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Aula 16
Teorema de Rolle e Teorema do Valor Médio
Teorema de Rolle
Seja uma função que satisfaça as
seguintes hipóteses:
1. é contínua no intervalo fechado
2. é derivável no intervalo aberto
3.
Então existe um número em tal que
Ilustração
Ilustração
Exemplo 1
Considere a função posição de umobjeto em movimento. Se o objeto estiverno mesmo lugar em dois instante diferentes e então PeloTeorema de Rolle algum entre e no qual isto é, a velocidade é0.
Obs.: Em particular, vc pode ver que isto éverdadeiro quando uma bola é atiradadiretamente para cima.
Exemplo 2
Demonstre que a equaçãotem exatamente uma raiz real?
Solução
Seja Entãoe Note que é contínuapois é um polinômio; assim pelo Teorema doValor Intermediário a equação dada, tem uma raiz.Suponhamos que se tenha duas raízes pelo Teorema de Rolle Mas
0 1 tal que ( ) 0.c f c
e .a b( ) ( ) 0f a f b
tal que ( ) 0.a c b f c 2( ) 3 1 1 ( ) nunca pode ser zero.
Contradição!!!
f x x x f x
O Teorema do Valor Médio
Seja uma função que satisfaça as
seguintes hipóteses:
1. é contínua no intervalo fechado
2. é derivável no intervalo aberto
Então existe um número em tal que
ou, equivalentemente,
Interpretação Geométrica
Exemplo 3
é um polinômio é contínua e derivávelPelo T.V.M. tal que
Mas
isto é, Porém, como
temos então
(0,2)c
(0,2)c
,x
Gráfico
Observação
A grande importância do Teorema do Valor
Médio reside no fato de ele nos possibilitar
obter informações sobre uma função a
partir de dados sobre sua derivada. O
próximo exemplo mostra esse princípio.
Exemplo 5
Suponha que e
Quão grande pode ser?
.x
Solução
Pelo T.V.M. tal que
LogoComo temosDaí, logo
o maior valor possível para é 7.
(0,2)c
,x
Alguns fatos básicos
Teorema. Se em um intervalo então é constante em
x
Demonstração
Sejam e em , sendoPelo T.V.M. obtemos tal que e
Como daí ou
tem o mesmo valor em e quaisquer em . Isto significa queé constante em .
x
Alguns fatos básicos
Corolário. Se em um
intervalo então é constante em isto é, em que é
uma constante.
x
Demonstração
Seja Então
em .
Assim, pelo Teorema anterior é
constante, isto é, é constante.
x
Observação
Note que o domínio de ée em
Mas claramente não é uma funçãoconstante. Isso não contradiz o Teoremaanterior pois não é um intervalo.
x
Exemplo 6
Demonstre a identidade
1 1tg cotg / 2.x x
Solução
uma constante.Fazendo temos
x
1 1( ) tg cotgf x x x
1 1(1) tg 1 cotg 14 4 2
C f
1 1tg cotg2
x x
Obrigado !