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Disciplina:Mecânica Geral - Estática
Prof. Dr. Eng. Fernando Porto
IV. Propriedades Mecânicas de Figuras Planas
Parte 1: Momento de Primeira Ordem ou Estático
Momentos de Primeira Ordem
• O momento de primeira ordem (ou momento estático) de uma superfície plana em relação a um “eixo” de seu plano é o somatório dos produtos de seus elementos de área pelas distâncias desses elementos ao eixo considerado:
Onde
dA = dx.dy
x; y: coordenadas do elemento de área dA
: coordenadas do centroide da figura plana
Atenção: O momento estático pode ser positivo ou negativo ou nulo.
Unidade: [L]3 onde L é a unidade de comprimento
Exemplo 1
• Determinar o momento de primeira ordem (momento estático) do retângulo em relação ao eixo x :
Da definição de momento de primeira ordem:
Sabe-se que
dA = dx.dy
Þ
Exemplo 2
• Determinar o momento de primeira ordem (momento estático) do retângulo em relação ao eixo x1 :
dA = dx.dy
Þ
Exemplo 3
• Determinar o momento de primeira ordem (momento estático) do retângulo em relação ao eixo (eixo x do centroide):
dA = dx.dy
Þ
Exemplo 4• Determinar o momento estático
do triângulo em relação ao eixo x :
dA = a.dy
OBS.: Se eixo passar pelo CG da figura o momento estático da área referente à figura em relação a este eixo será nulo.
Exemplo 5
• Determinar os momentos de primeira ordem da superfície plana mostrada, em relação aos eixos x e y.
RetânguloTriânguloSemicírculoCírculo
Componente
Componente
RetânguloTriânguloSemicírculoCírculo
Mx = +506,2 x 103 My = +757,7 x 103
Disciplina:Mecânica Geral - Estática
Prof. Dr. Eng. Fernando Porto
IV. Propriedades Mecânicas de Figuras Planas
Parte 2: Série de Exercícios - Momento Estático
Exercício 1
• Determine os momentos de primeira ordem (momento estático) em relação aos eixos xe y.
Exercício 2
• Determine os momentos de primeira ordem (momento estático) em relação aos eixos xe y.
30 mm
300 mm
240 mm
30 mm
Exercício 3
• Determine os momentos de primeira ordem (momento estático) em relação aos eixos xe y.
6 m 6 m
6 m6 m
3 m
Exercício 4
• Determine os momentos de primeira ordem (momento estático) em relação aos eixos xe y.
6 m 8 m
8 m
12 mr = 4 m
Exercício 5• Determine os
momentos de primeira ordem (momento estático) em relação aos eixos xe y.
Exercício 6• Determine os
momentos de primeira ordem (momento estático) em relação aos eixos xe y.
20 m
16 m
r = 38 m
Exercício 7
• Determine os momentos de primeira ordem (momento estático) em relação aos eixos xe y.
Exercício 8• Determine os
momentos de primeira ordem (momento estático) em relação aos eixos xe y.
r1 = 8 mr2 = 12 m
Exercício 9
• Determine os momentos de primeira ordem (momento estático) em relação aos eixos xe y.
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IV. Propriedades Mecânicas de Figuras Planas
Parte 3: Momento de Inércia de Área e Momento Polar
Momento de Inércia de Área
• O momento de inércia de área é uma propriedade geométrica da seção transversal de elementos estruturais.
• Fisicamente está relacionado com as tensões e deformações que aparecem por flexão em um elemento estrutural e, portanto, junto com as propriedades do material determina a resistência de um elemento estrutural sob flexão.
Momento de Inércia de Área
• Momento de inércia de uma superfície plana (por isto o nome Momento de Inércia de Área) em relação a um “eixo” de seu plano é o somatório dos produtos de seus elementos de área pelo quadrado das distâncias desses elementos ao eixo considerado.
Atenção: O momento de inércia de área é sempre positivo.
Unidade: [L]4 onde L é a unidade de comprimento
Exemplo 1
• Determinar o momento de inércia de área do retângulo em relação ao eixo x.
Da definição de momento de inércia de área:
Sabe-se que
dA = dx.dy
Þ
Analogamente:
Exemplo 2
• Determinar o momento de inércia de área do retângulo em relação ao eixo (eixo x do centroide):
Da definição de momento de inércia de área:
Sabe-se que
dA = dx.dy
Þ
Analogamente:
Exemplo 3• Determinar o momento de
inércia de área do triângulo em relação ao eixo x :
dA = a.dy
Momento Polar de Inércia
• Momento polar de inércia de uma superfície plana em relação a um “ponto” de seu plano é o somatório dos produtos de seus elementos da área pelo quadrado de suas distâncias ao ponto considerado.
Exemplo 4
• Calcular o momento polar de inércia do retângulo em relação ao vértice 3.
Calculando-se Jp em relação ao vértice 3 tem-se
Momento Centrífugo
• Momento centrífugo de uma superfície plana em relação a um “sistema de eixos cartesianos” de seu plano é o somatório dos produtos dos seus elementos de área pelas distâncias desses elementos aos eixos considerados.
O momento centrífugo ou produto de inércia pode ser positivo, negativo ou nulo.
unidade: [L]4 onde L é a unidade de comprimento
Exemplo 5
• Calcular o momento centrífugo do retângulo em relação aos eixos x e y.
Sabe-se que
dA = dx.dy
Exemplo 6
• Calcular o momento centrífugo do retângulo em relação aos eixos x e y1.
Sabe-se que
dA = dx.dy
Exemplo 7
• Calcular o momento centrífugo do retângulo em relação aos eixos e y.
Sabe-se que
dA = dx.dy
Exemplo 8
• Calcular o momento centrífugo do triângulo em relação ao eixo x.
dA = a.dy
Atenção: para a área dA, a coordenada xassume o valor do centroide da área dA.
Atenção!!!
• Se um dos eixos de referência for de simetria o momento centrífugo é nulo.
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IV. Propriedades Mecânicas de Figuras Planas
Parte 4: Raio de Giração e Translação de Eixos
Raio de Giração
• Considere uma superfície A com momento de inércia Jx em relação ao eixo x.
Raio de Giração
• Imaginemos que concentramos essa superfície em uma faixa estreita paralela ao eixo x.
ix
Raio de Giração
• Para que a superfície de área A concentrada desse modo tenha o mesmo momento de inércia em relação ao eixo x, a faixa deverá ser colocada a uma distância ix do eixo x.
ix
Jx
Jx
Raio de Giração
• A distância ix é definida pela relação
ix
Jx
Jx
de onde...
Raio de Giração
• A distância ix é denominada de raio de giração da superfície em relação ao eixo x.
• O raio de giração é sempre positivo.
• Unidade [L] L ® unidade de comprimento
ix
Jx
Translação de Eixos
• Considere o momento de inércia J de uma superfície A em relação a um eixo AA’.
ou Teorema dos Eixos Paralelos
Translação de Eixos
• Representando por y a distância entre um elemento de superfície de área dA e AA’, escrevemos:
ou Teorema dos Eixos Paralelos
Translação de Eixos
• Vamos traçar agora um eixo BB’ paralelo a AA’, passando pelo centroide C, representando por y’ a distância entre o eixo BB’ e dA. Escrevemos que:
ou Teorema dos Eixos Paralelos
Observe que d é a distância entre os eixos AA’ e BB’.
• Assim, temos
• Substituindo:
• A primeira integral representa o momento de inércia J em relação ao eixo BB’.
• A segunda integral representa o momento de primeira ordem (momento estático) da superfície em relação ao eixo BB’. Como este eixo passa pelo centroide, esta integral tem valor nulo.
• A terceira integral é igual à área A.
Para evitar confusões, esta distância d será chamada daqui por diante de dy.
• Analogamente também tem-se
• Generalizando para n figuras geométricas:
Exemplo 1• Calcular o momento de inércia
de um círculo em relação a um eixo diametral (eixo x).
D = 2.RdA = r.dq.dr y = r.senq
D = 2.RdA = r.dq.dry = r.senq
ou
analogamente
Exemplo 2• Calcular o momento de inércia
polar do círculo em relação ao ponto “0” (centro geométrico).
Lembrando que:
Jp = Jx + Jy
ou
Retângulo
Triângulo
��
���
���
���
��
��
����� �
����
�
�̅ ��
�
Círculo
Semicírculo
����
�
� �
�
R
R
R
Quarto de círculo
Elipse
� �
�
����
�
��
��
����� �
Exemplo 3• Calcular o momento de inércia
da figura plana em relação ao eixo x.
R = 6 cm
Figura geométrica 1
Figura geométrica 2
Atenção: para as duas figuras o valor de dy é nulo em relação ao eixo x !
Exemplo 4• Calcular o momento de inércia
da figura plana em relação ao eixo x.
Figura geométrica 1 Figura geométrica 2
Atenção: também neste caso, para as duas figuras o valor de dyé nulo em relação ao eixo x.
Figura geométrica 1 Figura geométrica 2
4
Exemplo 5
• Calcular o momento de inércia e raio de giração da figura plana em relação ao eixo x.
�
ƒ
‚
Área total: A = A1 + A2 + A3
A = 6´24+48´8+6´48 = 816 mm2
Momento de inércia:
Raio de giração:
��� � 4
� �̅� ���
�
�
���
��� � 4
��� � 4
�4
��
Disciplina:Mecânica Geral - Estática
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IV. Propriedades Mecânicas de Figuras Planas
Parte 5: Aplicação e Exercícios
Determine os momentos de inércia (a) Jx e (b) Jy da área em azul com respeito em relação aos eixos centroidaisparalelos e perpendiculares ao lado AB, respectivamente.
Exemplo 1
eixos centroidais: eixos que passam pelo centroide.
1,0 mm
3,8 mm
0,5 mm
0,5 mm
3,6 mm
1,3 mm
• Localizar o centroide:
A, mm2 mm mm mm3 mm3
Fig 3: ¨ 1,3 x 1
Fig 2: ¨ 0,5 x 3,8
Fig 1: ¨ 3,5 x 0,5
S S � �
S S � �
• Calcular o momento de inércia Jx :
• Calcular o momento de inércia Jy :
Determine o momento polar da área cinzenta mostrada na figura em relação (a) ao ponto O e (b) ao centroide da superfície.
Exemplo 2
• Determinação do centroide da seção:
= -Fig.1
Fig.2
D 160 x 80 D 80 x 60
Obs.: Não há necessidade de cálculo para encontrar a posição do centroide no eixo x, pois a figura é simétrica em relação ao eixo y.
• Momento polar:
Jp = Jx + Jy
• Figura 1:
y
x
• Momento polar:
Jp = Jx + Jy
• Figura 2:
y
x
• Figura completa:
(a) JpO = 11,573 x 106 mm4
• Agora esta resposta é usada para estimar JpC .
= -Fig.1
Fig.2
D 160 x 80 D 80 x 60
Atenção: este é o momento polar em relação ao ponto O.
• Figura completa:
A = 4000 mm2
(b)
d = 30,667mm
·C
Dois perfis L 6 x 4 x ½ (ou L152 x 102 x 12,7) são unidos por solda para formar a seção mostrada. Determine os momentos de inércia e o raio de giração da seção combinada com respeito aos eixos centroidais x e y.
Exemplo 3
Perfil L152 x 102 x 12,7
Atenção: As propriedades geométricas dos perfis comerciais são tabeladas.
152,4 mm
101,6 mm12,7 mm
Propriedades geométricas do perfil L152 x 102 x 12,7:
Área: 3060 mm2
Jx : 7,2 x 106 mm4 Jy : 2,59 x 106 mm4
kx : 48,5 mm ky : 29,0 mm
Centroide:
C152 x 102 x 12,7:Área: 3060 mm2
Jx : 7,2 x 106 mm4
Jy : 2,59 x 106 mm4
y
76,2 mm
76,2 mm
25,9 mm
50,3 mm
·
57,15 mm57,15 mm
Valores tabelados
yO
xO
C152 x 102 x 12,7:Área: 3060 mm2
Jx : 7,2 x 106 mm4
Jy : 2,59 x 106 mm4
yO
xO
C152 x 102 x 12,7:Área: 3060 mm2
Jx : 7,2 x 106 mm4
Jy : 2,59 x 106 mm4
yO
xO
C152 x 102 x 12,7:Área: 3060 mm2
Jx : 7,2 x 106 mm4
Jy : 2,59 x 106 mm4
Dois perfis C e duas chapas de aço são usadas para formar a seção de coluna mostrada abaixo. Para b = 200mm, determine os momentos de inércia e o raio de giração da seção combinada com respeito aos eixos centroidais x e y.
Exemplo 4
Perfil C250 x 22,8
Propriedades geométricas do perfil C250 x 22,8:
Área: 2890 mm2
Altura: 254 mmLargura: 66,0 mm
Jx : 28,0 x 106 mm4 Jy : 0,945 x 106 mm4
kx : 98,3 mm ky : 18,1 mm
Centroide: 16,1 mm
C250 x 22,8:Área: 2.890 mm2
Jx : 28,0 x 106 mm4
Jy : 0,945 x 106 mm4
Área total:
C250 x 22,8:Área: 2.890 mm2
Jx : 28,0 x 106 mm4
Jy : 0,945 x 106 mm4
Dado que b = 200mm :
Perfis C250x22,8
Chapas
16,1 mm
b
Propriedades de perfis laminados comerciais – padrão EUA
Propriedades de perfis laminados comerciais – padrão EUA
† Altura nominal em mm e massa em quilogramas.‡ Altura, largura e espessura de chapa em mm.
Exercício 1
Determine o momento de inércia da área em azul com respeito (a) ao eixo x e (b) ao eixo y quando a = 20mm.
Ex.9-35 9th Ed. Resp.: (a) 1,268 x 106 mm4 (b) 339 x 103 mm4
Determine os momentos de inércia (a) Jx e (b) Jy da área em azul com respeito em relação aos eixos centroidais paralelos e perpendiculares ao lado AB, respectivamente.
Exercício 2
Ex.9-41 9th Ed. Resp.: (a) 1,874 x 106 mm4 (b) 5,82 x 106 mm4
Determine os momentos de inércia (a) Jx e (b) Jy da área em azul com respeito em relação aos eixos centroidaisparalelos e perpendiculares ao lado AB, respectivamente.
Exercício 3
Ex.9-43 9th Ed. Resp.: (a) 191,3 mm4 (b) 75,2 mm4
1,2 mm
5,0 mm
1,8 mm
0,9 mm2,0 mm 2,1 mm
Dois perfis C200 x 17,1 são unidos por solda à um perfil W200 x 46,1 para formar a seção mostrada. Determine os momentos de inércia e o raio de giração da seção combinada com respeito aos eixos centroidais x e y.
Exercício 4
Resp.:JxC = 105,72 x 106 mm4
JyC = 42,50 x 106 mm4
kx = 101,6 mmky = 64,52 mm
C200 x 17,1
W200 x 46,1
Ex.9-50 9th Ed.
A resistência do perfil W é aumentada através da soldagem de um perfil C na sua flange superior. Determine os momentos de inércia da seção combinada com respeito aos eixos centroidais xe y.
Exercício 5
Resp.:JxC = 745 x 106 mm4
JyC = 91,3 x 106 mm4Ex.9-51 9th Ed.
Dois perfis L76 x 76 x 6,4 são soldados a um perfil C250 x 22,8. Determine os momentos de inércia da seção combinada com respeito aos eixos centroidais x e y respectivamente paralelo e perpendicular à linha pontilhada faceando o perfil C.
Exercício 6
Resp.:JxC = 3,55 x 106 mm4
JyC = 49,8 x 106 mm4Ex.9-55 9th Ed.
Bibliografia
BEER, FERDINAND P.; JOHNSTON, E. RUSSELL; EISENBERG, ELLIOT R.
Mecânica Vetorial Para Engenheiros - Estática
Editora: MCGRAW HILL – BOOKMAN; 2010
ISBN: 8580550467
• Resistência dos Materiais• Beer, Ferdinand P.; Johhston Jr.,
E. Russell; Editora Pearson Nakron Books, 3a. Ed., 2010
Fonte Bibliográfica
Bibliografia
MOMENTO DE INÉRCIA DE ÁREA.
In: WIKIPÉDIA, a enciclopédia livre. Flórida: WikimediaFoundation, 2015. Disponível em: <https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Momento_de_in%C3%A9rcia_de_%C3%A1rea&oldid=41583402>. Acesso em: 15 abr. 2016.
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