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Derivada e Antiderivada
Exemplo Um foguete atravessa o firmamento numa jornada diretamente além da Terra. Num certo dia à tarde o navegador lê o velocímetro do foguete como função do tempo, e conclui que ele é dado por: f(t) = 100t 3 – 400t 2 + 800t, onde t é o tempo em horas. Se a função f fornece a velocidade em km/h, encontre a distância percorrida pelo foguete:a)Entre o início da tarde e as duas horas;b)Entre uma e 4 horas da tarde.
Solução A leitura do velocímetro é a taxa de variação
instantânea da distância em função do tempo. Sabendo que s é a distância da Terra, temos que:
Se dispusermos os dados numa tabela, teremos:
tttdtds 800400100 23
)(tfdtds
Derivada e Antiderivadat
tempo
s
distância
v
velocidade0 ?
1 ?
2 ?
4 ?
t F(t) f(t)
dtds
Conhecemos a expressão f(t), precisamos encontrar sua antiderivada F(t), que é:
CttttF 2
8003
4004
100)(234
Derivada e Antiderivada Precisamos agora determinar o valor de C; Contudo, substituindo o valor de t por 0, 1, 2 e 4 na expressão F,
podemos facilmente responder o que se pede no item a):
a) A distância percorrida entre t = 0 e t = 2 é igual a:(posição para t=2) menos (posição para t=0)s = F(2) – F(0)
Calculemos então quando t=2:CttttF 2
8003
4004
100)(234
CFCF
CF
CF
33,933)2(160066,1066400)2(
24.800
38.400
416.100)2(
2)2(800
3)2(400
4)2(100)2(
234
Derivada e Antiderivada
Agora vamos calcular quando t=0:
Fazendo temos:
CttttF 2
8003
4004
100)(234
CFCF
CF
)0(000)0(
2)0(800
3)0(400
4)0(100)0(
234
)0()2( FFs
kmsCCs
33,93333,933
Derivada e Antiderivada
b) A distância percorrida entre t = 1 e t = 4 é igual a:
)1()4( FFs
CFCF
CF
CF
67,4266)4(400.633,8533400.6)4(216.800
364.400
4256.100)4(
2)4(800
3)4(400
4)4(100)4(
234
CFCF
CF
CF
67,291)1(40033,13325)1(
21.800
31.400
41.100)1(
2)1(800
3)1(400
4)1(100)1(
234
kmsCCs
FFs
397567,29167,4266
)1()4(
Antiderivação e Integração Antiderivação é uma operação que consiste em encontrar uma
função F(x), cuja derivada F’(x) é uma função conhecida f(x). Se a função F(x) existir, ela é chamada antiderivada de f(x).
Integral Indefinida
CxxF 3
31)(2)( xxf
2)(' xxF
Exemplo Seja . Uma antiderivada de f(x) é:Pois . Costuma-se chamar a operação de antiderivação
também por integração e a antiderivada de integral.
Antiderivação e Integração Todas as integrais indefinidas devem ter o complemento “+C” em sua solução pois muitas funções têm a mesma derivada.
A integral indefinida é aquela para a qual não foi definida um intervalo de valores, portanto, ela é uma função ou família de funções;
A integral definida é aquela definida dentro de um certo intervalo e calculada neste intervalo, portanto, ela é um número.
Integral Indefinida
Integral Indefinida A operação que envolve uma integral indefinida consiste
em achar sua primitiva, ou seja, é a mesma operação que consiste em achar uma antiderivada. O que muda então?A notação!
Para denotar a integral de uma função passaremos a utilizar a seguinte notação:Seja . Uma primitiva de f é:
Pois . Assim, a nova notação estabelece que:
2)( xxf CxxF 3
31)(
)()(' xfxF
cxFdxxf )()(
Integral Indefinida
Exemplo A integral de é:2)( xxf Cxdxx 3
32
Integral Indefinida
xxf sen)( Cxxdx cossen A integral de é:xexf )( Cedxe xx A integral de é:
xxf cos)( Cxxdx sencos A integral de é:
Outro Exemplo
A função é uma primitiva da função
f(x) = cos2x, pois .
Fazendo,
Não é uma tarefa muito fácil encontrar a primitiva de certas funções, mas existem métodos para isto e iremos aprender alguns deles.
CxxF 2sen21)(
)(2cos02cos2.21)(' xfxxxF
Cxxdx 2sen212cos
Integral Indefinida
Definição simbólica Se F(x) é uma primitiva de f(x), a expressão F(x) + C é
chamada integral indefinida da função f(x) e é representada pela expressão:
O símbolo “dx” que aparece na fórmula serve para identificar a variável sobre a qual se processa a integração.
CxFdxxf )()(
Integral Indefinida
Exemplo
Significa que a operação de integração incide sobre a variável “x”.
Significa que a operação de integração incide sobre a variável “y”.
dxx 2
dyyx 32.
Integral Indefinida
Integral de uma função constante Uma primitiva de uma função constante f(x) = k, é a
função linear F(x) = k.x, pois F’(x) = (k.x)’ = k. Logo:
Exemplo
Cxkdxk ..
Cxdx .5.5
Integral Indefinida
Integral de uma função potência Seja, por exemplo, f(x) = x4.
Uma primitiva de f(x) é pois F’(x) = x4.
Logo:
Portanto, uma primitiva da função f(x) = xn, com n -1, é a função
5
5xxF )(
Cnxdxxn
n
1.
1
Cxdxx 5
54
1)(
1
nxxFn
Integral Indefinida
Caso especial de Integral de uma função potência Seja, por exemplo, f(x) = x-1 = 1/x.
Uma primitiva de f(x) = 1/x é a função F(x) = ln|x|, portanto:
Cxdxx
ln1
Integral Indefinida
Integral de função exponencial
Integrais de funções trigonométricas
Cedxe xx
Cxxdx sencos
Cxxdx cossen
Ctgxxdx 2sec
Integral Indefinida
Cxdxtgxx sec..sec
Cgxdxx cot.seccos 2
Cxdxgxx seccos.cot.seccos
Integral das funções inversas
Cxdxx
arcsen.1
12
Carctgxdxx
.11
2
Integral Indefinida
Propriedades Integral da soma
Exemplo
dxxgdxxfdxxgxf )()()].()([
dxxdxdxxdxxx 4)4( 22
3
3x2
2x x4+ + + C
Integral Indefinida
Propriedades Integral da diferença
Exemplo dxxgdxxfdxxgxf )()()].()([
dxxdxxdxxx 2424 )(
5
5x3
3x- + C
Integral Indefinida
Bibliografia utilizada: Flemming, D. M. & Gonçalves, M. B. Cálculo A. Person
Education. São Paulo, 1992. Abdounur, O. J. & Hariki, S. Matemática Aplicada. Saraiva.
São Paulo, 2006. Stewart, J. Cálculo. Volume I. Thomson. São Paulo, 2006. Priestley, W. M. Calculus: An Historical Approach.
Springer-Verlag. New York, 1979. Eves, H. Foundations and Fundamental Concepts of
Mathematics. Dover, 1990.
Integral Indefinida
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