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Densidade de Fluxo Elétrico

Prof Daniel Silveira

Introdução

Objetivo– Introduzir o conceito de fluxo

– Relacionar estes conceitos com o de campo elétrico

– Introduzir os conceitos de fluxo elétrico e densidade de fluxo elétrico

– Relacionar estes conceitos com o de campo elétrico

Conceito de Fluxo

Φ =(v.cosθ)A

Φ =v·A

Fluxo volumétrico= Vazão (volume por unidade de tempo) do ar através da espira por área

A) Incidência perpendicular

B) A componente perpendicular é v.cosθ

C) O vetor área A é perpendicular ao plano da espira e faz um ângulo θ com v

Fluxo de um campo

É possível associar um vetor velocidade do vento a cada ponto do interior da espira

O conjunto de todos esses vetores é um campo de velocidades

A equação Φ =v·A pode ser interpretada como uma expressão para o fluxo do campo de velocidades através da espira

Interpretando desta forma, fluxo seria o produto de uma área pelo campo que existe no interior dessa área

Introdução

Michael Faraday (1791-1867)– Autodidata, com apenas educação primária

– Grandes contribuições na química e na física

– Habilidade com experimentos

– Descobriu algumas leis que regem a eletricidade e o magnetismo

– Propôs a representação do campo elétrico através de linhas de força• Recusado pelos matemáticos da época

• Provado posteriormente por Maxwell

Introdução

Michael Faraday– Papel com limalha de ferro em cima e imã embaixo

– Há também linhas de força para campo elétrico?

Introdução

Michael Faraday– Cargas opostas mergulhadas em óleo com barbantes finos

– Como medir este fluxo elétrico?

Fluxo Elétrico

Experimento de Faraday– Seja uma esfera metálica com carga +Q

– Colocando esta esfera no interior de outra esfera metálica• Carga –Q induzida na parte interna

• Carga +Q induzida na parte externa

Fluxo Elétrico

Experimento de Faraday– Ligando a esfera à terra

• Carga positivas se deslocarão para a terra

• Esfera externa com carga negativa

Fluxo Elétrico

Experimento de Faraday– Faraday interpretou o fenômeno como um fluxo de deslocamento de cargas da esfera interna para a externa

– Este fluxo deve ser igual à carga total

– As trajetórias de deslocamento de carga são denominadas linhas de fluxo

Q=Ψ

Densidade de Fluxo Elétrico

Densidade de Fluxo Elétrico ( )

Medida de quantidade de linhas de fluxo por unidade de área

Grandeza vetorial que aponta na direção das linhas de fluxo

Dr

Densidade de Fluxo Elétrico

Esferas concêntricas– Considerando uma esfera de raio r entre as duas esferas

– A carga total, i.e. o fluxo, dentro da esfera é Q e a área total é 4πr 2

– não depende do “corpo”, desde que r seja maior que este

Dr

Densidade de Fluxo Elétrico

Carga pontual na origem– Considerando esfera interna centrada na origem com

e esfera externa com

– Se a carga estiver localizada em

rar

QD

rr

24π=

0→r ∞→r

'rr

( )'

'

'42

rr

rr

rr

QrD rr

rr

rr

rr

−

−

−=

π

Densidade de Fluxo Elétrico

Carga pontual na origem– Comparando com a equação do campo para uma carga pontual

– No espaço livre

– Da mesma forma, para uma distribuição volumétrica de carga

rar

QE

rr

2

04πε=

EDrr

0ε=

( ) ∫ −

−

−=

vol

v

rr

rr

rr

dvrD

'

'

'4

'2 rr

rr

rr

rr

π

ρ

Densidade de Fluxo Elétrico

Exemplo 3.1)– Calcular densidade de fluxo ao redor de uma linha de carga uniforme de 8nC/m no eixo z no espaço livre

E3.1)– Dada uma carga pontal de 60µC na origem, determine o fluxo elétrico total que passa através de • Porção da esfera de r =26cm limitada por 0<θ<π/2 e 0<φ<π/2

• Superfície fechada definida por z =±26cm e ρ =26cm• Plano z =26cm

Densidade de Fluxo Elétrico

E3.2)– Calcular densidade de fluxo no ponto P(2,-3,6) produzido por• Uma carga pontual QA=55mC em Q(-2,3,-6)

• Uma linha de cargas uniforme com ρL=20mC/m no eixo x

• Um plano em z =-5m com ρS =120µC/m2

Aplicações da Lei de Gauss

Introdução

Lei de Gauss

Vamos usá-la para determinar a densidade de fluxo se a distribuição de cargas for conhecida

O fluxo elétrico que atravessa uma superfície

fechada é igual à carga total dentro da superfície

∫ ⋅=S

S SdDQrr

Introdução

Solução se torna simples se escolhermos uma superfície fechada em que

– é normal ou tangente à superfície gaussiana• se torna ou zero

– Quando não for zero, deve ser constante

SdDS

rr⋅

SDr

SdDS

rr⋅ dSDS

SD

Aplicações da Lei de Gauss

Carga pontual: superfície esférica de raio r em torno da carga Q, será sempre perpendicular à superfície e constante

SDr

∫∫∫ ==⋅=esfera

S

esfera

S

S

S dSDdSDSdDQrr

∫∫ ∫ ==ππ π

θθπθφθ0

2

0

2

0

2 sen2sen drDddrDQ SS

24 rDQ Sπ= ⇒=24 a

QDS

π rS aa

QD

rr

24π=

Aplicações da Lei de Gauss

Distribuição uniforme linear de carga ρL

– Superfície cilíndrica de raio ρ

com tampa em z=0 e z=L

– A carga total então será Q=ρLL

∫∫∫∫ ++=⋅==basetopolado

S

S

SL dSdSdSDSdDLQ 00rr

ρ

⇒=πρ

ρ

2

LSD

ρπρ

ρaD L

S

rr

2=

LDL SL πρρ 2=

A integração geralmente

se limita à área da

superfície onde D é

normal

Aplicações da Lei de Gauss

Distribuição superficial de cargas ρS

– Superfície cilíndrica, uma base

em cada lado da placa

– é perpendicular à placa

– A carga total então será Q=ρSA

2

SSD

ρ=

E

AADADSdDQ SSS

S

S ... ρ=+=⋅= ∫rr

Aplicações da Lei de Gauss

Cabo coaxial de comprimento infinito

– Cilindros condutores

– Raio interno ρinterno= a

– Raio interno ρexterno= b

– Temos ρS na superfície externa do condutor interno

– Achar o campo elétrico pela lei de Coulomb é

complicado

Aplicações da Lei de Gauss

Cabo coaxial de comprimento infinito– Para ρ < a

• Como o condutor é metálico, a carga na está na superfície

• A superfície gaussiana não envolve nenhuma carga

– Para ρ > b• A carga total envolvida é zero

000 =⇒=⇒⋅== ∫ SS

S

S DDSdDQrrr

0=SDr

Aplicações da Lei de Gauss

Cabo coaxial de comprimento infinito– Para a <ρ < b

• A superfície envolve a carga contida no condutor interno para 0<z<L

Pela lei de Gauss

SaLQ ρπ2=

LDaL SS πρρπ 22 = ⇒=ρ

ρSS

aD ρ

ρ

ρa

aD S

S

rr=

S

L

z

S aLdzadQ ρπφρπ

φ

20

2

0

== ∫ ∫= =

LDQ S πρ2=

Aplicações da Lei de Gauss

Cabo coaxial de comprimento infinito– Para a <ρ < b

• Se o condutor interno for um fio comdistribuição de carga ρL

LQ Lρ=

ρπρ

ρaD L

S

rr

2=

SL aρπρ 2=

⇒=ρ

ρSS

aD

Forma idêntica a da linha infinita de cargas!

Aplicações da Lei de Gauss

Cabo coaxial de comprimento infinito– Como a carga total nos dois condutores tem o mesmo módulo

ba QQ −=

SaSbb

aρρ −=

SbSa bLaL ρπρπ 22 −=

Aplicações da Lei de Gauss

Exemplo 3.2)– Seja um cabo coaxial com L=50cm, a=1mm,

b=4mm e Qa=30nC• Ache a densidade de carga em cada condutor

• Determine e Dr

Er

Lei de Gauss

E3.3)– Seja nC/m2 no espaço livre. Determine:

• Campo elétrico em

• Carga total dentro da esfera r = 3

• Determine o fluxo total que deixa a esfera r = 4

rarDrr

23,0=

( )oo 90,25,2 === φθrP

Lei de Gauss

E3.4)– Calcule o fluxo total saindo de uma superfície cúbica formada por seis planos x,y,z =±5, para• Duas cargas pontuais 0,1µC em (1, -2, 3) e 1/7µC em (-1,2,-2)

• Linha uniforme de carga π µC/m em x=-2 e y=3

• Superfície uniforme de carga 0,1µC/m2 no plano y=3x

Aplicações da Lei de Gauss

E3.5)– Uma carga pontual de 0,25µC está localizada em r=0 e superfícies uniformes de carga estão dispostas da seguinte forma: 2mC/m2 em r=1cm, -0,6mC/m2 em r=1,8cm. Calcule a densidade de fluxo elétrico em• r=0,5cm• r=1,5cm• r=2,5cm

– Que densidade de carga superficial uniforme deve ser colocada em r=3cm para que a densidade de fluxo elétrico em r=3,5cm seja nula

Divergente

Relaciona um campo vetorial com um campo escalar

O divergente do campo vetorial é o produto escalar entre ∇ e

( )zzyyxxzyx aDaDaDa

za

ya

xD

rrrrrrr++⋅

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=⋅∇

Dr

Dr

z

D

y

D

x

DDD zyx

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂==⋅∇

rr div

Divergente

Em coordenadas cilíndricas

Em coordenadas esféricas

( )z

DDDD z

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=⋅∇

φρρ

ρ

ρφρ 11r

( ) ( )φθθ

θ

θφθ

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=⋅∇

D

r

D

rr

Dr

rD r

sen

1sen

sen

11 2

2

r

Divergente

A divergência de um campo vetorial dá como resultado o fluxo líquido (fluxo que sai menos fluxo que entra) por unidade de volume

O resultado é um escalar

vD ρ=⋅∇r

←Carga por unidade de volume

0>⋅∇ Dr

0=⋅∇ Dr

0<⋅∇ Dr

Divergência

Exemplos– Fluxo líquido de água através de qualquer superfície fechada é zero• Água que entra, sai

• Divergência de velocidade é nula

– Ar se expande quando a pressão cai• Divergência é maior que zero

Aplicações da Lei de Gauss

Lei de Gauss

Vamos aplicar a lei de Gauss a um elemento diferencial de volume em problemas que não possuem simetria

Isto servirá para determinar a divergência de um campo vetorial e para enunciar a primeira equação de Maxwell na forma diferencial

O fluxo elétrico que atravessa uma superfície fechada é

igual à carga total dentro da superfície

Divergência

Divergência informa quanto fluxo está deixando um volume por unidade de volume– Fonte de densidade de fluxo positiva

– Fonte de densidade de fluxo negativa

– Não há fonte de densidade de fluxo

0>⋅∇ Dr

0=⋅∇ Dr

0<⋅∇ Dr

Primeira Equação de Maxwell

Sabemos que

então

A primeira equação de Maxwell estabelece que o fluxo elétrico por unidade de volume que deixa uma unidade de volume infinitesimal é igual a sua densidade volumétrica de carga

v

SdD

D S

v ∆

⋅

=⋅∇∫

→∆

rr

r

0lim QSdD

S

=⋅∫rr

⇒=∆

=⋅∇→∆

vv v

QD ρ

0lim

r

vD ρ=⋅∇r Primeira Equação de

Maxwell (Eletrostática)

Teorema da Divergência

A integral da componente normal a qualquer campo vetorial sobre uma superfície fechada é igual à integral da divergência desse campo vetorial através do volume limitado por uma superfície fechada

Relação entre uma integral dupla de superfície com uma integral tripla de volume

∫∫ ⋅∇=⋅volS

dvDSdDrrr

Teorema da Divergência

Fisicamente, podemos analisar este resultado como sendo preferível se preocupar com as consequências do que ocorre na superfície de um volume sem se importar com o fenômeno que está se desenvolvendo dentro deles– O que diverge em uma célula

converge na adjacente

– Só contribui para o total

o que diverge na superfície

Teorema da Divergência

Exemplo 3.5– Calcule ambos os lados do teorema da divergência para o campo

C/m2

e um paralelepípedo 0<x<1, 0<y<2, 0<z<3

yx axaxyDrrr

22 +=

Teorema da Divergência

Exemplo proposto– Calcule ambos os lados do teorema da divergência para o campo

C/m2

e um paralelepípedo ρ ≤5, 0 ≤ φ ≤ 0,1π, 0 ≤ z ≤ 10

zaaaDrrrr

222 25sen25cos2 ρφρφρ φρ +−=

Lista de Exercícios

Capítulo 3– 3.3, 3.4, 3.5, 3.9, 3.13, 3.17, 3.19, 3.21, 3.23, 3.27,

3.29