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EA513 – Circuitos Elétricos – DECOM – FEEC – UNICAMP – Aula 5
1
Esta aula:
Teorema de Thévenin,
Teorema de Norton.
Suponha que desejamos determinar a tensão (ou
a corrente) em um único bipolo de um circuito,
constituído por qualquer número de fontes e de
outros resistores.
R
i
vR
i
vR
i
v
O Teorema de Thévenin nos diz que podemos
substituir todo o circuito, com exceção ao
bipolo em questão, por um circuito equivalente
contendo uma fonte de tensão em série com um
resistor.
Por sua vez, o Teorema de Norton nos diz que
podemos substituir todo o circuito, com
exceção ao bipolo em questão, por circuito
equivalente contendo uma fonte de corrente em
paralelo com um resistor.
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R
i
v
Teorema de
TheveninTeorema de
Norton
R
i
vThvThR
R
i
vNi NR
R
i
vR
i
vR
i
v
Teorema de
TheveninTeorema de
Norton
R
i
vThvThR
R
i
vThvThR
R
i
vNi NR R
i
vNi NR
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Consideremos um circuito elétrico que foi
rearranjado na forma de outros dois circuitos,
denotados por A e B.
Circuito A: deve ser um circuito linear:
fontes independentes,
bipolos lineares e
fontes dependentes lineares.
Circuito B: pode conter também elementos não
– lineares.
Restrição importante: Nenhuma fonte
dependente do circuito A pode ser controlada
por uma corrente ou tensão do circuito B e vice
versa.
Circuito
B
Circuito
B
Circuito
Equivalente
Thèvenin do
circuito A
Circuito
A
Circuito
B
Circuito
B
Circuito
Equivalente
Thèvenin do
circuito A
Circuito
A
Circuito
B
Circuito
B
Circuito
B
Circuito
B
Circuito
Equivalente
Thèvenin do
circuito A
Circuito
A
Circuito
A
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Teorema de Thévenin:
Defina uma tensão cav como a tensão que
aparece nos terminais de A se o circuito B é
desconectado, de forma que nenhuma corrente
fluí do circuito A para o circuito B. Então, as
tensões e correntes em B permanecerão
inalteradas se desativarmos todas as fontes
independentes de A e uma fonte de tensão cav
for conectada em série com o circuito A
“desativado”.
Desativar fontes:
Substituir fontes independentes de corrente
por circuitos abertos,
Substituir fontes independentes de tensão
por curto-circuitos.
Circuito
B
Circuito A
desativado
ccv
Nenhuma fonte de
tensão ou corrente
Circuito
B
Circuito
B
Circuito A
desativado
Circuito A
desativado
ccv
Nenhuma fonte de
tensão ou corrente
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Teorema de Norton
Defina uma corrente cci como a corrente que
flui nos terminais de A se os pontos de conexão
entre A e B são curto-circuitados, de forma que
nenhuma tensão é fornecida por A. Então, as
tensões e correntes em B permanecerão
inalteradas se desativarmos todas as fontes
independentes de A e uma fonte de corrente cci
for conectada em paralelo com o circuito A
“desativado”.
Circuito
B
Circuito A
desativadocci
Nenhuma fonte de
tensão ou corrente
Circuito
B
Circuito
B
Circuito A
desativado
Circuito A
desativadocci
Nenhuma fonte de
tensão ou corrente
Consideremos o circuito abaixo, para o qual
desejamos determinar os equivalentes de
Thévenin e de Norton sob o ponto de vista o
resistor 1R .
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V4
mA2
k2 k3
k11RV4
mA2
k2 k3
k11R
Tensão em aberto:
V4
mA2
k2 k3
cav1i
mA21 i
V8
1021024 33
cavV4
mA2
k2 k3
cav1i
mA21 i
V8
1021024 33
cav
Resistência do circuito desativado:
k2 k3
k5
k2 k3
k5
Portanto, o circuito redesenhado com o
equivalente de Thévenin é:
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V8
k5
k11RV8
k5
k11R
Para construir o equivalente de Norton,
precisamos determinar a corrente de curto-
circuito:
V4
mA2
k2 k3
1i 2i
212 ii
0324 21 ii
mA6,12 ccii
cciV4
mA2
k2 k3
1i 2i
212 ii
0324 21 ii
mA6,12 ccii
212 ii
0324 21 ii
mA6,12 ccii
cci
Finalmente, o circuito com o equivalente de
Norton é:
k5 k11R
,6mA1
k5 k11R
,6mA1
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Note que o equivalente de Norton pode ser
obtido a partir do equivalente de Thévenin (e
vice-versa) por meio de princípio da
equivalência entre fontes de tensão e de
corrente reais.
Consideremos agora um circuito com uma fonte
de corrente dependente linear, cujo equivalente
de Thévenin estamos interessados:
V4
4000xv
k2 k3
xv
A
B
V4
4000xv
k2 k3
xv
A
B
Tensão em aberto:
A tensão de circuito aberto é a própria tensão de
controle da fonte de corrente, ou seja xca vv .
Então, aplicando a Lei de Kirchhoff das tensões
na malha (note que há apenas uma!), temos:
V804000
k24 caxxx vvv
v
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Resistência do circuito desativado, entre A e
B:
4000xv
k2 k3
xv
?ThR
A
B
4000xv
k2 k3
xv
?ThR
A
B
Note que não conseguimos calcular a
resistência entre A e B devido à presença do
gerador de corrente.
Porém, podemos determinar essa resistência
indiretamente, por meio da relação entre os
equivalentes de Thévenin e de Norton:
cav R cci
R
cc
ca
i
vR
cav R cci
R
cc
ca
i
vR
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Portanto, precisamos determinar cci .
V40
4000xv
k2 k3
0xv
V4
k2 k3cci
mA8,0
A5000
4
cci
V40
4000xv
k2 k3
0xv
V4
k2 k3cci
mA8,0
A5000
4
cci
Finalmente,
k10108,0
83
R , e
V8 k10 mA8,0
k10
V8 k10 mA8,0
k10
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