CURSO DE PROJETO ESTRUTURAL COM MATERIAIS

Universidade Federal de Santa Catarina Departamento de Engenharia MecânicaGrupo de Análise e Projeto Mecânico

CCUURRSSOO DDEE PPRROOJJEETTOO EESSTTRRUUTTUURRAALL CCOOMM MMAATTEERRIIAAIISS CCOOMMPPOOSSTTOOSS

PPrrooff.. JJoosséé CCaarrllooss PPeerreeiirraa

FFlloorriiaannóóppoolliiss,, aaggoossttoo ddee 22000055

SSUUMMÁÁRRIIOO

––

1 – ASPECTOS GERAIS DOS MATERIAIS COMPOSTOS __________________ 1

11..11 DeffiinniiççããoDe o ______________________________________________________________________________________________________ 11

11..2 Componnennttess cconnssttiittuuiinnttess de uum maa erriiaall ccomposstto2–– Compo e e o e de m m tte ompo o ______________________________________ 11

1.2.1 – Fibras1.2.1 – Fibras____________________________________________________________________________________________________ 11

1.2.2 – Matrizes1.2.2 – Matrizes ______________________________________________________________________________________________22

11..3 –– Inntterresssse doss maa erriiaaiiss ccompossttoss3 I e e e do m tte ompo o ______________________________________________________________33

11..4 –– Aplliiccaaççõess doss maatterriiaaiiss ccomposs oss4 Ap õe do m e ompo tto ______________________________________________________________44

11..5 –– PPrroprriiedaadess ffííssiiccaass prriinncciipaaiiss5 op ed de p p ______________________________________________________________________99

11..6 –– Caa aacc errííssttiiccaass daa miissttuurraa rrefforrçço maattrriiz6 C rr tte d m e o o--m z __________________________________________________ 1111

11..7 –– PPrroccessssoss de ffaabrriiccaaççãão7 o e o de b o ____________________________________________________________________________ 1133

1.7.1 – Moldagem sem pressão1.7.1 – Moldagem sem pressão ________________________________________________________________________ 1144

1.7.2 – Moldagem por projeção simultânea1.7.2 – Moldagem por projeção simultânea ______________________________________________________ 1155

1.7.3 – Moldagem a vácuo1.7.3 – Moldagem a vácuo ________________________________________________________________________________ 1166

1.7.4 – Moldagem por compressão a frio1.7.4 – Moldagem por compressão a frio __________________________________________________________ 1177

1.7.5 – Moldagem por injeção1.7.5 – Moldagem por injeção __________________________________________________________________________ 1177

1.7.6 – Moldagem em contínuo1.7.6 – Moldagem em contínuo ________________________________________________________________________ 1188

1.7.7 – Moldagem por centrifugação1.7.7 – Moldagem por centrifugação ________________________________________________________________ 1199

1.7.8 – Bobinamento circunferencial1.7.8 – Bobinamento circunferencial ________________________________________________________________2200

1.7.9 – Bobinamento helicoidal1.7.9 – Bobinamento helicoidal ________________________________________________________________________ 2211

1.7.10 – Bobinamento polar1.7.10 – Bobinamento polar ______________________________________________________________________________2222

11..8 –– Arrqquuii ettuurraa doss maatterriiaaiiss ccompossttoss8 A tte do m e ompo o __________________________________________________________2233

1.8.1 – Laminados1.8.1 – Laminados ____________________________________________________________________________________________2233

1.8.2 – Sanduíche1.8.2 – Sanduíche __________________________________________________________________________________________2244

11..9 –– Detterrmiinnaaççãão experriimenn aall daass cconnssttaann ess elláássttiiccaass de uumaa llââmiinnaa9 De e m o expe me tt d o tte e de m m ____________2255

2 – CONSTANTES ELÁSTICAS DOS MATERIAIS COMPOSTOS ___________28

2..11 –– Eqquuaaççõess cconnssttiittuuttiivvaass paarraa maatterriiaaiiss ccompossttoss2 E õe o p m e ompo o ________________________________________2288

2..2 –– Effeii o daa ttemperraattuurraa2 2 E e tto d empe ______________________________________________________________________________3333

3 – CONSTANTES ELÁSTICAS DOS MATERIAIS COMPOSTOS NUMA DIREÇÃO

QUALQUER ___________________________________________________34

3..11 –– Eqquuaaççõess cconnssttiittuuttiivvaass doss maatterriiaaiiss ccomposs oss nnuumaa diirreççãão qquuaallqquuerr3 E õe o do m e ompo tto m d e o e ________3344

3..2 - Effeiitto daa emperraattuurraa3 2 - E e o d ttempe ______________________________________________________________________________4422

4 – COMPORTAMENTO MECÂNICO DE PLACAS LAMINADAS _____________44

4..11 –– Teorriiaa Clláássssiiccaa de Laamiinnaadoss T..C..L..))4 Teo C de L m do ((T C L __________________________________________________________4444

4.1.1 – Comportamento em membrana4.1.1 – Comportamento em membrana ______________________________________________________________4444

4.1.2 – Comportamento em flexão4.1.2 – Comportamento em flexão____________________________________________________________________5544

4.1.3 – Efeito da temperatura4.1.3 – Efeito da temperatura ________________________________________________________________________6644

4..2 –– Teorriiaa de PPrriimeiirraa Orrdem (T..PP..O..))4 2 Teo de me O dem (T O ______________________________________________________________6699

4..3 –– Detterrmiinnaaççãão daa deffllexãão em pllaaccaass llaamiinnaadaass4 3 De e m o d de ex o em p m d __________________________________________7744

4..4 –– Detterrmiinnaaççãão daass ttennssõess de cciissaallhaamenntto rraannssvverrsso em pllaaccaass llaamiinnaadaass4 4 De e m o d e õe de h me o tt e o em p m d 8833

4..5 - Viibrraaççõess em pllaaccaass llaamiinnaadaass4 5 - V b õe em p m d __________________________________________________________________8877

4.5.1 – Equações lineares de equilíbrio de placas4.5.1 – Equações lineares de equilíbrio de placas ______________________________________________8877

4.5.2 – Vibrações de placas laminadas pela Teoria Clássica de Laminados4.5.2 – Vibrações de placas laminadas pela Teoria Clássica de Laminados __________9900

4.5.3 – Vibrações de placas laminadas pela Teoria de Primeira Ordem4.5.3 – Vibrações de placas laminadas pela Teoria de Primeira Ordem ______________9933

5 – CRITÉRIOS DE RUPTURA______________________________________99

5..11 –– Crrii érriio de ttennssãão mááxiimaa5 C tté o de e o m x m __________________________________________________________________________9999

5..2 –– Crriittérriio de defforrmaaççãão mááxiimaa5 2 C é o de de o m o m x m ________________________________________________________________ 110000

5..3 –– Compaarraaççãão ennttrre oss ccrriittérriioss de ttennssãão mááxiimaa e de defforrmaaççãão mááxiimaa5 3 Comp o e e o é o de e o m x m e de de o m o m x m 110011

5..4 –– Crriittérriioss iinntterraattiivvoss5 4 C é o e o ________________________________________________________________________________ 110044

5.4.1 – Revisão do critério de von Mises5.4.1 – Revisão do critério de von Mises ________________________________________________________ 110044

5.4.2 – Critério de Hill5.4.2 – Critério de Hill__________________________________________________________________________________ 110088

5.4.3 – Critério de Tsai-Hill5.4.3 – Critério de Tsai-Hill __________________________________________________________________________ 111100

5.4.4 – Critério de Hoffman5.4.4 – Critério de Hoffman__________________________________________________________________________ 111100

5.4.5 – Critério de Tsai-Wu5.4.5 – Critério de Tsai-Wu __________________________________________________________________________ 111111

5..4 –– Méttodo de degrraadaaççãão5 4 Mé odo de deg d o ____________________________________________________________________________ 112244

6 – MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS APLICADO AOS MATERIAIS

COMPOSTOS_________________________________________________ 142

6..11 –– Enne giiaa de defforrmaaççãão ellemennttaarr6 E errg de de o m o e eme ____________________________________________________________ 114422

6..2 –– Ennerrgiiaa cciinnéttiiccaa ellemenn aarr6 2 E e g é e eme tt ______________________________________________________________________ 114466

6..3 –– Trraabaallho eaalliizaado pellaass fforrççaass ex errnnaass6 3 T b ho rre z do pe o extte ________________________________________________ 114488

6..4 –– PPrrobllemaa essttáá iicco prriinnccíípiio doss ttrraabaallhoss vviirrttuuaaiiss6 4 ob em e tt o –– p p o do b ho __________________________________ 114499

6..5 –– PPrrobllemaa diinnââmiicco –– eqquuaaççõess de llaagrraannge6 5 ob em d m o e õe de g ge ________________________________________________ 115500

6.5.1 – Freqüências naturais e modos de vibração6.5.1 – Freqüências naturais e modos de vibração __________________________________________ 115500

6.5.2 – Resposta no tempo6.5.2 – Resposta no tempo ____________________________________________________________________________ 115511

6..6 –– Exemplloss de aaplliiccaaççãão6 6 Exemp o de p o______________________________________________________________________________ 115511

6.6.1 – Chassi de kart6.6.1 – Chassi de kart __________________________________________________________________________________ 115511

6.6.2 – Chassi de side-car6.6.2 – Chassi de side-car ____________________________________________________________________________ 115522

6.6.3 – Quadro de bicicleta (a)6.6.3 – Quadro de bicicleta (a)______________________________________________________________________ 115533

6.6.4 – Raquete de tênis6.6.4 – Raquete de tênis ______________________________________________________________________________ 115533

6.6.5 – Carroceria de caminhão baú6.6.5 – Carroceria de caminhão baú ______________________________________________________________ 115544

6.6.6 – Casco de catamaran6.6.6 – Casco de catamaran __________________________________________________________________________ 115544

6.6.7 – Quadro de bicicleta (b)6.6.7 – Quadro de bicicleta (b) ____________________________________________________________________ 115555

6.6.8 – Chassi de um caminhão leve6.6.8 – Chassi de um caminhão leve________________________________________________________________ 115555

7 – FLAMBAGEM DE PLACAS LAMINADAS __________________________ 156

7..11 –– Eqquuaaççõess lliinneaarress de eqquuiillííbrriio de pllaaccaass7 E õe e e de e b o de p __________________________________________________ 115566

7..2 –– Eqquuaaççõess nnãão lliinneaarress de eqquuiillííbrriio de pllaaccaa7 2 E õe o e e de e b o de p ______________________________________________ 115588

7..3 –– Méttodo daa perr uurrbaaççãão aaplliiccaado àà ffllaambaagem7 3 Mé odo d pe tt b o p do mb gem __________________________________________ 116611

REFERÊNCIAS________________________________________________ 174

Curso de Projeto Estrutural com Materiais Compostos 1

11 –– AASSPPEECCTTOOSS GGEERRAAIISS DDOOSS MMAATTEERRIIAAIISS CCOOMMPPOOSSTTOOSS

––11..11 DDeeffiinniiççããoo

Um material composto é formado pela união de dois materiais de naturezas

diferentes, resultando em um material de performance superior àquela de seus

componentes tomados separadamente. O material resultante é um arranjo de fibras,

contínuas ou não, de um material resistente (reforço) que é impregnado em uma

matriz de resistência mecânica inferior as fibras.

11..22–– CCoommppoonneenntteess ccoonnssttiittuuiinntteess ddee uumm mm ttaa eerriiaall ccoommppoossttoo

11..22..11 –– FFiibbrraass

A(s) fibra(s) é o elemento constituinte que confere ao material composto suas

características mecânicas: rigidez, resistência à ruptura, etc. As fibras podem ser

curtas de alguns centímetros que são injetadas no momento da moldagem da peça,

ou longas e que são cortadas após a fabricação da peça.

Os tipos mais comuns de fibras são: de vidro, de aramida (kevlar), carbono,

boro, etc. As fibras podem ser definidas como sendo unidirecionais, quando

orientadas segundo uma mesma direção; bidimensionais, com as fibras orientadas

segundo duas direções ortogonais (tecidos), Figura 1.1 e Figura 1.2, ou com as fibras

orientadas aleatoriamente (esteiras), Figura 1.3; e tridimensionais, quando as fibras

são orientadas no espaço tridimensional (tecidos multidimensionais).

Aspectos Gerais dos Materiais Compostos 2

11..22..22 –– MMaattrriizzeess

As matrizes têm como função principal, transferir as solicitações mecânicas

as fibras e protegê-las do ambiente externo. As matrizes podem ser resinosas

(poliéster, epóxi, etc), minerais (carbono) e metálicas (ligas de alumínio).

Figura 1.1 – Tecido - padrão 1

Figura 1.2 – Tecido - padrão 2


Figura 1.3 – Esteira (fibras contínuas ou cortadas)

A escolha entre um tipo de fibra e uma matriz depende fundamentalmente da

aplicação ao qual será dado o material composto: características mecânicas

elevadas, resistência a alta temperatura, resistência a corrosão, etc. O custo em

muitos casos pode também ser um fator de escolha entre um ou outro componente.

Deve ser observada também a compatibilidade entre as fibras e as matrizes.

11..33 –– IInntteerreessssee ddooss mm ttaa eerriiaaiiss ccoommppoossttooss

O interesse dos materiais compostos está ligado a dois fatores: econômico e

performance. O fator econômico vem do fato do material composto ser muito mais

leve que os materiais metálicos, o que implica numa economia de combustível e

conseqüentemente, num aumento de carga útil (aeronáutica e aeroespacial). A

redução na massa total do produto pode chegar a 30 % ou mais, em função da

aplicação dada ao material composto. O custo de fabricação de algumas peças em

material composto pode ser também sensivelmente menor se comparado com os

materiais metálicos.


O fator performance está ligado a procura por um melhor desempenho de

componentes estruturais, sobretudo no que diz respeito às características

mecânicas (resistência a ruptura, resistência à ambientes agressivos, etc.). O

caráter anisotrópico dos materiais compostos é o fator primordial para a obtenção

das propriedades mecânicas requeridas pelo componente.

A leveza juntamente com as excelentes características mecânicas faz com

que os materiais compostos sejam cada vez mais utilizados dentro de atividades

esportivas.

11..44 –– AApplliiccaaççõõeess ddooss mmaatteerriiaaiiss ccoommppoo ttss ooss

A aplicação dos materiais compostos surgiu inicialmente na área aeronáutica

devido a necessidade de diminuição de peso, preservando a robustez dos

componentes estruturais. Atualmente uma grande variedade de peças em materiais

compostos podem ser encontradas nos aviões em substituição aos materiais

metálicos: fuselagem, spoilers, portas de trem de aterrissagem, portas internas,

etc., Figura 1.4. Em muitos destes componentes, sua concepção foge da definição

dada inicialmente para materiais compostos, pois nestes casos os componentes são

fabricados normalmente em placas de baixa densidade, contra-placadas por placas

finas de alta resistência. Esta configuração normalmente é dita sanduíche. De uma

forma mais ampla, estas configurações são também consideradas “materiais

compostos”, pois combinam diferentes materiais.


Figura 1.4 – Componentes em material composto em aviões-caça

Dentro da área aeronáutica, os helicópteros possuem também vários

componentes em material composto: pás da hélice principal, hélice traseira, árvore

de transmissão, fuselagem, etc, Figura 1.5.

Figura 1.5 – Componentes em material composto em helicópteros

A utilização dos materiais compostos dentro da industria automobilística é

bem mais recente do que na área aeronáutica. Inicialmente, eram produzidos


somente pára-choques e tetos de automóveis. Atualmente, o material composto é

utilizado para a fabricação de capôs, carters de óleo, colunas de direção, árvores de

transmissão, molas laminadas, painéis, etc., Figura 1.6.

Uma das grandes vantagens trazidas para o meio automobilístico pelos

materiais compostos é, além da redução do peso, a facilidade em confeccionar peças

com superfícies complexas.

Figura 1.6 – Componentes em material composto em automóveis

Uma atividade esportiva notória que emprega material composto é a Fórmula

1, que pode ser considerada como um laboratório para as inovações tecnológicas. Em

muitos casos, o que se emprega dentro dos carros de Fórmula 1, será utilizado

futuramente nos carros de passeio. Neste caso, o aumento da relação potência/peso

é fundamental para um bom desempenho do carro nas pistas. A configuração mais

freqüentemente utilizada nestes carros é do tipo sanduíche que é utilizada para a

confecção da carroceria.

Em praticamente todas as atividades esportivas, a redução do peso está

diretamente ligada a redução do tempo de execução de uma prova esportiva. Como

exemplo disto, podemos citar: barcos a vela, skis, bicicletas, etc. Em alguns casos, o


que se procura é a agilidade, e a perfeição de alguns golpes, como no tênis, com suas

raquetes; no golfe, com seus tacos; e no surf, com suas pranchas.

Figura 1.7 – Barcos a vela Figura 1.8 – Ski

Uma aplicação bem recente dos materiais compostos na área aeroespacial são

os painéis solares de satélites, confeccionados em uma configuração sanduíche,

Figura 1.9, e os motores de último estágio dos lançadores de satélites,

confeccionados a partir do bobinamento das fibras sobre um mandril, Figura 1.10.


Figura 1.9 – Painéis solares de satélite

Figura 1.10 – Propulsor de último estágio de lançador de satélite


11..55 –– PPrroopprriieeddaaddeess ffííssiiccaass pprriinncciippaaiiss

Metais

Massa volum

étrica (kg/m

3)

Módulo de

elasticidade (GPa)

Módulo de

cisalhamento (GPa)

Coeficiente de poisson

Tensão de ruptura à tração (M

Pa)

Alongam

ento à ruptura (%

)

Coeficiente de dilatação térm

ica (10

-5 °C-1)

Temperatura lim

itede utilização (°C)

ρ E G ν σ ε α Tmax

aços 7800 205 79 0,3 400 a

1600

1,8 a

10

1,3 800

ligas de

alumínio

2800 75 29 0,3 450 10 2,2 350

ligas de

titânio

4400 105 40,3 0,3 1200 14 0,8 700

Cobre 8800 125 48 0,3 200 a

500

1,7 650

Fibras

Massa volum

étrica (kg/m

3)

Módulo de

elasticidade (GPa)

Módulo de

cisalhamento (GPa)



Pa)

Alongam

ento à ru ptura (%

)


ica (10

-5 °C-1)

Temperatura lim


Preço/kg 1985

ρ E G ν σ ε α Tmax $US

Vidro “R” 2500 86 0,2 3200 4 0,3 700 12

Vidro “E” 2600 74 30 0,25 2500 3,5 0,5 700 2,8

Kevlar 49 1450 130 12 0,4 2900 2,3 -0,2 70

Grafite 1750 230 50 0,3 3200 1,3 0,02 >1500 70 a


“HR” 140

Grafite

“HM”

1800 390 20 0,35 2500 0,6 0,08 >1500 70 a

140

Boro 2600 400 3400 0,8 0,4 500 500

Matrizes

Massa volum

étrica (kg/m

3)

Módulo de

elasticidade (GPa)

Módulo de

cisalhamento (GPa)



Pa)

Alongam

ento à ruptura (%

)


ica (.10

-5°C-1)

Temperatura lim


Preço/kg 1985

ρ E G ν σ ε α Tmax $US

Termoresistentes

Epóxi 1200 4,5 1,6 0,4 130 2 a 6 11 90 a

200

6 a 20

Fenólica 1300 3 1,1 0,4 70 2,5 1 120 a

200

Poliéster 1200 4 1,4 0,4 80 2,5 8 60 a

200

2,4

Poli

carbonato

1200 2,4 60 6 120

Termoplásticas

Poli

propileno

900 1200 30 20 a

400

9 70 a

140

Poliamida 1100 4000 70 200 8 170 6


11..66 –– CC rr ttaa aacc eerrííssttiiccaass ddaa mmiissttuurraa rreeffoorrççoo--mmaattrriizz

As propriedades da lâmina (reforço+matriz) são obtidas em função das

percentagens de cada componente na mistura.

a) Percentagem em massa do reforço.

totalmassareforçodemassaMf =

b) Percentagem em massa da matriz.

totalmassamatrizdamassaMm = ou Mm = 1 - Mf

c) Percentagem em volume do reforço.

totalvolumereforçodevolumeVf =

d) Percentagem em volume da matriz.

totalvolumematrizdavolumeVm = ou Vm = 1 - Vf

e) Massa volumétrica da lâmina.

totalvolumetotalmassa

=ρ

ou:

totalvolumematrizdamassa

totalvolumereforçodomassa

+=ρ

mf totalvolumematrizdavolume

totalvolumereforçodovolume

ρ+ρ=ρ

ρ = ρf . Vf + ρm . Vm

onde ρf e ρm são as massas volumétricas do reforço e da matriz, respectivamente.

f) Módulo de elasticidade longitudinal El ou E1 (propriedades estimadas).

E1 = Ef . Vf + Em . Vm


ou:

E1 = Ef . Vf + Em . (1 – Vf)

g) Módulo de elasticidade transversal Et ou E2.

( )2 m

mf f

ft

1E E E1 V VE

= − +

onde Eft representa o módulo de elasticidade do reforço na direção transversal.

h) Módulo de cisalhamento Glt ou G12.

( )12 m

mf f

ft

1G G G1 V VG

= − +

onde Gft representa o módulo de cisalhamento do reforço.

i) Coeficiente de poisson νlt ou ν12.

ν12 = νf . Vf + νm . Vm

j) Resistência a ruptura da lâmina.

( ) m1ruptura f ruptura f f

f

EV 1 VE

σ = σ + −

ou:

1ruptura f ruptura f.Vσ = σ

k) Propriedades mecânicas de algumas misturas mais comumente utilizadas.

As propriedades na Tabela 1.4 abaixo correspondem a uma mistura de fibras

unidirecionais+resina epóxi com 60 % do volume em fibras.


Tabela 1.4 – Propriedades de fibras unidirecionais+resina com 60 % do volume em

fibras

vidro kevlar carbono

Massa volumétrica (kg/m3) 2080 1350 1530

σruptura em tração na direção 1 (Xt) (MPa) 1250 1410 1270

σruptura em compressão na direção 1 (Xc) (MPa) 600 280 1130

σruptura em tração na direção 2 (Yt) (MPa) 35 28 42

σruptura em compressão na direção 2 (Yc) (MPa) 141 141 141

τ12 ruptura em cisalhamento (S12) (MPa) 63 45 63

τruptura em cisalhamento interlaminar (MPa) 80 60 90

módulo de elasticidade longitudinal E1 (MPa) 45000 85000 134000

módulo de elasticidade transversal E2 (MPa) 12000 5600 7000

módulo de cisalhamento G12 (MPa) 4500 2100 4200

coeficiente de poisson ν12 0,3 0,34 0,25

Coef. de dilatação térmica long. α1 (10-5 °C-1) 0,4 a 0,7 -0,4 -0,12

Coef. de dilatação térmica transv. α2 (10-5 °C-1) 1,6 a 2 5,8 3,4

11..77 –– PPrroocceessssooss ddee ffaabbrriiccaaççããoo

Muitas peças ou estruturas em material composto são geralmente produzidas

por uma composição de lâminas sucessivas, chamadas de estruturas estratificadas.

Os processos de fabricação são inúmeros e devem ser selecionadas segundo

requisitos como: dimensões, forma, qualidade, produtividade (capacidade de

produção), etc.

As operações básicas para a obtenção da peça final têm a seguinte seqüência:


Acabamento

Desmoldagem

Polimerização (estufa)

Colocação da mistura sobre o molde/mandril

Impregnação (mistura)

Resina Fibras

11..77..11 –– MMoollddaaggeemm sseemm pprreessssããoo

O molde é primeiramente revestido de um desmoldante e posteriormente de

uma resina colorida. A seguir as fibras são depositadas sobre o molde e em seguida

impregnadas com resina e compactadas com um rolo. O processo se segue para as

lâminas sucessivas, Figura 1.11. A polimerização (solidificação) ou cura da resina

pode ser feita com ou sem o molde, isto em função da geometria da peça. A cura da

resina pode ser feita em temperatura ambiente ou ser acelerada se colocada em

uma estufa a uma temperatura entre 80° C e 120° C. Após a cura da resina e a

desmoldagem, a peça é finalizada: retirada de rebarbas, pintura, etc.


resina fibras

molde

Figura 1.11 – Moldagem sem pressão

11..77..22 –– MMoollddaaggeemm ppoorr pprroojjeeççããoo ssiimmuullttâânneeaa

Este processo consiste em projetar simultaneamente fibras cortadas

impregnadas em resina sobre o molde. A lâmina de fibras impregnadas é em seguida

compactada por um rolo e novas lâminas podem ser sucessivamente depositadas,

Figura 1.12. Um contra-molde pode eventualmente ser utilizado para a obtenção de

faces lisas e para proporcionar uma melhor compactação entre as lâminas. A

vantagem deste processo com relação ao anterior é permitir uma produção em série

das peças, no entanto, as características mecânicas das peças são médias devido ao

fato das fibras serem cortadas.


fibra cortada e impreg-nada

fibra

resina

Figura 1.12 – Moldagem por projeção simultânea

11..77..33 –– MMoollddaaggeemm aa vvááccuuoo

Neste processo as fibras podem ser colocadas manualmente como na

moldagem sem pressão, ou automaticamente por projeção simultânea. Neste caso um

contra-molde e uma bomba a vácuo são utilizados para permitir uma melhor

compactação e evitar a formação de bolhas, Figura 1.13.

contra molde fibras

Bomba avácuo resina

Figura 1.13 – Moldagem a vácuo


11..77..44 –– MMoollddaaggeemm ppoorr ccoommpprreessssããoo aa ffrriioo

Neste processo a resina é injetada sob pressão no espaço entre o molde e o

contra-molde. A cura pode ser feita a temperatura ambiente ou em uma estufa. Há

casos onde o molde e o contra-molde são aquecidos, sendo este processo chamado

de compressão a quente. Neste caso a cura da resina é feita no próprio molde,

Figura 1.14.

11..77..55 –– MMoollddaaggeemm ppoorr iinnjjeeççããoo

O processo por injeção consiste em injetar as fibras impregnadas a partir de

um parafuso sem fim no molde aquecido, Figura 1.15.

contra-molde

molde

resina

Figura 1.14 – Moldagem por compressão a frio


Fibra pré-impregnada aquecida

Contra-molde aquecido

molde aquecido

Figura 1.15 – Moldagem por injeção

11..77..66 –– MMoollddaaggeemm eemm ccoonnttíínnuuoo

Este processo permite produzir placas e painéis de grande comprimento. As

fibras (unidirecionais, tecidos ou esteira) juntamente com a resina são depositadas

entre dois filmes desmoldantes. A forma da placa e a cura da resina são dadas

dentro da estufa, Figura 1.16 e Figura 1.17.

fibras filme desmoldante

estufa

faca

rolos filme desmoldante

Figura 1.16 – Moldagem de placas contínuas


filme desmoldante

filme desmoldante

fibras cortadas

faca

resina

Figura 1.17 – Moldagem de placas onduladas contínuas

11..77..77 –– MMoollddaaggeemm ppoorr cceennttrriiffuuggaaççããoo

Este processo é utilizado na produção de peças de revolução. Dentro do molde

em movimento de rotação é injetado as fibras cortadas juntamente com a resina. A

impregnação da resina nas fibras e a compactação é feita pelo efeito de

centrifugação. A cura da resina pode ser feita a temperatura ambiente ou em uma

estufa. Este processo é utilizado em casos onde não se exige homogeneidade das

propriedades mecânicas da peça.

fibra

Figura 1.18 – Moldagem por centrifugação


Outros processos de fabricação de peças de revolução podem ser empregados

quando se exige homogeneidade das propriedades mecânicas da peça. Nestes

processos fibras são enroladas (bobinadas) sobre um mandril que dará a forma final

da peça. Este processo permite a fabricação industrial de tubos de diversos

diâmetros e grandes comprimentos de alta performance.

Para atender a estas necessidades de projeto, o bobinamento das fibras pode

ser feito da seguinte maneira: bobinamento circunferencial, bobinamento helicoidal

e o bobinamento polar.

11..77..88 –– BBoobbiinnaammeennttoo cciirrccuunnffeerreenncciiaall

No bobinamento circunferencial, as fibras são depositadas em um mandril

rotativo, com um ângulo de deposição de 90° �em relação ao eixo de rotação, Figura

1.19. Este tipo de bobinamento resiste aos esforços circunferenciais.

Figura 1.19 - Bobinamento circunferencial


11..77..99 –– BBoobbiinnaammeennttoo hheelliiccooiiddaall

No bobinamento helicoidal, as fibras são depositadas em um mandril rotativo

com um ângulo de deposição α� em relação ao eixo de rotação, Figura 1.20. Este tipo

de bobinamento resiste aos esforços circunferenciais e longitudinais.

guia

resina

fibras

Figura 1.20 - Bobinamento helicoidal

estufa fibras impregnadas

mandri

fibras

Figura 1.21 - Bobinamento helicoidal contínuo


11..77..1100 –– BBoobbiinnaammeennttoo ppoollaarr

No bobinamento polar, o reforço é depositado no mandril de forma a

tangenciar as duas aberturas dos domos, traseiro e dianteiro, Figura 1.22. O ângulo

de deposição varia de αo, constante na região cilíndrica, até 90° �nas duas aberturas

dos domos. O bobinamento polar resiste preferencialmente aos esforços

longitudinais.

A fabricação de vasos de pressão bobinados consiste de dois tipos de

bobinamento, como é o caso da Figura 1.10. Nos domos traseiro e dianteiro, o

bobinamento é do tipo polar [(±θ], enquanto que na região cilíndrica, os

bobinamentos circunferencial e polar se intercalam [(90º/±θ].

Figura 1.22 - Bobinamento polar


11..88 –– AA ttrrqquuii eettuurraa ddooss mmaatteerriiaaiiss ccoommppoossttooss

11..88..11 –– LLaammiinnaaddooss

Os laminados, ou estruturas laminadas, são constituidos de sucessivas lâminas

de fibras impregnadas em resina segundo uma orientação, Figura 1.23. A designação

dos laminados é efetuada segundo a disposição das lâminas e a orientação da lâmina

com relação ao eixo de referência, Figura 1.24.

Figura 1.23 – Constituição de um laminado

30° 90° 45° 90° 0° 45° 450° 45909030

[45/0/45/902

Figura 1.24 – Designação de um laminado


11..88..22 –– SSaanndduuíícchhee

O princípio da técnica de estruturas do tipo sanduíche consiste em colocar um

material leve (geralmente com boas propriedades em compressão) entre duas

contra-placas com alta rigidez. Este princípio concilia leveza e rigidez a estrutura

final.

alma de baixopeso (espuma,resina, etc)

Placas rígidas (aço,placas laminadas, etc)

Sentido das fibrasda madeira

Alma de madeira

Placas rígidas (aço,placas laminadas, etc)

Figura 1.25 – Sanduíche de alma plena

(a)

colméia


alma ondulada

(b)

Figura 1.26 – Sanduíche de alma “oca” – (a) e (b)

11..99 –– DDeetteerrmmiinnaaççããoo eexxppeerriimmee ttnn aall ddaass ccoo ttnnssttaann eess eelláássttiiccaass ddee uummaa llââmmiinnaa

Para a determinação das constantes elásticas de placas unidirecionais em

fibra/resina, é necessário cortar dois corpos de prova padronizados, sobre os quais

são colados dois extensômetros dispostos ortogonalmente como mostrado abaixo.

σx

y

x

σx

y

x 20°


Os corpos de prova são ensaiados numa máquina de tração e as deformações

são medidas pelos extensômetros.

Como exemplo, se for aplicado uma tensão de tração σx = 20 MPa, as

deformações medidas pelos extensômetros no primeiro corpo de prova são: ε1x =

143e-6 e ε1y = - 36e-6. Assim:

x1x

x 1E Eσ σ

ε = = x , x1

1x

20143e 6

σ= =

εE , E

−1 = 139860 MPa

1y xy 1x 12 1xε = −ν ε = −ν ε , 1y12

1x

εν = −

ε , 12

36e 6143e 6

−ν =

− , ν12 = 0,25

Analogamente, se for aplicado uma tensão de tração σx = 20 MPa, as

deformações medidas pelos extensômetros no segundo corpo de prova, no qual as

fibras formam um ângulo de 20° com o eixo x, são: ε2x = 660e-6 e ε2y = - 250e-6.

Assim de [1], pag. 332:

x2x

xEσ

ε = (1)

4 42 2 12

x 1 2 12 1

1 c s 1c s 2E E E G E

ν= + + −

(2)

4 42 2 12

2x x1 2 12 1

c s 1c s 2E E G E

νε = + + − σ

(3)

x2y xy

xEσ

ε = −ν (4)

onde c = cos 20° e s = sen 20°. Como 21 12

2 1E Eν ν

= e yx xy

y xE Eν ν

= :

( )xy 4 4 2 221

x 2 1 2 1

1 1 1c s c sE E E E Gν ν

− = − + + + − 2

(5)


Substituindo (5) em (4):

( )4 4 2 2122y x

1 1 2

1 1 1c s c sE E E

νε = − + − + − σ 12G

(6)

De (3) e (6) temos:

12 2

1 0,1325 2,69e 4G E

+ = − , 12 2

1 1 1,144e 4G E

− = −

A solução é:

E2 = 7320 MPa , G12 = 3980 MPa e ν21 = 0,013

Constantes elásticas dos materiais compostos 28

22 –– CCOONNSSTTAANNTTEESS EELLÁÁSSTTIICCAASS DDOOSS MMAATTEERRIIAAIISS CCOOMMPPOOSSTTOOSS

22..11 –– EEqquuaaççõõeess ccoonnssttiittuuttiivvaass ppaarraa mmaatteerriiaaiiss ccoommppoossttooss

A anisotropia dos materiais compostos é mais facilmente trabalhada do que

nos casos mais gerais de materiais anisotrópicos, como por exemplo a madeira. Para

os materiais compostos, pode-se definir um sistema de eixos ortogonais, dentro do

qual as propriedades mecânicas são identificadas. Um eixo designado 1 (ou l) é

colocado longitudinalmente as fibras, um outro designado 2 (ou t) é colocado

transversalmente as fibras e um outro designado 3 (ou t’) é colocado

ortogonalmente aos dois anteriores, Figura 2.1.

3

2

1

Figura 2.1 – Sistema de eixos de ortotropia

A lei de comportamento do material composto que relaciona

deformação/tensão pela matriz de flexibilidade, dentro do sistema de eixos de

ortotropia (1, 2, 3), contêm 9 constantes elásticas independentes, e é da seguinte

maneira:


31211 2 3

32121 11 2 3

2 213 23

3 31 2 3

23 23

2313 13

12 1213

12

1 0 0 0E E E

1 0 0 0E E E

1 0 0 0E E E10 0 0 0 0G

10 0 0 0 0G10 0 0 0 0 G

−ν−ν −ν−νε σ

ε σ −ν −ν ε σ = γ τ γ τ

γ τ

(2.1)

onde:

εii = deformações normais na direção i

γij = deformações angulares no plano ij

σii = tensões normais na direção i

τij = tensões de cisalhamento no plano ij

νij = coeficiente de poisson (deformação causada na direção j devida a uma

solicitação na direção i).

Ei = módulo de elasticidade na direção i

Gij = módulo de cisalhamento no plano ij

Como a matriz de comportamento é simétrica tem-se que:

21 12

2 1E Eν ν

= , 31 13

3 1E Eν ν

= , 32 23

3 2E Eν ν

= (2.2)

Para a demonstração da simetria da matriz de comportamento, considere uma

placa unidirecional de dimensões a, b e espessura e:

Constantes elásticas dos materiais compostos 30 2

a 1

b

Deformações devido a σ1 (na direção longitudinal):

( ) l1 l

1

∆bb E

σε = = 1 , ( ) ( )l 1

2 12 1l l1

∆aa E12

σε = = −ν ε = −ν (2.3)

Deformações devido a σ2 (na direção transversal):

( ) 22 2

2

∆aa E

σε = = 2 , ( ) ( )2

1 21 22 22

∆bb E

221

σε = = −ν ε = −ν (2.4)

Considerando a energia acumulada devida ao carregamento σ1 e depois a σ2,

mantendo σ1:

1 1 2 2 11 1W ( a e) 2∆b ( b e) ∆a ( a e) ∆b2 2

= σ + σ + σ (2.5)

Considerando agora a energia acumulada devida ao carregamento σ2 e depois a

σ1, mantendo σ2:

2 2 1 1 21 1W ' ( b e) 1∆a ( a e) ∆b ( b e) ∆a2 2

= σ + σ + σ (2.6)

Sendo a energia final a mesma, W = W’:

1 2 2( a e) 1∆b ( b e) ∆aσ = σ , 2 11 21 2 12

2 1a e b b e a

E E σ σ

σ −ν = σ −ν

(2.7)


21 12

2 1E Eν ν

= (2.8)

Em alguns casos, é possível considerar que as propriedades mecânicas nas

direções 2 e 3 são idênticas, já que, como mostrado pela Figura 2.1, estas direções

são direções perpendiculares a direção 1. Para este caso de materiais, ditos

isotrópicos transversos, a matriz de comportamento se simplifica, necessitando

somente de 5 constantes elásticas independentes:

21 211 2 2

12 21 11 2 2

2 212 2

3 31 2 2

23 232213 13

12 1212

12

1 0 0 0E E E

1 0 0 0E E E

1 0 0 0E E E2(1 )0 0 0 0 0E

10 0 0 0 0G10 0 0 0 0 G

−ν −ν −ν −νε σ ε σ −ν −ν ε σ = γ τ+ ν γ τ

γ τ

(2.9)

onde:

ν2 = coeficiente de poisson no plano de isotropia transversa

Nota-se que, devido a isotropia transversa, 2

23 2

1 2(1G E

)+ ν= .

A relação tensão/deformação é dada pela matriz constitutiva do material,

inversa da matriz de flexibilidade dada na eq. (2.1):

Constantes elásticas dos materiais compostos 32

11 12 13 14 15 151 1

21 22 23 24 25 262 2

31 32 33 34 35 363 3

41 42 43 44 45 4623 23

51 52 53 54 55 5613 13

61 62 63 64 65 6612 12

Q Q Q Q Q QQ Q Q Q Q QQ Q Q Q Q QQ Q Q Q Q QQ Q Q Q Q QQ Q Q Q Q Q

σ ε σ ε σ ε = τ γ τ γ

τ γ

(2.10)

onde os termos não nulos são:

23 32 21 31 2311 12 44 23

2 3 2 3

13 31 31 21 3222 13 55 31

1 3 2 3

32 12 3112 2133 23 66 12

1 2 1 3

1Q Q QE E ∆ E E ∆1Q Q QE E ∆ E E ∆1Q Q QE E ∆ E E ∆

+ ν ν ν + ν ν= =

+ ν ν ν + ν ν= =

ν + ν ν+ ν ν= =

G

G

G

=

=

=

(2.11)

com 12 21 23 32 13 31 21 32 13

1 2 3

1 2∆E E E

+ ν ν − ν ν − ν ν − ν ν ν=

Considerado somente o estado plano de tensão (placas laminadas com σ33 = 0,

τ23 = 0 e τ13 = 0), a matriz de rigidez do material composto pode ser freqüentemente

encontrada da seguinte forma:

1 11 12

2 12 22

12 66 12

Q Q 0Q Q 00 0 Q

σ ε σ = ε τ γ

1

2

(2.12)

onde:


111

12 21

222

12 21

21 112

12 21

66 12

EQ (1 )EQ (1 )

EQ (1 )Q G

= − ν ν

= − ν νν= − ν ν

=

(2.13)

22..22 –– EEffee ttii oo ddaa tteemmppeerraattuurraa

Quando se deseja levar em consideração os efeitos de variação de

temperatura em estruturas compostas, na lei de comportamento do material devem

ser consideradas as deformações devido a este efeito:

31211 2 3

32121 1 11 2 3

2 2 213 23

3 3 31 2 3

23 23

2313 13

12 1213

12

1 0 0 0E E E

1 0 0 0E E E

1 0 0 0E E E ∆T010 0 0 0 0G 0

10 0 0 0 0 0G10 0 0 0 0 G

−ν−ν −ν−νε σ α

ε σ α −ν −ν ε σ α = + γ τ γ τ

γ τ

(2.14)

onde α1 é o coeficiente de dilatação térmica das fibras, α2 é o coeficiente de

dilatação térmica da resina e α3 é o coeficiente de dilatação térmica da resina.

A forma inversa da relação anterior colocada de maneira compacta é:

{ } [ ] { }1 1tQσ = ε − ε1 (2.15)

onde ε1t é a deformação térmica.

Constantes elásticas dos materiais compostos numa direção qualquer 34

33 –– CCOONNSSTTAANNTTEESS EELLÁÁSSTTIICCAASS DDOOSS MMAATTEERRIIAAIISS CCOOMMPPOOSSTTOOSS NNUUMMAA DDIIRREEÇÇÃÃOO

QQUUAALLQQUUEERR

33..11 –– EEqquuaaççõõeess ccoonnssttiittuuttiivvaass ddooss mmaatteerriiaaiiss ccoommppoo ttss ooss nnuummaa ddiirreeççããoo qquuaallqquueerr

Para a análise do comportamento mecânico de placas laminadas é necessário

definir um sistema de eixos de referência (x, y, z) para o conjunto de lâminas e

expressar as constantes elásticas de cada lâmina neste sistema de referência. Para

isto é considerada uma lâmina sobre a qual estão definidos os eixos de ortotropia (1,

2, 3). O sistema de eixos de referência é girado em torno do eixo 3 do ângulo θ,

Figura 3.1.

θ

y

x

3, z

2

1

Figura 3.1 – Sistema de eixos de ortotropia e de referência

Uma das maneiras de determinar a matriz de transformação, que relaciona as

tensões dadas no sistema de eixos de referência com as tensões no sistema de

eixos de ortotropia, é através do balanço de forças nas direções x e y sobre um

elemento plano, conforme mostrado na Figura 3.2.


θ C

B

A + θ

+ θ

y 2 σ2

τ12

τ21

σ1 x

1

y

σx dA τxy dA

τ21 dA senθ

σ1 dA cosθ θ

σ2 dA senθ

τ12 dA cosθ

y

σx τxy

τ12

τ21

σ2

σ1

dA

θ

x x

Figura 3.2 – Transformação de tensão no plano x-y

Aplicando as equações de equilíbrio estático:

→ , 0=∑ xF


x 1 12

2 12

dA dA cos cos dA cos sendA sen sen dA sen cos 0

σ − σ θ θ − τ θ θ −σ θ θ − τ θ θ =

(3.1)

2 2x 1 2 12cos sen 2 cos senσ = σ θ + σ θ + τ θ θ (3.2)

↑ , 0=∑ yF

xy 1 12

2 12

dA dA cos sen dA cos cos

dA sen cos dA sen sen 0

τ + σ θ θ − τ θ θ −

σ θ θ + τ θ θ = (3.3)

2 2xy 1 2 12cos sen sen cos (cos sen )τ = − σ θ θ + σ θ θ + τ θ − θ (3.4)

A tensão normal σy é obtida fazendo θ = θ + 90° na equação para σx. 2 2

y 1 2 12sen cos 2 cos senσ = σ θ + σ θ − τ θ θ (3.5)

Considerando o elemento conforme apresentado pela Figura 3.3, pode-se

determinar a tensão σxz:

τxz

τ13

τ23

z dA

θ y

x

1

Figura 3.3 – Transformação de tensões transversas


0=∑ zF , ↑

xz 13 23dA dA cos dA sen 0τ − τ θ −τ θ =

θ

}

1= ε

(3.6)

xz 23 13sen cosτ = τ θ + τ θ (3.7)

A tensão σyz é obtida fazendo θ = θ + 90° na equação para σxz.

yz 23 13cos senσ = σ θ −σ (3.8)

A matriz de transformação [T], pode então ser escrita da forma:

{ } [ ]{ 1x

12

13

23

3

2

1

22

22

22

xy

xz

yz

z

y

x

Tou

sc000scsc0cs0000sc000000100sc2000cs

sc2000sc

σ=σ

τττσσσ

−−

−

−

=

τττσσσ

σ (3.9)

O tensor de deformações medido no sistema de referência tem a mesma

forma que o tensor de tensões dado no sistema de referência (x, y, z), ou seja:

{ } [ ] { }

2 2x 1

2 2y 2

z 3 x

yz 23

13xz2 2 12xy

c s 0 0 0 sc

s c 0 0 0 sc0 0 1 0 0 0 ou T0 0 0 c s 00 0 0 s c 0

2sc 2sc 0 0 0 c s

ε

ε ε ε ε− ε ε = ε γ γ γγ − γ γ − −

(3.10)

onde [ ] [ ]( ) t1TT −σε = ou [ ] [ ] t1 TT σ

−ε =


Considerando o comportamento elástico linear, a lei de comportamento do

material composto expressa no sistema de eixos de referência (x, y, z) é da

seguinte forma:

{ } [ ] { } [ ] [ ] { } [ ] [ ] [ ] { } [ ] [ ] [ ] { }1x 1 1 x tT T Q T Q T T Q T−σ σ σ ε σ σσ = σ = ε = ε = εx (3.11)

Logo, a matriz de rigidez ou matriz constitutiva Q dada no sistema de eixos

de referência (x, y, z) é:

[ ] [ ] [ ] tQ T Q Tσ = σ (3.12)

Considerado somente o estado plano de tensão (placas laminadas com σ33 = 0,

τ23 = 0 e τ13 = 0), a matriz de rigidez do material composto obtida no sistema de

eixos de referência é freqüentemente encontrada da seguinte forma:

x 11 12 16

y 21 22 26

61 62 66xy xy

Q Q QQ Q QQ Q Q

σ ε σ = ε τ γ

x

y

(3.13)

com:

( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )( )

4 4 2 211 11 22 12 66

4 4 2 222 11 22 12 66

2 2 2 266 11 22 12 66

2 2 4 412 11 22 66 12

2 2 2 216 11 22 12 66

2 2 2 226 11 22 12 66

Q c Q s Q 2c s (Q 2Q )

Q s Q c Q 2c s (Q 2Q )

Q c s Q Q 2Q c s Q

Q c s Q Q 4Q c s Q

Q cs c Q s Q c s Q 2Q

Q cs s Q c Q c s Q 2Q

= + + +

= + + +

= + − + −

= + − + +

= − − − − + = − − + − +

(3.14)

onde Q11, Q22, Q12 e Q66 são dados na eq. (2.13).


As curvas abaixo ilustram a evolução dos termos da matriz constitutiva Q

para o carbono/epóxi (ver Tabela 1.4).

-90 -60 -30 0 30 60 90θ0

25

50

75

100

125

150

Q11 (GPa)

-90 -60 -30 0 30 60 90θ0

25

50

75

100

125

150

Q22 (GPa)

-90 -60 -30 0 30 60 90θ0

10

20

30

40

50

Q12 (GPa)

-90 -60 -30 0 30 60 90θ0

10

20

30

40

50

Q66 (GPa)


-90 -60 -30 0 30 60 90θ

-50

-25

0

25

50

Q16 (GPa)

-90 -60 -30 0 30 60 90θ

-50

-25

0

25

50

Q26 (GPa)

Figura 3.4 – Evolução dos termos da matriz Q em uma lâmina em carbono/epóxi

A matriz de flexibilidade S , que relaciona deformação/tensão, dada no

sistema de eixos de referência (x, y, z) é:

{ } [ ] { } [ ] [ ] { } [ ] [ ] [ ] { } [ ] [ ] [ ] { }1x 1 1 x tT T S T S T T S T−ε ε ε σ ε εε = ε = σ = σ = σx (3.15)

ou:

{ } [ ] [ ] [ ] tS T S Tε= ε (3.16)

Após a multiplicação de matrizes, a matriz de flexibilidade pode ser expressa

como mostra a eq. (3.17) (ver Gay 1991).

Observa-se que surgem termos de acoplamento que relacionam tensões de

cisalhamento com deformações normais: ηxy/Gxy, µxy/Gxy e ζx/Gxy; e termos de

acoplamento que relacionam tensões normais com deformações angulares ηx/Ex,


µy/Ex, e ζz/Ez. Estes termos surgem quando, por exemplo, aplicando uma tensão

normal, a lâmina se deforma conforme ilustrado pela Figura 3.5.

τττσσσ

ςµη

ξ

ξ

ςν−ν−

µν−ν−

ην−ν−

=

γγγεεε

xy

xz

yz

z

y

x

xyzz

x

y

xx

xzyz

yz

xzxz

yz

xy

xy

zy

yz

xxz

xy

xy

z

zy

yx

xy

xy

xy

zzx

y

yx

x

xy

xz

yz

z

y

x

GEEE

GG

GG

GEEE

GEEE

GEEE

100

01000

01000

001

001

001

(3.17)

Material Material σx σx

σx σx

Figura 3.4 – Deformação de materiais isotrópico e ortotrópico devido à carga

normal


33..22 - - EEffeeiittoo dd ttaa eemmppeerraattuurraa

O efeito da temperatura sobre os materiais compostos considerado em uma

direção qualquer é dado da forma:

{ } [ ]{ }1xt T ε=ε ε (3.18)

ou seja:

2 2x t1

2 2y t 2

z t 3

yz t

xz t2 2

xy t

c s 0 0 0 sc ∆T∆Ts c 0 0 0 sc∆T0 0 1 0 0 0

00 0 0 c s 000 0 0 s c 002sc 2sc 0 0 0 c s

ε α ε α− ε α = γ −γ

− −γ

(3.19)

A relação tensão/deformação considerando o efeito da temperatura, dada no

sistema de eixos de referência (x, y, z) pode ser obtida pela eq. (2.19) e utilizando a

matriz de transformação dada pelas eqs. (3.9) ou (3.10):

[ ] { } [ ] [ ] { } [ ] [ ] [ ] { } [ ] [ ] [ ] { }11 1 1 x x tt tT T Q T Q T T Q T−

σ σ σ ε σ σσ = ε − ε = ε − ε = ε − εx xt (3.20)

ou seja:

{ } { }x xtQ σ = ε − ε x (3.21)

A relação tensão/deformação considerando somente o estado plano de tensão

é do tipo:


x x tx 11 12 16

y 21 22 26 y y t

61 62 66xy xy xy t

Q Q QQ Q QQ Q Q

ε − ε σ σ = ε − ε τ γ

− γ

(3.22)

Comportamento Mecânico de Placas Laminadas 44

44 –– CCOOMMPPOORRTTAAMMEENNTTOO MMEECCÂÂNNIICCOO DDEE PPLLAACCAASS LLAAMMIINNAADDAASS

Os materiais compostos são na maioria dos casos utilizados na forma de

laminados, onde as lâminas são coladas umas sobre as outras com orientações e

espessura das fibras podendo ser diferentes uma das outras. No caso de estruturas

do tipo placas, uma dimensão é muito pequena com relação as outras duas. Em

conseqüência disto, a tensão e a deformação normal na direção da espessura da

placa são considerados desprezíveis (σz = 0 e εz = 0).

As deformações são determinadas em função do campo de deslocamentos

definido por uma teoria para prever o comportamento do laminado. Pela Teoria

Clássica de Laminados, na definição do campo de deslocamentos, o cisalhamento

transverso resultante é nulo (σxz = σyz = 0). Pela Teoria de Primeira Ordem, na

definição do campo de deslocamentos, o cisalhamento transverso resultante é não

nulo (σxz ≠ 0, σyz ≠ 0), porém constante ao longo da espessura de cada lâmina da

placa.

44..11 –– TTeeoorriiaa CClláássssiiccaa ddee LLaammiinnaaddoo ((ss TT..CC..LL..))

Da definição do campo de deslocamento na Teoria Clássica de Laminados, o

cisalhamento transverso é considerado nulo, o que resulta num estado plano de

tensões, onde as únicas tensões não nulas são: σx, σy e σxy.

44..11..11 –– CCoommppoorrttaammeennttoo eemm mmeemmbbrraannaa

No estudo do comportamento em membrana de estruturas laminadas em

materiais compostos, é considerado um laminado de espessura total h com n lâminas

de espessura hk cada uma. Os esforços internos de membrana atuantes no plano do

laminado são denotados Nx, Ny (forças normais por unidade de comprimento


transversal); Nxy e Nyx (forças cortantes por unidade de comprimento transversal)

(ver Figura 4.1). Os eixos x, y, e z são eixos de referência, conforme item 3.

dxNydxNxy

dyNxdxNxy

dxdy

dxNy

dxNxy

dyNx

dxNxy

y

z

x

Figura 4.1 – Esforços de membrana sobre um elemento de placa

Em supondo a colagem perfeita entre as lâminas e a diferença de rigidez em

cada lâmina, a ddiissttrriibbuuiiççããoo ddaass ddeeffoorrmmaaççõõeess ee tteennssõõeess aaoo lloonnggoo de uummaa placa

llaammiinnaaddaa éé ccoonnffoorrmmee mmoossttrraa aa FFiigguurraa 44..22..

deformações

z

tensões hk

z

h

Figura 4.2 – Distribuição das deformações e tensões ao longo de uma placa laminada


Os esforços Nx, Ny, Nxy e Nyx são determinados pela imposição do equilíbrio

de forças atuantes em uma seção transversal:

∑∫

∑∫

∑∫

=−

=−

=−

τ=τ==

σ=σ=

σ=σ=

n

1kk

kxy

2/h

2/hxyxyyx

n

1kk

ky

2/h

2/hyy

n

1kk

kx

2/h

2/hxx

h)1.dz(1.N1.N

h)1.dz(1.N

h)1.dz(1.N

(4.1)

Considerando que os deslocamentos na direção x e y são u e v,

respectivamente, as deformações normais e angulares correspondentes a estas

solicitações são:

xv

yu

yvxu

yx

y

x

∂∂

+∂∂

=γ

∂∂

=ε

∂∂

=ε

(4.2)

As tensões σx, σy e σxy são obtidas no sistema de eixos de referência x, y, e

z, e estão relacionadas com as deformações pela matriz de rigidez, eq. (3.13).

Considerando somente os esforços de membrana, os esforços Nx, Ny, e Nxy são

determinados em função das constantes elásticas de cada lâmina:

{∑=

γ+ε+ε=n

1kkxy

k16y

k12x

k11x hQQQN }

xy

(4.3)

que de maneira mais compacta pode escrito:

x 11 x 12 y 16N A A A= ε + ε + γ (4.4)


onde:

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

n

1kk

k1616

n

1kk

k1212

n

1kk

k1111

hQA

hQA

hQA

(4.5)

De maneira análoga:

y 21 x 22 y 26N A A A= ε + ε + γxy (4.6)

com:

∑=

=n

1kk

kj2j2 hQA (4.7)

xy66y62x61xy AAAN γ+ε+ε= (4.8)

com:

∑=

=n

1kk

kj6j6 hQA (4.9)

Exprimindo os esforços Nx, Ny, e Nxy em forma matricial, temos:

γεε

=

xy

y

x

666261

262221

161211

xy

y

x

AAAAAAAAA

NNN

(4.10)

com:


∑=

=n

1kk

kijij hQA (4.11)

Observações:

As expressões acima são independentes da ordem de empilhamento das lâminas.

Os termos de acoplamento A16, A26, A61 e A62 se anulam quando o laminado é

simétrico e equilibrado (mesmo número de lâminas de mesma espessura na

direção +θ e -θ) ou anti-simétrico.

A partir dos esforços Nx, Ny, e Nxy, pode-se determinar as tensões globais

(fictícias), considerando o laminado como sendo homogêneo:

hNh

Nh

N

xyxy

yy

xx

=τ

=σ

=σ

(4.12)

A lei de comportamento em membrana do laminado “homogêneo” é da seguinte

forma:

γεε

=

τσσ

xy

y

x

666261

262221

161211

xy

y

x

AAAAAAAAA

h1 (4.13)

Os componentes da matriz de comportamento acima podem também ser

apresentados em termos de porcentagem de lâminas numa mesma orientação em

relação á espessura total.


∑=

=n

1k

kkijij h

hQAh1 (4.14)

Da inversão da matriz de comportamento acima, obtêm-se as constantes

elásticas aparentes ou homogeneizadas do laminado:

τσσ

µη

µν−

ην−

=

γεε

xy

y

x

xyx

y

x

x

xy

xy

yx

xy

xy

xy

y

yx

x

xy

y

x

GEE

GEE

GEE

1

1

1

(4.15)

A partir destas constantes elásticas, uma vez conhecido o carregamento

aplicado no laminado (Nx, Ny e Nxy), é possível determinar as deformações.

Exemplo 4.1 – Considere o laminado simétrico e balanceado (-45°/+45°/+45°/-45°)

em vidro/epóxi. Determine as constantes elásticas do laminado se cada lâmina tem

espessura 0,5 mm. Considere: E1 = 45,0 GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, ν12 = 0,30.

A matriz constitutiva das lâminas no sistema de ortotropia (1, 2, 3), eq. (2.12),

é da seguinte forma:

[ ] MPa105,400

03,127,307,31,46

Q 3

= (4.16)

Para as lâminas orientadas à -45°, a matriz constitutiva das lâminas no

sistema de referência (x, y, z), eq. (3.13), é da forma:


3045

20,9 11,9 8,46Q 11,9 21,0 8,46 10 MPa

8,46 8,46 12,8−

=

(4.17)

Para as lâminas orientadas à +45°, a matriz constitutiva das lâminas no

sistema de referência (x, y, z), eq. (3.13), é da forma:

3045

20,9 11,9 8,46Q 11,9 21,0 8,46 10 MPa

8,46 8,46 12,8+

− = − − −

(4.18)

A matriz [A] que representa a rigidez em membrana do laminado, eq. (4.10) é:

[ ]mmN10

51,2500091,4189,23089,2387,41

A 3

= (4.19)

A lei de comportamento em membrana do laminado considerado “homogêneo”,

eq. (4.13) é da seguinte forma:

x x3

y

xy xy

41,87 23,89 01 23,89 41,91 0 10 MPa2

0 0 25,51

σ ε σ = ε τ γ

y (4.20)

Logo, invertendo o sistema dado pela eq. (4.20), as constantes elásticas

podem ser encontradas:

Ex = 14,13 103 MPa, Ey = 14,14 103 MPa, νxy = 0,5701, νyx = 0,5705,

Gxy =12,76 103 MPa

e os termos de acoplamento são:


ηxy = 0.0, µxy = 0.0, ηx = 0.0, µy = 0.0

As curvas abaixo ilustram a evolução das constantes elásticas

homogeneizadas de um laminado simétrico e balanceado em vidro/epóxi na

configuração (θ°,-θ°,-θ°,θ°) (ver Tabela 1.4).

0 15 30 45 60 75 90θ10

20

30

40

50

Ex (GPa)

0 15 30 45 60 75 90θ10

20

30

40

50

Ey (GPa)

0 15 30 45 60 75 90θ3

5

8

10

13

15

Gxy (GPa)


0 15 30 45 60 75 90θ0.0

0.3

0.5

0.8

1.0

NUxy

0 15 30 45 60 75 90θ0.0

0.3

0.5

0.8

1.0

NUyx

Figura 4.3 – Constantes elásticas homogeneizadas de um laminado simétrico e

balanceado em vidro/epóxi

Exemplo 4.2 – Considere o laminado anti-simétrico e balanceado (-45°/+45°/-

45°/+45°) em vidro/epóxi. Determine as constantes elásticas do laminado se cada

lâmina tem espessura 0,5 mm. Considere: E1 = 45,0 GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa,

ν12 = 0,30.

As matrizes constitutivas no sistema de eixos de ortotropia e de referência

são idênticas às apresentadas no exemplo 4.1. A matriz [A] e a lei de

comportamento em membrana do laminado considerado “homogêneo”, também são

idênticas, logo as constantes elásticas são também idênticas e são:


Gxy =12,76 103 MPa



ηxy = 0,0, µxy = 0,0, ηx = 0,0, µy = 0,0

Observa-se que nos dois exemplos anteriores, o laminado pode ser

considerado quase isotrópico.

Exemplo 4.3 – Considere um laminado com seqüência de empilhamento aleatória

(-30°/+45°/+60°/-45°) em vidro/epóxi. Determine as constantes elásticas do

laminado se cada lâmina tem espessura 0,5 mm. Considere: E1 = 45,0 GPa, E2 = 12,0

GPa, G12 = 4,5 GPa, ν12 = 0,30.

A matriz constitutiva no sistema de eixos de ortotropia é a mesma dada pela

eq. (4.16). Para as lâminas orientadas à -45° e +45°, as matrizes constitutivas das

lâminas no sistema de referência (x, y, z) são dadas pelas eqs. (4.17) e (4.18),

respectivamente. Para as lâminas orientadas à -30° e +60°, as matrizes constitutivas

das lâminas no sistema de referência (x, y, z) são respectivamente:

3030

31,5 9,88 10,9Q 9,88 14,6 3,75 10 MPa

10,9 3,75 10,7−

=

(4.21)

3060

14,6 9,88 3,74Q 9,88 14,6 10,9 10

3,74 10,9 10,7+

− = − − −

MPa (4.22)

A lei de comportamento em membrana do laminado considerado “homogêneo”,

é da seguinte forma:

MPa1045,2357,358,357,351,3582,21

58,382,2194,43

21 3

xy

y

x

xy

y

x

γεε

−−=

τσσ

(4.23)


Logo, as constantes elásticas encontradas são:


Gxy =10,94 103 MPa


ηxy = -0,1603, µxy = 0,1788, ηx = -0,2225, µy = 0,2502

44..11..22 –– CCoommppoorrttaammeennttoo eemm fflleexxããoo

No estudo do comportamento em flexão de estruturas laminadas em

materiais compostos é considerado um laminado de espessura total h com n lâminas

de espessura hk cada uma. Os esforços internos de flexão atuantes no laminado são

denotados Mx, My (momentos fletores por unidade de comprimento em torno dos

eixos y e x respectivamente); Mxy e Myx (momentos torçores por unidade de

comprimento) (ver Figura 4.4). Os eixos x, y, e z são novamente eixos de referência.

yM dx

xM dy

dxdy

xyM dx

xyM dy

xM dyxyM dy

yM dx

xyM dx

y

z

x

Figura 4.4 – Esforços de flexão em um elemento de placa


Os esforços internos Mx, My, Mxy e Myx são determinados impondo o equilíbrio

de momentos numa seção transversal: h / 2

x xh / 2h / 2

y yh / 2

h / 2

yx xy xyh / 2

M .1 (dz .1) z

M .1 (dz .1) z

M .1 M .1 (dz .1) z

−

−

−

= σ

= σ

= = τ

∫

∫

∫

(4.24)

A Teoria Clássica de Laminados considera as seguintes hipóteses: as seções

transversais que são planas e perpendiculares á superfície média antes do

carregamento, permanecem planas e perpendiculares após o carregamento (ver

Figura 4.5).

xw0

∂∂

xw0

∂∂

com carregamento

wo

uo zk-1

zk

z

h

sem carregamento

Figura 4.5 – Hipóteses de deslocamento pela Teoria Clássica de Laminados


O deslocamento de um ponto genérico distante z da superfície média é

definido como:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

oo

oo

o

w x,yu x,y,z u x,y z

xw x,y

v x,y,z v x,y zy

w x,y,z w x,y

∂= −

∂∂

= −∂

=

(4.25)

onde uo, vo e wo são os deslocamentos da superfície média nas direções x, y e z,

respectivamente.

O estado de deformações obtido em conseqüência da definição do campo de

deslocamento dado pela eq. (4.25) é da forma: 2

o ox 2

2o o

y 2

2o o

xy

xz

yz

u wzx xv wzx y

u v wz 2y x x

00

∂ ∂ε = −

∂ ∂∂ ∂

ε = −∂ ∂

∂ ∂ ∂γ = + − ∂ ∂ ∂ ∂ γ =

γ =

o

y (4.26)

ou de forma resumida:

xy0xyxy

y0yy

x0xx

z

z

z

κ+γ=γ

κ+ε=ε

κ+ε=ε

(4.27)

As deformações ε0x, ε0

y e γ0xy são deformações normais e angular da

superfície média, e κx, κy e κxy as curvaturas.


Considerando a matriz de comportamento de cada lâmina no sistema de eixos

de referência, os momentos são da forma:

(zkn

k k kx 11 x 12 y 16 xy

k 1 zk 1

M Q Q Q z= −

= ε + ε + γ

∑ ∫ ) dz (4.28)

que, levando em conta as deformações, dadas pela eq. (4.26):

( ) ( ) ([ ]∑ ∫=

κ+γ+κ+ε+κ+ε=−

n

1k

z

zxy

20xy

k16y

20y

k12x

20x

k11x dzzzQzzQzzQM

k

1k

) (4.29)

Se considerarmos que o laminado é simétrico, as integrais do tipo ∫−

k

1k

z

z

kj1 dzzQ ,

se anulam com as integrais ∫−−

−

1k

k

z

z

kj1 dzzQ , consideradas para as lâminas simétricas com

relação a superfície neutra, logo:

( ) ( ) ( )∑=

−−−

κ−

+κ−

+κ−

=n

1kxy

31k

3kk

16y

31k

3kk

12x

31k

3kk

11x 3zzQ

3zzQ

3zzQM (4.30)

que, de forma mais compacta, pode ser colocado:

x 11 x 12 y 16M D D D= κ + κ + κxy (4.31)

com:

( )3 3n k k 1k1j 1j

k 1

z zD Q

3−

=

−= ∑ (4.32)

Os momentos My e Mxy podem ser também obtidos de forma análoga. Assim,

colocadas em forma matricial, as expressões de momentos são:


x 11 12 16

y 21 22 26

61 62 66xy xy

M D D DM D D D

D D DM

κ = κ κ

x

y

(4.33)

com:

( )3 3n k k 1kij ij

k 1

z zD Q

3−

=

−= ∑ (4.34)

Observações:

As expressões acima dependem da ordem de empilhamento das lâminas.

Os coeficientes D16 e D26 são termos de acoplamento que torçem o laminado

quando aplicados somente momentos de flexão e os coeficientes D61 e D62 são

termos de acoplamento que extendem o laminado quando aplicados somente

momentos de torção.

Questão: É possível um laminado flexionar devido a um carregamento do tipo

membrana. Considere o campo de deformações do laminado em flexão devido aos

esforços de membrana:

(zkn

k k kx 11 x 12 y 16 xy

k 1 zk 1

N Q Q Q= −

= ε + ε + γ

∑ ∫ ) dz (4.35)

( ) ( ) ( )zkn

k 0 k 0 k 0x 11 x x 12 y y 16 xy xy

k 1 zk 1

N Q z Q z Q z d= −

= ε + κ + ε + κ + γ + κ ∑ ∫ z (4.36)

Como anteriormente, se considerarmos que o laminado é simétrico, as

integrais do tipo ∫−

k

1k

z

z

kj1 dzzQ , se anulam com as integrais ∫

−−

−

1k

k

z

z

kj1 dzzQ , consideradas


para as lâminas simétricas com relação a superfície neutra, logo:

{ }∑=

γ+ε+ε=n

1kk

0xy

k16

0y

k12

0x

k11x hQQQN (4.37)

Portanto, para laminados simétricos, esforços do tipo membrana não causam

deformações de flexão.

De uma forma geral, para laminados não simétricos, as integrais ∫−

k

1k

z

z

kj1 dzzQ

não se anulam com as integrais ∫−−

−

1k

k

z

z

kj1 dzzQ , assim, o comportamento global de um

laminado é da forma:

[ ] [ ]

[ ] [ ]

κκκγεε

=

xy

y

x

0xy

0y

0x

xy

y

x

xy

y

x

DB

BA

MMMNNN

(4.38)

onde os coeficientes da matriz [B] são da forma:

( )∑=

−−=

n

1k

21k

2kk

ijij 2zzQB (4.39)

Exemplo 4.4 – Considere um laminado simétrico e balanceado (-30°/+30°/+30°/-30°)

em vidro/epóxi submetido a uma força Nx = 1000 N/mm. Determine as deformações

e as curvaturas do laminado se cada lâmina tem espessura 0,5 mm. Considere: E1 =

45,0 GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, ν12 = 0,30.


A matriz constitutiva no sistema de eixos de ortotropia é a mesma dada pela

eq. (4.16). Para as lâminas orientadas à -30° e +30°, as matrizes constitutivas das

lâminas no sistema de referência (x, y, z) são as mesmas dadas pelas eqs. (4.21) e

(4.22):

A matriz de comportamento para este laminado simétrico, dada pela eq.

(4.38) é da forma:

3

xy

y

x

0xy

0y

0x

xy

y

x

xy

y

x

10

13,787,145,500087,171,959,600045,559,697,2000000039,2100000012,2977,19000077,1991,62

0M0M0M0N0N

1000N

κκκγεε

=

=====

=

(4.40)

As deformações e as curvaturas podem então ser determinadas resolvendo o

sistema dado pela eq. (4.40):

ε0x = 0,202e-01, ε0

y = -0,137e-01, γ0xy = 0,0, κx = 0,0, κy = 0,0, κxy = 0,0

Exemplo 4.5 – Considere um laminado anti-simétrico e balanceado (30°/-30°/+30°/-

30°) em vidro/epóxi submetido a uma força Nx = 1000 N/mm. Determine as

deformações e as curvaturas do laminado se cada lâmina tem espessura 0,5 mm.

Considere: E1 = 45,0 GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, ν12 = 0,30.

A matriz de comportamento para este laminado anti-simétrico, é da forma: 0

x x0

y y0

xy xy

x x

y y

xy xy

N 1000 62,91 19,77 0 0 0 5,45N 0 19,77 29,12 0 0 0 1,87N 0 0 0 21,39 5,45 1,87 0M 0 0 0 5,45 20,97 6,59 0M 0 0 0 1,87 6,59 9,71 0

5,45 1,87 0 0 0 7,13M 0

= ε − = ε− = γ − − = = − κ = − κ

− −= κ

310

(4.41)


Resolvendo o sistema dado pela eq. (4. ), as deformações e as curvaturas são:

ε0x = 0,213e-01, ε0

y = -0,136e-01, γ0xy = 0,0, κx = 0,0, κy = 0,0, κxy = 0,127e-01


(-45°/+30°/+45°/-30°) em vidro/epóxi submetido a uma força Nx = 1000 N/mm.

Determine as deformações e as curvaturas do laminado se cada Lâmina tem

espessura 0,5 mm. Considere: E1 = 45,0 GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, ν12 = 0,30.

A matriz de comportamento para este laminado com empilhamento aleatório é

da forma:

= − − = = − = = − − =

−=

x

y

xy

x

y

xy

N 1000 52,39 21,83 0 2,63 0,52 1,22N 0 21,83 35,51 0 0,52 1,60 2,35N 0 0 0 21,39 1,22 2,35 0,52M 0 2,63 0,52 1,22 17,46 7,28 4,84M 0 0,52 1,60 2,35 7,28 11,84 3,05

1,22 2,35 0,52 4,84 3,05 7,82M 0

ε ε γ

κ κ

κ

0x0y0xy 3

x

y

xy

10 (4.42)

Resolvendo a eq. (4.42), as deformações e as curvaturas determinadas são:

ε0x = 0,265e-01, ε0

y = -0,167e-01, γ0xy = 0,337e-03, κx = 0,360e-02, κy = -0,329e-02,

κxy = 0,821e-02

Conclusão: Em um laminado não simétrico com uma solicitação do tipo membrana, as

curvaturas não são nulas. Logo, o laminado pode fletir devido a uma força Nx (κx ≠ 0,

κy ≠ 0, κxy ≠ 0).

Exemplo 4.7 – Considere o laminado simétrico e balanceado (-30°/+30°/+30°/-30°)

em vidro/epóxi submetido a um momento Mx = 1000 Nmm/mm. Determine as


deformações e as curvaturas do laminado se cada lâmina tem espessura 0,5 mm.


A matriz de comportamento para este laminado simétrico é a mesma dada

pela eq. (4.40).

3

xy

y

x

0xy

0y

0x

xy

y

x

xy

y

x

10

13,787,145,500087,171,959,600045,559,697,2000000039,2100000012,2977,19000077,1991,62

0M0M

1000M0N0N0N

κκκγεε

=

==

====

(4.43)

Assim, as deformações e as curvaturas podem então ser determinadas

resolvendo o sistema dado pela eq. (4.43):

ε0x = 0,0 , ε0

y = 0,0 , γ0xy = 0.0, κx = 0,718e-01, κy = -0,402e-01, κxy = -0,443e-01

Conclusão: No comportamento em flexão do laminado simétrico, os termos de

acoplamento não são nulos (D16 ≠ 0 e D26 ≠ 0). A deformação do laminado devido a um

momento Mx pode ser portanto como apresentado pela Figura 4.6:

p

Figura

laca isotrópica

4.6 – Placas isotrópica e laminada subm

placa laminada

etidas a um momento fletor


Exemplo 4.8 – Considere o laminado anti-simétrico e balanceado (-30°/+30°/-

30°/+30°) em vidro/epóxi submetido a um momento Mx = 1000 Nmm/mm. Determine

as deformações e as curvaturas do laminado se cada lâmina tem espessura 0,5 mm.


A matriz de comportamento para este laminado anti-simétrico, é a mesma

dada pela eq. (4.41): 0

x x0

y y0

xy xy

x x

y y

xy xy

N 0 62,91 19,77 0 0 0 5,45N 0 19,77 29,12 0 0 0 1,87N 0 0 0 21,39 5,45 1,87 0

M 1000 0 0 5,45 20,97 6,59 0M 0 0 0 1,87 6,59 9,71 0

5,45 1,87 0 0 0 7,13M 0

= ε − = ε− = γ − − = = − κ = − κ

− −= κ

310

(4.44)

Resolvendo o sistema de equações dado pela eq. (4.44), as deformações e as

curvaturas são:

ε0x = 0,0, ε0

x = 0,0, γ0xy = 0,127e-01, κx = 0,638e-01, κy = -0,409e-01 , κxy = 0,0


(-45°/+30°/+45°/-30°) em vidro/epóxi submetido a um momento Mx = 1000

Nmm/mm. Determine as deformações e as curvaturas do laminado se cada lâmina

tem espessura 0,5 mm. Considere: E1 = 45,0 GPa, E2 = 12,0 GPa, G12 = 4,5 GPa, ν12 =

0,30.

A matriz de comportamento para este laminado com empilhamento aleatório é

a mesma dada pela eq. (4.42):


= − − = = − = = − − =

−=

x

y

xy

x

y

xy

N 0 52,39 21,83 0 2,63 0,52 1,22N 0 21,83 35,51 0 0,52 1,60 2,35N 0 0 0 21,39 1,22 2,35 0,52

M 1000 2,63 0,52 1,22 17,46 7,28 4,84M 0 0,52 1,60 2,35 7,28 11,84 3,05

1,22 2,35 0,52 4,84 3,05 7,82M 0

ε ε γ

κ κ

κ

0x0y0xy 3

x

y

xy

10 (4.45)

Resolvendo o sistema de equações da eq. (4.45), as deformações e as

curvaturas determinadas são:

ε0x = 0,360e-02, ε0

y = 0,106e-02, γ0xy = 0,101e-01, κx = 0,883e-01, κy = -0,471e-01,

κxy = -0,366e-01

44..11..33 –– EEffeeiittoo ddaa tteemmppeerraattuurraa

O comportamento de estruturas laminadas pode ser estudado incluindo o

efeito da temperatura. Considerando o comportamento em membrana e em flexão,

as tensões nas lâminas podem ser definidas da seguinte maneira:

γεε

−

κ+γκ+εκ+ε

=

τσσ

txy

ty

tx

666261

262221

161211

xy0xy

y0y

x0x

666261

262221

161211

xy

y

x

QQQQQQQQQ

zzz

QQQQQQQQQ

(4.46)

Os esforços de membrana e de flexão do laminado, eqs, (4,1) e (4.24)

respectivamente, podem então ser obtidos como sendo:


[ ] [ ]

[ ] [ ]

−

κκκγεε

=

txy

ty

tx

txy

ty

tx

xy

y

x

0xy

0y

0x

xy

y

x

xy

y

x

MMMNNN

DB

BA

MMMNNN

(4.47)

onde:

(n

k k kx t 11 x t 12 y t 16 xy t k

k 1N Q Q Q

=

= ε + ε + γ∑ ) h (4.48)

e:

( ) ( )2 2n k k 1k k kx t 11 x t 12 y t 16 xy t

k 1

z zM Q Q Q

2−

=

−= ε + ε + γ∑ (4.49)

Os esforços Ny t, Nxy t, My t e Mxy t são obtidos por analogia.

Exemplo. 4.10 – Considere um laminado simétrico (-45°/+30°/+30°/-45°) em

kevlar/epóxi com espessura de 0,5 mm para cada lâmina. Determine as deformações

e as curvaturas se o laminado é submetido a uma variação de temperatura de -90°C

oriunda do processo de cura da resina. Considere: E1 = 76,0 GPa, E2 = 5,5 GPa, G12 =

2,0 GPa, ν12 = 0,35, α1 = -0,4 x 10-5 °C-1, α2 = 5,8 x 10-5 °C-1.

A matriz constitutiva das lâminas em kevlar/epóxi no sistema de ortotropia

(1, 2, 3), eq. (2.12), é da seguinte forma:

[ ] MPa100,200

055,594,1094,17,76

Q 3

= (4.50)


Para as lâminas orientadas à -45°, a matriz constitutiva no sistema de

referência (x, y, z), eq. (3.13), é da forma:

3045

23,5 19,5 17,8Q 19,5 23,5 17,8 10 MPa

17,8 17,8 19,6−

=

(4.51)

Para as lâminas orientadas à +30°, a matriz constitutiva no sistema de

referência (x, y, z), eq. (3.13), é da forma:

3030

45,7 15,1 23,0Q 15,1 10,1 7,79 10 MPa

23,0 7,79 15,2+

− = − − −

(4.52)

As deformações de origem térmica calculadas no sistema de eixos de

ortotropia são: , e . 1t 3.6e 4ε = − et 5,22e 3ε = − − 12t 0γ =

Para as lâminas orientadas à -45° e à +30°, as deformações de origem térmica

calculadas no sistema de eixos de referência (x, y, z), eq. (3.10), são

respectivamente:

xt4

yt

xyt 45

24,324,3 10

55,8

−

−

ε − ε = − γ

(4.53)

xt4

yt

xyt 30

10,3538,25 1048,32

−

+

ε − ε = − −γ

(4.54)

A matriz de comportamento e o vetor relativo ao carregamento térmico,

dados pela eq. (4.47), são da forma:


0xx0

y y

0xy xy

x x

y y

xy xy

N 0 69,20 34,67 5,24 0 0 0N 0 34,67 33,69 10,00 0 0 0N 0 5,24 10,00 34,78 0 0 0M 0 0 0 0 17,52 12,65 8,45M 0 0 0 0 12,65 14,58 9,73

0 0 0 8,45 9,73 12,7M 0

ε= − = ε = − γ = = κ = κ

= κ

3 1

0,0612,222

0,30610 10

000

− −

(4.55)


curvaturas obtidas são:

ε0x = +0,109e-02, ε0

y = -0,202e-02, γ0xy = +0,834e-03, κx = 0,0, κy = 0,0,κxy = 0,0.

Ex. 4.11: Considere um laminado com seqüência de empilhamento aleatória

(-30°/+45°/+30°/-45°) em kevlar/epóxi com espessura de 0,5 mm para cada lâmina.

Determine as deformações e as curvaturas se o laminado é submetido a uma

variação de temperatura de -90°C oriunda do processo de cura da resina. Considere:

E1 = 76,0 GPa, E2 = 5,5 GPa, G12 = 2,0 GPa, ν12 = 0,35, α1 = -0,4 x 10-5 °C-1, α2 = 5,8 x

10-5 °C-1.


(1, 2, 3) é dada pela eq. (4.50). Para as lâminas orientadas à -45°, a matriz

constitutiva no sistema de referência (x, y, z) é dada pela eq. (4.51), e para as

lâminas orientadas à +45°, a matriz constitutiva no sistema de referência é da

forma:

3045

23,5 19,5 17,8Q 19,5 23,5 17,8 10 MPa

17,8 17,8 19,6+

− = − − −

(4.56)


Para as lâminas orientadas à +30°, a matriz constitutiva no sistema de

referência (x, y, z) é dada pela eq. (4.52), e para as lâminas orientadas à -30°, a

matriz constitutiva no sistema de referência é da forma:

3030

45,7 15,1 23,0Q 15,1 10,1 7,79 10 MPa

23,0 7,79 15,2−

=

(4.57)

As deformações de origem térmica das lâminas à -45° e à +30° são dadas

pelas eqs. (4.52) e (4.53), respectivamente. As deformações de origem térmica das

lâminas à +45° e à -30° são respectivamente:

xt4

yt

xyt 45

24,324,3 1055,8

−

+

ε − ε = − −γ

(4.58)

xt4

yt

xyt 30

10,3538,25 1048,32

−

−

ε − ε = − γ

(4.59)

A matriz de comportamento e o vetor relativo ao carregamento térmico,

dados pela eq. (4.47), são da forma:

= − − = = − = = − − =

−=

x

y

xy

x

y

xy

N 0 69,20 34,67 0 5,55 1,10 2,62N 0 34,67 33,69 0 1,10 3,35 5,00N 0 0 0 34,78 2,62 5,00 1,10M 0 5,55 1,10 2,62 23,07 11,56 10,20M 0 1,10 3,35 5,00 11,56 11,23 6,40

2,62 5,00 1,10 10,20 6,40 11,59M 0

ε ε − γ − −κ κ κ

0x0y

03 1xy

x

y

xy

0,0612,2220,00

10 100,286

0,2860,153

(4.60)



curvaturas obtidas são:

ε0x = 0,917e-03, ε0

y = -0,190e-02, γ0xy = -0,284e-03, κx = -0,106e-02 , κy = 0,108e-

02, κxy = 0,152e-02.

Conclusão: O processo de cura da resina pode provocar flexão em um laminado não

simétrico.

44..22 –– TTeeoorriiaa ddee PPrriimmeeiirraa OOrrddeemm ( (TT..PP..OO..))

No estudo do comportamento em flexão de placas laminadas a Teoria de

Primeira Ordem considera as seguintes hipóteses: as seções transversais que eram

planas e perpendiculares á superfície média antes do carregamento, permanecem

planas mas não mais perpendiculares à superfície média após o carregamento (ver

Figura 4.7). Como resultado destas hipóteses o cisalhamento transverso é não nulo,

γxz ≠ 0 e γyz ≠ 0.

O deslocamento de um ponto genérico distante z da superfície média é dado

da forma:

0

0

0

u(x,y,z) u (x,y) z. (x,y)v(x,y,z) v (x,y) z. (x,y)w(x,y,z) w (x,y)

= + α

= + β

=

(4.62)

onde uo, vo e wo são os deslocamentos da superfície média nas direções x, y e z, e α

e β são as inclinações de seção nos planos (x,z) e (y,z), respectivamente.


γxz

owx

∂∂

owx

∂∂ α

w0

u0

z

x

Figura 4.7 – Hipóteses de deslocamento da Teoria de Primeira Ordem

O estado de deformações obtidos em conseqüência da definição do campo de

deslocamento dado pela eq. (4.62).

0x

0y

0 0xy

yz

xz

u zx xv zy y

u v zy x y x

v wz yu wz x

∂ ∂αε = +

∂ ∂∂ ∂β

ε = +∂ ∂

∂ ∂ ∂α ∂βγ = + + + ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂γ = +

∂ ∂∂ ∂

γ = +∂ ∂

(4.63)

ou de forma resumida:


0x x x

0y y y

0xy xy xy

oyz

oxz

z

z

z

wy

wx

ε = ε + κ

ε = ε + κ

γ = γ + κ

∂γ = α +

∂∂

γ = β +∂

(4.64)

onde ε0x, ε0

y e γ0xy são deformações normais e angular na superfície média e κx, κy e

κxy são as curvaturas.

Os esforços internos cisalhantes ou esforços cortantes por unidade de

comprimento, Qx e Qy são determinados impondo o equilíbrio de forças verticais

atuantes numa seção transversal (ver Figura 4.8): h / 2

y yz

x xzh / 2

Qdz

Q −

τ = τ

∫ (4.65)

dxQy

yM dx

dyQx

xM dy

dxdy

xyM dx

xyM dy dxQy

dyQx

xM dy

yM dx

xyM dy

xN dy

xyN dy

yN dx

yxN dx

yN dx

yxN dx

xN dy

xyN dy

y

z

x

Figura 4.8 – Esforços de internos em um elemento de placa pela T.P.O.


Considerando que a deformação cisalhante transversa é constante ao longo da

espessura do laminado, porém como cada lâmina de forma geral tem uma rigidez

diferente ao cisalhamento, a eq. (4.65) se torna:

k

k 1

kzny yz

k 1x xzz

Qdz

Q−

=

τ = τ

∑ ∫ (4.66)

A matriz constitutiva no sistema de ortotropia considerando somente os

efeitos de cisalhamento transverso é da forma:

23 23 23 44 45 23

13 13 13 54 55 13

G 0 Q Q0 G Q Q

τ γ = = τ γ

γ γ

τ

γ γ

(4.67)

A relação das tensões medidas no sistema de referência com as tensões

medidas no sistema de ortotropia, considerando somente os efeitos de cisalhamento

transverso, é dada pela matriz de transformação:

[ ]23 23yz

13 13xz

c sT

s c σ

ττ − = = τ ττ

(4.68)

De maneira análoga, a relação das deformações medidas no sistema de

referência com as deformações medidas no sistema de ortotropia é dada pela

mesma matriz de transformação:

[ ]23 23yz

13 13xz

c sT

s c ε

γγ = = γγ −

(4.69)

Multiplicando a matriz de transformação na relação constitutiva na qual é

considerado somente os efeitos do cisalhamento transverso, eq. (4.67), temos:


[ ] [ ]23 44 45 23

13 54 55 13

Q QT T

Q Qσ σ

τ = τ

γ γ

(4.70)

e, substituindo a eq. (4.69) na eq. (4.70), temos:

[ ] [ ]yz yz yz44 45 t 44 45

54 55 54 55xz xz xz

Q Q Q QT T

Q Q Q Qσ σ

τ γ = = τ γ

γ

γ (4.71)

Substituindo a eq. (4.71) na eq. (4.66), e considerando que as deformações

cisalhantes são constantes ao longo da espessura, temos:

k

k 1

kzny 44 45

k 1 54 55x xz

Q Q Q dzQ QQ

−=

γ =

γ ∑ ∫

yz

z

(4.72)

Realizando a integral ao longo da espessura da lâmina k: kn

y 44 45k

k 1 54 55x x

Q Q Qh

Q QQ =

γ = γ ∑ yz

z

yz

z

(4.73)

Colocando a eq. (4.73) de forma compacta:

y 44 45

54 55x x

Q F FF FQ

γ = γ

(4.74)

A equação de comportamento que inclui o efeito do cisalhamento transverso

obtida com a Teoria de Primeira Ordem é da forma :


0x tx x

0y y y t

0xy xy xy t

x x x t

y y y t

xy xy xy t

y yz

x xz

NNN N

[A] [B]N NM MM M[B] [D]M MQ 0[F]Q 0

ε ε γ κ = − κ

κ γ

γ

(4.75)

44..33 –– DDeetteerrmmiinnaaççããoo ddaa ddeefflleexxããoo eemm ppllaaccaass llaammiinnaadd

x

y

aass

O comportamento em flexão de placas laminadas pode ser estudo pela Teoria

Clássica de Laminados e pela Teoria de Primeira Ordem, as quais utilizam as

relações matriciais de comportamento, dadas pelas eqs. (4.47) e (4.75),

respectivamente, para a determinação de sua deflexão.

Em virtude do acoplamento em placas laminadas em suas diferentes formas:

membrana/flexão, deformação normal/deformação cisalhante, flexão/torção,

somente alguns casos serão estudados. Neste sentido, somente os laminados

simétricos serão estudados, [B] = 0.

A deflexão em placas laminadas simétricas é determinada a partir da relação

momentos/curvaturas dada pela eq. (4.76):

x 11 12 16

y 21 22 26

61 62 66xy xy

M D D DM D D D

D D DM

κ = κ κ

(4.76)

onde, pela Teoria Clássica de Laminados as curvaturas são:


∂κ = −

∂∂

κ = −∂

∂κ = −

∂ ∂

2o

x 2

2o

y 2

2o

xy

wxwy

w2x y

(4.77)

e, pela Teoria de Primeira Ordem as curvaturas são:

∂ακ =

∂∂β

κ =∂

∂α ∂βκ = + ∂ ∂

x

y

xy

x

y

y x

(4.78)

Sabe-se, no entanto que, como a Teoria de Primeira Ordem prevê o

cisalhamento transverso, a relação entre os esforços cortantes e as deformações

cisalhantes transversas é dada pela eq. (4.74).

Para comparar os resultados obtidos com a Teoria Clássica de Laminados e a

Teoria de Primeira Ordem, considere um laminado simétrico bi-apoiado com a

seguinte disposição de lâminas (0°/90°/90°/0°).

wo (x) L/2 L/2

q(y) z

y

x


Em função das condições de apoio e do carregamento aplicado, sabe-se que os

esforços internos são: = −xq(y)

2M , Mx y = Mxy = 0, = −x

q(y)2

Q e Qx = 0 . E, em

função da disposição das lâminas, sabe-se que os termos de acoplamento na relação

momentos/curvaturas são D16 = D26 = D61 = D62 = 0. Logo, a eq. (4.76) se reduz a:

κ = κ

κ

x 11 12

21 22 y

xy

M D D 00 D D 00 0 0 0

x

(4.79)

Conclui-se portanto que κ , e a relação entre κ=xy 0 x e κy é:

κ = − κ21y

22

DD x (4.80)

Substituindo a eq. (4.80) na eq. (4.79) e considerando que D12 = D21:

= −

212

x 1122

DM DD

κ x (4.81)

Invertendo a eq. (4.81), a expressão que fornece a curvatura é:

κ = −

22x x2

11 22 12

D MD D D

(4.82)

A deflexão da placa laminada pode ser determinada pela Teoria Clássica de

Laminados com as eqs. (4.77) e (4.82):

∂= −∂ −

2o 22

x211 22 12

w D Mx D D D

2 (4.83)


Considerando a equação de evolução de Mx e integrando a eq. (4.83) obtém-se

a inclinação da seção transversal do laminado no trecho (0 < x < L/2):

∂ = − − + ∂ − ∫x

o 2212

11 22 12 0

w D q x dx Cx 2D D D

(4.84)

Resolvendo a eq. (4.84), tem-se:

∂= + ∂ −

2o 2212

11 22 12

w D q x Cx 4D D D

(4.85)

Integrando a eq. (4.85) obtém-se a deflexão do laminado no trecho (0 < x <

L/2):

= + −

322o 12

11 22 12

D qw (x) x C x C12D D D

+ 2 (4.86)

As constantes de integração C1 e C2 são determinadas impondo as condições

de contorno em x = 0, wo = 0 e em x = L/2, ∂=

∂ow 0

x. Assim:

= − − =

222

1 211 22 12

2

D q LC4 2D D D

C 0

(4.87)

Logo, a deflexão do laminado no trecho (0 < x < L/2) é:

= − −

2322

o 211 22 12

D q x Lw (x) x4 3 2D D D

(4.88)

A deflexão máxima em x = L/2 pela Teoria Clássica de Laminados é:


= − −

322

o 211 22 12

D qLw (max)48D D D

(4.89)

A deflexão da placa laminada pode ser determinada pela Teoria de Primeira

Ordem com as eqs. (4.78) e (4.82):

∂α= ∂ −

22x2

11 22 12

D Mx D D D

(4.90)

Integrando a eq. (4.90) obtém-se a inclinação da seção transversal do

laminado no trecho (0 < x < L/2):

α = − + − ∫x

2232

11 22 12 0

D q x dx C2D D D

(4.91)

Resolvendo a eq. (4.91):

α = − + −

22232

11 22 12

D q x C4D D D

(4.92)

A relação entre a inclinação e a deflexão é dada pela deformação cisalhante

transversa γxz:

∂γ = α +

∂xzwx

(4.93)

Em função da disposição das lâminas, tem-se que da eq. (4.74):

= γx 55Q F xz (4.94)

Substituindo a eq. (4.94) na eq. (4.93) e considerando Qx:


∂= − − α

∂ 55

w qx 2F

(4.95)

Substituindo a eq. (4.92) na eq. (4.95):

∂= − ∂ −

22232

5511 22 12

Dw q x Cx 4D D D

+

q2F

(4.96)

Integrando a eq. (4.96) obtém-se a deflexão do laminado no trecho (0 < x <

L/2):

= − + −

322o 32

5511 22 12

D q qw (x) x C x C12 2FD D D

+ 4 (4.97)

As constantes de integração são determinadas impondo as condições de

contorno em x = 0, wo = 0 e em x = L/2, α = 0. Assim:

= − =

222

3 211 22 12

4

D q LC4 2D D D

C 0

(4.98)

Logo, a deflexão do laminado no trecho (0 < x < L/2) é:

= − − −

2322 22

o 2 25511 22 12 11 22 12

D Dq q Lw (x) x x12 4 2 2FD D D D D D

+q (4.99)

Reagrupando os termos, a eq. (4.99) se torna:

= − −

2322

o 25511 22 12

D q x L qw (x) x x4 3 2 2FD D D

− (4.100)

A deflexão máxima em x = L/2 pela Teoria de Primeira Ordem é:


= − − −

322

o 25511 22 12

D qL q Lw (max)48 2F 2D D D

(4.101)

Comparando a eq. (4.89) com a eq. (4.101) percebe-se que a deflexão obtida

pela Teoria Clássica de Laminados é menor que a deflexão obtida pela Teoria de

Primeira Ordem. Isto significa que pela Teoria Clássica de Laminados o laminado é

considerado mais rígido.

Uma outra comparação dos resultados obtidos com a Teoria Clássica de

Laminados e Teoria de Primeira Ordem pode ser realizada em uma placa laminada

simétrica em balanço com a disposição de lâminas (0°/90°/90°/0°).

wo (x)

L

q(y) z

y

x

Em função das condições de apoio e do carregamento aplicado, sabe-se que os

esforços internos são: ( )= −x (y) L xM q , My = Mxy = 0, = −x (Q q e Qy) x = 0. E, em

função da disposição das lâminas, sabe-se que os termos de acoplamento na relação

momentos/curvaturas são D16 = D26 = D61 = D62 = 0. Desta forma, a eq. (4.82)

continua sendo válida para estas condições.


Pela Teoria Clássica de Laminados a inclinação da placa laminada pode ser

determinada pela integração da eq. (4.83). Logo:

( ) ∂

= − − + ∂ − ∫x

o 2212

11 22 12 0

w D q L x dx Cx D D D

(4.102)

Resolvendo a eq. (4.102):

∂= − − + ∂ −

2o 22

1211 22 12

w D xq Lx Cx 2D D D

(4.103)

Integrando a eq. (4.103) obtém-se a deflexão do laminado:

= − − + + −

2 322

o 211 22 12

D x xw (x) q L C x C2 6D D D 1 2 (4.104)


contorno em x = 0, wo = 0 e ∂=

∂ow 0

x. Assim:

=

=1

2

C 0C 0

(4.105)

A deflexão máxima em x = L pela Teoria Clássica de Laminados é:

= − −

322

o 211 22 12

D Lw (max) q3D D D

(4.106)

A inclinação da placa laminada pode ser determinada pela Teoria de Primeira

pela integração da eq. (4.90) que resulta:

α = − + −

222

3211 22 12

D xq Lx C2D D D

(4.107)


Considerando as eqs. (4.93) e (4.94), tem-se:

∂= − − α

∂ 55

w qx F

(4.108)

Substituindo a eq. (8.19) na eq. (8.23):

∂= − − − + ∂ −

222

325511 22 12

Dw xq Lx Cx 2D D D

qF

(4.109)

Integrando a eq. (4.109) obtém-se a deflexão do laminado:

= − − − + + −

2 322

o 25511 22 12

D x x qw (x) q L C x C2 6 FD D D 3 4

0

(4.110)


contorno em x = 0, wo = 0 e α = 0. Assim:

=

=3

4

CC 0

(4.111)

A deflexão máxima em x = L pela Teoria de Primeira Ordem é:

= − − −

322

o 25511 22 12

D L qw (x) q L3 FD D D

(4.112)

Novamente neste exemplo é observado que pela Teoria Clássica de Laminados

o laminado é considerado mais rígido.


44..44 –– DDeetteerrmmiinnaaççããoo ddaass tteennssõõeess ddee cciissaallhhaammeennttoo tt rraannssvveerrssoo eemm ppllaaccaass llaammiinnaaddaass

As tensões de cisalhamento transversas, como visto anteriormente, são

constantes ao longo da espessura de cada lâmina, quando determinadas pela Teoria

de Primeira Ordem e nulas pela Teoria Clássica de Laminados. Para obter a

distribuição correta destas tensões seja pela T.P.O, seja pela T.C.L., considere um

elemento infinitesimal de volume dx, dy e dz submetido a um estado de tensões

triaxiais. Por comodidade, somente as tensões na direção x são mostradas na Figura

4.8:

dxxx

x ∂σ∂

+σ

xzxz dz

zτ +

∂

xσ

xyτ

xyxy dy

y∂τ

τ +∂

xzτ

∂τ

y

z

x

Figura 4.8 – Elemento submetido à um estado de tensões triaxiais

Impondo o equilíbrio estático da direção x, temos:

Σ Fx = 0, 0=

∂τ∂

+τ+τ−

∂

τ∂+τ+τ−

∂σ∂

+σ+σ−

dxdydzz

dxdy

dxdzdyy

dxdzdydzdxx

dydz

xzxzxz

xyxyxy

xxx

(4.113)


Após algumas simplificações, a eq. (4.113) resulta na equação diferencial que

representa o equilíbrio na direção x:

0=∂τ∂

+∂

τ∂+

∂σ∂

zyxxzxyx (4.114)

As equações diferenciais que representam o equilíbrio nas direções y e z

podem ser obtidas de maneira análoga:

y yx yz 0y x z

∂σ ∂τ ∂τ+ + =

∂ ∂ ∂ (4.115)

zyz zx 0z x y

∂τ∂σ ∂τ+ + =

∂ ∂ ∂ (4.116)

A distribuição da tensão cisalhante transversa τxz na lâmina k pode ser obtida

a partir da eq. (4.114), e de σx e τxy obtidas da eq. (4.47): zk

xyxxz

zk 1

dzx y

−

∂τ ∂στ = − +

∂ ∂ ∫ (4.117)

Em não havendo o efeito da temperatura, tem-se:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

k 0 k 0 k 0z 11 x x 12 y y 16 xy xyk

xzk 0 k 0 k 0zk 1 61 x x 62 y y 66 xy xy

Q z Q z Q zx x x dz

Q z Q z Q zy y y

−

∂ ∂ ∂ ε + κ + ε + κ + γ + κ + ∂ ∂ ∂ τ = −∂ ∂ ∂ ε + κ + ε + κ + γ + κ ∂ ∂ ∂

∫ (4.118)

A distribuição da tensão cisalhante transversa τxz na lâmina k pode então ser

obtida seja pela Teoria Clássica de Laminados, seja pela Teoria de Primeira Ordem.

De maneira a comparar o cisalhamento transverso determinado por estas


duas teorias, considere o caso da placa laminada simétrica bi-apoiada com disposição

de lâminas (0°/90°/90°/0°).

Em função do carregamento aplicado e da disposição das lâminas, tem-se:

( ) ( ) ( )zk

k k kxz 11 x 12 y 66 xy

zk 1

Q z Q z Q zx x y

−

∂ ∂ ∂τ = − κ + κ + κ ∂ ∂ ∂

∫ dz (4.119)

Pela Teoria Clássica de Laminados, a tensão de cisalhamento transverso é: z 3 3 3k

k k kxz 11 12 663 2 2

zk 1

w w wQ Q 2Qx x y x y

−

∂ ∂ ∂τ = + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∫ z dz (4.120)

Se a largura da placa é muito maior que o seu comprimento (a>>L), pode-se

considerar que as variações na direção y são desprezíveis quando comparadas com

as variações na direção x. Logo:

−

∂τ =

∂∫z 3k

kxz 11 3

zk 1

wQ zx

dz (4.121)

Considerando a equação de deflexão obtida pela Teoria Clássica de Laminados

dada pela eq. (4.88), tem-se:

∂= ∂ −

322

3 211 22 12

Dw2x D D Dq (4.122)

Substituindo a eq. (4.122) na eq. (4.121) e integrando:

(k 22xz 11 k k 12

11 22 12

D qQ4D D D )2 2z z −

τ = − −

(4.123)


Observa-se que a distribuição da tensão de cisalhamento transversa τxz ao

longo da espessura do laminado é quadrática e pode ser determinada impondo as

condições de contorno que são: tensões nulas nas bordas inferior e superior e

continuidade das mesmas na interface de uma lâmina a outra.

Pela Teoria de Primeira Ordem, a tensão de cisalhamento transverso é:

−

∂ α ∂ β ∂ α ∂ βτ = − + + +

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∫z 2 2 2 2k

k k kxz 11 12 662 2

zk 1

Q z Q z Q z z dx y y xx y

z (4.124)

Se (a>>L), pode-se considerar que as variações na direção y são desprezíveis.

Logo:

−

∂ ατ = −

∂∫z 2k

kxz 11 2

zk 1

Q zx

dz (4.125)

Considerando a equação de inclinação obtida pela Teoria de Primeira Ordem

dada pela eq. (4.92), tem-se:

∂ α= −∂ −

222

211 22 12

D q2x D D D

2 (4.126)

Substituindo a eq. (4.126) na eq. (4.125) e integrando:

(k 22xz 11 k k 12

11 22 12

D qQ4D D D )2 2z z −

τ = − −

(4.127)

Comparando as eqs. (4.127) e (4.123), pode ser observado que elas são

idênticas. Conclui-se portanto que as teorias T.C.L. e T.O.P. fornecem a mesma

distribuição de tensão de cisalhamento transverso.


A distribuição da tensão cisalhante transversa τyz, pode ser obtida a partir da

eq. (4.115), e de σx e τxy obtidas da eq. (4.47):

k

k 1

zyx y

yzz

dzx y

−

∂τ ∂στ = − + ∂ ∂

∫ (4.128)

E, a distribuição da tensão normal σz, pode ser obtida a partir das eqs.

(4.116), (4.117) e (4.128): k

k 1

zzyzx

zz

dzx y

−

∂τ ∂τσ = − + ∂ ∂

∫ (4.129)

44..55 - - VViibbrraaççõõeess eemm ppllaaccaass llaammiinnaaddaass

Para o estudo de placas laminadas em vibração é necessário primeiramente, a

obtenção das equações de equilíbrio, considerando o efeito de inércia.

Posteriormente, pode-se aplicar a Teoria Clássica de Laminados ou a Teoria de

Primeira Ordem. Para a solução das equações diferenciais pode-se considerar o

método de Rayleigh-Ritz que propõe uma resposta no espaço que respeita as

condições de contorno do problema.

44..55..11 –– EEqquuaaççõõeess lliinneeaarreess ddee eeqquuiillííbbrriioo ddee ppllaaccaass

Considere um elemento de placa infinitesimal de dimensões dx, dy, e

espessura h submetido a esforços variáveis de membrana (força por unidade de

comprimento), Figura 4.9.


dxNydxNxy

dxdyy

NN y

y

∂

∂+

dxdyy

NN xy

xy

∂

∂+

dyNxdxNxy

dydxx

NN xx

∂

∂+

dydxx

NN xy

xy

∂

∂+

dxdy y

z

x


Impondo o equilíbrio estático na direção x e considerando o efeito de inércia,

tem-se: z 2kn

xy k oxx x xy xy 2

k 1 zk 1

N uNN dy N dx dy N dy N dy dx dzdxdy

x y t= −

∂ ∂∂ − + + − + + = ρ ∂ ∂ ∂

∑ ∫ (4.130)

onde ρkdzdxdy é a massa de um elemento infinitesimal da lâmina e 2

o2ut

∂∂

é a sua

aceleração na direção x.

Simplificando a eq. (4.130): 2n

xy k oxk 2

k 1

N uNh

x y t=

∂ ∂∂+ = ρ

∂ ∂ ∂∑ (4.131)

Analogamente, com relação ao eixo y, temos: 2n

y xy k ok 2

k 1

N N vh

y x t=

∂ ∂ ∂+ = ρ

∂ ∂ ∂∑ (4.132)


Considere agora, o mesmo elemento de placa infinitesimal submetido a

esforços de flexão e de cortante, ambos por unidade de comprimento.

dxQy

yM dx

xyxy

MM dy dx

y∂

+ ∂

yy

MM dy

y∂

+ ∂

dyQx

xM dx

xyxy

MM dx dy

x∂

+ ∂ xx

MM dx dyx

∂+ ∂

dxdy

xyM dx

xyM dy

dydxx

QQ x

x

∂

∂+

dxdyy

QQ y

y

∂

∂+

dx

y

z

x

Figura 4.10 – Esforços de flexão e cortantes em um elemento de placa

Impondo o equilíbrio das forças na direção z, temos: z 2kn

y kxx x y y 2

k 1 zk 1

QQ wQ dy Q dx dy Q dx Q dy dx dzdxdyx y t= −

∂ ∂ ∂ − + + − + + = ρ ∂ ∂ ∂ ∑ ∫ (4.133)

Simplificando, a eq. (7.4) resulta em: 2n

y k oxk 2

k 1

Q wQ hy x t=

∂ ∂∂+ = − ρ

∂ ∂ ∂∑ (4.134)

Impondo o equilíbrio dos momentos com relação ao eixo x, temos:

y xy yy y xy xy y

M M QM dx M dy dx M dy M dx dy Q dy dx.dy 0

y x y∂ ∂ ∂

− + + − + + − + = ∂ ∂ ∂ (4.135)

Desprezando termos de segunda ordem, a eq. (4.135) resulta em:


y xyy

M MQ

y x∂ ∂

+ − =∂ ∂

0 (4.136)

Por analogia, do equilíbrio dos momentos com relação ao eixo y, tem-se:

0Qy

Mx

Mx

xyx =−∂

∂+

∂∂ (4.137)

Somando a derivada da eq. (4.136) com relação a y, a derivada da eq. (4.137)

com relação a x, tem-se: 2 2 22 n

xy y k oxk2 2

k 1

M M wM 2x yx y =

∂ ∂ ∂∂+ + = − ρ

∂ ∂∂ ∂∑ 2h

t∂ (4.138)

44..55..22 –– VViibbrraaççõõeess ddee ppllaaccaass llaammiinnaaddaass ppeellaa TTeeoorriiaa CClláássssiiccaa ddee LLaammiinnaaddooss

A procura pelas freqüências naturais de placas laminadas é realizada

exprimindo o campo de deslocamento da forma: i t

o oi t

o oi t

o o

u (x,y,t) u (x,y)e

v (x,y,t) v (x,y)e

w (x,y,t) w (x,y)e

ω

ω

ω

=

=

=

(4.139)

onde uo(x,y), vo(x,y) e wo(x,y) são funções que devem respeitar as condições de

contorno e de continuidade do problema.

Para exemplificar, considere um laminado simétrico bi-apoiado com a seguinte

disposição de lâminas (0°/90°/90°/0°). Sabe-se que, em função da disposição das

lâminas, os termos de acoplamento [B] = 0, A16 = A26 = A61 = A62 = 0 e D16 = D26 = D61

= D62 = 0. Logo, as eqs. (4.131), (4.132) e (4.138) se reduzem, respectivamente a:


a

1° modo L

z

y

x

2n

ko o o o11 12 66 k 2

k 1

u v u vA A A h

x x y y y x t=

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + = ρ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

ou∂

∑ (4.140)

2nko o o o

12 22 66 k 2k 1

u v u vA A A h

y x y x y x t=

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + = ρ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

ov∂

∑ (4.141)

2 2 2 2 22 2 2o o o o o

11 12 21 22 662 2 2 2 2 2

2nk o

k 2k 1

w w w w wD D D D 2 Dx y x yx x y y x y

wht=

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂+ + + +

= ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂− ρ

∂∑

(4.142)

Derivando as eqs. (4.140), (4.141) e (4.142):

2 2 2 nko o o o

11 12 66 k2 2k 1

u v u vA A A hx y y xx y =

∂ ∂ ∂ ∂+ + + = ρ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂

∑2

o2ut

∂∂

(4.143)

2 2 2 nko o o o

12 22 66 k2 2k 1

u v u vA A A hy x x yy x =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + = ρ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂

∑2

o2vt∂

(4.144)

4 4 4 4 4 nko o o o o

11 12 21 22 66 k4 2 2 2 2 4 2 2k 1

w w w w wD D D D 2D hx x y x y y x y =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + = − ρ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∑2

o2

wt

∂∂

(4.145)


Considerando que a vibração ocorrerá preponderantemente na direção de z,

tem-se que: 2

o2

2o

2

22 io

o2

u0

tv

0tw

W et

ω

∂=

∂∂

=∂

∂= −ω

∂t

(4.146)

No caso da placa bi-apoiada, o campo de deslocamento que satisfaz as

condições de contorno e de continuidade são:

o o

o o

o o

m xu (x) U senL

m yv (y) V cosa

m x m yw (x,y) W sen cosL a

π=

π=

π π=

(4.147)

onde Uo, Vo, Wo são as amplitudes de vibração nas direções, x, y e z e m é o número

do modo a ser determinado.

Introduzindo a eq. (4.146) e as derivadas das eqs. (4.147) nas eqs. (4.43),

(4.144) e (4.145), temos: 2

o 11m m xU sen A 0 UL Lπ π − =

o 0⇒ = (4.148)

2

o 22m m yV cos A 0 Va aπ π − =

o 0⇒ = (4.149)

( ) (4 2 2 4 n

k11 12 66 22 k

k 1

m m m mD 2 D D D hL L a a =

π π π π + + + = −

∑ )2ρ −ω (4.150)


Desenvolvendo a eq. (4.150), a primeira freqüência natural (m = 1) da placa

laminada bi-apoiada é:

( )4 2 2 4

11 12 66 22

nk

kk 1

D 2 D D DL L a a

h=

π π π π + + + ω =

ρ∑ (rad/s) (4.151)

44..55..33 –– VViibbrraaççõõeess ddee ppllaaccaass llaammiinnaaddaass ppeellaa TTeeoorriiaa ddee PPrriimmeeiirraa OOrrddeemm

A procura das freqüências naturais de placas laminadas é realizada

exprimindo o campo de deslocamento da forma: i t

o oi t

o oi t

o oi t

i t

u (x,y,t) u (x,y)e

v (x,y,t) v (x,y)e

w (x,y,t) w (x,y)e

(x,y,t) (x,y)e

(x,y,t) (x,y)e

ω

ω

ω

ω

ω

=

=

=

α = α

β = β

(4.152)

Considerando o mesmo exemplo usado anteriormente de um laminado

simétrico bi-apoiado com a seguinte disposição de lâminas (0°/90°/90°/0°), os

termos de acoplamento serão [B] = 0, A16 = A26 = A61 = A62 = 0, D16 = D26 = D61 = D62

= 0, além de F45 = F54 = 0. Logo, a eq. (4.133) que representa o equilíbrio de forças

na direção z se reduz a:

( ) ( )2n

k o44 yz 55 xz k 2

k 1

wF F hy x t=

∂∂ ∂γ + γ = − ρ

∂ ∂ ∂∑ (4.153)

Desenvolvendo a eq. (4.153):


2nko o

44 55 k 2k 1

w wF Fy y x x t=

∂ ∂∂ ∂ β + + α + = − ρ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∑ owh ∂ (4.154)

Derivando a eq. (4.154):

2 2 nko o

44 55 k2 2k 1

w wF Fy xy x =

∂ ∂∂β ∂α+ + + = − ρ ∂ ∂∂ ∂

∑2

o2

wht

∂∂

(4.155)

No caso da placa bi-apoiada, o campo de deslocamento que satisfaz as

condições de contorno e continuidade são:

o o

o

o

m x m yw (x,y) W sen cosL a

m x m y(x,y) A cos cosL a

m x m y(x,y) B sen senL a

π π=

π πα =

π πβ =

(4.156)

onde Wo, Ao, Bo são as amplitudes de vibração e m é o número do modo a ser

determinado.

Derivando as eqs. (4.156) e substituindo na eq. (4.155), segue:

( )n

k 244 o o 55 o o k o

k 1

m m m mF B W F A W ha a L L =

π π π π − − + = − ρ −ω

∑ W (4.157)

Isolando os termos em Ao, Bo e Wo, e sabendo que F44 = F55, tem-se:

( )n2 k 2

44 o 44 o 44 k o2 2k 1

m m 1 1F A F B F m h WL a a L =

π π − + π + + ρ ω

∑ 0

= (4.158)

Observa-se pela eq. (4.158) que há acoplamento entre os deslocamentos nas

direções x, y e z. Portanto, para a determinação das freqüências naturais da placa


laminada pela Teoria de Primeira Ordem, faz-se necessário o uso das eqs. (4.136) e

(4.137), que representa o equilíbrio de momentos com relação ao eixo x e y,

respectivamente, para a resolução do problema. Portanto, fazendo uso da eq.

(4.136):

o21 22 66 44

wD D D Fy x y x y x y

∂∂ ∂α ∂β ∂ ∂α ∂β+ + + − β + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

0=

(4.159)


2 2 2 2o

21 22 66 442 2wD D D F

x y x y yy x ∂∂ α ∂ β ∂ α ∂ β

+ + + − β + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ 0= (4.160)

Substituindo a eq. (4.156) na eq. (4.160): 2 2

21 o 22 o 66 o o

44 o o

m m m m m mD A D B D A BL a a L a L

mF B W 0a

π π π π π π − + − π − − =

(4.161)

Isolando os termos em Ao, Bo e Wo, tem-se:

[ ]2 2

21 66 o 22 66 44 o 44 om m m m mD D A D D F B F WL a a L a

π π π π π + − + + +

0= (4.162)

Fazendo uso da eq. (4.137), tem-se:

o11 12 66 55

wD D D Fx x y y y x x

∂∂ ∂α ∂β ∂ ∂α ∂β + + + − α + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 0= (4.163)



2 2 2 2o

11 12 66 552 2wD D D F

x y x y xx y ∂∂ α ∂ β ∂ α ∂ β + + + − α + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂

0= (4.164)

Substituindo a eq. (4.156) na eq. (4.164): 2 2

11 o 12 o 66 o o

55 o o

m m m m m mD A D B D A BL L a a L a

mF A W 0L

π π π π π − + + − + π − + =

π

(4.165)

Isolando os termos em Ao, Bo e Wo, tem-se:

[ ]2 2

11 66 55 o 12 66 o 55 om m m m mD D F A D D B F WL a L a L

π π π π π + + − + +

0= (4.166)

As freqüências naturais da placa laminada são determinadas colocando-se as

eqs. (4.158), (4.162) e (4.166) em uma forma matricial, temos:

[ ]o

o

o

AKM B 0

W

=

(4.167)

A primeira freqüência natural (m = 1) da placa laminada bi-apoiada pela Teoria

de Primeira Ordem é obtida impondo o determinante da matriz [KM] igual a zero.

Logo:


[ ]

[ ]

n2 k

44 55 55 k2 2k 1

2 2

21 66 22 66 44 44

2 2

11 66 55 12 66 55

1 1F F FL a a L

D D D D F FL a a L a

D D F D D FL a L a L

=

π π − π + + ρ

π π π π π + − + +

π π π π π + + − +

∑ 2h

0

ω

=

(4.168)

Como D21 = D12 e F55 = F44, tem-se:

[ ]

2 2 2 2 2 2

22 66 44 44 11 66 44 44

2 n2 k 2

12 66 44 k2 2k 1

2 2

11 66 44

D D F F D D F Fa L L L a a

1 1D D F hL a a L

D D FL a

=

π π π π π π + + + + +

π π + + π + + ρ ω

π π − + +

∑

[ ] ( ) [ ] ( )

2 2 n2 k

22 66 44 44 k2 2k 1

2 244 44

12 66 12 66

1 1D D F F ha L a L

F FD D D D 0

L a aL L a aL

=

2 π π + + π + + ρ ω

π ππ π π π − + − + =

∑

(4.169)

Reagrupando termos da eq. (4.169):

[ ]

2 266 6622 44 44 11 44 44

2 2 2 2 2 2

2 n2 k 2

12 66 44 k2 2k 1

n2 k66 6611 44 22 44

44 k2 2 2 2 2 2 2 2k 1

D DD F F D F FL aa L L a

1 1 1D D F haL a L

D DD F D F 1 1F hL a a L a L

=

=

+ + + + + π π

+ + π + + ρ ω

− + + + + π + + ρ ω π π

∑

∑

[ ]

2

244

12 66F2 D D 0aL

− + =

(4.170)


[ ]

[ ]

2n2 k 2 66 6611 44 22 44

44 k 12 662 2 2 2 2 2 2 2k 1

2 266 6622 44 44 11 44 44 44

12 662 2 2 2 2 2

D DD F D F1 1 1F h D DaLa L L a a L

D DD F F D F F F2 D DL a aLa L L a

=

π + + ρ ω + − + + + + + π π

+ + + + + − + π π

∑2

0=

(4.171)

Chamando de:

[ ]

[ ]

2 266 6622 44 44 11 44 44 44

12 662 2 2 2 2 2

266 6611 44 22 44

12 66 2 2 2 2 2 2

D DD F F D F F F2 D DL aa L L a

D DD F D F1 D DaL L a a L

Φ = + + + + + − + π π ∆ = + − + + + + π π

2

aL

(4.172)

A eq. (4.171) pode ser reagrupada e a primeira freqüência natural (m = 1) da

placa laminada bi-apoiada é:

244 2 2

nk

kk 1

1 1Fa L

h=

Φ − − π + ∆ ω =ρ∑

(rad/s) (4.173)


55 –– CCRRIITTÉÉRRIIOOSS DDEE RRUUPPTTUURRAA

Os critérios de ruptura têm por objetivo permitir ao projetista avaliar a

resistência mecânica de estruturas laminadas. A ruptura de estruturas laminadas

em material composto pode se dar por diferentes mecanismos: ruptura das fibras,

ruptura da matriz, decoesão fibra/matriz, delaminação (descolamento das lâminas),

etc.

Os critérios de ruptura podem ser classificados da seguinte maneira:

critério de tensão máxima,

critério de deformação máxima,

critérios interativos ou critérios energéticos.

55..11 –– CC ttrrii éérriioo ddee tteennssããoo mmááxxiimmaa

O critério de tensão máxima estipula que a resistência mecânica da lâmina

analisada é atingida quando umas das três tensões as quais a lâmina está sendo

submetida atingir o valor da tensão de ruptura correspondente. Desta forma, o

critério pode ser escrito da seguinte maneira:

SSYYXX

12

t2c

t1c

<τ<−

<σ<

<σ<

(5.1)

onde: σ1, σ2 e τ12 representam as tensões longitudinal, transversal e de cisalhamento

no plano da lâmina. Xc e Xt representam as resistências mecânicas na direção

longitudinal em compressão e em tração, Yc e Yt representam as resistências

mecânicas na direção transversal em compressão e em tração e S representa a

Critérios de ruptura 100

resistência mecânica ao cisalhamento. Se as inequações acima são verificadas, a

lâmina não se romperá devido ao estado de tensão σ1, σ2 e τ12.

Como normalmente as lâminas estão orientadas segundo o sistema de eixos de

referência (x, y, z), girado de θ com relação ao sistema de eixos de ortotropia (1, 2,

3), a matriz de transformação dada pela eq. (3.9) deve ser utilizada:

{ } [ ]{ 1x

12

2

1

22

22

22

xy

y

x

Touscscsc

sc2cssc2sc

σ=σ

τσσ

−−−=

τσσ

σ }

}

(5.2)

A inversa da matriz de transformação fornece a relação das tensões medidas

no sistema de eixos (x, y, z) com as tensões nos eixos de ortotropia (1, 2, 3)

utilizadas no critério de tensão máxima:

{ } [ ] { x11 T σ=σ −σ (5.3)

55..22 –– CCrriittéérriioo ddee ddeeffoorrmmaaççããoo mmááxxiimmaa

O critério de deformação máxima estipula que a resistência mecânica da

lâmina analisada é atingida quando umas das três deformações as quais a lâmina está

sendo submetida atingir o valor da deformação de ruptura correspondente. Desta

forma, o critério pode ser escrito da seguinte maneira:

εε

εε

εε

<γ<−

<ε<

<ε<

SSYYXX

12

t2c

t1c

(5.4)

onde: ε1, ε2 e γ12 representam as deformações longitudinal, transversal e de

cisalhamento no plano da lâmina. Xεc e Xεt representam as deformações máximas na


direção longitudinal em compressão e em tração, Yεc e Yεt representam as

deformações máximas na direção transversal em compressão e em tração e Sεc

representa a deformação máxima em cisalhamento. Se as inequações acima são

verificadas, a lâmina não se romperá devido as deformações ε11, ε22 e γ12.

Como normalmente as lâminas estão orientadas segundo os eixos ortogonais x

e y, girados de θ com relação aos eixos de ortotropia, a matriz de transformação,

eq. (3.9), deve ser utilizada:

{ } [ ]{ }1x

12

2

1

22

22

22

xy

y

x

Touscsc2sc2

sccsscsc

ε=ε

γεε

−−−=

γεε

ε (5.5)

A inversa da matriz de transformação fornece a relação das deformações

medidas no sistema de eixos (x, y, z) com as deformações nos eixos de ortotropia

(1, 2, 3) utilizadas no critério de deformação máxima:

{ } [ ] { x11 T ε=ε −ε } (5.6)

55..33 –– CCoommppaarraaççããoo eennttrree ooss ccrriittéérriiooss ddee tteennssããoo mmááxxiimmaa ee ddee ddeeffoorrmmaaççããoo mmááxxiimmaa

Considere uma lâmina solicitada com as tensões como representadas abaixo:

σ1

σ2

σ2

σ1= 12 σ2

2

1


Suponhamos que as propriedades da lâmina sejam as seguintes:

Xt = 1400 MPa, Yt = 35 MPa, S = 70 MPa

E1 = 46 GPa, E2 = 10 GPa, G12 = 4,6 GPa, ν12 = 0,31

Procura-se valores de σ1 e σ2 para as quais a ruptura acontece. Utilizando o

critério de tensão máxima, temos:

σ1 < Xt e σ2 < Yt

ou seja:

12 σ2 < Xt, MPa11712Xt

2 =<σ

e σ2 < Yt = 35 MPa

A ruptura se dará no menor valor de tensão, 35 MPa, e será na direção

transversal. O estado de tensão neste caso é σ1 = 12 x 35 = 420 MPa e σ2 = 35 MPa.

Utilizando o critério de deformação máxima e admitindo que o material se

comporta linearmente até a ruptura, temos:

1

tt E

XX <ε e 2

tt E

YY <ε

As deformações nas direções longitudinal e transversal são definidas da

forma:

2

221

1

11 EE

σν−

σ=ε

1

112

2

22 EE

σν−

σ=ε


Como 2

21

1

12

EEν

=ν , temos:

( )1

t2121

11

212

1

11 E

XE1

EE<σν−σ=

σν−

σ=ε

( )2

t1212

22

121

2

22 E

YE1

EE<σν−σ=

σν−

σ=ε

ou seja:

t2121 X<σν−σ

t1212 Y<σν−σ

Como σ1 = 12 σ2.

MPa12012

X

12

t2 =

ν−<σ

MPa183121Y

21

t2 =

ν−<σ

A ruptura se dará no menor valor de tensão, 120 MPa, e será na direção

longitudinal. O estado de tensão neste caso é σ1 = 12 x 120 = 1440 MPa e σ2 = 120

MPa.

Os valores encontrados utilizando o critério de tensão máxima σ1 = 420 MPa

e σ2 = 35 MPa e aqueles encontrados utilizando o critério de deformação máxima σ1

= 1440 MPa e σ2 = 120 MPa são contraditórios em valores e em modo de ruptura:

ruptura transversal no primeiro e longitudinal no segundo. Isto vem do fato de

estabelecer a relação entre tensão máxima e deformação máxima como

anteriormente, mas que devem ser mais complexas.


55..44 –– CCrriittéérriiooss iinntteerraattiivvooss

Nos critérios de tensão máxima e deformação máxima, assume-se que os

mecanismos de ruptura longitudinal, transversal e de cisalhamento se produzem de

forma independente. De maneira a levar em consideração todos estes mecanismos

simultaneamente como no critério de von Mises para materiais isotrópicos, foram

desenvolvidos os critérios interativos ou energéticos.

55..44..11 –– RReevviissããoo ddoo ccrriittéérriioo ddee vvoonn MMiisseess

Considere a energia de deformação total por unidade de volume em um

material isotrópico (densidade de energia de deformação) para um estado multiaxial

de tensões:

( ) ( ) ( )xz2

yz2

xz2

xzzyyx2

z2

y2

xtotal G21

EE21U τ+τ+τ+σσ+σσ+σσ

ν−σ+σ+σ= (5.7)

Esta energia de deformação total, medida nos eixos principais é da forma:

( ) ( )1332212

32

22

1total EE21U σσ+σσ+σσ

ν−σ+σ+σ= (5.8)

A energia de deformação total acima, é dividida em duas partes: uma

causando dilatação do material (mudanças volumétricas), e outra causando

distorções de cisalhamento, Figura 5.2. É interessante lembrar que em um material

dúctil, admite-se que o escoamento do material depende apenas da máxima tensão

de cisalhamento.


σ−σ2

σ−σ1

σ−σ3σ

σ

σ

Energia de distorção

+

Energia de dilatação

=

Energia de deformação elástica total

σ2

σ3

σ1

Figura 5.2 – Energias de deformação de dilatação e de distorção

A fim de facilitar a compreensão, somente o estado de tensão uniaxial será

considerado. A passagem para um estado de tensão multiaxial é automática. Desta

forma, para um estado de tensão uniaxial, as energias de dilatação e de distorção

são representadas da seguinte forma:

σ1/3

σ1/3

σ1/3 +

+

Energia de dilatação

σ1

Energia de distorção

=

Energia de deformação elástica total

σ1

Figura 5.3 – Energias de dilatação e de distorção num elemento solicitado

axialmente

Os círculos de tensão de Mohr para os estados de tensão com somente

energia de distorção são, Figura 5.4.


Plano 1-3 Plano 1-2

0 σ1/3 σ1/3

τ

σ

τmax = σ1/3

0 σ1/3 σ1/3

τ

σ

τmax = σ1/3

Figura 5.4 – Círculos de tensão de Mohr para o cisalhamento puro

No tensor correspondente a energia de dilatação, os componentes são

definidos como sendo a tensão “hidrostática” média:

3321 σ+σ+σ

=σ (5.9)

onde σ1 = σ2 = σ3 = p = σ .

A energia de dilatação é determinada substituindo σ1 = σ2 = σ3 = p na

expressão de energia de deformação total e em seguida substituindo

3p 321 σ+σ+σ

=σ= :

( )2321dilatação E6

21U σ+σ+σν−

= (5.10)


A energia de distorção é obtida subtraindo da energia de deformação total a

energia de dilatação:

( ) ( ) ([ 213

232

221distorção G12

1U σ−σ+σ−σ+σ−σ= ) ] (5.11)

A energia de distorção em um ensaio de tração simples, onde neste caso σ1 =

σesc e σ2 = σ3 = 0 é da forma:

G122

U2esc

distorçãoσ

= (5.12)

Igualando a energia de distorção de cisalhamento com a energia no ponto de

escoamento à tração simples, estabelece-se o critério de escoamento para tensão

combinada.

( ) ( ) ( ) 2esc

213

232

221 2 σ=σ−σ+σ−σ+σ−σ (5.13)

Freqüentemente a eq. (5.13) pode ser rearranjada, sendo a expressão

resultante chamada de tensão equivalente.

( ) ( ) ( )2 2equ 1 2 2 3 3 1

1σ σ σ σ σ σ σ2

= − + − + −

2

(5.14)

A eq. (5.13) pode também ser apresentada da forma:

1esc

1

esc

3

esc

3

esc

2

esc

2

esc

12

esc

32

esc

22

esc

1 =

σσ

σσ

−

σσ

σσ

−

σσ

σσ

−

σσ

+

σσ

+

σσ (5.15)

A equação acima é conhecida como sendo o critério de von Mises para um

estado multiaxial de tensões para materiais isotrópicos. Para um estado plano de


tensão, σ3 = 0, tem-se:

12

esc

2

esc

2

esc

12

esc

1 =

σσ

+

σσ

σσ

−

σσ (5.16)

55..44..22 –– CCrriittéérriioo ddee HHiillll

A energia de distorção para um material ortotrópico onde as tensões de

cisalhamento τ12, τ23 e τ31 são diferentes de zero, é obtida de maneira análoga à

obtida por um material isotrópico. Igualando a energia de distorção de cisalhamento

com a energia no ponto de ruptura, estabelece-se o critério de ruptura para tensão

combinada para materiais compostos.

( ) ( ) ( ) 1N2M2L2HGF 231

223

212

213

232

221 =τ+τ+τ+σ−σ+σ−σ+σ−σ (5.17)

As constantes F, G, H, L, M e N são parâmetros da lâmina analisada e estão

ligadas as tensões de ruptura do material.

Colocando a equação acima sob uma outra forma, tem-se:

( ) ( ) ( )1N2M2L2G2

H2F2HGGFHF231

223

21232

312123

22

21

=τ+τ+τ+σσ−

σσ−σσ−σ++σ++σ+ (5.18)

Para um ensaio em tração (ou compressão) na direção longitudinal (1), o

critério se reduz:

( ) 1XHF 2 =+ , ( ) 2X1HF =+ (5.19)

onde X é a tensão de ruptura em tração (ou compressão) na direção longitudinal.


Da mesma forma, para um ensaio em tração (ou compressão) nas direções

transversais (2 e 3), o critério se reduz:

( ) 1YGF 2 =+ , ( ) 2Y1GF =+ (5.20)

( ) 1ZHG 2 =+ , ( ) 2Z1HG =+ (5.21)

onde Y e Z são as tensões de ruptura em tração (ou compressão) nas direções

transversais.

Para um ensaio de cisalhamento no plano (1,2), o critério se reduz:

212S1L2 = (5.22)

onde S12 é a tensão de ruptura no cisalhamento no plano (1,2). Analogamente:

223S1M2 = (5.23)

231S1N2 = (5.24)

Substituindo os parâmetros F, G, H, L, M e N na equação do critério de

ruptura para tensão combinada para os materiais compostos, eq. (5.18), tem-se:

1SSSY

1X1

Z1

X1

Z1

Y1

Z1

Y1

X1

ZYX2

31

312

23

232

12

1213222

3222221222

23

22

21

=

τ+

τ+

τ+σσ

−+−

σσ

−+−σσ

−+−

σ+

σ+

σ

(5.25)

Para um estado plano de tensão, onde σ3 = τ23 = τ31 = 0:


1SZ

1Y1

X1

YX

2

12

1221222

22

21 =

τ+σσ

−+−

σ+

σ (5.26)

55..44..33 –– CCrriittéérriioo ddee TTssaaii--HHiillll

No critério de Tsai-Hill, o critério de Hill analisado para o estado plano de

tensão é simplificado fazendo-se Z = Y.

1SXYX

2

12

122

212

22

1 =

τ+

σσ−

σ+

σ (5.27)

55..44..44 –– CCrriittéérriioo ddee HHooffffmmaann

No critério de Hoffman é levado em consideração a diferença do

comportamento em tração e em compressão. Este critério admite que a ruptura

acontece quando a igualdade é verificada:

( ) ( ) ( )1CCCCC

CCCC2319

2238

21273625

142

1332

3222

211

=τ+τ+τ+σ+σ+

σ+σ−σ+σ−σ+σ−σ (5.28)

Observe que a diferença do critério de Hoffman para o critério de Hill está

na adição dos termos relativos aos parâmetros C4, C5, C6.

As constantes Ci são determinadas a partir de ensaios experimentais para a

obtenção das tensões de ruptura em tração e em compressão.


231

9

223

8

212

7

ct6

ct5

ct4

ctctct3

ctctct2

ctctct1

S1C

S1C

S1C

Z1

Z1C

Y1

Y1C

X1

X1C

ZZ1

YY1

XX1

21C

YY1

XX1

ZZ1

21C

XX1

ZZ1

YY1

21C

=

=

=

−=

−=

−=

−+=

−+=

−+=

(5.29)

Considerando somente o estado plano de tensão, o critério de Hoffman se põe

da seguinte maneira:

1SYY

YYXX

XXXXYYXX

2

12

122

ct

tc1

ct

tc

ct

21

ct

22

ct

21 =

τ+σ

−+σ

−+

σσ−

σ+

σ (5.30)

55..44..55 –– CCrriittéérriioo ddee TTssaaii--WWuu

O critério de Tsai-Wu foi desenvolvido de maneira a melhorar a correlação

entre os resultados experimentais e teóricos a partir da introdução de parâmetros

adicionais. Considerando somente o estado plano de tensão, o critério de Tsai-Wu se

põe da seguinte forma:


1SY

1Y1

X1

X1

XXF2

YYXX

2

12

122

ct1

ctct

2112

ct

22

ct

21 =

τ+σ

−+σ

−+

σσ+

σ+

σ (5.31)

onde F12 é um coeficiente de acoplamento expresso da forma:

( )

σ

++σ

−+−−

σ= 2

ct

cttc

ct

cttc212 YY

XX1YY

YYXX

XX12

1F (5.32)

ou:

( )

σ

+++

σ

−+−−

σ=

2SXX

YYXX1

2YY

YYXXXX12F

245

c12

ct

ct

ct45tc

ct

cttc2

4512 (5.33)

onde σ e σ45 são as tensões de ruptura determinadas respectivamente em ensaios

biaxial (σ) e de tração à 45° (σ45). O coeficiente de acoplamento F12 é normalmente

utilizado para ajustar aos resultados obtidos experimentalmente e pode variar de

–1< F12<1. Fazendo F12 = –1/2, o critério de Tsai-Wu se transforma no critério de

Hoffman. Se, além disso fizermos Xt = X = X e Yt = Yc = Y, o critério se transforma

no critério de Tsai-Hill.

c

Exemplo 5.1 – Considere um laminado simétrico (0°/-45°/+45°)S em kevlar/epóxi

submetido a um carregamento do tipo membrana Nx = 1000 N/mm. Verifique,

utilizando o critérios da máxima tensão e de Tsai-Hill, se haverá ruptura em

qualquer das lâminas de espessura 0,5 mm. Considere: E1 = 76,0 GPa, E2 = 5,5 GPa,

G12 = 2,0 GPa, ν12 = 0,35, Xt = 1380 MPa, Xc = – 280 MPa, Yt = 28 MPa, Yc = – 140 MPa

e S12 = 55 MPa.


Z = –1,5 mm

Z = –1,0 mm Z = – 0,5 mm

Z = 1,5 mm

Z = 1,0 mm Z = 0,5 mm

x

z

Lâmina à 0° Lâmina à -45° Lâmina à +45° Lâmina à +45° Lâmina à -45° Lâmina à 0°


(1, 2, 3) é dada pela eq. (4.50). Para a lâmina à 0°, a matriz constitutiva no sistema

de referência (x, y, z) é a mesma dada pela eq. (4.50). Para as lâminas orientadas à

-45° e +45°, as matrizes constitutivas no sistema de referência são dadas pelas eqs.

(4.51) e (4.54) respectivamente.

A matriz de comportamento para este laminado é da forma:

3

xy

y

x

0xy

0x

0x

xy

y

x

xy

y

x

10

22,1690,889,800090,848,2409,1600089,809,161,13700000017,4100000064,5200,41000000,417,123

0M0M0M0N0N

1000N

κκκγεε

=

=====

=

(5.34)



ε0x = 0,109e-01, ε0

y = -0,849e-02 , γ0xy = 0,0, κx = 0,0, κy = 0,0, κxy = 0,0

O estado de tensões medido no sistema de coordenadas de referência (x, y,

z) em cada ponto de uma lâmina distante z da superfície neutra é obtido usando a


eq. (3.23). Para o ponto à z = 1,5 mm e z = 1,0 mm, ou para o ponto à z = -1,5 mm e z

= - 1,0 mm na lâmina à 0°, o estado de tensão é o mesmo, já que as curvaturas são

nulas:

x3

y

xy 0

76,7 1,94 0 10,9 1,5 x 0,01,94 5,55 0 10 8,49 1,5 x 0,0 10

0 0 2,0 0,0 1,5 x 00

3−

σ + σ = − + +τ

(5.35)

Logo:

x 1

y 2

12xy 00

819,5625,65 MPa

0

σ σ σ = σ = − ττ

(5.36)

Pelo critério de máxima tensão, temos:

OK118,0140

65,25Y

OK159,01380

56,819X

c

2

t

1

<=−

−=

σ

<==σ

Pelo critério de Tsai-Hill, temos:

OK140,0550

1380)65,25.(56,819

14065,25

138056,819 2

2

22

<=

+

−

−

−−

+

Para o ponto à z = 1,0 mm e para z = 0,5 mm, ou para o ponto à z = -1,5 mm e

para z = - 0,5 mm na lâmina à - 45°, o estado de deformação é o mesmo, já que as

curvaturas são nulas:


x3

y

xy 45

23,5 19,5 17,8 10,9 1,0 x 0,019,5 23,5 17,8 10 8,49 1,0 x 0,0 1017,8 17,8 19,6 0,0 1,0 x 0,0

3−

−

σ + σ = − + +τ

(5.37)

O que resulta:

x

y

xy 45

90,59513,035 MPa42,898

−

σ σ = τ

(5.38)

Fazendo a transformação de eixos utilizando a eq. (3.9), e sabendo que

2cos( 45)2

− = e 2sen( 45)2

− = − , temos:

1

2

12

90,595 1 1 2113,035 1 1 22

42,898 1 1 0

− σ = σ − τ

(5.39)

Logo:

1

2

12 45

1 1 2 90,595 94,7131 1 1 2 13,035 8,917 MPa2

1 1 0 42,898 38,78−

σ σ = − = τ − −

(5.40)


1

t

2

c

12

12

94,713 0,069 1 OKX 1380

8,917 0,318 1 OKY 28

38,78 0,71 1 OKS 55

σ= = <

σ= = <

τ −= = <

−



2 2 2

294,713 8,917 94,713.8,917 38,78 0,603 1 OK1380 28 551380

+ − + = <

Para o ponto à z = 0,5 mm ou para o ponto à z = - 0,5 mm na lâmina à + 45°, o

estado de deformação é também o mesmo:

x3

y

xy 45

23,5 19,5 17,8 10,9 1,0 x 0,019,5 23,5 17,8 10 8,49 1,0 x 0,0 1017,8 17,8 19,6 0,0 1,0 x 0,0

3−

σ − + σ = − − + − − +τ

(5.41)

O que resulta:

x

y

xy 45

90,59513,035 MPa42,898

σ σ = −τ

(5.42)


2cos 452

= e 2sen452

= , temos:

1

2

12

90,595 1 1 2113,035 1 1 22

42,898 1 1 0

σ = − − −

σ τ

(5.43)

Logo:

1

2

12 45

1 1 2 90,595 94,7131 1 1 2 13,035 8,917 MPa2

1 1 0 42,898 38,78

σ − σ = = τ − −

(5.44)



1

t

2

c

12

94,713 0,069 1 OKX 1380

8,917 0,318 1 OKY 28S 38,78 0,71 1 OKS 55

σ= = <

σ= = <

= = <


2 2 2

294,713 8,917 94,713.8,917 38,78 0,603 1 OK1380 28 551380

+ − + = <

Exemplo 5.2 – Considere o laminado simétrico (0°/-45°/+45°)S em kevlar/epóxi

submetido à um momento Mx = - 500 Nmm/mm. Utilize os critérios de Tsai-Hill,

Hoffman e Tsai-Wu para verificar se haverá ruptura em alguma das lâminas de

espessura 0,5 mm. Considere: E1 = 76,0 GPa, E2 = 5,5 GPa, G12 = 2,0 GPa, ν12 = 0,35, Xt

= 1380 MPa, Xc = -280 MPa, Yt = 28 MPa, Yc = -140 MPa e S12 = 55 MPa.


0xx0

y x0

xy xy

x x

y y

xy xy

N 0 123,7 41,00 0 0 0 0N 0 41,00 52,64 0 0 0 0N 0 0 0 41,17 0 0 0

1M 500 0 0 0 137,1 16,09 8,89

M 0 0 0 0 16,09 24,48 8,900 0 0 8,89 8,90 16,22M 0

ε= = ε = γ = = − κ = κ

= κ

30 (5.45)



ε0x = 0,0, ε0

y = 0,0 , γ0xy = 0,0, κx = -0,397e-02, κy = 0,227e-02, κxy = 0,930e-03


O estado de tensões medido no sistema de coordenadas de referência (x, y,

z) em cada ponto de uma lâmina distante z da superfície neutra é obtido usando a

eq. (4.46). Pelo fato do carregamento ser do tipo flexão e o laminado ser simétrico,

basta apenas aplicar um critério de ruptura no ponto mais distante da superfície

neutra na lâmina. Neste exemplo, os critérios de ruptura serão aplicados somente

nos pontos acima da superfície neutra, devendo o mesmo ser feito nos pontos abaixo

da superfície neutra. Para o ponto à z = 1,5 mm na lâmina à 0°, o estado de tensão é

da forma:

x3

y

xy 0

76,7 1,94 0 0,0 1,5 x 3,971,94 5,55 0 10 0,0 1,5 x 2,27 10

0 0 2,0 0,0 1,5 x 0,93

3−

σ + σ = + +τ

− (5.46)

Logo:

x 1

y 2

12xy 00

450,147,35 MPa2,79

σ σ − σ = σ = ττ

(5.47)

Pelo critério de Tsai-Hill:

2 2 2

2450,14 7,35 450,14.7,35 2,79 2,70 1 FALHA

280 28 55280− − + − + = > −

Pelo critério de Hoffman

FALHA116,25579,235,7

)140.(2828140

)14,450()280.(1380

1380280)280.(1380

35,7).14,450()140.(28

35,7)280.(1380

)14,450(

2

22

−>−=

+

−−−

+−−

−−+

−−

−−

+−

−


Pelo critério de Tsai-Wu, com F12 = 1, temos:

FALHA117,25579,235,7

)140.(2828140

)14,450()280.(1380

1380280)280.(1380

35,7).14,450(2)140.(28

35,7)280.(1380

)14,450(

2

22

−>−=

+

−−−

+−−

−−+

−−

−−

+−

−

Para o ponto à z = 1,0 mm na lâmina à - 45°, o estado de tensão é:

x3

y

xy 45

23,5 19,5 17,8 0,0 1,0 x 3,9719,5 23,5 17,8 10 0,0 1,0 x 2,27 1017,8 17,8 19,6 0,0 1,0 x 0,93

3−

−

σ + σ = + +τ

− (5.48)

O que resulta:

x

y

xy 45

32,4767,516 MPa12,032

−

σ − σ = − −τ

(5.49)


2cos( 45)2

− = e 2sen( 45)2

− = − , temos:

1

2

12

32,476 1 1 217,516 1 1 22

12,032 1 1 0

− − − = − −

σ σ τ

(5.50)

Logo:

1

2

12 45

1 1 2 32,476 32,0281 1 1 2 7,516 7,964 MPa2

1 1 0 12,032 12,48−

σ − − σ = − − = − τ − −

(5.51)



2 2 2

232,028 7,964 32,028.( 7,964) 12,48 0,06 1 OK

280 140 55280− − − − + − + = < − −

Pelo critério de Hoffman:

2 2

2

( 32,028) ( 7,964) 32,028.7,964 280 1380 ( 32,028)1380.( 280) 28.( 140) 1380.( 280) 1380.( 280)

140 28 12,48( 7,964) 0,45 1 OK28.( 140) 55

− − − −+ − + − +

− − − −

− − − + = − < − −


2 2

2

( 32,028) ( 7,964) 32,028.7,964 280 1380 ( 32,028)1380.( 280) 28.( 140) 1380.( 280) 1380.( 280)

140 28 12,48( 7,964) 0,45 1 OK28.( 140) 55

− − − −+ − + − +

− − − −

− − − + = − < − −

Para o ponto à z = 0,5 mm na lâmina à + 45°, o estado de tensão é:

x3

y

xy 45

23,5 19,5 17,8 0,0 0,5 x 3,9719,5 23,5 17,8 10 0,0 0,5 x 2,27 1017,8 17,8 19,6 0,0 0,5 x 0,93

3−

σ − + − σ = − + − − +τ

(5.52)

O que resulta:

x

y

xy 45

32,79220,312 MPa

24,244

σ − σ = − τ

(5.53)



2cos 452

= e 2sen452

= , temos:

1

2

12

32,792 1 1 2120,312 1 1 22

24,244 1 1 0

− σ − = − − τ

σ

(5.54)

Logo:

1

2

12 45

1 1 2 32,792 50,7961 1 1 2 20,312 2,303 MPa2

1 1 0 24,244 6,24

σ − − − σ = − = − τ − −

(5.55)


2 2 2

250,796 2,303 ( 50,796).( 2,303) 6,24 0,04 1 OK

280 140 55( 280) − − − − + − + = < − − −


2 2

2

( 50,796) ( 2,303) ( 50,796).( 2,303) 280 1380 ( 50,796)1380.( 280) 28.( 140) 1380.( 280) 1380.( 280)

140 28 6,24( 2,303) 0,31 1 OK28.( 140) 55

− − − − − −+ − + − +

− − − −

− − − + = − < − −


2 2

2

( 50,796) ( 2,303) ( 50,796).( 2,303) 280 1380 ( 50,796)1380.( 280) 28.( 140) 1380.( 280) 1380.( 280)

140 28 6,24( 2,303) 0,31 1 OK28.( 140) 55

− − − − − −+ − + − +

− − − −

− − − + = − < − −


Exemplo 5.3 – Considere o laminado simétrico (0°/90°)S em kevlar/epóxi submetido

à uma variação de temperatura de – 100° C. Utilize os critérios de Tsai-Hill,

Hoffman e Tsai-Wu para verificar se haverá ruptura em alguma das lâminas de

espessura 0,5 mm. Considere: E1 = 76,0 GPa, E2 = 5,5 GPa, G12 = 2,0 GPa, ν12 = 0,35,

α1 = -0,4 x 10-5 °C-1, α2 = 5,8 x 10-5 °C-1, Xt = 1380 MPa, Xc = -280 MPa, Yt = 28 MPa,

Yc = -140 MPa e S12 = 55 MPa.


(1, 2, 3) é dada pela eq. (4.50). Para as lâminas orientadas à 90°, a matriz

constitutiva no sistema de referência é da forma:

=

390

5,55 1,94 0Q 1,94 76,7 0 10 M

0 0 2,0Pa (5.56)

As deformações de origem térmica das lâminas à 0° e à 90° são

respectivamente:

xt 1t3

yt 1t

12txyt 0

0,45,8 100

−

ε ε ε = ε = − γγ

(5.57)

xt 2t3

yt 1t

12txyt 90

5,80,4 100

−

ε ε − ε = ε = γγ

(5.58)



0xx0

y x0

xy xy 3

x x

y y

xy xy

N 0 82,23 3,88 0 0 0 0 12,00N 0 3,88 82,23 0 0 0 0 12,00N 0 0 0 4,00 0 0 0 0

10M 0 0 0 0 45,19 1,30 0 0M 0 0 0 0 1,30 24,48 0 0

0 0 0 0 0 1,33 0M 0

ε= − = ε − = γ = − = κ = κ

= κ

(5.59)



ε0x = -0,139e-03, ε0

y = -0,139e-03, γ0xy = 0,0, κx = 0,0, κy = 0,0, κxy = 0,0

−

O efeito da temperatura nas tensões em uma lâmina, eq. (3.22). Assim, as

tensões nas lâminas à 0° e à 90° obtidas no sistema de referência são:

x3 3

y

xy 0

76,7 1,94 0 0,139 0,4 30,361,94 5,55 0 10 0,139 5,8 10 30,37 MPa

0 0 2,0 0 0

−

σ − − σ = − + = τ

(5.60)

x3 3

y

xy 90

5,55 1,94 0 0,139 5,8 30,371,94 76,7 0 10 0,139 0,4 10 30,36 MPa

0 0 2,0 0 0

−

σ − + σ = − − = − τ

(5.61)

Logo, as tensões nas lâminas à 0° e à 90° obtidas no sistema de ortotropia

são:

1 x

2 y

12 xy0 0

30,3630,37 MPa

0

σ σ − σ = σ =

τ τ

(5.62)


y1

2 x

12 xy90 90

30,3730,36 MPa

0

σ σ − σ = σ =

τ τ

(5.63)

Aplicando os critérios de falha na lâmina à 0° e à 90°, tem-se:


2 2

230,37 30,36 ( 30,37).(30,36) 1,2 1 FALHA280 28 ( 280)

− − + − = > − −


2 2( 30,37) (30,36) ( 30,37).(30,36) 280 1380 ( 30,37)1380.( 280) 28.( 140) 1380.( 280) 1380.( 280)

140 28 (30,36) 0,93 1 OK28.( 140)

− − − −+ − + −

− − − −− −

= <−

+


2 2( 30,37) (30,36) ( 30,37).(30,36) 280 1380 ( 30,37)1380.( 280) 28.( 140) 1380.( 280) 1380.( 280)

140 28 (30,36) 0,93 1 OK28.( 140)

− − − −+ − + −

− − − −− −

= <−

+

55..44 –– MMééttooddoo ddee ddeeggrraaddaaççããoo

Os métodos de degradação aplicados à estruturas laminadas são métodos

iterativos de avaliação de falha em lâminas, que consistem em alterar as

propriedades mecânicas de lâminas rompidas segundo o modo de falha identificado,

de forma a melhor avaliar o processo de ruptura da estrutura. Os modos de falha de

uma lâmina podem ser: trinca da matriz, ruptura da fibra, delaminação, etc. São


inúmeros os métodos de degradação utilizados para alterar as propriedades

mecânicas de lâminas rompidas. Um dos métodos mais simples considera que, na

falha por trinca da matriz, as propriedades E2, E3, ν12, ν13, ν23, G12, G13 e G23 são

anuladas, E1 permanecendo inalterado. Na falha por ruptura da fibra, as

propriedades E1, ν12, ν13, G12 e G13 são anuladas, enquanto E2, E3, ν23 e G23

permanecem inalteradas. Na falha por delaminação, as propriedades G13 e G23 são

anuladas, enquanto que as restantes permanecem inalteradas.

Exemplo 5.4 – Considere um laminado simétrico (0°/90°/90°/0°) em kevlar/epóxi

com espessura de 0,5 mm para cada lâmina. Aplique um método de degradação de

maneira a verificar se todo o laminado romperá quando submetido a um

carregamento Nx=500 M/mm. Considere: E1 = 76,0 GPa, E2 = 5,5 GPa, G12 = 2,0 GPa,

ν12 = 0,35, XT = 1380 MPa, XC = -280 MPa, YT = 28 MPa, YC = -280 MPa e S = 55 MPa.

Nx Nx

z y

x


3

xy

y

x

0xy

0x

0x

xy

y

x

xy

y

x

10

33,100000020,4529,1000029,120,4500000000,400000025,8288,3000088,325,82

0M0M0M0N0N

500N

κκκγεε

=

=====

=

(5.64)


Resolvendo o sistema dado pela eq. (5.61), as deformações e as curvaturas

determinadas são:

ε0x = 6,1e-03, ε0

y = -2,9e-04 , γ0xy = 0,0, κx = 0,0, κy = 0,0, κxy = 0,0

Para o ponto à z = 1,0 mm na lâmina à 0°, o estado de tensão é da forma:

x3

y

xy 0

76,7 1,94 0 6,00 1,0 x 0,01,94 5,55 0 10 0,29 1,0 x 0,0 10

0 0 2,0 0,00 1,0 x 0,0

3−

σ + σ = − + +τ

(5.65)

Logo:

1 x

2 y

12 xy0 0

459,6410,03 MPa

0

σ σ σ = σ =

τ τ

(5.66)


OK136,028

03,10Y

OK133,01380

64,459X

c

2

t

1

<==σ

<==σ

Para o ponto à z = 0,5 mm na lâmina à 90°, o estado de tensão é:

x3

y

xy 90

5,55 1,94 0 6,00 1,0 x 0,01,94 76,7 0 10 0,29 1,0 x 0,0 10

0 0 2,0 0,00 1,0 x 0,0

3−

σ + σ = − + +τ

(5.67)

O que resulta:


x

y

xy 90

32,7410,60 MPa

0

σ σ = − τ

(5.68)

Logo:

y1

2 x

12 xy90 90

10,6032,74 MPa

0

σ σ − σ = σ =

τ τ

(5.69)


FALHA117,128

74,32Y

OK104,0280

60,10X

c

2

t

1

<==σ

<=−

−=

σ

Considerando que o modo de falha das lâminas à 90° é do tipo trinca da

matriz, as propriedades mecânicas somente destas lâminas serão alteradas da

seguinte forma: E2 = 0, ν12 = 0 e G12 = 0. Logo a matriz constitutiva para estas

lâminas é agora da forma:

[ ] MPa1000007,760000

Q 3900

= (5.70)

A matriz de comportamento para o laminado considerado degradado é da

forma:


3

xy

y

x

0xy

0x

0x

xy

y

x

xy

y

x

10

17,100000020,4513,1000013,174,4400000000,200000025,8294,1000094,17,76

0M0M0M0N0N

500N

κκκγεε

=

=====

=

(5.71)

Resolvendo o novo sistema de equações dado pela eq. (5.68), as novas

deformações e as curvaturas são:

ε0x = 6,5e-03, ε0

y =-1,5e-04 , γ0xy = 0,0, κx = 0,0, κy = 0,0, κxy = 0,0


x3

y

xy 0

76,7 1,94 0 6,50 1,0 x 0,01,94 5,55 0 10 0,15 1,0 x 0,0 10

0 0 2,0 0,00 1,0 x 0,0

3−

σ + σ = − + +τ

(5.72)

Logo:

1 x

2 y

12 xy0 0

498,2611,78 MPa

0

σ σ σ = σ =

τ τ

(5.73)


OK142,02878,11

Y

OK136,01380

26,498X

c

2

t

1

<==σ

<==σ

Para o ponto à z = 0,5 mm na lâmina à 90°, o estado de tensão é:


x3

y

xy 90

0 0 0 6,50 0,5 x 0,00 76,7 0 10 0,15 0,5 x 0,0 100 0 0 0,00 0,5 x 0,0

3−

σ + σ = − + +τ

a

(5.74)

O que resulta:

x

y

xy 90

011,51 MPa0

σ σ = − τ

(5.75)

Logo:

y1

2 x

12 xy90 90

11,510 MP0

σ σ − σ = σ =

τ τ

(5.76)


1

t

2

11,51 0,04 1 OKX 280

JA TINHA OCORRIDO FALHA

σ −= = <

−

σ ==>

Conclusão: Como não houve mais nenhuma falha, o laminado suportaria o

carregamento mesmo tendo ocorrido falha em uma das lâminas.

Exemplo 5.5 – Considere um laminado simétrico (0°/-45°/+45°)S em kevlar/epóxi

com espessura de 0,5 mm para cada lâmina. Aplique um método de degradação para

verificar se haverá se todo o laminado se romperá quando submetido a um

carregamento W = 20 kN/m2. Considere: E1 = 76,0 GPa, E2 = 5,5 GPa, G12 = 2,0 GPa,

ν12 = 0,35, XT = 1380 MPa, XC = -280 MPa, YT = 28 MPa, YC = -280 MPa e S = 55 MPa.


100 mm

500 mm

W = 20 kN/m2

z y

x

Considerando que o carregamento W pode ser substituído por uma força

distribuída em x = 250 mm de intensidade 10 kN/m, as reações nos apoios são iguais

e de intensidade 5 kN/m. Assim, o momento máximo situado em x = 250 mm, pode

ser obtido da forma:

5 kN/m

100 mm

250 mm

Mx

z y

x

Impondo o equilíbrio estático com relação aos momentos em torno do eixo y,

temos:

Mx – 5000 N/m.125 mm + 5000 N/m.250 mm = 0

Mx = – 625 Nmm/mm

A matriz de comportamento, é neste caso igual a da eq. (5.34). Logo o sistema

a ser resolvido é da forma:


3

xy

y

x

0xy

0x

0x

xy

y

x

xy

y

x

10

22,1690,889,800090,848,2409,1600089,809,161,13700000017,4100000064,5200,41000000,417,123

0M0M625M0N0N0N

κκκγεε

=

==−====

(5.77)



ε0x = 0,0, ε0

y = 0,0 , γ0xy = 0,0, κx = -0,497e-02, κy = 0,284e-02, κxy = 0,116e-02


x3

y

xy 0

76,7 1,94 0 0,0 1,5 x 4,971,94 5,55 0 10 0,0 1,5 x 2,84 10

0 0 2,0 0,0 1,5 x 1,16

3−

σ + σ = + +τ

− (5.78)

Logo:

x 1

y 2

12xy 00

563,539,18 MPa3,48

σ σ − σ = σ = ττ

(5.79)


1

t

2

c

12

563,53 2,01 1 FALHAX 280

9,18 0,33 1 OKY 28S 3,48 0,06 1 OKS 55

σ −= = >

−

σ= = <

= = <



x3

y

xy 45

23,5 19,5 17,8 0,0 1,0 x 4,9719,5 23,5 17,8 10 0,0 1,0 x 2,84 1017,8 17,8 19,6 0,0 1,0 x 1,16

3−

−

σ + σ = + +τ

− (5.80)

O que resulta:

x

y

xy 45

40,7679,527 MPa15,178

−

σ − σ = − −τ

(5.81)


2cos( 45)2

− = e 2sen( 45)2

− = − , temos:

1

2

12

40,767 1 1 219,527 1 1 22

15,178 1 1 0

− − − = − −

σ σ τ

(5.82)

Logo:

1

2

12 45

1 1 2 40,767 40,3251 1 1 2 9,527 9,969 MPa2

1 1 0 15,178 15,62−

σ − − σ = − − = − τ − −

(5.83)


1

t

2

c

12

40,325 0,14 1 OKX 280

9,969 0,07 1 OKY 140S 15,62 0,28 1 OKS 55

σ −= = <

−

σ −= = <

−

= = <



x3

y

xy 45

23,5 19,5 17,8 0,0 0,5 x 4,9719,5 23,5 17,8 10 0,0 0,5 x 2,84 1017,8 17,8 19,6 0,0 0,5 x 1,16

3−

σ − + − σ = − + − − +τ

(5.84)

O que resulta:

x

y

xy 45

41,03225,412 MPa

30,325

σ − σ = − τ

(5.85)


2cos452

= e 2sen452

= , temos:

1

2

12

41,032 1 1 2125,412 1 1 22

30,325 1 1 0

− σ − = − − τ

σ

(5.86)

Logo:

1

2

12 45

1 1 2 41,032 63,5471 1 1 2 25,412 2,897 MPa2

1 1 0 30,325 7,81

σ − − σ = − − = − τ − −

(5.87)


1

t

2

c

12

63,547 0,227 1 OKX 280

2,897 0,021 1 OKY 140S 7,81 0,142 1 OKS 55

σ −= = <

−

σ −= = <

−

−= = <

−


Para o ponto à z = -1,5 mm na lâmina à 0°, o estado de tensão é da forma:

x 1

y 2

12xy 00

563,539,18 MPa3,48

σ σ σ = σ = − τ −τ

(5.88)


1

t

2

c

12

563,53 0,408 1 OKX 1380

9,18 0,033 1 OKY 280S 3,48 0,06 1 OKS 55

σ= = <

σ −= = <

−

−= = <

−

Para o ponto à z = -1,0 mm na lâmina à - 45°, o estado de tensão é:

x

y

xy 45

40,7679,527 MPa15,178

−

σ σ = τ

(5.89)

Fazendo a transformação de eixos utilizando a eq. (3.9), as tensões no

sistema de ortotropia são:

1

2

12 45

40,3259,969 MPa15,62

−

σ σ = τ −

(5.90)



1

t

2

t

12

40,325 0,03 1 OKX 1380

9,969 0,36 1 OKY 28S 15,62 0,28 1 OKS 55

σ= = <

σ= = <

−= = <

−

Para o ponto à z = - 0,5 mm na lâmina à + 45°, o estado de tensão é:

x

y

xy 45

41,03225,412 MPa30,325

σ σ = −τ

(5.91)



1

2

12 45

63,5472,897 MPa7,81

σ σ = τ

(5.92)


1

t

2

c

12

63,547 0,046 1 OKX 1380

2,897 0,103 1 OKY 28S 7,81 0,142 1 OKS 55

σ= = <

σ= = <

= = <

Considerando que a falha que ocorreu na lâmina à 0° e na posição z = 1,5 mm é

do tipo trinca das fibras, as propriedades mecânicas, somente desta lâmina, serão


alteradas da seguinte forma: E1 = 0, ν12 = 0 e G12 = 0. Logo a matriz constitutiva para

esta lâmina é agora da forma:

30

0 0 0Q 0 5,55 0 10 M

0 0 0

=

Pa

3

(5.93)

A matriz de comportamento para o laminado considerado degradado é então

da forma:

0xx0

y x0

xy xy

x x

y y

xy xy

N 0 85,36 40,03 0 0 0 0N 0 40,03 52,62 0 0 0 0N 0 0 0 40,17 0 0 0

1M 625 0 0 0 76,38 14,56 8,89

M 0 0 0 0 14,56 24,48 8,900 0 0 8,89 8,90 14,64M 0

ε= = ε = γ = = − κ = κ

= κ

30 (5.94)



ε0x = -0,194e-01, ε0

y = 0,143e-01, γ0xy = 0,249e-03, κx = -0,229e-01, κy = 0,981e-02,

κxy = 0,799e-02


x3

y

xy 0

0 0 0 19,4 1,5 x 22,90 5,55 0 10 14,3 1,5 x 9,81 100 0 0 0,249 1,5 x 7,99

−

σ − + σ = + +τ

− (5.95)

Logo:


x 1

y 2

12xy 00

0161,03 MPa

0

σ σ σ = σ = ττ

(5.96)


1

2

c

12

JA TINHA OCORRIDO FALHA161,03 5,75 1 FALHA

Y 28S 0 0,0 1 OKS 55

σ ==>

σ= = >

= = <


x3 3

y

xy 45

23,5 19,5 17,8 19,4 1,0 x 22,919,5 23,5 17,8 10 14,3 1,0 x 9,81 1017,8 17,8 19,6 0,249 1,0 x 7,99

−

−

σ − + σ = + +τ

− (5.97)

O que resulta:

x

y

xy 45

379,60113,56 MPa164,08

−

σ − σ = − −τ

(5.98)



1

2

12 45

410,6682,5 MPa

133,02−

σ − σ = − τ

(5.99)



1

t

2

c

12

410,66 1,47 1 FALHAX 280

82,05 0,59 1 OKY 140S 133,02 2,42 1 FALHAS 55

σ −= = >

−

σ −= = <

−

= = >


x3 3

y

xy 45

23,5 19,5 17,8 19,4 0,5 x 22,919,5 23,5 17,8 10 14,3 0,5 x 9,81 1017,8 17,8 19,6 0,249 0,5 x 7,99

−

σ − − + − σ = − + − − +τ

(5.100)

O que resulta:

x

y

xy 45

426,02225,80 MPa291,31

σ − σ = − τ

(5.101)



1

2

12 45

617,2234,6 MPa

100,11

σ − σ = − τ −

(5.102)



1

t

2

c

12

617,22 2,20 1 FALHAX 280

225,80 0,25 1 OKY 140S 100,11 1,82 1 FALHAS 55

σ −= = >

−

σ −= = <

−

−= = >

−

Para o ponto à z = -1,5 mm na lâmina à 0°, o estado de tensão é da forma:

x3

y

xy 0

76,7 1,94 0 19,4 1,5 x 22,91,94 5,55 0 10 14,3 1,5 x 9,81 10

0 0 2,0 0,249 1,5 x 7,99

3−

σ − − σ = − −τ

− (5.103)

Logo:

x 1

y 2

12xy 00

1145,8626,70 MPa23,47

σ σ σ = σ = τ −τ

(5.104)


1

t

2

c

12

1145,86 0,83 1 OKX 1380

26,7 0,95 1 OKY 28S 23,47 0,43 1 OKS 55

σ= = <

σ= = <

−= = <

−

Para o ponto à z = - 1,0 mm na lâmina à - 45°, o estado de tensão é:

x3 3

y

xy 45

23,5 19,5 17,8 19,4 1,0 x 22,919,5 23,5 17,8 10 14,3 1,0 x 9,81 1017,8 17,8 19,6 0,249 1,0 x 7,99

−

−

σ − − σ = − −τ

− (5.105)


O que resulta:

x

y

xy 45

32,0235,98 MPa

9,50−

σ σ = −τ

(5.106)



1

2

12 45

43,5024,49 MPa

1,98−

σ σ = τ −

(5.107)


1

t

2

c

12

43,50 0,03 1 OKX 1380

24,49 0,87 1 OKY 28S 1,98 0,04 1 OKS 55

σ= = <

σ= = <

−= = <

−

Para o ponto à z = - 0,5 mm na lâmina à + 45°, o estado de tensão é:

x3 3

y

xy 45

23,5 19,5 17,8 19,4 0,5 x 22,919,5 23,5 17,8 10 14,3 0,5 x 9,81 1017,8 17,8 19,6 0,249 0,5 x 7,99

−

σ − − − − σ = − − − − −τ

(5.108)

O que resulta:

x

y

xy 45

63,06132,43 MPa

99,14

σ σ = −τ

(5.109)




1

2

12 45

196,891,40 MPa

34,69

σ σ = − τ −

(5.110)


1

t

2

c

12

196,89 0,14 1 OKX 1380

1,40 0,01 1 OKY 140S 34,69 0,63 1 OKS 55

σ= = <

σ −= = <

−

−= = <

−

Observa-se que o número de lâminas que falharam aumentou, o que significa

que uma nova iteração considerando a perda de rigidez em função do modo de falha

deve ser realizado. Conclui-se dessa forma que, este laminado não resistirá ao

carregamento considerado.

Método dos Elementos Finitos aplicados aos Materiais Compostos 142

66 –– MMÉÉTTOODDOO DDOOSS EELLEEMMEENNTTOOSS FFIINNIITTOOSS AAPPLLIICCAADDOO AAOOSS MMAATTEERRIIAAIISS

CCOOMMPPOOSSTTOOSS

No método dos elementos finitos aplicados a estruturas em material

composto laminado a Teoria de Primeira Ordem é empregada. As matrizes de

rigidez e de massa são obtidas pela formulação da energia de deformação e pela

energia cinética de um elemento.

66..11 –– EEnneerrggiiaa ddee ddeeffoorrmmaaççããoo eelleemmeennttaarr

O estado plano de tensões é como segue:

κκκ

+

γεε

=

∂β∂

+∂α∂

∂β∂

∂α∂

+

∂∂

+∂

∂∂

∂∂

∂

=

∂∂

+∂∂

∂∂∂∂

=

γεε

xy

y

x

xy

y

x

xy

y

x

z

xy

y

xz

xv

yu

yvxu

xv

yu

yvxu

0

0

0

00

0

0

(6.1)

onde ε0x, ε0

y são deformações normais nas direções x e y na superfície neutra, γ0xy é

a deformação angular no plano (x,y) na superfície média, e κx, κy e κxy são as

curvaturas.

As deformações cisalhantes transversas são da forma:

o

yz

xz o

wv wz y yu w wz x x

∂∂ ∂ + β + γ ∂ ∂ ∂ = = γ ∂ ∂ ∂ + α + ∂ ∂ ∂

(6.2)

onde α e β são as inclinações de seção transversal nos planos (x,z) e (y,z).


A energia de deformação em um elemento infinitesimal pode ser colocada da

forma: t

tx xyz yz

e y yxz xzV V

xy xy

1 1U dV2 2

ε σγ τ = ε σ + γ τ γ τ

∫ ∫ dV (6.3)

onde, a primeira integral corresponde a energia devido ao estado plano de tensão e a

segunda corresponde a energia devido ao cisalhamento transverso.

Substituindo as deformações obtidas anteriormente, temos: t

0h h tx x x2 2

yz yz0e y y y

h h xz xzA A02 2xyxy xy

z1 1U z dzdx dy dzdx dy2 2

z− −

ε + κ σ γ τ = ε + κ σ + γ τ τγ + κ

∫ ∫ ∫ ∫ (6.4)

Desenvolvendo a expressão acima temos: t t0

h hx x x x2 20

e y y y yh hA A02 2xy xy xyxy

h t2yz yz

h xz xzA 2

1 1U dzdx dy zdzdx dy2 2

1 dzdx dy2

− −

−

ε σ κ σ = ε σ + κ σ τ κ τγ

γ τ

γ τ

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

+

(6.5)

Sabe-se que:

dzNNN 2

h

2h

xy

y

x

xy

y

x

∫−

τσσ

=

, dzzMMM 2

h

2h

xy

y

x

xy

y

x

∫−

τσσ

=

e (6.6)

h / 2y yz

x xzh / 2

Qdz

Q −

τ = τ

∫

Substituindo as eqs. (6.6) na eq. (6.5):


t t0tx x x x

yz y0e y y y y

xz xA A A0xy xy xyxy

N M Q1 1 1U N dx dy M dx dy dx dy2 2 2 Q

N M

ε κ γ = ε + κ + γ κγ

∫ ∫ ∫ (6.7)

Reagrupando a eq. (6.7): t0

x x0

yy

0 xyxy

xxe

yA y

xyxy

yyz

xxz

NN

N

M1UM2M

Q

Q

ε ε γ κ=

κ κ γ

γ

∫ dx dy (6.8)

Substituindo a eq. (4.75) na eq. (6.8) e desconsiderando os efeitos térmicos,

tem-se finalmente: t0 0

x x0 0y y

0 0xy xy

x xe

A y y

xy xy

yz yz

xz xz

[A] [B] 0

1U d2

[B] [B] 0

0 0 [F]

ε ε ε ε γ γ κ κ= κ κ κ κ γ γ γ γ

∫ x dy (6.9)

Considerando que os deslocamentos e as inclinações possam ser definidas

como sendo interpolações nodais da forma:


{ } ( ) { }

n

o i ii 1n

o i ii 1

ne

o i ii 1

n

i ii 1n

i ii 1

u (x,y) N (x,y) u

v (x,y) N (x,y) v

w (x,y) N (x,y) w ou u (x,y) N x,y U

(x,y) N (x,y)

(x,y) N (x,y)

=

=

=

=

=

=

=

=

α = α

β = β

∑

∑

∑

∑

∑

e= (6.10)

onde ue(x,y) é o vetor deslocamento elementar, Ni(x,y) são funções de interpolação

obtidas em função do número de nós n do elemento, e Ue é o vetor deslocamento

nodal do elemento contendo ui, vi, wi, αi e βi.

A relação deformação/deslocamento pode então, segundo as eq. (6.1) e (6.2),

ser dada da forma:

[ ]{ e

n

1

1

1

1

1

21

1

21

1

11

1

1

2211

21

21

yz

xz

xy

y

x

0xy

0y

0x

UBwvu

yN0N0

yN00

xN00N

xN00

00x

Ny

N000

00y

N0000

000x

N000

xN

yN000

xN

yN

yN0000

yN0

0x

N0000x

N

ywxwxy

y

x

xv

yu

yvxu

=

β

βα

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

∂∂

+β

∂∂

+α

∂β∂

+∂α∂

∂β∂

∂α∂

∂∂

+∂∂

∂∂∂∂

=

γγκκκγεε

} (6.11)

Substituindo a eq. (6.11) na eq. (6.9), temos:


{ } [ ] [ ]{ }∫

=

A

ettee dydxUB

F000DB0BA

BU21U (6.12)

66..22 –– EEnneerrggiiaa cciinnééttiiccaa eelleemmee ttnn aarr

A energia cinética de um elemento infinitesimal pode ser colocada da forma:

∫

∂∂

+

∂∂

+

∂∂

ρ=V

222

e dVt

)t,z,y,x(wt

)t,z,y,x(vt

)t,z,y,x(u)z,y,x(21T (6.13)

Considerando o campo de deslocamentos definido pela eq. (6.1), temos:

∫ ∫

∂

∂+

∂β∂

+∂

∂+

∂α∂

+∂

∂ρ=

−A

20

20

20

2h

2h

e dydxdzt

wt

zt

vt

zt

u)z,y,x(

21T (6.14)

Desenvolvendo a eq. (6.14), temos: h 2 2 2 2 22

2o o 0o 0e

hA2

1T (x,y,z) u v w 2z u v z dz dx dy2 −

= ρ + + + α+ β + α + β

∫ ∫i i i i i i i i i

(6.15)

Para uma placa, laminada, a densidade de cada lâmina pode ser considerada

constante ao logo da espessura, logo ρk = ρ(x,y). Definindo ρ0(x,y) como sendo uma

densidade de massa por unidade de área da superfície média da placa como sendo:

dz)y,x(2

h

2h

ko ∫

−

ρ=ρ (6.16)

e definindo ρ1(x,y) como sendo o primeiro momento de massa por:


dzz)y,x(2

h

2h

k1 ∫

−

ρ=ρ (6.17)

Observe que se a densidade for constante ao longo da espessura, como no caso

de uma placa homogênea, ρ1(x,y)=0. Definindo também ρ2(x,y) como sendo o segundo

momento de massa por:

dzz)y,x( 22

h

2h

k2 ∫

−

ρ=ρ (6.18)

Para uma placa homogênea, 12h3k

2ρ

=ρ .

Substituindo as eqs. (6.16), (6.17) e (6.18) na eq. (6.15), temos:

2 2 2 2 2

o o 0o 0e 0 1 2A

1T (x,y) u v w 2 (x,y) u v (x,y) dx dy2

= ρ + + + ρ α+ β + ρ α + β

∫i i i i i i i i i

(6.19)

Reagrupando a eq. (6.19) na forma de vetores, temos: t

o o t t

oo oe 0 1 2

A oo o

u uu1T v (x,y) v 2 (x,y) (x,y) dx dy

2 vw w

α α α = ρ + ρ + ρ β β β

∫

i i

i i i ii i

i i i ii i

(6.20)

A eq. (6.20) pode ser reescrita através da definição de uma matriz [m] do

tipo:


[ ]

ρρρρ

ρρρ

ρρ

=

)y,x(00)y,x(00)y,x(00)y,x(00)y,x(00

)y,x(00)y,x(00)y,x(00)y,x(

m

21

21

0

10

10

(6.21)

Substituindo a eq. (6.21) na eq. (6.20), segue: t

o o

o o

e o oA

u u

v v1T [m] dx dyw w2

= α α β β

∫

i i

i i

i i

i i

i i

i

(6.22)

Considerando a derivada temporal da eq. (6.10), temos:

( )e e

u (x,y,t) N x,y U (t) =

i (6.23)

Substituindo a eq. (6.23) na eq. (6.22), tem-se:

[ ] [ ]te e

te

A

1T U N [m] N U d2

=

∫i i

x dy (6.24)

66..33 –– TTrraabbaallhhoo rr eeaalliizzaaddoo ppeellaass ffoorrççaass eexxtteerrnnaass

O trabalho realizado pelas forças externas pode ser colocado da forma:

{ } { }{ e

A

ee UF

21dydxU)y,x(q

21W += ∫ } (6.25)


onde q(x,y) é o carregamento transversal e {F} são os esforços concentrados do tipo

força e momento.

66..44 –– PPrroobblleemmaa ee ttssttáá iiccoo –– pprriinnccííppiioo ddooss ttrraabbaallhhooss vviirrttuuaaiiss

Este princípio considera que o trabalho virtual realizado pelas forças

externas é igual ao trabalho virtual realizado pelos esforços internos quando da

aplicação de deslocamentos virtuais do tipo {δUe}. Assim das eq. (6.12) e (6.25) e

considerando o trabalho realizado no elementos, temos:

{ } [ ] [ ] { } { } { } { }FUdydx)y,x(qUdydxUBF000DB0BA

BUte

A

te

A

ette δ+δ=

∫∫ (6.26)

Colocando os deslocamentos virtuais em evidência, tem-se:

{ } [ ] [ ] { } { } 0Fdydx)y,x(qUdydxBF000DB0BA

BUA

e

A

tte =

+−

δ ∫∫ (6.27)

Como a solução da eq. (6.27) é valida para qualquer deslocamento virtual, o

problema a ser resolvido, após a superposição das matrizes elementares, é da

forma:

[ ] { } { }PUK = (6.28)

A eq. (6.28) é a equação que descreve o comportamento estático do sistema,

onde [K] é a matriz de rigidez global, {P} é o vetor forças externas global

e {U} é o vetor dos graus de liberdade de todo o sistema.


66..55 –– PPrroobblleemmaa ddiinnââmmiiccoo –– eeqquuaaççõõeess ddee llaaggrraannggee

Inúmeras técnicas podem ser utilizadas para se chegar na equação que

representa o comportamento do sistema, equação esta que será resolvida pelo

método dos elementos finitos: princípio da energia potencial mínima, método dos

resíduos ponderados, etc. Um método bastante utilizado para se obter a equação

que representa o comportamento dinâmico de um sistema é o da aplicação das

equações de Lagrange sobre as todas as energias consideradas no sistema. Estas

equações de Lagrange são expressas da seguinte forma:

iiii

FqqU

qT

qT

dtd

=∂∂

+∂∂

−

∂∂ (6.29)

onde T é a energia cinética do sistema, U é a energia de deformação do sistema e

Fqi são as forças generalizadas do sistema. Aplicando a eq. (6.57) sobre as eqs.

(6.27), (6.39) e considerando que as forças generalizadas são obtidas pelo trabalho

virtual realizado pelas forças externas, obtém-se a eq. (6.58) que representa a

equação de movimento do sistema, dada da forma:

[ ] [ ] { } {M U(t) K U(t) P(t) + =

ii

} (6.30)

onde [M] é a matriz de massa global.

66..55..11 –– FFrreeqqüüêênncciiaass nnaattuurraaiiss ee mmooddooss ddee vviibbrraaççããoo

As freqüências naturais e os modos de vibração de um sistema em vibração

são obtidos através da solução da equação homogênea da eq. (6.30):

[ ]{ } [ ]{ } {0=+ )t(UK)t(UM } (6.31)


A solução da eq. (6.31) é da forma harmônica do tipo:

{ } { } tieU)t(U ω= (6.32)

onde { }U são deslocamentos nodais, independentes do tempo, representativos do

modo de vibração associado à freqüência natural ω.

Substituindo a eq. (6.32) na eq. (6.31) e simplificando o termo exponencial,

obtemos:

[ ]{ } { }0UMK 2 =ω− (6.33)

66..55..22 –– RReessppoossttaa nnoo tteemmppoo

A solução da eq. (6.30) pode ser obtida por diferentes métodos: Método das

Diferenças Centrais, Método de Houbolt, Método de Newmark, etc., nos quais são

definidos os deslocamentos, as velocidades e as acelerações obtidas em um tempo t

em função dos deslocamentos, das velocidades e das acelerações obtidas em tempo

t-∆t e t+∆t. A escolha entre um destes métodos se restringe na convergência ou não

da solução e/ou no tempo de convergência.

66..66 –– EExxeemmppllooss ddee aapplliiccaaççããoo

66..66..11 –– CChhaassssii ddee kkaarrtt


66..66..22 –– CChhaassssii ddee ssiiddee--ccaarr


66..66..33 –– QQuuaaddrroo ddee bbiicciicclleettaa ((aa))

66..66..44 –– RRaaqquueettee ddee ttêênniiss


66..66..55 –– CCaarrrroocceerriiaa ddee ccaammiinnhhããoo bbaaúú

66..66..66 –– CCaassccoo ddee ccaattaammaarraann


66..66..77 –– QQuuaaddrroo ddee bbiicciicclleettaa ((bb))

66..66..88 –– CChhaassssii ddee uumm ccaammiinnhhããoo lleevvee

Flambagem de placas laminadas 156

77 –– FFLLAAMMBBAAGGEEMM DDEE PPLLAACCAASS LLAAMMIINNAADDAASS

Para a determinação dos esforços críticos que causam a flambagem em placas

laminadas, é necessário a determinação das equações de equilíbrio estático numa

situação anterior a ocorrência da flambagem assim como na iminência de flambar. A

solução das equações diferenciais deve satisfazer as condições de contorno e de

continuidade do problema.

77..11 –– EEqquuaaççõõeess lliinneeaarreess ddee eeqquuiillííbbrriioo ddee ppllaaccaass

Considere um elemento de placa infinitesimal de dimensões dx, dy, submetido

à esforços de membrana (força por unidade de comprimento), Figura 7.1.

dxNydxNxy

dxdyy

NN y

y

∂

∂+

dxdyy

NN xy

xy

∂

∂+

dyNxdxNxy

dydxx

NN xx

∂

∂+

dydxx

NN xy

xy

∂

∂+

dxdy y

z

x


Impondo o equilíbrio estático na direção x, temos:

xyxx x xy xy

NNN dy N dx dy N dy N dy dx 0x y

∂ ∂ − + + − + + = ∂ ∂ (7.1)


xyx NN 0x y

∂∂+ =

∂ ∂ (7.2)

Analogamente, com relação ao eixo y, temos:

y xyN N0

y x∂ ∂

+ =∂ ∂

(7.3)

Considere agora, um elemento de placa infinitesimal de dimensões dx, dy,

submetido à esforços de flexão e de cortante, ambos por unidade de comprimento.

dxQy

yM dx

xyxy

MM dy dx

y∂

+ ∂

yy

MM dy

y∂

+ ∂

dyQx

xM dx

xyxy

MM dx dy

x∂

+ ∂ xx

MM dx dyx

∂+ ∂

dxdy

xyM dx

xyM dy

dydxx

QQ x

x

∂

∂+

dxdyy

QQ y

y

∂

∂+

)y,x(p

dx

y

z

x

Figura 7.2 – Esforços de flexão e cortantes em um elemento de placa

Impondo o equilíbrio das forças na direção z, temos:

yxx x y y

QQQ dy Q dx dy Q dx Q dy dx p dx dy 0x y

∂ ∂ − + + − + + + = ∂ ∂ (7.4)

Simplificando, a eq. (7.4) resulta em:

yx QQ p 0x y

∂∂+ + =

∂ ∂ (7.5)


Impondo o equilíbrio dos momentos com relação ao eixo x, temos:

y xyy y xy xy y

M M QM dx M dy dx M dy M dx dy Q dy dx dy

y xdypdx dy 02

∂ ∂ ∂ − + + − + + − + ∂ ∂ ∂

=

y

y+

(7.6)

Desprezando termos de segunda ordem, a eq. (7.6) resulta em:

y xyy

M MQ

y x∂ ∂

+ − =∂ ∂

0 (7.7)

Por analogia, do equilíbrio dos momentos com relação ao eixo y, tem-se a eq.

(7.8):

0Qy

Mx

Mx

xyx =−∂

∂+

∂∂ (7.8)

Somando a derivada da eq. (7.7) com relação a y, a derivada da eq. (7.8) com

relação a x e a carga distribuída sobre a placa p(x,y), temos:

py

Myx

M2

xM

2y

2xy

2

2x

2−=

∂

∂+

∂∂

∂+

∂∂ (7.9)

77..22 –– EEqquuaaççõõeess nnããoo lliinneeaarreess ddee eeqquuiillííbbrriioo ddee ppllaaccaa

Para levar em consideração as interações entre forças e rotações, a equação

representando o equilíbrio de forças na direção z deve ser obtidas para um

elemento de placa de dimensões dx e dy em uma configuração levemente deformada,

Fig. 7.3. Para fins de simplicação, na Fig. 7.3, como as forças e as rotações variam ao


longo do elemento, a notação Nx+ é usada para considerar X

xNx

N dx∂+

∂. As rotações

βx e βy representam o ângulo entre os eixos coordenados e as tangentes à superfície

média no vértice superior da placa. Como os ângulos βx e βy são pequenos, pode-se

considerar que sen βx = βx e sen βy = βy e, cos βx = cos βy = 1.

As relações entre as rotações e o deslocamento transversal são:

ox

oy

wx

wy

∂β = −

∂∂

β = −∂

(7.10)

βx

βx+

βy+

Qx

Qx+ dy

p

Nxy dy

Nx+ dy

Nxy+ dy

Nx dy

Ny+ dx

Nyx+ dx

Nyx Ny

y

z

Qy+ dx

Qy

βy

Figura 3.3 – Esforços internos em um elemento de placa numa configuração

deformada

Impondo o equilíbrio das forças na direção z, temos:


y xy y x x

x xx x x x

y yy y y y

xy yxy y xy y

yxyx x yx

Q QQ dx Q dy dx Q dy Q dx dyy x

NN dx N dx dy dxx x

NN dx N dy dx dy

y y

NN dy N dx dy dx

x x

NN dx N dy

y

∂ ∂ − + + − + + + ∂ ∂ ∂ ∂β + β − + β + ∂ ∂ ∂ ∂β

+ β − + β + ∂ ∂ ∂ ∂β

+ β − + β + ∂ ∂ ∂

+ β − +∂

xxdx dx p dx dy 0

y ∂β

β + + = ∂

(7.11)

Reagrupando a eq. (7.11), desprezando os termos de ordem superior, e

considerando as eqs. (7.2) e (7.3), e que Nxy = Nyx, temos que:

y yx x xx xy y

QQ N N ( ) N px y x x y y

∂ ∂β ∂β∂ ∂β ∂β+ − − + − + =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂y 0 (7.12)

Substituindo as eqs. (7.10) na eq. (7.12), a equação resultante do equilíbrio de

forças na direção z é da forma: 2 2 2

yx 0 0 0x y xy2 2

QQ w w wN N 2N px y x yx y

∂∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + =

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂0 (7.13)

A eq. (7.13) pode ser colocada de uma outra forma, usando as eqs. (7.7) e

(7.8): 2 2 2 2 22

y xy 0 0 0xx y xy2 2 2 2

M M w w wM 2 N N 2N px y x y x y x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂+ + + + + + =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂0 (7.14)

Portanto, as equações que prevêem o comportamento da placa são as equações

de equilíbrio de forças nas direções x, y e z, dadas pelas eqs. (7.2), (7.3) e (7.13) ou


(7.14), respectivamente, e eventualmente as eqs. (7.7) e (7.8) que são as equações

de equilíbrio de momentos com relação ao eixo x e y.

77..33 –– MMééttooddoo ddaa ppee ttrr uurrbbaaççããoo aapplliiccaaddoo àà ffllaammbbaaggeemm

Para resolver o problema de flambagem, é utilizado um método de

perturbação, no qual o campo de deslocamento é escrito da forma:

www

vvv

uuu

i

i

i

λ+=

λ+=

λ+=

(7.15)

onde ui, vi e wi são deslocamentos da placa em uma configuração antes de ocorrer a

flambagem e que mantém a placa numa trajetória primária (ver Figura 3.4) e, u, v e w

são deslocamentos quaisquer e admissíveis (verificam todas as condições de

contorno e de continuidade) e λ é um escalar infinitamente pequeno e independente

das coordenadas. Os deslocamentos λu, λv e λw são portanto deslocamentos

infinitesimais que causam a flambagem na placa e que conduzem a placa à uma

trajetória secundária (flambada) (ver Figura 3.4).

trajetória secundária

trajetória primária

Px

-w +w

Figura 3.4 – Curva de equilíbrio para placa sujeita à um carregamento compressivo

no plano


Considerando a matriz de comportamento dada pela eq. (4.38) e o campo de

deslocamentos para a flambagem, eq. (7.19), temos:

κκκγ

εε

λ+

κκκγ

εε

=

xy

y

x

xy

y

xi

xy

y

x

xy

y

x

xy

y

x

xy

y

x

DBBA

DBBA

MMMNNN

0

0

0

0

0

0

(7.16)

Colocando a eq. (7.16) num forma compacta:

( )( ) MMDBDBM

NNBABANiiiii

iiiii

λ+=κ+ελ+κ+ε=

λ+=κ+ελ+κ+ε= (7.17)

onde ε são deformações da superfície neutra e κ são curvaturas, dependentes da

teoria utilizada: Teoria Clássica de Laminados ou Teoria de Primeira Ordem.

Substituindo a eq. (7.16) na eq. (7.14), temos: 2 i 2 i 2 i 2 i 2 i2 i

y xy i i i0 0 0xx y xy2 2 2 2

2 2 2 i 22y xy i0 0x

x x2 2 2 2

2 i 2 2 i 2i i0 0 0 0

y y xy xy2 2

22 0

x 2

M M w w wM 2 N N 2Nx y x y x y x y

M M w wM 2 N Nx y x y x x

w w w wN N 2N 2N py y x y x y

wNx

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂+ + + + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂∂+ + + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ λ + ∂ ∂ ∂ ∂ + + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂λ +

∂

ip +

2 20 0

y xy2

w wN 2N 0y x y

∂ ∂+ = ∂ ∂ ∂

(7.18)

Desprezando os termos de segunda ordem em λ e considerando que a eq.

(7.18) é válida para qualquer valor de λ, tem-se: 2 i 2 i 2 i 2 i 2 i2 i

y xy i i i0 0 0xx y xy2 2 2 2

M M w w wM 2 N N 2N px y x y x y x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂+ + + + + + =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂i 0 (7.19)


2 2 2 i 22y xy i0 0x

x x2 2 2 2

2 i 2 2 i 2i i0 0 0 0

y y xy xy2 2

M M w wM 2 N Nx y x y x x

w w w wN N 2N 2N p 0y y x y x y

∂ ∂ ∂ ∂∂+ + + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂+ + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂=

(7.20)

A eq. (7.19), não linear pelo fato de haver acoplamento entre esforços de

membrana e de flexão, permite determinar a configuração antes de ocorrer a

flambagem da placa com a ajuda das eqs. (7.2) e (7.3). A resolução desta equação é

feita de forma iterativa, a partir da linearização da eq. (7.20) no primeiro passo. 2 i 2 i2 i

y xy ix2 2

M MM 2 px y x y

∂ ∂∂+ + + =

∂ ∂ ∂ ∂0 (7.21)

A eq. (7.19) é a equação que permite determinar os esforços N , N e N que

causaram a flambagem da placa e são função da teoria utilizada. Pela Teoria Clássica

de Laminados, o campo de deslocamentos é

ix

iy

ixy

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

oo

oo

o

w x,yu x,y,z u x,y z

xw x,y

v x,y,z v x,y zy

w x,y,z w x,y

∂= −

∂∂

= −∂

=

(7.22)

Conseqüentemente, o estado de deformações é:


2o o

x x 2

2o o

y y 2

2o o

xy xy

xz

yz

wzxwzy

wz2x y

00

∂ε = ε −

∂∂

ε = ε −∂

∂γ = γ −

∂ ∂γ =

γ =

(7.23)

Como na configuração antes de ocorrer a flambagem, o deslocamento wi0 é

pequeno, os gradientes das inclinações, 2 i

o2

wx

∂∂

, 2 i

o2

wy

∂∂

e 2 i

owx y

∂∂ ∂

são desprezíveis. Logo,

a eq. (7.20) se transforma em: 2 2 2 2 22

y xy i i i0 0 0xx y xy2 2 2 2

M M w w wM 2 N N 2N px y x yx y x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂+ + + + + + =

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂0 (7.24)

Considerando a eq. (7.20), a eq. (7.28) pode ser substituida por:

( )

( )

( )

2o o o

11 x 12 y 16 xy 11 x 12 y 16 xy2

2o o o

21 x 22 y 26 xy 21 x 22 y 26 xy2

2o o o

61 x 62 y 66 xy 61 x 62 y 66 xy

2 2 2i i io o ox xy y2 2

B B B D D Dx

B B B D D Dy

2 B B B D D Dx y

w w wN 2N N p 0x yx y

∂ε + ε + γ + κ + κ + κ +

∂∂

ε + ε + γ + κ + κ + κ +∂

∂ε + ε + γ + κ + κ + κ +

∂ ∂

∂ ∂ ∂+ + + =

∂ ∂∂ ∂

(7.25)

Substituindo as eqs. (7.22) e (7.23) na eq. (7.25) tem-se:


3 3 3 3 4 4 4o o o o o o

11 12 16 11 12 163 2 2 3 4 2 2 3

3 3 3 3 4 4 4o o o o o o

21 22 26 21 22 262 3 3 2 2 2 4

3o

61 62

u v u v w w wB B B D D 2Dx x y x y x x x y x

u v u v w w wB B B D D 2Dy x y y y x y x y x y

uB Bx y

2

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + − − − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + − − − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂+

∂ ∂

o

o3

y+

+

3 3 3o o o

2 662 2 2

4 4 4o o o

61 62 663 3 2 2

2 2 2i i io o ox xy y2 2

v u vBx y x y x y

w w wD D 2Dx y x y y x

w w wN 2N N p 0x yx y

∂ ∂ ∂+ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ +

∂ ∂ ∂ − − − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂+ + + =

∂ ∂∂ ∂

(7.26)

Além da eq. (7.26) que representa o equilíbrio de forças na direção z, as

outras relações fundamentais para analisar o comportamento de placas pela Teoria

Clássica de Laminados são, a eq. (7.27) que representa o equilíbrio de forças na

direção x:

2 2 2 2 3 3 30 0 0 0 0 0 0

11 12 16 11 12 162 2 3 2

2 2 2 2 3 3 30 0 0 0 0 0 0

61 62 66 61 62 662 2 2 3

u v u v w w wA A A B B B 2x y x yx x x x y

u v u v w w w

2

2

x y

A A A B B B 2y x y xy y y x y x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + − − −

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ + + − − − ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

0

+∂ ∂

=

(7.27)

e a eq. (7.28) que representa o equilíbrio de forças na direção y: 2 2 2 2 3 3 3

0 0 0 0 0 0 021 22 26 21 22 262 2 2 3

2 2 2 2 3 3 30 0 0 0 0 0 0

61 62 66 61 62 662 2 3 2

u v u v w w wA A A B B B 2y x y xy y y x y x y

u v u v w w w

2

2A A A B B B 2x y x yx x x x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + − − − ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + − − − ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂

0x y

+

=∂ ∂

(7.28)

Pela Teoria de Primeira Ordem, o campo de deslocamentos é como segue:


( ) ( ) ( )( ) ( ) (( ) ( )

o

o

o

u x,y,z u x,y z x,y

v x,y,z v x,y z x,y

w x,y,z w x,y

= + α

= + β

=

) (7.29)

Conseqüentemente, o estado de deformações é:

ox x

oy y

oxy xy

oxz

oyz

zx

zy

zy x

wx

wy

∂αε = ε +

∂∂β

ε = ε +∂

∂α ∂βγ = γ + + ∂ ∂

∂γ = α +

∂∂

γ = β +∂

(7.30)

Para a Teoria de Primeira Ordem, pelo fato dela prever o cisalhamento

transverso, a eq. (7.17) pode ser utilizada para a análise de estabilidade de placas.

Considerando a eq. (6.13), que representa o equilíbrio de forças na direção z, a eq.

(7.17) pode ser colocada da forma:

0 0 045 55 44 45

2 2 2i i i0 0 0x y xy2 2

w w w wF F F Fx y x x y y y x

w w wN N 2N p 0x y x y

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ + β + + α + + β + + α + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ + + =∂ ∂ ∂ ∂

0

(7.31)

Reagrupando a eq. (7.31), tem-se: 2 2

0 055 44 452 2

2 2 2i i i0 0 0x y xy2 2

w wF F F 2x x y x y x x y

w w wN N 2N p 0x y x y

∂ ∂∂α ∂β ∂α ∂β+ + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂+ + + =

∂ ∂ ∂ ∂

20w ∂

+ (7.32)


Além da eq. (7.32) que representa o equilíbrio de forças na direção z, as

outras relações fundamentais para analisar o comportamento de placas pela Teoria

de Primeira Ordem são, a eq. (7.33) que representa o equilíbrio de forças na direção

x:

2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0

11 12 16 11 12 162 2 2

2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0

61 62 66 61 62 662 2 2 2

u v u vA A A B B Bx y x y x y x yx x x

u v u v

2x

A A A B B By x y x y x y xy y y y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ α ∂ β ∂ α ∂ β+ + + + + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ α ∂ β ∂ α ∂ β

+ + + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

0

+∂

=

(7.33

)

a eq. (7.34) que representa o equilíbrio de forças na direção y:

2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0

21 22 26 21 22 262 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0

61 62 66 61 62 662 2 2

u v u vA A A B B By x y x y x y xy y y y

u v u v2A A A B B B

x y x y x y x yx x x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ α ∂ β ∂ α ∂ β+ + + + + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ α ∂ β ∂ α ∂ β

+ + + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

0x

+

=∂

(7.34

)

a eq. (7.39) que representa o equilíbrio de momentos com relação ao eixo x:

2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0

21 22 26 21 22 262 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0

61 62 66 61 62 662 2 2

044

u v u vB B B D D Dy x y x y x y xy y y y

u v u vB B B D D Dx y x y x y x yx x x

wFy

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ α ∂ β ∂ α ∂ β+ + + + + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ α ∂ β ∂ α ∂ β

+ + + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

∂+ β

∂

2x

+

−∂

045

wF 0x

∂ − + α = ∂

(7.35)

e a eq. (7.36) que representa o equilíbrio de momentos com relação ao eixo y:


2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0

11 12 16 11 12 162 2 2

2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0

61 62 66 61 62 662 2 2 2

045

u v u vB B B D D Dx y x y x y x yx x x

u v u vB B B D D Dy x y x y x y xy y y y

wFx

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ α ∂ β ∂ α ∂ β+ + + + + + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ α ∂ β ∂ α ∂ β

+ + + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + α∂

2x+

∂

−

055

wF 0y

∂ − + β = ∂

(7.36)

As eqs. (7.26), (7.27) e (7.28) para a Teoria Clássica de Laminados e das eqs.

(7.32), (7.33), (7.34), (7.35) e (7.36) para a Teoria de Primeira Ordem são

resolvidas supondo, por exemplo, que as variáveis u0, v0 e w0 para a Teoria Clássica

de Laminados, e u0, v0, w0, α, e β para a Teoria de Primeira Ordem são da forma:

0 o

0 o

0 o

o

o

m x n yu U sen sena b

m x n yv V sen sena bm x n yw W sen sen

a bm x n yA sen sen

a bm x n yB sen sen

a b

π π=

π π=

π=

π πα =

π πβ =

π (7.37)

onde Uo, Vo, Wo, Ao e Bo são amplitudes, m e n são o número de ondas nas direções x

e y respectivamente e a e b são as dimensões da placa nas direções x e y.

O problema pode ser simplificado quando o laminado é simétrico, [B] = 0,

quando o laminado é, além de simétrico, balanceado, A16 = A61 = A26 = A62 = 0, quando

o laminado é ortotrópico (fibras somente a 00 e 900), D16 = D61 = D26 = D62 = 0e

quando o laminado é anti-simétrico e balanceado, B16 = B61 = B26 = B62 = 0.


Exemplo 7.1: Determine a carga crítica de um laminado simétrico biapoiado em x = 0

e x = L, submetido a um carregamento de compressão N0 utilizando a Teoria Clássica

de Laminados.

Considerando que o laminado é simétrico, [B] = 0. Devido ao carregamento, Nix

= - N0, Niy = Ni

xy = p= 0.

Da eq. (7.28), temos: 4 4 4 4 4 4

0 0 0 0 011 12 16 21 22 264 2 2 3 2 2 4

4 4 4 20 0 0 0

61 62 66 03 3 2 2 2

w w w w wD D 2D D D 2D

x x y x y y x y x

w w w w2 D D 2D N 0

x y x x y x x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − − − − −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂− − − − =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

03

wy

+

(7.38)

Se a placa tem dimensão muito grande na direção y comparado com a

dimensão x, os gradientes de w0 em y são desprezíveis. Assim: 4 2

0 011 04 2

w wD Nx x

∂ ∂− −

∂ ∂0= (7.39)

Admitindo um deslocamento w0, que satisfaça as condições de contorno, ser

da forma como apresentado pela eq. (7.37) e substituindo na eq. (7.39), tem-se: 2 2

11 0 om m mD N W senL L

π π −

x 0Lπ

= (7.40)

Como na configuração deformada, Wo ≠ 0, m ≠ 0 e conseqüentemente

0≠πL

xmsen , tem-se a menor carga crítica para m = 1:

2

cr 11N DLπ =

(7.41)


Para um laminado não simétrico, onde [B] ≠ 0, a utilização das eqs. (7.38) e

(7.39) são necessárias devido ao acoplamento dos deslocamentos u0, v0 e w0. Assim: 2 2 3

0 0 011 16 112 2 3

u v wA A Bx x x

∂ ∂ ∂+ −

∂ ∂ ∂0= (7.42)

2 2 30 0 0

16 66 162 2 3u v wA A Bx x x

∂ ∂ ∂+ −

∂ ∂ ∂0= (7.43)

e a eq. (7.26) se apresenta da forma: 3 3 4 2

i0 0 0 011 16 11 x3 3 4 2

u v w wB B D Nx x x x

∂ ∂ ∂ ∂+ − +

∂ ∂ ∂ ∂0= (7.44)

O desacoplamento dos deslocamentos se faz da seguinte forma: 2 3

0 02 3

2 30 0

2 3

d u d wBAdx dx

d v d wCAdx dx

=

=

(7.45)

onde: 2

11 66 16

66 11 16 16

11 16 16 11

A A A AB A B A BC A B A B

= −

= −

= −

(7.46)

Derivando a eq. (7.45) com relação a x, e substituindo na eq. (7.44), temos: 4 2

004 2

w wA NDx x

∂ ∂+

∂ ∂0 0= (7.47)

onde:

11 11 16D D A B B B C= − − (7.48)


Aplicando (7.43) em (7.49), temos: 2 2

0m A m x m xN W senL D L L

π π −

0π= (7.49)

Assim, a menor carga crítica para m = 1, é da forma: 2

crDNA L

π =

(7.50)

Da comparação da eq. (7.50) com a eq. (7.41), observa-se que a carga crítica

diminui quando [B] ≠ 0, ou seja, quando o laminado não é simétrico.

Exemplo 7.2: Determine a carga crítica de uma placa laminada simétrica em

kevlar/epóxi do tipo (0°/90°/90°/0°) com lâminas de 0,5 mm de espessura,

utilizando a Teoria Clássica de Laminado. A placa está simplesmente apoiada,

submetida à um carregamento de compressão Px, s, conforme mostra a Figura 7.5.

x

Px

Px

h

y

x

a

b

Figura 7.5 – Placa sujeita a uma carga compressiva


i i ixx y xy

PN N Nb

= − = = =p 0 (7.51)

Introduzindo a eq. (7.51) na eq. (7.26), e considerando que o laminado é

simétrico ([B]=0) e os termos de acoplamento da matriz de rigidez em flexão são

nulos (D16 = D26 = 0), temos: 4 4 4 4 4 2

o o o o o x11 12 21 22 664 2 2 2 2 4 2 2 2

w w w w w wPD D D D 2Dbx x y y x y y x x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − − − − +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂o 0= (7.52)

Considerando que D21 = D12, a eq. (7.51) se torna:

( )4 4 4

o o o x11 12 66 224 2 2 4

w w w PD 2 D D Dbx x y y

∂ ∂ ∂+ + + −

∂ ∂ ∂ ∂

2o

2w 0x

∂=

∂ (7.53)

As condições de contorno são para este caso, w = Mx = 0 para x = 0 e x = a, e

w = My = 0 para y = 0 e y = b. Da eq. (4.33), 2 2

x 11 122 2w wD

x y∂ ∂

= − −∂ ∂

M D e

2 2

y 21 222wM D D

x y∂

= − −∂ ∂ 2

w∂ . As condições de contorno podem então ser escritas:

2

2

2

2

ww 0 para x = 0, axww 0 para y = 0, b

y

∂= =

∂∂

= =∂

(7.54)

A solução da eq. (7.51) é da forma da eq. (7.37) que obedece as condições de

contorno dadas pela eq. (7.54). Introduzindo a solução em w dada pela eq. (7.37) na

eq. (7.53) temos:

( )4 2 2 4

x11 12 66 22

Pm m n nD 2 D D Da a b b bπ π π π + + + −

2m 0aπ

= (7.55)


Rearranjando a eq. (7.55), tem-se:

( )2 4 2 2

x11 12 66 22

P a m m n nD 2 D D Db m a a b b

π = + + +

4

(7.56)

Rearranjando a eq. (7.56), tem-se:

( )2 2

2x11 12 66 22

P m n aD 2 D D Db a b m

= π + + +

2 4nb

(7.57)

A Figura 7.6 apresenta um exemplo de forma deformada nas condições: a/b =

2, m = 2 e n = 1. A Tabela 7.1 mostra valores de carga crítica para um laminado em

kevlar/epóxi nesta configuração, os termos D11, D12, D22 e D66 são: D11 = 45,20.103

N.mm, D12 = 1,29.103 N.mm, D22 = 45,20.103 N.mm e D66 = 1,33.103 N.mm

Figura 7.6 – Forma flambada de uma placa sujeita com a/b = 2, m = 2 e n = 1


Tabela 7.1 – Carga crítica (Px/b) para a = 1000 mm

a/b m n Px/b

1 0,94

1 2 7,79

1 1,95

1

2 2 3,78

1 7,79

1 2 115,48

1 3,78

2

2 2 31,16

1 0,49

1 2 0,94

1 1,80

0,5

2 2 1,95

RREEFFEERRÊÊNNCCIIAASS

[1] Gay, Daniel, Matériaux Composites, Hermès, Paris, 1991.

[2] Berthelot, J.-M., Matériaux Composites, Comportement et analyse des

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[3] Tsai, S. W., Hahn, H. T., Introduction to Composite Materials, Technomic

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CURSO DE PROJETO ESTRUTURAL COM MATERIAIS