Ensino Superior

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2. Integral Definida

Amintas Paiva Afonso

Cálculo 2

b

af x dx

Simbolo de Integração(integral)

Limite inferior de integração

limite superior de integração

integrandoVariável de integração

(diferencial)

Notação para a Integral Definida

)dx

-5/2

b

adxxfS )(

3

1

4 dx

2

1

4y

Avalie as seguintes integrais definidos usando fórmulas de área geométrica.

2

1

22

-2

4 x dx2 2 24 4y x x y

Metade superior só!

3

0

( 2)x dx

2

1

2y x

Teorema: Se f(x) é contínua e não negativa em [a, b], então a integral definida representa a área da região sob a curva e acima do eixo x entre as linhas verticais x = a e x = b .

a b

A Integral de uma Constante

Se F(x) = c, onde c é a constante, no intervalo [a, b], então

b

a

b

ao abccdxdxxf )()(

( ) ( )b b

a a

f x dx g x dx

( ) 0b

a

f x dx

Se f é integrável e não negativa em [a, b] então

Se f e g são integráveis e não negativa em [a, b] e f (x) < g (x) para todo x em [a, b], então

Usando regras de integrais definidas

Avaliar a usar os seguintes valores:

4

3

2

2x dx

4 4 4

3 3

2 2 2

2 2x dx x dx dx

4 4 4

3 3

2 2 2

2 2x dx x dx dx = 60 + 2(2) = 64

Quando as funções são não-negativos, as somas de Riemann representam as áreas sob as curvas, acima do eixo x, sobre algum intervalo [a, b].

Quando as funções são negativos, no entanto, as somas de Riemann representam o negativo (ou oposto) os valores das referidas zonas. Em outras palavras, as somas de Riemann NÃO tem sentido e pode assumir valores negativos.

18

f

a bA

Adxxfb

a )(

a b

fA1

A2

A3

231)( AAAdxxfb

a

= área superior - área abaixo

Para resumir esse pensamento ...

ax3 + bx2 + cx + d = 0

2

1

4dxx65

198

2

1

34 dx)x8x5(2437

2

0dx)x2sen(

2

2

23

dx1x7x23x

4

0dx)1x2(

2

1dx)1x6(

2

1

3 dx)x1(x1081

1) Calcule as integrais definidas abaixo:

- 6,667

8,667

8

0

.a.u673

.a.u38

xy .a.u3

16

.a.u3

16

2) Calcular a área determinada pelas curvas de equações y = x2 – 3x – 4; y = 0; x = 0 e x = 5.

3) Calcular a área compreendida entre a curva y = x2, o eixo x, e as ordenadas correspondentes às abcissas x = 0 e x = 2.

4) Calcule a área compreendida entre os gráficos das funções ; y = 0 e a reta x = 4

5) Calcule a área compreendida entre a curva y = 5x + 1, o eixo x e as retas x = – 3 e x = 1. R: 23,2 u.a 6) Calcular a área entre as curvas y = – x2 + 4 e y = 1 no intervalo [–1, 1].

7) Calcular a área entre as curvas y = x2 – 4 e y = x – 3 . R: 1,86 u.a.

Relações de GirardRelações de Girard

02 cbxax

abxx 21

acxx 21

PolinômiosPolinômios

Relações de GirardRelações de Girard

023 dcxbxax

abxxx 321

acxxxxxx 323121

adxxx 321

PolinômiosPolinômios

Relações de GirardRelações de Girard

0...22

110

nnnn axaxaxa

0

1321 ...

aaxxxx n

0

21413121 ...

aaxxxxxxxx nn

0

312421321 ...

aaxxxxxxxxx nnn

0

321 1...aaxxxx nn

n

PolinômiosPolinômios