M@t.b Equações e inequações

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Equações

Numa turma de 26 alunos, o número de raparigas excede em 4 o número de rapazes.

Quantos rapazes há nesta turma?

O objectivo do problema é determinar o número de rapazes da turma, comecemos por

designar este valor por .

O número de raparigas excede em o número dos rapazes o que significa em linguagem

matemática que o número de raparigas é .

A turma tem no total alunos, logo

⏟

⏟

.

É necessário descobrir o valor de que transforma esta expressão em .

Podemos sugerir vários valores para .

Se então existem alunos, o que é falso. Logo não existem

apenas rapazes.

Se então . Logo não existem apenas 10 rapazes.

Se então . Logo existem 11 rapazes.

Este procedimento poderá ser moroso quanto mais complicado for o problema. Existe um

método que nos permite encontrar soluções para incógnitas de um modo mais simples e

prático. Trata-se da resolução de equações.

O que é uma equação?

No tema anterior estudamos a simplificação de expressões com e sem incógnitas no

entanto se igualarmos duas expressões que envolvam incógnitas ficamos perante uma

equação.

Equações e Inequações

GUIÃO REVISÕES

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Assim, uma equação é uma igualdade onde figura pelo menos uma incógnita.

O significa resolver uma equação?

Resolver uma equação não é nada mais do que um processo para encontrar um valor

(ou valores) desconhecido (s), uma incógnita.

Sempre que estiver perante um problema onde precisar de saber determinado valor

deve designa-lo por uma letra (incógnita) e recorrer a um conjunto de regras para o encontrar

Uma equação pode ser comparada a uma balança como a da figura

ao lado. Numa balança o equilíbrio consegue-se quando os dois pratos têm

a mesma massa. Cada alteração que seja feita num dos pratos terá que ser

feita no outro, caso contrário, a balança

entra em situação de desequilíbrio.

Então, ao resolver uma equação

cada operação que se realize no primeiro

membro terá que ser realizada no segundo.

O que é a solução da equação?

A solução de uma equação é um número que colocado no lugar da incógnita

transforma a equação numa igualdade numérica verdadeira.

Quando estamos a resolver uma equação que traduz um problema é necessário ter em

atenção a validade desta.

Por exemplo, se num problema a nossa incógnita representa uma medida de

comprimento e a solução é um número negativo é importante verificar que esta solução não é

válida no contexto do problema pois não existem comprimentos negativos.

Equações equivalentes

Duas equações dizem-se equivalentes quando têm o

mesmo conjunto solução. Obtemos equações

equivalentes ao procedermos à simplificação desta.

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Equações do 1º grau

Princípio da adição e da multiplicação

Resolva a equação do problema inicial,

1º Comece por colocar os termos com incógnita no 1º membro e termos sem incógnita

no 2º membro e reduza os termos semelhantes;

2º Divida todos os termos pelo coeficiente do termo com incógnita;

• Para isolar o x é necessário “eliminar” o -1,

para tal, vamos adicionar o simétrico de -1 a

cada um dos membros.

.

• Para isolar o x é necessário “eliminar” o 1,

para tal, vamos adicionar o simétrico de 1 a

cada um dos membros.

.

.

z

• Para isolar o x é necessário “eliminar” o 2,

para tal, vamos multiplicar pelo inverso de 2

cada um dos membros.

.

12

2 2 12

2

x

x

x

1 2

1 1 2 1

1

x

x

x

1 2

1 1 2 1

3

x

x

x

2 12 1

2 2

1

2

xx

x

Para isolar o x é necessário “eliminar” o

, para

tal, vamos multiplicar pelo inverso de

cada um

dos membros.

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3º Identifique o conjunto solução.

{ }

Resolva a equação ( )

.

1º Comece desembaraçar de parênteses;

( )

2º Reduza as parcelas ao mesmo denominador;

( )

( )

3º Elimine os denominadores;

( )

4º Coloque os termos com incógnita no 1º membro e termos sem incógnita no 2º

membro e reduza os termos semelhantes;

5º Divida todos os termos pelo coeficiente do termo com incógnita;

6º Identifique o conjunto solução.

{

}

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Teste os seus conhecimentos

1) Resolva as seguintes equações:

a) 5 4 17 2 x x

b) 4 2 1 3 2 10 x x

c) 1 1

2 315 10

x x

2) Resolva os seguintes problemas:

a) O dono de uma oficina apresentou um orçamento de 242,5 € para reparar um

automóvel. O carro precisa de uma peça nova de 80 € e o mecânico ganha 25 € à hora.

Quantas horas levam o mecânico a reparar o carro?

b) A Marta foi ao bar da escola e gastou metade do dinheiro que tinha num sumo, dois

terços do restante num bolo e ainda lhe sobrou 50 cêntimos. Quanto dinheiro tinha a Marta?

c) O automóvel do Vítor é mais novo três anos do que o automóvel da Sara. Daqui a dois

anos, a soma das idades dos dois carros será igual ao triplo da idade actual do carro do Paulo

que é mais novo dois anos que o carro do Vítor. Qual a idade dos três carros?

Até agora….

Definição de equação

Resolução de equações do 1º grau

Resolução de equações do 2º grau

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Equações do 2º grau

Um tapete rectangular tem de área. O comprimento excede em metro a

medida da largura. Qual a largura do tapete?

Dado que o tapete é rectangular, a sua área é dada pela multiplicação do

comprimento pela largura.

Se considerar que o tapete tem metros de largura terá metros de

comprimento logo,

Como o tapete tem de área então,

É possível determinar o valor de analiticamente? Que tipo de equação está aqui

representada?

Antes de resolvermos o problema vamos resolver alguns exercícios que nos permitem

fazer uma breve revisão das equações do 2º grau.

Resolva as seguintes equações:

a) b) c) ( )

a) A equação é uma equação do 2º grau incompleta do tipo pois

.

Uma equação diz-se do 2º grau se depois de simplificada se escreve na

forma

𝒂𝒙𝟐 𝒃𝒙 𝒄 𝟎 com e . Esta forma denomina-se forma canónica.

são os coeficientes da equação do 2º grau.

Se e/ou a equação chama-se equação de 2º grau incompleta.

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Lei do anulamento

O produto de dois factores é zero

quando pelo menos um deles é

zero. Note que

Se 𝑎 então 𝑎

Se 𝑏 então 𝑏 .

Logo,

𝒂 𝒃 𝟎

𝒂 𝟎 ∨ 𝒃 𝟎

1º Comece por factorizar o 1º membro, isto é, transforme o 1º membro num produto

de factores. Neste caso basta colocar o em

evidência

( )

2º Aplique a lei do anulamento do produto

∨

3º Simplifique

∨

4º Identifique o conjunto solução.

{

}

b) Note que a equação é uma equação do 2º grau incompleta do tipo

pois .

1º Comece por colocar os termos com incógnita no 1º membro e os termos sem

incógnita no 2º membro;

√

2º Simplifique;

∨

3º Identifique o conjunto solução.

{ }

c) ( )

1º Comece desembaraçar de parênteses e escrever a equação na forma canónica;

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A equação é do 2º grau completa pois todos os coeficientes são diferentes

de zero.

2º Identifique os coeficientes da equação , , e

aplique a fórmula resolvente;

√ ( )

( )

√

∨

∨

3º Identifique o conjunto solução.

{ }

Teste os seus conhecimentos

1) Resolva as seguintes equações:

a) 21 3 2x

b) 2 1

42

x x

c) 2 5 6 0 x x

d)

e) ( ) ( )

√

Para resolver uma equação do segundo grau completa devemos aplicar a fórmula resolvente

As equações do 2º grau incompletas também podem ser resolvidas através da fórmula resolvente.

Poderá optar pelo processo que considerar mais adequado.

Fórmula resolvente

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2) Se ao quadrado da idade do Joaquim adicionarmos o triplo da idade dele, e em seguida

subtrairmos trinta anos, obtemos o dobro da idade do Joaquim. Qual é a idade do Joaquim?

3) Uma piscina rectangular, com dimensões de por , tem a toda a volta uma parte com

relva de largura , como mostra a figura.

Sabendo que a área total ocupada pela piscina e pela relva é igual , calcule a largura da

parte com relva.

Inequações

Inequações do 1º grau

Qual dos seguintes rectângulos representados na figura ao lado, tem maior perímetro?

Os rectângulos têm o mesmo comprimento, logo, terá maior perímetro o que tiver maior

largura.

Suponhamos que pretendemos determinar os valores de de modo a que o perímetro do

rectângulo B seja maior que o do rectângulo A. Traduzindo o problema em linguagem

matemática vem,

A B

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Ao multiplicar os

dois membros por

inverte-se o

sinal da

desigualdade.

Estamos perante uma inequação! Mais à frente iremos ver como a podemos resolver. Mas

facilmente conseguimos tirar as seguintes conclusões:

Se , o rectângulo B tem o maior perímetro.

Se , o rectângulo A tem maior perímetro.

Se , os dois rectângulos têm igual perímetro.

O que é uma inequação?

Uma inequação é uma desigualdade onde figura pelo menos uma incógnita. Como tal, numa

inequação está sempre presente um dos símbolos , , ou .

Resolve-se uma inequação do 1º grau do mesmo modo que se resolve uma equação?

A resposta a esta pergunta é sim com uma única diferença.

Quando numa inequação é necessário multiplicar ou

dividir os dois membros por um número negativo, é

necessário inverter o sinal da desigualdade.

Verifique a diferença no seguinte exemplo,

Equação

{

}

Inequação

[

[

Voltando a problema inicial,

Concluímos assim que o rectângulo B é maior que o rectângulo A para todos os valores de

maiores do que .

𝟑

𝟓

Verdadeiro

Falso

Verdadeiro

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Indique o conjunto que verifica a condição

( )

1º Comece desembaraçar de parênteses;

( )

2º Reduza as parcelas ao mesmo denominador;

( )

( )

( )

3º Coloque os termos com incógnita no 1º membro e termos sem incógnita no 2º

membro e reduza os termos semelhantes;

4º Multiplique ambos os membros por e inverta o sinal da desigualdade

5º Divida todos os termos pelo coeficiente do termo com incógnita;

5º Identifique o conjunto solução.

] [

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Teste os seus conhecimentos

1) Represente, utilizando intervalos de números reais, o conjunto solução de cada uma das

seguintes condições:

a) 214 x

b) 342

12

x

x

c) 4

2 3 13

xx x

2) Determine os valores inteiros que C pode tomar de modo que a fracção

seja menor do

que 10 e menor do que 9.

3) As dimensões de um rectângulo são por . Determine de modo que o perímetro

esteja compreendido entre e .

4) Pretende-se transportar num camião um certo número de sacos de mercadoria A (pesando

100Kg cada saco) e o dobro desse número de sacos de uma mercadoria B (pesando 75Kg cada

saco). A carga do camião tem que ser inferior a 3 toneladas mas não é rentável transportar

menos de 2 toneladas de carga. Qual o número mínimo e o número máximo de sacos que

podem ser transportados?