Marília Brasil Xavier COORDENADOR GERAL DOS CURSOS DE ...ccse.uepa.br/downloads/material_2011/CALCULO_NUMERICO.pdf · teorema de rolle ..... 39 4.6. interpolaÇÃo de lagrange

Marília Brasil Xavier

REITORA

Prof. Rubens Vilhena Fonseca

COORDENADOR GERAL DOS CURSOS DE MATEMÁTICA

MATERIAL DIDÁTICO

EDITORAÇÃO ELETRONICA

Odivaldo Teixeira Lopes

ARTE FINAL DA CAPA

Odivaldo Teixeira Lopes

REALIZAÇÃO

BELÉM – PARÁ – BRASIL - 2011 -

APRESENTAÇÃO.

SUMÁRIO

APRESENTAÇÃO ................................................................................................................................. 05

1. SISTEMA NUMÉRICO E ERROS ................................................................................................. 09

1.1. INTRODUÇÃO.................................................................................................................................. 09

1.2. ERROS NA FASE DE MODELAGEM ....................................................................................... 09

1.3. ERROS NA FASE DE RESOLUÇÃO............................................................................................ 09

1.4. MUDANÇA DE BASE .................................................................................................................... 09

EXERCÍCIOS ....................................................................................................................................... 12

2. RESOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES ..................................... 12

2.1. RAIZ DE UMA EQUAÇÃO ........................................................................................................... 12

2.2. ISOLAMENTO DE RAÍZES ........................................................................................................... 13

2.3. TEOREMA DE BOLZANO.............................................................................................................. 14

2.4. EQUAÇÕES TRANSCENDENTES............................................................................................ 14

2.5. MÉTODO GRÁFICO........................................................................................................................ 15

EXERCÍCIOS ..................................................................................................................................... 16

2.6. MÉTODO DA BISSEÇÃO ............................................................................................................ 16

EXERCÍCIOS ....................................................................................................................................... 18

2.7. MÉTODO DAS CORDAS ............................................................................................................. 19

EXERCÍCIOS ................................................................................................................................... 22

2.8. MÉTODO DE NEWTON ............................................................................................................. 22

EXERCÍCIOS ..................................................................................................................................... 24

3. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES ................................................................................ 25

3.1. TRANSFORMAÇÕES ELEMENTARES .................................................................................... 26

3.2. MÉTODOS DIRETO ...................................................................................................................... 26

3.2.1. Método de Gauss-Jordan ................................................................................................................. 26

EXERCÍCIOS ....................................................................................................................................... 28

3.2.2. Cálculo da Inversa de uma Matriz .................................................................................................... 28

EXERCÍCIOS ....................................................................................................................................... 29

3.2.3. Cálculo do determinante de uma Matriz ......................................................................................... 30

EXERCÍCIOS ....................................................................................................................................... 31

3.3. MÉTODOS ITERATIVOS ............................................................................................................. 31

3.3.1. Método de Jacobi .................................................................................................................................. 32

EXERCÍCIOS ....................................................................................................................................... 34

3.3.2. Método de Gauss-Deidel ..................................................................................................................... 34

EXERCÍCIOS ....................................................................................................................................... 36

4. INTERPOLAÇÃO LINEAR ............................................................................................................. 37

4.1. CONCEITO DE INTERPOLAÇÃO .............................................................................................. 37

4.2. INTERPOLAÇÃO LINEAR ............................................................................................................. 37

4.3. INTERPOLAÇÃO QUADRATICA ................................................................................................ 38

4.4. ERRO DE TRUNCAMENTO .......................................................................................................... 39

4.5. TEOREMA DE ROLLE .................................................................................................................... 39

4.6. INTERPOLAÇÃO DE LAGRANGE ............................................................................................ 39

EXERCÍCIOS..................................................................................................................................... 43

4.7. INTERPOLAÇÃO DE NEWTON COM DIFERENÇAS DIVIDIDAS................................. 44

EXERCÍCIOS ....................................................................................................................................... 47

5. AJUSTE DE CURVAS ............................................................................................................................ 48

5.1. AJUSTE LINEAR ............................................................................................................................... 48

EXERCÍCIOS ...................................................................................................................................... 50

5.2. AJUSTE POLINOMIAL ................................................................................................................. 50

EXERCÍCIOS ................................................................................................................................... 53

6. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA ............................................................................................................ 55

6.1. REGRA DOS TRAPÉZIOS ............................................................................................................ 55

EXERCÍCIOS ...................................................................................................................................... 58

6.2. PRIMEIRA REGRA DE SIMPSON ............................................................................................ 59

EXERCÍCIOS .................................................................................................................................. 62

6.3. SEGUNDA REGRA DE SIMPSON .............................................................................................. 62

EXERCÍCIOS ..................................................................................................................................... 63

6.4 INTEGRAL DUPLA ...................................................................................................................... 64

EXERCÍCIOS ................................................................................................................................... 67

QUESTÕES COMPLEMENTARES ............................................................................................. 68

BIBLIOGRAFIA ................................................................................................................................. 72

Universidade Estadual do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação

9

1. SISTEMA NUMÉRICO E ERROS

1.1. INTRODUÇÃO

A solução de muitos problemas passa pela modelagem matemática, para isto devem ser

representado por uma fórmula ou procedimento matemático, que expressam as características

principais deste problema. A seqüência lógica da solução de um problema, segue o diagrama

a baixo.

É importante ressaltar, que em certas situações a solução estimada, pelos métodos

numéricos, se afasta da verdadeira solução do problema. Isto ocorre devido a presença de

fontes de erro que podem ocorrer na fase de modelagem do problema ou na fase resolução do

problema.

1.2. ERROS NA FASE DE MODELAGEM

Os erros na fase de modelagem ocorrem quando desconsideramos ou desprezamos

alguma variável presente no problema.

1.3. ERROS NA FASE DE RESOLUÇÃO

Nesta fase, o erro é gerado no momento que se fazer os cálculos na calculadora ou

computador devido aos processos de arredondamentos.

1.4. MUDANÇA DE BASE

Todo número na base dez pode ser decomposta da seguinte forma

nn

22

11

00

11

22

mm

m

ni

ii 10.a...10.a10.a10.a10.a10.a...10.a10.a

ia é 0 ou 1

m,n números inteiros, com 0n e 0m

Exemplo: 3210123 10*610*010*410*210*510*010*8406,8052

De forma semelhante. um número na base 2 pode ser escrito por:

nn

22

11

00

11

22

mm

m

ni

ii 2.a...2.a2.a2.a2.a2.a...2.a2.a

Exemplo: 3210123 2.12.02.12.12.12.02.1101,1011

Para transformar um número inteiro da base 10 para a base 2, utiliza-se o método de

divisões sucessivas, que consiste em dividir o número por 2, a seguir dividi-se por 2 o

Problema

Modelo

Matemático

Solução

Modelagem

Resolução

Departamento de Matemática, Estatística e Informática Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância

10

quociente encontrado e assim o processo é repetido até que o último quociente seja igual a 1 .

O número binário será, então, formado pela concatenação do último quociente com os restos

das divisões lidos em sentido inverso ao que foram obtidos, ou seja,

N 2

r1 q1 2

r2 Q2 2

R3 q3

qn-1 2

rn-1 1

1231n10 r.r.r.....r.1N

Para transformar números fracionários da base 10 para a base 2, utiliza-se o método das

multiplicações sucessivas, que consiste em:

1º Passo – multiplicar o numero fracionários por 2;

2º Passo – deste resultado, a parte inteira será o primeiro dígito do número na base 2 e a parte

fracionária é novamente multiplicada por 2. O processo é repetido até que a parte fracionária

do último produto seja igual a zero.

Exemplo: transforme 101875,0 para a base 2

logo 210 0011,01875,0

Exemplo: transforme 1025,13 para a base 2

13 2

1 6 2

0 3 2

1 1

1310 = 11012

0,2510 = 0,012

logo 210 01,110125,13

0,25

2 0,50

0,50

2 1,00

0,1875

2 0,3750

0,375

2 0,750

0,75

2 1,50

0,50

2 1,00


11

De maneira geral, o número x em uma base é representado por:

exp

tt

33

221 .

d...

dddx

id são os números inteiros contidos no intervalo id0 , t,...,2,1i

exp representa o expoente de e assume valores entre SexpI ,

S,I os limites inferior e superior, respectivamente, para a variação do expoente

tt

33

221 d

...ddd

é chamado de mantissa e é a parte do número que representa

seus dígitos significativos e t é o número de dígitos significativos do sistema de

representação, comumente chamado de precisão da máquina.

Exemplo:

Sistema decimal

0

3210 10.10

7

10

5

10

3357,0

2

543210 10.10

7

10

5

10

3

10

9

10

2357,29

Observação: a mantissa é um número entre 0 e 1.

Sistema binário

5

54322 2.2

1

2

0

2

0

2

1

2

111001

5

7654322 2.2

1

2

0

2

1

2

0

2

0

2

1

2

101,11001

Saiba que cada dígito do computador é chamado de bit. Apresentaremos abaixo uma

maquina fictícia de 10 bits para a mantissa, 4 bits para o expoente e 1 bit para o sinal da

mantissa e outro bit para o sinal do expoente.

Para você entender melhor faremos um exemplo numérico.

Exemplo: Numa maquina de calcular cujo sistema de representação utilizado tenha 2 ,

10t , 15I e 15S , o número 25 na base decimal é representado por

1015210 2.11001,02.11001,01100125

1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1

Mantissa Expoente

Sin

al d

a

Man

tiss

a

Sin

al d

o

Exp

oen

te


12

Observe que utilizamos bit = 0 para positivo e bit = 1 para negativo.

Um parâmetro muito utilizado para avaliar a precisão de um determinado

sistema de representação é o número de casas decimais exatas da mantissa e que

este valor é dado pelo valor decimal do último bit da mantissa, ou seja, o bit de

maior significado, logo: t

PRECISÃO1

Exercício

(01) Os números a seguir estão na base 2, escreva-os na base 10.

(a) 211011 (b) 2111100 (c) 2100111

(d) 201111, (e) 21110, (f) 2001110,

(02) Os números a seguir estão na base 10, escreva-os na base 2.

(a) 1015 (b) 1012 (c) 1036

(d) 106215, (e) 102510, (f) 1012530,

(03) Considere uma máquina de calcular cujo sistema de representação utilizado tenha

2 , 10t , 15I e 15S .Represente nesta máquina os números:

(a) 1035 (b) 1028, (c) 1024 (d) 1064,

2. RESOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES

NÃO LINEARES

2.1. RAIZ DE UMA EQUAÇÃO

Os métodos numéricos são usados na busca das raízes das equações, ou os zeros reais

de f(x). Em geral, os métodos, utilizados apresentam duas fases distintas:

Fase I – Localização ou Isolamento das Raízes

Está fase consiste em obter um intervalo que contém a raiz da função f(x) = 0, e em

seguida iremos para a segunda fase.

Fase II – Refinamento

Nesta fase definimos a precisão que desejamos da nossa resposta e escolhemos as

aproximações iniciais dentro do intervalo encontrado na Fase I. Em seguida

melhoramos, sucessivamente, a aproximação da raiz da função f(x) = 0, até se obter

uma aproximação para a raiz dentro de uma precisão pré-fixada.


13

2.2. ISOLAMENTO DE RAÍZES

Os métodos numéricos utilizados para calcular raízes da equação f(x) = 0, só calculam

uma raiz de cada vez. Esta é a razão porque devemos determinar um intervalo para cada raiz

que desejamos calcular.

Teorema

“Se uma função contínua )x(f assume valores de sinais oposto nos pontos extremos do

intervalo [ a , b ] , isto é, 0)b(f.)a(f , então o intervalo conterá, no mínimo, uma raiz da

equação 0)x(f , em outras palavras haverá no mínimo um número , pertencente ao

intervalo aberto )b,a( , )b,a( , tal que, 0)(f ”

Exemplo:

Neste exemplo apresentamos uma função )x(f que possui dentro do intervalo ]b,a[ três

raízes: 1 , 2 e 3 . Isto é, são três valores de x , para os quais a função )x(f tem imagem

igual a zero, isto é: 01)(f , 02 )(f e 03)(f .

Se a função possui imagem

zero nos pontos 1 , 2 e 3 , o

gráfico da função )x(f , nestes

pontos, intercepta o eixo dos x.

Observe no exemplo que 0)a(f e 0)b(f , logo o produto 0)b(f.)a(f

Observe que toda vez que dentro de um intervalo ]b,a[ , tivermos 0)b(f.)a(f ,

significa que neste intervalo temos pelo menos uma raiz da função )x(f , como vemos na

figura a seguir.

y

x

a

b 0

f(x) f(b)

f(a)

y

x 1 a

b 2

3 0

f(x)


14

Quando uma função possui um número par

de raízes dentro do intervalos ]b,a[ , temos

0)b(f.)a(f

0)a(f

0)b(f

logo 0)b(f.)a(f

0)a(f

0)b(f

logo 0)b(f.)a(f

Quando uma função não possui raízes dentro do intervalos ]b,a[ , temos 0)b(f.)a(f

0)a(f

0)b(f

logo 0)b(f.)a(f

0)a(f

0)b(f

logo 0)b(f.)a(f

2.3. TEOREMA DE BOLZANO

Seja 0)x(P uma equação algébrica com coeficientes reais e )b,a(x .

Se 0)b(P.)a(P , então existem um número ímpar de raízes reais no intervalo )b,a( .

Se 0)b(P.)a(P , então existem um número par de raízes reais no intervalo )b,a( ou

não existem raízes reais no intervalo )b,a( .

2.4. EQUAÇÕES TRANSCENDENTES

Saiba que a determinação do número de raízes de funções transcendentes é quase

impossível, pois algumas equações podem ter um número infinito de raízes.

Função Seno Função Cosseno

y

x

a b

0

f(x) f(b)

f(a) a

y

x

b

0

f(x) f(b)

f(a)

y

x 1 a b 2 0

f(x) f(b)

f(a)

y

x 1

a b 2 0

f(x) f(b)

f(a)

y

x 1

a

b 0

f(x)


15

Função Tangente

Função Exponencial

2.5. MÉTODO GRÁFICO

Lembre que uma raiz de uma equação 0)x(f é um ponto onde a função )x(f toca o

eixo dos x . Outra forma de identificarmos as raízes da equação é substituir

)x(h)x(g)x(f , onde 0)x(h)x(g . As raízes de 0)x(f corresponderam a interseção

das funções )x(g e )x(h .

Observe o exemplo a seguir, onde utilizamos a função 1072 xx)x(f que possui

raízes 2 e 5. Se fizermos )x(h)x(g)x(f , onde 2x)x(g e 107x)x(h temos a

interseção de )x(g com )x(h acontece em 2 e 5.

0 2 4 6 8 10 12

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

X

Y

0 2 4 6 8 10 12

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X

Y

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

X

Y

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

X

Y

0 1 2 3 4 5 6 7

-10

0

10

Y

-1 0 1 2 3 4 5 6 7-10

0

10

20

30

40

X

Y

1072 xx)x(f

2x)x(g

107x)x(h


16

Exercício

(01) Dada a função xsenx.)x(f 220 , separe esta em duas funções e aproxime pelo

menos uma de suas raízes pelo método gráfico.

(02) Dada a função xx)x(f 42 , separe esta em duas funções e aproxime pelo menos

uma de suas raízes pelo método gráfico.

(03) Dada a função xcosx)x(f 2 , separe esta em duas funções e aproxime pelo menos


(04) Dada a função xsenx)x(f 3 , separe esta em duas funções e aproxime pelo menos


2.6. MÉTODO DA BISSEÇÃO

Para utilizarmos este método devemos primeiro isolar a raiz dentro de um intervalo

]b,a[ , isto é, devemos utilizar o método gráfico para aproximar visualmente a raiz para em

seguida isolá-la pelo intervalo )b,a( , onde esta raiz pertença a este intervalo. Para

utilizarmos o método das bisseção é necessários que a função )x(f seja uma continua no

intervalo ]b,a[ e que 0)b(f.)a(f .

Para aplicamos o método da bisseção devemos dividir o intervalo ]b,a[ ao meio,

obtendo assim ox , com isto temos agora dois intervalos ]x,a[ o e ]b,x[ o

Se 0)x(f o , então, ox ; Caso contrário, a raiz estará no subintervalo onde a função tem

sinais oposto nos pontos extremos, ou seja se

0)x(f.)a(f o implica que a raiz esta no intervalo ]x,a[ o .

0)b(f.)x(f o implica que a raiz esta no intervalo ]b,x[ o .

y

x a b

ox


17

A partir daí construiremos um novo intervalo ]b,a[ 11

O novo intervalo ]b,a[ 11 que contém é dividido ao meio e obtém-se 1x onde se

011 )x(f.)a(f implica que a raiz esta no intervalo ]x,a[ 11 .

011 )b(f.)x(f implica que a raiz esta no intervalo ]b,x[ 11 .

O processo se repete até que se obtenha uma aproximação para a raiz exata , com a

tolerância desejada. Tolerância ( ) é um valor que o calculista define. A partir da

tolerância, definimos o critério de parada, onde se para de refinar a solução e se aceita o valor

aproximado calculado. A tolerância , é muitas vezes avaliada por um dos três critérios

abaixo:

E|)x(f| n

E|xx| nn 1

E|x|

|xx|

n

nn 1

Exemplo:

(01) Calcular a raiz da equação 32x)x(f com 010,E .

Solução

Primeiro devemos determinar um intervalo onde esta a raiz que desejamos calcular, para isto

devemos fazer uma no seu gráfico.

A raiz procurada está próxima de 2 e esta dentro do intervalo ][ 31 . Logo

N an bn xn f (xn) E

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

x

y

y

x 1a

1b

1x

Raiz procurada Intervalo de busca


18

0

1

2

3

4

5

6

7

1.0000 3.0000 2.0000 1.0000

1.0000 2.0000 1.5000 -0.7500 0.5000

1.5000 2.0000 1.7500 0.0625 0.2500

1.5000 1.7500 1.6250 -0.3594 0.1250

1.6250 1.7500 1.6875 -0.1523 0.0625

1.6875 1.7500 1.7188 -0.0459 0.0313

1.7188 1.7500 1.7344 0.0081 0.0156

1.7188 1.7344 1.7266 -0.0190 0.0078

Construção da tabela

1ª linha: Na iteração inicial ( N = 0 ) temos ][]ba[ oo 31 sendo o ponto médio 2ox .

2ª linha: ( N = 1 ) Como 0)x(f.)a(f oo , substituímos oxb1 , logo ][]ba[ 2111

sendo o ponto médio 511 ,x .

3ª linha: ( N = 2 ) Como 011 )b(f.)x(f , substituímos 12 xa , logo ],[]ba[ 25122

sendo o ponto médio 7512 ,x .

8ª linha: ( N = 7 ) Como 066 )x(f.)a(f , substituímos 67 xa , logo

][]ba[ 1.7344 1.718877 sendo o ponto médio 1.72667x ( E0.0078 ).

Como o erro é menor que tolerância então a aproximação final é 1,7266x .

Exercício

(01) Calcular a raiz da equação xlnx)x(f 2 com 010,E .

(02) Calcular a raiz da equação 423 xx)x(f com 010,E .

(03) Calcular a raiz da equação 102 2x)x(f com 010,E utilizando o método da

bisseção. (Sugestão utilizar intervalo de busca ],[ 31 )



(05) Calcular a raiz da equação 32x)x(f com 010,E utilizando o método da


(06) Calcular a raiz da equação xsenx)x(f 162 com 010,E utilizando o método

da bisseção. (Sugestão utilizar intervalo de busca ],[ 53 )

(07) Calcular a raiz da equação xsenx)x(f 52 com 010,E utilizando o método da



19

2.7. MÉTODO DAS CORDAS

Para utilizarmos este método devemos primeiro isolar a raiz dentro de um intervalo

]b,a[ , isto é, devemos, novamente, utilizar o método gráfico para aproximar visualmente a

raiz para em seguida isolá-la pelo intervalo ]b,a[ , onde esta raiz pertença a este intervalo

)b,a( . No método das cordas, ao invés de se dividir o intervalo ]ba[ ao meio, ele é

dividido em partes proporcionais à razão )b(f/)a(f . A fórmula de recorrência para a

aproximação da raiz enésima é

cx)c(f)x(f

)x(fxx n

n

nnn 1 , onde ...,,,n 210 ,

onde o ponto fixado c (ou “ a ” ou “b ”) é aquele no qual o sinal da função )x(f coincide

com o sinal da segunda derivada )x(''f , ou seja 0)c(f.)c(''f .

E|x|

|xx|

n

nn 1

A existência da corda da

origem a dois triângulos

semelhantes, que permitem

estabelecer a seguinte relação:

)a(f)b(f

ab

)a(f

h1

esta relação nos conduz a uma

valor aproximado da raiz

11 hax

)ab()a(f)b(f

)a(fax1

Ao se aplicar este procedimento ao novo intervalo que contém , como mostra a

figura a seguir, ]bx[ou]xa[ 11 , obtém-se uma nova aproximação 2x da raiz pela

aproximação apresentada acima

y

x b

oxa 1x

1h

f(a)

f(b)

y

x b

oxa 1x

1h

Corda

f(a)

f(b)


20

Nas figuras a seguir, como no método das cordas é escolhido o extremos do intervalo ]b,a[

que deve ser igual ao valor ox .

y

x

b

oxa

1x

1h

f(b)

f(a)

y

x

f(a)

f(b)

oxb

a

1x

1h

0)x(''f

00 )b(fe)a(f

bc

0)x(''f

00 )b(fe)a(f

ac

y

x b

oxa

1x

1h

f(a)

f(b)

0)x(''f

00 )b(fe)a(f

bc

0)x(''f

00 )b(fe)a(f

ac

y

x

1x

1h

f(b)

f(a)

oxb

a

2h

y

x b

1xa

Corda

f(a)

f(b)

2x


21

Exemplo:


Solução




N an bn xn f (xn) E

0

1

2

3

4

1.0000 3.0000 3.0000 6.0000 1.5000

1.0000 1.5000 1.5000 -0.7500 0.3000

1.0000 1.8000 1.8000 0.2400 0.0857

1.0000 1.7143 1.7143 -0.0612 0.0226

1.0000 1.7368 1.7368 0.0166 0.0061

Construção da tabela

Como 2)x(''f 023)(''f e 06333 2)(f

logo 033 )(f.)(''f de onde temos que 1ac

usando a fórmula de recorrência cx)c(f)x(f

)x(fxx n

n

nnn 1 temos que

30 bx

1.500011

00

001 x

)(f)x(f

)x(fxx ][]ba[ 1.50 1.0

1.800011

11

112 x

)(f)x(f

)x(fxx ][]ba[ 1.80 1.0

1.714311

22

223 x

)(f)x(f

)x(fxx ][]ba[ 1.7143 1.0

1.736811

33

334 x

)(f)x(f

)x(fxx ][]ba[ 1.7368 1.0

Como o erro é menor que tolerância ( E0.0061 ) então a aproximação final é 1,7368x .

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

x

y



22

Exercício











(07) Calcular a raiz da equação xsenx)x(f 52 , com 010,E utilizando o método da

bisseção. (Sugestão utilizar intervalo de busca ].,.[ 5251 )

2.8. MÉTODO DE NEWTON

Semelhantes aos métodos da bisseção e da corda, devemos primeiro isolar a raiz que

desejamos procurar dentro de um intervalo ]b,a[ utilizando para isto o método gráfico. Para

utilizarmos o método de Newton é necessários que a função )x(f seja uma continua no

intervalo ]b,a[ e que o seu único zero neste intervalo; as derivada )x('f ])x('f[ 0 e

)x(''f devem também ser contínuas.

Para se encontrar a expressão para o cálculo da aproximação nx para a raiz

devemos fazer uma expansão em série de Taylor para 0)x(f , de onde temos

)xx)(x('f)x(f)x(f nnn se fizermos 01)x(f)x(f n , obteremos a seguinte

expressão 01 )xx)(x('f)x(f nnnn , isolando o termo 1nx na temos

)x('f

)x(fxx

n

nnn 1 .

onde 1nx é uma aproximação de .


23

Exemplo:


Solução




-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

x

y

y

x 0xb

b a

1x

f(b)

f(a)

2x

0)x(''f

0)x('f

0xb

y

x

f(a)

f(b)

b

oxa

1x

2x

0)x(''f

0)x('f

0xa

y

x 1x

0xb

f(a)

f(b)

2x

a

0)x(''f

0)x('f

0xb

y

x 1x

f(b)

f(a)

b

0xa

2x

0)x(''f

0)x('f

0xa



24

N an bn xn f (xn) E

0

1

2

3

1.0000 3.0000 3.0000 6.0000

1.0000 2.0000 2.0000 1.0000 0.2500

1.0000 1.7500 1.7500 0.0625 0.0179

1.0000 1.7321 1.7321 0.0003 0.0001

Observe a construção da tabela:

Como x)x('f 2 063)('f e como 02)x(''f logo temos

30 bx

usando a expressão )x('f

)x(fxx

n

nnn 1 , temos a seguinte recorrência

.000020

001

)x('f

)x(fxx ][]ba[ 2.0 1.0

.750011

112

)x('f

)x(fxx ][]ba[ 1.75 1.0

1.73212

223

)x('f

)x(fxx ][]ba[ 1.7321 1.0

Como o erro é menor que tolerância ( E0.0001 ) então a aproximação final é 1,7321x .

Exercício











(07) Calcular a raiz da equação xsenx)x(f 52 , com 010,E utilizando o método da

bisseção. (Sugestão utilizar intervalo de busca ].,.[ 5251 )


25

3. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

Para entendermos os métodos de resolução de sistemas lineares, devemos primeiro

compreender que um sistema linear nS é uma coleção de n equações lineares, como

mostraremos a seguir

nnnnnnn

nn

nn

n

bxa...xaxaxa

..........................................................

bxa...xaxaxa

bxa...xaxaxa

S

332211

22323222121

11313212111

que pode, também, ser representado por

bxA

onde A é uma matriz quadrada de ordem n , x e b não matrizes 1n , isto é, com n linhas e

uma coluna. A matriz A tem a seguinte forma

nnnnn

n

n

a...aaa

....................

a...aaa

a...aaa

A

321

2232221

1131211

onde jia é chamado coeficiente da incógnita jx e os ib são chamados termos independentes.

Com a matriz dos coeficientes e a matriz dos termos independentes montamos a matriz B ,

denominada de matriz ampliada, que pode ser escrita por

]b:A[B

ou seja

nnnnnn

n

n

b

....

b

b

a...aaa

....................

a...aaa

a...aaa

B2

1

321

2232221

1131211

nx

x

x

x2

1

Uma solução do sistema nS , são os valores 1x , 2x , ... , nx , que constituem a matriz coluna

x , denominada de matriz solução que pode ser escrita por

Os sistemas lineares nS podem ser classificados da seguinte forma:

adoIndetermin

oDeterminadPossível

Impossível

HomogêneoNão

adoIndetermin

oDeterminadPossívelHomogêneo

Sn


26

Um sistema nS ( bxA ) é denominado de homogêneo quando a matriz b , dos termos

independentes, é nula, o sistema nS ( bxA ) é denominado de não-homogêneo quando a

matriz b , não é nula, isto é, existe pelo menos um termo em b , que não é nulo.

Um sistema é dito impossível quando não há nenhuma solução que satisfaça o sistema,

isto é, sua solução é o vazio. Um sistema é dito possível quando há, pelo menos, uma

seqüência de valores 1x , 2x , ... , nx que satisfaça o sistema, isto é, a sua solução nunca é o

vazio. Se existir uma única seqüência de valores que satisfaça o sistema nS , então este

sistema é dito Possível e determinado, se existir mais de uma seqüência de valores 1x , 2x ,

... , nx que satisfaça o sistema nS , estão podemos afirmar que o sistema é Possível e

indeterminado.

3.1. TRANSFORMAÇÕES ELEMENTARES

O cálculo da solução de sistemas através de métodos interativos, consiste em uma

seqüência de transformações, onde um sistema mais complexo é transformado em outro mais

simples com a mesma solução. As transformações utilizadas para modificar os sistemas de

equações lineares são formadas pelas seguintes operações elementares:

(1) Trocar a ordem de duas equações do sistema.

(2) Multiplicar uma equação do sistema por uma constante não numa.

(3) Adicionar duas equações do sistema.

A partir das operador apresentadas podemos transformar um sistema 1S em um

sistema 2S . Isto é, 1S e 2S são equivalentes.

3.2. MÉTODO DIRETO

Consiste de métodos que determinam a solução do sistema linear com um número finito

de transformações elementares.

3.2.1. Método de Gauss-Jordan

Exemplo: Calcule a solução do sistema

2

4

6

zyx

zyx

zyx

Solução

Como já explicamos, para melhor aplicar o método de Gauss-Jordan devemos escrever o

sistema na forma matricial:

2

4

6

zyx

zyx

zyx

2

4-

6

z

y

x

1 1- 1

1- 1- 1

1 1 1


27

A ampliada B é modificada segundo as expressões à direita gerando um novo sistema sempre

posto abaixo

2 1 1- 1

4- 1- 1- 1

6 1 1 1

B0

2 1 1- 1

10- 2- 2- 0

6 1 1 1

B1

4- 0 2- 0

10- 2- 2- 0

6 1 1 1

B1

6 2 0 0

10- 2- 2- 0

6 1 1 1

B2

6 2 0 0

10- 2- 2- 0

3 0 1 1

B3

6 2 0 0

4- 0 2- 0

3 0 1 1

B3

6 2 0 0

4- 0 2- 0

1 0 0 1

B4

35

1 0 0

2 0 1 0

1 0 0 1

B

3

2

1

z

y

x

11

1

011

0210

1 )(

)()(

a

am

)()()()(LLmL

02

01

01

12

11

1

011

0310

2 )(

)()(

a

am

)()()()(LLmL

03

01

02

13

12

2

122

1321

1

)(

a

am

)(

)()(

)()()()(LLmL

13

12

11

23

2

1

233

2132

1 )(

)()(

a

am

)()()()(LLmL

21

23

21

31

2

2

233

2232

2

)(

a

am

)(

)()(

)()()()(LLmL

22

23

22

32

2

1

2

1

322

3123

1 )(

)()(

a

am

)()()()(LLmL

31

32

31

41

2

2

1

43

433

435

3

42

422

425

2

41

411

415

1

)(

)(

)()(

)(

)(

)()(

)(

)(

)()(

L

a

LL

L

a

LL

L

a

LL


28

Exercício

(01) Calcule a solução do sistema

(a)

2

4

6

zyx

zyx

zyx

(b)

1232

7

02

zyx

zyx

zyx

(c)

522

325

532

zyx

zyx

zyx

(d)

122

17322

23225

1832

tzyx

tzyx

tzyx

tzyx

(e)

022

525

132

zyx

zyx

zyx

(f)

12

52

832

zyx

zyx

zyx

3.2.2. Cálculo da Inversa de uma Matriz

O método de Gauss-Jordan pode calcular a inversa de uma matriz. No calculo da

inversa de uma matriz (1

M ), a matriz ampliada B é montada utilizando a matriz M e uma

matriz identidade I da dimensão da matriz M . Isto é, a matriz identidade I substitui a matriz

dos termos independentes b , utilizada na resolução de sistemas lineares. Deste modo, a

matriz B fica da seguinte forma:

]I:M[B

1 0 0 1 1 1

0 1 0 4 1- 0

0 0 1 2 1 1

B0

1 0 1- 1- 0 0

0 1 0 4 1- 0

0 0 1 2 1 1

B1

1 0 1- 1- 0 0

0 1 0 4 1- 0

2 0 1- 0 1 1

B2

1a

am

)(

)()(

011

0310

1

)()()()(LLmL

03

01

01

13

2a

am

)(

)()(

133

1231

1

)()()()(LLmL

12

13

11

22

4a

am

)(

)()(

133

1231

2

)()()()(LLmL

12

13

12

22

1 a

am

)(

)()(

222

2122

1

)()()()(LLmL

21

22

21

31


29

1 0 1- 1- 0 0

4 1 4- 0 1- 0

2 0 1- 0 1 1

B2

1 0 1- 1- 0 0

4 1 4- 0 1- 0

6 1 5- 0 0 1

B3

1- 0 1 1 0 0

4- 1- 4 0 1 0

6 1 5- 0 0 1

B3

1 1 1

4 1- 0

2 1 1

M e

1- 0 1

4- 1- 4

6 1 5-

M1

Exercício

(01) Determine a inversa das matriz abaixo

(a)

1 1- 1

1- 1- 1

1 1 1

(b)

3 2 1-

1 1 1

1- 2 1

(c)

1 2 2-

2 5 1-

3 2 1

(d)

1 1 2 1

3 1 2 1-

2 2 5 1-

1 3 2 1

(02) Determine a inversa das matrizes abaixo

(a)

122

251

321

(b)

112

211

321

1

1

1

43

433

435

3

42

422

425

2

41

411

415

1

)(

)(

)()(

)(

)(

)()(

)(

)(

)()(

L

a

LL

L

a

LL

L

a

LL


30

(c)

112

111

121

(d)

1121

3122

2251

1321

3.2.3. Cálculo do determinante de uma Matriz

O método de Gauss-Jordan, também pode ser utilizado para calcularmos o determinante

de uma matriz. Para isto, devemos escalonar a matriz ampliada B , como fizemos no cálculo

da solução do sistema e na determinação da matriz inversa, porém não devemos fazer o

último passo, que é a normalização da matriz pelos elementos da diagonal principal.

Exemplo 02 – Calcule o determinante da matriz

1- 2 1

1 2 0

0 3 1

M

1- 2 1

1 2 0

0 3 1

B0

1- 1- 0

1 2 0

0 3 1

B1

0.50- 0 0

1.00 2.00 0

0 3.00 1.00

B2

0.50- 0 0

0 2.00 0

0 3.00 1.00

B3

0.50- 0 0

0 2.00 0

0 0 1.00

B4

001500002001 .).(*.*.)Mdet(

1a

am

)(

)()(

011

0310

1

)()()()(LLmL

03

01

01

13

0.5a

am

)(

)()(

122

1321

1

)()()()(LLmL

13

12

11

23

2a

am

)(

)()(

233

2232

1

)()()()(LLmL

22

23

22

32

1.5- a

am

)(

)()(

322

3123

1

)()()()(LLmL

31

32

31

41


31

Exercício

(01) Determine o determinante das matriz abaixo

(a)

1 1- 1

1- 1- 1

1 1 1

(b)

3 2 1-

1 1 1

1- 2 1

(c)

1 2 2-

2 5 1-

3 2 1

(d)

1 1 2 1

3 1 2 1-

2 2 5 1-

1 3 2 1

3.3. MÉTODOS ITERATIVOS

A outra forma de se determinar a solução de um sistema bxA , que é através dos

métodos iterativos. Os métodos iterativos consistem em determinar uma seqüência de

aproximações )(

x1

, )(

x2

, ... , )k(

x , para a solução do sistema x , a partir de uma dada

aproximação inicial )(

x0

. Segundo este raciocínio, o sistema bxA , é transformado em um

outro sistema equivalente com a seguinte forma

dxFx)k()k( 1

onde F é uma matriz nn , x e d são matrizes 1n . )k(

x1

é uma aproximação obtida a

partir da aproximação )k(

x . Sendo a seqüência de aproximações obtida da seguinte forma

dxFx)()( 01

dxFx)()( 12

dxFx)()( 23

......................

dxFx)k()k( 1

As aproximações são calculadas até que se tenha

i)k(

ini

)k(xxmaxxx

1

Se 0xxlim)k(

k, então a seqüência

)(x

1,

)(x

2, ... ,

)k(x converge para a solução x .


32

3.3.1. Método de Jacobi

Para entendermos o método de Jacobi tomemos o sistema

nnnnbn

nn

nn

bxa...xaxa

...................................................

bxa...xaxa

bxa...xaxa

2211

22222121

11212111

em cada equação do sistema devemos isolar o valor de ix , isto é, na primeira equação

devemos isolar 1x , na segunda equação devemos isolar 2x , e assim por diante, com isto

teremos:

nn

nnnbnnn

nn

nn

a

)xa...xaxaxa(bx

...................................................

a

)xa...xaxa(bx

a

)xa...xaxa(bx

113132211

22

231312122

11

131321211

Observação: Os elementos iia devem ser diferentes de zeros i,aii 0 , se não teremos

divisão por zero. Caso isto não ocorra devemos reagrupar o sistema para que se

consiga esta condição

Podemos colocar o sistema na seguinte forma dxFx)k()k( 1

, onde

nx

x

x

x

2

1

nn

n

a

b

a

b

a

b

d

22

2

11

1

0

0

0

0

321

33333323331

22222232221

11111131112

...a/aa/aa/a

...............................................................................

a/a...a/aa/a

a/a...a/aa/a

a/a...a/aa/a

F

nnnnnnnnn

n

n

n

O método de Jacobi funciona da seguinte forma:

1º Passo: Devemos escolher uma aproximação inicial )(

x0

.

2º Passo: Devemos gerar as aproximações )k(

x a partir das iterações


33

dxFx)k()k( 1

, ...,,,k 210

3º Passo: Paramos de calcular as aproximações quando um dos critérios de parada abaixo for

satisfeito.

1º critério: E|xx|max)k(

i)k(

ini

1

1, onde tolerânciaaéE .

2º critério: Mk , onde M é o número máximo de iterações.

Observação: A tolerância E fixa o grau de precisão das soluções.

Exemplo – Resolva pelo método de Jacobi o sistema

32

12

21

21

xx

xx com 210E ou 10k .

Solução

Isolando o valor de 1x na primeira equação e 2x na segunda equação, temos as equações de

iteração

)x(x

)x(x

kk

kk

11

2

21

1

32

1

12

1

onde ...,,,k 210

Utilizaremos como aproximação inicial 0

00)(x para calcular )(

x1

, como mostraremos a

seguir

Para 0k

)x(x

)x(x

01

12

02

11

32

1

12

1

51032

1

50012

1

12

11

.)(x

.)(x

51

501

.

.x )(

Para 1k

)x(x

)x(x

11

22

12

21

32

1

12

1

2515132

1

2515012

1

12

11

.).(x

.).(x

251

2512

.

.x )(

repetiremos estes cálculos para ....,,k 32 e colocamos os valores obtidos na tabela abaixo:

k kx1 kx2 E

0 0.0000 0.0000 0.0000

1 0.5000 1.5000 1.5000

2 1.2500 1.2500 0.7500


34

3 1.1250 0.8750 0.3750

4 0.9375 0.9375 0.1875

5 0.9688 1.0313 0.0938

6 1.0156 1.0156 0.0469

7 1.0078 0.9922 0.0234

8 0.9961 0.9961 0.0117

9 0.9980 1.0020 0.0059

10 1.0010 1.0010 0.0029

?k

ou

.

10

1000290 2

00101

00101

2

1

.x

.x

00101

00101

.

.x

Exercício

(01) Resolva o sistemas, com ][x 0000 , 210E ou 10k , onde k é o número de

iterações.

(a)

522

42

22

zyx

zyx

zyx

(b)

433

52

54

zyx

zyx

zyx

(c)

123

1552

23

zyx

zyx

zyx

(d)

2852

163

1952

23

tzyx

tzyx

tzyx

tzyx

3.3.2. MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL

O método iterativo de Gauss-Seidel consiste em:

1º Passo: Definirmos uma aproximação inicial )(

x0

.

2º Passo: Calcula-se a seqüência de aproximações )(

x1

, )(

x2

, ... , )k(

x utilizando-se as

seguintes fórmulas:


35

)k(nn

)k()k()k()k(xaxaxaxab

ax 13133132121

11

11

1

)k(nn


ax 2323323

11212

22

12

1

)k(nn


ax 3434

1232

11313

33

13

1

)k(nn,n

)k(n

)k(n

)k(nn

nn

)k(n xaxaxaxab

ax

111

144

122

111

1 1

No cálculo da aproximação )k(

nx1

, utilizamos as aproximações)k(

x1

1 , )k(

x1

2 , ... , )k(

nx1

1 .

Isto faz com que este método tenha convergência mais rápida.

Exemplo 01 – Resolva pelo método de Jacobi o sistema

32

12

21

21

xx

xx com ][x

)(00

0, 210E ou 10k .

Solução

Isolando o valor de 1x na primeira equação e 2x na segunda equação, temos as equações de

iteração

)x(x

)x(x

kk

kk

11

12

21

1

32

1

12

1

onde ...,,,k 210

O calculo das aproximações é feito da seguinte forma

Para 0k (1ª iteração)

)x(x

)x(x

)()(

)()(

11

12

02

11

32

1

12

1

2515032

1

50012

1

12

11

.).(x

.)(x

)(

)(

251

501

.

.x )(

Para 1k (2ª iteração)

)x(x

)x(x

)()(

)()(

21

22

12

21

32

1

12

1

93750125132

1

125125112

1

22

21

.).(x

.).(x

)(

)(

93750

12512

.

.x )(

repetiremos estes cálculos para ....,,k 32 e colocamos os valores obtidos na tabela a seguir.


36

k kx1 kx2 E

0 0.0000 0.0000 0.0000

1 0.5000 1.2500 1.2500

2 1.1250 0.9375 0.6250

3 0.9688 1.0156 0.1563

4 1.0078 0.9961 0.0391

5 0.9980 1.0010 0.0098

6 1.0005 0.9998 0.0024

7 0.9999 1.0001 0.0006

?k

ou

.

10

1000060 2

00011

99990

2

1

.x

.x

00011

99990

.

.x

Exercício

(01) Resolva o sistemas, com ][x 0000 , 210E ou 10k , onde k é o número de

iterações. Utilize o método de Gauss Seidel.

(a)

522

42

22

zyx

zyx

zyx

(b)

433

52

54

zyx

zyx

zyx

(c)

123

1552

23

zyx

zyx

zyx

(d)

2852

163

1952

23

tzyx

tzyx

tzyx

tzyx


37

4. INTERPOLAÇÃO LINEAR

4.1. CONCEITO DE INTERPOLAÇÃO

Seja a função )x(fy , cujos valores estão em uma tabela. Se desejarmos determinar

)x(f sendo:

(a) )x,x(x n0 e ixx onde n,...,,,i 210

(b) )x,x(x n0

O item (a) representa um problema de interpolação, isto é, x está dentro do intervalo

amostrado, logo devemos calcular um polinômio interpolador, que é uma aproximação da

função tabelada.

O item (b) representa um problema de extrapolação, isto é, x está fora do intervalo

amostrado. Nos trataremos apenas de problemas de interpolação neste capítulo.

4.2. INTERPOLAÇÃO LINEAR

Exemplo - Na tabela está a produção seguir está assinalado o número de habitantes de uma

cidade A em quatro censos.

Tabela 1

ANO 1950 1960

Nº de Habitantes 352.724 683.908

Determinar o número aproximado de habitantes na cidade A em 1955.

Solução

Neste caso, o polinômio interpolador terá grau 1, isto é, será da forma

011 axa)x(P

Para se determinar os coeficientes, 0a e 1a devemos fazer

101111

000101

yaxa)x(P

yaxa)x(P

1011

0001

yaxa

yaxa

Para 19500x e 352.724y0 temos que

724.352a1950a 01

Para 1960x1 e 683.908y1 temos que

683.908a1960a 01

Com isto temos o seguinte sistemas

683.908a1960a

724.352a1950a

01

01

onde 33118,40a1 e 64228156a0 logo teremos

64228156x33118,40)x(P1


38

como queremos saber o número aproximado de habitantes na cidade A em 1955x , temos

518.31664228156195533118,40)x(P1 habitantes

4.3. INTERPOLAÇÃO QUADRATICA

Exemplo - Na tabela a seguir está assinalado o número de habitantes de uma cidade A em

quatro censos.

Tabela 1

ANO 1950 1960 1970

Nº de Habitantes 877500 901600 925900

Determinar o número aproximado de habitantes na cidade A em 1965.

Solução

Neste caso, o polinômio interpolador será de 2º grau, isto é, será da forma

012

22 axaxa)x(P

Para se determinar os coeficientes, 0a , 1a e 2a devemos fazer

202122222

101121212

000120202

yaxaxa)x(P

yaxaxa)x(P

yaxaxa)x(P

2021222

1011212

0001202

yaxaxa

yaxaxa

yaxaxa

Para o problema em questão temos:

925900aa1950a1970

901600aa1950a1960

877500aa1950a1950

0122

0122

0122

cuja solução, através de escalonamento ensinado no capítulo anterior é

25.2a

1500a

1a

0

1

2

logo teremos

25.2x1500x)x(P 22

como queremos saber o número aproximado de habitantes na cidade A em 1965x , temos

91372525.2196515001965)1965(P 22 habitantes


39

4.4. ERRO DE TRUNCAMENTO

Para que você entenda o erro de truncamento, observe o gráfico mostrado a figura a

seguir.

Figura. )x(f é a função tabelada e )x(P1 um polinômio interpolador de 1º grau. Podemos

observar que, neste caso, )x(P1 não aproxima bem a solução.

O erro de truncamento cometido no ponto x é dado pela fórmula

A)xx()xx()x(E 10T ,

onde A é uma constante a determinar, como a função erro de truncamento.

No calculo de A , utilizaremos a função auxiliar )t(G definida por:

)t(E)t(P)t(f)t(G T1 .

4.5. TEOREMA DE ROLLE

Se a função )x(f é contínua no intervalo ]b,a[ e diferenciável no intervalo )b,a( e

)b(f)a(f , então, existe um )b,a( , tal que 0)('f

4.6. INTERPOLAÇÃO DE LAGRANGE

As interpolações apresentadas anteriormente (interpolação linear e quadrática) são casos

particulares da interpolação de Lagrange. Agora vamos determinar, o polinômio interpolador

)x(P de grau menor ou igual a n , sendo dado para isto, 1n pontos distintos.

Teorema

Sejam )y,x( ii , 1n,n,...,2,1,0i pontos distintos, isto é, ji xx para ji .

Existe um único polinômio )x(P de grau não maior que n , tal que ii y)x(p , para todo i . O

polinômio )x(P pode ser escrito na forma:

nn

33

2210n xa...xaxaxaa)x(P

ou da seguinte forma n

0i

iin xa)x(P

0x 1x

0y

1y )x(P1

)x(f

x

Valor Aproximado

Valor real


40

Observe que )x(P é, no máximo, de grau n , se 0an . Para determinar o polinômio

)x(P devemos conhecer os valores n210 a,...,a,a,a . Como )x(P contém os pontos

)y,x( ii podemos escrever ii y)x(p , da seguinte forma

S:

nnnn

3n3

2n2n10

2n2n

323

222210

1n1n

313

212110

0n0n

303

202010

yxa...xaxaxaa

..............................................................

yxa...xaxaxaa

yxa...xaxaxaa

yxa...xaxaxaa

A solução do sistema S são os valores n210 a,...,a,a,a , com os quais determinamos o

polinômio nn

33

2210n xa...xaxaxaa)x(P .

Para verificarmos que tal polinômio é único, basta calcularmos o determinante da

matriz A (matriz dos coeficientes) e verificar que ele é diferente de zero.

2n

2nn

21

211

n0

200

x...xx1

...............

x...xx1

x...xx1

A

Observe que a matriz A , tem a forma da matriz de Vandermonte, também

conhecida como matriz das potências. Seu determinante, segundo a Álgebra Linear, é dado

pela expressão:

jiji )xx()Adet( , com ji xx

Sabemos que 0)Adet( , logo isto prova que )x(P é único.

Obtenção da Fórmula

Para que você entenda a interpolação de Lagrange é necessário que compreender como

é obtida a fórmula de recorrência deste método.

O teorema fundamental da Álgebra garante que podemos escrever o polinômio )x(P

da seguinte forma

)xx(...)xx()xx()xx()xx()x(P n3210

onde n3210 x,...,x,x,x,x são as raízes do polinômio )x(P . Montaremos agora, uma

seqüência de polinômios auxiliares da seguinte forma

1º polinômio: se retirarmos )xx( 0 obteremos o polinômio

)xx(...)xx()xx()xx()x(p n3210


)xx(...)xx()xx()xx()x(p n3201


41


)xx(...)xx()xx()xx()x(p n3102

Seguindo este raciocínio obteremos os polinômios )x(p,...),x(p),x(p),x(p n210 .

Estes polinômios podem ser escritos na forma sintética: n

ij0j

ji )xx()x(p , )n,...,3,2,1,0i(

Tais polinômios possuem as seguintes propriedades

(a) 0)x(p ii , para todo i.

(b) 0)x(p ji , para todo ij .

e são conhecidos como polinômios de Lagrange. O polinômio )x(P pode ser escrito como

uma combinação linear dos polinômios )x(p,...),x(p),x(p),x(p n210 , da seguinte forma:

)x(pb...)x(pb)x(pb)x(pb)x(P nn221100

ou n

0i

ii )x(pb)x(P

Mas, como 0)x(p ji , para todo ij e 0)x(p ii , para todo i, temos que

)x(pb)x(P nnnnn

logo

)x(p

)x(Pb

nn

nnn

e como iin y)x(P , teremos

)x(p

yb

ii

ii

substituindo este valor no somatório será n

0i

iii

i )x(p)x(p

y)x(P

de onde teremos n

0i ii

ii

)x(p

)x(py)x(P

como n

ij0j

ji )xx()x(p então

n

0i

n

ij0j ji

ji

)xx(

)xx(y)x(P

denominada de fórmula de interpolação de Lagrange.


42

Exemplo - A partir das informações existentes na tabela, determine:

i ix iy

0

1

2

3

0.0

0.2

0.4

0.5

0.000

2.008

4.064

5.125

(a) O polinômio interpolador de Lagrange

(b) )3.0(P

Solução

(a) Como temos 4 pontos, o polinômio interpolador será de grau 3, logo 3

0i

3

ij0j ji

ji3

)xx(

)xx(y)x(P , ou seja

)xx()xx()xx(

)xx()xx()xx(y

)xx()xx()xx(

)xx()xx()xx(y

)xx()xx()xx(

)xx()xx()xx(y

)xx()xx()xx(

)xx()xx()xx(y)x(P

231303

2103

321202

3102

312101

3201

302010

32103

substituindo os valores da tabela, teremos

)4.05.0()2.05.0()0.05.0(

)4.0x()2.0x()0.0x(125.5

)5.04.0()2.04.0()0.04.0(

)5.0x()2.0x()0.0x(064.4

)5.02.0()4.02.0()0.02.0(

)5.0x()4.0x()0.0x(008.2

)5.00.0()4.00.0()2.00.0(

)5.0x()4.0x()2.0x(000.0)x(P3

simplificando a expressão, temos o seguinte polinômio interpolador

x10x)x(P 33

(b) 027.33.0103.0)3.0(P 33


43

Exercício

(01) A partir das informações existentes na tabela, determine:

I ix iy

0

1

2

3

0.0

0.2

0.4

0.6

0.0000

1.0400

2.1600

3.3600


(b) )3.0(P


I ix iy

0

1

2

3

0.1

0.3

0.5

0.7

0.1010

0.3270

0.6250

1.0430


(b) ).(P 40


I ix iy

0

1

2

3

0.0

0.2

0.4

0.6

0.0000

0.4080

0.8640

1.4160


(b) ).(P 50


I ix iy

0

1

2

3

0.1

0.3

0.5

0.7

0.0110

0.1170

0.3750

0.8330


(b) ).(P 60


44

4.7. INTERPOLAÇÃO DE NEWTON COM DIFERENÇAS DIVIDIDAS

Conceito de Diferenças Divididas

Seja )x(fy uma função que contém n pontos distintos )y,x( ii , onde

n,...,2,1,0i . Representaremos diferença divididas, por ][f . Definiremos diferença

dividida de ordem zero a própria função, isto é,

1110 y)x(f]x[f .

A diferença dividida de 1ª ordem para os argumentos 0x e 1x é uma aproximação da

1ª derivada, isto é,

01

0110

1

xx

)x(f)x(f]x,x[f ,

onde temos a seguinte propriedade ]x,x[f]x,x[f 1001 . Considerando )x(fy ii ,

podemos escrever as diferenças divididas de 1º ordem, de forma geral, por:

i1i

i1i1ii

1

xx

yy]x,x[f .

A diferença dividida de 2ª ordem para os argumentos 0x , 1x e 2x é dada por:

02

101

211

2102

xx

]x,x[f]x,x[f]x,x,x[f .

A diferença dividida de 3ª ordem para os argumentos 0x , 1x , 2x e 3x é dada por:

03

2102

3212

32103

xx

]x,x,x[f]x,x,x[f]x,x,x,x[f .

Genericamente, a diferença dividida de ordem n é dada por:

ini

1ni2i1ii1n

ni2i1i1n

ni2i1iin

xx

]x,...,x,x,x[f]x,...,x,x[f]x,...,x,x,x[f .

Exemplo - Dada a função tabelada calcule a diferença dividida de segunda ordem.

i ix iy

0

1

2

0.3

1.5

2.1

3.09

17.25

25.41

Solução

Devemos calcular as diferenças divididas de primeira ordem

80.113.05.1

09.325.17

xx

yy]x,x[f

01

0110

1

60.135.11.2

25.1741.25

xx

yy]x,x[f

12

1221

1

com todas as diferenças divididas de primeira ordem calculadas, vamos então calcular a de

segunda ordem


45

0.13.01.2

80.1160.13

xx

]x,x[f]x,x[f]x,x,x[f

02

101

211

2102

Para facilitar os procedimentos numéricos e organizar os nossos cálculos colocaremos na

própria tabela o desenvolvimento do calculo da seguinte forma:

i ix iy ]x,x[f 1ii1 ]x,x,x[f 210

2

0 0.3 3.09 ]x,x[f 101 ]x,x,x[f 210

2

1 1.5 17.25 ]x,x[f 211

2 2.1 25.41

Fazendo a substituição numérica temos:

i ix iy ]x,x[f 1ii1 ]x,x,x[f 210

2

0 0.3 3.09 11.80 1.00

1 1.5 17.25 13.60

2 2.1 25.41

A fórmula de recorrência de interpola, de Newton com diferenças dividida, depende do

número de pontos existente na tabela.

1º Caso: Existem só dois pontos na tabela

A fórmula, de interpolação, é obtida a partir da expressão de diferença divididas de

primeira ordem,

10

10

01

0110

1

xx

)x(f)x(f

xx

)x(f)x(f]x,x[f

onde isolando )x(f , para obter a fórmula de interpolação:

]x,x[f)xx()x(f)x(f 101

1010

assumiremos 0xx , onde x é qualquer valor dentro do intervalo ]x,x[ 10 .

2º Caso: Existem só três pontos na tabela

A fórmula de interpolação, neste caso, é obtida a partir da expressão de diferença

divididas de segunda ordem,

20

211

101

02

101

211

2102

xx

]x,x[f]x,x[f

xx

]x,x[f]x,x[f]x,x,x[f

onde isolando ]x,x[f 211 , obtemos:

]x,x,x[f)xx(]x,x[f]x,x[f 2102

20211

101

Substituindo na primeira fórmula de interpolação, temos

]}x,x,x[f)xx(]x,x[f{)xx()x(f)x(f 2102

20211

1010


46

que pode ser escrita por

]x,x,x[f)xx)(xx(]x,x[f)xx()x(f)x(f 2102

2010211

1010

que é a fórmula de interpolação para este caso, onde assumiremos 0xx , onde x é qualquer

valor dentro do intervalo ]x,x[ 20 .

3º Caso: Existem só quatro pontos na tabela

A fórmula de interpolação, neste caso, é obtida a partir da expressão de diferença

divididas de terceira ordem,

30

3212

2102

03

2102

3212

32103

xx

]x,x,x[f]x,x,x[f

xx

]x,x,x[f]x,x,x[f]x,x,x,x[f

onde isolamos ]x,x,x[f 2102 , para obter:

]x,x,x,x[f)xx(]x,x,x[f]x,x,x[f 32103

303212

2102

Substituindo na segunda fórmula de interpolação, temos

}]x,x,x,x[f)xx(]x,x,x[f{)xx)(xx(

]x,x[f)xx()x(f)x(f

32103

303212

2010

211

1010

que pode ser expresso por:

]x,x,x,x[f)xx)(xx)(xx(]x,x,x[f)xx)(xx(

]x,x[f)xx()x(f)x(f

32103

3020103212

2010

211

1010

que é a fórmula de interpolação para este caso, onde assumiremos 0xx , onde x é qualquer

valor dentro do intervalo ]x,x[ 30 .

4º Caso: Generalização para n pontos na tabela

Para uma tabela de n pontos, a fórmula de interpolação pode ser expressa, segundo o

mesmo raciocínio, por:

n

0i

1i

0jji0

i10 )xx(]x,...,x[f)x(f)x(f

onde assumiremos 0xx , onde x é qualquer valor dentro do intervalo ]x,x[ n0 .

Exemplo - Determinar o valor aproximado de )4.0(f , usando todos os pontos tabelados

i ix iy

0 0.0 1.008

1 0.2 1.064

2 0.3 1.125

3 0.5 1.343

4 0.6 1.512


47

Solução

I ix ][fyi ][f1 ][f2 ][f3 ][f 4

0 0.0000 1.0080 0.2800 1.1000 1.0000 -0.0000

1 0.2000 1.0640 0.6100 1.6000 1.0000 0.0000

2 0.3000 1.1250 1.0900 2.0000 0.0000 0.0000

3 0.5000 1.3430 1.6900 0.0000 0.0000 0.0000

4 0.6000 1.5120 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

Utilizamos os valores em azul no momento as substituição

][f)x4.0)(x4.0)(x4.0)(x4.0(][f)x4.0)(x4.0)(x4.0(

][f)x4.0)(x4.0(][f)x4.0(][f)4.0(f

43210

3210

210

10

2160.1)4.0(f

Exercício

(01) Determinar o valor aproximado de ).(f 30 , usando todos os pontos tabelados

I ix iy

0 0.0 0.0000

1 0.2 0.0480

2 0.4 0.2240

3 0.6 0.5760

4 0.8 1.1520

(02) Determinar o valor aproximado de )4.0(f , usando todos os pontos tabelados

I ix iy

0 0.1 0.1010

1 0.3 0.3270

2 0.5 0.6250

3 0.7 1.0430

4 0.9 1.6290

(03) Determinar o valor aproximado de ).(f 30 , usando todos os pontos tabelados

i ix iy

0 0.0 0.1000

1 0.2 0.1080

2 0.4 0.1640

3 0.6 0.3160

4 0.8 0.6120


48

5. AJUSTE DE CURVAS

5.1. AJUSTE LINEAR

O ajuste linear consiste em ajustar uma função do primeiro grau no dados

xy 10 ,

onde 0 e 1 são denominados parâmetros do modelo.

Figura – As bolinhas representam os valores amostrados no campo e a reta representa a

função ajustada nos pontos amostrados. No ponto ix o valor iy representa o valor amostrado,

e iy o seu valor estimado pela função ajustada e iii yyd é a diferença entre o valor

amostrado (valor real do campo) e o valor estimado.

Para estimarmos a função xy 10 , o erro entre o valor amostrado iy e o valor

estimado iy deve ser mínimo, para isto a soma dos quadrados do erro de todos os pontos deve

ser a menor possível.

Para você entender melhor, primeiro definiremos a função que representa a soma do

quadrado dos erros: n

iii yyD

1

2 ,

onde temos n é o número de pontos amostrados. A magnitude de D depende da reta

ajustada, ou seja depende de 0 e 1 . Assim como xy 10 , podemos escrever:

n

ii )x(y),(D

1

21010 .

Então para determinarmos 0 e 1 da função xy 10 , devemos fazer

00

10 ),(D e 01

10 ),(D ,

O que resulta nas expressões:

2

1 1

2

1111

n

i

n

iii

n

ii

n

ii

n

iii

xxn

yxyxn e

n

xyn

ii

n

ii 1

110

.

Exemplo: Encontre o número de habitantes de uma cidade no ano de 1970 considerando os

dados do censo mostrado na Tabela 2.

Y

xy 10

iii yYd

ix

ii xy 10


49

i Ano( ix ) Número de habitantes( iy )

1

2

3

4

5

1940

1960

1980

1990

2000

19600

19800

20000

20100

20200

Tabela – Censo feito na cidade hipotética A.

Para calcularmos 1 e 0 devemos primeiro completar a tabela com as colunas

contendo informação de 2i

x , ii yx , n

iix

1

, n

iiy

1

, n

ii

x

1

2 e

n

iii yx

1

que são obtidos

simplesmente pela soma dos elementos de cada coluna.

i Ano

( ix )

Número de

habitantes

( iy )

2i

x ii yx

1

2

3

4

5

1940

1960

1980

1990

2000

19600

19800

20000

20100

20200

3763600

3841600

3920400

3960100

4000000

38024000

38808000

39600000

39999000

40400000

9870xn

ii

1

99700yn

ii

1

19485700xn

ii

1

2 196831000yx

n

iii

1

Tabela – Estão os valores de ix , iy , 2i

x , ii yx , n

iix

1

, n

iiy

1

, n

ii

x

1

2 e

n

iii yx

1

.

Com os valores da Tabela podemos calcular os coeficientes 1 e 0 , da seguinte

forma:

10196831000194857005

9970098705

2

1 1

2

1111

*

*196831000*

xxn

yxyxn

n

i

n

iii

n

ii

n

ii

n

iii

2005

109870997001

110

n

xyn

ii

n

ii

.

Com isto a função de ajuste é

xy 10200 ;

O número de habitantes em 1970 é obtido pela fórmula xy 10200 , da seguinte forma:

19900197010200 *y , Logo tivemos 19900 habitantes em 1970.


50

Exercício

(01) Com base dos dados amostrados dispostos na tabela a seguir encontre o valor quando

50.x , segundo uma aproximação linear.

i ix iy

1

2

3

4

5

6

7

0.0000

0.2000

0.4000

0.6000

0.8000

1.0000

1.2000

-0.2000

0.8000

1.8000

2.8000

3.8000

4.8000

5.8000


60.x , segundo uma aproximação linear.

i ix iy

1

2

3

4

5

6

7

0.1000

0.3000

0.5000

0.7000

0.9000

1.1000

1.3000

0.5000

1.1000

1.7000

2.3000

2.9000

3.5000

4.1000

5.2. AJUSTE POLINOMIAL

O ajuste linear é um caso particular do ajuste polinomial, onde ajustaremos aos pontos

amostrados um polinômio, y , de grau n.

nn x...xxxy 3

32

210 .

Os são coeficientes n,...,,,, 3210 são obtidos através de um sistema:

BAX .

Para ajustarmos uma reta (polinômio do 1º grau) xy 10 , devemos minimizar a

função n

ii )x(y),(D

1

21010 , para isto devemos fazer

00

10 ),(D

n

ii

n

ii yxn

1

1

1

0

01

10 ),(D

n

iii

n

ii

n

ii yxxx

11

21

1

0


51

Podemos escrever este sistema na forma matricial

n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

yx

y

xx

xn

1

1

1

0

1

2

1

1

Comparando com o sistema BAX , temos que:

n

ii

n

ii

n

ii

xx

xn

X

1

2

1

1 , 1

0A e

n

iii

n

ii

yx

y

B

1

1

Com a resolução do sistema, encontraremos A que possibilitará a determinação do polinômio

interpolador xy 10 . Para entendermos como interpolar um polinômio de grau n,

observe a tabela a seguir:

Polinômio a interpolador Sistema a ser determinado

xy 10 n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

yx

y

xx

xn

1

1

1

0

1

2

1

1

2210 xxy

n

iii

n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

yx

yx

y

xxx

xxx

xxn

1

2

1

1

2

1

0

1

4

1

3

1

2

1

3

1

2

1

1

2

1

33

2210 xxxy

n

iii

n

iii

n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

yx

yx

yx

y

xxxx

xxxx

xxxx

xxxn

1

3

1

2

1

1

3

2

1

0

1

6

1

5

1

4

1

3

1

5

1

4

1

3

1

2

1

4

1

3

1

2

1

1

3

1

2

1


52

Seguindo o raciocínio da tabela, podemos afirmar que para ajustarmos o polinômio:

nn x...xxxy 3

32

210

Devemos resolver o sistema:

n

ii

ni

n

iii

n

iii

n

iii

n

ii

n

n

i

ni

n

i

ni

n

i

ni

n

i

ni

n

i

ni

n

i

ni

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

i

ni

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

i

ni

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

i

ni

n

ii

n

ii

n

ii

yx

yx

yx

yx

y

xxxxx

xxxxx

xxxxx

xxxxx

xxxxn

1

1

3

1

2

1

1

3

2

1

0

1

2

1

3

1

2

1

1

1

1

3

1

6

1

5

1

4

1

3

1

2

1

5

1

4

1

3

1

2

1

1

1

4

1

3

1

2

1

11

3

1

2

1

Exemplo - Com base dos dados amostrados dispostos na tabela a seguir encontre o valor

quando 3x , segundo o polinômio interpolador 2210 xxy .

i ix iy

1

2

3

4

5

6

7

0.5000

1.0000

1.5000

2.0000

2.5000

3.5000

4.0000

1.2500

3.0000

5.2500

8.0000

11.2500

19.2500

24.0000

Solução:

Para montarmos o sistema devemos completar a tabela com as informações:

i ix iy 2i

x 3i

x 4i

x ii yx iiyx2

1

2

3

4

5

6

7

0.5000

1.0000

1.5000

2.0000

2.5000

3.5000

4.0000

1.2500

3.0000

5.2500

8.0000

11.2500

19.2500

24.0000

0.2500

1.0000

2.2500

4.0000

6.2500

12.2500

16.0000

0.1250

1.0000

3.3750

8.0000

15.6250

42.8750

64.0000

0.0625

1.0000

5.0625

16.0000

39.0625

150.0625

256.0000

0.6250

3.0000

7.8750

16.0000

28.1250

67.3750

96.0000

0.3125

3.0000

11.8125

32.0000

70.3125

235.8125

384.0000 n

i 1

15 72 42 135 467.2500 219 737.2500


53

Desta forma o sistema para o ajuste do polinômio 2210 xxy , adquire a forma:

2500737

219

72

250046713542

1354215

42157

2

1

0

..

De onde obtemos o seguinte polinômio 220 xxy , cujo gráfico esta mostrado na Figura

juntamente com os pontos amostrado. Logo quando 3x 15y .

Figura – Polinômio interpolador 220 xxy e pontos amostrados.

Exercício


3x , segundo o polinômio interpolador 2210 xxy .

i ix iy

1

2

3

4

5

6

7

0.5000

1.0000

1.5000

2.0000

2.5000

3.5000

4.0000

0.7500

2.0000

3.7500

6.0000

8.7500

15.7500

20.0000

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

5

10

15

20

25

30


54


30.x , segundo o polinômio interpolador 2210 xxy .

i ix iy

1

2

3

4

5

6

7

0.0000

0.2000

0.4000

0.6000

0.8000

1.0000

1.2000

0.0000

-0.1600

-0.2400

-0.2400

-0.1600

0.0000

0.2400


50.x , segundo o polinômio interpolador 33

2210 xxxy .

i ix iy

1

2

3

4

5

6

7

0.0000

0.2000

0.4000

0.6000

0.8000

1.0000

1.2000

0.0000

0.1280

0.1440

0.0960

0.0320

0.0000

0.0480


3x , segundo o polinômio interpolador 33

2210 xxxy .

i ix iy

1

2

3

4

5

6

7

0.5000

1.0000

1.5000

2.0000

2.5000

3.5000

4.0000

-0.1250

0.0000

-0.3750

-2.0000

-5.6250

-21.8750

-36.0000

(04) Com base dos dados amostrados dispostos na tabela a seguir encontre o valor

quando 70.x , segundo o polinômio interpolador 2210 xxy .

i ix iy

1

2

3

4

5

6

7

0.0000

0.2000

0.4000

0.6000

0.8000

1.0000

1.2000

0.0000

0.1200

0.0800

-0.1200

-0.4800

-1.0000

-1.6800


55


50.x , segundo o polinômio interpolador 33

2210 xxxy .

i ix iy

1

2

3

4

5

6

7

0.0000

0.2000

0.4000

0.6000

0.8000

1.0000

1.2000

0.0000

0.2320

0.4960

0.7440

0.9280

1.0000

0.9120

6. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

Se a função )x(f é contínua em um intervalo ]b,a[ e sua primitiva )x(F é conhecida,

então a área é calculada pela integral definida desta função no intervalo definido e é dada por:

)a(F)b(Fdx)x(fb

a,

onde )x(f)x('F .

6.1. REGRA DOS TRAPÉZIOS

Neste método, substituímos a rachurada que se deseja calcular pela área de um

trapézio como ilustra a figura a seguir.

Figura – (a) Área rachurada compreendida pela função )x(f e o eixo do x no intervalo

]xx[ 10 . (b) Trapézio utilizado para aproximar a área rachurada do item (a).

O trapézio utilizado para aproximar a área rachurada é determinado, utilizando os dois

pontos do intervalo, onde passamos uma reta. Da geometria sabemos que a área deste trapézio

é dada por:

)x(f)x(fh

A 102

.

(b) (a)

x0 x0 x1 x1

f(x) f(x) f(x0)

f(x1) f(x1)

f(x0)

x

y

x

y

h h


56

A diferença entre a integral exata de )x(f (área sob a curva )x(f ) e a integral

aproximada (área do trapézio) é denominada de erro de integração.

Uma forma de se melhorar o resultado estimado, isto é, diminuir a diferença entre o

resultado estimado e o exato na regra do trapézio é subdividir o intervalo ]xx[ 10 em n

intervalos de amplitude h e em cada intervalo aplica-se a regra dos trapézios.

Figura – Área compreendida pela função )x(f e o eixo do x no intervalo ]xx[ 10 é

aproximada pela soma de n áreas dos trapézios de mesma base compreendidos no

intervalo ]xx[ 10 .

Desta forma, a área aproximada é calculada pela expressão:

)yy(h

...)yy(h

)yy(h

A nn 12110222

,

Que pode ser simplificado para

)yy...yyy(h

A nn 1310 2222

.

Onde iE é o erro cometido na aplicação da regra dos trapézios no intervalo cujos extremos

são ix e 1ix , ou seja,

)(''fh

E i12

3

;

Com isto o erro total cometido é a soma dos erros cometidos em cada intervalo, logo

1

1

3

12

n

ii )(''f

hE ,

e pela continuidade de )(''f , existe n em ba , tal que:

)(''fn

)ab(E i 2

3

12, onde ba .

a = x0 b= xn

f(x)

x

y

h

x1

h

x2

h

x3

h

x4

h

xn-1


57

Exemplo – Calcule a área entre o gráfico 24 ttv e o eixo do x , dentro do intervalo

][ 40 .

A precisão do valor aproximado depende do número n de trapézios, observe

Figura 5 – Mostrando a aproximação pela regra dos trapézios para diferentes valores de n.

Com t)t('v 24 , e como 2)t(''v , logo 20)(''f em todas as

expressões, onde 40 .

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1

0

1

2

3

4

5

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1

0

1

2

3

4

5

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1

0

1

2

3

4

5

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1

0

1

2

3

4

5

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-1

0

1

2

3

4

5

Resolução analítica:

40

32

4

0

2

324 )

tt(dt)tt(A

)*()*(A3

002

3

442

32

32 666710

3

32.A

Aproximação para n = 2

)yyy(h

A 321 22

8A

)(''fn

)ab(E

2

3

12 2.6667E


)yyyyy(h

A 54321 2222

10A

)(''fn

)ab(E

2

3

12 0.6667E


)yyyyyyy(h

A 7654321 222222

370410.A

)(''fn

)ab(E

2

3

12 0.2963E


654810.A

)(''fn

)ab(E

2

3

12 0.0119E


58

Exercício

(01) Dada a função 2x)x(f calcular o valor da integral 3

0dx)x(fI , usando a regra dos

trapézios e dividindo o intervalos 6 partes.

(02) Dada a função xln)x(f calcular o valor da integral 4



(03) Dada a função 3x)x(f calcular o valor da integral 3



(04) Dada a função xe)x(f calcular o valor da integral 4



Utilizamos uma aproximação de primeira ordem do polinômio interpolador de Gregory-

Newton )x(Pn para representar a função )x(f .

02

03

02

00

1

121

3

21

2

1

y*!)n(

)nz(*...*)z)(z(z

...y*!

)z)(z(zy*

!

)z(zyzy)x(Pn

Isto é, utilizamos na regra do trapézio, utilizamos 002 yzy)x(P (n = 1), para

aproximar )x(f , com isto a integral passou a ser determinada por

b

a

b

a

dxyzydx)x(fI 00

Como h

xxz 0 dzhdx ,

e considerando 0xa e 1xb , temos que

para ax 000

h

xxz ,

para bx 101

h

xxz

substituindo os limes na integral temos 1

0

0

2

0

1

0

00002

yz

yzhdzhyzydxyzyI

b

a


59

0

2

00

2

02

00

2

11 yy*hyy*hI

002

1yyhI )yy(yhI 00

2

1

2

0yyhI , foi esta a expressão utilizada no método dos trapézios.

6.2. PRIMEIRA REGRA DE SIMPSON

A vantagem, de revermos o método dos trapézios usando o polinômio interpolador de

Gregory-Newton ( )x(Pn ) e que na primeira regra de Simpson, utilizamos uma aproximação

de 2ª ordem deste polinômio, isto é, faremos: 02

002

1y*

!

)z(zyzy)x(f , onde

h

xxz 0 .

Com isto o valor da integral ser:

b

a

b

a

dxy*!

)z(zyzydx)x(fI 0

200

2

1

Como h

xxz 0 dzhdx ,

Para se aproximar a função )x(f por um polinômio do 2º grau, serão necessários 3 pontos:

0x , 1x e 2x (Figura).

Figura – Gráfico de )x(f juntamente com a aproximação de segunda ordem )x(P2 .

Considerando 0xa e 2xb , temos que :

ax 0h

aaz ,

bx 2h

abz

Com isto, a integral será resolvida da seguinte forma

x0 x1

f(x)

f(x0) f(x2)

x

y

h h x2

f(x1)

P2(x)


60

2

0

02

002

1dzhy*

!

)z(zyzydx)x(fI

b

a

Cujo resultado é:

02

003

122 yyyhI

Como babemos que

01202

010

2 yyyy

yyy, então com a substituição teremos

210 43

yyyh

I que é denominado de 1ª regra de Simpson.

2

0yyhI , foi esta a expressão utilizada no método dos trapézios.

Para diminuir o erro, isto é, a diferença do valor estimado e do valor real, devemos

subdividir o intervalo de integração, da mesma forma que fizemos no método dos trapézios,

com isto, a integral

b

a

dx)x(fI , será aplicada em cada dupla de intervalos da seguinte forma:

ervalointsubúltimo

nnn

ervalointsubºervalointsubº

yyyh

...yyyh

yyyh

I 12

2

432

1

210 43

43

43

O erro total cometido será a soma dos erros cometidos em cada aplicação da 1ª regra

de Simpson nas duplas de subintervalos e são determinados por:

)(fn

)ab(E )IV(

4

5

180, onde ba .

Exemplo 1. Calcule o valor da integral 1

0 21 x

dx, com 410 .

Solução

Figura – Gráfico da função 21

1

x)x(f , onde a área rachurada é

1

0 21 x

dx.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


61

Devemos definir qual dever ser o número n de subintervalos devemos usar, para isto

utilizaremos a nossa fórmula do erro total

)(fn

)ab(E )IV(

4

5

180, onde ba .

Como 21

1

x)x(f , então temos que

52

4

42

2

32 1

384

1

288

1

24

x

x

x

x

x

)x(f IV , onde 10

Sabemos que o maior erro total será obtido quando 0x , logo 24max

IV )x(f , e

considerando 410 , então temos:

4

4

5

1024180

01*

n

)( 44 10

180

24n 0426.n

Isto é, devemos escolher um número de subintervalos maior que 7, e escolheremos para este

caso 8n . O valor da aproximação foi obtido, para 8n , a partir da tabela a seguir.

i xi yi ci

0 0.0000 1.0000

1 0.1250 0.9846

2 0.2500 0.9412

3 0.3750 0.8767

4 0.5000 0.8000

5 0.6250 0.7191

6 0.7500 0.6400

7 0.8750 0.5664

8 1.0000 0.5000

1

4

2

4

2

4

2

4

1

Tabela - ci são os coeficientes que devem ser aplicados yi para determinar a aproximação do

valor da integral.

Para calcularmos o valor da integral pela seguinte expressão

8765432101

0 24242424

1

1yyyyyyyyy

hx

dx

Substituindo os valores da tabela teremos 785401

1

0 2.

x

dx


62

Exercício

(01) Calcule o valor da integral 1

0 221 x

dx, com 410 , usando a primeira regra de

Simpson.


11 dx)xln( , com 410 , usando a primeira regra de

Simpson.


0 321 x

dx, com 410 , usando a primeira regra de

Simpson.


1

21 dx)xln( , com 410 , usando a primeira regra de

Simpson.

6.3. SEGUNDA REGRA DE SIMPSON

Na segunda regra de Simpson utilizamos uma aproximação de terceira ordem no

polinômio interpolador de Gregory-Newton ( )x(Pn ) o que resulta na expressão :

03

02

003

21

2

1y*

!

)z)(z(zy*

!

)z(zyzy)x(Pn , onde

h

xxz 0 .

Com isto o valor da integral ser:

b

a

b

a

dxy*!

)z)(z(zy*

!

)z(zyzydx)x(fI 0

30

200

3

21

2

1

como h

xxz 0 dzhdx ,

Desta forma a solução da integral é:

3210 338

3yyyy

hI

O erro total neste método é dado pela expressão

)(fx

E IV

80

3 5

, ba .


63

Para diminuir o erro quando o intervalo não for muito pequeno, devemos subdividir o

intervalo de integração da seguinte forma:

ervalointsubúltimo

nnnn

ervalointsubºervalointsubº

yyyyh

...yyyyh

yyyyh

I 123

2

6543

1

3210 338

333

8

333

8

3

Exemplo 1 – Calcule o valor da integral

4

1

3 dx)exln(I x

Solução

Calcular esta integral significa determinar a área compreendida entre o gráfico e o eixo

x, como mostra a Figura 8. O valor da integral é obtido pela seguinte expressão:

98765432104

1

3 332332338

3yyyyyyyyyy

hdx)exln( x

Os valores de ny,...,y,y,y 210 são obtidos na tabela a seguir,

O valor da aproximação foi obtido, para 9n , a partir da tabela a seguir.

I xi yi ci

0 1.0000 1.3133

1 1.3333 1.8187

2 1.6667 2.2950

3 2.0000 2.7337

4 2.3333 3.1362

5 2.6667 3.5072

6 3.0000 3.8520

7 3.3333 4.1754

8 3.6667 4.4821

9 4.0000 4.7757

1

3

3

2

3

3

2

3

3

1

Tabela - ci são os coeficientes que devem ser aplicados yi para determinar a aproximação do

valor da integral.

Substituindo os valores da tabela teremos 9.6880dx)exln( x4

1

3

Exercício


0 221 x

dx, com 410 , usando a segunda regra de

Simpson.


11 dx)xln( , com 410 , usando a segunda regra de

Simpson.


64


0 321 x

dx, com 410 , usando a segunda regra de

Simpson.


1

21 dx)xln( , com 410 , usando a segunda regra de

Simpson.

6.4. INTEGRAL DUPLA

Para calcularmos o volume entre a função yx)y,x(f e o plano xy , mostrado na

figura, devemos calcular uma integral dupla

D

dxdy)y,x(fVolume .

Calcularmos numericamente a integral dupla apresentada significa aplicarmos os

métodos apresentados nas duas direções, isto é, nos dois eixos, x e y. Sabendo que D é um

retângulo limitado por bxa e dyc , podemos escrever a integral da seguinte forma:

b

a

d

c

dxdy)y,x(fV

Fazendo )x(Gdy)y,x(f

d

c

, temos que

b

a

dx)x(GV .

Observação:

Observe que temos na direção dos dois eixos uma integral definida, cuja

solução numérica já foi abordada anteriormente. O problema agora é como

implementar nas duas direções (x e y) ao mesmo tempo.

Exemplo - Para calcular o volume compreendido entre a função yx)y,x(f , no intervalo

50 x e 50 y (Figura 9), devemos calcular a integral

5

0

5

0

dxdy)yx( .

0

1

2

3

4

5 01

23

45

0

2

4

6

8

10

yx

z

0

1

2

3

4

5 01

23

45

0

2

4

6

8

10

z

x y

m intervalos

n intervalos


65

Figura 10 – Superfície gerada pela função yx)y,x(f e representação gráfica da divisão

o intervalo 50 x em n subintervalos e 51 y e m subintervalos.

Para calcularmos a integral

5

0

5

0

dxdy)yx( , seguiremos os seguintes passos:

1º Passo: Dividiremos o domínio D , em mn retângulos, nos quais calcularemos o valor da

função yx)y,x(f . No exemplo dividimos o intervalo 50 x em 4n subintervalos e

o intervalo 50 y em 4m subintervalos como mostra a figura 10. logo teremos as

seguintes índices 43210 ,,,,i e 43210 ,,,,j , e a função )y,x(f será avaliada nos

seguintes valores de x e y:

x = { 0, 5/4, 5/2, 15/4, 5} e y = { 0, 5/4, 5/2, 15/4, 5} .

i 0 1 2 3 4

ix 0 5/4 5/2 15/4 5

J iy

0 0

1 5/4

2 5/2

3 15/4

4 5

2º Passo: Escolher o método a ser usado no cálculo da integral definida em cada eixo, o que

implicará em estipularmos quais serão os índices que ficarão na área rachurada na tabela

anterior. Escolheremos, neste exemplo, usar ao longo do eixo x a regra do trapézio

( },,,,{c i 12221 ), e ao longo do eixo y usarmos a primeira regra de Simpson

( },,,,{c j 14241 ), como mostra a próxima tabela

i 0 1 2 3 4

ix 0 5/4 5/2 15/4 5

j iy ci

cj 1 2 2 2 1

0 0 1

1 5/4 4

2 5/2 2

3 15/4 4

4 5 1


66

3º Passo: Faremos agora o produto dos índices e guardaremos o resultado dentro dos

retângulos rachurados na próxima tabela. Por exemplo

Para 10ic e 10jc 11100 *a

Para 21ic e 41jc 84211 *a

i 0 1 2 3 4

ix 0 5/4 5/2 15/4 5

j iy ci

cj 1 2 2 2 1

0 0 1

1 5/4 4

2 5/2 2

3 15/4 4

4 5 1

4º Passo: Para concluir a tabela só nos resta calcular o valor da função dentro de cada

retângulo rachurada (próxima tabela), para isto utilizaremos os valores de x e y já mostrados

na tabela, da seguinte forma: Para 0x e 0y 00000 ),(f

i 0 1 2 3 4

ix 0 5/4 5/2 15/4 5

j iy ci

cj 1 2 2 2 1

0 0 1

0.0

1.25

2.5

3.75

5.0

1 5/4

4

1.25

2.5

3.75

5.0

6.25

2 5/2

2

2.5

3.75

5.0

6.25

7.5

3 15/4

4

3.75

5.0

6.25

7.5

8.75

4 5 1

5.0

6.25

7.5

8.75

10.0

5º Passo: Para calcularmos o valor da integral

5

0

5

0

dxdy)yx( iremos somar todas as

multiplicações entre o valor da função (área rachurada na tabela anterior) pelo produto dos

índices (pequeno quadrado em branco dentro das áreas rachuradas), o que pode ser expresso

pelo somatório:

1 2 2 2 2

4 8 8 8 8

2 4 4 4 2

4 8 8 8 8

1 2 2 2 2

1 2 2 2 1

4 8 8 8 4

2 4 4 4 2

4 8 8 8 4

2 2 2 1 1


67

n

i

m

jjijiyx )y,x(fcckkdxdy)yx(

1 1

5

0

5

0

,

onde xk e yk são os fatores existentes nos métodos da regra do trapézio(h/2), 1º regra de

Simpson (h/3) e 2º regra de Simpson (3h/8) que multiplica o somatório e neste problema são:

0.6250kx e 0.4167ky

O somatório é determinado por

010175825722562051

758457825680587534

57225640547534522

256405875385282514

0517532522251201

1 1

,*,*,*,*,*

,*,*,*,*,*

,*,*,*,*,*

,*,*,*,*,*

,*,*,*,**)y,x(fccn

i

m

jjiji

Cujo resultado é

480

1 1

n

i

m

jjiji )y,x(fcc

Com isto, o valor da integral é:

125480*0.4167*0.6250dxdy)yx(

5

0

5

0

Exercício

(01) Calcule o valor da integral

2

0

1

0

32 dxdy)yx(


2

0

1

0

/x dxdy)ycose(


2

1

2

0

/

dydx)xlnysen(


2

0

1

0

22 dxdy)yx(


68

QUESTÕES COMPLEMENTARES

1) Na tabela abaixo, d é a distancia, em metros, que uma bala percorre ao longo de um

cano de canhão em t segundos. Encontrar a distancia percorrida pela bala 5 segundos

após ter sido disparada.

Tempo de disparo(s) 0 2 4 6 8

Distancia percorrida ao longo do cano. 0,000 0,049 0,070 0,087 0,103

2) Durante três dias consecutivos foram tomadas as temperaturas ( em º C) numa região de

uma cidade, por quatro vezes no período das 6 às 12 horas. Determinar, usando todos os

dados da tabela abaixo, a média das temperaturas dos três dias às 9 horas.

Hora 1º dia 2º dia 3º dia

6 18 17 18

8 20 20 21

10 24 25 22

12 28 27 23

3) Determinar, usando todos os valores das tabelas abaixo o valor de F(G(0,25))

X F(x) X G(x)

1 0 0 1,001

1,1 0,21 0,2 1,083

1,3 0,69 0,4 1,645

1,6 1,56 0,6 3,167

2 3 0,8 6,1293

4) (altitude de 2890m), sabendo que O ponto de ebulição da água varia com a altitude,

conforme mostra a tabela abaixo.

a) Determinar, usando os cinco primeiros pontos da tabela, o ponto de ebulição da

água em um local que possui altitude de 1000m.

b) Determinar, usando os cinco pontos mais próximos de 2890, o ponto de ebulição da

água em um local que possui altitude de 2890m.

Altitude(m) Ponto de ebulição da água ( º C)

850 97,18

950 96,84

1050 96,51

1150 96,18

1250 95,84

- -


69

- -

- -

2600 91,34

2700 91,01

2800 90,67

2900 90,34

3000 90

5) A velocidade do som na água varia com a temperatura, usando os valores da tabela

abaixo, determinar o valor aproximado da velocidade do som na água a 100ºC.

Temperatura ( ºC ) Velocidade (m/s)

86 1552

93,3 1548

98,9 1544

104,4 1538

110 1532

6) Um automóvel percorreu 160 km numa rodovia que liga duas cidades e gastou, neste

trajeto, 2horas e 20 minutos. A tabela abaixo dá o tempo gasto e a distancia percorrida

em alguns pontos entre as duas cidades.

Determinar:

a) Qual foi aproximadamente a distancia percorrida pelo automóvel nos primeiros 45

minutos de viagem, considerando apenas os quatro primeiros pontos da tabela?

b) Quantos minutos o automóvel gastou para chegar à metade do caminho?

TEMPO (em minuto) DISTANCIA ( em metro)

0 0,00

10 8,00

30 27,00

60 58

90 100

120 145

140 160

7) A tabela abaixo relaciona a quantidade ideal de calorias, em função da idade e do peso,

para homens e mulheres que possuem atividade física moderada e vivem a uma

temperatura ambiente média de 20ºC.

Peso

( kg)

Cota de calorias ( em kcal)

Idade (em anos) homens. Idade (em anos) mulheres.

25 45 65 25 45 65

40 - - - 1750 1650 1400

50 2500 2350 1950 2050 1950 1600

60 2850 2700 2250 2350 2200 1850

70 3200 3000 2550 2600 2450 2050


70

80 3550 3350 2800 - - -

Determine a cota aproximada de calorias para um homem de:

a) 30 anos que pesa 70 quilogramas;

b) 45 anos que pesa 62 quilogramas;

c) 50 anos que pesa 78 quilogramas.

Determine a cota aproximada de calorias para uma mulher de:

a) 25 anos que pesa 46 quilogramas;

b) 30 anos que pesa 50 quilogramas;

c) 52 anos que pesa 62 quilogramas.

8) O gráfico da figura foi registrado por um instrumento usado para medir uma qualidade

física. Estime as coordenadas-y dos pontos dos gráficos e exprime a área da região

sombreada usando ( com n = 6 ). (a) a regra do trapézio e (b) a regra de Simpson.

9) Um lago artificial tem a forma da figura, com mensurações eqüidistantes de 5 m. Usa a

regra do trapézio para estimar a área da superfície do lago.

10) Um aspecto importante na administração de água é a obtenção de dados confiáveis de

sobre o fluxo de corrente, que é o número de metros cúbicos que passam por uma seção

transversa da corrente ou rio. O primeiro passo neste calculo é a determinação da

velocidade média a uma distância x metros da margem do rio. Se k é uma profundidade

da corrente em um ponto a x metros da margem e v(y) é a velocidade (em m/s) a uma

profundidade y metros (ver figura), então k

x dyyvk

v0

)(1

com o método dos seis pontos, fazem-se as leituras da velocidade na superfície, nas

profundidades 0,2k, 0,4K, 0,6k e 0,8k e próximo do leito do rio.Usa-se então a regra do

trapézio para estimar xv com os dados da tabela

Y (m) 0 0,2k 0,4k 0,6k 0,8k k

V(y) (m/s) 0,28 0,23 0,19 0,17 0,13 0,02

6 m 6 m 8 m 10 m 9 m

9 m

7 m 7 m

5 m


71

11) Com referência ao exercício anterior, o fluxo de corrente F ( sm /3) pode ser

aproximado pela fórmula L

xx dxxhvF0

)(

onde )(xh é a profundidade da corrente a uma distância x metros da margem e L é o

comprimento da seção transversa. Com os dados da tabela abaixo, use a regra de

Simpson para estimar F.

x (m) 0 3 6 9 12

h(x) (m) 0 0,51 0,73 1,61 2,11

xv (m/s) 0 0,09 0,18 0,21 0,36

x (m) 15 18 21 24

h(x) (m) 2,02 1,53 0,64 0

xv (m/s) 0,32 0,19 0,11 0

12) A figura exibe um diagrama específico carga-tensão

Estime as coordenadas-y e aproxime a área da região delimitada pelo laço de histerese,

usando, com n = 6.

(a) regra do trapézio

(b) regra de Simpson

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

3

5

7

Carga (esforço)

Tensão

k

x m L m

0,2k


72

BIBLIOGRAFIA

DEMIDOVICH. B. P. e MARON, L. A. “Cálculo Numérico Fundamental” –Madri: Paraninfo

1977.

DORN. W. S. e CRAKEN. D. D. Mc, “Cálculo Numérico com Estudos de Casos em Fortran

ZV /– São Paulo : Ed. da Universidade de São Paulo – 1978.

RUGGIEIRO. M. A. G., e LOPES V. L. de R. “Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e

Computacionais– São Paulo : Ed. McGraw - Hill. 1988.

MORAES. D. C., MARTINS J. M. “Calculo Numérico Computacional: Teoria e Prática;

Algaritmo em Pseudo – Linguagem, Indicação de Software Matemático”– São Paulo: Atlas

1989.

Documents

Marília Brasil Xavier COORDENADOR GERAL DOS CURSOS DE ...ccse.uepa.br/downloads/material_2011/CALCULO_NUMERICO.pdf · teorema de rolle ..... 39 4.6. interpolaÇÃo de lagrange