1

EQ65

1 -

Mat

eria

l Ela

bora

do p

elas

Pro

fas.

Kat

ia T

anno

use

Sand

ra C

.S. R

ocha

EQ651 – Operações Unitárias I

Capítulo VI– Transporte de Sólidos

2

EQ65

1 -

Mat

eria

l Ela

bora

do p

elas

Pro

fas.

Kat

ia T

anno

use

Sand

ra C

.S. R

ocha

Transporte de partículas

Suspensões heterogêneas: sólido + fluido fases separadas

Exemplo: transporte de carvão, quartzo, etc

Transportefase densa

3

EQ65

1 -

Mat

eria

l Ela

bora

do p

elas

Pro

fas.

Kat

ia T

anno

use

Sand

ra C

.S. R

ocha

Nomenclatura

Q – vazão volumétrica [L3T-1]W – vazão mássica [MT-1]u,v – velocidade real do fluido e sólido, respectivamente [LT-1]Cv – concentração ou fração volumétricaε - porosidadevM – velocidade média da mistura [LT-1]

W = Wf + Ws Q = Qf + Qs Q = W/ρ

4

EQ65

1 -

Mat

eria

l Ela

bora

do p

elas

Pro

fas.

Kat

ia T

anno

use

Sand

ra C

.S. R

ocha

A.ερ/W

A.εQ

u fff ==

A).ε1(ρ/W

A).ε1(Q

v sss

−=

−=

t

s

fss

ss

fs

sv VWρ/W

ρ/WQQ

QC

+=

+=

Equações importantes

Velocidade Real do fluido

Velocidade Real do sólido

Concentraçãoou fração volumétrica

V=/ ρ f

5

EQ65

1 -

Mat

eria

l Ela

bora

do p

elas

Pro

fas.

Kat

ia T

anno

use

Sand

ra C

.S. R

ocha

Equações importantes

A)1(vQs ε−= Vazão volumétrica do sólido

Vazão volumétrica de líquidoAuQf ε=

A)QQ(

A)ρ/Wρ/W(v fsffss

M+

=+

=

velocidade média da mistura

6

EQ65

1 -

Mat

eria

l Ela

bora

do p

elas

Pro

fas.

Kat

ia T

anno

use

Sand

ra C

.S. R

ocha

Transporte hidráulico vertical

7

EQ65

1 -

Mat

eria

l Ela

bora

do p

elas

Pro

fas.

Kat

ia T

anno

use

Sand

ra C

.S. R

ocha

Equações básicas

Continuidade

Fluido: (1)

Sólido : (2)

0)uρε.(div)ρε(=+

0]v.ρ).ε1.[(div)]ε1(ρ[ s =−+−∂

t∂∂

0).( =+∂∂ udiv

tρρ (comparativo – continuidade para

escoamento de fluido puro)

t s∂

8

EQ65

1 -

Mat

eria

l Ela

bora

do p

elas

Pro

fas.

Kat

ia T

anno

use

Sand

ra C

.S. R

ocha

Movimento

Fluido:

(3)gmdivTgradP]ugrad.u

tu[ ρ+−+−=+∂∂

ρε

0gmT~.PDt

vD=ρ+−∇+∇=ρ

rrr

(outra forma de escrita)

T~

m

- tensor tensão extra do fluido

- força resistiva sólido-fluido (força de atrito)

9

EQ65

1 -

Mat

eria

l Ela

bora

do p

elas

Pro

fas.

Kat

ia T

anno

use

Sand

ra C

.S. R

ochaMovimento

Sólido:

(4)T - tensor tensão do sólido

g)ρρ).(ε1(mT.div]v.grad.vtv)[ε1(ρ sss −−−+=+∂∂

−

),,( vumm ε= - força resistiva sólido-fluido

- tensor tensão extra do sólido

- tensor tensão extra do fluido

)v,u,ε(TT ss =

)v,u,ε(TT =

10

EQ65

1 -

Mat

eria

l Ela

bora

do p

elas

Pro

fas.

Kat

ia T

anno

use

Sand

ra C

.S. R

ochaPara escoamento permanente em tubos (área seção transversal

constante) e uniforme (longe da região de alimentação de sólidos): ε, u e v podem ser considerados constantes para cada z,

- termos de aceleração: 0ugrad.u = grad.ve 0v =

- tensões

(já que as tensões são diretamente relacionadas aos gradientes de velocidades do fluido e do sólido)

0T.divT =→ 0T.divT sS =→e

11

EQ65

1 -

Mat

eria

l Ela

bora

do p

elas

Pro

fas.

Kat

ia T

anno

use

Sand

ra C

.S. R

ocha

Com as considerações feitas, as equações do movimento ficam:

0mg.gradP =−ρ+−Fluido: (5)

g.gradPm ρ+−=

Sólido: (6) 0g).ρρ).(ε1(m s =−−−

g).ρρ).(ε1(m s −−=

12

EQ65

1 -

Mat

eria

l Ela

bora

do p

elas

Pro

fas.

Kat

ia T

anno

use

Sand

ra C

.S. R

ocha

Igualando (5) e (6) (7)

g).).(1(g.gradP s ρ−ρε−=ρ+−

sfLPg.gradP

∆=ρ+−

Força atrito considerada = sólido-fluido

g).).(1(LP

ssf

ρ−ρε−=

∆ (8)

13

EQ65

1 -

Mat

eria

l Ela

bora

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elas

Pro

fas.

Kat

ia T

anno

use

Sand

ra C

.S. R

ocha

Caso particular

Sólidos finos e leves aproximação vu =

ffss

ssv /W/W

/WCρ+ρ

ρ=

ffss

ffv /W/W

/WC1ρ+ρ

ρ=−

A.ε.uQρW

ff

f ==

A..uA).1.(vA..uC1 v ε+ε−

ε=−

A.v).ε1(QρW

ss

s −==

ε+ε−ε

=−)1(u/v

C1 v

14

EQ65

1 -

Mat

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l Ela

bora

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elas

Pro

fas.

Kat

ia T

anno

use

Sand

ra C

.S. R

ochaSe u = v

ε−=→ε+ε−

ε=− 1C

)1(C1 vv (9)

Substituindo em (8):

g)..(CLP

svsf

ρ−ρ=

∆ Partículas finas e leves

Calculado como se o escoamento fosse sóde líquido

ρ2

vD1fρv

D1f2

LP 2

MD

2Mf

f==

∆

15

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1 -

Mat

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elas

Pro

fas.

Kat

ia T

anno

use

Sand

ra C

.S. R

ocha

pois,

gρP

gv

DLf2h

2M

fL∆

==D

ρvf2LP 2

Mf=∆

2Mfsv

T

vD1f2g)(C

LP

ρ+ρ−ρ=

∆

(10)

16

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1 -

Mat

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Pro

fas.

Kat

ia T

anno

use

Sand

ra C

.S. R

ocha

Se u ≠ v Expressões empíricas para m:

L Pg)ρρ)(ε1(m

sfs

∆=−−= (Equação Geral)

75,0ε ≤

)vu.()vu(ed

)ε1(44dε

e])ε1(1)[ε1(µ18m ε74,4p

2p

6,0/)ε1(3/1−

−

−+

−+−=

−

(11)

17

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Pro

fas.

Kat

ia T

anno

use

Sand

ra C

.S. R

ocha

70µ

dρ)vu(Re p <

−=e75,0ε >

)vu.()vu.(dµρε)ε1(5,1...

...dε

e])ε1(1)[ε1(µ18m

5/45/1

6p

5/9

p2

ε6,0/)ε1(3/1

−

−

−+

+−+−

=−

(12)

18

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bora

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elas

Pro

fas.

Kat

ia T

anno

use

Sand

ra C

.S. R

ocha

)vu.()vu.(ed

)1.(44.m 74,4p

−

−

ε−ρ=

ε(13)

70Re >75,0ε > e

Caso mais comum para transporte

Conhecendo-se Ws e Wf obtém-se de (6), (11),(12) e (13), a porosidade do sistema e com isso (∆P/L)sf

g).ρρ).(ε1(LP

ssf

−−=

∆

19

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Pro

fas.

Kat

ia T

anno

use

Sand

ra C

.S. R

ocha

Para o projeto de bombas, medidores, etc. é necessário o conhecimento

de (∆P/L)T

Cálculos envolvem correlações empíricas complicadas - computador.

Outra maneira: medidas em escala de laboratório e piloto de (∆P/L)T

e (∆P/L)f, obtendo-se por subtração das curvas (∆P/L)sf e efetuando-se o scale-up baseado em dados experimentais.

20

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Pro

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Kat

ia T

anno

use

Sand

ra C

.S. R

ocha

Transporte hidráulico horizontal

21

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Pro

fas.

Kat

ia T

anno

use

Sand

ra C

.S. R

ocha

Casos particulares

vM > vM1 – partículas quase uniformemente distribuídas na seção do tubo.

vMC< vM< vM1 – distribuição de concentração (perfil não uniforme pelo campo gravitacional).

vM3< vM< vMC – há depósito na base do tubo

22

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1 -

Mat

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Pro

fas.

Kat

ia T

anno

use

Sand

ra C

.S. R

ocha

Previsões de (∆P/L)sf e vm2= vmc

Correlações a partir de resultados experimentais e análise dimensional.

(∆P/L)sf = f( vM, g, D, ρs, ρ, vt, dp, cv)

vM2 = f(g, D, ρs, ρ, vt, dp, cv)

A partir das equações básicas de conservação

Escoamento permanente, sem aceleração, horizontal – das equações movimento:

mTdiv

mLP

s

sf

−=

=

∆

para escoamento horizontal (ou m e (∆P/L)sf seriam zero absurdo)

0Tdiv s ≠

23

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1 -

Mat

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Pro

fas.

Kat

ia T

anno

use

Sand

ra C

.S. R

ocha

Para utilizar a formulação do transporte hidráulico vertical em tubos

para obter m, seria necessário conhecer os perfis radiais ε(r), u(r) e

v(r) e trabalhar com valores médios ------cálculos por computados ou

tratamento empírico.

SUSPENSÕES HOMOGÊNEAS - Tanto no transporte horizontal como no vertical, normalmente se comportam como fluidos não newtonianos → reologia → projeto.

24

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1 -

Mat

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Pro

fas.

Kat

ia T

anno

use

Sand

ra C

.S. R

ocha

Correlações da literatura para a previsão da queda de pressão no transporte hidráulico em regime heterogêneo

CorrelaçãoAno Autores

−

ρρ

−

ρρ

=

∆

∆−

∆

1gdv

v1gD

.121

LPC

LP

LP

sp

2M

ts

fv

fT1953 Durand

3M

st

fv

fT

v

1gDv

.1100

LPC

LP

LP

−

ρρ

=

∆

∆−

∆1955 Newitt et al.

25

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Pro

fas.

Kat

ia T

anno

use

Sand

ra C

.S. R

ocha

CorrelaçãoAno Autores

1967 Zandi e Govatos

−

ρρ

=

≤=

∆

∆−

∆

−

1DgC

cvN

10NC,)NC(280

LPC

LP

LP

sv

D2M

1

1v93,1

1v

fv

fT

10NC,)NC(3,6

LPC

LP

LP

1v354,0

1v

fv

fT ≥=

∆

∆−

∆

−

26

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1 -

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elas

Pro

fas.

Kat

ia T

anno

use

Sand

ra C

.S. R

ochaCorrelaçãoAno Autores

1968 Hayden e Stelson

1973 Vocadto e Sagoo

3,1

sp

2M

ts

fv

fT

1gdv

v1gD.100

LPC

LP

LP

−

ρρ

−

ρρ

=

∆

∆−

∆

D2/vLP

f

fv

v1gD.10

LPC

LP

LP

2f

f

3M

tf

s

fv

fT

ρ

∆

=

−

ρρ

=

∆

∆−

∆

27

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1 -

Mat

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Pro

fas.

Kat

ia T

anno

use

Sand

ra C

.S. R

ocha

CorrelaçãoAno Autores

1979 Santana 38,1s

23,0p

2/32M

fv

fT 1Dd

gDv.385

LPC

LP

LP

−

ρρ

=

∆

∆−

∆

−

28

EQ65

1 -

Mat

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elas

Pro

fas.

Kat

ia T

anno

use

Sand

ra C

.S. R

ocha

Correlações para previsão da velocidade crítica de transporte (vM2

)

CorrelaçãoAno Autores

1953 Durand

1955 Newitt et al.

)d,C(fF pvL =

−

ρρ

= 1gD2Fv sL2M

;dado na forma de diagrama

t2M v17v =

29

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1 -

Mat

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elas

Pro

fas.

Kat

ia T

anno

use

Sand

ra C

.S. R

ocha

CorrelaçãoAno Autores

1967 Zandi e Govato

1979 Santana

2/1

pv

f

sv

2M dC

DgC40v

ρρ

=

0,077p

0,46

f

s1/3vM2 D

d1

ρρgD6,34Cv

−=

30

EQ65

1 -

Mat

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bora

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elas

Pro

fas.

Kat

ia T

anno

use

Sand

ra C

.S. R

ocha

Transporte pneumático

VERTICAL → fora da região de aceleração: mesma

formulação a partir de equações básicas do hidráulico com

relações próprias para a interação sólido-gás, se ρ ≈ constante.

31

EQ65

1 -

Mat

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Pro

fas.

Kat

ia T

anno

use

Sand

ra C

.S. R

ocha

Formulação para a queda de pressão no transporte pneumático vertical

(Klinzing, G. E. Gas-solid transport, 1981)

• Considere o fluxo de sólido e gás como na figura abaixo.• Fluxo unidirecional; distribuição de sólidos uniforme e transporte em fase diluída

32

EQ65

1 -

Mat

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Pro

fas.

Kat

ia T

anno

use

Sand

ra C

.S. R

ochaBalanço de forças nas partículas num comprimento dL

{

} } }4

f

3

g

2

D

1

Aceleração

S dFdFdFdtdvm −−=∆

4484476

(14)

∆mS = é a massa de partículas na seção dL

1 - força de aceleração mássica (sólidos)2 - força de interação sólido fluido (arraste)3 - força gravitacional4 - força de atrito dos sólidos com a parede

Sabe-se: dFg = 0 para transporte horizontaldv/dt = 0 para regime permanente

33

EQ65

1 -

Mat

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Pro

fas.

Kat

ia T

anno

use

Sand

ra C

.S. R

ocha

A aceleração é importante do ponto onde as partículas são injetadas

34

EQ65

1 -

Mat

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Pro

fas.

Kat

ia T

anno

use

Sand

ra C

.S. R

ocha

A força de arraste dFD nas partículas é a soma das forças em cada partícula.

SpS

2

DMD md)ρρ()vu(ρ

C43dF ∆

−

−= (15)

Na qual u = q/ε

Gravidade: dFg = g∆mS (16)

Atrito: S

2

Sf mDvf2dF ∆= (17)

35

EQ65

1 -

Mat

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bora

do p

elas

Pro

fas.

Kat

ia T

anno

use

Sand

ra C

.S. R

ocha

Assim: (15), (16) (17) em (14),

Dvf2g

d)ρρ()vu(ρC

43

dtdv 2

S

pS

2

Dm −−−−

= (18)

Lembrando:

A)1(

Wsv S

ε−ρ

=A

Wu

f

ερ= e

36

EQ65

1 -

Mat

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Pro

fas.

Kat

ia T

anno

use

Sand

ra C

.S. R

ocha

O coeficiente de arraste está relacionado com o número de Reynolds da partícula sólida, Rep:

Stokes: Rep ≤ 0,1 CD = 24/Rep (19)

Schiller e Naumann (1933): Rep < 800

(20)

Wen e Yu (1996): 2,0 < Rep ≤ 1000

(21)

[ ]687,0pDStokesD )(Re150,01CC +=

313,0p

1pD )(Re6,3)(Re24C −− +=

37

EQ65

1 -

Mat

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Pro

fas.

Kat

ia T

anno

use

Sand

ra C

.S. R

ocha

1000 < Rep <2,5x105 CD = 0,44 (22)

Rep > 2,5x105 CD = 0,22 (23)

Descolamento da camada limite em torno das partículas

38

EQ65

1 -

Mat

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Pro

fas.

Kat

ia T

anno

use

Sand

ra C

.S. R

ochaYang (1977) - propôs uma modificação do CDM considerando o

efeito da porosidade.

(24)

onde

7,4DDm CC −ε=

( ) t2

S

S

vDW4

1πρ−ρ

−=ε

( ) ( )ρρAε1W

vs

st −−=Considerando, portanto,

39

EQ65

1 -

Mat

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Pro

fas.

Kat

ia T

anno

use

Sand

ra C

.S. R

ocha

Determinação da queda de pressão

A queda de pressão, a partir da condição de choking (transporte), pode ser expressa em termos das seguintes parcelas:

32132143421FEAC P

Atrito

P

Estático

P

AceleraçãoT PPPP∆∆∆

∆+∆+∆=∆ (25)

- Contribuição estática devido à partículas para fluxo vertical:

( )Lg1P SEP ε−ρ=∆ (26)

Se o escoamento for horizontal ∆PEP = 0

40

EQ65

1 -

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Pro

fas.

Kat

ia T

anno

use

Sand

ra C

.S. R

ocha- Contribuição estática devido somente ao gás - geralmente muito menor que

a do sólido, podendo ser desprezado:

LgρεPEg =∆ (27)

- Contribuição do atrito - gás:

DLuρεf2

P2

gEg =∆ (28)

fg = fator de atrito de Fanning para o gás

- Contribuição do atrito - sólido:

DLv)1(f2P

2SS

FS

ε−ρ=∆ (29)

41

EQ65

1 -

Mat

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Pro

fas.

Kat

ia T

anno

use

Sand

ra C

.S. R

ocha

A contribuição relativa ao termo da aceleração é similar as perdas dos termos de estática e atrito, mas obtido na região onde as partículas são aceleradas.

Determinação da região de aceleração: LAC

A partir da equação (18) lembrando que dL = v dt

( )( )

∫

+−

−−

=2SV

1SV 2

SPS

2Dm

AC

)Dvf2g(d)ρρ(

vuρC43

dvvL (30)

42

EQ65

1 -

Mat

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Pro

fas.

Kat

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anno

use

Sand

ra C

.S. R

ocha

Da equação (25), ∆PD queda de pressão calculada apenas fora da região de aceleração:

FED PPP ∆+∆=∆

Temos:

Dv)ε1(ρf2

Duρεf2gρεg)ε1(ρ

LLP 2

SS2

fS

AC

D −+++−=

−∆ (31)

43

EQ65

1 -

Mat

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l Ela

bora

do p

elas

Pro

fas.

Kat

ia T

anno

use

Sand

ra C

.S. R

ocha

...D

uf2gdLgdL)1(P ACL

0

ACL

0

LAC

0

2f

SAC +ρε

+ρε+ε−ρ=∆ ∫∫∫

(32)

∫∫ ε−ρ+ε−ρ

+2VS

1VSsólidos dos aceleração de Termo

S

LAC

0

2SS vdv)1(dL

Dv)1(f2

...43421

vS1 = velocidade da qual a partícula entra em aceleração em L = 0vS2 = velocidade da partícula em escoamento pleno em L ≥ LAC

44

EQ65

1 -

Mat

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Pro

fas.

Kat

ia T

anno

use

Sand

ra C

.S. R

ochaObs:

dtdvmF S∑ ∆=

vdLdt

dtdLv =∴=temos que

vdLdv

dLAρS=vdLdv

Vρ SS=dL

vdvmS∆=

)ε1(vdvρA

FP S −==∆ ∑vdvρAF S∑ =

45

EQ65

1 -

Mat

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elas

Pro

fas.

Kat

ia T

anno

use

Sand

ra C

.S. R

ochaff e fS são obtidas por correlações empíricas:

32,0

f µDu125,00014,0f

−

+= (33)Koo:

979,0t

3S )vu(v)ε1(

ε)ε1(00315,0f

−

−−−

= (34)Yang:

A literatura fornece outras correlações para o cálculo de fS e para a velocidade da partícula, e também para o cálculo da queda de pressão.

46

EQ65

1 -

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Pro

fas.

Kat

ia T

anno

use

Sand

ra C

.S. R

ocha

Transporte pneumático vertical

Yang (1977): Fora da região de aceleração, LAC

7,42

St ε

gD2vf1vuv

+−= (35)

15,1

5,0S )gD)(uv(u)ε1(

ε)ε1(0293,0f

−

−−−

= (36)

47

EQ65

1 -

Mat

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elas

Pro

fas.

Kat

ia T

anno

use

Sand

ra C

.S. R

ochaDeterminação da Velocidade de chocking (transporte)

Yang (1982):

tS

Sfc v

)1(AWu =

ε−ρ− (37)

2,2

S

52

tfc

7,4

SC ρρ1081,6

)vu()1ε(gD2f

×=

−−

=−

(38)

c

cfc

uu

ε=Onde: uc ⇒ velocidade de "choking"

48

EQ65

1 -

Mat

eria

l Ela

bora

do p

elas

Pro

fas.

Kat

ia T

anno

use

Sand

ra C

.S. R

ochaKnolton and Bachovchin (1975)

246,0p

214,0ps

347,0s

p

cDd

µdW

ρρ07,9

gdu

= (39)

49

EQ65

1 -

Mat

eria

l Ela

bora

do p

elas

Pro

fas.

Kat

ia T

anno

use

Sand

ra C

.S. R

ocha

Transporte pneumático horizontal (Saltation)

"Saltation" ocorre quando a velocidade do gás é pequena o suficiente para permitir a deposição de partículas sólidas no interior da linha de transporte.

u > usalt u ≤ usalt

Assim usalt é a velocidade limite para que não ocorra depósito de material

50

EQ65

1 -

Mat

eria

l Ela

bora

do p

elas

Pro

fas.

Kat

ia T

anno

use

Sand

ra C

.S. R

ochaRisk:

( ) ( ) )5,3dp 1100(1

S25,1dp 55096,1dp 1440SALT Aρ

W)gD(10u+++

=

(40)

HORIZONTAL→ formulação a partir de equações básicas → Soo, S.L. “Particulate and Continum: Multiphase Fluid Dynamics”, Hemisphere Publishing Corporate, 1989; Cartaxo, S. J. M. & Rocha, S.C.S. “Object-oriented simulation of the fluid-dynamics of gas-solid flow”, Powder Technology, vol 117, pp.177-188, 2001, entre outras referências.