EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES RESOLVIDAS

EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES POLINOMIAIS DE 1º E DE 2º GRAU1. Resolva as Equações e Inequações abaixo:

a) 3x 4 2 4x

3(4x 2) 3x 155 3

Solução:

3x 4 2 4x 3(4x 2) 3x 15e lim inando os deno m in adores

5 3 1 1

9x 12 10 20x 45 4x 2 45x 225

29x 22 180x 90 45x 225

29x 180x 45x 22 90 225

196x 293 1

293196x 293 x

196

b) 1 3x 4x 1 6 x

7x 24 3 2

Solução:

1 3x 4x 1 2 6 x7x e lim inando os deno m in adores

4 3 1 2

84x 3 9x 16x 4 24 36 6x

5109x 7 6x 12 109x 6x 7 12 103x 5 x

103

EQUAÇÕES POLINOMIAIS DE 1º E DE 2º GRAUc) 5x² 3x 8 0

Solução:

5x² 3x 8 0

1º m étodo : Fatoração

5x² 3x 5 3 0

5 x² 1 3 x 1 0

5 x 1 x 1 3 x 1 0

x 1 5x 5 3 0

x 1 0 x 1

x 1 5x 8 0 85x 8 0 5x 8 x

5

2º método : Fórmula de Bháskara

2

2

5x² 3x 8 0

a 5

b 4ac b 3

c 8

3 4 5 8 9 160 169

b 3 169 3 13x x x

2a 10 10

3 13 10x x 1

10 10

3 13 16 8x x

10 10 5

EQUAÇÕES POLINOMIAIS DE 1º E DE 2º GRAU

d) 9

4x² 3x 016

Solução:

4x² 3x 90

1 1 16 (eliminando os denominadores)

2

2

2

2

64x 48x 9 0

Aplicando Bháskara :

64x 48x 9 0

a 64

b 4ac b 48

c 9

48 4 64 9 2304 2304 0

b 48 0 48 3x x x x

2a 128 128 8

EQUAÇÕES POLINOMIAIS DE 1º E DE 2º GRAU

e) x² 4x 1 0

Solução:

Aplicando Bháskara:

2

x² 4x 1 0

a 1

b 4ac b 4

c 1

24 4 1 1 16 4 12

b 4 12 4 2 3x x

2a 2 2

x 2 3x 2 3

x 2 3

EQUAÇÕES POLINOMIAIS DE 1º E DE 2º GRAU

f) 2x² + 5x + 4 = 0

Solução: 2x² + 5x + 4 = 0 Aplicando Bháskara:

2

2

2x² + 5x + 4 = 0

a 2

b 4ac b 5

c 4

5 4 2 4 25 32 7 7

b 5 7x i x i

2a 2a 4 4

5 7x i

4 4

5 7x i

4 4

EQUAÇÕES POLINOMIAIS DE 1º E DE 2º GRAU

g) 2x 4 0

Solução: 1º) Encontrara as raízes: x² - 4 = 0

2 2 x 2x 4 0 x 4 x 4

x 2

2º) Estudar a Variação do Sinal:

ma mesmo sinal de “a”

ca sinal contrário de “a”

3º) Escrever a solução:

S x | 2 x 2

EQUAÇÕES POLINOMIAIS DE 1º E DE 2º GRAUh) 2

x 6x 8 0

Solução:

1º) Encontrar as raízes: x² - 4 = 0

2x 6x 8 0

x² 6x 12 4 0

x² 4 6 x 2 0

x 2 x 2 6 x 2 0

x 2 x 2 6 0

x 2 0 x 2x 2 x 4 0

x 4 0 x 4

2º) Estudar a Variação do Sinal:

ma mesmo sinal de “a”

ca sinal contrário de “a”

3º) Escrever a solução:

S x | 4 x 2

EQUAÇÕES POLINOMIAIS DE 1º E DE 2º GRAUi)

2x 2 16

Solução: 1º) Escrever a expressão dada na forma normal

2 2 2

2

x 2 16 x 4x 4 16 x 4x 4 16 0

x 4x 12 0

2º) Encontrar as raízes:

2x 4x 12 0

Aplicando som a produto :

S : 6 2 4

P : 6 2 12

x 2

x 6

3º) Estudar a Variação do Sinal:

ma Mesmo sinal de “a”

ca Sinal contrário de “a”

4º) Escrever a solução:

S x | 2 x 6

EQUAÇÕES POLINOMIAIS DE 1º E DE 2º GRAU

j) 26x 13x 5

Solução: 1º) Escrever a inequação na forma normal:

26x 13x 5 6x² 13x 5 0

2º) Encontrar as raízes:

2

6x² 13x 5 0

Equação Auxiliar :

x 13x 30 0

Som a produto :

S : 15 2 13

P : 15 2 30

15 5x x

6 2

2 1x x

6 3

EQUAÇÕES POLINOMIAIS DE 1º E DE 2º GRAU

3º) Estudar a Variação de Sinal:

4º) Escrever a Solução:

5 1S x | x

2 3

k) 2 2x 16 3x 10x 7 2x 6 0

1º) Encontrar as raízes de cada função separadamente:

2 2

2 2

2 2

x 16 3x 10x 7 2x 6 0

I x 16 0 x 16 x 16 x 4

II 3x 10x 7 0 x 10x 21 0

S : 3 7 10

P : 3 7 21

3x x 1

3

7x

3

III 2x 6 0 2x 6 x 3

EQUAÇÕES POLINOMIAIS DE 1º E DE 2º GRAU2º) Estudar a Variação de Sinal de cada Função:

(I) 2

1y x 16

(II) 2y 3x² 10x 7

(III) 3y 2x 6

EQUAÇÕES POLINOMIAIS DE 1º E DE 2º GRAU

3º) Analisar o Quadro-Produto:

4º) Escrever a Solução:

7S x | x 4 ou x 1 ou 3 x 4

3

EQUAÇÕES POLINOMIAIS DE 1º E DE 2º GRAU

) 2

x 10x 160

x 1

Solução: Vamos resolver este tipo de inequação de uma forma mais “interessante” e rápida. Para isso, precisamos

saber que “Toda função que possui raízes reais muda de sinal antes e depois de cada raiz distinta”.

1º) Encontrar as raízes de cada função:

2x 10x 16 0

S : 2 8 10

P : 2 8 16

x 2

x 8

x 1 0 x 1

2º) Substituímos x por qualquer valor, diferente das raízes, e analisamos o sinal da inequação. Sempre

que possível, vamos fazer x = 0.

2

0 10 0 16 16x 0

0 1 1; só nos interessa o sinal e não o resultado.

EQUAÇÕES POLINOMIAIS DE 1º E DE 2º GRAU

3º) Montamos o seguinte quadro de sinais:

4º) Escrevemos o conjunto solução:

S x | 8 x 2 ou x 1

EQUAÇÕES POLINOMIAIS DE 1º E DE 2º GRAU

m) 2

2

x 5x 60

x 3x 4

Solução: 1º) Encontrar as raízes de cada função y1 = x² - 5x + 6

x² 5x 6 0

S : 2 3 5

P : 2 3 6

x 2

x 3

y2 = x² -3x – 4

x² 3x 4 0

S : 4 1 3

P : 4 1 4

x 1

x 4

EQUAÇÕES POLINOMIAIS DE 1º E DE 2º GRAU

2º) Fazer x = 0 e analisar o sinal da expressão obtida:

2

2

0 5 0 6 6x 0

40 3 0 4; só nos interessa o sinal e não o resultado.

3º) Montamos o seguinte quadro de sinais:

4º) Escrevemos o conjunto solução:

S x | x 1 ou 2 x 3

EQUAÇÕES POLINOMIAIS DE 1º E DE 2º GRAU

n) 2x 4

23x 1

Solução:

1º) Escrevemos a inequação na forma normal f(x)

0g(x)

2x 4 2x 4 2x 4 6x 2 4x 62 2 0 0 0

3x 1 3x 1 3x 1 3x 1

2º) Encontramos as raízes de cada função:

6 34x 6 0 4x 6 x x

4 2

13x 1 0 3x 1 x

3

EQUAÇÕES POLINOMIAIS DE 1º E DE 2º GRAU

3º) Fazemos x = 0 e analisamos o sinal da expressão obtida:

4 0 6 6x 0

3 0 1 1; só nos interessa o sinal e não o resultado.

4º) Montamos o seguinte quadro de sinais:

5º) Escrevemos o conjunto solução:

3 1S x | x ou x

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