MAT - 147 Parte I

Walter T. Huaraca Vargas

April 22, 2016

Regra de L'Hôspital

Teorema (Teorema de Rolle)

Seja f : ra; bs Ă RÑ R uma função contínua em ra; bs e diferenciável em pa; bqtal que f paq “ f pbq “ 0, então existe, pelo menos, um ponto c P pa; bq tal quef1

pcq “ 0

Regra de L'Hôspital

Definição

Uma forma indeterminada é uma expressão com um limite que não é evidente porinspeção.

Exemplos

limxÑ0

x2 ´ 1

x ´ 1p0

0q, lim

xÑ0

x ´ 1

x2 ´ 1p0

0q, lim

xÑ0

x ´ tgpxqx ´ senpxq

p0

0q, lim

xÑ0

senpxqx

p0

0q,

limxÑ0

lnpsenp3xqqlnpsenpxqq

p8

8q

Regra de L'Hôspital da forma 00

Teorema (Regra de L'Hôspital)

Sejam f , g : RÑ R funções tais que:1 São contínuas em ra; a` hs e diferenciáveis em pa; a` hq com h ą 0

2 g1

pxq ‰ 0 para todo x P pa; a` hq3 f paq “ gpaq “ 0

4 Existe limxÑa`

f1

pxqg 1pxq

“ L (ou ˘8)

Então:

limxÑa`

f pxqgpxq

“ limxÑa`

f1

pxqg 1pxq

“ Lp ou ˘8q

Observação:1 Se as condições do teorema são veri�cados num intervalo da forma ra´ h; as

(ou ra´ h; a` hs) com h ą 0; o teorema será verdadeiro quando x Ñ a´ (oux Ñ a).

2 Se as condições 1 e 2 do teorema são veri�cados num intervalo da formar 1h;`8q (ou p´8;´ 1

hs) com h ą 0 e

limxÑ`8

f pxq “ limxÑ`8

gpxq “ 0 (ou limxÑ´8

f pxq “ limxÑ´8

gpxq “ 0).

Então limxÑ`8

f pxqgpxq

“ limxÑ`8

f1

pxqg 1pxq

(ou limxÑ´8

f pxqgpxq

“ limxÑ´8

f1

pxqg 1pxq

) sempre

que o limite do segundo termo exista.

3 Se f1

paq “ g1

paq “ 0 e f , f1

, g , g1

satisfazem as condições do teorema, então:

limxÑa`

f pxqgpxq

“ limxÑa`

f1

pxqg 1pxq

“ limxÑa`

f2

pxqg 2pxq

Sempre que o último limite exista.

Regra de L'Hôspital

Exemplos Inocentes1 Calcular

limxÑ3

ˆ

3x2 ´ 10x ` 3

x3 ´ 4x2 ` x ` 6

˙

2 Calcular

limxÑ1

ˆ

1´ x ` lnpxq

1´?2x ´ x2

˙

Exemplos

DE CUIDADO: Calcular

limxÑ0

ˆ

senp3xqx2 ´ senp2xq

˙

TÓXICO!: Calcular

limxÑ2`

ˆ

p1´ cos?x ´ 2qrex´2 ` senpx ´ 2q ´ 1s

px ´ 2q2

3 senpx ´ 2q1

3 lnpx ´ 1q3

˙

Regra de L'Hôspital da forma 8

8

Teorema (Regra de L'Hôspital)

Sejam f , g : RÑ R funções tais que:1 São contínuas sobre pa; a` hs e diferenciáveis em pa; a` hq2 g

1

pxq ‰ 0 para todo x P pa; a` hq3 lim

xÑa`f pxq “ lim

xÑa`gpxq “ 8

4 Existe limxÑa`

f1

pxqg 1pxq

“ L (ou ˘8)

Então:

limxÑa`

f pxqgpxq

“ limxÑ`8

f1

pxqg 1pxq

“ Lpou ˘8q

O teorema continúa válido se trocarmos x Ñ a` por x Ñ a coma P pa´ h; a` hq, x Ñ a´, x Ñ `8, ou x Ñ ´8.

Regra de L'Hôspital

Exemplos Inocentes1 Calcular

limxÑ0

ˆ

Lnpsenp3xqqLnpsenpxqq

˙

2 Calcular

limxÑ`8

ˆ

ex ` 3x2

4ex ` 2x2

˙

Exemplos

TÓXICO!: Calcular

limxÑ`8

ˆ

2x ´ senpxqx ` senp2xq

˙

DE CUIDADO: Calcular

limxÑ´8

ˆ

x?x2 ` 4

˙

L'Hôspital: Formas Indeterminadas Adicionais

Teorema (O caso 08)

Se limxÑa

f pxq “ 0 e limxÑa

gpxq “ 8, para resolvermos o limite limxÑa

f pxqgpxq usamos

as transformações:1

f pxqgpxq “f pxq1

gpxq

p0

0q

2

f pxqgpxq “gpxq

1

f pxq

p8

8q

Exemplo

CalcularlimxÑ0

px ´ arcsenpxqqcosec3x

L'Hôspital: Formas Indeterminadas Adicionais

Teorema (O caso 8´8)

Se limxÑa

f pxq “ 8 e limxÑa

gpxq “ 8, para resolvermos limxÑa

pf pxq ´ gpxqq usamos as

operações algébricas comúm denominador e fatoração para obter umaindeterminada conhecida.

Exemplos1 Calcular

limxÑ0

p1

x2´ cotg2xq

2 Calcularlim

xÑ`8pa

x2 ´ 5x ` 6´ xq

L'Hôspital: Formas Indeterminadas Adicionais

Teorema (Os casos 08, 80 e 1

8)

Se f pxq e gpxq são funções tais que o limite de limxÑa

rf pxqsgpxq e da forma 08, 80

e 18, então para obter uma indeterminada conhecida fazemos:1 Seja y “ rf pxqsgpxq

2 Simpli�car Lny “ gpxqLnrf pxqs3 Calcular u “ lim

xÑapLnpyqq “ Lnp lim

xÑapyqq

4 Concluir que L “ limxÑa

rf pxqsgpxq “ eu

L'Hôspital: Formas Indeterminadas Adicionais

Exemplos1 Calcular

limxÑ1

p1´ xqπx2

2 CalcularlimxÑ0

pe2x ` 2xq1

senp3xq

1ra Aula

Integrais Impróprias

No cálculo 1 estudamosşb

af pxqdx quando f : ra; bs Ñ R é uma função integrável

(por exemplo, se for contínua). Agora estudaremos o mesmo problema sobreintervalos da forma pa; bs, ra; bq, p´8; bs, ra;`8q, p´8,`8q ou sobre ra; bscom postos de discontinuidade dentro de pa, bq.

ş

1

0

dx?1´x2

‹

ş

1

0

dxp1´xq5

‹

ş`8

0

dxx2px`1q

‹

ş

1

0

?xdx

?1´x4

‹

Integrais Impróprias Com Limites Infinitos

Definição

Se f : ra;8q Ñ R ‹ é contínua e integrável em ra; bs para qualquer b ą a, então:

ż `8

a

f pxqdx “ limbÑ`8

ż b

a

f pxqdx

Diremos que a integral imprópriaş`8

af pxqdx converge se o limite existe, e se o

limite não existe ou for i�nito diremos que ela diverge.

Definição

Se f : p´8; bs Ñ R‹ é contínua e integrável em ra; bs para qualquer a ă b, então:

ż b

´8

f pxqdx “ limaÑ´8

ż b

a

f pxqdx

Diremos que a integral imprópriaşb

´8f pxqdx converge se o limite existe, e se o

limite não existe ou for i�nito diremos que ela diverge.

Definição

Se f : p´8;`8q Ñ R ‹ é contínua e integrável em p´8;`8q, então:

ż `8

´8

f pxqdx “ż c

´8

f pxqdx `ż `8

c

f pxqdx

Onde c é qualquer número real.

exemplos1 ‹

ż

2

´8

px ´ 2qexdx

2 ‹ż `8

1

x2 ` 2xx3 ` 3x2 ` 5

dx

3 ‹ż `8

´8

1

1` x2dx

2a Aula

Integrais Impróprias Com Limites Finitos

Definição

Se f : pa; bs Ñ R‹ é contínua; integrável em ra` ε; bs para ε ą 0 e com umaassintota vertical em x “ a, então:

ż b

a

f pxqdx “ limεÑ0

ż b

a`ε

f pxqdx

Diremos que a integral imprópriaşb

af pxqdx converge se o limite existe, e se o

limite não existe ou for i�nito diremos que ela diverge.

Definição

Se f : ra; bq Ñ R‹ é contínua; integrável em ra; b ´ εs para ε ą 0 e com umaassintota verticla em x “ b, então:

ż b

a

f pxqdx “ limεÑ0

ż b´ε

a

f pxqdx

Diremos que a integral imprópriaşb

´8f pxqdx converge se o limite existe, e se o

limite não existe ou for i�nito diremos que ela diverge.

Definição

Se f : ra; cq Y pc; bs Ñ R‹ é contínua e com uma assintota verticla em x “ c,então:

ż b

a

f pxqdx “ż c

a

f pxqdx `ż b

c

f pxqdx

exemplos

Estude a convergencia ou divergencia das seguintes integrais:

1 ‹ż

2

1

dx?x ´ 1

2 ‹ż π

4

´π4

cotpxqdx

3 ‹ż

0

´1

e1

x

x3dx

Observação:

Mais importante que calcular uma integral imprópria é saber quando a integralimprópia é um número, isto é, quando ela é convergente. O �lme não acabou....

Sequências de números Reais

Definição

Uma sequência de número reais é uma função a : NÑ R.O termo apnq será denotado por an e a sequência será denotada por panqnPN oupanq8n“1 ou simplesmente panq

Observação: Formas de construir sequências1 De�niendo explicitamente seus elementos: 2, 4, 6, 8, 10, ¨ ¨ ¨ .

2 Apresentando uma fórmula explicita para o termo an: an “ 2n ´ 1

3 Mediante uma fórmula de recurrência: a1 “ 5 e an “ 2an´1 ´ 1

Definição

Diremos que a sequência panqn tem como limite o número real L, o quedenotaremos por limnÑ8 an “ L, ou simplesmente an Ñ L se:

para todo ε ą 0 existe N P N tal que |an ´ L| ă ε para todo n ą N

Exemplos

1 Estude o limite limnÑ8

n2n ` 1

.‹

2 Estude o limite limnÑ8

p´1qn.

Observação:1 Quando o número L da de�nição existir, diremos que a sequência é

convergente, caso contrário diremos que ela é divergente.

Proposição

Seja f : RÑ R uma função diferenciável tal que limxÑ`8

f pxq “ L e f pnq “ anentão

limnÑ`8

an “ L

Observação:

Observe que o teorema diz que, nas condições do teorema, podemos aplicarL'Hospital.

Proposição

Considere as sequências panq, tbnu e tcnu convergentes e o número real λ, então:

limnÑ`8

pan ˘ bnq “ limnÑ`8

panq ˘ limnÑ`8

pbnq

limnÑ`8

pcanq “ c limnÑ`8

panq

limnÑ`8

panbnq “ limnÑ`8

panq limnÑ`8

pbnq

limnÑ`8

panbnq “

limnÑ`8

panq

limnÑ`8

pbnqsempre que bn ‰ 0

Se an ď cn ď bn para todo n e limnÑ`8

panq “ L “ limnÑ`8

pbnq, então:

limnÑ`8

pcnq “ L

3a Aula

Exemplos:1 Provar que a sequência panq com an “ rn e r ě 0 é convergente se r ď 1 e

divergente se r ą 1.

2 Provar que a sequência panq com an “Lnpn2q

5né convergente.

3 Provar que a sequência panq com an “ 8n3`5n2`72n3´6n`4

é convergente.

4 Provar que a sequência panq com an “senpnq

nconvergente para 0.

A seguir apresentaremos alguns resultados, sem prova, úteis para o cálculo delimites de sequências:

Teorema

Seja panq uma sequência.

1 Se limnÑ`8

|an`1||an|

ă 1, então limnÑ`8

an “ 0

2 Se limnÑ`8

an “ a, então limnÑ`8

a1 ` a2 ` ¨ ¨ ¨ ` ann

“ a

3 Se limnÑ`8

an “ a, então limnÑ`8

n?a1a2 ¨ ¨ ¨ an “ a

Exemplos:

1 Determine se a sequência panq com an “ 2n`n4

3n´n7é convergente ou divergente.

2 Determine se a sequência panq com

an “ n?9n4`1

”b

5

2`

b

9

3` ¨ ¨ ¨ `

b

4n`1n`1

ı

é convergente ou divergente.

3 Determinar o limite da sequencia panq tal quean “ 1?

n2`4n`1r 83` 15

4` ¨ ¨ ¨ ` 7n`1

n`2s

Definição (Sequência Monótona)

Seja panq uma sequência, diremos que ela é:1 Crescente, se an ď an`1 para todo n P N.2 Estritamente Crescente, se an ă an`1 para todo n P N.3 Decrescente, se an ě an`1 para todo n P N.4 Estritamente Decrescente, se an ą an`1 para todo n P N.5 Monótona se for crescente, estritamente crescente, decrescente ou

estritamente decrescente.

Exemplos

t 1nu, t´ 1

nu, tp´1qnu, tp0qnu

Definição

Seja panq uma sequência, diremos que ela é:1 limitada inferiormente, se existe R ą 0 R ă an para todo n P N. Se existir, o

número R é chamado de cuota inferior da sequência.2 limitada superiormente, se existe C ą 0 an ă C para todo n P N. Se existir, o

número C é chamado de cuota inferior da sequência.3 limitada, se for limitada superiormente e inferiormente.

Exemplos

t 1nu, t´ 1

nu, tp´1qnu, tnu, t´n2u

Definição

Seja panq uma sequência:1 Se S P R é uma cota inferior de panq tal que R ď S para todo R cuota

inferior da sequência panq; S é chamado de in�mo da sequência panq e édenotado por inf panq.

2 Se S P R é uma cota superior de panq tal que R ě S para todo R cuotasuperior da sequencia panq; S é chamado de supremo da sequencia panq e édenotado por inf panq.

Exemplos

t 1nu, t´ 1

nu, tp´1qnu, tnu, t´n2u

Teorema

Seja panq uma sequência:1 Se panq é convergente, então ela é limitada.2 Se panq é limitada e monótona, então ela é convergente.

Exemplos

1 Considere a sequência t?2,a

2?2,

b

2a

2?2, ¨ ¨ ¨ u. Prove que ela é

convergente e converge à 2.

2 Considere a sequência panq de�nida assim: a1 “ 1 e an`1 “ 2´ 1

an. Estudar

a convergencia ou divergencia.

Definição

Considere uma sequência panq, lembremos que ela é uma função a : NÑ R, umasubsequência de a é uma sequência b : NÑ R tal que existe h : NÑ Nestritamente crescente e tal que:

b “ a ˝ h

Exemplos

Apresente algumas subsequências de panq com an “p´1q

n

n2

Proposição1 Se an Ñ L, então ank Ñ L, para qualquer subsequência tank u de an2 Se an é uma sequência limitada, então existe uma subsequência ank de an que

é convergente.

4ra Aula

Séries de números Reais

Definição

Seja panqně1 uma sequência a soma in�nita dos termos da sequência, é chamadode série in�nita de números reais, isto é: a1 ` a2 ` ¨ ¨ ¨ an ` ¨ ¨ ¨

Esta série é denotada por8ÿ

k“1

ak e ak é chamado k-ésimo de termo da série.

A sequência psnq de�nida por:

s1 “ a1s2 “ a1 ` a2¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨

sn “ a1 ` a2 ` ¨ ¨ ¨ ` an

É chamada de sequência de somas parciais da série.

Definição

Diremos que a série8ÿ

n“1

an é convergente se a sequência de somas parciais for uma

sequência convergente, isto é, se existe úm múmero real L tal que:

limnÑ`8

sn “ L

Neste caso denotaremos por

L “ limnÑ`8

sn “ limnÑ`8

nÿ

k“1

ak “8ÿ

k“1

ak

Em caso contrario diremos que a série diverge.

Proposição

Sejam8ÿ

n“1

an e8ÿ

n“1

bn séries convergentes e c P R, então:

1

8ÿ

n“1

pan ˘ bnq é convergente e

8ÿ

n“1

pan ˘ bnq “8ÿ

n“1

an ˘8ÿ

n“1

bn

2

8ÿ

n“1

pcanq é convergente e

8ÿ

n“1

pcanq “ c8ÿ

n“1

an

Observação1 Ainda, no existe um procedimento matemático que decida se uma série (em

geral) é convergente ou divergente.

2 Mesmo se for convergente, não existe um procedimento para achar estelimite.

Proposição

Se8ÿ

n“1

an é convergente, então limnÑ`8

an “ 0

Exemplos:8ÿ

n“1

1

5n,8ÿ

n“1

p3´ senp1

nqq,

8ÿ

n“1

7

p5n ´ 3qp5n ` 2q,8ÿ

n“1

1

n

Série Geométrica

Definição

Uma série da forma8ÿ

n“1

arn´1 “ a` ar ` ar2 ` ¨ ¨ ¨ , com a ‰ 0 é chamada de

série geométrica de razão r .

Proposição

A série geométrica8ÿ

n“1

arn´1 é convergente se |r | ă 1 e é divergente se |r | ě 1.

No caso convergente temos

8ÿ

n“1

arn´1 “a

1´ r

Série Geométrica

Exemplos

1 Determine se a série8ÿ

n“1

8

3né convergente ou divergente. Se for convergente

achar sua soma.

2 Exprese o decimal periódico 0.5353535353 ¨ ¨ ¨ como o quociente de doisnúmero inteiros.

3 Determine se a série8ÿ

n“1

„

51

9n´ 7

1

4n

é convergente ou divergente. Se for

convergente achar sua soma.

Séries Harmônica

Definição

Uma série da forma8ÿ

n“1

1

np“

1

1p`

1

2p¨ ¨ ¨ , com p P R é chamada de série

Harmônica.

Proposição

A série Harmônica8ÿ

n“1

1

npé convergente se p ą 1 e é divergente se p ď 1.

Séries de Termos Positivos: Criterios de

Convergencia

Critério de Limitação

Uma série de termos positivos8ÿ

n“1

an é convergente se, e somente se, a sequência

de somas parciais é limitada.

Exemplo

Prove que a série8ÿ

n“1

1

n!é convergente.

Séries de Termos Positivos: Criterios de

Convergencia

Critério de Comparação

Considere as séries8ÿ

n“1

an e8ÿ

n“1

bn tais que exista N P N com 0 ď an ď bn para

todo n ě N então:

1 Se8ÿ

n“1

bn é convergente, então8ÿ

n“1

an é convergente.

2 Se8ÿ

n“1

an é divergente, então8ÿ

n“1

bn é divergente.

Exemplo

Estude a convergencia das séries8ÿ

n“2

1

Lnpnqe8ÿ

n“1

1?n ` 1

Critério Sem Nome

Considere a série de termos positivos8ÿ

n“1

an e a sequência de número reais

positivos tcnu tal que limnÑ`8

cn “ c ą 0 então as séries8ÿ

n“1

an e8ÿ

n“1

cnan

convergem ou divergem simultaneamente.

Exemplo

Estude a convergencia das séries8ÿ

n“2

n ` 1

np2n ´ 1qe8ÿ

n“1

1a

np2n ` 1q

Critério de Comparação no Limite do Quociente

Considere as séries de termos positivos8ÿ

n“1

an e8ÿ

n“1

bn.

1 Se limnÑ`8

anbn“ L ą 0 então as séries

8ÿ

n“1

an e8ÿ

n“1

bn convergem ou divergem

simultaneamente.

2 Se limnÑ`8

anbn“ 0 e

8ÿ

n“1

bn converge então8ÿ

n“1

an converge.

3 Se limnÑ`8

anbn“ `8 e

8ÿ

n“1

bn diverge então8ÿ

n“1

an diverge.

Exemplo

Estude a convergencia das séries8ÿ

n“2

n4

5n5 ` 4e8ÿ

n“1

n25n ` 7

9n6 ` 2n

5ra Aula

Critério do Quociente

Considere a série de termos positivos8ÿ

n“1

an tal que limnÑ`8

an`1an

“ r então:

1 Se r ă 1 a série8ÿ

n“1

an converge.

2 Se r ą 1 (pode ser r “ `8) a série8ÿ

n“1

an diverge.

3 Se r “ 1 Não podemos dizer nada.

Exemplo

Estude a convergencia da série8ÿ

n“1

n2n

e8ÿ

n“1

n!nn

Critério da Raiz

Considere a série de termos positivos8ÿ

n“1

an tal que limnÑ`8

n?an “ r então:

1 Se r ă 1 a série8ÿ

n“1

an converge.

2 Se r ą 1 (pode ser r “ `8) a série8ÿ

n“1

an diverge.

3 Se r “ 1 Não podemos dizer nada.

Exemplo

Estude a convergencia das séries8ÿ

n“1

n10

7ne8ÿ

n“1

prn

n ` 1snqn

Critério da Integral

Seja f : RÑ R positiva, contínua, decrescente para x ě 1 e f pnq “ an para todo

n P N. Então: A série8ÿ

n“1

an e a integral impropriaş`8

1f pxqdx convergem ou

divergem simultaneamente.

Exemplo

Estude a convergencia das séries8ÿ

n“1

1

npe8ÿ

n“1

nen

Critério da Raabe

Considere a série de termos positivos8ÿ

n“1

an tal que limnÑ`8

nr1´an`1an

s “ r então:

1 Se r ą 1 a série8ÿ

n“1

an converge.

2 Se r ă 1 (pode ser r “ `8) a série8ÿ

n“1

an diverge.

3 Se r “ 1 Não podemos dizer nada.

Exemplo

Estude a convergencia das séries8ÿ

n“1

1

n3 ` 2e8ÿ

n“1

n3 ´ 1

2n3 ` 3

Séries Alternadas

Definição

Uma série da forma8ÿ

n“1

p´1qn`1an ou da forma8ÿ

n“1

p´1qnan com an ą 0 é

chamada de série alternada.

Proposição (Teorema de Leibniz)

Se uma série alternadař8

n“1p´1qn`1an “ a1 ´ a2 ` a3 ´ a4 ` ¨ ¨ ¨ é tal que seus

termos satisfazem a1 ą a2 ą a3 ą ¨ ¨ ¨ e limnÑ`8

an “ 0,então:

1 A série8ÿ

n“1

p´1qn`1an “ a1 ´ a2 ` a3 ´ a4 ` ¨ ¨ ¨ é convergente.

2

8ÿ

n“1

p´1qn`1an “ a1 ´ a2 ` a3 ´ a4 ` ¨ ¨ ¨ ą 0

3

8ÿ

n“1

p´1qn`1an “ a1 ´ a2 ` a3 ´ a4 ` ¨ ¨ ¨ ď a1

Exemplos

1

8ÿ

n“1

p´1qn`1n ` 2

npn ` 1q

2

8ÿ

n“1

p´1qn`15n ` 2

6n2 ´ 4

Séries Absolutamente e Condicionalmente

Convergentes

Definição

Considere a série8ÿ

n“1

an.

1 Diremos que ela é absolutamente convergente se a série8ÿ

n“1

|an| for

convergente.

2 Diremos que ela é condicionalmente convergente se a série8ÿ

n“1

an for

convergente e a série8ÿ

n“1

|an| for divergente.

Exemplo

1

8ÿ

n“1

p´1qn`12

3n

2

8ÿ

n“1

p´1qn`11

n

Teorema

Toda série absolutamente convergente é convergente. Alem disso, uma série éabsolutamente convergente se, e somente se, a série formada por seus termospositivos e a série formada por seus termos negativos são ambos convergentes.

Exemplos

Determinar se as séries são convergentes ou divergentes.

1

8ÿ

n“1

p´1qn`110senpnπ

6q

n1,1

2

8ÿ

n“1

p´1qn`1p4` tgp1

nqq

Critério do Quociente Absoluto

Considere a série8ÿ

n“1

an tal que an ‰ 0 e limnÑ`8

|an`1an

| “ r então:

1 Se r ă 1 a série8ÿ

n“1

an converge.

2 Se r ą 1 (pode ser r “ `8) a série8ÿ

n“1

an diverge.

3 Se r “ 1 Não podemos dizer nada.

Exemplo

Estude a convergencia das séries8ÿ

n“1

n2n

e8ÿ

n“1

p´1qn`1nn

n!

7a Aula