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Fundamentos de Mecânica – 4300151
Prof. Renato F. Jardim – 2020-2
1
Dois Avisos:
(1) Provinha na segunda feira, 14/09, últimos ~ 25 minutos
da aula – Recomendo que tenham papel em mãos ! E-mails
alternativos rjardim@if.usp.br ou fabio.abud@gmail.com
(2) A partir de 19/09, haverá necessidade de “senha” para
participar das aulas online. Essa senha será enviada aos
estudantes, via e-mail, até antes da aula do dia 21/09 !
Fundamentos de Mecânica – 4300151
Prof. Renato F. Jardim – 2020-2
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Relembrando as últimas aulas
Uma maratonista corre a uma velocidade constante de 15 km/h.
Quando ela está a 7,5 km da chegada, um pássaro começa a
voar dela à chegada a uma velocidade de 30 km/h. Quando o
pássaro atinge a linha de chegada, ele se vira e voa de volta para
a maratonista, e então se vira novamente, repetindo as viagens
de ida e volta até que a maratonista alcance a linha de chegada.
Pergunta: Quantos quilômetros o pássaro viaja?
chegada
1. 10 km
2. 15 km
3. 20 km
4. 30 km
5. 35 km
O pássaro voa enquanto a maratonista estiver correndo.
A maratonista irá correr, até a chegada, 7,5 km mas em quanto tempo ?
(7,5 km) (1 hora/15 km), ou seja (½ hora) para correr os 7,5 km finais !
A pergunta que fica é: Qual intervalo de tempo o pássaro voa? O mesmo que a Maratonista, ou seja, (½ hora) !
Sendo assim, o pássaro voa (½ hora) a uma velocidade de 30 km/h
O pássaro voa então (½ h) (30 km/h) = 15 km – Resposta Correta – Alternativa 2
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• Escalares: apenas números. Pode ser + ou -, pode ter unidades.
• Exemplos: temperatura, volume
• Os escalares seguem a aritmética comum
• Vetores: grandezas físicas que são completamente especificadas por uma magnitude e uma
direção no espaço.
• vetores são “coisas” que precisam de setas para serem representadas adequadamente ou na
forma de negrito
• eles têm sua própria aritmética, que é diferente da aritmética dos escalares
Pausa para discutir Grandezas
Escalares e Vetoriais
Retornando à descrição do Movimento !
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Velocidade Escalar Média e Velocidade Média
De maneira geral, a velocidade v,
genericamente falando, é a taxa na qual a
posição de um objeto é alterada através do
tempo, ou seja, v = x/t
A velocidade escalar média é uma grandeza
escalar, definida como sendo a razão entre a
distância total percorrida pelo intervalo de
tempo gasto para percorrer tal distância...
Por outro lado, a velocidade média é uma
grandeza vetorial; ela sempre deve estar
ciente da sua direção. A velocidade média é o
deslocamento (xf – xi) (uma grandeza
vetorial) dividido pelo tempo gasto na
mudança de posição...
Como a “velocidade” inclui a direção, é possível que dois objetos tenham
as mesmas velocidades (escalar e vetorial), mas velocidades médias
diferentes. Exemplo:
Se você viajou de trem para visitar um amigo, pode ir 30
quilômetros por hora (km/h) ao norte no caminho para lá e 30 km/h
ao sul no caminho de volta. Sua “velocidade” escalar média é a
mesma tanto na ida quanto na volta, mas sua “velocidade” média
(vetorial) é diferente porque sua direção de movimento foi
alterada.
Outra diferença entre velocidade escalar e velocidade vetorial é a
forma como a média é calculada. A velocidade escalar média
depende da distância total que você viajou. A velocidade média
depende do deslocamento (xf – xi) : de onde você está e onde você
começou.
Ao se deslocar para o norte, sua velocidade escalar média seria 30
km/h (não é necessário saber se foi para o norte) e sua velocidade
média seria 30 km/h norte. Após a viagem de ida e volta, sua
velocidade escalar média de viagem ainda seria de 30 km/h.
Sua velocidade média, entretanto, seria 0 km/h porque o seu
deslocamento (xf – xi) terminou exatamente onde começou.
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Agora a ideia é avançar e:
• Definir a velocidade escalar média e velocidade média
de um objeto em movimento unidimensional – 1D.
• Calcular a velocidade escalar média e velocidade
média de um objeto em movimento unidimensional – 1D
a partir de gráficos de movimento.
• Correlacionar a geometria dos gráficos de movimento
com a velocidade escalar média e velocidade média de
um objeto em movimento em uma dimensão ou
unidimensional.
Velocidade Escalar Média e Velocidade Média
Distância média
• O próximo passo para descrever o movimento do objeto é
determinar a velocidade escalar média do movimento.
• A taxa na qual a curva x-versus-t aumenta com o aumento do
tempo é chamada de inclinação da curva:
• Observar como a inclinação se torna menos acentuada quando a
velocidade do objeto diminui.
Caminhar até
x = 4,8 m
....leva cerca de 2,33 s na
velocidade normal para
Atingir 4,8 m!
velocidade
normal
metade
da velocidade
normal
....duas vezes mais (2x)
na metade da velocidade para
Atingir 4,8 m!
x1x2
t2t1
1
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• Definições: xi é a posição no início do movimento, xp é a
posição durante a parada ou pausa e xf é a posição no final do
movimento !
• A velocidade escalar média de um objeto é a distância
percorrida dividida pelo intervalo de tempo necessário para
percorrer essa distância.
• A curva 2 indica que o homem percorre uma distância total
de 5,2 m = 3,8 m + 1,4 m ((de 1,0 m até 4,8 m (3,8 m) e depois
de 4,8 até 3,4 m (1,4 m)) em 6,0 s:
• Velocidade escalar média = distância percorrida/intervalo
de tempo
• Velocidade escalar média = (5,2 m)/(6,0 s) = 0,87 m/s.
Velocidade Escalar Média
início
início pausa
fim
fim
curva 1
caminha lentamente
e para a frente do
início ao fim
curva 2
caminha rapidamente
para a frente, faz
uma pausa e volta
lentamente até o fim
pausa
fim
curva 2
x = + 2,4 m
t = 6,0 s
t = 1,0 s
t = 1,0 s
x = - 0,58 m
x = + 1,7 m
xp = 4,8
xi = 1,0
xf = 3,4
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• Vamos supor que iremos utilizar um hodômetro para
medir a distância percorrida por um objeto – homem,
carro, bicicleta etc!
• A velocidade escalar média seria então obtida através
da divisão da leitura do hodômetro, em metros, por
exemplo, pela duração da viagem em segundos, minutos
ou horas:
Velocidade Escalar Média = (distância
percorrida/intervalo de tempo gasto na viagem)
• Esta velocidade média NÃO é, a priori, a mesma que
sua velocidade em um determinado instante
• Se a posição versus tempo for uma linha reta:• inclinação constante velocidade constante
• todos os intervalos ao longo da linha têm a
mesma velocidade média
• Se a posição vs tempo for uma linha plana:• o objeto não está se movendo
Velocidade Escalar Média
pausa
fim
curva 2
x = + 2,4 m
t = 6,0 s
t = 1,0 s
t = 1,0 s
x = - 0,58 m
x = + 1,7 m
xp
xi
xf
Vamos trabalhar esse ponto !
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Velocidade Média
(a) Usando a curva 2, em que instante o homem
passou pela primeira vez na posição xf = + 3,4 m ?
(b) Qual era sua velocidade escalar média até aquele
instante?
(a) Primeiro passo: localizar a posição xf = + 3,4 mSão dois pontos mas a pergunta é: em que instante o homem
passou pela primeira vez na posição xf = + 3,4 m ?
(b) Traçar uma reta paralela ao eixo y que intercepte a posição
xf = + 3,4 m
(c) A reta intercepta o eixo x (t (s)) em t = 1,4 s !
Resposta de (a) = t = + 1,4 s
(b) A velocidade escalar média nesse ponto é a inclinação da
reta
x ÷ t = (1,7 m)/(1,0 s) = 1,7 m/s !
Resposta de (b) = x/t = 1,7 m/s
pausa
fim
curva 2
x = + 2,4 m
t = 6,0 s
t = 1,0 s
t = 1,0 s
x = - 0,58 m
x = + 1,7 m
xp = 4,8
xi = 1,0
xf = 3,4
t = 1,4 s
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• Em um gráfico de posição como função do tempo
(x(t)), quanto mais acentuada for a inclinação da
curva, maior será a velocidade escalar.
• Compare as velocidades escalares médias durante o
primeiro e o terceiro segmentos do movimento
representado pela curva 2 na figura.
pausa
fim
curva 2
x = + 2,4 m
t = 6,0 s
t = 1,0 s
t = 1,0 s
x = - 0,58 m
x = + 1,7 m
xp = 4,8
xi = 1,0
xf = 3,4
No segmento 1 (primeiro)
A velocidade escalar média é a inclinação da reta
x ÷ t = (1,7 m)/(1,0 s) = 1,7 m/s !
No segmento 2 (segundo)
A velocidade escalar média é a inclinação da reta
A inclinação é zero, o homem está parado e portanto a
velocidade escalar média é Zero.
No segmento 3 (terceiro)
A velocidade escalar média é a inclinação da reta
x ÷ t = (0,58 m)/(1,0 s) = 0,58 m/s (voltando ! Sinal ?)
Velocidade Média
1
2
3
Observação: Notar a INCLINAÇÃO DA RETA
(positiva ou negativa) e os valores das velocidades
(segmentos 1, 2 e 3)!
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Velocidades
• A quantidade que fornece a velocidade e a
direção da viagem é a velocidade média.
• A componente x da velocidade média de um
objeto é a componente x de seu deslocamento
(xf – xi) dividido pelo intervalo de tempo
necessário para percorrer esse deslocamento.
• velocidade escalar: “O carro está indo a 100
km/h”
• velocidade: “O carro está indo 100 km/h
para oeste”
Velocidade Escalar Média e Velocidade Média
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Velocidade escalar média e
velocidade média
• Com cerca de 20 minutos de
sobra, você caminha vagarosamente
da sua casa para a aula, que fica a
1,0 km = 1.000 m de distância.
• No meio do caminho, você
percebe que esqueceu seu caderno e
corre de volta para sua casa.
• Você caminhou 6,0 minutos antes
de se virar e correr três vezes mais
rápido por unidade de tempo do
que ao caminhar.
• Quais são (a) a componente x de
sua velocidade média e (b) sua
velocidade escalar média durante
toda a viagem?
Para iniciar a elucidação deste problema, ajuda bastante
fazer um esboço para visualizar a situação
CasaSala de
Aula
0,5 km 0,5 km
Caminhando
Correndo
6,0 minutos
vcor = 3 vcam
Para encontrar a componente x de sua velocidade média é necessário dividir
a componente x do seu deslocamento (xf – xi) pelo intervalo de tempo no
qual esse deslocamento ocorreu. Para encontrar sua velocidade escalar
média, é necessário dividir a distância percorrida pelo intervalo de tempo.
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(a) Quando você está de volta a sua casa, a
componente x de seu deslocamento (xf – xi) é
zero porque suas posições inicial e final são as
mesmas.
Portanto, a componente x de sua velocidade
média também é zero. ✔
velocidade média = (componente x do
deslocamento)/(tempo)
Velocidade Escalar Média e Velocidade Média
(b) Você “viajou” na metade do caminho para a aula e de volta.
Portanto, você “viajou” 0,5 km duas vezes, sendo o total de 1,0
km. Você caminhou por 6,0 min. Como você corre três vezes
mais rápido do que anda, levou apenas 2,0 minutos para
retornar. O tempo total de ida e volta é então de 8,0 min (6,0 +
2,0) ou 480 s. Sua velocidade escalar média, portanto, é
(distância percorrida)/(intervalo de tempo) = (1000 m)/(480 s) =
2,1 m / s.
CasaSala de
Aula
0,5 km 0,5 km
Caminhando
Correndo
6,0 minutos
vcor = 3 vcam
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AVALIAÇÃO DO RESULTADO
Se você INICIA e TERMINA no
mesmo lugar, na mesma posição, o seu
deslocamento (xf – xi) é zero e,
portanto, sua velocidade média é zero,
não importa o que aconteça.
Para (b): a velocidade escalar média é
de 2,1 m/s (ou ~ 4,7 mi/h), ou seja, em
uma faixa bastante razoável para uma
pessoa que faz uma combinação de
caminhada e corrida.
Velocidade Escalar Média e Velocidade Média
Dirigindo na cidade
Você precisa dirigir até uma loja que fica 1,0 mi a oeste de sua
casa, na mesma rua em que você mora. Existem 5 (cinco)
semáforos entre sua casa e a loja, e em sua viagem você atinge
todos os cinco assim que eles “mudam” para vermelho.
Enquanto você está se movendo, sua velocidade escalar média é
de 20 mi/h, mas você tem que esperar 1 minuto em cada um dos
semáforos.
(a) Quanto tempo você leva para chegar à loja?
(b) Qual é a distância percorrida ?
(c) Qual é a velocidade escalar média para concluir a viagem?
Vamos a + um exemplo com
unidades do sistema inglês
É sempre bom recordar
que 1 mi (milha) ~ 1,6 km
= 1600 m
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Velocidade Escalar Média e Velocidade Média
❶ INICIANDO
1. Desenhe um diagrama que o ajude a
visualizar todos os segmentos em movimento e
parados e sua velocidade em cada segmento.
Faz diferença onde os semáforos estão
localizados?
2. Você inicia e para, acelera e desacelera. O
que significa a velocidade escalar média neste
caso e como ela se relaciona com o seu
deslocamento (xf – xi) em cada segmento?
Norte
Sul
LesteOeste
CasaLoja
Vetor Deslocamento (xf – xi)
1 mi Oeste
1,6 km Oestevelocidade escalar média é de 20 mi/h
t em cada semáforo: 60 s
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❷ PLANO DE AÇÃO
3. Durante quanto tempo você está se
movendo? Durante quanto tempo você fica
parado nas luzes?
4. Qual é o seu deslocamento (xf – xi) para
executar a viagem?
5. Como você pode aplicar as respostas às
perguntas para obter sua velocidade média?
6. Qual é a distância percorrida e como ela se
relaciona com sua velocidade escalar média?
7. Como a velocidade média e a velocidade
escalar média estão relacionadas neste caso?
Velocidade Escalar Média e Velocidade Média
Norte
Sul
LesteOeste
CasaLoja
Vetor Deslocamento (xf – xi)
1 mi Oeste
1,6 km Oeste
velocidade escalar média é de 20 mi/h
t em cada semáforo: 60 s
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❸ EXECUTANDO O PLANO
O tempo total gasto na viagem é: tempo se deslocando +
tempo gasto nos semáforos !
20 mi/h (1 h/60 min) = 1/3 mi/min
1/3 + 1/3 + 1/3 = 1 mi em 3 min
Tempo total gasto = 3 min + 5 min = 8 min = 480 s
(a) Você leva 8 min = 480 s para chegar à loja !
(b) A distância total percorrida é de 1 mi ou ~ 1600 m!
(c) A velocidade escalar média para concluir a viagem =
distância percorrida/tempo gasto = (1 mi)/(8 min) ou
ainda (1 mi/8 min) (60 min/1 h) = 7,5 mi/h ~ 3,3 m/s
CasaLoja
Vetor Deslocamento (xf – xi)
1 mi Oeste
1,6 km Oeste
Velocidade Escalar Média e Velocidade Média
velocidade escalar média é de 20 mi/h
t em cada semáforo: 60 s
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Velocidade Escalar Média e Velocidade Média
1. A velocidade média (vetorial) é a razão entre
o deslocamento (xf – xi) e o tempo gasto para esse
deslocamento;
2. (xf – xi) = 1 mi, ou seja, ~ 1.600 m;
3. O tempo gasto para percorrer essa 1 mi foi
de 8 min = 480 s;
4. velocidade média = 1.600 m/480 s
= 3,3 m/s na Direção
de Leste para Oeste!
Neste caso, as velocidades médias (escalar e
vetorial) são as mesmas ~ 3,3 m/s mas os
detalhes do movimento NÃO !
Norte
Sul
LesteOeste
CasaLoja
Vetor Deslocamento (xf – xi)
1 mi Oeste
1,6 km Oeste
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Velocidade Média de um Gráfico
Tempo (s)
• Calcular a velocidade média:
• entre [0, 1 s]?
Resposta: as posições inicial xi e final xf
não foram alteradas, ou seja, xi e xf = 20
m entre [0, 1 s].
A velocidade média = (xf – xi)/1 s
= 0 m/1 s
= 0 m/s
Lembrar que: a componente x da velocidade média de um objeto
é a componente x de seu deslocamento (xf – xi) (vetor) dividido pela duração
do intervalo de tempo necessário para percorrer esse deslocamento.
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Velocidade Média de um Gráfico
Tempo (s)
• Calcular a velocidade média:
• entre [1, 3 s]?
Resposta: o objeto se desloca de xi = 20
m até xf = 60 m em um intervalo de
tempo de 2 s.
velocidade média = (xf – xi) m/2 s
= (60 -20) m/2 s
= 40 m/2 s
= 20 m/s, na direção
crescente do movimento !
x = + 40 m
t = 2 s
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20
Velocidade Média de um Gráfico
Tempo (s)
• Calcular a velocidade média:
• entre [0, 3 s]?
Resposta: o objeto se desloca de xi = 20 m
até xf = 60 m em um intervalo de tempo de
3 s.
velocidade média = (xf – xi)/3 s
= (60 – 20)m/3 s
= 13,33 m/s, na direção
crescente do movimento !
x = + 40 m
t = 3 s
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Velocidade Média de um Gráfico
Tempo (s)
• Calcular a velocidade média:
• entre [3, 6 s]?
Resposta: o objeto se desloca de xi = 60 m até xf
= 20 m em um intervalo de tempo de 3 s.
velocidade média = (xf - xi ) m/3 s
= (20 – 60) m/3 s
= - 40 m/3 s = - 13,33 m/s
Na direção decrescente do movimento !
t = 3 s
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Velocidade Média de um Gráfico
Tempo (s)
• Calcular a velocidade média:
• entre [0, 6 s] ou o gráfico todo ?
Resposta: o objeto se desloca de xi = 20 m mas
retorna a sua posição inicial em xf = 20 m após
um intervalo de tempo de 6 s.
velocidade média = 0 m/6 s = 0 m/s
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