Enef8 02 séries uni

11

Séries UniformesSéries Uniformes

Operações com Operações com Séries UniformesSéries Uniformes

22

Séries UniformesSéries Uniformes

Objetivos :Objetivos :

– Entender o DFC em sériesEntender o DFC em séries

– Diferenciar séries antecipadas, Diferenciar séries antecipadas, postecipadas e diferidaspostecipadas e diferidas

– Compreender os cálculosCompreender os cálculosenvolvendo séries uniformesenvolvendo séries uniformes

– Discutir os principaisDiscutir os principaisaspectos associados àsaspectos associados àsséries uniformesséries uniformes

Conceito de SériesConceito de Séries

Seqüência de pagamentos ou Seqüência de pagamentos ou recebimentos em datas futuras, recebimentos em datas futuras,

como contrapartida de recebimento como contrapartida de recebimento ou aplicação a valor presenteou aplicação a valor presente

44

Classificações de SériesClassificações de Séries

Quanto ao número de prestações:

Finitas : quando ocorrem durante um período pré-determinado de tempo Infinitas : ou perpetuidades, ocorrem quando ocorrem de forma ad eternum. Isto é, quando os pagamentos ou recebimentos duram de forma infinita.

Quanto à periodicidade dos pagamentos:

Periódicas : quando os pagamentos ocorrem a intervalos constantes Não-periódicas : quando os pagamentos ou recebimentos acontecem em intervalos irregulares de tempo

Quanto ao valor das prestações:

Uniformes : quando as prestações ou anuidades são iguais. Não-uniformes : quando os pagamentos ou recebimentos apresentam valores distintos

Quanto ao prazo dos pagamentos:

Postecipadas : quando as anuidades iniciam após o final do primeiro período Antecipadas : quando o primeiro pagamento ocorre na entrada, do início da série

Quanto ao primeiro pagamento:

Diferidas : ou com carência, quando houver um prazo maior que um período entre a data do recebimento do financiamento e data de pagamento da primeira prestação Não diferidas : quando não existir prazo superior a um período entre o início da operação e o primeiro pagamento ou recebimento.

Tipos de sériesTipos de séries

UniformesUniformes– Valores nominais iguaisValores nominais iguais

Não uniformesNão uniformes– Valores nominais diferentesValores nominais diferentes

Esta aula:Esta aula:

Séries UniformesSéries Uniformes

Classificação das sériesClassificação das séries

AntecipadasAntecipadas– Com entradaCom entrada– Exemplos … 1 + 2, 1 + 5, 1 + …Exemplos … 1 + 2, 1 + 5, 1 + …

PostecipadasPostecipadas– Sem entradaSem entrada– Exemplos … 2x, 5x, 6x …Exemplos … 2x, 5x, 6x …

77

Conceito de Séries UniformesConceito de Séries Uniformes

Consistem em uma sequência de recebimentos Consistem em uma sequência de recebimentos ou pagamentos, cujos valores são ou pagamentos, cujos valores são iguaisiguais..

Genericamente, as séries uniformes podem ser Genericamente, as séries uniformes podem ser representadas de acordo com a figura a seguir:representadas de acordo com a figura a seguir:

88

VP = Valor PresenteVP = Valor Presente

PMT = Prestações ou PagamentosPMT = Prestações ou Pagamentos

0

n = número de pagamentos iguaisn = número de pagamentos iguaisCarênciaCarência

m +1m +1

DFC genérico de série uniformeDFC genérico de série uniforme

A fórmula básica para uso em séries A fórmula básica para uso em séries uniformes pode ser apresentada como :uniformes pode ser apresentada como :

99

mn

n

ii

iiPVPMT

111

1

Séries UniformesSéries UniformesFórmula para séries uniformesFórmula para séries uniformes

Onde :Onde : PMT = Pagamento periódico igualm = carência em número de períodosn = número de pagamentosPV = valor presentei = taxa de juros

SOMENTE PARA SÉRIES DIFERIDAS

1010

Valor PresenteValor Presente

n Pagamentos Periódicosn Pagamentos PeriódicosSem EntradaSem Entrada

0

PostecipadaPostecipada

Séries PostecipadasSéries Postecipadas

PMT

O pagamento ocorreO pagamento ocorreao final do primeiroao final do primeiro

períodoperíodo

A geladeira nova de PedroA geladeira nova de Pedro

Pedro quer comprar uma Pedro quer comprar uma geladeirageladeira

Na loja, $1.000,00 a vistaNa loja, $1.000,00 a vista Ou … em quatro Ou … em quatro iguaisiguais mensais, mensais,

sem entradasem entrada

Valores nominaisValores nominaisiguaisiguais

SériesSériesUNIFORMESUNIFORMES

+$1.000,00+$1.000,00

2200 11 4433

-PMT-PMT Taxa da loja?Taxa da loja?

i= 4% a.m.i= 4% a.m.

Como obterComo obterPMT?PMT?

ÁlgebraÁlgebraTabelasTabelasHP 12CHP 12C

Usando o bom sensoUsando o bom senso

Pagamentos em Pagamentos em 1, 2, 3 e 41, 2, 3 e 4

Prazo médio igual Prazo médio igual a 2,5a 2,5

+$1.000,00+$1.000,00

2200 11 4433

-PMT-PMT

i= 4% a.m.i= 4% a.m.n = 2,5n = 2,5

Supondo JSSupondo JS

VFVF

VF = VP (1+in)VF = VP (1+in)

VF = 1000 (1+0,04.2,5)VF = 1000 (1+0,04.2,5)

VF = 1100VF = 1100

Como são feitos quatro pagamentosComo são feitos quatro pagamentos

Pagamento = 1100/4 = $275,00Pagamento = 1100/4 = $275,00

Cuidado!Cuidado!Valor aproximado Valor aproximado por juros simplespor juros simples

Valor exato Valor exato com juros com juros

compostoscompostos

PQ?VF = 1+2+3+4

PMT = VF/4

MÉDIA = (1+2+3+4)/4

1313

Séries PostecipadasSéries Postecipadas

Utilizando Utilizando aan’in’i

VP = aVP = an,in,i.PMT .PMT

PMT = PMT = VPVP aan,in,i

Usando a álgebraUsando a álgebra

n

n

inii

ia

1

11,

Usando a tabelaUsando a tabela

N iN i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 0,9901 0,9804 0,9709 0,9615 0,9524 0,9434 0,9346 0,9259 0,9174 0,9091

2 1,9704 1,9416 1,9135 1,8861 1,8594 1,8334 1,8080 1,7833 1,7591 1,7355

3 2,9410 2,8839 2,8286 2,7751 2,7232 2,6730 2,6243 2,5771 2,5313 2,4869

4 3,9020 3,8077 3,7171 3,6299 3,5460 3,4651 3,3872 3,3121 3,2397 3,1699

5 4,8534 4,7135 4,5797 4,4518 4,3295 4,2124 4,1002 3,9927 3,8897 3,7908

6 5,7955 5,6014 5,4172 5,2421 5,0757 4,9173 4,7665 4,6229 4,4859 4,3553

7 6,7282 6,4720 6,2303 6,0021 5,7864 5,5824 5,3893 5,2064 5,0330 4,8684

8 7,6517 7,3255 7,0197 6,7327 6,4632 6,2098 5,9713 5,7466 5,5348 5,3349

9 8,5660 8,1622 7,7861 7,4353 7,1078 6,8017 6,5152 6,2469 5,9952 5,7590

10 9,4713 8,9826 8,5302 8,1109 7,7217 7,3601 7,0236 6,7101 6,4177 6,1446

aan,in,i=3,6299=3,6299

Pagamento = 1000/3,6299 = $275,49Pagamento = 1000/3,6299 = $275,49

Exemplo AExemplo A

Um televisor é anunciado por $600,00 a vista. A Um televisor é anunciado por $600,00 a vista. A loja aceita parcelar a compra, cobrando 2% a.m. loja aceita parcelar a compra, cobrando 2% a.m. Calcule o valor das prestações supondo um Calcule o valor das prestações supondo um plano do tipo:plano do tipo:

4 x sem entrada4 x sem entrada

VP = aVP = an,in,i.PMT .PMT

PMT = PMT = VPVP aan,in,i

n

n

inii

ia

1

11,

Exemplo AExemplo A

Um televisor é anunciado por $600,00 a vista. A Um televisor é anunciado por $600,00 a vista. A loja aceita parcelar a compra, cobrando 2% a.m. loja aceita parcelar a compra, cobrando 2% a.m. Calcule o valor das prestações supondo um Calcule o valor das prestações supondo um plano do tipo:plano do tipo:

4 x sem entrada4 x sem entrada

PMT = PMT = 600600 = 157, 58 = 157, 583,807729 3,807729

4

4

,02,0102,0

102,01

ina

E se os pagamentos fossem …E se os pagamentos fossem …

Com entrada Com entrada ……

2020

Valor PresenteValor Presente

N Pagamentos PeriódicosN Pagamentos PeriódicosCom EntradaCom Entrada

0

AntecipadaAntecipada

Séries AntecipadasSéries Antecipadas

PMT

O pagamento ocorreO pagamento ocorreno início do primeirono início do primeiro

períodoperíodo

Usando o bom sensoUsando o bom senso

Pagamentos em Pagamentos em 0, 1, 2 e 30, 1, 2 e 3

Prazo médio igual Prazo médio igual a 1,5a 1,5

+$1.000,00+$1.000,00

2200 11 4433

-PMT-PMT

i= 4% a.m.i= 4% a.m.n = 1,5n = 1,5

Supondo JSSupondo JS

VFVF

VF = VP (1+in)VF = VP (1+in)

VF = 1000 (1+0,04.1,5)VF = 1000 (1+0,04.1,5)

VF = 1060VF = 1060Como são feitos quatro pagamentosComo são feitos quatro pagamentos

Pagamento = 1060/4 = $265,00Pagamento = 1060/4 = $265,00

Cuidado!Cuidado!Valor aproximado Valor aproximado por juros simplespor juros simples

Valor exato Valor exato com juros com juros

compostoscompostos

2222

Séries AntecipadasSéries Antecipadas

n

n

inii

ia

1

11,

A geladeira nova de PedroA geladeira nova de Pedro

Pedro quer comprar uma Pedro quer comprar uma geladeirageladeira

Na loja, $1.000,00 a vistaNa loja, $1.000,00 a vista Ou … em quatro iguais mensais, Ou … em quatro iguais mensais,

comcom entrada entrada

+$1.000,00+$1.000,00

2200 11 4433

-PMT-PMT

i= 4% a.m.i= 4% a.m.

$264,89$264,89

JC = $265,00, diferença de $0,11!!!JC = $265,00, diferença de $0,11!!!

Exemplo BExemplo B

Um televisor é anunciado por $600,00 a vista. A Um televisor é anunciado por $600,00 a vista. A loja aceita parcelar a compra, cobrando 2% a.m. loja aceita parcelar a compra, cobrando 2% a.m. Calcule o valor das prestações supondo um Calcule o valor das prestações supondo um plano do tipo:plano do tipo:

1 + 3 x1 + 3 x

Analisando o DFC: 4xAnalisando o DFC: 4x

+600,00+600,00

2200 11 4433

-PMT-PMT

Taxa igual a 2% a.m.

Com entrada 154,4846154,4846

Exemplo CExemplo C

A Mercantil Precinho e Descontão A Mercantil Precinho e Descontão Ltda. pensa em financiar suas Ltda. pensa em financiar suas vendas, cobrando uma taxa vendas, cobrando uma taxa composta mensal sempre igual a composta mensal sempre igual a 3% a.m. Calcule o valor das 3% a.m. Calcule o valor das prestações nas operações de prestações nas operações de venda financiada apresentadasvenda financiada apresentadasa seguir:a seguir:

a)a) Rádio SomzãoRádio Somzão

Valor a vista igual a $400,00, em três iguais, Valor a vista igual a $400,00, em três iguais, sem entrada.sem entrada.

Analisando o DFC do Analisando o DFC do SomzãoSomzão

+400,00+400,00

2200 11 4433

-PMT-PMT

Taxa igual a 3% a.m.

Sem entrada 141,4121141,4121

b) Tocador de CD Musicalb) Tocador de CD Musical

Valor a vista igual a $240,00, entrada de Valor a vista igual a $240,00, entrada de $80,00 mais cinco mensais iguais.$80,00 mais cinco mensais iguais.

Analisando o DFC do Analisando o DFC do MusicalMusical

+240,00+240,00

2200 11 4433

-PMT-PMT

Taxa igual a 3% a.m.

Entrada igual a 80

55

-80,00-80,00

+160,00+160,00

34,936734,9367

c) Televisor Veja Maisc) Televisor Veja Mais

Valor a vista igual a $1.200,00, em 1 + 7.Valor a vista igual a $1.200,00, em 1 + 7.

Analisando o DFCAnalisando o DFC

+1.200,00+1.200,00

2200 11 4433

-PMT-PMT

Taxa igual a 3% a.m.

1 + 7

55 66 77

165,97165,97

d) Refrigerador Esquimód) Refrigerador Esquimó

Valor a vista igual a $2.100,00, em 1 + 3.Valor a vista igual a $2.100,00, em 1 + 3.

Analisando o DFC do Analisando o DFC do EsquimóEsquimó

+2.100,00+2.100,00

2200 11 33

-PMT-PMT

Taxa igual a 3% a.m.

1 + 3548,5017548,5017

3535

Exercício de FixaçãoExercício de Fixação

Uma máquina de cortar grama é Uma máquina de cortar grama é anunciada por $600,00 a vista ou em 4 anunciada por $600,00 a vista ou em 4 parcelas mensais iguais, sem entrada. parcelas mensais iguais, sem entrada. Se a taxa de juros cobrada pela loja é Se a taxa de juros cobrada pela loja é igual a 2% ao mês, qual o valor das igual a 2% ao mês, qual o valor das prestações?prestações?

AA BB CC DD EE167167 177177 187187 197197157157

3636

Exercício de FixaçãoExercício de Fixação

Um automóvel novo é vendido a vista por Um automóvel novo é vendido a vista por $40.000,00 ou em dez parcelas mensais $40.000,00 ou em dez parcelas mensais iguais sem entrada no valor de $5.180,18. iguais sem entrada no valor de $5.180,18. Qual o valor da taxa de juros efetiva mensal Qual o valor da taxa de juros efetiva mensal % da operação?% da operação?

AA BB CC DD EE55 66 77 88 99

3737

Exercício de FixaçãoExercício de Fixação

Um microcomputador é anunciado por Um microcomputador é anunciado por $1.200,00 a vista ou em 9 parcelas $1.200,00 a vista ou em 9 parcelas mensais iguais, com entrada. Se a taxa mensais iguais, com entrada. Se a taxa de juros cobrada pela loja é igual a 1% de juros cobrada pela loja é igual a 1% ao mês, qual o valor das prestações?ao mês, qual o valor das prestações?

AA BB CC DD EE119119 129129 139139 149149109109

3838

Exercício de FixaçãoExercício de Fixação

Uma rede de lojas de brinquedos Uma rede de lojas de brinquedos anuncia a venda de um robozinho anuncia a venda de um robozinho eletrônico por $300,00 a vista ou em eletrônico por $300,00 a vista ou em (1+4) prestações mensais iguais no (1+4) prestações mensais iguais no valor de $100,00. Qual a taxa de juros valor de $100,00. Qual a taxa de juros da operação?da operação?

AA BB CC DD EE32,232,2 30,130,1 29,329,3 28,228,234,934,9

3939

Séries PerpétuasSéries Perpétuas

Valor PresenteValor Presente

0

Pagamentos ou recebimentos ad eternum.

Os pagamentos Os pagamentos ou recebimentosou recebimentos

ocorrem atéocorrem atéo infinito.o infinito.

4040

Fórmulas para Séries PerpétuasFórmulas para Séries Perpétuas

Sem crescimento :Sem crescimento :• VP = PMT / iVP = PMT / i

Com crescimento :Com crescimento :• VP = PMTVP = PMT1 1 / (i-g)/ (i-g)

Onde :Onde : PMT1 = fluxo de caixa perpétuo no período 1i = taxa de juros da operação ou custo de capital (deve ser maior que g)g = taxa de crescimento do fluxo de caixa

4141

Exercício de FixaçãoExercício de Fixação

Um título paga juros eternos anuais no Um título paga juros eternos anuais no valor de $80. Se a taxa de juros apropriada valor de $80. Se a taxa de juros apropriada ao risco da operação é igual a 25% ao ano, ao risco da operação é igual a 25% ao ano, qual o valor presente desse papel?qual o valor presente desse papel?

AA BB CC DD EE240240 280280 320320 360360 400400

4242

Exercício de FixaçãoExercício de Fixação

As ações da Rocambole S.A., prevêem pagar um As ações da Rocambole S.A., prevêem pagar um dividendo igual a $ 0,40 por ação no próximo ano. dividendo igual a $ 0,40 por ação no próximo ano. Sabe-se que historicamente, os dividendos da Sabe-se que historicamente, os dividendos da empresa crescem a uma taxa igual a 2% a.a. e o custo empresa crescem a uma taxa igual a 2% a.a. e o custo de capital (i) da empresa é estimado em 16% a.a. Qual de capital (i) da empresa é estimado em 16% a.a. Qual o valor da ação ?o valor da ação ?

AA BB CC DD EE$ 2,86$ 2,86$ 2,17$ 2,17$ 2,5$ 2,5 $ 3$ 3 $ 3,86$ 3,86