View
276
Download
1
Category
Preview:
Citation preview
M@t.b Equações e inequações
Página 1 de 12
Equações
Numa turma de 26 alunos, o número de raparigas excede em 4 o número de rapazes.
Quantos rapazes há nesta turma?
O objectivo do problema é determinar o número de rapazes da turma, comecemos por
designar este valor por .
O número de raparigas excede em o número dos rapazes o que significa em linguagem
matemática que o número de raparigas é .
A turma tem no total alunos, logo
⏟
⏟
.
É necessário descobrir o valor de que transforma esta expressão em .
Podemos sugerir vários valores para .
Se então existem alunos, o que é falso. Logo não existem
apenas rapazes.
Se então . Logo não existem apenas 10 rapazes.
Se então . Logo existem 11 rapazes.
Este procedimento poderá ser moroso quanto mais complicado for o problema. Existe um
método que nos permite encontrar soluções para incógnitas de um modo mais simples e
prático. Trata-se da resolução de equações.
O que é uma equação?
No tema anterior estudamos a simplificação de expressões com e sem incógnitas no
entanto se igualarmos duas expressões que envolvam incógnitas ficamos perante uma
equação.
Equações e Inequações
GUIÃO REVISÕES
M@t.b Equações e inequações
Página 2 de 12
Assim, uma equação é uma igualdade onde figura pelo menos uma incógnita.
O significa resolver uma equação?
Resolver uma equação não é nada mais do que um processo para encontrar um valor
(ou valores) desconhecido (s), uma incógnita.
Sempre que estiver perante um problema onde precisar de saber determinado valor
deve designa-lo por uma letra (incógnita) e recorrer a um conjunto de regras para o encontrar
Uma equação pode ser comparada a uma balança como a da figura
ao lado. Numa balança o equilíbrio consegue-se quando os dois pratos têm
a mesma massa. Cada alteração que seja feita num dos pratos terá que ser
feita no outro, caso contrário, a balança
entra em situação de desequilíbrio.
Então, ao resolver uma equação
cada operação que se realize no primeiro
membro terá que ser realizada no segundo.
O que é a solução da equação?
A solução de uma equação é um número que colocado no lugar da incógnita
transforma a equação numa igualdade numérica verdadeira.
Quando estamos a resolver uma equação que traduz um problema é necessário ter em
atenção a validade desta.
Por exemplo, se num problema a nossa incógnita representa uma medida de
comprimento e a solução é um número negativo é importante verificar que esta solução não é
válida no contexto do problema pois não existem comprimentos negativos.
Equações equivalentes
Duas equações dizem-se equivalentes quando têm o
mesmo conjunto solução. Obtemos equações
equivalentes ao procedermos à simplificação desta.
M@t.b Equações e inequações
Página 3 de 12
Equações do 1º grau
Princípio da adição e da multiplicação
Resolva a equação do problema inicial,
1º Comece por colocar os termos com incógnita no 1º membro e termos sem incógnita
no 2º membro e reduza os termos semelhantes;
2º Divida todos os termos pelo coeficiente do termo com incógnita;
• Para isolar o x é necessário “eliminar” o -1,
para tal, vamos adicionar o simétrico de -1 a
cada um dos membros.
.
• Para isolar o x é necessário “eliminar” o 1,
para tal, vamos adicionar o simétrico de 1 a
cada um dos membros.
.
.
z
• Para isolar o x é necessário “eliminar” o 2,
para tal, vamos multiplicar pelo inverso de 2
cada um dos membros.
.
12
2 2 12
2
x
x
x
1 2
1 1 2 1
1
x
x
x
1 2
1 1 2 1
3
x
x
x
2 12 1
2 2
1
2
xx
x
Para isolar o x é necessário “eliminar” o
, para
tal, vamos multiplicar pelo inverso de
cada um
dos membros.
M@t.b Equações e inequações
Página 4 de 12
3º Identifique o conjunto solução.
{ }
Resolva a equação ( )
.
1º Comece desembaraçar de parênteses;
( )
2º Reduza as parcelas ao mesmo denominador;
( )
( )
3º Elimine os denominadores;
( )
4º Coloque os termos com incógnita no 1º membro e termos sem incógnita no 2º
membro e reduza os termos semelhantes;
5º Divida todos os termos pelo coeficiente do termo com incógnita;
6º Identifique o conjunto solução.
{
}
M@t.b Equações e inequações
Página 5 de 12
Teste os seus conhecimentos
1) Resolva as seguintes equações:
a) 5 4 17 2 x x
b) 4 2 1 3 2 10 x x
c) 1 1
2 315 10
x x
2) Resolva os seguintes problemas:
a) O dono de uma oficina apresentou um orçamento de 242,5 € para reparar um
automóvel. O carro precisa de uma peça nova de 80 € e o mecânico ganha 25 € à hora.
Quantas horas levam o mecânico a reparar o carro?
b) A Marta foi ao bar da escola e gastou metade do dinheiro que tinha num sumo, dois
terços do restante num bolo e ainda lhe sobrou 50 cêntimos. Quanto dinheiro tinha a Marta?
c) O automóvel do Vítor é mais novo três anos do que o automóvel da Sara. Daqui a dois
anos, a soma das idades dos dois carros será igual ao triplo da idade actual do carro do Paulo
que é mais novo dois anos que o carro do Vítor. Qual a idade dos três carros?
Até agora….
Definição de equação
Resolução de equações do 1º grau
Resolução de equações do 2º grau
M@t.b Equações e inequações
Página 6 de 12
Equações do 2º grau
Um tapete rectangular tem de área. O comprimento excede em metro a
medida da largura. Qual a largura do tapete?
Dado que o tapete é rectangular, a sua área é dada pela multiplicação do
comprimento pela largura.
Se considerar que o tapete tem metros de largura terá metros de
comprimento logo,
Como o tapete tem de área então,
É possível determinar o valor de analiticamente? Que tipo de equação está aqui
representada?
Antes de resolvermos o problema vamos resolver alguns exercícios que nos permitem
fazer uma breve revisão das equações do 2º grau.
Resolva as seguintes equações:
a) b) c) ( )
a) A equação é uma equação do 2º grau incompleta do tipo pois
.
Uma equação diz-se do 2º grau se depois de simplificada se escreve na
forma
𝒂𝒙𝟐 𝒃𝒙 𝒄 𝟎 com e . Esta forma denomina-se forma canónica.
são os coeficientes da equação do 2º grau.
Se e/ou a equação chama-se equação de 2º grau incompleta.
M@t.b Equações e inequações
Página 7 de 12
Lei do anulamento
O produto de dois factores é zero
quando pelo menos um deles é
zero. Note que
Se 𝑎 então 𝑎
Se 𝑏 então 𝑏 .
Logo,
𝒂 𝒃 𝟎
𝒂 𝟎 ∨ 𝒃 𝟎
1º Comece por factorizar o 1º membro, isto é, transforme o 1º membro num produto
de factores. Neste caso basta colocar o em
evidência
( )
2º Aplique a lei do anulamento do produto
∨
3º Simplifique
∨
4º Identifique o conjunto solução.
{
}
b) Note que a equação é uma equação do 2º grau incompleta do tipo
pois .
1º Comece por colocar os termos com incógnita no 1º membro e os termos sem
incógnita no 2º membro;
√
2º Simplifique;
∨
3º Identifique o conjunto solução.
{ }
c) ( )
1º Comece desembaraçar de parênteses e escrever a equação na forma canónica;
M@t.b Equações e inequações
Página 8 de 12
A equação é do 2º grau completa pois todos os coeficientes são diferentes
de zero.
2º Identifique os coeficientes da equação , , e
aplique a fórmula resolvente;
√ ( )
( )
√
∨
∨
3º Identifique o conjunto solução.
{ }
Teste os seus conhecimentos
1) Resolva as seguintes equações:
a) 21 3 2x
b) 2 1
42
x x
c) 2 5 6 0 x x
d)
e) ( ) ( )
√
Para resolver uma equação do segundo grau completa devemos aplicar a fórmula resolvente
As equações do 2º grau incompletas também podem ser resolvidas através da fórmula resolvente.
Poderá optar pelo processo que considerar mais adequado.
Fórmula resolvente
M@t.b Equações e inequações
Página 9 de 12
2) Se ao quadrado da idade do Joaquim adicionarmos o triplo da idade dele, e em seguida
subtrairmos trinta anos, obtemos o dobro da idade do Joaquim. Qual é a idade do Joaquim?
3) Uma piscina rectangular, com dimensões de por , tem a toda a volta uma parte com
relva de largura , como mostra a figura.
Sabendo que a área total ocupada pela piscina e pela relva é igual , calcule a largura da
parte com relva.
Inequações
Inequações do 1º grau
Qual dos seguintes rectângulos representados na figura ao lado, tem maior perímetro?
Os rectângulos têm o mesmo comprimento, logo, terá maior perímetro o que tiver maior
largura.
Suponhamos que pretendemos determinar os valores de de modo a que o perímetro do
rectângulo B seja maior que o do rectângulo A. Traduzindo o problema em linguagem
matemática vem,
A B
M@t.b Equações e inequações
Página 10 de 12
Ao multiplicar os
dois membros por
inverte-se o
sinal da
desigualdade.
Estamos perante uma inequação! Mais à frente iremos ver como a podemos resolver. Mas
facilmente conseguimos tirar as seguintes conclusões:
Se , o rectângulo B tem o maior perímetro.
Se , o rectângulo A tem maior perímetro.
Se , os dois rectângulos têm igual perímetro.
O que é uma inequação?
Uma inequação é uma desigualdade onde figura pelo menos uma incógnita. Como tal, numa
inequação está sempre presente um dos símbolos , , ou .
Resolve-se uma inequação do 1º grau do mesmo modo que se resolve uma equação?
A resposta a esta pergunta é sim com uma única diferença.
Quando numa inequação é necessário multiplicar ou
dividir os dois membros por um número negativo, é
necessário inverter o sinal da desigualdade.
Verifique a diferença no seguinte exemplo,
Equação
{
}
Inequação
[
[
Voltando a problema inicial,
Concluímos assim que o rectângulo B é maior que o rectângulo A para todos os valores de
maiores do que .
𝟑
𝟓
Verdadeiro
Falso
Verdadeiro
M@t.b Equações e inequações
Página 11 de 12
Indique o conjunto que verifica a condição
( )
1º Comece desembaraçar de parênteses;
( )
2º Reduza as parcelas ao mesmo denominador;
( )
( )
( )
3º Coloque os termos com incógnita no 1º membro e termos sem incógnita no 2º
membro e reduza os termos semelhantes;
4º Multiplique ambos os membros por e inverta o sinal da desigualdade
5º Divida todos os termos pelo coeficiente do termo com incógnita;
5º Identifique o conjunto solução.
] [
M@t.b Equações e inequações
Página 12 de 12
Teste os seus conhecimentos
1) Represente, utilizando intervalos de números reais, o conjunto solução de cada uma das
seguintes condições:
a) 214 x
b) 342
12
x
x
c) 4
2 3 13
xx x
2) Determine os valores inteiros que C pode tomar de modo que a fracção
seja menor do
que 10 e menor do que 9.
3) As dimensões de um rectângulo são por . Determine de modo que o perímetro
esteja compreendido entre e .
4) Pretende-se transportar num camião um certo número de sacos de mercadoria A (pesando
100Kg cada saco) e o dobro desse número de sacos de uma mercadoria B (pesando 75Kg cada
saco). A carga do camião tem que ser inferior a 3 toneladas mas não é rentável transportar
menos de 2 toneladas de carga. Qual o número mínimo e o número máximo de sacos que
podem ser transportados?
Recommended