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Electrónica Programada para TIC
2005, Paulo Alexandre Crisóstomo Lopes, ISCTE
Exercícios v1/2005
Sinais e sistemas no tempo
1) Para cada um dos seguintes sistemas determine se este é (1) estável (2) causal (3)
linear (4) invariante no tempo (5) sem memória.
a) com g[n] conhecido
b)
c)
d)
e)
Invariante no tempo
,
Donde resulta
f)
2) Quais dos seguintes sistemas são invariantes no tempo?
a)
b)
c)
d)
Resolução:
,
Donde resulta,
3) Quais dos seguintes sistemas são causais?
a)
b)
c)
d)
4) A notação x[((n))N ] é utilizada para definir,
em que n modulo N, é o resto da divisão inteira de n por N. Nomadamente temos ((3))8=3,
((12))8=4, ((-6))4=2. Se
,
represente x[((n))3] e x[((n-2))3].
5) Sendo, e determine para que valores de n é
que a convolução dos dois sinais é diferente de zero.
6) Por resolução directa da equação às diferenças determine a resposta impulsiva do
sistema (condições iniciais nulas):
7) Determine se os seguintes sinais são periódicos, e em caso afirmativo determine o seu
período.
a)
b)
c)
d)
e)
8) Dada a sequência
,
determinar,
a)
b)
9) Utilize uma combinação de funções de escalão unitário, u[n], para definir,
10) Considere o seguinte sistema,
,
a) O sistema é linear e invariante no tempo?
b) O sistema é causal?
c) O sistema é estável (Entrada Limitada Saída Limitada)
11) Para cada um dos seguintes sistemas determine se estes são estáveis:
a)
b)
c)
d)
e)
12) Considere as sequências,
determine q[n].
13) Determine a convolução linear das sequências x[n] e y[n],
a) x[n]= [n]+[n-1]+[n-2]; y[n]= [n]+[n-1]+[n-2]
b) x[n]= [n]+[n-1]+[n-2]; y[n]= [n]-[n-1]
c) x[n]= [n]+2[n-1]+3[n-2]; y[n]= 3[n]+2[n-1]+[n-2]
d) x[n]= [n]-[n-1]; y[n]= [n]+[n-1]+[n-2]
14) Determine a convolução de,
a) , com
b) , com
15) Obtenha a resposta impulsiva dos seguintes sistemas,
a)
b)
c)
Transformada de Fourier de Sinais Discretos (DTFT)
1) Determine a Transformada de Fourier da sequência usando a definição desta.
2) Determine a transformada de Fourier dos seguintes sinais,
a)
b)
c)
3) Determine a amplitude e a fase da resposta em frequência de um filtro de média
móvel,
4) Dado um sinal, x[n], cuja transformada de Fourier está representada na figura,
determine x[0].
5) Considere um sistema com a seguinte resposta em frequência,
,
determine a saída do sistema, y[n], quando a entrada do sistema é,
6) Considere o sistema LTI com resposta em frequência (para ) dada por,
.
Determine a saída do sistema, y[n], quando a entrada é dada por,
.
7) Considere o seguinte sistema, correspondente à ligação em cascata de dois sistemas
lineares e invariantes no tempo,
o primeiro sistema é descrito pelo equação,
e o segundo sistema é descrito por,
.
Determine a saída do sistema quando a entrada é,
.
O resultado deve ser obtido apenas por inspecção do sistema, usando as propriedades dos
sistema lineares e invariantes no tempo, não sendo necessário efectuar qualquer cálculo.
8) Determine a resposta impulsiva de um filtro passa-baixo, cuja resposta em frequência
é dada por,
9) Determine a resposta impulsiva de um filtro passa-alto, cuja resposta em frequência é
dada por,
10) Determine a resposta em frequência de um sistema com resposta impulsiva dada por,
11) Dado,
Calcule as seguintes quantidades sem calcular explicitamente .
a)
b)
c)
d)
Amostragem
1) O sinal contínuo,
foi amostrado com um período de amostragem T, de forma a obter o sinal discreto,
Determine qual foi o período de amostragem, T.
2) O sinal continuo,
foi amostrado com um período de amostragem T, de forma a obter o sinal discreto,
determine qual foi o período de amostragem, T.
3) Obtenha dois sistemas contínuos que quando amostrados com um período de
amostragem de T=1/10 000s, resultem no sistema discreto,
4) Um sinal continuo com uma transformada de Fourier dada por,
,
é amostrado com uma frequência de amostragem de 1000 Hz.
a) Qual é a resposta em frequência do sinal discreto resultante.
b) A energia do sinal contínuo é
determine a energia do sinal discreto
5) Considere o sistema na figura, em que o sistema discreto implementa um filtro passa
baixo ideal com uma frequência de corte de /8 rad/s.
a) Se xc(t) for limitado a 5 kHz, qual é o maior valor de T que ainda evita
sobreposição de espectro no conversor de analógico para digital?
b) Se 1/T=10 kHz, qual será a frequência de corte do filtro contínuo equivalente?
c) Repita a alínea b) para 1/T=20 kHz
6) Um sistema discreto tem uma resposta em frequência dada por,
.
Este é utilizado num sistema contínuo como o da figura, com um frequência de amostragem
de 1000 Hz. Determine a resposta em frequência do sistema resultante.
7) Dado um sinal analógico limitado na frequência pretendemos utilizar um sistema
discreto para remover uma interferência de 50 Hz. Sabendo que a frequência de
amostragem do sistema é de 1000 Hz, qual deve ser a frequência digital, , removida
pelo filtro.
8) Assumindo um sistema discreto de processamento de sinais contínuos, que
implementa um filtro passa baixo com uma frequência de corte , em que a
frequência de amostragem do conversor A/D é fa e a frequência de conversão do
conversor D/A é fb. Esboce o espectro do sinal de saída quando a entrada é um sinal
com transformada de Fourier representada na figura, em que .
a) fa=fb=10kHz
b) fa=fb=20kHz
c) fa=20kHz e fb=10kHz
9) Qual é o sinal discreto resultante da amostragem do sinal contínuo,
com um período T=1/5000 s.
10) Considere o sinal com espectro representado na figura,
em que N é dado por 2 1000 rad/s.
a) Esboce o espectro do sinal resultante da amostragem ideal deste sinal com um período
de amostragem, T, tal que 1/T=1000 Hz, sem dar importância à escala de amplitude.
b) Esboce o espectro do sinal discreto, x[n], resultante da conversão do sinal amostrado
num sinal digital.
11) Suponha que pretende implementar através de um sistema digital de processamento de
sinais um atraso, em que não é necessariamente um múltiplo da
frequência de amostragem, . Assumindo que o sistema utiliza filtros de anti-
sobreposição de espectro e de reconstrução pass-baixo ideais com frequência de corte
igual a , determine qual deve ser a resposta impulsiva do filtro digital
implementado, . Se os filtros não forem ide
12) ais, tendo resposta ao impulso e indique a resposta impulsiva de um
sistema discreto que implemente aproximadamente a atraso referido para frequências
dentro da banda de passagem dos filtros.
13) Suponha que pretende amostrar um sinal filtrado por um filtro passa banda entre os
4000Hz e os 5000Hz. Qual é a frequência de amostragem mínima que permite a
reconstrução do sinal? E se a banda de passagem do filtro passa banda for de 5000Hz
a 6500Hz?
A transformada Z
1) Determine a transformada Z (incluindo a ROC) para cada uma das seguintes
sequências.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
2) Sem obter directamente X(z) determine a região de convergência das sequências.
a)
b)
c)
3) Considera a transformada Z, X(z), com um zero em -1 e três pólos em 1/3, 2 e 3.
a) Determine qual é a região de convergência de convergência de X(z) sabendo
que existe a transformada de Fourier.
b) Quantas sequências causais possíveis podem ter o mapa de pólos zeros
referido?
c) É possível que este mapa esteja associado com um sistema que é
simultaneamente estável e causal?
4) Para cada uma das transformadas Z referidas, determine a transformada inversa.
a)
b)
c)
d)
5) Determine a transformada Z inversa da função, por tabelas, pela expansão em série
utilizando divisão de polinómios e por resolução numérica da equação às diferenças.
a)
b)
6) Quais das seguintes transformadas Z podem corresponder à função de transferência de
sistemas causais e estáveis.
a)
b)
c)
d)
e)
7) Indique se os seguintes sistemas são invertíveis. Qual é a função de sistema do sistema
inverso.
a) b) c)
d)
8) A função de transferência de um sistema causal é dada por,
e a entrada do sistema é, .
a) Determine a saída do sistema, y[n]
b) O sistema é estável?
c) Um sistema linear e invariante no tempo tem uma função de transferência dada
por,
determine a saída do sistema quando a entrada é,
9) Quando a entrada de um sistema linear e invariante no tempo é,
,
a saída do sistema é,
.
Determine a função de sistema, .
10) O seguinte diagrama de blocos implementa um sistema linear e invariante no tempo.
a) Determine H(z), a função de sistema, a partir da equação às diferenças deste.
b) Determine quais os valores de k que mantêm o sistema estável. (sugestão:
verifique a posição dos pólos de H(z).
11) Determine a função de sistema, H(z), dos seguintes sistemas,
a)
b)
12) Determine a resposta impulsiva do sistema descrito pela seguinte equação ás
diferenças, com condições iniciais nulas.
a)
b)
13) Determine a resposta transitória às condições iniciais, quando a entrada é nula.
a)
b)
14) Dado um sistema com resposta impulsiva dada por, e entrada determine a
saída do sistema.
15) Dada a transformada Z de uma sequência ,
,
Determine o valor de .
16) Dado um sistema com transformada-Z dada por,
A resposta impulsiva do sistema inverso. Quanto deve atrasar a resposta impulsiva do
sistema inverso de forma que este fique causal, de tal forma que a resposta impulsiva
para tempo negativo se tenha reduzido até 1% do seu valor inicial.
Filtros digitais não recursivos
1) Qual é o atraso de grupo (em períodos de amostragem) um filtro FIR do tipo I
(h[n]=h[M-n], com M par) e de ordem M=32?
2) Suponha que pretende implementar um filtro passa-baixo ideal com uma resposta em
frequência dada por,
.
No entanto é apenas possível implementar o filtro,
,
em que w[n], e uma janela com uma resposta em frequência dada aproximadamente por,
.
Determine a resposta em frequência do filtro resultante, .
3) Suponha que pretende implementar um filtro passa-baixo ideal com uma resposta em
frequência dada por,
.
No entanto é apenas possível implementar o filtro,
,
Quais dos seguintes funções de transferência se aproxima mais do filtro resultante?
a) b)
c) d)
4) Suponha que pretende projectar um filtro passa-baixo tipo FIR com uma banda de
passagem que termina em p =0.1, com o início da banda de paragem em s =0.2 e
uma atenuação de 40 dB. Qual é a ordem, M, necessária para implementar um filtro
que cumpra estas especificações utilizando a janela de Kaiser?
5) Qual deve ser a frequência de corte do filtro ideal utilizado para projectar pelo método
das janelas um filtro passa-baixo em que os extremos da banda de passagem e de
paragem são P =0.01 e S =0.03.
6) Suponha que pretende projectar um filtro passa-alto tipo FIR com uma banda de
passagem que termina em p =0.9, com o início da banda de paragem em s =0.8 e
uma atenuação de 40 dB. Qual é a ordem, M, necessária para implementar um filtro
que cumpra estas especificações utilizando a janela de Kaiser?
7) Determina uma expressão para a resposta impulsiva de um filtro passa-baixo com
banda de passagem P =0.1 e S =0.2 e uma atenuação de -40dB. Para tal deve
determinar a frequência de corte do filtro ideal utilizando, a janela e a ordem do filtro
utilizado, e finalmente a expressão final.
8) Suponha que projectou dois filtros digitais passa baixo com uma frequência de corte
de e de ordem 64, pelo método das janelas. Para o primeiro filtro utilizou uma
janela rectangular e para o segundo uma janela de Hamming. Determine a energia da
diferença entre a resposta ideal do filtro e a resposta do filtro projectado quando o
sinal de entrada é:
a) Uma sinusóide de frequência .
b) Uma sinusóide de frequência .
9) Projecto um filtro passa-banda com banda de passagem de P1 =0.15 a P1 =0.3
com uma banda de paragem a partir de P1 =0.05 e de P2 =0.4. a) Determine a
qual deve ser a ordem e o parâmetro β de uma janela de kaiser que cumpra as
especificações. b) Indique agora qual deve ser a ordem do filtro equiriple para as
mesmas especificações. c) Escolha uma janela que não a de Kaiser, e determine a
expressão para os coeficientes do filtro, nomeadamente determine a ordem o filtro
ideal e a expressão final.
Filtros digitais recursivos
1) Suponha que vai converter um filtro analógico passa-baixo com o fim da banda de
passagem em, p = 2 1000 rad/s e com o inicio da banda de paragem em S = 2
1500 rad/s num filtro digital. Quais são os valores que obtêm para as frequências
normalizadas p e s se utilizar a transformação bilinear e um período de amostragem
dado por T = 1/10000 s.
2) Qual é a função de sistema H(z), do filtro digital que obtemos se aplicarmos a
transformação bilinear a um filtro passa-baixo contínuo de primeira ordem com uma
frequência de corte aos 3dB de c. Note que a função de sistema do filtro é dada por,
.
Assuma que o período de amostragem é T.
3) Qual é a função de sistema H(z), do filtro digital que obtemos se aplicarmos a
transformação bilinear a um filtro passa-alto contínuo de primeira ordem com uma
frequência de corte aos 3dB de c. Note que a função de sistema do filtro é dada por,
.
Assuma que o período de amostragem é T.
4) Obtenha a equação às diferenças que se obtêm pela aplicação da transformação
bilinear (período de amostragem T) a um integrador analógico, com uma função de
transferência dada por,
5) Indique os aproximadamente os valores da frequência para os quais ocorrem os
valores máximos e os zeros da função de transferência de um filtro de um filtro IIR
com o seguinte mapa de pólos e zeros.
6) Pretende-se projectar um filtro digital passa-baixo com uma banda de passagem de
e uma banda de paragem de . A oscilação na banda de paragem
é de e a atenuação é de, , donde resulta .
a) Determine a ordem necessária para cumprir as especificações, utilizando um
filtro IIR tipo Butterworth projectado a partir de um protótipo analógico com a
transformação bilinear. Note que a amplitude da resposta em frequência de um
filtro Butterworth de ordem N e frequência de corte é dada por,
Donde se pode tirar
e
para cortar e tirar o valor de N.
b) Determine agora a ordem necessária para cumprir as especificações utilizando
um filtro FIR e a janela de Kaiser.
c) Obtenha a função de sistema de um filtro butterworth de terceira ordem, que
cumpra as especificações para os valores , e (não é possível cumprir
as especificações para ). O protótipo analógico correspondente é dado por,
.
d) Obtenha a equação às diferenças que implementa o filtro referido. Quantas
multiplicações por amostra são necessárias para implementar este filtro num
processador de sinal utilizando uma implementação directa tipo II?
e) Obtenha a fórmula de cálculo dos coeficientes do filtro FIR que cumpra as
especificações mas utilizando uma janela de rectangular. Quantas
multiplicações por amostra são necessárias para implementar o filtro.
7) Considere o sistema,
.
Utilize a invariancia ao impulso para o obter o filtro discreto correspondente. Indique a
equação às diferenças que permite implementar o sistema.
8) Utilize a transformação bilinear para projectar um filtro passa-banda de segunda
ordem com banda de passagem entre e e uma oscilação na banda de
passagem de 3dB. Utilize a transformação passa-baixo passa-banda.
Projecto de filtros digitais para um Modem
Considere o diagrama de blocos apresentado, que representa um MODEM.
@sin_sinc
1500 Hz
+X
2500 Hz
100 Hz
buffer debits
Portadora desincronismo
Portadorade dados
Ritmo desimbolo
X
sinal desincronismo
sinal dedados
Canal
+
+
OSC1
OSC2
OSC3
@sin_dad
Figura 1 - Diagrama de blocos do modelador
sinal dedadosCanal |.|
|.| remoçãode média
remoçãode média
transiçãoneg-pos
amostrageme desisão
sinal desincronismo
deteção deenvolvente
deteção deenvolvente
1500 Hz
2500 Hz
100 Hz
100 Hz
bits buffer debits
Registo R3
Registo R4
FIR1
FIR2
FIR3
FIR4
Figura 2 - Diagrama de blocos do desmodelador
Os filtro F1 e F3 podem ser implementados através de uma função de sistemas da forma,
com e .
Tal corresponde a uma secção de segunda ordem, como pólos complexos conjugados em e
. O filtro resultante será um filtro passa-banda centrado em e com ganho de
aproximadamente um na banda de passagem. Para tal deve estar junto ao círculo de raio
unitário, ou seja deve ter-se , ou mais concretamente .
1) Considere o filtro F1 referido.
1ª) Mostre que para
1b) Determine o valor de para o filtro F1, de forma a que este tenha uma largura de
banda aos 3 dBs de 100 Hz. O filtro tem uma frequência central de 1500 Hz e a frequência
de amostragem é de 9.6 kHz.
1c) Determine a atenuação do filtro para .
1d) Determine a equação às diferenças que permite implementar o filtro.
1d) Se utilizarmos um filtro da forma,
Qual seria a equação às diferenças que permite implementar o filtro, utilizando aritmética
complexa? Assuma que utiliza os mesmos valores que os calculados na alínea anterior, já que
tal resulta no mesmo valor para a largura de banda. Escreva agora as equações que
implementam este filtro utilizando apenas aritmética real e compare o peso computacional
com o do filtro anterior.
2) Considere o filtro F3 referido.
2ª) Repita a pergunta 1b) mas para o filtro F3. Note que agora a frequência central do filtro
é de 2500 Hz.
2b) Determine a atenuação do filtro para .
3) Determine qual é a ordem necessária para implementar um filtro FIR, com uma banda de
transição de e um atenuação na banda de paragem de . Indique os
resultados para uma janela de Kaiser. Note que como a banda de transição é muito maior
que a banda de passagem temos,
Banda de transição = ,
em que é a largura do lóbulo principal da janela no domínio da frequência.
4) Os filtros F3 e F4, correspondem a filtros passa-baixo. Estes podem ser implementado por,
, com real e menor que um.
4-a) Determine “a” de forma que a largura de banda a 3 dB seja de 100 Hz.
5) Os filtros de remoção de média são filtros passa alto da forma apresentada, com a real
menor que um:
5-a) Mostre que para e que para e .
5-b) Determine “a” de forma que a largura de banda a 3 dB seja de 1 Hz.
5-c) O filtro pode ainda ser representada na forma,
ou seja o filtro passa alto pode ser implementado a custa de um filtro passa baixo e o sistema
identidade. Determine a resposta impulsiva do filtro passa baixo correspondente.
5-d) Determine a constante de tempo, , que lhe está associada. A constante de tempo deve
ser tal que a resposta impulsiva do filtro assuma a forma,
.
Compare este valor e o período da portadora do sinal de dados, .
6) Calcule o atraso de grupo dos filtros, F1, F2 no centro da banda de passagem e F3 e F4
para frequências nulas. Note que o atraso de grupo pode ser calculado de,
já que .
Transformada de Fourier Discreta (DFT)
1) Determine a DFT de 10 pontos dos sinais
a)
b)
c)
d)
2) Determine a convolução circular de quatro pontos das sequências
a) com
b) com
3) Dado um sistema com resposta impulsiva
,
e cuja resposta em frequência é . Suponha que a resposta em frequência é amostrada
resultando em
.
Determine a Transformada de Fourier Discreta Inversa de 16 pontos (IDFT16) de G[k].
4) Assuma que projecta um filtro FIR de 10 coeficientes passa-baixo utilizando uma
(IDFT10) de forma que,
caso contrário
Determine qual é a oscilação na banda de passagem do filtro, , a oscilação na banda de
paragem assumindo que a banda de transição é para k entre dois e três.
Solução: Como tem simetria par, isto é: então temos que é real.
Donde resulta que,
fica
com
-10 -5 5 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
a oscilação será em geral mais forte junto da banda de transição. Podemos aproximar esta
valor por,
e
5) Determine a DFT de quatro pontos de {0, 1, 1, 0}. Determine a IDFT do resultado e
verifique que obtém o resultado inicial.
6) Considere e . Determine e , e
. Calcule agora utilizando a IDFT de e a convolução
circular entre e .
7) Calcule a FFT {0, 1, 1, 0}.
8) Calcule a FFT {0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0}.
9) Suponha que pretende implementar um filtro FIR de ordem 1024. Determine qual é o
número de operações de multiplicação por amostra que são necessárias utilizando: i)
uma implementação no domínio do tempo; ii) o Overlap and Add; iii) Overlap and
Save. Qual é a memoria necessária em cada um dos casos?
10) Suponha que pretende efectuar uma DFT de dimensão 8 com 8 bits de resolução.
Assumindo que o peso computacional de uma multiplicação é proporcional ao
quadrado do número de bits, (notar que, para um número elevado de bits é possível
tornar o peso computacional da multiplicação quase linear com o número de bits)
determine qual é o peso computacional utilizando a DFT e a FFT, garantindo os oito
bits de relação sinal ruído na saída. Assuma que no pior caso o ruído de quantificação
da FFT é N-1 vezes o ruído de quantificação de uma única multiplicação complexa.
11) Determine o valor transformada de Fourier para tempo discreto do sinal,
{0,0,0,0,0,1,1,0} para as frequências dadas por , com = 2 e 3.
12) Calcule a DFT de {1, 0, 1, 0} utilizando a FFT com divisão na frequência.
13) Utilizando as propriedades da DFT/DFS mostre que se com e
reais, temos que e que . Tal permite
efectuar uma FFT de dois sinais reais à custa de uma única FFT.
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