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l Ela
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do p
elas
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fas.
Kat
ia T
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Sand
ra C
.S. R
ocha
EQ651 – Operações Unitárias I
Capítulo VI– Transporte de Sólidos
2
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Pro
fas.
Kat
ia T
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ocha
Transporte de partículas
Suspensões heterogêneas: sólido + fluido fases separadas
Exemplo: transporte de carvão, quartzo, etc
Transportefase densa
3
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fas.
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Nomenclatura
Q – vazão volumétrica [L3T-1]W – vazão mássica [MT-1]u,v – velocidade real do fluido e sólido, respectivamente [LT-1]Cv – concentração ou fração volumétricaε - porosidadevM – velocidade média da mistura [LT-1]
W = Wf + Ws Q = Qf + Qs Q = W/ρ
4
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fas.
Kat
ia T
anno
use
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ra C
.S. R
ocha
A.ερ/W
A.εQ
u fff ==
A).ε1(ρ/W
A).ε1(Q
v sss
−=
−=
t
s
fss
ss
fs
sv VWρ/W
ρ/WQQ
QC
+=
+=
Equações importantes
Velocidade Real do fluido
Velocidade Real do sólido
Concentraçãoou fração volumétrica
V=/ ρ f
5
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fas.
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ocha
Equações importantes
A)1(vQs ε−= Vazão volumétrica do sólido
Vazão volumétrica de líquidoAuQf ε=
A)QQ(
A)ρ/Wρ/W(v fsffss
M+
=+
=
velocidade média da mistura
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ocha
Transporte hidráulico vertical
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fas.
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ocha
Equações básicas
Continuidade
Fluido: (1)
Sólido : (2)
0)uρε.(div)ρε(=+
0]v.ρ).ε1.[(div)]ε1(ρ[ s =−+−∂
t∂∂
0).( =+∂∂ udiv
tρρ (comparativo – continuidade para
escoamento de fluido puro)
t s∂
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ocha
Movimento
Fluido:
(3)gmdivTgradP]ugrad.u
tu[ ρ+−+−=+∂∂
ρε
0gmT~.PDt
vD=ρ+−∇+∇=ρ
rrr
(outra forma de escrita)
T~
m
- tensor tensão extra do fluido
- força resistiva sólido-fluido (força de atrito)
9
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ochaMovimento
Sólido:
(4)T - tensor tensão do sólido
g)ρρ).(ε1(mT.div]v.grad.vtv)[ε1(ρ sss −−−+=+∂∂
−
),,( vumm ε= - força resistiva sólido-fluido
- tensor tensão extra do sólido
- tensor tensão extra do fluido
)v,u,ε(TT ss =
)v,u,ε(TT =
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ochaPara escoamento permanente em tubos (área seção transversal
constante) e uniforme (longe da região de alimentação de sólidos): ε, u e v podem ser considerados constantes para cada z,
- termos de aceleração: 0ugrad.u = grad.ve 0v =
- tensões
(já que as tensões são diretamente relacionadas aos gradientes de velocidades do fluido e do sólido)
0T.divT =→ 0T.divT sS =→e
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ia T
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ocha
Com as considerações feitas, as equações do movimento ficam:
0mg.gradP =−ρ+−Fluido: (5)
g.gradPm ρ+−=
Sólido: (6) 0g).ρρ).(ε1(m s =−−−
g).ρρ).(ε1(m s −−=
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Igualando (5) e (6) (7)
g).).(1(g.gradP s ρ−ρε−=ρ+−
sfLPg.gradP
∆=ρ+−
Força atrito considerada = sólido-fluido
g).).(1(LP
ssf
ρ−ρε−=
∆ (8)
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Caso particular
Sólidos finos e leves aproximação vu =
ffss
ssv /W/W
/WCρ+ρ
ρ=
ffss
ffv /W/W
/WC1ρ+ρ
ρ=−
A.ε.uQρW
ff
f ==
A..uA).1.(vA..uC1 v ε+ε−
ε=−
A.v).ε1(QρW
ss
s −==
ε+ε−ε
=−)1(u/v
C1 v
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ochaSe u = v
ε−=→ε+ε−
ε=− 1C
)1(C1 vv (9)
Substituindo em (8):
g)..(CLP
svsf
ρ−ρ=
∆ Partículas finas e leves
Calculado como se o escoamento fosse sóde líquido
ρ2
vD1fρv
D1f2
LP 2
MD
2Mf
f==
∆
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ocha
pois,
gρP
gv
DLf2h
2M
fL∆
==D
ρvf2LP 2
Mf=∆
2Mfsv
T
vD1f2g)(C
LP
ρ+ρ−ρ=
∆
(10)
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ocha
Se u ≠ v Expressões empíricas para m:
L Pg)ρρ)(ε1(m
sfs
∆=−−= (Equação Geral)
75,0ε ≤
)vu.()vu(ed
)ε1(44dε
e])ε1(1)[ε1(µ18m ε74,4p
2p
6,0/)ε1(3/1−
−
−+
−+−=
−
(11)
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ocha
70µ
dρ)vu(Re p <
−=e75,0ε >
)vu.()vu.(dµρε)ε1(5,1...
...dε
e])ε1(1)[ε1(µ18m
5/45/1
6p
5/9
p2
ε6,0/)ε1(3/1
−
−
−+
+−+−
=−
(12)
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ocha
)vu.()vu.(ed
)1.(44.m 74,4p
−
−
ε−ρ=
ε(13)
70Re >75,0ε > e
Caso mais comum para transporte
Conhecendo-se Ws e Wf obtém-se de (6), (11),(12) e (13), a porosidade do sistema e com isso (∆P/L)sf
g).ρρ).(ε1(LP
ssf
−−=
∆
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ocha
Para o projeto de bombas, medidores, etc. é necessário o conhecimento
de (∆P/L)T
Cálculos envolvem correlações empíricas complicadas - computador.
Outra maneira: medidas em escala de laboratório e piloto de (∆P/L)T
e (∆P/L)f, obtendo-se por subtração das curvas (∆P/L)sf e efetuando-se o scale-up baseado em dados experimentais.
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Transporte hidráulico horizontal
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Casos particulares
vM > vM1 – partículas quase uniformemente distribuídas na seção do tubo.
vMC< vM< vM1 – distribuição de concentração (perfil não uniforme pelo campo gravitacional).
vM3< vM< vMC – há depósito na base do tubo
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ocha
Previsões de (∆P/L)sf e vm2= vmc
Correlações a partir de resultados experimentais e análise dimensional.
(∆P/L)sf = f( vM, g, D, ρs, ρ, vt, dp, cv)
vM2 = f(g, D, ρs, ρ, vt, dp, cv)
A partir das equações básicas de conservação
Escoamento permanente, sem aceleração, horizontal – das equações movimento:
mTdiv
mLP
s
sf
−=
=
∆
para escoamento horizontal (ou m e (∆P/L)sf seriam zero absurdo)
0Tdiv s ≠
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.S. R
ocha
Para utilizar a formulação do transporte hidráulico vertical em tubos
para obter m, seria necessário conhecer os perfis radiais ε(r), u(r) e
v(r) e trabalhar com valores médios ------cálculos por computados ou
tratamento empírico.
SUSPENSÕES HOMOGÊNEAS - Tanto no transporte horizontal como no vertical, normalmente se comportam como fluidos não newtonianos → reologia → projeto.
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ocha
Correlações da literatura para a previsão da queda de pressão no transporte hidráulico em regime heterogêneo
CorrelaçãoAno Autores
−
ρρ
−
ρρ
=
∆
∆−
∆
1gdv
v1gD
.121
LPC
LP
LP
sp
2M
ts
fv
fT1953 Durand
3M
st
fv
fT
v
1gDv
.1100
LPC
LP
LP
−
ρρ
=
∆
∆−
∆1955 Newitt et al.
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ocha
CorrelaçãoAno Autores
1967 Zandi e Govatos
−
ρρ
=
≤=
∆
∆−
∆
−
1DgC
cvN
10NC,)NC(280
LPC
LP
LP
sv
D2M
1
1v93,1
1v
fv
fT
10NC,)NC(3,6
LPC
LP
LP
1v354,0
1v
fv
fT ≥=
∆
∆−
∆
−
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ochaCorrelaçãoAno Autores
1968 Hayden e Stelson
1973 Vocadto e Sagoo
3,1
sp
2M
ts
fv
fT
1gdv
v1gD.100
LPC
LP
LP
−
ρρ
−
ρρ
=
∆
∆−
∆
D2/vLP
f
fv
v1gD.10
LPC
LP
LP
2f
f
3M
tf
s
fv
fT
ρ
∆
=
−
ρρ
=
∆
∆−
∆
27
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.S. R
ocha
CorrelaçãoAno Autores
1979 Santana 38,1s
23,0p
2/32M
fv
fT 1Dd
gDv.385
LPC
LP
LP
−
ρρ
=
∆
∆−
∆
−
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anno
use
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ra C
.S. R
ocha
Correlações para previsão da velocidade crítica de transporte (vM2
)
CorrelaçãoAno Autores
1953 Durand
1955 Newitt et al.
)d,C(fF pvL =
−
ρρ
= 1gD2Fv sL2M
;dado na forma de diagrama
t2M v17v =
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.S. R
ocha
CorrelaçãoAno Autores
1967 Zandi e Govato
1979 Santana
2/1
pv
f
sv
2M dC
DgC40v
ρρ
=
0,077p
0,46
f
s1/3vM2 D
d1
ρρgD6,34Cv
−=
30
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Pro
fas.
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use
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ra C
.S. R
ocha
Transporte pneumático
VERTICAL → fora da região de aceleração: mesma
formulação a partir de equações básicas do hidráulico com
relações próprias para a interação sólido-gás, se ρ ≈ constante.
31
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anno
use
Sand
ra C
.S. R
ocha
Formulação para a queda de pressão no transporte pneumático vertical
(Klinzing, G. E. Gas-solid transport, 1981)
• Considere o fluxo de sólido e gás como na figura abaixo.• Fluxo unidirecional; distribuição de sólidos uniforme e transporte em fase diluída
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.S. R
ochaBalanço de forças nas partículas num comprimento dL
{
} } }4
f
3
g
2
D
1
Aceleração
S dFdFdFdtdvm −−=∆
4484476
(14)
∆mS = é a massa de partículas na seção dL
1 - força de aceleração mássica (sólidos)2 - força de interação sólido fluido (arraste)3 - força gravitacional4 - força de atrito dos sólidos com a parede
Sabe-se: dFg = 0 para transporte horizontaldv/dt = 0 para regime permanente
33
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Pro
fas.
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anno
use
Sand
ra C
.S. R
ocha
A aceleração é importante do ponto onde as partículas são injetadas
34
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Pro
fas.
Kat
ia T
anno
use
Sand
ra C
.S. R
ocha
A força de arraste dFD nas partículas é a soma das forças em cada partícula.
SpS
2
DMD md)ρρ()vu(ρ
C43dF ∆
−
−= (15)
Na qual u = q/ε
Gravidade: dFg = g∆mS (16)
Atrito: S
2
Sf mDvf2dF ∆= (17)
35
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Pro
fas.
Kat
ia T
anno
use
Sand
ra C
.S. R
ocha
Assim: (15), (16) (17) em (14),
Dvf2g
d)ρρ()vu(ρC
43
dtdv 2
S
pS
2
Dm −−−−
= (18)
Lembrando:
A)1(
Wsv S
ε−ρ
=A
Wu
f
ερ= e
36
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1 -
Mat
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Pro
fas.
Kat
ia T
anno
use
Sand
ra C
.S. R
ocha
O coeficiente de arraste está relacionado com o número de Reynolds da partícula sólida, Rep:
Stokes: Rep ≤ 0,1 CD = 24/Rep (19)
Schiller e Naumann (1933): Rep < 800
(20)
Wen e Yu (1996): 2,0 < Rep ≤ 1000
(21)
[ ]687,0pDStokesD )(Re150,01CC +=
313,0p
1pD )(Re6,3)(Re24C −− +=
37
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1 -
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do p
elas
Pro
fas.
Kat
ia T
anno
use
Sand
ra C
.S. R
ocha
1000 < Rep <2,5x105 CD = 0,44 (22)
Rep > 2,5x105 CD = 0,22 (23)
Descolamento da camada limite em torno das partículas
38
EQ65
1 -
Mat
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l Ela
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elas
Pro
fas.
Kat
ia T
anno
use
Sand
ra C
.S. R
ochaYang (1977) - propôs uma modificação do CDM considerando o
efeito da porosidade.
(24)
onde
7,4DDm CC −ε=
( ) t2
S
S
vDW4
1πρ−ρ
−=ε
( ) ( )ρρAε1W
vs
st −−=Considerando, portanto,
39
EQ65
1 -
Mat
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l Ela
bora
do p
elas
Pro
fas.
Kat
ia T
anno
use
Sand
ra C
.S. R
ocha
Determinação da queda de pressão
A queda de pressão, a partir da condição de choking (transporte), pode ser expressa em termos das seguintes parcelas:
32132143421FEAC P
Atrito
P
Estático
P
AceleraçãoT PPPP∆∆∆
∆+∆+∆=∆ (25)
- Contribuição estática devido à partículas para fluxo vertical:
( )Lg1P SEP ε−ρ=∆ (26)
Se o escoamento for horizontal ∆PEP = 0
40
EQ65
1 -
Mat
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l Ela
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Pro
fas.
Kat
ia T
anno
use
Sand
ra C
.S. R
ocha- Contribuição estática devido somente ao gás - geralmente muito menor que
a do sólido, podendo ser desprezado:
LgρεPEg =∆ (27)
- Contribuição do atrito - gás:
DLuρεf2
P2
gEg =∆ (28)
fg = fator de atrito de Fanning para o gás
- Contribuição do atrito - sólido:
DLv)1(f2P
2SS
FS
ε−ρ=∆ (29)
41
EQ65
1 -
Mat
eria
l Ela
bora
do p
elas
Pro
fas.
Kat
ia T
anno
use
Sand
ra C
.S. R
ocha
A contribuição relativa ao termo da aceleração é similar as perdas dos termos de estática e atrito, mas obtido na região onde as partículas são aceleradas.
Determinação da região de aceleração: LAC
A partir da equação (18) lembrando que dL = v dt
( )( )
∫
+−
−−
=2SV
1SV 2
SPS
2Dm
AC
)Dvf2g(d)ρρ(
vuρC43
dvvL (30)
42
EQ65
1 -
Mat
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Pro
fas.
Kat
ia T
anno
use
Sand
ra C
.S. R
ocha
Da equação (25), ∆PD queda de pressão calculada apenas fora da região de aceleração:
FED PPP ∆+∆=∆
Temos:
Dv)ε1(ρf2
Duρεf2gρεg)ε1(ρ
LLP 2
SS2
fS
AC
D −+++−=
−∆ (31)
43
EQ65
1 -
Mat
eria
l Ela
bora
do p
elas
Pro
fas.
Kat
ia T
anno
use
Sand
ra C
.S. R
ocha
...D
uf2gdLgdL)1(P ACL
0
ACL
0
LAC
0
2f
SAC +ρε
+ρε+ε−ρ=∆ ∫∫∫
(32)
∫∫ ε−ρ+ε−ρ
+2VS
1VSsólidos dos aceleração de Termo
S
LAC
0
2SS vdv)1(dL
Dv)1(f2
...43421
vS1 = velocidade da qual a partícula entra em aceleração em L = 0vS2 = velocidade da partícula em escoamento pleno em L ≥ LAC
44
EQ65
1 -
Mat
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l Ela
bora
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elas
Pro
fas.
Kat
ia T
anno
use
Sand
ra C
.S. R
ochaObs:
dtdvmF S∑ ∆=
vdLdt
dtdLv =∴=temos que
vdLdv
dLAρS=vdLdv
Vρ SS=dL
vdvmS∆=
)ε1(vdvρA
FP S −==∆ ∑vdvρAF S∑ =
45
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1 -
Mat
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l Ela
bora
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elas
Pro
fas.
Kat
ia T
anno
use
Sand
ra C
.S. R
ochaff e fS são obtidas por correlações empíricas:
32,0
f µDu125,00014,0f
−
+= (33)Koo:
979,0t
3S )vu(v)ε1(
ε)ε1(00315,0f
−
−−−
= (34)Yang:
A literatura fornece outras correlações para o cálculo de fS e para a velocidade da partícula, e também para o cálculo da queda de pressão.
46
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Pro
fas.
Kat
ia T
anno
use
Sand
ra C
.S. R
ocha
Transporte pneumático vertical
Yang (1977): Fora da região de aceleração, LAC
7,42
St ε
gD2vf1vuv
+−= (35)
15,1
5,0S )gD)(uv(u)ε1(
ε)ε1(0293,0f
−
−−−
= (36)
47
EQ65
1 -
Mat
eria
l Ela
bora
do p
elas
Pro
fas.
Kat
ia T
anno
use
Sand
ra C
.S. R
ochaDeterminação da Velocidade de chocking (transporte)
Yang (1982):
tS
Sfc v
)1(AWu =
ε−ρ− (37)
2,2
S
52
tfc
7,4
SC ρρ1081,6
)vu()1ε(gD2f
×=
−−
=−
(38)
c
cfc
uu
ε=Onde: uc ⇒ velocidade de "choking"
48
EQ65
1 -
Mat
eria
l Ela
bora
do p
elas
Pro
fas.
Kat
ia T
anno
use
Sand
ra C
.S. R
ochaKnolton and Bachovchin (1975)
246,0p
214,0ps
347,0s
p
cDd
µdW
ρρ07,9
gdu
= (39)
49
EQ65
1 -
Mat
eria
l Ela
bora
do p
elas
Pro
fas.
Kat
ia T
anno
use
Sand
ra C
.S. R
ocha
Transporte pneumático horizontal (Saltation)
"Saltation" ocorre quando a velocidade do gás é pequena o suficiente para permitir a deposição de partículas sólidas no interior da linha de transporte.
u > usalt u ≤ usalt
Assim usalt é a velocidade limite para que não ocorra depósito de material
50
EQ65
1 -
Mat
eria
l Ela
bora
do p
elas
Pro
fas.
Kat
ia T
anno
use
Sand
ra C
.S. R
ochaRisk:
( ) ( ) )5,3dp 1100(1
S25,1dp 55096,1dp 1440SALT Aρ
W)gD(10u+++
=
(40)
HORIZONTAL→ formulação a partir de equações básicas → Soo, S.L. “Particulate and Continum: Multiphase Fluid Dynamics”, Hemisphere Publishing Corporate, 1989; Cartaxo, S. J. M. & Rocha, S.C.S. “Object-oriented simulation of the fluid-dynamics of gas-solid flow”, Powder Technology, vol 117, pp.177-188, 2001, entre outras referências.
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