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Prof. Carlos R. Paiva
Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores
Instituto Superior Técnico
Abril de 2008
Feixes Ópticos 1
1. Feixes gaussianos
Num meio homogéneo e isotrópico o potencial vector satisfaz a equação de onda (com
0k n k , sendo n o índice de refracção do meio e 0 2k c )
2 2equação de Helmholtz 0k A A . (1)
Em coordenadas cilíndricas , ,r z e considerando simetria azimutal, vem
2 2 2
2 2
2 2 2
1t
z r r r z
. (2)
Consideremos, então, um pontencial vector da forma
ˆ, , expr z r z i k z A a (3)
onde a é um vector unitário pertencente ao plano ,x y . Nestas circunstâncias, obtém-se
2 2
2
2 22 ,i k k r z
z z z
AA . (4)
De (1)-(4) infere-se então que
2
2
2equação das ondas 2 0t i k
z z
. (5)
Para uma variação espacial lenta, tal que para z , deverá ter-se
2
kz
z z z
2 Carlos R. Paiva
kz
. (6)
Analogamente
2 2
2 2
1
2
kk
z z z z z
. (7)
Podemos portanto inferir de (5) a chamada equação paraxial
2equação paraxial das ondas 2 0t i kz
. (8)
Vamos, nesta secção, considerar a seguinte solução (ou «ansatz») de (8):
2«ansatz» , exp2
kr z i P z r
q z
. (9)
Note-se que se considera, aqui, uma solução particular; outras soluções poderão existir. Trata-
se, para já, de saber quais as equações que caracterizam as funções P z e q z que são, por
enquanto, desconhecidas. Notando que
2 1
,2
k ri P r z
z q
1
,k
i r zr r q
2 2 2
2 2,
k r ki r z
r q q
resulta de (8)
Feixes Ópticos 3
2
2 212 2 0
k kk r i P
q q q
.
Ora, como esta equação deve ser válida qualquer que seja o valor da distância r , deverá
impor-se
2
1
1 10
P iq
q q
. (10)
Façamos agora, por definição,
1 1 du du u
q u d z d z q . (11)
Logo, da segunda equação de (10), vem
2
20
d uu z a z b
d z
0 0
0
1 10
bq q q z z q
a q z z q
. (12)
Mas então, introduzindo este resultado na primeira equação de (10), tira-se que
0
0
1
ln 1
0 0
P z iz q z
P z iq
P
. (13)
Agora, substituindo (12) e (13) em (9), obtém-se
4 Carlos R. Paiva
20
0 0
, exp2
q kr z i r
q z z q
. (14)
Em particular virá
2
0
,0 exp2
kr i r
q
. (15)
Porém, deverá observar-se a seguinte restrição
lim ,0 0r
r
.
Esta restrição só se verifica desde que
0 0 0, 0q i z z
0q z z i z
tendo-se então
2
2
2
0 0
perfil gaussiano ,0 exp exp2
k rr r
z w
(16)
onde se introduziu, para o parâmetro dito confocal 0z ,
2
00parâmetro confocal
2
k wz . (17)
Infere-se, deste modo, que é possível reescrever (14) na forma alternativa
20feixe gaussiano , , exp
2
q k rx y z i
q z q z
. (18)
Feixes Ópticos 5
Notando que
1
20
00
0 1 1exp tan
11
q zi
zq z zi z
zz
e definindo
2
0
0
2
0
1
1
zw z w
z
zR z z
z
(19)
virá
0
2
00 0
11 1 1 1
1 1
zi
zzq z z i z z zz iz z
2
1 1 2i
q z R z k w z . (20)
Podemos, portanto, escrever (18) na forma mais explícita
2
0
2feixe gaussiano , exp exp ,
w rr z i r z
w z w z
(21)
em que
6 Carlos R. Paiva
2
1
0
,2
tan
k rr z z
R z
zz
z
. (22)
A fase de , ,x y z é ,r z ; a fase de ,r zA , por seu turno, é – de acordo com (3) –
dada por
2
, ,2
k rr z k z r z k z z
R z . (23)
No eixo do feixe, tem-se
0 0,r z k z z (24)
que corresponde a duas contribuições distintas: (i) o termo k z é a fase de uma onda plana; (ii)
o termo z , dado pela segunda equação de (22), corresponde a um desvio de fase em
relação quer a uma onda plana quer a uma onda cujo raio variável é R z dado pela segunda
equação de (19).
●
A constante efectiva de propagação longitudinal effk é tal que
1
eff0
0
0, tanz z
k d z k z z k zz
. (25)
Como
1
2 2tan
d x a
d x a x a
Feixes Ópticos 7
infere-se que
0eff 2 2
0
constante efectiva de
propagação longitudinal
zdk z k n n
d z c z z c
(26)
tendo-se
2
0eff 0 2
wk k z
w z . (27)
Em particular, para 0z , obtém-se
eff 2
0
20 0z k k
kw . (28)
Interpretação física: O resultado expresso em (28) tem uma explicação física interessante.
Admitindo, com efeito, que os valores típicos de xk e yk são dados por
0
2x yk k
w
infere-se que
2 2
2 2 2 2
2
0
2
2
x y
x y z z
k kk k k k k k k
k k w
.
de acordo com o valor efectivo dado por (28).
Isto significa que é possível definir uma velocidade de fase (efectiva) tal que
8 Carlos R. Paiva
1 1
2 2 2 2
eff
2 21 1p
cv z
k z k w z k k w z n
2 2
21
p
cn
v z k w z
. (29)
A intensidade óptica ,I r z é proporcional a 2
,r z , i.e., tem-se
22
00 2
intensidade óptica do 2, exp
feixe gaussiano
w rI r z I
w z w z
. (30)
Na Fig. 1 representa-se graficamente a intensidade óptica normalizada 0I I em função de
0r w para diferentes valores de 0z z . Na Fig. 2, por outro lado, representa-se graficamente
0I I em função de 0z z ao longo do eixo óptico do feixe (i.e., para 0r ). Note-se que a
potência óptica total do feixe gaussiano é finita (ao contrário de uma onda plana) e dada por
(como não há perdas, esta potência é independente do plano transversal z onde é calculada e,
portanto, pode ser calculada no plano 0z para facilitar os cálculos)
2
0 0 0, 2 ,P I r z r dr d I r z r dr
2 2
2
0 0 02 200 0 0
2 1 22 exp exp
2
r rP I r d r I w
w w
200
potência óptica do
feixe gaussiano 2
IP w . (31)
Esta última expressão mostra que a potência total do feixe é igual ao produto de metade da
intensidade óptica máxima pela área (efectiva) do feixe – entendida esta última como
2
0A w .
Feixes Ópticos 9
Figura 1 Intensidade óptica normalizada 0I I em função da distância radial (também
normalizada) 0r w para três valores diferentes da distância axial: (i) 0z ; (ii) 0z z ; (iii)
02z z .
Figura 2 Intensidade óptica normalizada 0I I em função da distância axial (também
normalizada) 0z z ao longo do eixo óptico do feixe, i.e., para 0r .
10 Carlos R. Paiva
A largura do feixe é caracterizada pela função w z , tal como se ilustra na Fig. 3. Para 0z
esta largura assume o seu valor mínimo 0w que se designa por cintura do feixe e que
caracteriza, como se viu, a sua área efectiva. O efeito da difracção (ou dispersão) espacial é,
assim, caracterizado pelo alargamento de 0w z w tal como se indica na Fig. 3. Note-se que,
de acordo com a primeira equação de (19), um feixe gaussiano de cintura 0w apresenta uma
divergência espacial que está assimptoticamente contida num cone cujo ângulo 0 é tal que
2 2 0 00 0
0 0 0
2tan
w wz z w z z
z z kw
2 20
0 0
conew
r z x y zz n w
1
0
0 0
tann w n w
. (32)
Na Fig. 4 representa-se a desfasagem z introduzida na segunda equação de (22).
●
A função R z , que se representa graficamente na Fig. 5, caracteriza o raio de curvatura da
frente de onda do feixe gaussiano. Com efeito, as superfícies de fase constante satisfazem a
equação (com q inteiro) , 2r z q , ou seja,
2
superfícies de fase constante 22
rk z z q
R z
.
Como as funções R z e z variam lentamente com z , podemos considerar que elas são
aproximadamente constantes nas superfícies de fase constante. Assim, como 0k n k e
0 2k , as superfícies de fase constante são superfícies de um parabolóide
Feixes Ópticos 11
2superfície de um parabolóide
de raio de curvatura 2 2
rz c c q
R R n
(33)
tal como se indica na Fig. 6 para diferentes valores de R e admitindo que não varia.
Figura 3 Largura normalizada 0w z w do feixe gaussiano em função da distância axial
normalizada 0z z . Para 0z z a largura reduz-se ao seu valor mínimo – a cintura 0w w .
Note-se que, para uma onda esférica, se tem
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 21 1
2
x y r rr z R x y z z z z
z z z
21 1onda esférica exp exp exp
2
ki k R i r i k z
R R R
. (34)
Ao comparar a fase da onda esférica em (34) com (23) entende-se melhor o significado de
R z num feixe gaussiano.
12 Carlos R. Paiva
Figura 4 Desfasagem z em função da distância axial normalizada 0z z .
Figura 5 Raio de curvatura normalizado 0R z z das frentes de onda de um feixe gaussiano
em função da distância axial normalizada 0z z .
Feixes Ópticos 13
Figura 6 Superfície de um parabolóide caracterizado por (33) para diferentes valores da
curvatura R e considerando fixo o valor de c .
Exemplo numérico: A saída de uma cavidade laser é um feixe gaussiano. Considerando um
feixe gaussiano com uma cintura 0 1 mmw , para um comprimento de onda 1.06 m ,
infere-se que o parâmetro confocal é 0 3mz . Para uma distância 10 mz , tem-se
3.5 mmw z , 10.9 mR z e um ângulo de divergência espacial 0 0.02 .
14 Carlos R. Paiva
2. Difracção de Fresnel
Em (1) a constante de propagação longitudinal k é tal que
2
2 2 2 2 2 2
0
2x y z
nk k k k n k
. (35)
A solução geral da equação de onda (1), fazendo
ˆ, , , ,x y z u x y zA a (36)
em vez de (3), é dada pelo feixe óptico
0
feixe, , , exp
ópticox y x yu x y z U k k i d k d k
k r (37)
em que
x y zk x k y k z k r . (38)
Como sempre omite-se, estando contudo subentendida, a variação temporal com exp i t .
Nota: Não é por acaso que, em (36), , ,u x y z se refere ao potencial vector A e não, por
exemplo, ao campo eléctrico. Podemos, portanto, colocar a seguinte questão: seria possível
escrever, em vez de (36), ˆ, , , ,x y z u x y zE a ? A resposta é: em geral, não. Porque, num
meio homogéneo e isotrópico, se tem 0 E e daí que, no caso geral, deveria ser
ˆ ˆ 0u u a a o que não é verdade. No caso do potencial vector é possível considerar,
por outro lado, que 0 A . É essa a razão para a escolha do potencial vector em (36).
Assim, de acordo com (35), podemos ainda escrever (37) na forma alternativa
Feixes Ópticos 15
0 0ˆ , , , expx y x yu x y z U k k i nk dk dk
k r . (39)
Nota importante: De acordo com (35) não é necessária a integração em zk na equação (37).
Com efeito, tem-se
2 2
2 2 2
21
x y
z x y
k kk k k k k
k
. (40)
Isto significa que, com base em (35), zk fica determinado desde que se conheçam xk , yk e k .
O caso em que se quer, apenas, conhecer o perfil do feixe óptico no plano 0z resulta então
imediatamente de (37): fazendo 0 , , ,0u x y u x y , vem
0 00 , , expx y x y x yz u x y U k k i k x k y dk dk
. (41)
Note-se que esta última equação tem a forma de um integral bi-dimensional de Fourier. A sua
transformada inversa será dada por
0 02
amplitude 1, , exp
espectral 2x y x yU k k u x y i k x k y d x d y
.(42)
Só no caso particular em que 0 0,x yU k k U é que resulta de (39) a solução especial
0 0 0
onda plana e, , exp exp
monocromáticau x y z U i U i n k k r (43)
que tem associada uma energia infinita – daí que a sua existência física individual não seja
possível; um feixe óptico, por outro lado, é fisicamente realizável de acordo com (31).
Consideremos, agora, o caso em que
16 Carlos R. Paiva
0
1, e ,
0, ou
x a y bu x y
x a y b
. (44)
De acordo com (42) vem, para este caso,
0
sin
,sin
x
a x
x
x y a x b y
y
b y
y
k aaU k
k aU k k U k U k
k bbU k
k b
. (45)
Na Fig. 7 representa-se graficamente /a xU k a em função de xk a ; a função
/b yU k b tem um andamento semelhante.
Figura 7 Transformada de Fourier (normalizada) /a xU k a em função de xk a . A
envolvente assinalada corresponde à função 1 xk a .
Notemos que: (i) para xk a a amplitude espectral a xU k pode ser considerada
desprezável; (ii) a constante de propagação é zk k para 2 2 2
x yk k k . Então, de acordo com
Feixes Ópticos 17
a Fig. 8, uma estimativa razoável para o ângulo de divergência espacial deste feixe óptico será
dada por
tan2
xx x
z
k
k k a n a
(46)
tendo-se, analogamente,
2
yn b
. (47)
Figura 8 Estimativa da divergência espacial de um feixe óptico segundo o eixo transversal
x . Considera-se a situação descrita em (44)-(47). Considerações análogas poderiam ser
feitas para a divergência espacial segundo o outro eixo transversal, i.e., o eixo y .
●
A solução apresentada na equação (37) pode ser reescrita na forma
0, , , exp expx y x y z x yu x y z U k k i k x k y i k z dk dk
. (48)
xka
0zk k n k
x
18 Carlos R. Paiva
Comentário: Note-se, assim, que é possível determinar , ,u x y z para 0z a partir de
0 ,u x y . Basta começar por calcular a amplitude espectral 0 ,x yU k k a partir de (42) e, de
seguida, calcular o integral em (48) tendo (40) em consideração. Este cálculo, porém, é – pelo
menos do ponto de vista analítico – em geral complicado.
Para um feixe óptico paraxial, em que se pode considerar que 0 ,x yU k k só assume valores
significativos para ,x yk k k , podemos aproximar a expressão (40) por
2 2 2 2 2 2
2 2
aproximação1 1
paraxial 2 2
x y x y x y
z
k k k k k kk k k k
k k k
. (49)
No âmbito desta aproximação é possível reformular (48) como segue
2 2
0
, , , , exp
, , , exp exp2
x y
x y x y x y
u x y z x y z i k z
k kx y z U k k i z i k x k y d k d k
k
(50)
de modo que, se se introduzir a função de transferência , ;x yk k zH tal que
0
2 2
, ; , ; ,
, ; exp2
x y x y x y
x y
x y
U k k z k k z U k k
k kk k z i z
k
H
H
(51)
vem ainda
, , , ; expx y x y x yx y z U k k z i k x k y dk dk
. (52)
Feixes Ópticos 19
Em síntese: Para calcular, na aproximação paraxial, , ,x y z a partir de
0 0, ,x y u x y basta começar por calcular 0 ,x yU k k usando (42); calcular,
seguidamente, , ;x yU k k z de acordo com (51); aplicar, finalmente, (50) tendo em
consideração a equação (52).
0 0 0, , , , ; , , , ,x y x yu x y x y U k k U k k z x y z u x y z
Substituindo (42) em (52) , tendo ainda em consideração as equações (51), obtém-se então
0 0 0 1 0 2 0 0 02
1, , , , , , ,
2x y z x y J x x z J y y z d x d y
(53)
onde se introduziram as funções
2
1 0 0
2
2 0 0
, , exp exp2
, , exp exp2
xx x
y
y y
kJ x x z i z i k x x d k
k
kJ y y z i z i k y y d k
k
.
Estas funções podem ser calculadas com base no integral
2
2exp exp4
bax bx d x
a a
. (54)
Vem então
2
0
1 0
2
0
2 0
2, , exp
2
2, , exp
2
k x xkJ x x z i
i z z
k y ykJ y y z i
i z z
. (55)
20 Carlos R. Paiva
Logo, substituindo estas expressões em (53), obtém-se o integral de Fresnel
2 2
0 0 0 0 0 0 0
Integral de difracção de Fresnel:
, , , exp2
i kx y z x y i x x y y d x d y
z z
. (56)
Este integral de difracção permite calcular , ,x y z a partir do conhecimento da distribuição
0 ,x y sobre o plano 0z . O feixe óptico total , ,u x y z pode então ser calculado usando
a primeira equação de (50). A resposta impulsiva , ,h x y z (ou o kernel de Fresnel) para
0 ,x y x y (57)
é dada por
2 2kernel de Fresnel , , exp2
i kh x y z i x y
z z
. (58)
Note-se que, deste modo, o integral de difracção de Fresnel pode ser escrito como a
convolução de , ,h x y z com 0 ,x y :
0convolução , , , , ,x y z h x y z x y . (59)
●
Consideremos agora, como exemplo de aplicação, a distribuição
2 2
0 2
0
perfil gaussiano , expx y
x yw
. (60)
Feixes Ópticos 21
Note-se que, neste caso, resulta de (42) que
2
00
0 2
0
0
exp2
,
exp2
xa x
x y a x b y
y
b y
k wU k w
U k k U k U kk w
U k w
(61)
onde se recorreu, mais uma vez, a (54). Considerando que, para 0, 2x yk k w , a amplitude
espectral 0 ,x yU k k é desprezável, infere-se que uma estimativa razoável do ângulo 0 de
divergência espacial é dada por
0 0
0 0
2tan
yx
z z
kk
k k kw n w
(62)
o que está de acordo com o resultado (32) obtido anteriormente através de um método
diferente. Após substituir o perfil (60) em (56), obtém-se
, , , ,a b
ix y z J x z J y z
z (63)
em que
220
0 02
0
220
0 02
0
, exp exp2
, exp exp2
a
b
x kJ x z i x x d x
w z
y kJ x z i y y d y
w z
.
Notando que
2 2 2
0 0 0
2 2 2
0 0 0
2
2
x x x x x x
y y y y y y
22 Carlos R. Paiva
infere-se
22 00 02
0
22 00 02
0
1, exp exp exp
2 2
1, exp exp exp
2 2
a
b
k xxk x kJ x z i i x i d x
z w z z
k y yk y kJ y z i i y i d y
z w z z
. (64)
Este integrais podem, novamente, ser calculados através de (54). Atendendo a que
2 2
00
2 2
00
, exp exp2 2
, exp exp2 2
a
b
zz k x k xJ x z w i
q z z q z z
zz k y k yJ y z w i
q z z q z z
resulta então de (63) que
20feixe gaussiano , , exp
2
q k rx y z i
q z q z
. (65)
Esta equação coincide com o resultado obtido previamente – a equação (18) – usando um
método completamente diferente.
Conclusão: O integral da difracção de Fresnel permite determinar a evolução espacial de um
feixe óptico paraxial como o feixe gaussiano. A evolução espacial de um feixe gaussiano tinha
sido obtida anteriormente por um método alternativo baseado na resolução da equação
paraxial de onda supondo, como solução particular, o «ansatz» (9).
Feixes Ópticos 23
Bibliografia Básica
Bahaa E. A. Saleh and Malvin Carl Teich, Fundamentals of Photonics. Hoboken, NJ:
Wiley, 2nd ed., 2007 (Chapter 3: pp. 74-101).
Bibliografia Complementar
Amnon Yariv and Pochi Yeh, Photonics: Optical Electronics in Modern
Communications. New York: Oxford University Press, 6th ed., 2007 (Chapter 2: pp. 66-
109).
Hermann A. Haus, Waves and Fields in Optoelectronics. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-
Hall, 1984 (Chapters 4-5: pp. 81-157).
Anthony E. Siegman, Lasers. Sausalito, CA: University Science Books, 1986 (Chapters
14-23: pp. 558-922).
Peter W. Milonni and Joseph H. Eberly, Lasers. New York: Wiley, 1988 (Chapter 14: pp.
469-531).
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