiibbrraass
A(s) fibra(s) é o elemento constituinte que confere ao material composto suas
características mecânicas: rigidez, resistência à ruptura, etc. As fibras podem ser
curtas de alguns centímetros que são injetadas no momento da moldagem da peça,
ou longas e que são cortadas após a fabricação da peça.
Os tipos mais comuns de fibras são: de vidro, de aramida (kevlar), carbono,
boro, etc. As fibras podem ser definidas como sendo unidirecionais, quando
orientadas segundo uma mesma direção; bidimensionais, com as fibras orientadas
segundo duas direções ortogonais (tecidos), Figura 1.1 e Figura 1.2, ou com as fibras
orientadas aleatoriamente (esteiras), Figura 1.3; e tridimensionais, quando as fibras
são orientadas no espaço tridimensional (tecidos multidimensionais).
Aspectos Gerais dos Materiais Compostos 2
11..22..22 –– MMaattrriizzeess
As matrizes têm como função principal, transferir as solicitações mecânicas
as fibras e protegê-las do ambiente externo. As matrizes podem ser resinosas
(poliéster, epóxi, etc), minerais (carbono) e metálicas (ligas de alumínio).
Figura 1.1 – Tecido - padrão 1
Figura 1.2 – Tecido - padrão 2
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 3
Figura 1.3 – Esteira (fibras contínuas ou cortadas)
A escolha entre um tipo de fibra e uma matriz depende fundamentalmente da
aplicação ao qual será dado o material composto: características mecânicas
elevadas, resistência a alta temperatura, resistência a corrosão, etc. O custo em
muitos casos pode também ser um fator de escolha entre um ou outro componente.
Deve ser observada também a compatibilidade entre as fibras e as matrizes.
11..33 –– IInntteerreessssee ddooss mm ttaa eerriiaaiiss ccoommppoossttooss
O interesse dos materiais compostos está ligado a dois fatores: econômico e
performance. O fator econômico vem do fato do material composto ser muito mais
leve que os materiais metálicos, o que implica numa economia de combustível e
conseqüentemente, num aumento de carga útil (aeronáutica e aeroespacial). A
redução na massa total do produto pode chegar a 30 % ou mais, em função da
aplicação dada ao material composto. O custo de fabricação de algumas peças em
material composto pode ser também sensivelmente menor se comparado com os
materiais metálicos.
Aspectos Gerais dos Materiais Compostos 4
O fator performance está ligado a procura por um melhor desempenho de
componentes estruturais, sobretudo no que diz respeito às características
mecânicas (resistência a ruptura, resistência à ambientes agressivos, etc.). O
caráter anisotrópico dos materiais compostos é o fator primordial para a obtenção
das propriedades mecânicas requeridas pelo componente.
A leveza juntamente com as excelentes características mecânicas faz com
que os materiais compostos sejam cada vez mais utilizados dentro de atividades
esportivas.
11..44 –– AApplliiccaaççõõeess ddooss mmaatteerriiaaiiss ccoommppoo ttss ooss
A aplicação dos materiais compostos surgiu inicialmente na área aeronáutica
devido a necessidade de diminuição de peso, preservando a robustez dos
componentes estruturais. Atualmente uma grande variedade de peças em materiais
compostos podem ser encontradas nos aviões em substituição aos materiais
metálicos: fuselagem, spoilers, portas de trem de aterrissagem, portas internas,
etc., Figura 1.4. Em muitos destes componentes, sua concepção foge da definição
dada inicialmente para materiais compostos, pois nestes casos os componentes são
fabricados normalmente em placas de baixa densidade, contra-placadas por placas
finas de alta resistência. Esta configuração normalmente é dita sanduíche. De uma
forma mais ampla, estas configurações são também consideradas “materiais
compostos”, pois combinam diferentes materiais.
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 5
Figura 1.4 – Componentes em material composto em aviões-caça
Dentro da área aeronáutica, os helicópteros possuem também vários
componentes em material composto: pás da hélice principal, hélice traseira, árvore
de transmissão, fuselagem, etc, Figura 1.5.
Figura 1.5 – Componentes em material composto em helicópteros
A utilização dos materiais compostos dentro da industria automobilística é
bem mais recente do que na área aeronáutica. Inicialmente, eram produzidos
Aspectos Gerais dos Materiais Compostos 6
somente pára-choques e tetos de automóveis. Atualmente, o material composto é
utilizado para a fabricação de capôs, carters de óleo, colunas de direção, árvores de
transmissão, molas laminadas, painéis, etc., Figura 1.6.
Uma das grandes vantagens trazidas para o meio automobilístico pelos
materiais compostos é, além da redução do peso, a facilidade em confeccionar peças
com superfícies complexas.
Figura 1.6 – Componentes em material composto em automóveis
Uma atividade esportiva notória que emprega material composto é a Fórmula
1, que pode ser considerada como um laboratório para as inovações tecnológicas. Em
muitos casos, o que se emprega dentro dos carros de Fórmula 1, será utilizado
futuramente nos carros de passeio. Neste caso, o aumento da relação potência/peso
é fundamental para um bom desempenho do carro nas pistas. A configuração mais
freqüentemente utilizada nestes carros é do tipo sanduíche que é utilizada para a
confecção da carroceria.
Em praticamente todas as atividades esportivas, a redução do peso está
diretamente ligada a redução do tempo de execução de uma prova esportiva. Como
exemplo disto, podemos citar: barcos a vela, skis, bicicletas, etc. Em alguns casos, o
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 7
que se procura é a agilidade, e a perfeição de alguns golpes, como no tênis, com suas
raquetes; no golfe, com seus tacos; e no surf, com suas pranchas.
Figura 1.7 – Barcos a vela Figura 1.8 – Ski
Uma aplicação bem recente dos materiais compostos na área aeroespacial são
os painéis solares de satélites, confeccionados em uma configuração sanduíche,
Figura 1.9, e os motores de último estágio dos lançadores de satélites,
confeccionados a partir do bobinamento das fibras sobre um mandril, Figura 1.10.
Aspectos Gerais dos Materiais Compostos 8
Figura 1.9 – Painéis solares de satélite
Figura 1.10 – Propulsor de último estágio de lançador de satélite
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 9
11..55 –– PPrroopprriieeddaaddeess ffííssiiccaass pprriinncciippaaiiss
Metais
Massa volum
étrica (kg/m
3)
Módulo de
elasticidade (GPa)
Módulo de
cisalhamento (GPa)
Coeficiente de poisson
Tensão de ruptura à tração (M
Pa)
Alongam
ento à ruptura (%
)
Coeficiente de dilatação térm
ica (10
-5 °C-1)
Temperatura lim
itede utilização (°C)
ρ E G ν σ ε α Tmax
aços 7800 205 79 0,3 400 a
1600
1,8 a
10
1,3 800
ligas de
alumínio
2800 75 29 0,3 450 10 2,2 350
ligas de
titânio
4400 105 40,3 0,3 1200 14 0,8 700
Cobre 8800 125 48 0,3 200 a
500
1,7 650
Fibras
Massa volum
étrica (kg/m
3)
Módulo de
elasticidade (GPa)
Módulo de
cisalhamento (GPa)
Coeficiente de poisson
Tensão de ruptura à tração (M
Pa)
Alongam
ento à ru ptura (%
)
Coeficiente de dilatação térm
ica (10
-5 °C-1)
Temperatura lim
itede utilização (°C)
Preço/kg 1985
ρ E G ν σ ε α Tmax $US
Vidro “R” 2500 86 0,2 3200 4 0,3 700 12
Vidro “E” 2600 74 30 0,25 2500 3,5 0,5 700 2,8
Kevlar 49 1450 130 12 0,4 2900 2,3 -0,2 70
Grafite 1750 230 50 0,3 3200 1,3 0,02 >1500 70 a
Aspectos Gerais dos Materiais Compostos 10
“HR” 140
Grafite
“HM”
1800 390 20 0,35 2500 0,6 0,08 >1500 70 a
140
Boro 2600 400 3400 0,8 0,4 500 500
Matrizes
Massa volum
étrica (kg/m
3)
Módulo de
elasticidade (GPa)
Módulo de
cisalhamento (GPa)
Coeficiente de poisson
Tensão de ruptura à tração (M
Pa)
Alongam
ento à ruptura (%
)
Coeficiente de dilatação térm
ica (.10
-5°C-1)
Temperatura lim
itede utilização (°C)
Preço/kg 1985
ρ E G ν σ ε α Tmax $US
Termoresistentes
Epóxi 1200 4,5 1,6 0,4 130 2 a 6 11 90 a
200
6 a 20
Fenólica 1300 3 1,1 0,4 70 2,5 1 120 a
200
Poliéster 1200 4 1,4 0,4 80 2,5 8 60 a
200
2,4
Poli
carbonato
1200 2,4 60 6 120
Termoplásticas
Poli
propileno
900 1200 30 20 a
400
9 70 a
140
Poliamida 1100 4000 70 200 8 170 6
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 11
11..66 –– CC rr ttaa aacc eerrííssttiiccaass ddaa mmiissttuurraa rreeffoorrççoo--mmaattrriizz
As propriedades da lâmina (reforço+matriz) são obtidas em função das
percentagens de cada componente na mistura.
a) Percentagem em massa do reforço.
totalmassareforçodemassaMf =
b) Percentagem em massa da matriz.
totalmassamatrizdamassaMm = ou Mm = 1 - Mf
c) Percentagem em volume do reforço.
totalvolumereforçodevolumeVf =
d) Percentagem em volume da matriz.
totalvolumematrizdavolumeVm = ou Vm = 1 - Vf
e) Massa volumétrica da lâmina.
totalvolumetotalmassa
=ρ
ou:
totalvolumematrizdamassa
totalvolumereforçodomassa
+=ρ
mf totalvolumematrizdavolume
totalvolumereforçodovolume
ρ+ρ=ρ
ρ = ρf . Vf + ρm . Vm
onde ρf e ρm são as massas volumétricas do reforço e da matriz, respectivamente.
f) Módulo de elasticidade longitudinal El ou E1 (propriedades estimadas).
E1 = Ef . Vf + Em . Vm
Aspectos Gerais dos Materiais Compostos 12
ou:
E1 = Ef . Vf + Em . (1 – Vf)
g) Módulo de elasticidade transversal Et ou E2.
( )2 m
mf f
ft
1E E E1 V VE
= − +
onde Eft representa o módulo de elasticidade do reforço na direção transversal.
h) Módulo de cisalhamento Glt ou G12.
( )12 m
mf f
ft
1G G G1 V VG
= − +
onde Gft representa o módulo de cisalhamento do reforço.
i) Coeficiente de poisson νlt ou ν12.
ν12 = νf . Vf + νm . Vm
j) Resistência a ruptura da lâmina.
( ) m1ruptura f ruptura f f
f
EV 1 VE
σ = σ + −
ou:
1ruptura f ruptura f.Vσ = σ
k) Propriedades mecânicas de algumas misturas mais comumente utilizadas.
As propriedades na Tabela 1.4 abaixo correspondem a uma mistura de fibras
unidirecionais+resina epóxi com 60 % do volume em fibras.
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 13
Tabela 1.4 – Propriedades de fibras unidirecionais+resina com 60 % do volume em
fibras
vidro kevlar carbono
Massa volumétrica (kg/m3) 2080 1350 1530
σruptura em tração na direção 1 (Xt) (MPa) 1250 1410 1270
σruptura em compressão na direção 1 (Xc) (MPa) 600 280 1130
σruptura em tração na direção 2 (Yt) (MPa) 35 28 42
σruptura em compressão na direção 2 (Yc) (MPa) 141 141 141
τ12 ruptura em cisalhamento (S12) (MPa) 63 45 63
τruptura em cisalhamento interlaminar (MPa) 80 60 90
módulo de elasticidade longitudinal E1 (MPa) 45000 85000 134000
módulo de elasticidade transversal E2 (MPa) 12000 5600 7000
módulo de cisalhamento G12 (MPa) 4500 2100 4200
coeficiente de poisson ν12 0,3 0,34 0,25
Coef. de dilatação térmica long. α1 (10-5 °C-1) 0,4 a 0,7 -0,4 -0,12
Coef. de dilatação térmica transv. α2 (10-5 °C-1) 1,6 a 2 5,8 3,4
11..77 –– PPrroocceessssooss ddee ffaabbrriiccaaççããoo
Muitas peças ou estruturas em material composto são geralmente produzidas
por uma composição de lâminas sucessivas, chamadas de estruturas estratificadas.
Os processos de fabricação são inúmeros e devem ser selecionadas segundo
requisitos como: dimensões, forma, qualidade, produtividade (capacidade de
produção), etc.
As operações básicas para a obtenção da peça final têm a seguinte seqüência:
Aspectos Gerais dos Materiais Compostos 14
Acabamento
Desmoldagem
Polimerização (estufa)
Colocação da mistura sobre o molde/mandril
Impregnação (mistura)
Resina Fibras
11..77..11 –– MMoollddaaggeemm sseemm pprreessssããoo
O molde é primeiramente revestido de um desmoldante e posteriormente de
uma resina colorida. A seguir as fibras são depositadas sobre o molde e em seguida
impregnadas com resina e compactadas com um rolo. O processo se segue para as
lâminas sucessivas, Figura 1.11. A polimerização (solidificação) ou cura da resina
pode ser feita com ou sem o molde, isto em função da geometria da peça. A cura da
resina pode ser feita em temperatura ambiente ou ser acelerada se colocada em
uma estufa a uma temperatura entre 80° C e 120° C. Após a cura da resina e a
desmoldagem, a peça é finalizada: retirada de rebarbas, pintura, etc.
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 15
resina fibras
molde
Figura 1.11 – Moldagem sem pressão
11..77..22 –– MMoollddaaggeemm ppoorr pprroojjeeççããoo ssiimmuullttâânneeaa
Este processo consiste em projetar simultaneamente fibras cortadas
impregnadas em resina sobre o molde. A lâmina de fibras impregnadas é em seguida
compactada por um rolo e novas lâminas podem ser sucessivamente depositadas,
Figura 1.12. Um contra-molde pode eventualmente ser utilizado para a obtenção de
faces lisas e para proporcionar uma melhor compactação entre as lâminas. A
vantagem deste processo com relação ao anterior é permitir uma produção em série
das peças, no entanto, as características mecânicas das peças são médias devido ao
fato das fibras serem cortadas.
Aspectos Gerais dos Materiais Compostos 16
fibra cortada e impreg-nada
fibra
resina
Figura 1.12 – Moldagem por projeção simultânea
11..77..33 –– MMoollddaaggeemm aa vvááccuuoo
Neste processo as fibras podem ser colocadas manualmente como na
moldagem sem pressão, ou automaticamente por projeção simultânea. Neste caso um
contra-molde e uma bomba a vácuo são utilizados para permitir uma melhor
compactação e evitar a formação de bolhas, Figura 1.13.
contra molde fibras
Bomba avácuo resina
Figura 1.13 – Moldagem a vácuo
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 17
11..77..44 –– MMoollddaaggeemm ppoorr ccoommpprreessssããoo aa ffrriioo
Neste processo a resina é injetada sob pressão no espaço entre o molde e o
contra-molde. A cura pode ser feita a temperatura ambiente ou em uma estufa. Há
casos onde o molde e o contra-molde são aquecidos, sendo este processo chamado
de compressão a quente. Neste caso a cura da resina é feita no próprio molde,
Figura 1.14.
11..77..55 –– MMoollddaaggeemm ppoorr iinnjjeeççããoo
O processo por injeção consiste em injetar as fibras impregnadas a partir de
um parafuso sem fim no molde aquecido, Figura 1.15.
contra-molde
molde
resina
Figura 1.14 – Moldagem por compressão a frio
Aspectos Gerais dos Materiais Compostos 18
Fibra pré-impregnada aquecida
Contra-molde aquecido
molde aquecido
Figura 1.15 – Moldagem por injeção
11..77..66 –– MMoollddaaggeemm eemm ccoonnttíínnuuoo
Este processo permite produzir placas e painéis de grande comprimento. As
fibras (unidirecionais, tecidos ou esteira) juntamente com a resina são depositadas
entre dois filmes desmoldantes. A forma da placa e a cura da resina são dadas
dentro da estufa, Figura 1.16 e Figura 1.17.
fibras filme desmoldante
estufa
faca
rolos filme desmoldante
Figura 1.16 – Moldagem de placas contínuas
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 19
filme desmoldante
filme desmoldante
fibras cortadas
faca
resina
Figura 1.17 – Moldagem de placas onduladas contínuas
11..77..77 –– MMoollddaaggeemm ppoorr cceennttrriiffuuggaaççããoo
Este processo é utilizado na produção de peças de revolução. Dentro do molde
em movimento de rotação é injetado as fibras cortadas juntamente com a resina. A
impregnação da resina nas fibras e a compactação é feita pelo efeito de
centrifugação. A cura da resina pode ser feita a temperatura ambiente ou em uma
estufa. Este processo é utilizado em casos onde não se exige homogeneidade das
propriedades mecânicas da peça.
fibra
Figura 1.18 – Moldagem por centrifugação
Aspectos Gerais dos Materiais Compostos 20
Outros processos de fabricação de peças de revolução podem ser empregados
quando se exige homogeneidade das propriedades mecânicas da peça. Nestes
processos fibras são enroladas (bobinadas) sobre um mandril que dará a forma final
da peça. Este processo permite a fabricação industrial de tubos de diversos
diâmetros e grandes comprimentos de alta performance.
Para atender a estas necessidades de projeto, o bobinamento das fibras pode
ser feito da seguinte maneira: bobinamento circunferencial, bobinamento helicoidal
e o bobinamento polar.
11..77..88 –– BBoobbiinnaammeennttoo cciirrccuunnffeerreenncciiaall
No bobinamento circunferencial, as fibras são depositadas em um mandril
rotativo, com um ângulo de deposição de 90° �em relação ao eixo de rotação, Figura
1.19. Este tipo de bobinamento resiste aos esforços circunferenciais.
Figura 1.19 - Bobinamento circunferencial
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 21
11..77..99 –– BBoobbiinnaammeennttoo hheelliiccooiiddaall
No bobinamento helicoidal, as fibras são depositadas em um mandril rotativo
com um ângulo de deposição α� em relação ao eixo de rotação, Figura 1.20. Este tipo
de bobinamento resiste aos esforços circunferenciais e longitudinais.
guia
resina
fibras
Figura 1.20 - Bobinamento helicoidal
estufa fibras impregnadas
mandri
fibras
Figura 1.21 - Bobinamento helicoidal contínuo
Aspectos Gerais dos Materiais Compostos 22
11..77..1100 –– BBoobbiinnaammeennttoo ppoollaarr
No bobinamento polar, o reforço é depositado no mandril de forma a
tangenciar as duas aberturas dos domos, traseiro e dianteiro, Figura 1.22. O ângulo
de deposição varia de αo, constante na região cilíndrica, até 90° �nas duas aberturas
dos domos. O bobinamento polar resiste preferencialmente aos esforços
longitudinais.
A fabricação de vasos de pressão bobinados consiste de dois tipos de
bobinamento, como é o caso da Figura 1.10. Nos domos traseiro e dianteiro, o
bobinamento é do tipo polar [(±θ], enquanto que na região cilíndrica, os
bobinamentos circunferencial e polar se intercalam [(90º/±θ].
Figura 1.22 - Bobinamento polar
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 23
11..88 –– AA ttrrqquuii eettuurraa ddooss mmaatteerriiaaiiss ccoommppoossttooss
11..88..11 –– LLaammiinnaaddooss
Os laminados, ou estruturas laminadas, são constituidos de sucessivas lâminas
de fibras impregnadas em resina segundo uma orientação, Figura 1.23. A designação
dos laminados é efetuada segundo a disposição das lâminas e a orientação da lâmina
com relação ao eixo de referência, Figura 1.24.
Figura 1.23 – Constituição de um laminado
30° 90° 45° 90° 0° 45° 450° 45909030
[45/0/45/902
Figura 1.24 – Designação de um laminado
Aspectos Gerais dos Materiais Compostos 24
11..88..22 –– SSaanndduuíícchhee
O princípio da técnica de estruturas do tipo sanduíche consiste em colocar um
material leve (geralmente com boas propriedades em compressão) entre duas
contra-placas com alta rigidez. Este princípio concilia leveza e rigidez a estrutura
final.
alma de baixopeso (espuma,resina, etc)
Placas rígidas (aço,placas laminadas, etc)
Sentido das fibrasda madeira
Alma de madeira
Placas rígidas (aço,placas laminadas, etc)
Figura 1.25 – Sanduíche de alma plena
(a)
colméia
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 25
alma ondulada
(b)
Figura 1.26 – Sanduíche de alma “oca” – (a) e (b)
11..99 –– DDeetteerrmmiinnaaççããoo eexxppeerriimmee ttnn aall ddaass ccoo ttnnssttaann eess eelláássttiiccaass ddee uummaa llââmmiinnaa
Para a determinação das constantes elásticas de placas unidirecionais em
fibra/resina, é necessário cortar dois corpos de prova padronizados, sobre os quais
são colados dois extensômetros dispostos ortogonalmente como mostrado abaixo.
σx
y
x
σx
y
x 20°
Aspectos Gerais dos Materiais Compostos 26
Os corpos de prova são ensaiados numa máquina de tração e as deformações
são medidas pelos extensômetros.
Como exemplo, se for aplicado uma tensão de tração σx = 20 MPa, as
deformações medidas pelos extensômetros no primeiro corpo de prova são: ε1x =
143e-6 e ε1y = - 36e-6. Assim:
x1x
x 1E Eσ σ
ε = = x , x1
1x
20143e 6
σ= =
εE , E
−1 = 139860 MPa
1y xy 1x 12 1xε = −ν ε = −ν ε , 1y12
1x
εν = −
ε , 12
36e 6143e 6
−ν =
− , ν12 = 0,25
Analogamente, se for aplicado uma tensão de tração σx = 20 MPa, as
deformações medidas pelos extensômetros no segundo corpo de prova, no qual as
fibras formam um ângulo de 20° com o eixo x, são: ε2x = 660e-6 e ε2y = - 250e-6.
Assim de [1], pag. 332:
x2x
xEσ
ε = (1)
4 42 2 12
x 1 2 12 1
1 c s 1c s 2E E E G E
ν= + + −
(2)
4 42 2 12
2x x1 2 12 1
c s 1c s 2E E G E
νε = + + − σ
(3)
x2y xy
xEσ
ε = −ν (4)
onde c = cos 20° e s = sen 20°. Como 21 12
2 1E Eν ν
= e yx xy
y xE Eν ν
= :
( )xy 4 4 2 221
x 2 1 2 1
1 1 1c s c sE E E E Gν ν
− = − + + + − 2
(5)
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 27
Substituindo (5) em (4):
( )4 4 2 2122y x
1 1 2
1 1 1c s c sE E E
νε = − + − + − σ 12G
(6)
De (3) e (6) temos:
12 2
1 0,1325 2,69e 4G E
+ = − , 12 2
1 1 1,144e 4G E
− = −
A solução é:
E2 = 7320 MPa , G12 = 3980 MPa e ν21 = 0,013
Constantes elásticas dos materiais compostos 28
22 –– CCOONNSSTTAANNTTEESS EELLÁÁSSTTIICCAASS DDOOSS MMAATTEERRIIAAIISS CCOOMMPPOOSSTTOOSS
22..11 –– EEqquuaaççõõeess ccoonnssttiittuuttiivvaass ppaarraa mmaatteerriiaaiiss ccoommppoossttooss
A anisotropia dos materiais compostos é mais facilmente trabalhada do que
nos casos mais gerais de materiais anisotrópicos, como por exemplo a madeira. Para
os materiais compostos, pode-se definir um sistema de eixos ortogonais, dentro do
qual as propriedades mecânicas são identificadas. Um eixo designado 1 (ou l) é
colocado longitudinalmente as fibras, um outro designado 2 (ou t) é colocado
transversalmente as fibras e um outro designado 3 (ou t’) é colocado
ortogonalmente aos dois anteriores, Figura 2.1.
3
2
1
Figura 2.1 – Sistema de eixos de ortotropia
A lei de comportamento do material composto que relaciona
deformação/tensão pela matriz de flexibilidade, dentro do sistema de eixos de
ortotropia (1, 2, 3), contêm 9 constantes elásticas independentes, e é da seguinte
maneira:
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 29
31211 2 3
32121 11 2 3
2 213 23
3 31 2 3
23 23
2313 13
12 1213
12
1 0 0 0E E E
1 0 0 0E E E
1 0 0 0E E E10 0 0 0 0G
10 0 0 0 0G10 0 0 0 0 G
−ν−ν −ν−νε σ
ε σ −ν −ν ε σ = γ τ γ τ
γ τ
(2.1)
onde:
εii = deformações normais na direção i
γij = deformações angulares no plano ij
σii = tensões normais na direção i
τij = tensões de cisalhamento no plano ij
νij = coeficiente de poisson (deformação causada na direção j devida a uma
solicitação na direção i).
Ei = módulo de elasticidade na direção i
Gij = módulo de cisalhamento no plano ij
Como a matriz de comportamento é simétrica tem-se que:
21 12
2 1E Eν ν
= , 31 13
3 1E Eν ν
= , 32 23
3 2E Eν ν
= (2.2)
Para a demonstração da simetria da matriz de comportamento, considere uma
placa unidirecional de dimensões a, b e espessura e:
Constantes elásticas dos materiais compostos 30 2
a 1
b
Deformações devido a σ1 (na direção longitudinal):
( ) l1 l
1
∆bb E
σε = = 1 , ( ) ( )l 1
2 12 1l l1
∆aa E12
σε = = −ν ε = −ν (2.3)
Deformações devido a σ2 (na direção transversal):
( ) 22 2
2
∆aa E
σε = = 2 , ( ) ( )2
1 21 22 22
∆bb E
221
σε = = −ν ε = −ν (2.4)
Considerando a energia acumulada devida ao carregamento σ1 e depois a σ2,
mantendo σ1:
1 1 2 2 11 1W ( a e) 2∆b ( b e) ∆a ( a e) ∆b2 2
= σ + σ + σ (2.5)
Considerando agora a energia acumulada devida ao carregamento σ2 e depois a
σ1, mantendo σ2:
2 2 1 1 21 1W ' ( b e) 1∆a ( a e) ∆b ( b e) ∆a2 2
= σ + σ + σ (2.6)
Sendo a energia final a mesma, W = W’:
1 2 2( a e) 1∆b ( b e) ∆aσ = σ , 2 11 21 2 12
2 1a e b b e a
E E σ σ
σ −ν = σ −ν
(2.7)
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 31
21 12
2 1E Eν ν
= (2.8)
Em alguns casos, é possível considerar que as propriedades mecânicas nas
direções 2 e 3 são idênticas, já que, como mostrado pela Figura 2.1, estas direções
são direções perpendiculares a direção 1. Para este caso de materiais, ditos
isotrópicos transversos, a matriz de comportamento se simplifica, necessitando
somente de 5 constantes elásticas independentes:
21 211 2 2
12 21 11 2 2
2 212 2
3 31 2 2
23 232213 13
12 1212
12
1 0 0 0E E E
1 0 0 0E E E
1 0 0 0E E E2(1 )0 0 0 0 0E
10 0 0 0 0G10 0 0 0 0 G
−ν −ν −ν −νε σ ε σ −ν −ν ε σ = γ τ+ ν γ τ
γ τ
(2.9)
onde:
ν2 = coeficiente de poisson no plano de isotropia transversa
Nota-se que, devido a isotropia transversa, 2
23 2
1 2(1G E
)+ ν= .
A relação tensão/deformação é dada pela matriz constitutiva do material,
inversa da matriz de flexibilidade dada na eq. (2.1):
Constantes elásticas dos materiais compostos 32
11 12 13 14 15 151 1
21 22 23 24 25 262 2
31 32 33 34 35 363 3
41 42 43 44 45 4623 23
51 52 53 54 55 5613 13
61 62 63 64 65 6612 12
Q Q Q Q Q QQ Q Q Q Q QQ Q Q Q Q QQ Q Q Q Q QQ Q Q Q Q QQ Q Q Q Q Q
σ ε σ ε σ ε = τ γ τ γ
τ γ
(2.10)
onde os termos não nulos são:
23 32 21 31 2311 12 44 23
2 3 2 3
13 31 31 21 3222 13 55 31
1 3 2 3
32 12 3112 2133 23 66 12
1 2 1 3
1Q Q QE E ∆ E E ∆1Q Q QE E ∆ E E ∆1Q Q QE E ∆ E E ∆
+ ν ν ν + ν ν= =
+ ν ν ν + ν ν= =
ν + ν ν+ ν ν= =
G
G
G
=
=
=
(2.11)
com 12 21 23 32 13 31 21 32 13
1 2 3
1 2∆E E E
+ ν ν − ν ν − ν ν − ν ν ν=
Considerado somente o estado plano de tensão (placas laminadas com σ33 = 0,
τ23 = 0 e τ13 = 0), a matriz de rigidez do material composto pode ser freqüentemente
encontrada da seguinte forma:
1 11 12
2 12 22
12 66 12
Q Q 0Q Q 00 0 Q
σ ε σ = ε τ γ
1
2
(2.12)
onde:
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 33
111
12 21
222
12 21
21 112
12 21
66 12
EQ (1 )EQ (1 )
EQ (1 )Q G
= − ν ν
= − ν νν= − ν ν
=
(2.13)
22..22 –– EEffee ttii oo ddaa tteemmppeerraattuurraa
Quando se deseja levar em consideração os efeitos de variação de
temperatura em estruturas compostas, na lei de comportamento do material devem
ser consideradas as deformações devido a este efeito:
31211 2 3
32121 1 11 2 3
2 2 213 23
3 3 31 2 3
23 23
2313 13
12 1213
12
1 0 0 0E E E
1 0 0 0E E E
1 0 0 0E E E ∆T010 0 0 0 0G 0
10 0 0 0 0 0G10 0 0 0 0 G
−ν−ν −ν−νε σ α
ε σ α −ν −ν ε σ α = + γ τ γ τ
γ τ
(2.14)
onde α1 é o coeficiente de dilatação térmica das fibras, α2 é o coeficiente de
dilatação térmica da resina e α3 é o coeficiente de dilatação térmica da resina.
A forma inversa da relação anterior colocada de maneira compacta é:
{ } [ ] { }1 1tQσ = ε − ε1 (2.15)
onde ε1t é a deformação térmica.
Constantes elásticas dos materiais compostos numa direção qualquer 34
33 –– CCOONNSSTTAANNTTEESS EELLÁÁSSTTIICCAASS DDOOSS MMAATTEERRIIAAIISS CCOOMMPPOOSSTTOOSS NNUUMMAA DDIIRREEÇÇÃÃOO
QQUUAALLQQUUEERR
33..11 –– EEqquuaaççõõeess ccoonnssttiittuuttiivvaass ddooss mmaatteerriiaaiiss ccoommppoo ttss ooss nnuummaa ddiirreeççããoo qquuaallqquueerr
Para a análise do comportamento mecânico de placas laminadas é necessário
definir um sistema de eixos de referência (x, y, z) para o conjunto de lâminas e
expressar as constantes elásticas de cada lâmina neste sistema de referência. Para
isto é considerada uma lâmina sobre a qual estão definidos os eixos de ortotropia (1,
2, 3). O sistema de eixos de referência é girado em torno do eixo 3 do ângulo θ,
Figura 3.1.
θ
y
x
3, z
2
1
Figura 3.1 – Sistema de eixos de ortotropia e de referência
Uma das maneiras de determinar a matriz de transformação, que relaciona as
tensões dadas no sistema de eixos de referência com as tensões no sistema de
eixos de ortotropia, é através do balanço de forças nas direções x e y sobre um
elemento plano, conforme mostrado na Figura 3.2.
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 35
θ C
B
A + θ
+ θ
y 2 σ2
τ12
τ21
σ1 x
1
y
σx dA τxy dA
τ21 dA senθ
σ1 dA cosθ θ
σ2 dA senθ
τ12 dA cosθ
y
σx τxy
τ12
τ21
σ2
σ1
dA
θ
x x
Figura 3.2 – Transformação de tensão no plano x-y
Aplicando as equações de equilíbrio estático:
→ , 0=∑ xF
Constantes elásticas dos materiais compostos numa direção qualquer 36
x 1 12
2 12
dA dA cos cos dA cos sendA sen sen dA sen cos 0
σ − σ θ θ − τ θ θ −σ θ θ − τ θ θ =
(3.1)
2 2x 1 2 12cos sen 2 cos senσ = σ θ + σ θ + τ θ θ (3.2)
↑ , 0=∑ yF
xy 1 12
2 12
dA dA cos sen dA cos cos
dA sen cos dA sen sen 0
τ + σ θ θ − τ θ θ −
σ θ θ + τ θ θ = (3.3)
2 2xy 1 2 12cos sen sen cos (cos sen )τ = − σ θ θ + σ θ θ + τ θ − θ (3.4)
A tensão normal σy é obtida fazendo θ = θ + 90° na equação para σx. 2 2
y 1 2 12sen cos 2 cos senσ = σ θ + σ θ − τ θ θ (3.5)
Considerando o elemento conforme apresentado pela Figura 3.3, pode-se
determinar a tensão σxz:
τxz
τ13
τ23
z dA
θ y
x
1
Figura 3.3 – Transformação de tensões transversas
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 37
0=∑ zF , ↑
xz 13 23dA dA cos dA sen 0τ − τ θ −τ θ =
θ
}
1= ε
(3.6)
xz 23 13sen cosτ = τ θ + τ θ (3.7)
A tensão σyz é obtida fazendo θ = θ + 90° na equação para σxz.
yz 23 13cos senσ = σ θ −σ (3.8)
A matriz de transformação [T], pode então ser escrita da forma:
{ } [ ]{ 1x
12
13
23
3
2
1
22
22
22
xy
xz
yz
z
y
x
Tou
sc000scsc0cs0000sc000000100sc2000cs
sc2000sc
σ=σ
τττσσσ
−−
−
−
=
τττσσσ
σ (3.9)
O tensor de deformações medido no sistema de referência tem a mesma
forma que o tensor de tensões dado no sistema de referência (x, y, z), ou seja:
{ } [ ] { }
2 2x 1
2 2y 2
z 3 x
yz 23
13xz2 2 12xy
c s 0 0 0 sc
s c 0 0 0 sc0 0 1 0 0 0 ou T0 0 0 c s 00 0 0 s c 0
2sc 2sc 0 0 0 c s
ε
ε ε ε ε− ε ε = ε γ γ γγ − γ γ − −
(3.10)
onde [ ] [ ]( ) t1TT −σε = ou [ ] [ ] t1 TT σ
−ε =
Constantes elásticas dos materiais compostos numa direção qualquer 38
Considerando o comportamento elástico linear, a lei de comportamento do
material composto expressa no sistema de eixos de referência (x, y, z) é da
seguinte forma:
{ } [ ] { } [ ] [ ] { } [ ] [ ] [ ] { } [ ] [ ] [ ] { }1x 1 1 x tT T Q T Q T T Q T−σ σ σ ε σ σσ = σ = ε = ε = εx (3.11)
Logo, a matriz de rigidez ou matriz constitutiva Q dada no sistema de eixos
de referência (x, y, z) é:
[ ] [ ] [ ] tQ T Q Tσ = σ (3.12)
Considerado somente o estado plano de tensão (placas laminadas com σ33 = 0,
τ23 = 0 e τ13 = 0), a matriz de rigidez do material composto obtida no sistema de
eixos de referência é freqüentemente encontrada da seguinte forma:
x 11 12 16
y 21 22 26
61 62 66xy xy
Q Q QQ Q QQ Q Q
σ ε σ = ε τ γ
x
y
(3.13)
com:
( ) ( )( ) ( )
( )( )
( )( )
4 4 2 211 11 22 12 66
4 4 2 222 11 22 12 66
2 2 2 266 11 22 12 66
2 2 4 412 11 22 66 12
2 2 2 216 11 22 12 66
2 2 2 226 11 22 12 66
Q c Q s Q 2c s (Q 2Q )
Q s Q c Q 2c s (Q 2Q )
Q c s Q Q 2Q c s Q
Q c s Q Q 4Q c s Q
Q cs c Q s Q c s Q 2Q
Q cs s Q c Q c s Q 2Q
= + + +
= + + +
= + − + −
= + − + +
= − − − − + = − − + − +
(3.14)
onde Q11, Q22, Q12 e Q66 são dados na eq. (2.13).
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 39
As curvas abaixo ilustram a evolução dos termos da matriz constitutiva Q
para o carbono/epóxi (ver Tabela 1.4).
-90 -60 -30 0 30 60 90θ0
25
50
75
100
125
150
Q11 (GPa)
-90 -60 -30 0 30 60 90θ0
25
50
75
100
125
150
Q22 (GPa)
-90 -60 -30 0 30 60 90θ0
10
20
30
40
50
Q12 (GPa)
-90 -60 -30 0 30 60 90θ0
10
20
30
40
50
Q66 (GPa)
Constantes elásticas dos materiais compostos numa direção qualquer 40
-90 -60 -30 0 30 60 90θ
-50
-25
0
25
50
Q16 (GPa)
-90 -60 -30 0 30 60 90θ
-50
-25
0
25
50
Q26 (GPa)
Figura 3.4 – Evolução dos termos da matriz Q em uma lâmina em carbono/epóxi
A matriz de flexibilidade S , que relaciona deformação/tensão, dada no
sistema de eixos de referência (x, y, z) é:
{ } [ ] { } [ ] [ ] { } [ ] [ ] [ ] { } [ ] [ ] [ ] { }1x 1 1 x tT T S T S T T S T−ε ε ε σ ε εε = ε = σ = σ = σx (3.15)
ou:
{ } [ ] [ ] [ ] tS T S Tε= ε (3.16)
Após a multiplicação de matrizes, a matriz de flexibilidade pode ser expressa
como mostra a eq. (3.17) (ver Gay 1991).
Observa-se que surgem termos de acoplamento que relacionam tensões de
cisalhamento com deformações normais: ηxy/Gxy, µxy/Gxy e ζx/Gxy; e termos de
acoplamento que relacionam tensões normais com deformações angulares ηx/Ex,
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 41
µy/Ex, e ζz/Ez. Estes termos surgem quando, por exemplo, aplicando uma tensão
normal, a lâmina se deforma conforme ilustrado pela Figura 3.5.
τττσσσ
ςµη
ξ
ξ
ςν−ν−
µν−ν−
ην−ν−
=
γγγεεε
xy
xz
yz
z
y
x
xyzz
x
y
xx
xzyz
yz
xzxz
yz
xy
xy
zy
yz
xxz
xy
xy
z
zy
yx
xy
xy
xy
zzx
y
yx
x
xy
xz
yz
z
y
x
GEEE
GG
GG
GEEE
GEEE
GEEE
100
01000
01000
001
001
001
(3.17)
Material Material σx σx
σx σx
Figura 3.4 – Deformação de materiais isotrópico e ortotrópico devido à carga
normal
Constantes elásticas dos materiais compostos numa direção qualquer 42
33..22 - - EEffeeiittoo dd ttaa eemmppeerraattuurraa
O efeito da temperatura sobre os materiais compostos considerado em uma
direção qualquer é dado da forma:
{ } [ ]{ }1xt T ε=ε ε (3.18)
ou seja:
2 2x t1
2 2y t 2
z t 3
yz t
xz t2 2
xy t
c s 0 0 0 sc ∆T∆Ts c 0 0 0 sc∆T0 0 1 0 0 0
00 0 0 c s 000 0 0 s c 002sc 2sc 0 0 0 c s
ε α ε α− ε α = γ −γ
− −γ
(3.19)
A relação tensão/deformação considerando o efeito da temperatura, dada no
sistema de eixos de referência (x, y, z) pode ser obtida pela eq. (2.19) e utilizando a
matriz de transformação dada pelas eqs. (3.9) ou (3.10):
[ ] { } [ ] [ ] { } [ ] [ ] [ ] { } [ ] [ ] [ ] { }11 1 1 x x tt tT T Q T Q T T Q T−
σ σ σ ε σ σσ = ε − ε = ε − ε = ε − εx xt (3.20)
ou seja:
{ } { }x xtQ σ = ε − ε x (3.21)
A relação tensão/deformação considerando somente o estado plano de tensão
é do tipo:
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 43
x x tx 11 12 16
y 21 22 26 y y t
61 62 66xy xy xy t
Q Q QQ Q QQ Q Q
ε − ε σ σ = ε − ε τ γ
− γ
(3.22)
Comportamento Mecânico de Placas Laminadas 44
44 –– CCOOMMPPOORRTTAAMMEENNTTOO MMEECCÂÂNNIICCOO DDEE PPLLAACCAASS LLAAMMIINNAADDAASS
Os materiais compostos são na maioria dos casos utilizados na forma de
laminados, onde as lâminas são coladas umas sobre as outras com orientações e
espessura das fibras podendo ser diferentes uma das outras. No caso de estruturas
do tipo placas, uma dimensão é muito pequena com relação as outras duas. Em
conseqüência disto, a tensão e a deformação normal na direção da espessura da
placa são considerados desprezíveis (σz = 0 e εz = 0).
As deformações são determinadas em função do campo de deslocamentos
definido por uma teoria para prever o comportamento do laminado. Pela Teoria
Clássica de Laminados, na definição do campo de deslocamentos, o cisalhamento
transverso resultante é nulo (σxz = σyz = 0). Pela Teoria de Primeira Ordem, na
definição do campo de deslocamentos, o cisalhamento transverso resultante é não
nulo (σxz ≠ 0, σyz ≠ 0), porém constante ao longo da espessura de cada lâmina da
placa.
44..11 –– TTeeoorriiaa CClláássssiiccaa ddee LLaammiinnaaddoo ((ss TT..CC..LL..))
Da definição do campo de deslocamento na Teoria Clássica de Laminados, o
cisalhamento transverso é considerado nulo, o que resulta num estado plano de
tensões, onde as únicas tensões não nulas são: σx, σy e σxy.
44..11..11 –– CCoommppoorrttaammeennttoo eemm mmeemmbbrraannaa
No estudo do comportamento em membrana de estruturas laminadas em
materiais compostos, é considerado um laminado de espessura total h com n lâminas
de espessura hk cada uma. Os esforços internos de membrana atuantes no plano do
laminado são denotados Nx, Ny (forças normais por unidade de comprimento
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 45
transversal); Nxy e Nyx (forças cortantes por unidade de comprimento transversal)
(ver Figura 4.1). Os eixos x, y, e z são eixos de referência, conforme item 3.
dxNydxNxy
dyNxdxNxy
dxdy
dxNy
dxNxy
dyNx
dxNxy
y
z
x
Figura 4.1 – Esforços de membrana sobre um elemento de placa
Em supondo a colagem perfeita entre as lâminas e a diferença de rigidez em
cada lâmina, a ddiissttrriibbuuiiççããoo ddaass ddeeffoorrmmaaççõõeess ee tteennssõõeess aaoo lloonnggoo de uummaa placa
llaammiinnaaddaa éé ccoonnffoorrmmee mmoossttrraa aa FFiigguurraa 44..22..
deformações
z
tensões hk
z
h
Figura 4.2 – Distribuição das deformações e tensões ao longo de uma placa laminada
Comportamento Mecânico de Placas Laminadas 46
Os esforços Nx, Ny, Nxy e Nyx são determinados pela imposição do equilíbrio
de forças atuantes em uma seção transversal:
∑∫
∑∫
∑∫
=−
=−
=−
τ=τ==
σ=σ=
σ=σ=
n
1kk
kxy
2/h
2/hxyxyyx
n
1kk
ky
2/h
2/hyy
n
1kk
kx
2/h
2/hxx
h)1.dz(1.N1.N
h)1.dz(1.N
h)1.dz(1.N
(4.1)
Considerando que os deslocamentos na direção x e y são u e v,
respectivamente, as deformações normais e angulares correspondentes a estas
solicitações são:
xv
yu
yvxu
yx
y
x
∂∂
+∂∂
=γ
∂∂
=ε
∂∂
=ε
(4.2)
As tensões σx, σy e σxy são obtidas no sistema de eixos de referência x, y, e
z, e estão relacionadas com as deformações pela matriz de rigidez, eq. (3.13).
Considerando somente os esforços de membrana, os esforços Nx, Ny, e Nxy são
determinados em função das constantes elásticas de cada lâmina:
{∑=
γ+ε+ε=n
1kkxy
k16y
k12x
k11x hQQQN }
xy
(4.3)
que de maneira mais compacta pode escrito:
x 11 x 12 y 16N A A A= ε + ε + γ (4.4)
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 47
onde:
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
n
1kk
k1616
n
1kk
k1212
n
1kk
k1111
hQA
hQA
hQA
(4.5)
De maneira análoga:
y 21 x 22 y 26N A A A= ε + ε + γxy (4.6)
com:
∑=
=n
1kk
kj2j2 hQA (4.7)
xy66y62x61xy AAAN γ+ε+ε= (4.8)
com:
∑=
=n
1kk
kj6j6 hQA (4.9)
Exprimindo os esforços Nx, Ny, e Nxy em forma matricial, temos:
γεε
=
xy
y
x
666261
262221
161211
xy
y
x
AAAAAAAAA
NNN
(4.10)
com:
Comportamento Mecânico de Placas Laminadas 48
∑=
=n
1kk
kijij hQA (4.11)
Observações:
As expressões acima são independentes da ordem de empilhamento das lâminas.
Os termos de acoplamento A16, A26, A61 e A62 se anulam quando o laminado é
simétrico e equilibrado (mesmo número de lâminas de mesma espessura na
direção +θ e -θ) ou anti-simétrico.
A partir dos esforços Nx, Ny, e Nxy, pode-se determinar as tensões globais
(fictícias), considerando o laminado como sendo homogêneo:
hNh
Nh
N
xyxy
yy
xx
=τ
=σ
=σ
(4.12)
A lei de comportamento em membrana do laminado “homogêneo” é da seguinte
forma:
γεε
=
τσσ
xy
y
x
666261
262221
161211
xy
y
x
AAAAAAAAA
h1 (4.13)
Os componentes da matriz de comportamento acima podem também ser
apresentados em termos de porcentagem de lâminas numa mesma orientação em
relação á espessura total.
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 49
∑=
=n
1k
kkijij h
hQAh1 (4.14)
Da inversão da matriz de comportamento acima, obtêm-se as constantes
elásticas aparentes ou homogeneizadas do laminado:
τσσ
µη
µν−
ην−
=
γεε
xy
y
x
xyx
y
x
x
xy
xy
yx
xy
xy
xy
y
yx
x
xy
y
x
GEE
GEE
GEE
1
1
1
(4.15)
A partir destas constantes elásticas, uma vez conhecido o carregamento
aplicado no laminado (Nx, Ny e Nxy), é possível determinar as deformações.
Exemplo 4.1 – Considere o laminado simétrico e balanceado (-45°/+45°/+45°/-45°)
em vidro/epóxi. Determine as constantes elásticas do laminado se cada lâmina tem
espessura 0,5 mm. Considere: E1 = 45,0 GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, ν12 = 0,30.
A matriz constitutiva das lâminas no sistema de ortotropia (1, 2, 3), eq. (2.12),
é da seguinte forma:
[ ] MPa105,400
03,127,307,31,46
Q 3
= (4.16)
Para as lâminas orientadas à -45°, a matriz constitutiva das lâminas no
sistema de referência (x, y, z), eq. (3.13), é da forma:
Comportamento Mecânico de Placas Laminadas 50
3045
20,9 11,9 8,46Q 11,9 21,0 8,46 10 MPa
8,46 8,46 12,8−
=
(4.17)
Para as lâminas orientadas à +45°, a matriz constitutiva das lâminas no
sistema de referência (x, y, z), eq. (3.13), é da forma:
3045
20,9 11,9 8,46Q 11,9 21,0 8,46 10 MPa
8,46 8,46 12,8+
− = − − −
(4.18)
A matriz [A] que representa a rigidez em membrana do laminado, eq. (4.10) é:
[ ]mmN10
51,2500091,4189,23089,2387,41
A 3
= (4.19)
A lei de comportamento em membrana do laminado considerado “homogêneo”,
eq. (4.13) é da seguinte forma:
x x3
y
xy xy
41,87 23,89 01 23,89 41,91 0 10 MPa2
0 0 25,51
σ ε σ = ε τ γ
y (4.20)
Logo, invertendo o sistema dado pela eq. (4.20), as constantes elásticas
podem ser encontradas:
Ex = 14,13 103 MPa, Ey = 14,14 103 MPa, νxy = 0,5701, νyx = 0,5705,
Gxy =12,76 103 MPa
e os termos de acoplamento são:
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 51
ηxy = 0.0, µxy = 0.0, ηx = 0.0, µy = 0.0
As curvas abaixo ilustram a evolução das constantes elásticas
homogeneizadas de um laminado simétrico e balanceado em vidro/epóxi na
configuração (θ°,-θ°,-θ°,θ°) (ver Tabela 1.4).
0 15 30 45 60 75 90θ10
20
30
40
50
Ex (GPa)
0 15 30 45 60 75 90θ10
20
30
40
50
Ey (GPa)
0 15 30 45 60 75 90θ3
5
8
10
13
15
Gxy (GPa)
Comportamento Mecânico de Placas Laminadas 52
0 15 30 45 60 75 90θ0.0
0.3
0.5
0.8
1.0
NUxy
0 15 30 45 60 75 90θ0.0
0.3
0.5
0.8
1.0
NUyx
Figura 4.3 – Constantes elásticas homogeneizadas de um laminado simétrico e
balanceado em vidro/epóxi
Exemplo 4.2 – Considere o laminado anti-simétrico e balanceado (-45°/+45°/-
45°/+45°) em vidro/epóxi. Determine as constantes elásticas do laminado se cada
lâmina tem espessura 0,5 mm. Considere: E1 = 45,0 GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa,
ν12 = 0,30.
As matrizes constitutivas no sistema de eixos de ortotropia e de referência
são idênticas às apresentadas no exemplo 4.1. A matriz [A] e a lei de
comportamento em membrana do laminado considerado “homogêneo”, também são
idênticas, logo as constantes elásticas são também idênticas e são:
Ex = 14,13 103 MPa, Ey = 14,14 103 MPa, νxy = 0,5701, νyx = 0,5705,
Gxy =12,76 103 MPa
e os termos de acoplamento são:
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 53
ηxy = 0,0, µxy = 0,0, ηx = 0,0, µy = 0,0
Observa-se que nos dois exemplos anteriores, o laminado pode ser
considerado quase isotrópico.
Exemplo 4.3 – Considere um laminado com seqüência de empilhamento aleatória
(-30°/+45°/+60°/-45°) em vidro/epóxi. Determine as constantes elásticas do
laminado se cada lâmina tem espessura 0,5 mm. Considere: E1 = 45,0 GPa, E2 = 12,0
GPa, G12 = 4,5 GPa, ν12 = 0,30.
A matriz constitutiva no sistema de eixos de ortotropia é a mesma dada pela
eq. (4.16). Para as lâminas orientadas à -45° e +45°, as matrizes constitutivas das
lâminas no sistema de referência (x, y, z) são dadas pelas eqs. (4.17) e (4.18),
respectivamente. Para as lâminas orientadas à -30° e +60°, as matrizes constitutivas
das lâminas no sistema de referência (x, y, z) são respectivamente:
3030
31,5 9,88 10,9Q 9,88 14,6 3,75 10 MPa
10,9 3,75 10,7−
=
(4.21)
3060
14,6 9,88 3,74Q 9,88 14,6 10,9 10
3,74 10,9 10,7+
− = − − −
MPa (4.22)
A lei de comportamento em membrana do laminado considerado “homogêneo”,
é da seguinte forma:
MPa1045,2357,358,357,351,3582,21
58,382,2194,43
21 3
xy
y
x
xy
y
x
γεε
−−=
τσσ
(4.23)
Comportamento Mecânico de Placas Laminadas 54
Logo, as constantes elásticas encontradas são:
Ex = 15,19 103 MPa, Ey = 15,31 103 MPa, νxy = 0,5131, νyx = 0,5170,
Gxy =10,94 103 MPa
e os termos de acoplamento são:
ηxy = -0,1603, µxy = 0,1788, ηx = -0,2225, µy = 0,2502
44..11..22 –– CCoommppoorrttaammeennttoo eemm fflleexxããoo
No estudo do comportamento em flexão de estruturas laminadas em
materiais compostos é considerado um laminado de espessura total h com n lâminas
de espessura hk cada uma. Os esforços internos de flexão atuantes no laminado são
denotados Mx, My (momentos fletores por unidade de comprimento em torno dos
eixos y e x respectivamente); Mxy e Myx (momentos torçores por unidade de
comprimento) (ver Figura 4.4). Os eixos x, y, e z são novamente eixos de referência.
yM dx
xM dy
dxdy
xyM dx
xyM dy
xM dyxyM dy
yM dx
xyM dx
y
z
x
Figura 4.4 – Esforços de flexão em um elemento de placa
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 55
Os esforços internos Mx, My, Mxy e Myx são determinados impondo o equilíbrio
de momentos numa seção transversal: h / 2
x xh / 2h / 2
y yh / 2
h / 2
yx xy xyh / 2
M .1 (dz .1) z
M .1 (dz .1) z
M .1 M .1 (dz .1) z
−
−
−
= σ
= σ
= = τ
∫
∫
∫
(4.24)
A Teoria Clássica de Laminados considera as seguintes hipóteses: as seções
transversais que são planas e perpendiculares á superfície média antes do
carregamento, permanecem planas e perpendiculares após o carregamento (ver
Figura 4.5).
xw0
∂∂
xw0
∂∂
com carregamento
wo
uo zk-1
zk
z
h
sem carregamento
Figura 4.5 – Hipóteses de deslocamento pela Teoria Clássica de Laminados
Comportamento Mecânico de Placas Laminadas 56
O deslocamento de um ponto genérico distante z da superfície média é
definido como:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
oo
oo
o
w x,yu x,y,z u x,y z
xw x,y
v x,y,z v x,y zy
w x,y,z w x,y
∂= −
∂∂
= −∂
=
(4.25)
onde uo, vo e wo são os deslocamentos da superfície média nas direções x, y e z,
respectivamente.
O estado de deformações obtido em conseqüência da definição do campo de
deslocamento dado pela eq. (4.25) é da forma: 2
o ox 2
2o o
y 2
2o o
xy
xz
yz
u wzx xv wzx y
u v wz 2y x x
00
∂ ∂ε = −
∂ ∂∂ ∂
ε = −∂ ∂
∂ ∂ ∂γ = + − ∂ ∂ ∂ ∂ γ =
γ =
o
y (4.26)
ou de forma resumida:
xy0xyxy
y0yy
x0xx
z
z
z
κ+γ=γ
κ+ε=ε
κ+ε=ε
(4.27)
As deformações ε0x, ε0
y e γ0xy são deformações normais e angular da
superfície média, e κx, κy e κxy as curvaturas.
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 57
Considerando a matriz de comportamento de cada lâmina no sistema de eixos
de referência, os momentos são da forma:
(zkn
k k kx 11 x 12 y 16 xy
k 1 zk 1
M Q Q Q z= −
= ε + ε + γ
∑ ∫ ) dz (4.28)
que, levando em conta as deformações, dadas pela eq. (4.26):
( ) ( ) ([ ]∑ ∫=
κ+γ+κ+ε+κ+ε=−
n
1k
z
zxy
20xy
k16y
20y
k12x
20x
k11x dzzzQzzQzzQM
k
1k
) (4.29)
Se considerarmos que o laminado é simétrico, as integrais do tipo ∫−
k
1k
z
z
kj1 dzzQ ,
se anulam com as integrais ∫−−
−
1k
k
z
z
kj1 dzzQ , consideradas para as lâminas simétricas com
relação a superfície neutra, logo:
( ) ( ) ( )∑=
−−−
κ−
+κ−
+κ−
=n
1kxy
31k
3kk
16y
31k
3kk
12x
31k
3kk
11x 3zzQ
3zzQ
3zzQM (4.30)
que, de forma mais compacta, pode ser colocado:
x 11 x 12 y 16M D D D= κ + κ + κxy (4.31)
com:
( )3 3n k k 1k1j 1j
k 1
z zD Q
3−
=
−= ∑ (4.32)
Os momentos My e Mxy podem ser também obtidos de forma análoga. Assim,
colocadas em forma matricial, as expressões de momentos são:
Comportamento Mecânico de Placas Laminadas 58
x 11 12 16
y 21 22 26
61 62 66xy xy
M D D DM D D D
D D DM
κ = κ κ
x
y
(4.33)
com:
( )3 3n k k 1kij ij
k 1
z zD Q
3−
=
−= ∑ (4.34)
Observações:
As expressões acima dependem da ordem de empilhamento das lâminas.
Os coeficientes D16 e D26 são termos de acoplamento que torçem o laminado
quando aplicados somente momentos de flexão e os coeficientes D61 e D62 são
termos de acoplamento que extendem o laminado quando aplicados somente
momentos de torção.
Questão: É possível um laminado flexionar devido a um carregamento do tipo
membrana. Considere o campo de deformações do laminado em flexão devido aos
esforços de membrana:
(zkn
k k kx 11 x 12 y 16 xy
k 1 zk 1
N Q Q Q= −
= ε + ε + γ
∑ ∫ ) dz (4.35)
( ) ( ) ( )zkn
k 0 k 0 k 0x 11 x x 12 y y 16 xy xy
k 1 zk 1
N Q z Q z Q z d= −
= ε + κ + ε + κ + γ + κ ∑ ∫ z (4.36)
Como anteriormente, se considerarmos que o laminado é simétrico, as
integrais do tipo ∫−
k
1k
z
z
kj1 dzzQ , se anulam com as integrais ∫
−−
−
1k
k
z
z
kj1 dzzQ , consideradas
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 59
para as lâminas simétricas com relação a superfície neutra, logo:
{ }∑=
γ+ε+ε=n
1kk
0xy
k16
0y
k12
0x
k11x hQQQN (4.37)
Portanto, para laminados simétricos, esforços do tipo membrana não causam
deformações de flexão.
De uma forma geral, para laminados não simétricos, as integrais ∫−
k
1k
z
z
kj1 dzzQ
não se anulam com as integrais ∫−−
−
1k
k
z
z
kj1 dzzQ , assim, o comportamento global de um
laminado é da forma:
[ ] [ ]
[ ] [ ]
κκκγεε
=
xy
y
x
0xy
0y
0x
xy
y
x
xy
y
x
DB
BA
MMMNNN
(4.38)
onde os coeficientes da matriz [B] são da forma:
( )∑=
−−=
n
1k
21k
2kk
ijij 2zzQB (4.39)
Exemplo 4.4 – Considere um laminado simétrico e balanceado (-30°/+30°/+30°/-30°)
em vidro/epóxi submetido a uma força Nx = 1000 N/mm. Determine as deformações
e as curvaturas do laminado se cada lâmina tem espessura 0,5 mm. Considere: E1 =
45,0 GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, ν12 = 0,30.
Comportamento Mecânico de Placas Laminadas 60
A matriz constitutiva no sistema de eixos de ortotropia é a mesma dada pela
eq. (4.16). Para as lâminas orientadas à -30° e +30°, as matrizes constitutivas das
lâminas no sistema de referência (x, y, z) são as mesmas dadas pelas eqs. (4.21) e
(4.22):
A matriz de comportamento para este laminado simétrico, dada pela eq.
(4.38) é da forma:
3
xy
y
x
0xy
0y
0x
xy
y
x
xy
y
x
10
13,787,145,500087,171,959,600045,559,697,2000000039,2100000012,2977,19000077,1991,62
0M0M0M0N0N
1000N
κκκγεε
=
=====
=
(4.40)
As deformações e as curvaturas podem então ser determinadas resolvendo o
sistema dado pela eq. (4.40):
ε0x = 0,202e-01, ε0
y = -0,137e-01, γ0xy = 0,0, κx = 0,0, κy = 0,0, κxy = 0,0
Exemplo 4.5 – Considere um laminado anti-simétrico e balanceado (30°/-30°/+30°/-
30°) em vidro/epóxi submetido a uma força Nx = 1000 N/mm. Determine as
deformações e as curvaturas do laminado se cada lâmina tem espessura 0,5 mm.
Considere: E1 = 45,0 GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, ν12 = 0,30.
A matriz de comportamento para este laminado anti-simétrico, é da forma: 0
x x0
y y0
xy xy
x x
y y
xy xy
N 1000 62,91 19,77 0 0 0 5,45N 0 19,77 29,12 0 0 0 1,87N 0 0 0 21,39 5,45 1,87 0M 0 0 0 5,45 20,97 6,59 0M 0 0 0 1,87 6,59 9,71 0
5,45 1,87 0 0 0 7,13M 0
= ε − = ε− = γ − − = = − κ = − κ
− −= κ
310
(4.41)
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 61
Resolvendo o sistema dado pela eq. (4. ), as deformações e as curvaturas são:
ε0x = 0,213e-01, ε0
y = -0,136e-01, γ0xy = 0,0, κx = 0,0, κy = 0,0, κxy = 0,127e-01
Exemplo 4.6 – Considere um laminado com seqüência de empilhamento aleatória
(-45°/+30°/+45°/-30°) em vidro/epóxi submetido a uma força Nx = 1000 N/mm.
Determine as deformações e as curvaturas do laminado se cada Lâmina tem
espessura 0,5 mm. Considere: E1 = 45,0 GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, ν12 = 0,30.
A matriz de comportamento para este laminado com empilhamento aleatório é
da forma:
= − − = = − = = − − =
−=
x
y
xy
x
y
xy
N 1000 52,39 21,83 0 2,63 0,52 1,22N 0 21,83 35,51 0 0,52 1,60 2,35N 0 0 0 21,39 1,22 2,35 0,52M 0 2,63 0,52 1,22 17,46 7,28 4,84M 0 0,52 1,60 2,35 7,28 11,84 3,05
1,22 2,35 0,52 4,84 3,05 7,82M 0
ε ε γ
κ κ
κ
0x0y0xy 3
x
y
xy
10 (4.42)
Resolvendo a eq. (4.42), as deformações e as curvaturas determinadas são:
ε0x = 0,265e-01, ε0
y = -0,167e-01, γ0xy = 0,337e-03, κx = 0,360e-02, κy = -0,329e-02,
κxy = 0,821e-02
Conclusão: Em um laminado não simétrico com uma solicitação do tipo membrana, as
curvaturas não são nulas. Logo, o laminado pode fletir devido a uma força Nx (κx ≠ 0,
κy ≠ 0, κxy ≠ 0).
Exemplo 4.7 – Considere o laminado simétrico e balanceado (-30°/+30°/+30°/-30°)
em vidro/epóxi submetido a um momento Mx = 1000 Nmm/mm. Determine as
Comportamento Mecânico de Placas Laminadas 62
deformações e as curvaturas do laminado se cada lâmina tem espessura 0,5 mm.
Considere: E1 = 45,0 GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, ν12 = 0,30.
A matriz de comportamento para este laminado simétrico é a mesma dada
pela eq. (4.40).
3
xy
y
x
0xy
0y
0x
xy
y
x
xy
y
x
10
13,787,145,500087,171,959,600045,559,697,2000000039,2100000012,2977,19000077,1991,62
0M0M
1000M0N0N0N
κκκγεε
=
==
====
(4.43)
Assim, as deformações e as curvaturas podem então ser determinadas
resolvendo o sistema dado pela eq. (4.43):
ε0x = 0,0 , ε0
y = 0,0 , γ0xy = 0.0, κx = 0,718e-01, κy = -0,402e-01, κxy = -0,443e-01
Conclusão: No comportamento em flexão do laminado simétrico, os termos de
acoplamento não são nulos (D16 ≠ 0 e D26 ≠ 0). A deformação do laminado devido a um
momento Mx pode ser portanto como apresentado pela Figura 4.6:
p
Figura
laca isotrópica
4.6 – Placas isotrópica e laminada subm
placa laminada
etidas a um momento fletor
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 63
Exemplo 4.8 – Considere o laminado anti-simétrico e balanceado (-30°/+30°/-
30°/+30°) em vidro/epóxi submetido a um momento Mx = 1000 Nmm/mm. Determine
as deformações e as curvaturas do laminado se cada lâmina tem espessura 0,5 mm.
Considere: E1 = 45,0 GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, ν12 = 0,30.
A matriz de comportamento para este laminado anti-simétrico, é a mesma
dada pela eq. (4.41): 0
x x0
y y0
xy xy
x x
y y
xy xy
N 0 62,91 19,77 0 0 0 5,45N 0 19,77 29,12 0 0 0 1,87N 0 0 0 21,39 5,45 1,87 0
M 1000 0 0 5,45 20,97 6,59 0M 0 0 0 1,87 6,59 9,71 0
5,45 1,87 0 0 0 7,13M 0
= ε − = ε− = γ − − = = − κ = − κ
− −= κ
310
(4.44)
Resolvendo o sistema de equações dado pela eq. (4.44), as deformações e as
curvaturas são:
ε0x = 0,0, ε0
x = 0,0, γ0xy = 0,127e-01, κx = 0,638e-01, κy = -0,409e-01 , κxy = 0,0
Exemplo 4.9 – Considere um laminado com seqüência de empilhamento aleatória
(-45°/+30°/+45°/-30°) em vidro/epóxi submetido a um momento Mx = 1000
Nmm/mm. Determine as deformações e as curvaturas do laminado se cada lâmina
tem espessura 0,5 mm. Considere: E1 = 45,0 GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, ν12 =
0,30.
A matriz de comportamento para este laminado com empilhamento aleatório é
a mesma dada pela eq. (4.42):
Comportamento Mecânico de Placas Laminadas 64
= − − = = − = = − − =
−=
x
y
xy
x
y
xy
N 0 52,39 21,83 0 2,63 0,52 1,22N 0 21,83 35,51 0 0,52 1,60 2,35N 0 0 0 21,39 1,22 2,35 0,52
M 1000 2,63 0,52 1,22 17,46 7,28 4,84M 0 0,52 1,60 2,35 7,28 11,84 3,05
1,22 2,35 0,52 4,84 3,05 7,82M 0
ε ε γ
κ κ
κ
0x0y0xy 3
x
y
xy
10 (4.45)
Resolvendo o sistema de equações da eq. (4.45), as deformações e as
curvaturas determinadas são:
ε0x = 0,360e-02, ε0
y = 0,106e-02, γ0xy = 0,101e-01, κx = 0,883e-01, κy = -0,471e-01,
κxy = -0,366e-01
44..11..33 –– EEffeeiittoo ddaa tteemmppeerraattuurraa
O comportamento de estruturas laminadas pode ser estudado incluindo o
efeito da temperatura. Considerando o comportamento em membrana e em flexão,
as tensões nas lâminas podem ser definidas da seguinte maneira:
γεε
−
κ+γκ+εκ+ε
=
τσσ
txy
ty
tx
666261
262221
161211
xy0xy
y0y
x0x
666261
262221
161211
xy
y
x
QQQQQQQQQ
zzz
QQQQQQQQQ
(4.46)
Os esforços de membrana e de flexão do laminado, eqs, (4,1) e (4.24)
respectivamente, podem então ser obtidos como sendo:
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 65
[ ] [ ]
[ ] [ ]
−
κκκγεε
=
txy
ty
tx
txy
ty
tx
xy
y
x
0xy
0y
0x
xy
y
x
xy
y
x
MMMNNN
DB
BA
MMMNNN
(4.47)
onde:
(n
k k kx t 11 x t 12 y t 16 xy t k
k 1N Q Q Q
=
= ε + ε + γ∑ ) h (4.48)
e:
( ) ( )2 2n k k 1k k kx t 11 x t 12 y t 16 xy t
k 1
z zM Q Q Q
2−
=
−= ε + ε + γ∑ (4.49)
Os esforços Ny t, Nxy t, My t e Mxy t são obtidos por analogia.
Exemplo. 4.10 – Considere um laminado simétrico (-45°/+30°/+30°/-45°) em
kevlar/epóxi com espessura de 0,5 mm para cada lâmina. Determine as deformações
e as curvaturas se o laminado é submetido a uma variação de temperatura de -90°C
oriunda do processo de cura da resina. Considere: E1 = 76,0 GPa, E2 = 5,5 GPa, G12 =
2,0 GPa, ν12 = 0,35, α1 = -0,4 x 10-5 °C-1, α2 = 5,8 x 10-5 °C-1.
A matriz constitutiva das lâminas em kevlar/epóxi no sistema de ortotropia
(1, 2, 3), eq. (2.12), é da seguinte forma:
[ ] MPa100,200
055,594,1094,17,76
Q 3
= (4.50)
Comportamento Mecânico de Placas Laminadas 66
Para as lâminas orientadas à -45°, a matriz constitutiva no sistema de
referência (x, y, z), eq. (3.13), é da forma:
3045
23,5 19,5 17,8Q 19,5 23,5 17,8 10 MPa
17,8 17,8 19,6−
=
(4.51)
Para as lâminas orientadas à +30°, a matriz constitutiva no sistema de
referência (x, y, z), eq. (3.13), é da forma:
3030
45,7 15,1 23,0Q 15,1 10,1 7,79 10 MPa
23,0 7,79 15,2+
− = − − −
(4.52)
As deformações de origem térmica calculadas no sistema de eixos de
ortotropia são: , e . 1t 3.6e 4ε = − et 5,22e 3ε = − − 12t 0γ =
Para as lâminas orientadas à -45° e à +30°, as deformações de origem térmica
calculadas no sistema de eixos de referência (x, y, z), eq. (3.10), são
respectivamente:
xt4
yt
xyt 45
24,324,3 10
55,8
−
−
ε − ε = − γ
(4.53)
xt4
yt
xyt 30
10,3538,25 1048,32
−
+
ε − ε = − −γ
(4.54)
A matriz de comportamento e o vetor relativo ao carregamento térmico,
dados pela eq. (4.47), são da forma:
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 67
0xx0
y y
0xy xy
x x
y y
xy xy
N 0 69,20 34,67 5,24 0 0 0N 0 34,67 33,69 10,00 0 0 0N 0 5,24 10,00 34,78 0 0 0M 0 0 0 0 17,52 12,65 8,45M 0 0 0 0 12,65 14,58 9,73
0 0 0 8,45 9,73 12,7M 0
ε= − = ε = − γ = = κ = κ
= κ
3 1
0,0612,222
0,30610 10
000
− −
(4.55)
Resolvendo o sistema de equações dado pela eq. (4.55), as deformações e as
curvaturas obtidas são:
ε0x = +0,109e-02, ε0
y = -0,202e-02, γ0xy = +0,834e-03, κx = 0,0, κy = 0,0,κxy = 0,0.
Ex. 4.11: Considere um laminado com seqüência de empilhamento aleatória
(-30°/+45°/+30°/-45°) em kevlar/epóxi com espessura de 0,5 mm para cada lâmina.
Determine as deformações e as curvaturas se o laminado é submetido a uma
variação de temperatura de -90°C oriunda do processo de cura da resina. Considere:
E1 = 76,0 GPa, E2 = 5,5 GPa, G12 = 2,0 GPa, ν12 = 0,35, α1 = -0,4 x 10-5 °C-1, α2 = 5,8 x
10-5 °C-1.
A matriz constitutiva das lâminas em kevlar/epóxi no sistema de ortotropia
(1, 2, 3) é dada pela eq. (4.50). Para as lâminas orientadas à -45°, a matriz
constitutiva no sistema de referência (x, y, z) é dada pela eq. (4.51), e para as
lâminas orientadas à +45°, a matriz constitutiva no sistema de referência é da
forma:
3045
23,5 19,5 17,8Q 19,5 23,5 17,8 10 MPa
17,8 17,8 19,6+
− = − − −
(4.56)
Comportamento Mecânico de Placas Laminadas 68
Para as lâminas orientadas à +30°, a matriz constitutiva no sistema de
referência (x, y, z) é dada pela eq. (4.52), e para as lâminas orientadas à -30°, a
matriz constitutiva no sistema de referência é da forma:
3030
45,7 15,1 23,0Q 15,1 10,1 7,79 10 MPa
23,0 7,79 15,2−
=
(4.57)
As deformações de origem térmica das lâminas à -45° e à +30° são dadas
pelas eqs. (4.52) e (4.53), respectivamente. As deformações de origem térmica das
lâminas à +45° e à -30° são respectivamente:
xt4
yt
xyt 45
24,324,3 1055,8
−
+
ε − ε = − −γ
(4.58)
xt4
yt
xyt 30
10,3538,25 1048,32
−
−
ε − ε = − γ
(4.59)
A matriz de comportamento e o vetor relativo ao carregamento térmico,
dados pela eq. (4.47), são da forma:
= − − = = − = = − − =
−=
x
y
xy
x
y
xy
N 0 69,20 34,67 0 5,55 1,10 2,62N 0 34,67 33,69 0 1,10 3,35 5,00N 0 0 0 34,78 2,62 5,00 1,10M 0 5,55 1,10 2,62 23,07 11,56 10,20M 0 1,10 3,35 5,00 11,56 11,23 6,40
2,62 5,00 1,10 10,20 6,40 11,59M 0
ε ε − γ − −κ κ κ
0x0y
03 1xy
x
y
xy
0,0612,2220,00
10 100,286
0,2860,153
(4.60)
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 69
Resolvendo o sistema de equações dado pela eq. (4.60), as deformações e as
curvaturas obtidas são:
ε0x = 0,917e-03, ε0
y = -0,190e-02, γ0xy = -0,284e-03, κx = -0,106e-02 , κy = 0,108e-
02, κxy = 0,152e-02.
Conclusão: O processo de cura da resina pode provocar flexão em um laminado não
simétrico.
44..22 –– TTeeoorriiaa ddee PPrriimmeeiirraa OOrrddeemm ( (TT..PP..OO..))
No estudo do comportamento em flexão de placas laminadas a Teoria de
Primeira Ordem considera as seguintes hipóteses: as seções transversais que eram
planas e perpendiculares á superfície média antes do carregamento, permanecem
planas mas não mais perpendiculares à superfície média após o carregamento (ver
Figura 4.7). Como resultado destas hipóteses o cisalhamento transverso é não nulo,
γxz ≠ 0 e γyz ≠ 0.
O deslocamento de um ponto genérico distante z da superfície média é dado
da forma:
0
0
0
u(x,y,z) u (x,y) z. (x,y)v(x,y,z) v (x,y) z. (x,y)w(x,y,z) w (x,y)
= + α
= + β
=
(4.62)
onde uo, vo e wo são os deslocamentos da superfície média nas direções x, y e z, e α
e β são as inclinações de seção nos planos (x,z) e (y,z), respectivamente.
Comportamento Mecânico de Placas Laminadas 70
γxz
owx
∂∂
owx
∂∂ α
w0
u0
z
x
Figura 4.7 – Hipóteses de deslocamento da Teoria de Primeira Ordem
O estado de deformações obtidos em conseqüência da definição do campo de
deslocamento dado pela eq. (4.62).
0x
0y
0 0xy
yz
xz
u zx xv zy y
u v zy x y x
v wz yu wz x
∂ ∂αε = +
∂ ∂∂ ∂β
ε = +∂ ∂
∂ ∂ ∂α ∂βγ = + + + ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂γ = +
∂ ∂∂ ∂
γ = +∂ ∂
(4.63)
ou de forma resumida:
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 71
0x x x
0y y y
0xy xy xy
oyz
oxz
z
z
z
wy
wx
ε = ε + κ
ε = ε + κ
γ = γ + κ
∂γ = α +
∂∂
γ = β +∂
(4.64)
onde ε0x, ε0
y e γ0xy são deformações normais e angular na superfície média e κx, κy e
κxy são as curvaturas.
Os esforços internos cisalhantes ou esforços cortantes por unidade de
comprimento, Qx e Qy são determinados impondo o equilíbrio de forças verticais
atuantes numa seção transversal (ver Figura 4.8): h / 2
y yz
x xzh / 2
Qdz
Q −
τ = τ
∫ (4.65)
dxQy
yM dx
dyQx
xM dy
dxdy
xyM dx
xyM dy dxQy
dyQx
xM dy
yM dx
xyM dy
xN dy
xyN dy
yN dx
yxN dx
yN dx
yxN dx
xN dy
xyN dy
y
z
x
Figura 4.8 – Esforços de internos em um elemento de placa pela T.P.O.
Comportamento Mecânico de Placas Laminadas 72
Considerando que a deformação cisalhante transversa é constante ao longo da
espessura do laminado, porém como cada lâmina de forma geral tem uma rigidez
diferente ao cisalhamento, a eq. (4.65) se torna:
k
k 1
kzny yz
k 1x xzz
Qdz
Q−
=
τ = τ
∑ ∫ (4.66)
A matriz constitutiva no sistema de ortotropia considerando somente os
efeitos de cisalhamento transverso é da forma:
23 23 23 44 45 23
13 13 13 54 55 13
G 0 Q Q0 G Q Q
τ γ = = τ γ
γ γ
τ
γ γ
(4.67)
A relação das tensões medidas no sistema de referência com as tensões
medidas no sistema de ortotropia, considerando somente os efeitos de cisalhamento
transverso, é dada pela matriz de transformação:
[ ]23 23yz
13 13xz
c sT
s c σ
ττ − = = τ ττ
(4.68)
De maneira análoga, a relação das deformações medidas no sistema de
referência com as deformações medidas no sistema de ortotropia é dada pela
mesma matriz de transformação:
[ ]23 23yz
13 13xz
c sT
s c ε
γγ = = γγ −
(4.69)
Multiplicando a matriz de transformação na relação constitutiva na qual é
considerado somente os efeitos do cisalhamento transverso, eq. (4.67), temos:
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 73
[ ] [ ]23 44 45 23
13 54 55 13
Q QT T
Q Qσ σ
τ = τ
γ γ
(4.70)
e, substituindo a eq. (4.69) na eq. (4.70), temos:
[ ] [ ]yz yz yz44 45 t 44 45
54 55 54 55xz xz xz
Q Q Q QT T
Q Q Q Qσ σ
τ γ = = τ γ
γ
γ (4.71)
Substituindo a eq. (4.71) na eq. (4.66), e considerando que as deformações
cisalhantes são constantes ao longo da espessura, temos:
k
k 1
kzny 44 45
k 1 54 55x xz
Q Q Q dzQ QQ
−=
γ =
γ ∑ ∫
yz
z
(4.72)
Realizando a integral ao longo da espessura da lâmina k: kn
y 44 45k
k 1 54 55x x
Q Q Qh
Q QQ =
γ = γ ∑ yz
z
yz
z
(4.73)
Colocando a eq. (4.73) de forma compacta:
y 44 45
54 55x x
Q F FF FQ
γ = γ
(4.74)
A equação de comportamento que inclui o efeito do cisalhamento transverso
obtida com a Teoria de Primeira Ordem é da forma :
Comportamento Mecânico de Placas Laminadas 74
0x tx x
0y y y t
0xy xy xy t
x x x t
y y y t
xy xy xy t
y yz
x xz
NNN N
[A] [B]N NM MM M[B] [D]M MQ 0[F]Q 0
ε ε γ κ = − κ
κ γ
γ
(4.75)
44..33 –– DDeetteerrmmiinnaaççããoo ddaa ddeefflleexxããoo eemm ppllaaccaass llaammiinnaadd
x
y
aass
O comportamento em flexão de placas laminadas pode ser estudo pela Teoria
Clássica de Laminados e pela Teoria de Primeira Ordem, as quais utilizam as
relações matriciais de comportamento, dadas pelas eqs. (4.47) e (4.75),
respectivamente, para a determinação de sua deflexão.
Em virtude do acoplamento em placas laminadas em suas diferentes formas:
membrana/flexão, deformação normal/deformação cisalhante, flexão/torção,
somente alguns casos serão estudados. Neste sentido, somente os laminados
simétricos serão estudados, [B] = 0.
A deflexão em placas laminadas simétricas é determinada a partir da relação
momentos/curvaturas dada pela eq. (4.76):
x 11 12 16
y 21 22 26
61 62 66xy xy
M D D DM D D D
D D DM
κ = κ κ
(4.76)
onde, pela Teoria Clássica de Laminados as curvaturas são:
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 75
∂κ = −
∂∂
κ = −∂
∂κ = −
∂ ∂
2o
x 2
2o
y 2
2o
xy
wxwy
w2x y
(4.77)
e, pela Teoria de Primeira Ordem as curvaturas são:
∂ακ =
∂∂β
κ =∂
∂α ∂βκ = + ∂ ∂
x
y
xy
x
y
y x
(4.78)
Sabe-se, no entanto que, como a Teoria de Primeira Ordem prevê o
cisalhamento transverso, a relação entre os esforços cortantes e as deformações
cisalhantes transversas é dada pela eq. (4.74).
Para comparar os resultados obtidos com a Teoria Clássica de Laminados e a
Teoria de Primeira Ordem, considere um laminado simétrico bi-apoiado com a
seguinte disposição de lâminas (0°/90°/90°/0°).
wo (x) L/2 L/2
q(y) z
y
x
Comportamento Mecânico de Placas Laminadas 76
Em função das condições de apoio e do carregamento aplicado, sabe-se que os
esforços internos são: = −xq(y)
2M , Mx y = Mxy = 0, = −x
q(y)2
Q e Qx = 0 . E, em
função da disposição das lâminas, sabe-se que os termos de acoplamento na relação
momentos/curvaturas são D16 = D26 = D61 = D62 = 0. Logo, a eq. (4.76) se reduz a:
κ = κ
κ
x 11 12
21 22 y
xy
M D D 00 D D 00 0 0 0
x
(4.79)
Conclui-se portanto que κ , e a relação entre κ=xy 0 x e κy é:
κ = − κ21y
22
DD x (4.80)
Substituindo a eq. (4.80) na eq. (4.79) e considerando que D12 = D21:
= −
212
x 1122
DM DD
κ x (4.81)
Invertendo a eq. (4.81), a expressão que fornece a curvatura é:
κ = −
22x x2
11 22 12
D MD D D
(4.82)
A deflexão da placa laminada pode ser determinada pela Teoria Clássica de
Laminados com as eqs. (4.77) e (4.82):
∂= −∂ −
2o 22
x211 22 12
w D Mx D D D
2 (4.83)
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 77
Considerando a equação de evolução de Mx e integrando a eq. (4.83) obtém-se
a inclinação da seção transversal do laminado no trecho (0 < x < L/2):
∂ = − − + ∂ − ∫x
o 2212
11 22 12 0
w D q x dx Cx 2D D D
(4.84)
Resolvendo a eq. (4.84), tem-se:
∂= + ∂ −
2o 2212
11 22 12
w D q x Cx 4D D D
(4.85)
Integrando a eq. (4.85) obtém-se a deflexão do laminado no trecho (0 < x <
L/2):
= + −
322o 12
11 22 12
D qw (x) x C x C12D D D
+ 2 (4.86)
As constantes de integração C1 e C2 são determinadas impondo as condições
de contorno em x = 0, wo = 0 e em x = L/2, ∂=
∂ow 0
x. Assim:
= − − =
222
1 211 22 12
2
D q LC4 2D D D
C 0
(4.87)
Logo, a deflexão do laminado no trecho (0 < x < L/2) é:
= − −
2322
o 211 22 12
D q x Lw (x) x4 3 2D D D
(4.88)
A deflexão máxima em x = L/2 pela Teoria Clássica de Laminados é:
Comportamento Mecânico de Placas Laminadas 78
= − −
322
o 211 22 12
D qLw (max)48D D D
(4.89)
A deflexão da placa laminada pode ser determinada pela Teoria de Primeira
Ordem com as eqs. (4.78) e (4.82):
∂α= ∂ −
22x2
11 22 12
D Mx D D D
(4.90)
Integrando a eq. (4.90) obtém-se a inclinação da seção transversal do
laminado no trecho (0 < x < L/2):
α = − + − ∫x
2232
11 22 12 0
D q x dx C2D D D
(4.91)
Resolvendo a eq. (4.91):
α = − + −
22232
11 22 12
D q x C4D D D
(4.92)
A relação entre a inclinação e a deflexão é dada pela deformação cisalhante
transversa γxz:
∂γ = α +
∂xzwx
(4.93)
Em função da disposição das lâminas, tem-se que da eq. (4.74):
= γx 55Q F xz (4.94)
Substituindo a eq. (4.94) na eq. (4.93) e considerando Qx:
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 79
∂= − − α
∂ 55
w qx 2F
(4.95)
Substituindo a eq. (4.92) na eq. (4.95):
∂= − ∂ −
22232
5511 22 12
Dw q x Cx 4D D D
+
q2F
(4.96)
Integrando a eq. (4.96) obtém-se a deflexão do laminado no trecho (0 < x <
L/2):
= − + −
322o 32
5511 22 12
D q qw (x) x C x C12 2FD D D
+ 4 (4.97)
As constantes de integração são determinadas impondo as condições de
contorno em x = 0, wo = 0 e em x = L/2, α = 0. Assim:
= − =
222
3 211 22 12
4
D q LC4 2D D D
C 0
(4.98)
Logo, a deflexão do laminado no trecho (0 < x < L/2) é:
= − − −
2322 22
o 2 25511 22 12 11 22 12
D Dq q Lw (x) x x12 4 2 2FD D D D D D
+q (4.99)
Reagrupando os termos, a eq. (4.99) se torna:
= − −
2322
o 25511 22 12
D q x L qw (x) x x4 3 2 2FD D D
− (4.100)
A deflexão máxima em x = L/2 pela Teoria de Primeira Ordem é:
Comportamento Mecânico de Placas Laminadas 80
= − − −
322
o 25511 22 12
D qL q Lw (max)48 2F 2D D D
(4.101)
Comparando a eq. (4.89) com a eq. (4.101) percebe-se que a deflexão obtida
pela Teoria Clássica de Laminados é menor que a deflexão obtida pela Teoria de
Primeira Ordem. Isto significa que pela Teoria Clássica de Laminados o laminado é
considerado mais rígido.
Uma outra comparação dos resultados obtidos com a Teoria Clássica de
Laminados e Teoria de Primeira Ordem pode ser realizada em uma placa laminada
simétrica em balanço com a disposição de lâminas (0°/90°/90°/0°).
wo (x)
L
q(y) z
y
x
Em função das condições de apoio e do carregamento aplicado, sabe-se que os
esforços internos são: ( )= −x (y) L xM q , My = Mxy = 0, = −x (Q q e Qy) x = 0. E, em
função da disposição das lâminas, sabe-se que os termos de acoplamento na relação
momentos/curvaturas são D16 = D26 = D61 = D62 = 0. Desta forma, a eq. (4.82)
continua sendo válida para estas condições.
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 81
Pela Teoria Clássica de Laminados a inclinação da placa laminada pode ser
determinada pela integração da eq. (4.83). Logo:
( ) ∂
= − − + ∂ − ∫x
o 2212
11 22 12 0
w D q L x dx Cx D D D
(4.102)
Resolvendo a eq. (4.102):
∂= − − + ∂ −
2o 22
1211 22 12
w D xq Lx Cx 2D D D
(4.103)
Integrando a eq. (4.103) obtém-se a deflexão do laminado:
= − − + + −
2 322
o 211 22 12
D x xw (x) q L C x C2 6D D D 1 2 (4.104)
As constantes de integração são determinadas impondo as condições de
contorno em x = 0, wo = 0 e ∂=
∂ow 0
x. Assim:
=
=1
2
C 0C 0
(4.105)
A deflexão máxima em x = L pela Teoria Clássica de Laminados é:
= − −
322
o 211 22 12
D Lw (max) q3D D D
(4.106)
A inclinação da placa laminada pode ser determinada pela Teoria de Primeira
pela integração da eq. (4.90) que resulta:
α = − + −
222
3211 22 12
D xq Lx C2D D D
(4.107)
Comportamento Mecânico de Placas Laminadas 82
Considerando as eqs. (4.93) e (4.94), tem-se:
∂= − − α
∂ 55
w qx F
(4.108)
Substituindo a eq. (8.19) na eq. (8.23):
∂= − − − + ∂ −
222
325511 22 12
Dw xq Lx Cx 2D D D
qF
(4.109)
Integrando a eq. (4.109) obtém-se a deflexão do laminado:
= − − − + + −
2 322
o 25511 22 12
D x x qw (x) q L C x C2 6 FD D D 3 4
0
(4.110)
As constantes de integração são determinadas impondo as condições de
contorno em x = 0, wo = 0 e α = 0. Assim:
=
=3
4
CC 0
(4.111)
A deflexão máxima em x = L pela Teoria de Primeira Ordem é:
= − − −
322
o 25511 22 12
D L qw (x) q L3 FD D D
(4.112)
Novamente neste exemplo é observado que pela Teoria Clássica de Laminados
o laminado é considerado mais rígido.
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 83
44..44 –– DDeetteerrmmiinnaaççããoo ddaass tteennssõõeess ddee cciissaallhhaammeennttoo tt rraannssvveerrssoo eemm ppllaaccaass llaammiinnaaddaass
As tensões de cisalhamento transversas, como visto anteriormente, são
constantes ao longo da espessura de cada lâmina, quando determinadas pela Teoria
de Primeira Ordem e nulas pela Teoria Clássica de Laminados. Para obter a
distribuição correta destas tensões seja pela T.P.O, seja pela T.C.L., considere um
elemento infinitesimal de volume dx, dy e dz submetido a um estado de tensões
triaxiais. Por comodidade, somente as tensões na direção x são mostradas na Figura
4.8:
dxxx
x ∂σ∂
+σ
xzxz dz
zτ +
∂
xσ
xyτ
xyxy dy
y∂τ
τ +∂
xzτ
∂τ
y
z
x
Figura 4.8 – Elemento submetido à um estado de tensões triaxiais
Impondo o equilíbrio estático da direção x, temos:
Σ Fx = 0, 0=
∂τ∂
+τ+τ−
∂
τ∂+τ+τ−
∂σ∂
+σ+σ−
dxdydzz
dxdy
dxdzdyy
dxdzdydzdxx
dydz
xzxzxz
xyxyxy
xxx
(4.113)
Comportamento Mecânico de Placas Laminadas 84
Após algumas simplificações, a eq. (4.113) resulta na equação diferencial que
representa o equilíbrio na direção x:
0=∂τ∂
+∂
τ∂+
∂σ∂
zyxxzxyx (4.114)
As equações diferenciais que representam o equilíbrio nas direções y e z
podem ser obtidas de maneira análoga:
y yx yz 0y x z
∂σ ∂τ ∂τ+ + =
∂ ∂ ∂ (4.115)
zyz zx 0z x y
∂τ∂σ ∂τ+ + =
∂ ∂ ∂ (4.116)
A distribuição da tensão cisalhante transversa τxz na lâmina k pode ser obtida
a partir da eq. (4.114), e de σx e τxy obtidas da eq. (4.47): zk
xyxxz
zk 1
dzx y
−
∂τ ∂στ = − +
∂ ∂ ∫ (4.117)
Em não havendo o efeito da temperatura, tem-se:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
k 0 k 0 k 0z 11 x x 12 y y 16 xy xyk
xzk 0 k 0 k 0zk 1 61 x x 62 y y 66 xy xy
Q z Q z Q zx x x dz
Q z Q z Q zy y y
−
∂ ∂ ∂ ε + κ + ε + κ + γ + κ + ∂ ∂ ∂ τ = −∂ ∂ ∂ ε + κ + ε + κ + γ + κ ∂ ∂ ∂
∫ (4.118)
A distribuição da tensão cisalhante transversa τxz na lâmina k pode então ser
obtida seja pela Teoria Clássica de Laminados, seja pela Teoria de Primeira Ordem.
De maneira a comparar o cisalhamento transverso determinado por estas
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 85
duas teorias, considere o caso da placa laminada simétrica bi-apoiada com disposição
de lâminas (0°/90°/90°/0°).
Em função do carregamento aplicado e da disposição das lâminas, tem-se:
( ) ( ) ( )zk
k k kxz 11 x 12 y 66 xy
zk 1
Q z Q z Q zx x y
−
∂ ∂ ∂τ = − κ + κ + κ ∂ ∂ ∂
∫ dz (4.119)
Pela Teoria Clássica de Laminados, a tensão de cisalhamento transverso é: z 3 3 3k
k k kxz 11 12 663 2 2
zk 1
w w wQ Q 2Qx x y x y
−
∂ ∂ ∂τ = + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∫ z dz (4.120)
Se a largura da placa é muito maior que o seu comprimento (a>>L), pode-se
considerar que as variações na direção y são desprezíveis quando comparadas com
as variações na direção x. Logo:
−
∂τ =
∂∫z 3k
kxz 11 3
zk 1
wQ zx
dz (4.121)
Considerando a equação de deflexão obtida pela Teoria Clássica de Laminados
dada pela eq. (4.88), tem-se:
∂= ∂ −
322
3 211 22 12
Dw2x D D Dq (4.122)
Substituindo a eq. (4.122) na eq. (4.121) e integrando:
(k 22xz 11 k k 12
11 22 12
D qQ4D D D )2 2z z −
τ = − −
(4.123)
Comportamento Mecânico de Placas Laminadas 86
Observa-se que a distribuição da tensão de cisalhamento transversa τxz ao
longo da espessura do laminado é quadrática e pode ser determinada impondo as
condições de contorno que são: tensões nulas nas bordas inferior e superior e
continuidade das mesmas na interface de uma lâmina a outra.
Pela Teoria de Primeira Ordem, a tensão de cisalhamento transverso é:
−
∂ α ∂ β ∂ α ∂ βτ = − + + +
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∫z 2 2 2 2k
k k kxz 11 12 662 2
zk 1
Q z Q z Q z z dx y y xx y
z (4.124)
Se (a>>L), pode-se considerar que as variações na direção y são desprezíveis.
Logo:
−
∂ ατ = −
∂∫z 2k
kxz 11 2
zk 1
Q zx
dz (4.125)
Considerando a equação de inclinação obtida pela Teoria de Primeira Ordem
dada pela eq. (4.92), tem-se:
∂ α= −∂ −
222
211 22 12
D q2x D D D
2 (4.126)
Substituindo a eq. (4.126) na eq. (4.125) e integrando:
(k 22xz 11 k k 12
11 22 12
D qQ4D D D )2 2z z −
τ = − −
(4.127)
Comparando as eqs. (4.127) e (4.123), pode ser observado que elas são
idênticas. Conclui-se portanto que as teorias T.C.L. e T.O.P. fornecem a mesma
distribuição de tensão de cisalhamento transverso.
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 87
A distribuição da tensão cisalhante transversa τyz, pode ser obtida a partir da
eq. (4.115), e de σx e τxy obtidas da eq. (4.47):
k
k 1
zyx y
yzz
dzx y
−
∂τ ∂στ = − + ∂ ∂
∫ (4.128)
E, a distribuição da tensão normal σz, pode ser obtida a partir das eqs.
(4.116), (4.117) e (4.128): k
k 1
zzyzx
zz
dzx y
−
∂τ ∂τσ = − + ∂ ∂
∫ (4.129)
44..55 - - VViibbrraaççõõeess eemm ppllaaccaass llaammiinnaaddaass
Para o estudo de placas laminadas em vibração é necessário primeiramente, a
obtenção das equações de equilíbrio, considerando o efeito de inércia.
Posteriormente, pode-se aplicar a Teoria Clássica de Laminados ou a Teoria de
Primeira Ordem. Para a solução das equações diferenciais pode-se considerar o
método de Rayleigh-Ritz que propõe uma resposta no espaço que respeita as
condições de contorno do problema.
44..55..11 –– EEqquuaaççõõeess lliinneeaarreess ddee eeqquuiillííbbrriioo ddee ppllaaccaass
Considere um elemento de placa infinitesimal de dimensões dx, dy, e
espessura h submetido a esforços variáveis de membrana (força por unidade de
comprimento), Figura 4.9.
Comportamento Mecânico de Placas Laminadas 88
dxNydxNxy
dxdyy
NN y
y
∂
∂+
dxdyy
NN xy
xy
∂
∂+
dyNxdxNxy
dydxx
NN xx
∂
∂+
dydxx
NN xy
xy
∂
∂+
dxdy y
z
x
Figura 4.9 – Esforços de membrana sobre um elemento de placa
Impondo o equilíbrio estático na direção x e considerando o efeito de inércia,
tem-se: z 2kn
xy k oxx x xy xy 2
k 1 zk 1
N uNN dy N dx dy N dy N dy dx dzdxdy
x y t= −
∂ ∂∂ − + + − + + = ρ ∂ ∂ ∂
∑ ∫ (4.130)
onde ρkdzdxdy é a massa de um elemento infinitesimal da lâmina e 2
o2ut
∂∂
é a sua
aceleração na direção x.
Simplificando a eq. (4.130): 2n
xy k oxk 2
k 1
N uNh
x y t=
∂ ∂∂+ = ρ
∂ ∂ ∂∑ (4.131)
Analogamente, com relação ao eixo y, temos: 2n
y xy k ok 2
k 1
N N vh
y x t=
∂ ∂ ∂+ = ρ
∂ ∂ ∂∑ (4.132)
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 89
Considere agora, o mesmo elemento de placa infinitesimal submetido a
esforços de flexão e de cortante, ambos por unidade de comprimento.
dxQy
yM dx
xyxy
MM dy dx
y∂
+ ∂
yy
MM dy
y∂
+ ∂
dyQx
xM dx
xyxy
MM dx dy
x∂
+ ∂ xx
MM dx dyx
∂+ ∂
dxdy
xyM dx
xyM dy
dydxx
QQ x
x
∂
∂+
dxdyy
QQ y
y
∂
∂+
dx
y
z
x
Figura 4.10 – Esforços de flexão e cortantes em um elemento de placa
Impondo o equilíbrio das forças na direção z, temos: z 2kn
y kxx x y y 2
k 1 zk 1
QQ wQ dy Q dx dy Q dx Q dy dx dzdxdyx y t= −
∂ ∂ ∂ − + + − + + = ρ ∂ ∂ ∂ ∑ ∫ (4.133)
Simplificando, a eq. (7.4) resulta em: 2n
y k oxk 2
k 1
Q wQ hy x t=
∂ ∂∂+ = − ρ
∂ ∂ ∂∑ (4.134)
Impondo o equilíbrio dos momentos com relação ao eixo x, temos:
y xy yy y xy xy y
M M QM dx M dy dx M dy M dx dy Q dy dx.dy 0
y x y∂ ∂ ∂
− + + − + + − + = ∂ ∂ ∂ (4.135)
Desprezando termos de segunda ordem, a eq. (4.135) resulta em:
Comportamento Mecânico de Placas Laminadas 90
y xyy
M MQ
y x∂ ∂
+ − =∂ ∂
0 (4.136)
Por analogia, do equilíbrio dos momentos com relação ao eixo y, tem-se:
0Qy
Mx
Mx
xyx =−∂
∂+
∂∂ (4.137)
Somando a derivada da eq. (4.136) com relação a y, a derivada da eq. (4.137)
com relação a x, tem-se: 2 2 22 n
xy y k oxk2 2
k 1
M M wM 2x yx y =
∂ ∂ ∂∂+ + = − ρ
∂ ∂∂ ∂∑ 2h
t∂ (4.138)
44..55..22 –– VViibbrraaççõõeess ddee ppllaaccaass llaammiinnaaddaass ppeellaa TTeeoorriiaa CClláássssiiccaa ddee LLaammiinnaaddooss
A procura pelas freqüências naturais de placas laminadas é realizada
exprimindo o campo de deslocamento da forma: i t
o oi t
o oi t
o o
u (x,y,t) u (x,y)e
v (x,y,t) v (x,y)e
w (x,y,t) w (x,y)e
ω
ω
ω
=
=
=
(4.139)
onde uo(x,y), vo(x,y) e wo(x,y) são funções que devem respeitar as condições de
contorno e de continuidade do problema.
Para exemplificar, considere um laminado simétrico bi-apoiado com a seguinte
disposição de lâminas (0°/90°/90°/0°). Sabe-se que, em função da disposição das
lâminas, os termos de acoplamento [B] = 0, A16 = A26 = A61 = A62 = 0 e D16 = D26 = D61
= D62 = 0. Logo, as eqs. (4.131), (4.132) e (4.138) se reduzem, respectivamente a:
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 91
a
1° modo L
z
y
x
2n
ko o o o11 12 66 k 2
k 1
u v u vA A A h
x x y y y x t=
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + = ρ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
ou∂
∑ (4.140)
2nko o o o
12 22 66 k 2k 1
u v u vA A A h
y x y x y x t=
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + = ρ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
ov∂
∑ (4.141)
2 2 2 2 22 2 2o o o o o
11 12 21 22 662 2 2 2 2 2
2nk o
k 2k 1
w w w w wD D D D 2 Dx y x yx x y y x y
wht=
∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂+ + + +
= ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂− ρ
∂∑
(4.142)
Derivando as eqs. (4.140), (4.141) e (4.142):
2 2 2 nko o o o
11 12 66 k2 2k 1
u v u vA A A hx y y xx y =
∂ ∂ ∂ ∂+ + + = ρ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂
∑2
o2ut
∂∂
(4.143)
2 2 2 nko o o o
12 22 66 k2 2k 1
u v u vA A A hy x x yy x =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + = ρ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂
∑2
o2vt∂
(4.144)
4 4 4 4 4 nko o o o o
11 12 21 22 66 k4 2 2 2 2 4 2 2k 1
w w w w wD D D D 2D hx x y x y y x y =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + = − ρ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∑2
o2
wt
∂∂
(4.145)
Comportamento Mecânico de Placas Laminadas 92
Considerando que a vibração ocorrerá preponderantemente na direção de z,
tem-se que: 2
o2
2o
2
22 io
o2
u0
tv
0tw
W et
ω
∂=
∂∂
=∂
∂= −ω
∂t
(4.146)
No caso da placa bi-apoiada, o campo de deslocamento que satisfaz as
condições de contorno e de continuidade são:
o o
o o
o o
m xu (x) U senL
m yv (y) V cosa
m x m yw (x,y) W sen cosL a
π=
π=
π π=
(4.147)
onde Uo, Vo, Wo são as amplitudes de vibração nas direções, x, y e z e m é o número
do modo a ser determinado.
Introduzindo a eq. (4.146) e as derivadas das eqs. (4.147) nas eqs. (4.43),
(4.144) e (4.145), temos: 2
o 11m m xU sen A 0 UL Lπ π − =
o 0⇒ = (4.148)
2
o 22m m yV cos A 0 Va aπ π − =
o 0⇒ = (4.149)
( ) (4 2 2 4 n
k11 12 66 22 k
k 1
m m m mD 2 D D D hL L a a =
π π π π + + + = −
∑ )2ρ −ω (4.150)
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 93
Desenvolvendo a eq. (4.150), a primeira freqüência natural (m = 1) da placa
laminada bi-apoiada é:
( )4 2 2 4
11 12 66 22
nk
kk 1
D 2 D D DL L a a
h=
π π π π + + + ω =
ρ∑ (rad/s) (4.151)
44..55..33 –– VViibbrraaççõõeess ddee ppllaaccaass llaammiinnaaddaass ppeellaa TTeeoorriiaa ddee PPrriimmeeiirraa OOrrddeemm
A procura das freqüências naturais de placas laminadas é realizada
exprimindo o campo de deslocamento da forma: i t
o oi t
o oi t
o oi t
i t
u (x,y,t) u (x,y)e
v (x,y,t) v (x,y)e
w (x,y,t) w (x,y)e
(x,y,t) (x,y)e
(x,y,t) (x,y)e
ω
ω
ω
ω
ω
=
=
=
α = α
β = β
(4.152)
Considerando o mesmo exemplo usado anteriormente de um laminado
simétrico bi-apoiado com a seguinte disposição de lâminas (0°/90°/90°/0°), os
termos de acoplamento serão [B] = 0, A16 = A26 = A61 = A62 = 0, D16 = D26 = D61 = D62
= 0, além de F45 = F54 = 0. Logo, a eq. (4.133) que representa o equilíbrio de forças
na direção z se reduz a:
( ) ( )2n
k o44 yz 55 xz k 2
k 1
wF F hy x t=
∂∂ ∂γ + γ = − ρ
∂ ∂ ∂∑ (4.153)
Desenvolvendo a eq. (4.153):
Comportamento Mecânico de Placas Laminadas 94
2nko o
44 55 k 2k 1
w wF Fy y x x t=
∂ ∂∂ ∂ β + + α + = − ρ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∑ owh ∂ (4.154)
Derivando a eq. (4.154):
2 2 nko o
44 55 k2 2k 1
w wF Fy xy x =
∂ ∂∂β ∂α+ + + = − ρ ∂ ∂∂ ∂
∑2
o2
wht
∂∂
(4.155)
No caso da placa bi-apoiada, o campo de deslocamento que satisfaz as
condições de contorno e continuidade são:
o o
o
o
m x m yw (x,y) W sen cosL a
m x m y(x,y) A cos cosL a
m x m y(x,y) B sen senL a
π π=
π πα =
π πβ =
(4.156)
onde Wo, Ao, Bo são as amplitudes de vibração e m é o número do modo a ser
determinado.
Derivando as eqs. (4.156) e substituindo na eq. (4.155), segue:
( )n
k 244 o o 55 o o k o
k 1
m m m mF B W F A W ha a L L =
π π π π − − + = − ρ −ω
∑ W (4.157)
Isolando os termos em Ao, Bo e Wo, e sabendo que F44 = F55, tem-se:
( )n2 k 2
44 o 44 o 44 k o2 2k 1
m m 1 1F A F B F m h WL a a L =
π π − + π + + ρ ω
∑ 0
= (4.158)
Observa-se pela eq. (4.158) que há acoplamento entre os deslocamentos nas
direções x, y e z. Portanto, para a determinação das freqüências naturais da placa
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 95
laminada pela Teoria de Primeira Ordem, faz-se necessário o uso das eqs. (4.136) e
(4.137), que representa o equilíbrio de momentos com relação ao eixo x e y,
respectivamente, para a resolução do problema. Portanto, fazendo uso da eq.
(4.136):
o21 22 66 44
wD D D Fy x y x y x y
∂∂ ∂α ∂β ∂ ∂α ∂β+ + + − β + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
0=
(4.159)
Desenvolvendo a eq. (4.159):
2 2 2 2o
21 22 66 442 2wD D D F
x y x y yy x ∂∂ α ∂ β ∂ α ∂ β
+ + + − β + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ 0= (4.160)
Substituindo a eq. (4.156) na eq. (4.160): 2 2
21 o 22 o 66 o o
44 o o
m m m m m mD A D B D A BL a a L a L
mF B W 0a
π π π π π π − + − π − − =
(4.161)
Isolando os termos em Ao, Bo e Wo, tem-se:
[ ]2 2
21 66 o 22 66 44 o 44 om m m m mD D A D D F B F WL a a L a
π π π π π + − + + +
0= (4.162)
Fazendo uso da eq. (4.137), tem-se:
o11 12 66 55
wD D D Fx x y y y x x
∂∂ ∂α ∂β ∂ ∂α ∂β + + + − α + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 0= (4.163)
Desenvolvendo a eq. (4.163):
Comportamento Mecânico de Placas Laminadas 96
2 2 2 2o
11 12 66 552 2wD D D F
x y x y xx y ∂∂ α ∂ β ∂ α ∂ β + + + − α + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂
0= (4.164)
Substituindo a eq. (4.156) na eq. (4.164): 2 2
11 o 12 o 66 o o
55 o o
m m m m m mD A D B D A BL L a a L a
mF A W 0L
π π π π π − + + − + π − + =
π
(4.165)
Isolando os termos em Ao, Bo e Wo, tem-se:
[ ]2 2
11 66 55 o 12 66 o 55 om m m m mD D F A D D B F WL a L a L
π π π π π + + − + +
0= (4.166)
As freqüências naturais da placa laminada são determinadas colocando-se as
eqs. (4.158), (4.162) e (4.166) em uma forma matricial, temos:
[ ]o
o
o
AKM B 0
W
=
(4.167)
A primeira freqüência natural (m = 1) da placa laminada bi-apoiada pela Teoria
de Primeira Ordem é obtida impondo o determinante da matriz [KM] igual a zero.
Logo:
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 97
[ ]
[ ]
n2 k
44 55 55 k2 2k 1
2 2
21 66 22 66 44 44
2 2
11 66 55 12 66 55
1 1F F FL a a L
D D D D F FL a a L a
D D F D D FL a L a L
=
π π − π + + ρ
π π π π π + − + +
π π π π π + + − +
∑ 2h
0
ω
=
(4.168)
Como D21 = D12 e F55 = F44, tem-se:
[ ]
2 2 2 2 2 2
22 66 44 44 11 66 44 44
2 n2 k 2
12 66 44 k2 2k 1
2 2
11 66 44
D D F F D D F Fa L L L a a
1 1D D F hL a a L
D D FL a
=
π π π π π π + + + + +
π π + + π + + ρ ω
π π − + +
∑
[ ] ( ) [ ] ( )
2 2 n2 k
22 66 44 44 k2 2k 1
2 244 44
12 66 12 66
1 1D D F F ha L a L
F FD D D D 0
L a aL L a aL
=
2 π π + + π + + ρ ω
π ππ π π π − + − + =
∑
(4.169)
Reagrupando termos da eq. (4.169):
[ ]
2 266 6622 44 44 11 44 44
2 2 2 2 2 2
2 n2 k 2
12 66 44 k2 2k 1
n2 k66 6611 44 22 44
44 k2 2 2 2 2 2 2 2k 1
D DD F F D F FL aa L L a
1 1 1D D F haL a L
D DD F D F 1 1F hL a a L a L
=
=
+ + + + + π π
+ + π + + ρ ω
− + + + + π + + ρ ω π π
∑
∑
[ ]
2
244
12 66F2 D D 0aL
− + =
(4.170)
Comportamento Mecânico de Placas Laminadas 98
[ ]
[ ]
2n2 k 2 66 6611 44 22 44
44 k 12 662 2 2 2 2 2 2 2k 1
2 266 6622 44 44 11 44 44 44
12 662 2 2 2 2 2
D DD F D F1 1 1F h D DaLa L L a a L
D DD F F D F F F2 D DL a aLa L L a
=
π + + ρ ω + − + + + + + π π
+ + + + + − + π π
∑2
0=
(4.171)
Chamando de:
[ ]
[ ]
2 266 6622 44 44 11 44 44 44
12 662 2 2 2 2 2
266 6611 44 22 44
12 66 2 2 2 2 2 2
D DD F F D F F F2 D DL aa L L a
D DD F D F1 D DaL L a a L
Φ = + + + + + − + π π ∆ = + − + + + + π π
2
aL
(4.172)
A eq. (4.171) pode ser reagrupada e a primeira freqüência natural (m = 1) da
placa laminada bi-apoiada é:
244 2 2
nk
kk 1
1 1Fa L
h=
Φ − − π + ∆ ω =ρ∑
(rad/s) (4.173)
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 99
55 –– CCRRIITTÉÉRRIIOOSS DDEE RRUUPPTTUURRAA
Os critérios de ruptura têm por objetivo permitir ao projetista avaliar a
resistência mecânica de estruturas laminadas. A ruptura de estruturas laminadas
em material composto pode se dar por diferentes mecanismos: ruptura das fibras,
ruptura da matriz, decoesão fibra/matriz, delaminação (descolamento das lâminas),
etc.
Os critérios de ruptura podem ser classificados da seguinte maneira:
critério de tensão máxima,
critério de deformação máxima,
critérios interativos ou critérios energéticos.
55..11 –– CC ttrrii éérriioo ddee tteennssããoo mmááxxiimmaa
O critério de tensão máxima estipula que a resistência mecânica da lâmina
analisada é atingida quando umas das três tensões as quais a lâmina está sendo
submetida atingir o valor da tensão de ruptura correspondente. Desta forma, o
critério pode ser escrito da seguinte maneira:
SSYYXX
12
t2c
t1c
<τ<−
<σ<
<σ<
(5.1)
onde: σ1, σ2 e τ12 representam as tensões longitudinal, transversal e de cisalhamento
no plano da lâmina. Xc e Xt representam as resistências mecânicas na direção
longitudinal em compressão e em tração, Yc e Yt representam as resistências
mecânicas na direção transversal em compressão e em tração e S representa a
Critérios de ruptura 100
resistência mecânica ao cisalhamento. Se as inequações acima são verificadas, a
lâmina não se romperá devido ao estado de tensão σ1, σ2 e τ12.
Como normalmente as lâminas estão orientadas segundo o sistema de eixos de
referência (x, y, z), girado de θ com relação ao sistema de eixos de ortotropia (1, 2,
3), a matriz de transformação dada pela eq. (3.9) deve ser utilizada:
{ } [ ]{ 1x
12
2
1
22
22
22
xy
y
x
Touscscsc
sc2cssc2sc
σ=σ
τσσ
−−−=
τσσ
σ }
}
(5.2)
A inversa da matriz de transformação fornece a relação das tensões medidas
no sistema de eixos (x, y, z) com as tensões nos eixos de ortotropia (1, 2, 3)
utilizadas no critério de tensão máxima:
{ } [ ] { x11 T σ=σ −σ (5.3)
55..22 –– CCrriittéérriioo ddee ddeeffoorrmmaaççããoo mmááxxiimmaa
O critério de deformação máxima estipula que a resistência mecânica da
lâmina analisada é atingida quando umas das três deformações as quais a lâmina está
sendo submetida atingir o valor da deformação de ruptura correspondente. Desta
forma, o critério pode ser escrito da seguinte maneira:
εε
εε
εε
<γ<−
<ε<
<ε<
SSYYXX
12
t2c
t1c
(5.4)
onde: ε1, ε2 e γ12 representam as deformações longitudinal, transversal e de
cisalhamento no plano da lâmina. Xεc e Xεt representam as deformações máximas na
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 101
direção longitudinal em compressão e em tração, Yεc e Yεt representam as
deformações máximas na direção transversal em compressão e em tração e Sεc
representa a deformação máxima em cisalhamento. Se as inequações acima são
verificadas, a lâmina não se romperá devido as deformações ε11, ε22 e γ12.
Como normalmente as lâminas estão orientadas segundo os eixos ortogonais x
e y, girados de θ com relação aos eixos de ortotropia, a matriz de transformação,
eq. (3.9), deve ser utilizada:
{ } [ ]{ }1x
12
2
1
22
22
22
xy
y
x
Touscsc2sc2
sccsscsc
ε=ε
γεε
−−−=
γεε
ε (5.5)
A inversa da matriz de transformação fornece a relação das deformações
medidas no sistema de eixos (x, y, z) com as deformações nos eixos de ortotropia
(1, 2, 3) utilizadas no critério de deformação máxima:
{ } [ ] { x11 T ε=ε −ε } (5.6)
55..33 –– CCoommppaarraaççããoo eennttrree ooss ccrriittéérriiooss ddee tteennssããoo mmááxxiimmaa ee ddee ddeeffoorrmmaaççããoo mmááxxiimmaa
Considere uma lâmina solicitada com as tensões como representadas abaixo:
σ1
σ2
σ2
σ1= 12 σ2
2
1
Critérios de ruptura 102
Suponhamos que as propriedades da lâmina sejam as seguintes:
Xt = 1400 MPa, Yt = 35 MPa, S = 70 MPa
E1 = 46 GPa, E2 = 10 GPa, G12 = 4,6 GPa, ν12 = 0,31
Procura-se valores de σ1 e σ2 para as quais a ruptura acontece. Utilizando o
critério de tensão máxima, temos:
σ1 < Xt e σ2 < Yt
ou seja:
12 σ2 < Xt, MPa11712Xt
2 =<σ
e σ2 < Yt = 35 MPa
A ruptura se dará no menor valor de tensão, 35 MPa, e será na direção
transversal. O estado de tensão neste caso é σ1 = 12 x 35 = 420 MPa e σ2 = 35 MPa.
Utilizando o critério de deformação máxima e admitindo que o material se
comporta linearmente até a ruptura, temos:
1
tt E
XX <ε e 2
tt E
YY <ε
As deformações nas direções longitudinal e transversal são definidas da
forma:
2
221
1
11 EE
σν−
σ=ε
1
112
2
22 EE
σν−
σ=ε
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 103
Como 2
21
1
12
EEν
=ν , temos:
( )1
t2121
11
212
1
11 E
XE1
EE<σν−σ=
σν−
σ=ε
( )2
t1212
22
121
2
22 E
YE1
EE<σν−σ=
σν−
σ=ε
ou seja:
t2121 X<σν−σ
t1212 Y<σν−σ
Como σ1 = 12 σ2.
MPa12012
X
12
t2 =
ν−<σ
MPa183121Y
21
t2 =
ν−<σ
A ruptura se dará no menor valor de tensão, 120 MPa, e será na direção
longitudinal. O estado de tensão neste caso é σ1 = 12 x 120 = 1440 MPa e σ2 = 120
MPa.
Os valores encontrados utilizando o critério de tensão máxima σ1 = 420 MPa
e σ2 = 35 MPa e aqueles encontrados utilizando o critério de deformação máxima σ1
= 1440 MPa e σ2 = 120 MPa são contraditórios em valores e em modo de ruptura:
ruptura transversal no primeiro e longitudinal no segundo. Isto vem do fato de
estabelecer a relação entre tensão máxima e deformação máxima como
anteriormente, mas que devem ser mais complexas.
Critérios de ruptura 104
55..44 –– CCrriittéérriiooss iinntteerraattiivvooss
Nos critérios de tensão máxima e deformação máxima, assume-se que os
mecanismos de ruptura longitudinal, transversal e de cisalhamento se produzem de
forma independente. De maneira a levar em consideração todos estes mecanismos
simultaneamente como no critério de von Mises para materiais isotrópicos, foram
desenvolvidos os critérios interativos ou energéticos.
55..44..11 –– RReevviissããoo ddoo ccrriittéérriioo ddee vvoonn MMiisseess
Considere a energia de deformação total por unidade de volume em um
material isotrópico (densidade de energia de deformação) para um estado multiaxial
de tensões:
( ) ( ) ( )xz2
yz2
xz2
xzzyyx2
z2
y2
xtotal G21
EE21U τ+τ+τ+σσ+σσ+σσ
ν−σ+σ+σ= (5.7)
Esta energia de deformação total, medida nos eixos principais é da forma:
( ) ( )1332212
32
22
1total EE21U σσ+σσ+σσ
ν−σ+σ+σ= (5.8)
A energia de deformação total acima, é dividida em duas partes: uma
causando dilatação do material (mudanças volumétricas), e outra causando
distorções de cisalhamento, Figura 5.2. É interessante lembrar que em um material
dúctil, admite-se que o escoamento do material depende apenas da máxima tensão
de cisalhamento.
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 105
σ−σ2
σ−σ1
σ−σ3σ
σ
σ
Energia de distorção
+
Energia de dilatação
=
Energia de deformação elástica total
σ2
σ3
σ1
Figura 5.2 – Energias de deformação de dilatação e de distorção
A fim de facilitar a compreensão, somente o estado de tensão uniaxial será
considerado. A passagem para um estado de tensão multiaxial é automática. Desta
forma, para um estado de tensão uniaxial, as energias de dilatação e de distorção
são representadas da seguinte forma:
σ1/3
σ1/3
σ1/3 +
+
Energia de dilatação
σ1
Energia de distorção
=
Energia de deformação elástica total
σ1
Figura 5.3 – Energias de dilatação e de distorção num elemento solicitado
axialmente
Os círculos de tensão de Mohr para os estados de tensão com somente
energia de distorção são, Figura 5.4.
Critérios de ruptura 106
Plano 1-3 Plano 1-2
0 σ1/3 σ1/3
τ
σ
τmax = σ1/3
0 σ1/3 σ1/3
τ
σ
τmax = σ1/3
Figura 5.4 – Círculos de tensão de Mohr para o cisalhamento puro
No tensor correspondente a energia de dilatação, os componentes são
definidos como sendo a tensão “hidrostática” média:
3321 σ+σ+σ
=σ (5.9)
onde σ1 = σ2 = σ3 = p = σ .
A energia de dilatação é determinada substituindo σ1 = σ2 = σ3 = p na
expressão de energia de deformação total e em seguida substituindo
3p 321 σ+σ+σ
=σ= :
( )2321dilatação E6
21U σ+σ+σν−
= (5.10)
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 107
A energia de distorção é obtida subtraindo da energia de deformação total a
energia de dilatação:
( ) ( ) ([ 213
232
221distorção G12
1U σ−σ+σ−σ+σ−σ= ) ] (5.11)
A energia de distorção em um ensaio de tração simples, onde neste caso σ1 =
σesc e σ2 = σ3 = 0 é da forma:
G122
U2esc
distorçãoσ
= (5.12)
Igualando a energia de distorção de cisalhamento com a energia no ponto de
escoamento à tração simples, estabelece-se o critério de escoamento para tensão
combinada.
( ) ( ) ( ) 2esc
213
232
221 2 σ=σ−σ+σ−σ+σ−σ (5.13)
Freqüentemente a eq. (5.13) pode ser rearranjada, sendo a expressão
resultante chamada de tensão equivalente.
( ) ( ) ( )2 2equ 1 2 2 3 3 1
1σ σ σ σ σ σ σ2
= − + − + −
2
(5.14)
A eq. (5.13) pode também ser apresentada da forma:
1esc
1
esc
3
esc
3
esc
2
esc
2
esc
12
esc
32
esc
22
esc
1 =
σσ
σσ
−
σσ
σσ
−
σσ
σσ
−
σσ
+
σσ
+
σσ (5.15)
A equação acima é conhecida como sendo o critério de von Mises para um
estado multiaxial de tensões para materiais isotrópicos. Para um estado plano de
Critérios de ruptura 108
tensão, σ3 = 0, tem-se:
12
esc
2
esc
2
esc
12
esc
1 =
σσ
+
σσ
σσ
−
σσ (5.16)
55..44..22 –– CCrriittéérriioo ddee HHiillll
A energia de distorção para um material ortotrópico onde as tensões de
cisalhamento τ12, τ23 e τ31 são diferentes de zero, é obtida de maneira análoga à
obtida por um material isotrópico. Igualando a energia de distorção de cisalhamento
com a energia no ponto de ruptura, estabelece-se o critério de ruptura para tensão
combinada para materiais compostos.
( ) ( ) ( ) 1N2M2L2HGF 231
223
212
213
232
221 =τ+τ+τ+σ−σ+σ−σ+σ−σ (5.17)
As constantes F, G, H, L, M e N são parâmetros da lâmina analisada e estão
ligadas as tensões de ruptura do material.
Colocando a equação acima sob uma outra forma, tem-se:
( ) ( ) ( )1N2M2L2G2
H2F2HGGFHF231
223
21232
312123
22
21
=τ+τ+τ+σσ−
σσ−σσ−σ++σ++σ+ (5.18)
Para um ensaio em tração (ou compressão) na direção longitudinal (1), o
critério se reduz:
( ) 1XHF 2 =+ , ( ) 2X1HF =+ (5.19)
onde X é a tensão de ruptura em tração (ou compressão) na direção longitudinal.
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 109
Da mesma forma, para um ensaio em tração (ou compressão) nas direções
transversais (2 e 3), o critério se reduz:
( ) 1YGF 2 =+ , ( ) 2Y1GF =+ (5.20)
( ) 1ZHG 2 =+ , ( ) 2Z1HG =+ (5.21)
onde Y e Z são as tensões de ruptura em tração (ou compressão) nas direções
transversais.
Para um ensaio de cisalhamento no plano (1,2), o critério se reduz:
212S1L2 = (5.22)
onde S12 é a tensão de ruptura no cisalhamento no plano (1,2). Analogamente:
223S1M2 = (5.23)
231S1N2 = (5.24)
Substituindo os parâmetros F, G, H, L, M e N na equação do critério de
ruptura para tensão combinada para os materiais compostos, eq. (5.18), tem-se:
1SSSY
1X1
Z1
X1
Z1
Y1
Z1
Y1
X1
ZYX2
31
312
23
232
12
1213222
3222221222
23
22
21
=
τ+
τ+
τ+σσ
−+−
σσ
−+−σσ
−+−
σ+
σ+
σ
(5.25)
Para um estado plano de tensão, onde σ3 = τ23 = τ31 = 0:
Critérios de ruptura 110
1SZ
1Y1
X1
YX
2
12
1221222
22
21 =
τ+σσ
−+−
σ+
σ (5.26)
55..44..33 –– CCrriittéérriioo ddee TTssaaii--HHiillll
No critério de Tsai-Hill, o critério de Hill analisado para o estado plano de
tensão é simplificado fazendo-se Z = Y.
1SXYX
2
12
122
212
22
1 =
τ+
σσ−
σ+
σ (5.27)
55..44..44 –– CCrriittéérriioo ddee HHooffffmmaann
No critério de Hoffman é levado em consideração a diferença do
comportamento em tração e em compressão. Este critério admite que a ruptura
acontece quando a igualdade é verificada:
( ) ( ) ( )1CCCCC
CCCC2319
2238
21273625
142
1332
3222
211
=τ+τ+τ+σ+σ+
σ+σ−σ+σ−σ+σ−σ (5.28)
Observe que a diferença do critério de Hoffman para o critério de Hill está
na adição dos termos relativos aos parâmetros C4, C5, C6.
As constantes Ci são determinadas a partir de ensaios experimentais para a
obtenção das tensões de ruptura em tração e em compressão.
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 111
231
9
223
8
212
7
ct6
ct5
ct4
ctctct3
ctctct2
ctctct1
S1C
S1C
S1C
Z1
Z1C
Y1
Y1C
X1
X1C
ZZ1
YY1
XX1
21C
YY1
XX1
ZZ1
21C
XX1
ZZ1
YY1
21C
=
=
=
−=
−=
−=
−+=
−+=
−+=
(5.29)
Considerando somente o estado plano de tensão, o critério de Hoffman se põe
da seguinte maneira:
1SYY
YYXX
XXXXYYXX
2
12
122
ct
tc1
ct
tc
ct
21
ct
22
ct
21 =
τ+σ
−+σ
−+
σσ−
σ+
σ (5.30)
55..44..55 –– CCrriittéérriioo ddee TTssaaii--WWuu
O critério de Tsai-Wu foi desenvolvido de maneira a melhorar a correlação
entre os resultados experimentais e teóricos a partir da introdução de parâmetros
adicionais. Considerando somente o estado plano de tensão, o critério de Tsai-Wu se
põe da seguinte forma:
Critérios de ruptura 112
1SY
1Y1
X1
X1
XXF2
YYXX
2
12
122
ct1
ctct
2112
ct
22
ct
21 =
τ+σ
−+σ
−+
σσ+
σ+
σ (5.31)
onde F12 é um coeficiente de acoplamento expresso da forma:
( )
σ
++σ
−+−−
σ= 2
ct
cttc
ct
cttc212 YY
XX1YY
YYXX
XX12
1F (5.32)
ou:
( )
σ
+++
σ
−+−−
σ=
2SXX
YYXX1
2YY
YYXXXX12F
245
c12
ct
ct
ct45tc
ct
cttc2
4512 (5.33)
onde σ e σ45 são as tensões de ruptura determinadas respectivamente em ensaios
biaxial (σ) e de tração à 45° (σ45). O coeficiente de acoplamento F12 é normalmente
utilizado para ajustar aos resultados obtidos experimentalmente e pode variar de
–1< F12<1. Fazendo F12 = –1/2, o critério de Tsai-Wu se transforma no critério de
Hoffman. Se, além disso fizermos Xt = X = X e Yt = Yc = Y, o critério se transforma
no critério de Tsai-Hill.
c
Exemplo 5.1 – Considere um laminado simétrico (0°/-45°/+45°)S em kevlar/epóxi
submetido a um carregamento do tipo membrana Nx = 1000 N/mm. Verifique,
utilizando o critérios da máxima tensão e de Tsai-Hill, se haverá ruptura em
qualquer das lâminas de espessura 0,5 mm. Considere: E1 = 76,0 GPa, E2 = 5,5 GPa,
G12 = 2,0 GPa, ν12 = 0,35, Xt = 1380 MPa, Xc = – 280 MPa, Yt = 28 MPa, Yc = – 140 MPa
e S12 = 55 MPa.
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 113
Z = –1,5 mm
Z = –1,0 mm Z = – 0,5 mm
Z = 1,5 mm
Z = 1,0 mm Z = 0,5 mm
x
z
Lâmina à 0° Lâmina à -45° Lâmina à +45° Lâmina à +45° Lâmina à -45° Lâmina à 0°
A matriz constitutiva das lâminas em kevlar/epóxi no sistema de ortotropia
(1, 2, 3) é dada pela eq. (4.50). Para a lâmina à 0°, a matriz constitutiva no sistema
de referência (x, y, z) é a mesma dada pela eq. (4.50). Para as lâminas orientadas à
-45° e +45°, as matrizes constitutivas no sistema de referência são dadas pelas eqs.
(4.51) e (4.54) respectivamente.
A matriz de comportamento para este laminado é da forma:
3
xy
y
x
0xy
0x
0x
xy
y
x
xy
y
x
10
22,1690,889,800090,848,2409,1600089,809,161,13700000017,4100000064,5200,41000000,417,123
0M0M0M0N0N
1000N
κκκγεε
=
=====
=
(5.34)
Resolvendo o sistema de equações da eq. (5.34), as deformações e as
curvaturas determinadas são:
ε0x = 0,109e-01, ε0
y = -0,849e-02 , γ0xy = 0,0, κx = 0,0, κy = 0,0, κxy = 0,0
O estado de tensões medido no sistema de coordenadas de referência (x, y,
z) em cada ponto de uma lâmina distante z da superfície neutra é obtido usando a
Critérios de ruptura 114
eq. (3.23). Para o ponto à z = 1,5 mm e z = 1,0 mm, ou para o ponto à z = -1,5 mm e z
= - 1,0 mm na lâmina à 0°, o estado de tensão é o mesmo, já que as curvaturas são
nulas:
x3
y
xy 0
76,7 1,94 0 10,9 1,5 x 0,01,94 5,55 0 10 8,49 1,5 x 0,0 10
0 0 2,0 0,0 1,5 x 00
3−
σ + σ = − + +τ
(5.35)
Logo:
x 1
y 2
12xy 00
819,5625,65 MPa
0
σ σ σ = σ = − ττ
(5.36)
Pelo critério de máxima tensão, temos:
OK118,0140
65,25Y
OK159,01380
56,819X
c
2
t
1
<=−
−=
σ
<==σ
Pelo critério de Tsai-Hill, temos:
OK140,0550
1380)65,25.(56,819
14065,25
138056,819 2
2
22
<=
+
−
−
−−
+
Para o ponto à z = 1,0 mm e para z = 0,5 mm, ou para o ponto à z = -1,5 mm e
para z = - 0,5 mm na lâmina à - 45°, o estado de deformação é o mesmo, já que as
curvaturas são nulas:
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 115
x3
y
xy 45
23,5 19,5 17,8 10,9 1,0 x 0,019,5 23,5 17,8 10 8,49 1,0 x 0,0 1017,8 17,8 19,6 0,0 1,0 x 0,0
3−
−
σ + σ = − + +τ
(5.37)
O que resulta:
x
y
xy 45
90,59513,035 MPa42,898
−
σ σ = τ
(5.38)
Fazendo a transformação de eixos utilizando a eq. (3.9), e sabendo que
2cos( 45)2
− = e 2sen( 45)2
− = − , temos:
1
2
12
90,595 1 1 2113,035 1 1 22
42,898 1 1 0
− σ = σ − τ
(5.39)
Logo:
1
2
12 45
1 1 2 90,595 94,7131 1 1 2 13,035 8,917 MPa2
1 1 0 42,898 38,78−
σ σ = − = τ − −
(5.40)
Pelo critério de máxima tensão, temos:
1
t
2
c
12
12
94,713 0,069 1 OKX 1380
8,917 0,318 1 OKY 28
38,78 0,71 1 OKS 55
σ= = <
σ= = <
τ −= = <
−
Critérios de ruptura 116
Pelo critério de Tsai-Hill, temos:
2 2 2
294,713 8,917 94,713.8,917 38,78 0,603 1 OK1380 28 551380
+ − + = <
Para o ponto à z = 0,5 mm ou para o ponto à z = - 0,5 mm na lâmina à + 45°, o
estado de deformação é também o mesmo:
x3
y
xy 45
23,5 19,5 17,8 10,9 1,0 x 0,019,5 23,5 17,8 10 8,49 1,0 x 0,0 1017,8 17,8 19,6 0,0 1,0 x 0,0
3−
σ − + σ = − − + − − +τ
(5.41)
O que resulta:
x
y
xy 45
90,59513,035 MPa42,898
σ σ = −τ
(5.42)
Fazendo a transformação de eixos utilizando a eq. (3.9), e sabendo que
2cos 452
= e 2sen452
= , temos:
1
2
12
90,595 1 1 2113,035 1 1 22
42,898 1 1 0
σ = − − −
σ τ
(5.43)
Logo:
1
2
12 45
1 1 2 90,595 94,7131 1 1 2 13,035 8,917 MPa2
1 1 0 42,898 38,78
σ − σ = = τ − −
(5.44)
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 117
Pelo critério de máxima tensão, temos:
1
t
2
c
12
94,713 0,069 1 OKX 1380
8,917 0,318 1 OKY 28S 38,78 0,71 1 OKS 55
σ= = <
σ= = <
= = <
Pelo critério de Tsai-Hill, temos:
2 2 2
294,713 8,917 94,713.8,917 38,78 0,603 1 OK1380 28 551380
+ − + = <
Exemplo 5.2 – Considere o laminado simétrico (0°/-45°/+45°)S em kevlar/epóxi
submetido à um momento Mx = - 500 Nmm/mm. Utilize os critérios de Tsai-Hill,
Hoffman e Tsai-Wu para verificar se haverá ruptura em alguma das lâminas de
espessura 0,5 mm. Considere: E1 = 76,0 GPa, E2 = 5,5 GPa, G12 = 2,0 GPa, ν12 = 0,35, Xt
= 1380 MPa, Xc = -280 MPa, Yt = 28 MPa, Yc = -140 MPa e S12 = 55 MPa.
A matriz de comportamento para este laminado é da forma:
0xx0
y x0
xy xy
x x
y y
xy xy
N 0 123,7 41,00 0 0 0 0N 0 41,00 52,64 0 0 0 0N 0 0 0 41,17 0 0 0
1M 500 0 0 0 137,1 16,09 8,89
M 0 0 0 0 16,09 24,48 8,900 0 0 8,89 8,90 16,22M 0
ε= = ε = γ = = − κ = κ
= κ
30 (5.45)
Resolvendo o sistema de equações da eq. (5.45), as deformações e as
curvaturas determinadas são:
ε0x = 0,0, ε0
y = 0,0 , γ0xy = 0,0, κx = -0,397e-02, κy = 0,227e-02, κxy = 0,930e-03
Critérios de ruptura 118
O estado de tensões medido no sistema de coordenadas de referência (x, y,
z) em cada ponto de uma lâmina distante z da superfície neutra é obtido usando a
eq. (4.46). Pelo fato do carregamento ser do tipo flexão e o laminado ser simétrico,
basta apenas aplicar um critério de ruptura no ponto mais distante da superfície
neutra na lâmina. Neste exemplo, os critérios de ruptura serão aplicados somente
nos pontos acima da superfície neutra, devendo o mesmo ser feito nos pontos abaixo
da superfície neutra. Para o ponto à z = 1,5 mm na lâmina à 0°, o estado de tensão é
da forma:
x3
y
xy 0
76,7 1,94 0 0,0 1,5 x 3,971,94 5,55 0 10 0,0 1,5 x 2,27 10
0 0 2,0 0,0 1,5 x 0,93
3−
σ + σ = + +τ
− (5.46)
Logo:
x 1
y 2
12xy 00
450,147,35 MPa2,79
σ σ − σ = σ = ττ
(5.47)
Pelo critério de Tsai-Hill:
2 2 2
2450,14 7,35 450,14.7,35 2,79 2,70 1 FALHA
280 28 55280− − + − + = > −
Pelo critério de Hoffman
FALHA116,25579,235,7
)140.(2828140
)14,450()280.(1380
1380280)280.(1380
35,7).14,450()140.(28
35,7)280.(1380
)14,450(
2
22
−>−=
+
−−−
+−−
−−+
−−
−−
+−
−
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 119
Pelo critério de Tsai-Wu, com F12 = 1, temos:
FALHA117,25579,235,7
)140.(2828140
)14,450()280.(1380
1380280)280.(1380
35,7).14,450(2)140.(28
35,7)280.(1380
)14,450(
2
22
−>−=
+
−−−
+−−
−−+
−−
−−
+−
−
Para o ponto à z = 1,0 mm na lâmina à - 45°, o estado de tensão é:
x3
y
xy 45
23,5 19,5 17,8 0,0 1,0 x 3,9719,5 23,5 17,8 10 0,0 1,0 x 2,27 1017,8 17,8 19,6 0,0 1,0 x 0,93
3−
−
σ + σ = + +τ
− (5.48)
O que resulta:
x
y
xy 45
32,4767,516 MPa12,032
−
σ − σ = − −τ
(5.49)
Fazendo a transformação de eixos utilizando a eq. (3.9), e sabendo que
2cos( 45)2
− = e 2sen( 45)2
− = − , temos:
1
2
12
32,476 1 1 217,516 1 1 22
12,032 1 1 0
− − − = − −
σ σ τ
(5.50)
Logo:
1
2
12 45
1 1 2 32,476 32,0281 1 1 2 7,516 7,964 MPa2
1 1 0 12,032 12,48−
σ − − σ = − − = − τ − −
(5.51)
Critérios de ruptura 120
Pelo critério de Tsai-Hill, temos:
2 2 2
232,028 7,964 32,028.( 7,964) 12,48 0,06 1 OK
280 140 55280− − − − + − + = < − −
Pelo critério de Hoffman:
2 2
2
( 32,028) ( 7,964) 32,028.7,964 280 1380 ( 32,028)1380.( 280) 28.( 140) 1380.( 280) 1380.( 280)
140 28 12,48( 7,964) 0,45 1 OK28.( 140) 55
− − − −+ − + − +
− − − −
− − − + = − < − −
Pelo critério de Tsai-Wu, com F12 = 1, temos:
2 2
2
( 32,028) ( 7,964) 32,028.7,964 280 1380 ( 32,028)1380.( 280) 28.( 140) 1380.( 280) 1380.( 280)
140 28 12,48( 7,964) 0,45 1 OK28.( 140) 55
− − − −+ − + − +
− − − −
− − − + = − < − −
Para o ponto à z = 0,5 mm na lâmina à + 45°, o estado de tensão é:
x3
y
xy 45
23,5 19,5 17,8 0,0 0,5 x 3,9719,5 23,5 17,8 10 0,0 0,5 x 2,27 1017,8 17,8 19,6 0,0 0,5 x 0,93
3−
σ − + − σ = − + − − +τ
(5.52)
O que resulta:
x
y
xy 45
32,79220,312 MPa
24,244
σ − σ = − τ
(5.53)
Fazendo a transformação de eixos utilizando a eq. (3.9), e sabendo que
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 121
2cos 452
= e 2sen452
= , temos:
1
2
12
32,792 1 1 2120,312 1 1 22
24,244 1 1 0
− σ − = − − τ
σ
(5.54)
Logo:
1
2
12 45
1 1 2 32,792 50,7961 1 1 2 20,312 2,303 MPa2
1 1 0 24,244 6,24
σ − − − σ = − = − τ − −
(5.55)
Pelo critério de Tsai-Hill, temos:
2 2 2
250,796 2,303 ( 50,796).( 2,303) 6,24 0,04 1 OK
280 140 55( 280) − − − − + − + = < − − −
Pelo critério de Hoffman:
2 2
2
( 50,796) ( 2,303) ( 50,796).( 2,303) 280 1380 ( 50,796)1380.( 280) 28.( 140) 1380.( 280) 1380.( 280)
140 28 6,24( 2,303) 0,31 1 OK28.( 140) 55
− − − − − −+ − + − +
− − − −
− − − + = − < − −
Pelo critério de Tsai-Wu, com F12 = 1, temos:
2 2
2
( 50,796) ( 2,303) ( 50,796).( 2,303) 280 1380 ( 50,796)1380.( 280) 28.( 140) 1380.( 280) 1380.( 280)
140 28 6,24( 2,303) 0,31 1 OK28.( 140) 55
− − − − − −+ − + − +
− − − −
− − − + = − < − −
Critérios de ruptura 122
Exemplo 5.3 – Considere o laminado simétrico (0°/90°)S em kevlar/epóxi submetido
à uma variação de temperatura de – 100° C. Utilize os critérios de Tsai-Hill,
Hoffman e Tsai-Wu para verificar se haverá ruptura em alguma das lâminas de
espessura 0,5 mm. Considere: E1 = 76,0 GPa, E2 = 5,5 GPa, G12 = 2,0 GPa, ν12 = 0,35,
α1 = -0,4 x 10-5 °C-1, α2 = 5,8 x 10-5 °C-1, Xt = 1380 MPa, Xc = -280 MPa, Yt = 28 MPa,
Yc = -140 MPa e S12 = 55 MPa.
A matriz constitutiva das lâminas em kevlar/epóxi no sistema de ortotropia
(1, 2, 3) é dada pela eq. (4.50). Para as lâminas orientadas à 90°, a matriz
constitutiva no sistema de referência é da forma:
=
390
5,55 1,94 0Q 1,94 76,7 0 10 M
0 0 2,0Pa (5.56)
As deformações de origem térmica das lâminas à 0° e à 90° são
respectivamente:
xt 1t3
yt 1t
12txyt 0
0,45,8 100
−
ε ε ε = ε = − γγ
(5.57)
xt 2t3
yt 1t
12txyt 90
5,80,4 100
−
ε ε − ε = ε = γγ
(5.58)
A matriz de comportamento para este laminado é da forma:
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 123
0xx0
y x0
xy xy 3
x x
y y
xy xy
N 0 82,23 3,88 0 0 0 0 12,00N 0 3,88 82,23 0 0 0 0 12,00N 0 0 0 4,00 0 0 0 0
10M 0 0 0 0 45,19 1,30 0 0M 0 0 0 0 1,30 24,48 0 0
0 0 0 0 0 1,33 0M 0
ε= − = ε − = γ = − = κ = κ
= κ
(5.59)
Resolvendo o sistema de equações da eq. (5.56), as deformações e as
curvaturas determinadas são:
ε0x = -0,139e-03, ε0
y = -0,139e-03, γ0xy = 0,0, κx = 0,0, κy = 0,0, κxy = 0,0
−
O efeito da temperatura nas tensões em uma lâmina, eq. (3.22). Assim, as
tensões nas lâminas à 0° e à 90° obtidas no sistema de referência são:
x3 3
y
xy 0
76,7 1,94 0 0,139 0,4 30,361,94 5,55 0 10 0,139 5,8 10 30,37 MPa
0 0 2,0 0 0
−
σ − − σ = − + = τ
(5.60)
x3 3
y
xy 90
5,55 1,94 0 0,139 5,8 30,371,94 76,7 0 10 0,139 0,4 10 30,36 MPa
0 0 2,0 0 0
−
σ − + σ = − − = − τ
(5.61)
Logo, as tensões nas lâminas à 0° e à 90° obtidas no sistema de ortotropia
são:
1 x
2 y
12 xy0 0
30,3630,37 MPa
0
σ σ − σ = σ =
τ τ
(5.62)
Critérios de ruptura 124
y1
2 x
12 xy90 90
30,3730,36 MPa
0
σ σ − σ = σ =
τ τ
(5.63)
Aplicando os critérios de falha na lâmina à 0° e à 90°, tem-se:
Pelo critério de Tsai-Hill, temos:
2 2
230,37 30,36 ( 30,37).(30,36) 1,2 1 FALHA280 28 ( 280)
− − + − = > − −
Pelo critério de Hoffman:
2 2( 30,37) (30,36) ( 30,37).(30,36) 280 1380 ( 30,37)1380.( 280) 28.( 140) 1380.( 280) 1380.( 280)
140 28 (30,36) 0,93 1 OK28.( 140)
− − − −+ − + −
− − − −− −
= <−
+
Pelo critério de Tsai-Wu, com F12 = 1, temos:
2 2( 30,37) (30,36) ( 30,37).(30,36) 280 1380 ( 30,37)1380.( 280) 28.( 140) 1380.( 280) 1380.( 280)
140 28 (30,36) 0,93 1 OK28.( 140)
− − − −+ − + −
− − − −− −
= <−
+
55..44 –– MMééttooddoo ddee ddeeggrraaddaaççããoo
Os métodos de degradação aplicados à estruturas laminadas são métodos
iterativos de avaliação de falha em lâminas, que consistem em alterar as
propriedades mecânicas de lâminas rompidas segundo o modo de falha identificado,
de forma a melhor avaliar o processo de ruptura da estrutura. Os modos de falha de
uma lâmina podem ser: trinca da matriz, ruptura da fibra, delaminação, etc. São
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 125
inúmeros os métodos de degradação utilizados para alterar as propriedades
mecânicas de lâminas rompidas. Um dos métodos mais simples considera que, na
falha por trinca da matriz, as propriedades E2, E3, ν12, ν13, ν23, G12, G13 e G23 são
anuladas, E1 permanecendo inalterado. Na falha por ruptura da fibra, as
propriedades E1, ν12, ν13, G12 e G13 são anuladas, enquanto E2, E3, ν23 e G23
permanecem inalteradas. Na falha por delaminação, as propriedades G13 e G23 são
anuladas, enquanto que as restantes permanecem inalteradas.
Exemplo 5.4 – Considere um laminado simétrico (0°/90°/90°/0°) em kevlar/epóxi
com espessura de 0,5 mm para cada lâmina. Aplique um método de degradação de
maneira a verificar se todo o laminado romperá quando submetido a um
carregamento Nx=500 M/mm. Considere: E1 = 76,0 GPa, E2 = 5,5 GPa, G12 = 2,0 GPa,
ν12 = 0,35, XT = 1380 MPa, XC = -280 MPa, YT = 28 MPa, YC = -280 MPa e S = 55 MPa.
Nx Nx
z y
x
A matriz de comportamento para este laminado é da forma:
3
xy
y
x
0xy
0x
0x
xy
y
x
xy
y
x
10
33,100000020,4529,1000029,120,4500000000,400000025,8288,3000088,325,82
0M0M0M0N0N
500N
κκκγεε
=
=====
=
(5.64)
Critérios de ruptura 126
Resolvendo o sistema dado pela eq. (5.61), as deformações e as curvaturas
determinadas são:
ε0x = 6,1e-03, ε0
y = -2,9e-04 , γ0xy = 0,0, κx = 0,0, κy = 0,0, κxy = 0,0
Para o ponto à z = 1,0 mm na lâmina à 0°, o estado de tensão é da forma:
x3
y
xy 0
76,7 1,94 0 6,00 1,0 x 0,01,94 5,55 0 10 0,29 1,0 x 0,0 10
0 0 2,0 0,00 1,0 x 0,0
3−
σ + σ = − + +τ
(5.65)
Logo:
1 x
2 y
12 xy0 0
459,6410,03 MPa
0
σ σ σ = σ =
τ τ
(5.66)
Pelo critério de máxima tensão, temos:
OK136,028
03,10Y
OK133,01380
64,459X
c
2
t
1
<==σ
<==σ
Para o ponto à z = 0,5 mm na lâmina à 90°, o estado de tensão é:
x3
y
xy 90
5,55 1,94 0 6,00 1,0 x 0,01,94 76,7 0 10 0,29 1,0 x 0,0 10
0 0 2,0 0,00 1,0 x 0,0
3−
σ + σ = − + +τ
(5.67)
O que resulta:
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 127
x
y
xy 90
32,7410,60 MPa
0
σ σ = − τ
(5.68)
Logo:
y1
2 x
12 xy90 90
10,6032,74 MPa
0
σ σ − σ = σ =
τ τ
(5.69)
Pelo critério de máxima tensão, temos:
FALHA117,128
74,32Y
OK104,0280
60,10X
c
2
t
1
<==σ
<=−
−=
σ
Considerando que o modo de falha das lâminas à 90° é do tipo trinca da
matriz, as propriedades mecânicas somente destas lâminas serão alteradas da
seguinte forma: E2 = 0, ν12 = 0 e G12 = 0. Logo a matriz constitutiva para estas
lâminas é agora da forma:
[ ] MPa1000007,760000
Q 3900
= (5.70)
A matriz de comportamento para o laminado considerado degradado é da
forma:
Critérios de ruptura 128
3
xy
y
x
0xy
0x
0x
xy
y
x
xy
y
x
10
17,100000020,4513,1000013,174,4400000000,200000025,8294,1000094,17,76
0M0M0M0N0N
500N
κκκγεε
=
=====
=
(5.71)
Resolvendo o novo sistema de equações dado pela eq. (5.68), as novas
deformações e as curvaturas são:
ε0x = 6,5e-03, ε0
y =-1,5e-04 , γ0xy = 0,0, κx = 0,0, κy = 0,0, κxy = 0,0
Para o ponto à z = 1,0 mm na lâmina à 0°, o estado de tensão é da forma:
x3
y
xy 0
76,7 1,94 0 6,50 1,0 x 0,01,94 5,55 0 10 0,15 1,0 x 0,0 10
0 0 2,0 0,00 1,0 x 0,0
3−
σ + σ = − + +τ
(5.72)
Logo:
1 x
2 y
12 xy0 0
498,2611,78 MPa
0
σ σ σ = σ =
τ τ
(5.73)
Pelo critério de máxima tensão, temos:
OK142,02878,11
Y
OK136,01380
26,498X
c
2
t
1
<==σ
<==σ
Para o ponto à z = 0,5 mm na lâmina à 90°, o estado de tensão é:
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 129
x3
y
xy 90
0 0 0 6,50 0,5 x 0,00 76,7 0 10 0,15 0,5 x 0,0 100 0 0 0,00 0,5 x 0,0
3−
σ + σ = − + +τ
a
(5.74)
O que resulta:
x
y
xy 90
011,51 MPa0
σ σ = − τ
(5.75)
Logo:
y1
2 x
12 xy90 90
11,510 MP0
σ σ − σ = σ =
τ τ
(5.76)
Pelo critério de máxima tensão, temos:
1
t
2
11,51 0,04 1 OKX 280
JA TINHA OCORRIDO FALHA
σ −= = <
−
σ ==>
Conclusão: Como não houve mais nenhuma falha, o laminado suportaria o
carregamento mesmo tendo ocorrido falha em uma das lâminas.
Exemplo 5.5 – Considere um laminado simétrico (0°/-45°/+45°)S em kevlar/epóxi
com espessura de 0,5 mm para cada lâmina. Aplique um método de degradação para
verificar se haverá se todo o laminado se romperá quando submetido a um
carregamento W = 20 kN/m2. Considere: E1 = 76,0 GPa, E2 = 5,5 GPa, G12 = 2,0 GPa,
ν12 = 0,35, XT = 1380 MPa, XC = -280 MPa, YT = 28 MPa, YC = -280 MPa e S = 55 MPa.
Critérios de ruptura 130
100 mm
500 mm
W = 20 kN/m2
z y
x
Considerando que o carregamento W pode ser substituído por uma força
distribuída em x = 250 mm de intensidade 10 kN/m, as reações nos apoios são iguais
e de intensidade 5 kN/m. Assim, o momento máximo situado em x = 250 mm, pode
ser obtido da forma:
5 kN/m
100 mm
250 mm
Mx
z y
x
Impondo o equilíbrio estático com relação aos momentos em torno do eixo y,
temos:
Mx – 5000 N/m.125 mm + 5000 N/m.250 mm = 0
Mx = – 625 Nmm/mm
A matriz de comportamento, é neste caso igual a da eq. (5.34). Logo o sistema
a ser resolvido é da forma:
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 131
3
xy
y
x
0xy
0x
0x
xy
y
x
xy
y
x
10
22,1690,889,800090,848,2409,1600089,809,161,13700000017,4100000064,5200,41000000,417,123
0M0M625M0N0N0N
κκκγεε
=
==−====
(5.77)
Resolvendo o sistema de equações da eq. (5.74), as deformações e as
curvaturas determinadas são:
ε0x = 0,0, ε0
y = 0,0 , γ0xy = 0,0, κx = -0,497e-02, κy = 0,284e-02, κxy = 0,116e-02
Para o ponto à z = 1,5 mm na lâmina à 0°, o estado de tensão é da forma:
x3
y
xy 0
76,7 1,94 0 0,0 1,5 x 4,971,94 5,55 0 10 0,0 1,5 x 2,84 10
0 0 2,0 0,0 1,5 x 1,16
3−
σ + σ = + +τ
− (5.78)
Logo:
x 1
y 2
12xy 00
563,539,18 MPa3,48
σ σ − σ = σ = ττ
(5.79)
Pelo critério de máxima tensão, temos:
1
t
2
c
12
563,53 2,01 1 FALHAX 280
9,18 0,33 1 OKY 28S 3,48 0,06 1 OKS 55
σ −= = >
−
σ= = <
= = <
Critérios de ruptura 132
Para o ponto à z = 1,0 mm na lâmina à - 45°, o estado de tensão é:
x3
y
xy 45
23,5 19,5 17,8 0,0 1,0 x 4,9719,5 23,5 17,8 10 0,0 1,0 x 2,84 1017,8 17,8 19,6 0,0 1,0 x 1,16
3−
−
σ + σ = + +τ
− (5.80)
O que resulta:
x
y
xy 45
40,7679,527 MPa15,178
−
σ − σ = − −τ
(5.81)
Fazendo a transformação de eixos utilizando a eq. (3.9), e sabendo que
2cos( 45)2
− = e 2sen( 45)2
− = − , temos:
1
2
12
40,767 1 1 219,527 1 1 22
15,178 1 1 0
− − − = − −
σ σ τ
(5.82)
Logo:
1
2
12 45
1 1 2 40,767 40,3251 1 1 2 9,527 9,969 MPa2
1 1 0 15,178 15,62−
σ − − σ = − − = − τ − −
(5.83)
Pelo critério de máxima tensão, temos:
1
t
2
c
12
40,325 0,14 1 OKX 280
9,969 0,07 1 OKY 140S 15,62 0,28 1 OKS 55
σ −= = <
−
σ −= = <
−
= = <
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 133
Para o ponto à z = 0,5 mm na lâmina à + 45°, o estado de tensão é:
x3
y
xy 45
23,5 19,5 17,8 0,0 0,5 x 4,9719,5 23,5 17,8 10 0,0 0,5 x 2,84 1017,8 17,8 19,6 0,0 0,5 x 1,16
3−
σ − + − σ = − + − − +τ
(5.84)
O que resulta:
x
y
xy 45
41,03225,412 MPa
30,325
σ − σ = − τ
(5.85)
Fazendo a transformação de eixos utilizando a eq. (3.9), e sabendo que
2cos452
= e 2sen452
= , temos:
1
2
12
41,032 1 1 2125,412 1 1 22
30,325 1 1 0
− σ − = − − τ
σ
(5.86)
Logo:
1
2
12 45
1 1 2 41,032 63,5471 1 1 2 25,412 2,897 MPa2
1 1 0 30,325 7,81
σ − − σ = − − = − τ − −
(5.87)
Pelo critério de máxima tensão, temos:
1
t
2
c
12
63,547 0,227 1 OKX 280
2,897 0,021 1 OKY 140S 7,81 0,142 1 OKS 55
σ −= = <
−
σ −= = <
−
−= = <
−
Critérios de ruptura 134
Para o ponto à z = -1,5 mm na lâmina à 0°, o estado de tensão é da forma:
x 1
y 2
12xy 00
563,539,18 MPa3,48
σ σ σ = σ = − τ −τ
(5.88)
Pelo critério de máxima tensão, temos:
1
t
2
c
12
563,53 0,408 1 OKX 1380
9,18 0,033 1 OKY 280S 3,48 0,06 1 OKS 55
σ= = <
σ −= = <
−
−= = <
−
Para o ponto à z = -1,0 mm na lâmina à - 45°, o estado de tensão é:
x
y
xy 45
40,7679,527 MPa15,178
−
σ σ = τ
(5.89)
Fazendo a transformação de eixos utilizando a eq. (3.9), as tensões no
sistema de ortotropia são:
1
2
12 45
40,3259,969 MPa15,62
−
σ σ = τ −
(5.90)
Pelo critério de máxima tensão, temos:
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 135
1
t
2
t
12
40,325 0,03 1 OKX 1380
9,969 0,36 1 OKY 28S 15,62 0,28 1 OKS 55
σ= = <
σ= = <
−= = <
−
Para o ponto à z = - 0,5 mm na lâmina à + 45°, o estado de tensão é:
x
y
xy 45
41,03225,412 MPa30,325
σ σ = −τ
(5.91)
Fazendo a transformação de eixos utilizando a eq. (3.9), as tensões no
sistema de ortotropia são:
1
2
12 45
63,5472,897 MPa7,81
σ σ = τ
(5.92)
Pelo critério de máxima tensão, temos:
1
t
2
c
12
63,547 0,046 1 OKX 1380
2,897 0,103 1 OKY 28S 7,81 0,142 1 OKS 55
σ= = <
σ= = <
= = <
Considerando que a falha que ocorreu na lâmina à 0° e na posição z = 1,5 mm é
do tipo trinca das fibras, as propriedades mecânicas, somente desta lâmina, serão
Critérios de ruptura 136
alteradas da seguinte forma: E1 = 0, ν12 = 0 e G12 = 0. Logo a matriz constitutiva para
esta lâmina é agora da forma:
30
0 0 0Q 0 5,55 0 10 M
0 0 0
=
Pa
3
(5.93)
A matriz de comportamento para o laminado considerado degradado é então
da forma:
0xx0
y x0
xy xy
x x
y y
xy xy
N 0 85,36 40,03 0 0 0 0N 0 40,03 52,62 0 0 0 0N 0 0 0 40,17 0 0 0
1M 625 0 0 0 76,38 14,56 8,89
M 0 0 0 0 14,56 24,48 8,900 0 0 8,89 8,90 14,64M 0
ε= = ε = γ = = − κ = κ
= κ
30 (5.94)
Resolvendo o sistema de equações da eq. (5.91), as deformações e as
curvaturas determinadas são:
ε0x = -0,194e-01, ε0
y = 0,143e-01, γ0xy = 0,249e-03, κx = -0,229e-01, κy = 0,981e-02,
κxy = 0,799e-02
Para o ponto à z = 1,5 mm na lâmina à 0°, o estado de tensão é da forma:
x3
y
xy 0
0 0 0 19,4 1,5 x 22,90 5,55 0 10 14,3 1,5 x 9,81 100 0 0 0,249 1,5 x 7,99
−
σ − + σ = + +τ
− (5.95)
Logo:
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 137
x 1
y 2
12xy 00
0161,03 MPa
0
σ σ σ = σ = ττ
(5.96)
Pelo critério de máxima tensão, temos:
1
2
c
12
JA TINHA OCORRIDO FALHA161,03 5,75 1 FALHA
Y 28S 0 0,0 1 OKS 55
σ ==>
σ= = >
= = <
Para o ponto à z = 1,0 mm na lâmina à - 45°, o estado de tensão é:
x3 3
y
xy 45
23,5 19,5 17,8 19,4 1,0 x 22,919,5 23,5 17,8 10 14,3 1,0 x 9,81 1017,8 17,8 19,6 0,249 1,0 x 7,99
−
−
σ − + σ = + +τ
− (5.97)
O que resulta:
x
y
xy 45
379,60113,56 MPa164,08
−
σ − σ = − −τ
(5.98)
Fazendo a transformação de eixos utilizando a eq. (3.9), as tensões no
sistema de ortotropia são:
1
2
12 45
410,6682,5 MPa
133,02−
σ − σ = − τ
(5.99)
Pelo critério de máxima tensão, temos:
Critérios de ruptura 138
1
t
2
c
12
410,66 1,47 1 FALHAX 280
82,05 0,59 1 OKY 140S 133,02 2,42 1 FALHAS 55
σ −= = >
−
σ −= = <
−
= = >
Para o ponto à z = 0,5 mm na lâmina à + 45°, o estado de tensão é:
x3 3
y
xy 45
23,5 19,5 17,8 19,4 0,5 x 22,919,5 23,5 17,8 10 14,3 0,5 x 9,81 1017,8 17,8 19,6 0,249 0,5 x 7,99
−
σ − − + − σ = − + − − +τ
(5.100)
O que resulta:
x
y
xy 45
426,02225,80 MPa291,31
σ − σ = − τ
(5.101)
Fazendo a transformação de eixos utilizando a eq. (3.9), as tensões no
sistema de ortotropia são:
1
2
12 45
617,2234,6 MPa
100,11
σ − σ = − τ −
(5.102)
Pelo critério de máxima tensão, temos:
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 139
1
t
2
c
12
617,22 2,20 1 FALHAX 280
225,80 0,25 1 OKY 140S 100,11 1,82 1 FALHAS 55
σ −= = >
−
σ −= = <
−
−= = >
−
Para o ponto à z = -1,5 mm na lâmina à 0°, o estado de tensão é da forma:
x3
y
xy 0
76,7 1,94 0 19,4 1,5 x 22,91,94 5,55 0 10 14,3 1,5 x 9,81 10
0 0 2,0 0,249 1,5 x 7,99
3−
σ − − σ = − −τ
− (5.103)
Logo:
x 1
y 2
12xy 00
1145,8626,70 MPa23,47
σ σ σ = σ = τ −τ
(5.104)
Pelo critério de máxima tensão, temos:
1
t
2
c
12
1145,86 0,83 1 OKX 1380
26,7 0,95 1 OKY 28S 23,47 0,43 1 OKS 55
σ= = <
σ= = <
−= = <
−
Para o ponto à z = - 1,0 mm na lâmina à - 45°, o estado de tensão é:
x3 3
y
xy 45
23,5 19,5 17,8 19,4 1,0 x 22,919,5 23,5 17,8 10 14,3 1,0 x 9,81 1017,8 17,8 19,6 0,249 1,0 x 7,99
−
−
σ − − σ = − −τ
− (5.105)
Critérios de ruptura 140
O que resulta:
x
y
xy 45
32,0235,98 MPa
9,50−
σ σ = −τ
(5.106)
Fazendo a transformação de eixos utilizando a eq. (3.9), as tensões no
sistema de ortotropia são:
1
2
12 45
43,5024,49 MPa
1,98−
σ σ = τ −
(5.107)
Pelo critério de máxima tensão, temos:
1
t
2
c
12
43,50 0,03 1 OKX 1380
24,49 0,87 1 OKY 28S 1,98 0,04 1 OKS 55
σ= = <
σ= = <
−= = <
−
Para o ponto à z = - 0,5 mm na lâmina à + 45°, o estado de tensão é:
x3 3
y
xy 45
23,5 19,5 17,8 19,4 0,5 x 22,919,5 23,5 17,8 10 14,3 0,5 x 9,81 1017,8 17,8 19,6 0,249 0,5 x 7,99
−
σ − − − − σ = − − − − −τ
(5.108)
O que resulta:
x
y
xy 45
63,06132,43 MPa
99,14
σ σ = −τ
(5.109)
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 141
Fazendo a transformação de eixos utilizando a eq. (3.9), as tensões no
sistema de ortotropia são:
1
2
12 45
196,891,40 MPa
34,69
σ σ = − τ −
(5.110)
Pelo critério de máxima tensão, temos:
1
t
2
c
12
196,89 0,14 1 OKX 1380
1,40 0,01 1 OKY 140S 34,69 0,63 1 OKS 55
σ= = <
σ −= = <
−
−= = <
−
Observa-se que o número de lâminas que falharam aumentou, o que significa
que uma nova iteração considerando a perda de rigidez em função do modo de falha
deve ser realizado. Conclui-se dessa forma que, este laminado não resistirá ao
carregamento considerado.
Método dos Elementos Finitos aplicados aos Materiais Compostos 142
66 –– MMÉÉTTOODDOO DDOOSS EELLEEMMEENNTTOOSS FFIINNIITTOOSS AAPPLLIICCAADDOO AAOOSS MMAATTEERRIIAAIISS
CCOOMMPPOOSSTTOOSS
No método dos elementos finitos aplicados a estruturas em material
composto laminado a Teoria de Primeira Ordem é empregada. As matrizes de
rigidez e de massa são obtidas pela formulação da energia de deformação e pela
energia cinética de um elemento.
66..11 –– EEnneerrggiiaa ddee ddeeffoorrmmaaççããoo eelleemmeennttaarr
O estado plano de tensões é como segue:
κκκ
+
γεε
=
∂β∂
+∂α∂
∂β∂
∂α∂
+
∂∂
+∂
∂∂
∂∂
∂
=
∂∂
+∂∂
∂∂∂∂
=
γεε
xy
y
x
xy
y
x
xy
y
x
z
xy
y
xz
xv
yu
yvxu
xv
yu
yvxu
0
0
0
00
0
0
(6.1)
onde ε0x, ε0
y são deformações normais nas direções x e y na superfície neutra, γ0xy é
a deformação angular no plano (x,y) na superfície média, e κx, κy e κxy são as
curvaturas.
As deformações cisalhantes transversas são da forma:
o
yz
xz o
wv wz y yu w wz x x
∂∂ ∂ + β + γ ∂ ∂ ∂ = = γ ∂ ∂ ∂ + α + ∂ ∂ ∂
(6.2)
onde α e β são as inclinações de seção transversal nos planos (x,z) e (y,z).
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 143
A energia de deformação em um elemento infinitesimal pode ser colocada da
forma: t
tx xyz yz
e y yxz xzV V
xy xy
1 1U dV2 2
ε σγ τ = ε σ + γ τ γ τ
∫ ∫ dV (6.3)
onde, a primeira integral corresponde a energia devido ao estado plano de tensão e a
segunda corresponde a energia devido ao cisalhamento transverso.
Substituindo as deformações obtidas anteriormente, temos: t
0h h tx x x2 2
yz yz0e y y y
h h xz xzA A02 2xyxy xy
z1 1U z dzdx dy dzdx dy2 2
z− −
ε + κ σ γ τ = ε + κ σ + γ τ τγ + κ
∫ ∫ ∫ ∫ (6.4)
Desenvolvendo a expressão acima temos: t t0
h hx x x x2 20
e y y y yh hA A02 2xy xy xyxy
h t2yz yz
h xz xzA 2
1 1U dzdx dy zdzdx dy2 2
1 dzdx dy2
− −
−
ε σ κ σ = ε σ + κ σ τ κ τγ
γ τ
γ τ
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
+
(6.5)
Sabe-se que:
dzNNN 2
h
2h
xy
y
x
xy
y
x
∫−
τσσ
=
, dzzMMM 2
h
2h
xy
y
x
xy
y
x
∫−
τσσ
=
e (6.6)
h / 2y yz
x xzh / 2
Qdz
Q −
τ = τ
∫
Substituindo as eqs. (6.6) na eq. (6.5):
Método dos Elementos Finitos aplicados aos Materiais Compostos 144
t t0tx x x x
yz y0e y y y y
xz xA A A0xy xy xyxy
N M Q1 1 1U N dx dy M dx dy dx dy2 2 2 Q
N M
ε κ γ = ε + κ + γ κγ
∫ ∫ ∫ (6.7)
Reagrupando a eq. (6.7): t0
x x0
yy
0 xyxy
xxe
yA y
xyxy
yyz
xxz
NN
N
M1UM2M
Q
Q
ε ε γ κ=
κ κ γ
γ
∫ dx dy (6.8)
Substituindo a eq. (4.75) na eq. (6.8) e desconsiderando os efeitos térmicos,
tem-se finalmente: t0 0
x x0 0y y
0 0xy xy
x xe
A y y
xy xy
yz yz
xz xz
[A] [B] 0
1U d2
[B] [B] 0
0 0 [F]
ε ε ε ε γ γ κ κ= κ κ κ κ γ γ γ γ
∫ x dy (6.9)
Considerando que os deslocamentos e as inclinações possam ser definidas
como sendo interpolações nodais da forma:
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 145
{ } ( ) { }
n
o i ii 1n
o i ii 1
ne
o i ii 1
n
i ii 1n
i ii 1
u (x,y) N (x,y) u
v (x,y) N (x,y) v
w (x,y) N (x,y) w ou u (x,y) N x,y U
(x,y) N (x,y)
(x,y) N (x,y)
=
=
=
=
=
=
=
=
α = α
β = β
∑
∑
∑
∑
∑
e= (6.10)
onde ue(x,y) é o vetor deslocamento elementar, Ni(x,y) são funções de interpolação
obtidas em função do número de nós n do elemento, e Ue é o vetor deslocamento
nodal do elemento contendo ui, vi, wi, αi e βi.
A relação deformação/deslocamento pode então, segundo as eq. (6.1) e (6.2),
ser dada da forma:
[ ]{ e
n
1
1
1
1
1
21
1
21
1
11
1
1
2211
21
21
yz
xz
xy
y
x
0xy
0y
0x
UBwvu
yN0N0
yN00
xN00N
xN00
00x
Ny
N000
00y
N0000
000x
N000
xN
yN000
xN
yN
yN0000
yN0
0x
N0000x
N
ywxwxy
y
x
xv
yu
yvxu
=
β
βα
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
∂∂
+β
∂∂
+α
∂β∂
+∂α∂
∂β∂
∂α∂
∂∂
+∂∂
∂∂∂∂
=
γγκκκγεε
} (6.11)
Substituindo a eq. (6.11) na eq. (6.9), temos:
Método dos Elementos Finitos aplicados aos Materiais Compostos 146
{ } [ ] [ ]{ }∫
=
A
ettee dydxUB
F000DB0BA
BU21U (6.12)
66..22 –– EEnneerrggiiaa cciinnééttiiccaa eelleemmee ttnn aarr
A energia cinética de um elemento infinitesimal pode ser colocada da forma:
∫
∂∂
+
∂∂
+
∂∂
ρ=V
222
e dVt
)t,z,y,x(wt
)t,z,y,x(vt
)t,z,y,x(u)z,y,x(21T (6.13)
Considerando o campo de deslocamentos definido pela eq. (6.1), temos:
∫ ∫
∂
∂+
∂β∂
+∂
∂+
∂α∂
+∂
∂ρ=
−A
20
20
20
2h
2h
e dydxdzt
wt
zt
vt
zt
u)z,y,x(
21T (6.14)
Desenvolvendo a eq. (6.14), temos: h 2 2 2 2 22
2o o 0o 0e
hA2
1T (x,y,z) u v w 2z u v z dz dx dy2 −
= ρ + + + α+ β + α + β
∫ ∫i i i i i i i i i
(6.15)
Para uma placa, laminada, a densidade de cada lâmina pode ser considerada
constante ao logo da espessura, logo ρk = ρ(x,y). Definindo ρ0(x,y) como sendo uma
densidade de massa por unidade de área da superfície média da placa como sendo:
dz)y,x(2
h
2h
ko ∫
−
ρ=ρ (6.16)
e definindo ρ1(x,y) como sendo o primeiro momento de massa por:
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 147
dzz)y,x(2
h
2h
k1 ∫
−
ρ=ρ (6.17)
Observe que se a densidade for constante ao longo da espessura, como no caso
de uma placa homogênea, ρ1(x,y)=0. Definindo também ρ2(x,y) como sendo o segundo
momento de massa por:
dzz)y,x( 22
h
2h
k2 ∫
−
ρ=ρ (6.18)
Para uma placa homogênea, 12h3k
2ρ
=ρ .
Substituindo as eqs. (6.16), (6.17) e (6.18) na eq. (6.15), temos:
2 2 2 2 2
o o 0o 0e 0 1 2A
1T (x,y) u v w 2 (x,y) u v (x,y) dx dy2
= ρ + + + ρ α+ β + ρ α + β
∫i i i i i i i i i
(6.19)
Reagrupando a eq. (6.19) na forma de vetores, temos: t
o o t t
oo oe 0 1 2
A oo o
u uu1T v (x,y) v 2 (x,y) (x,y) dx dy
2 vw w
α α α = ρ + ρ + ρ β β β
∫
i i
i i i ii i
i i i ii i
(6.20)
A eq. (6.20) pode ser reescrita através da definição de uma matriz [m] do
tipo:
Método dos Elementos Finitos aplicados aos Materiais Compostos 148
[ ]
ρρρρ
ρρρ
ρρ
=
)y,x(00)y,x(00)y,x(00)y,x(00)y,x(00
)y,x(00)y,x(00)y,x(00)y,x(
m
21
21
0
10
10
(6.21)
Substituindo a eq. (6.21) na eq. (6.20), segue: t
o o
o o
e o oA
u u
v v1T [m] dx dyw w2
= α α β β
∫
i i
i i
i i
i i
i i
i
(6.22)
Considerando a derivada temporal da eq. (6.10), temos:
( )e e
u (x,y,t) N x,y U (t) =
i (6.23)
Substituindo a eq. (6.23) na eq. (6.22), tem-se:
[ ] [ ]te e
te
A
1T U N [m] N U d2
=
∫i i
x dy (6.24)
66..33 –– TTrraabbaallhhoo rr eeaalliizzaaddoo ppeellaass ffoorrççaass eexxtteerrnnaass
O trabalho realizado pelas forças externas pode ser colocado da forma:
{ } { }{ e
A
ee UF
21dydxU)y,x(q
21W += ∫ } (6.25)
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 149
onde q(x,y) é o carregamento transversal e {F} são os esforços concentrados do tipo
força e momento.
66..44 –– PPrroobblleemmaa ee ttssttáá iiccoo –– pprriinnccííppiioo ddooss ttrraabbaallhhooss vviirrttuuaaiiss
Este princípio considera que o trabalho virtual realizado pelas forças
externas é igual ao trabalho virtual realizado pelos esforços internos quando da
aplicação de deslocamentos virtuais do tipo {δUe}. Assim das eq. (6.12) e (6.25) e
considerando o trabalho realizado no elementos, temos:
{ } [ ] [ ] { } { } { } { }FUdydx)y,x(qUdydxUBF000DB0BA
BUte
A
te
A
ette δ+δ=
∫∫ (6.26)
Colocando os deslocamentos virtuais em evidência, tem-se:
{ } [ ] [ ] { } { } 0Fdydx)y,x(qUdydxBF000DB0BA
BUA
e
A
tte =
+−
δ ∫∫ (6.27)
Como a solução da eq. (6.27) é valida para qualquer deslocamento virtual, o
problema a ser resolvido, após a superposição das matrizes elementares, é da
forma:
[ ] { } { }PUK = (6.28)
A eq. (6.28) é a equação que descreve o comportamento estático do sistema,
onde [K] é a matriz de rigidez global, {P} é o vetor forças externas global
e {U} é o vetor dos graus de liberdade de todo o sistema.
Método dos Elementos Finitos aplicados aos Materiais Compostos 150
66..55 –– PPrroobblleemmaa ddiinnââmmiiccoo –– eeqquuaaççõõeess ddee llaaggrraannggee
Inúmeras técnicas podem ser utilizadas para se chegar na equação que
representa o comportamento do sistema, equação esta que será resolvida pelo
método dos elementos finitos: princípio da energia potencial mínima, método dos
resíduos ponderados, etc. Um método bastante utilizado para se obter a equação
que representa o comportamento dinâmico de um sistema é o da aplicação das
equações de Lagrange sobre as todas as energias consideradas no sistema. Estas
equações de Lagrange são expressas da seguinte forma:
iiii
FqqU
qT
qT
dtd
=∂∂
+∂∂
−
∂∂ (6.29)
onde T é a energia cinética do sistema, U é a energia de deformação do sistema e
Fqi são as forças generalizadas do sistema. Aplicando a eq. (6.57) sobre as eqs.
(6.27), (6.39) e considerando que as forças generalizadas são obtidas pelo trabalho
virtual realizado pelas forças externas, obtém-se a eq. (6.58) que representa a
equação de movimento do sistema, dada da forma:
[ ] [ ] { } {M U(t) K U(t) P(t) + =
ii
} (6.30)
onde [M] é a matriz de massa global.
66..55..11 –– FFrreeqqüüêênncciiaass nnaattuurraaiiss ee mmooddooss ddee vviibbrraaççããoo
As freqüências naturais e os modos de vibração de um sistema em vibração
são obtidos através da solução da equação homogênea da eq. (6.30):
[ ]{ } [ ]{ } {0=+ )t(UK)t(UM } (6.31)
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 151
A solução da eq. (6.31) é da forma harmônica do tipo:
{ } { } tieU)t(U ω= (6.32)
onde { }U são deslocamentos nodais, independentes do tempo, representativos do
modo de vibração associado à freqüência natural ω.
Substituindo a eq. (6.32) na eq. (6.31) e simplificando o termo exponencial,
obtemos:
[ ]{ } { }0UMK 2 =ω− (6.33)
66..55..22 –– RReessppoossttaa nnoo tteemmppoo
A solução da eq. (6.30) pode ser obtida por diferentes métodos: Método das
Diferenças Centrais, Método de Houbolt, Método de Newmark, etc., nos quais são
definidos os deslocamentos, as velocidades e as acelerações obtidas em um tempo t
em função dos deslocamentos, das velocidades e das acelerações obtidas em tempo
t-∆t e t+∆t. A escolha entre um destes métodos se restringe na convergência ou não
da solução e/ou no tempo de convergência.
66..66 –– EExxeemmppllooss ddee aapplliiccaaççããoo
66..66..11 –– CChhaassssii ddee kkaarrtt
Método dos Elementos Finitos aplicados aos Materiais Compostos 152
66..66..22 –– CChhaassssii ddee ssiiddee--ccaarr
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 153
66..66..33 –– QQuuaaddrroo ddee bbiicciicclleettaa ((aa))
66..66..44 –– RRaaqquueettee ddee ttêênniiss
Método dos Elementos Finitos aplicados aos Materiais Compostos 154
66..66..55 –– CCaarrrroocceerriiaa ddee ccaammiinnhhããoo bbaaúú
66..66..66 –– CCaassccoo ddee ccaattaammaarraann
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 155
66..66..77 –– QQuuaaddrroo ddee bbiicciicclleettaa ((bb))
66..66..88 –– CChhaassssii ddee uumm ccaammiinnhhããoo lleevvee
Flambagem de placas laminadas 156
77 –– FFLLAAMMBBAAGGEEMM DDEE PPLLAACCAASS LLAAMMIINNAADDAASS
Para a determinação dos esforços críticos que causam a flambagem em placas
laminadas, é necessário a determinação das equações de equilíbrio estático numa
situação anterior a ocorrência da flambagem assim como na iminência de flambar. A
solução das equações diferenciais deve satisfazer as condições de contorno e de
continuidade do problema.
77..11 –– EEqquuaaççõõeess lliinneeaarreess ddee eeqquuiillííbbrriioo ddee ppllaaccaass
Considere um elemento de placa infinitesimal de dimensões dx, dy, submetido
à esforços de membrana (força por unidade de comprimento), Figura 7.1.
dxNydxNxy
dxdyy
NN y
y
∂
∂+
dxdyy
NN xy
xy
∂
∂+
dyNxdxNxy
dydxx
NN xx
∂
∂+
dydxx
NN xy
xy
∂
∂+
dxdy y
z
x
Figura 7.1 – Esforços de membrana sobre um elemento de placa
Impondo o equilíbrio estático na direção x, temos:
xyxx x xy xy
NNN dy N dx dy N dy N dy dx 0x y
∂ ∂ − + + − + + = ∂ ∂ (7.1)
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 157
xyx NN 0x y
∂∂+ =
∂ ∂ (7.2)
Analogamente, com relação ao eixo y, temos:
y xyN N0
y x∂ ∂
+ =∂ ∂
(7.3)
Considere agora, um elemento de placa infinitesimal de dimensões dx, dy,
submetido à esforços de flexão e de cortante, ambos por unidade de comprimento.
dxQy
yM dx
xyxy
MM dy dx
y∂
+ ∂
yy
MM dy
y∂
+ ∂
dyQx
xM dx
xyxy
MM dx dy
x∂
+ ∂ xx
MM dx dyx
∂+ ∂
dxdy
xyM dx
xyM dy
dydxx
QQ x
x
∂
∂+
dxdyy
QQ y
y
∂
∂+
)y,x(p
dx
y
z
x
Figura 7.2 – Esforços de flexão e cortantes em um elemento de placa
Impondo o equilíbrio das forças na direção z, temos:
yxx x y y
QQQ dy Q dx dy Q dx Q dy dx p dx dy 0x y
∂ ∂ − + + − + + + = ∂ ∂ (7.4)
Simplificando, a eq. (7.4) resulta em:
yx QQ p 0x y
∂∂+ + =
∂ ∂ (7.5)
Flambagem de placas laminadas 158
Impondo o equilíbrio dos momentos com relação ao eixo x, temos:
y xyy y xy xy y
M M QM dx M dy dx M dy M dx dy Q dy dx dy
y xdypdx dy 02
∂ ∂ ∂ − + + − + + − + ∂ ∂ ∂
=
y
y+
(7.6)
Desprezando termos de segunda ordem, a eq. (7.6) resulta em:
y xyy
M MQ
y x∂ ∂
+ − =∂ ∂
0 (7.7)
Por analogia, do equilíbrio dos momentos com relação ao eixo y, tem-se a eq.
(7.8):
0Qy
Mx
Mx
xyx =−∂
∂+
∂∂ (7.8)
Somando a derivada da eq. (7.7) com relação a y, a derivada da eq. (7.8) com
relação a x e a carga distribuída sobre a placa p(x,y), temos:
py
Myx
M2
xM
2y
2xy
2
2x
2−=
∂
∂+
∂∂
∂+
∂∂ (7.9)
77..22 –– EEqquuaaççõõeess nnããoo lliinneeaarreess ddee eeqquuiillííbbrriioo ddee ppllaaccaa
Para levar em consideração as interações entre forças e rotações, a equação
representando o equilíbrio de forças na direção z deve ser obtidas para um
elemento de placa de dimensões dx e dy em uma configuração levemente deformada,
Fig. 7.3. Para fins de simplicação, na Fig. 7.3, como as forças e as rotações variam ao
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 159
longo do elemento, a notação Nx+ é usada para considerar X
xNx
N dx∂+
∂. As rotações
βx e βy representam o ângulo entre os eixos coordenados e as tangentes à superfície
média no vértice superior da placa. Como os ângulos βx e βy são pequenos, pode-se
considerar que sen βx = βx e sen βy = βy e, cos βx = cos βy = 1.
As relações entre as rotações e o deslocamento transversal são:
ox
oy
wx
wy
∂β = −
∂∂
β = −∂
(7.10)
βx
βx+
βy+
Qx
Qx+ dy
p
Nxy dy
Nx+ dy
Nxy+ dy
Nx dy
Ny+ dx
Nyx+ dx
Nyx Ny
y
z
Qy+ dx
Qy
βy
Figura 3.3 – Esforços internos em um elemento de placa numa configuração
deformada
Impondo o equilíbrio das forças na direção z, temos:
Flambagem de placas laminadas 160
y xy y x x
x xx x x x
y yy y y y
xy yxy y xy y
yxyx x yx
Q QQ dx Q dy dx Q dy Q dx dyy x
NN dx N dx dy dxx x
NN dx N dy dx dy
y y
NN dy N dx dy dx
x x
NN dx N dy
y
∂ ∂ − + + − + + + ∂ ∂ ∂ ∂β + β − + β + ∂ ∂ ∂ ∂β
+ β − + β + ∂ ∂ ∂ ∂β
+ β − + β + ∂ ∂ ∂
+ β − +∂
xxdx dx p dx dy 0
y ∂β
β + + = ∂
(7.11)
Reagrupando a eq. (7.11), desprezando os termos de ordem superior, e
considerando as eqs. (7.2) e (7.3), e que Nxy = Nyx, temos que:
y yx x xx xy y
QQ N N ( ) N px y x x y y
∂ ∂β ∂β∂ ∂β ∂β+ − − + − + =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂y 0 (7.12)
Substituindo as eqs. (7.10) na eq. (7.12), a equação resultante do equilíbrio de
forças na direção z é da forma: 2 2 2
yx 0 0 0x y xy2 2
QQ w w wN N 2N px y x yx y
∂∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + =
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂0 (7.13)
A eq. (7.13) pode ser colocada de uma outra forma, usando as eqs. (7.7) e
(7.8): 2 2 2 2 22
y xy 0 0 0xx y xy2 2 2 2
M M w w wM 2 N N 2N px y x y x y x y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂+ + + + + + =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂0 (7.14)
Portanto, as equações que prevêem o comportamento da placa são as equações
de equilíbrio de forças nas direções x, y e z, dadas pelas eqs. (7.2), (7.3) e (7.13) ou
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 161
(7.14), respectivamente, e eventualmente as eqs. (7.7) e (7.8) que são as equações
de equilíbrio de momentos com relação ao eixo x e y.
77..33 –– MMééttooddoo ddaa ppee ttrr uurrbbaaççããoo aapplliiccaaddoo àà ffllaammbbaaggeemm
Para resolver o problema de flambagem, é utilizado um método de
perturbação, no qual o campo de deslocamento é escrito da forma:
www
vvv
uuu
i
i
i
λ+=
λ+=
λ+=
(7.15)
onde ui, vi e wi são deslocamentos da placa em uma configuração antes de ocorrer a
flambagem e que mantém a placa numa trajetória primária (ver Figura 3.4) e, u, v e w
são deslocamentos quaisquer e admissíveis (verificam todas as condições de
contorno e de continuidade) e λ é um escalar infinitamente pequeno e independente
das coordenadas. Os deslocamentos λu, λv e λw são portanto deslocamentos
infinitesimais que causam a flambagem na placa e que conduzem a placa à uma
trajetória secundária (flambada) (ver Figura 3.4).
trajetória secundária
trajetória primária
Px
-w +w
Figura 3.4 – Curva de equilíbrio para placa sujeita à um carregamento compressivo
no plano
Flambagem de placas laminadas 162
Considerando a matriz de comportamento dada pela eq. (4.38) e o campo de
deslocamentos para a flambagem, eq. (7.19), temos:
κκκγ
εε
λ+
κκκγ
εε
=
xy
y
x
xy
y
xi
xy
y
x
xy
y
x
xy
y
x
xy
y
x
DBBA
DBBA
MMMNNN
0
0
0
0
0
0
(7.16)
Colocando a eq. (7.16) num forma compacta:
( )( ) MMDBDBM
NNBABANiiiii
iiiii
λ+=κ+ελ+κ+ε=
λ+=κ+ελ+κ+ε= (7.17)
onde ε são deformações da superfície neutra e κ são curvaturas, dependentes da
teoria utilizada: Teoria Clássica de Laminados ou Teoria de Primeira Ordem.
Substituindo a eq. (7.16) na eq. (7.14), temos: 2 i 2 i 2 i 2 i 2 i2 i
y xy i i i0 0 0xx y xy2 2 2 2
2 2 2 i 22y xy i0 0x
x x2 2 2 2
2 i 2 2 i 2i i0 0 0 0
y y xy xy2 2
22 0
x 2
M M w w wM 2 N N 2Nx y x y x y x y
M M w wM 2 N Nx y x y x x
w w w wN N 2N 2N py y x y x y
wNx
∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂+ + + + + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂∂+ + + + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ λ + ∂ ∂ ∂ ∂ + + + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂λ +
∂
ip +
2 20 0
y xy2
w wN 2N 0y x y
∂ ∂+ = ∂ ∂ ∂
(7.18)
Desprezando os termos de segunda ordem em λ e considerando que a eq.
(7.18) é válida para qualquer valor de λ, tem-se: 2 i 2 i 2 i 2 i 2 i2 i
y xy i i i0 0 0xx y xy2 2 2 2
M M w w wM 2 N N 2N px y x y x y x y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂+ + + + + + =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂i 0 (7.19)
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 163
2 2 2 i 22y xy i0 0x
x x2 2 2 2
2 i 2 2 i 2i i0 0 0 0
y y xy xy2 2
M M w wM 2 N Nx y x y x x
w w w wN N 2N 2N p 0y y x y x y
∂ ∂ ∂ ∂∂+ + + + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂+ + + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂=
(7.20)
A eq. (7.19), não linear pelo fato de haver acoplamento entre esforços de
membrana e de flexão, permite determinar a configuração antes de ocorrer a
flambagem da placa com a ajuda das eqs. (7.2) e (7.3). A resolução desta equação é
feita de forma iterativa, a partir da linearização da eq. (7.20) no primeiro passo. 2 i 2 i2 i
y xy ix2 2
M MM 2 px y x y
∂ ∂∂+ + + =
∂ ∂ ∂ ∂0 (7.21)
A eq. (7.19) é a equação que permite determinar os esforços N , N e N que
causaram a flambagem da placa e são função da teoria utilizada. Pela Teoria Clássica
de Laminados, o campo de deslocamentos é
ix
iy
ixy
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
oo
oo
o
w x,yu x,y,z u x,y z
xw x,y
v x,y,z v x,y zy
w x,y,z w x,y
∂= −
∂∂
= −∂
=
(7.22)
Conseqüentemente, o estado de deformações é:
Flambagem de placas laminadas 164
2o o
x x 2
2o o
y y 2
2o o
xy xy
xz
yz
wzxwzy
wz2x y
00
∂ε = ε −
∂∂
ε = ε −∂
∂γ = γ −
∂ ∂γ =
γ =
(7.23)
Como na configuração antes de ocorrer a flambagem, o deslocamento wi0 é
pequeno, os gradientes das inclinações, 2 i
o2
wx
∂∂
, 2 i
o2
wy
∂∂
e 2 i
owx y
∂∂ ∂
são desprezíveis. Logo,
a eq. (7.20) se transforma em: 2 2 2 2 22
y xy i i i0 0 0xx y xy2 2 2 2
M M w w wM 2 N N 2N px y x yx y x y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂+ + + + + + =
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂0 (7.24)
Considerando a eq. (7.20), a eq. (7.28) pode ser substituida por:
( )
( )
( )
2o o o
11 x 12 y 16 xy 11 x 12 y 16 xy2
2o o o
21 x 22 y 26 xy 21 x 22 y 26 xy2
2o o o
61 x 62 y 66 xy 61 x 62 y 66 xy
2 2 2i i io o ox xy y2 2
B B B D D Dx
B B B D D Dy
2 B B B D D Dx y
w w wN 2N N p 0x yx y
∂ε + ε + γ + κ + κ + κ +
∂∂
ε + ε + γ + κ + κ + κ +∂
∂ε + ε + γ + κ + κ + κ +
∂ ∂
∂ ∂ ∂+ + + =
∂ ∂∂ ∂
(7.25)
Substituindo as eqs. (7.22) e (7.23) na eq. (7.25) tem-se:
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 165
3 3 3 3 4 4 4o o o o o o
11 12 16 11 12 163 2 2 3 4 2 2 3
3 3 3 3 4 4 4o o o o o o
21 22 26 21 22 262 3 3 2 2 2 4
3o
61 62
u v u v w w wB B B D D 2Dx x y x y x x x y x
u v u v w w wB B B D D 2Dy x y y y x y x y x y
uB Bx y
2
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + − − − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + − − − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂+
∂ ∂
o
o3
y+
+
3 3 3o o o
2 662 2 2
4 4 4o o o
61 62 663 3 2 2
2 2 2i i io o ox xy y2 2
v u vBx y x y x y
w w wD D 2Dx y x y y x
w w wN 2N N p 0x yx y
∂ ∂ ∂+ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ +
∂ ∂ ∂ − − − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂+ + + =
∂ ∂∂ ∂
(7.26)
Além da eq. (7.26) que representa o equilíbrio de forças na direção z, as
outras relações fundamentais para analisar o comportamento de placas pela Teoria
Clássica de Laminados são, a eq. (7.27) que representa o equilíbrio de forças na
direção x:
2 2 2 2 3 3 30 0 0 0 0 0 0
11 12 16 11 12 162 2 3 2
2 2 2 2 3 3 30 0 0 0 0 0 0
61 62 66 61 62 662 2 2 3
u v u v w w wA A A B B B 2x y x yx x x x y
u v u v w w w
2
2
x y
A A A B B B 2y x y xy y y x y x y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + − − −
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ + + − − − ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
0
+∂ ∂
=
(7.27)
e a eq. (7.28) que representa o equilíbrio de forças na direção y: 2 2 2 2 3 3 3
0 0 0 0 0 0 021 22 26 21 22 262 2 2 3
2 2 2 2 3 3 30 0 0 0 0 0 0
61 62 66 61 62 662 2 3 2
u v u v w w wA A A B B B 2y x y xy y y x y x y
u v u v w w w
2
2A A A B B B 2x y x yx x x x y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + − − − ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + − − − ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂
0x y
+
=∂ ∂
(7.28)
Pela Teoria de Primeira Ordem, o campo de deslocamentos é como segue:
Flambagem de placas laminadas 166
( ) ( ) ( )( ) ( ) (( ) ( )
o
o
o
u x,y,z u x,y z x,y
v x,y,z v x,y z x,y
w x,y,z w x,y
= + α
= + β
=
) (7.29)
Conseqüentemente, o estado de deformações é:
ox x
oy y
oxy xy
oxz
oyz
zx
zy
zy x
wx
wy
∂αε = ε +
∂∂β
ε = ε +∂
∂α ∂βγ = γ + + ∂ ∂
∂γ = α +
∂∂
γ = β +∂
(7.30)
Para a Teoria de Primeira Ordem, pelo fato dela prever o cisalhamento
transverso, a eq. (7.17) pode ser utilizada para a análise de estabilidade de placas.
Considerando a eq. (6.13), que representa o equilíbrio de forças na direção z, a eq.
(7.17) pode ser colocada da forma:
0 0 045 55 44 45
2 2 2i i i0 0 0x y xy2 2
w w w wF F F Fx y x x y y y x
w w wN N 2N p 0x y x y
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ + β + + α + + β + + α + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ + + =∂ ∂ ∂ ∂
0
(7.31)
Reagrupando a eq. (7.31), tem-se: 2 2
0 055 44 452 2
2 2 2i i i0 0 0x y xy2 2
w wF F F 2x x y x y x x y
w w wN N 2N p 0x y x y
∂ ∂∂α ∂β ∂α ∂β+ + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂+ + + =
∂ ∂ ∂ ∂
20w ∂
+ (7.32)
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 167
Além da eq. (7.32) que representa o equilíbrio de forças na direção z, as
outras relações fundamentais para analisar o comportamento de placas pela Teoria
de Primeira Ordem são, a eq. (7.33) que representa o equilíbrio de forças na direção
x:
2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0
11 12 16 11 12 162 2 2
2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0
61 62 66 61 62 662 2 2 2
u v u vA A A B B Bx y x y x y x yx x x
u v u v
2x
A A A B B By x y x y x y xy y y y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ α ∂ β ∂ α ∂ β+ + + + + + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ α ∂ β ∂ α ∂ β
+ + + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂
0
+∂
=
(7.33
)
a eq. (7.34) que representa o equilíbrio de forças na direção y:
2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0
21 22 26 21 22 262 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0
61 62 66 61 62 662 2 2
u v u vA A A B B By x y x y x y xy y y y
u v u v2A A A B B B
x y x y x y x yx x x
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ α ∂ β ∂ α ∂ β+ + + + + + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ α ∂ β ∂ α ∂ β
+ + + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂
0x
+
=∂
(7.34
)
a eq. (7.39) que representa o equilíbrio de momentos com relação ao eixo x:
2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0
21 22 26 21 22 262 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0
61 62 66 61 62 662 2 2
044
u v u vB B B D D Dy x y x y x y xy y y y
u v u vB B B D D Dx y x y x y x yx x x
wFy
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ α ∂ β ∂ α ∂ β+ + + + + + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ α ∂ β ∂ α ∂ β
+ + + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂
∂+ β
∂
2x
+
−∂
045
wF 0x
∂ − + α = ∂
(7.35)
e a eq. (7.36) que representa o equilíbrio de momentos com relação ao eixo y:
Flambagem de placas laminadas 168
2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0
11 12 16 11 12 162 2 2
2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0
61 62 66 61 62 662 2 2 2
045
u v u vB B B D D Dx y x y x y x yx x x
u v u vB B B D D Dy x y x y x y xy y y y
wFx
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ α ∂ β ∂ α ∂ β+ + + + + + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ α ∂ β ∂ α ∂ β
+ + + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + α∂
2x+
∂
−
055
wF 0y
∂ − + β = ∂
(7.36)
As eqs. (7.26), (7.27) e (7.28) para a Teoria Clássica de Laminados e das eqs.
(7.32), (7.33), (7.34), (7.35) e (7.36) para a Teoria de Primeira Ordem são
resolvidas supondo, por exemplo, que as variáveis u0, v0 e w0 para a Teoria Clássica
de Laminados, e u0, v0, w0, α, e β para a Teoria de Primeira Ordem são da forma:
0 o
0 o
0 o
o
o
m x n yu U sen sena b
m x n yv V sen sena bm x n yw W sen sen
a bm x n yA sen sen
a bm x n yB sen sen
a b
π π=
π π=
π=
π πα =
π πβ =
π (7.37)
onde Uo, Vo, Wo, Ao e Bo são amplitudes, m e n são o número de ondas nas direções x
e y respectivamente e a e b são as dimensões da placa nas direções x e y.
O problema pode ser simplificado quando o laminado é simétrico, [B] = 0,
quando o laminado é, além de simétrico, balanceado, A16 = A61 = A26 = A62 = 0, quando
o laminado é ortotrópico (fibras somente a 00 e 900), D16 = D61 = D26 = D62 = 0e
quando o laminado é anti-simétrico e balanceado, B16 = B61 = B26 = B62 = 0.
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 169
Exemplo 7.1: Determine a carga crítica de um laminado simétrico biapoiado em x = 0
e x = L, submetido a um carregamento de compressão N0 utilizando a Teoria Clássica
de Laminados.
Considerando que o laminado é simétrico, [B] = 0. Devido ao carregamento, Nix
= - N0, Niy = Ni
xy = p= 0.
Da eq. (7.28), temos: 4 4 4 4 4 4
0 0 0 0 011 12 16 21 22 264 2 2 3 2 2 4
4 4 4 20 0 0 0
61 62 66 03 3 2 2 2
w w w w wD D 2D D D 2D
x x y x y y x y x
w w w w2 D D 2D N 0
x y x x y x x
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − − − − −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂− − − − =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
03
wy
+
(7.38)
Se a placa tem dimensão muito grande na direção y comparado com a
dimensão x, os gradientes de w0 em y são desprezíveis. Assim: 4 2
0 011 04 2
w wD Nx x
∂ ∂− −
∂ ∂0= (7.39)
Admitindo um deslocamento w0, que satisfaça as condições de contorno, ser
da forma como apresentado pela eq. (7.37) e substituindo na eq. (7.39), tem-se: 2 2
11 0 om m mD N W senL L
π π −
x 0Lπ
= (7.40)
Como na configuração deformada, Wo ≠ 0, m ≠ 0 e conseqüentemente
0≠πL
xmsen , tem-se a menor carga crítica para m = 1:
2
cr 11N DLπ =
(7.41)
Flambagem de placas laminadas 170
Para um laminado não simétrico, onde [B] ≠ 0, a utilização das eqs. (7.38) e
(7.39) são necessárias devido ao acoplamento dos deslocamentos u0, v0 e w0. Assim: 2 2 3
0 0 011 16 112 2 3
u v wA A Bx x x
∂ ∂ ∂+ −
∂ ∂ ∂0= (7.42)
2 2 30 0 0
16 66 162 2 3u v wA A Bx x x
∂ ∂ ∂+ −
∂ ∂ ∂0= (7.43)
e a eq. (7.26) se apresenta da forma: 3 3 4 2
i0 0 0 011 16 11 x3 3 4 2
u v w wB B D Nx x x x
∂ ∂ ∂ ∂+ − +
∂ ∂ ∂ ∂0= (7.44)
O desacoplamento dos deslocamentos se faz da seguinte forma: 2 3
0 02 3
2 30 0
2 3
d u d wBAdx dx
d v d wCAdx dx
=
=
(7.45)
onde: 2
11 66 16
66 11 16 16
11 16 16 11
A A A AB A B A BC A B A B
= −
= −
= −
(7.46)
Derivando a eq. (7.45) com relação a x, e substituindo na eq. (7.44), temos: 4 2
004 2
w wA NDx x
∂ ∂+
∂ ∂0 0= (7.47)
onde:
11 11 16D D A B B B C= − − (7.48)
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 171
Aplicando (7.43) em (7.49), temos: 2 2
0m A m x m xN W senL D L L
π π −
0π= (7.49)
Assim, a menor carga crítica para m = 1, é da forma: 2
crDNA L
π =
(7.50)
Da comparação da eq. (7.50) com a eq. (7.41), observa-se que a carga crítica
diminui quando [B] ≠ 0, ou seja, quando o laminado não é simétrico.
Exemplo 7.2: Determine a carga crítica de uma placa laminada simétrica em
kevlar/epóxi do tipo (0°/90°/90°/0°) com lâminas de 0,5 mm de espessura,
utilizando a Teoria Clássica de Laminado. A placa está simplesmente apoiada,
submetida à um carregamento de compressão Px, s, conforme mostra a Figura 7.5.
x
Px
Px
h
y
x
a
b
Figura 7.5 – Placa sujeita a uma carga compressiva
Flambagem de placas laminadas 172
i i ixx y xy
PN N Nb
= − = = =p 0 (7.51)
Introduzindo a eq. (7.51) na eq. (7.26), e considerando que o laminado é
simétrico ([B]=0) e os termos de acoplamento da matriz de rigidez em flexão são
nulos (D16 = D26 = 0), temos: 4 4 4 4 4 2
o o o o o x11 12 21 22 664 2 2 2 2 4 2 2 2
w w w w w wPD D D D 2Dbx x y y x y y x x
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − − − − +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂o 0= (7.52)
Considerando que D21 = D12, a eq. (7.51) se torna:
( )4 4 4
o o o x11 12 66 224 2 2 4
w w w PD 2 D D Dbx x y y
∂ ∂ ∂+ + + −
∂ ∂ ∂ ∂
2o
2w 0x
∂=
∂ (7.53)
As condições de contorno são para este caso, w = Mx = 0 para x = 0 e x = a, e
w = My = 0 para y = 0 e y = b. Da eq. (4.33), 2 2
x 11 122 2w wD
x y∂ ∂
= − −∂ ∂
M D e
2 2
y 21 222wM D D
x y∂
= − −∂ ∂ 2
w∂ . As condições de contorno podem então ser escritas:
2
2
2
2
ww 0 para x = 0, axww 0 para y = 0, b
y
∂= =
∂∂
= =∂
(7.54)
A solução da eq. (7.51) é da forma da eq. (7.37) que obedece as condições de
contorno dadas pela eq. (7.54). Introduzindo a solução em w dada pela eq. (7.37) na
eq. (7.53) temos:
( )4 2 2 4
x11 12 66 22
Pm m n nD 2 D D Da a b b bπ π π π + + + −
2m 0aπ
= (7.55)
Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 173
Rearranjando a eq. (7.55), tem-se:
( )2 4 2 2
x11 12 66 22
P a m m n nD 2 D D Db m a a b b
π = + + +
4
(7.56)
Rearranjando a eq. (7.56), tem-se:
( )2 2
2x11 12 66 22
P m n aD 2 D D Db a b m
= π + + +
2 4nb
(7.57)
A Figura 7.6 apresenta um exemplo de forma deformada nas condições: a/b =
2, m = 2 e n = 1. A Tabela 7.1 mostra valores de carga crítica para um laminado em
kevlar/epóxi nesta configuração, os termos D11, D12, D22 e D66 são: D11 = 45,20.103
N.mm, D12 = 1,29.103 N.mm, D22 = 45,20.103 N.mm e D66 = 1,33.103 N.mm
Figura 7.6 – Forma flambada de uma placa sujeita com a/b = 2, m = 2 e n = 1
Flambagem de placas laminadas 174
Tabela 7.1 – Carga crítica (Px/b) para a = 1000 mm
a/b m n Px/b
1 0,94
1 2 7,79
1 1,95
1
2 2 3,78
1 7,79
1 2 115,48
1 3,78
2
2 2 31,16
1 0,49
1 2 0,94
1 1,80
0,5
2 2 1,95
RREEFFEERRÊÊNNCCIIAASS
[1] Gay, Daniel, Matériaux Composites, Hermès, Paris, 1991.
[2] Berthelot, J.-M., Matériaux Composites, Comportement et analyse des
structures, Masson, Paris, 1992.
[3] Tsai, S. W., Hahn, H. T., Introduction to Composite Materials, Technomic
Publishing Co., Inc., 1980.
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