Joseph Louis Lagrange

e o desenvolvimento da Mecanica Classica

Dario F. Sanchez

2 de dezembro de 2007

Resumo

Tem-se como objetivo apresentar aqui a grande importancia no desenvolvimento da Mecanica Classica por parte de Joseph Louis Lagrange, grande matematico e fsico-matematico da segunda metade do seculo XVII e comeco do seculo XVIII. A natureza deste trabalho e puramente didatica, tratando-se de uma revisao bibliografica. Para os mais interessados, recomendo a leitura do trabalho de Sarton, onde o leitor vai encontrar uma biografia muito mais completa.

Introducao

Joseph Louis Lagrange (1736-1813) foi um matematico e fsico-matemtico italiano (frances segundo muitos autores) que, juntamente com Leonhard Euler (1707 -1783), foi um dos grandes matematicos do seculo XVII. Dizer qual dos dois foi o maior do seculo XVII e uma mera questao de opiniao: o primeiro foi o sucessor do segundo na Academia de Berlim. Seu trabalho Mecanique Analytique (Mecanica Analtica) foi sua obra-prima. Seu conteudo claro, de elegante notacao, cobre quase todas as areas da matematica pura. Foi o primeiro livro sobre mecanica publicado sem um simples diagrama (motivo de grande orgulho para Lagrange).

Seu objetivo principal na matematica - e na sua vida, aparentemente - nao era adicionar mais uma aplicacao do calculo de Newton e Leibniz (como fazia a maioria dos matematicos de seu tempo) `a lista, mas sim, revisar seus fundamentos e oferecer uma explicacao mais rigorosa do porque e de como o calculo funciona. Antes de Lagrange, nao existia um formalismo de limite. Lagrange acreditava que explicacoes conceituais ou intuitivas nao tinham lugar em uma demonstracao rigorosa, da entao o esforco de reduzir os fundamentos do calculo `a algebra.

Lagrange introduziu o calculo variacional na mecanica, o qual mais tarde foi mais desenvolvido por Weier-strass (1825-1897). Lagrange tambem estudou a teoria das equacoes diferenciais: `a ele deve-se o fato de a teoria das equacoes diferenciais ter sua posicao como uma ciencia ao inves de simplesmente uma colecao de estratage-mas engenhosos para a solucao de problemas particulares. Em seu classico Theorie des fonctions analytiques estabeleceu alguns dos fundamentos de teoria dos grupos, antecipando Galois. Lagrange tambem inventou

metodo de resolucao de equacoes diferenciais conhecido como variacao de parametros, e tambem introduziu o sistema de coordenadas esfericas. Recentemente um escritor relatou que Lagrange teve uma proeminente participacao no avanco de quase todas as areas da matematica pura. Como Diophantus e Fermat, ele tinha um brilhantismo especial para a teoria dos numeros, e neste assunto obteve solucoes para muitos dos problemas que tinham sido propostos por Fermat, alem de adicionar mais alguns teoremas proprios. Mas, sobretudo, imprimiu na mecanica (considerada por ele um ramo da matematica pura) essa generalizacao e universalidade a que seus trabalhos invariavelmente sempre tenderam.

Biografia

2.1 Turim (1736 - 1766)

Joseph Louis Lagrange nasceu como Giuseppe Lodovico Lagrangia, ou Giuseppe Luigi Lagrange, em Turim, regiao do Piemonte, na Italia, em 1736. Provinha de uma outrora abastada famlia de estirpe franco-italiana (seu avo tinha emigrado do distrito de Touraine, na Franca, com a funcao de dirigir o Treasure of Construction and Fortification sob ordens de Charles Emanuel II, duque da Savoia, Franca). Foi o unico a atingir a idade adulta, de uma prole de onze filhos. Sua educao e o incio de sua carreira teve lugar na cidade de Turim, onde ele passou os primeiros trinta anos de sua vida. Nao mostrou gosto pela matematica ate ate ler, com dezessete anos de idade, um trabalho de Edmund Halley sobre o uso da algebra na optica (1693). Sozinho e sem ajuda entregou-se aos estudos na matematica, estabelecendo correspondencia, aos dezoito anos de idade, com Euler e Giulio di Fagnano (1682 - 1766; matematico italiano). Ao final de um ano de trabalho arduo e constante tornou-se professor, ainda bem jovem, na academia militar local.

O primeiro fruto dos trabalhos de Lagrange nessa epoca foi uma carta, escrita quando ainda tinha somente dezenove anos, para Euler, na qual apresentou a resolucao de um problema conhecido como isoperimetral, problema este que ja era discutido ha mais de meio seculo pelos estudiosos da area. Euler reconheceu a generalidade do metodo adotado nesse trabalho, e sua superioridade com relacao aquele` usado por ele mesmo e, com rara cortesia, reteve a publicacao de um trabalho escrito por ele previamente, que tratava de algo sobre o mesmo tema, de modo que o jovem italiano pudesse ter tempo para terminar seu trabalho e reivindicar a invencao do novo calculo: o calculo variacional. Euler havia declarado antes da publicacao deste trabalho de Lagrange que nao estava conseguindo resolver o problema de modo puramente analtico. Lagrange, trinta anos mais jovem, conseguiu. Euler disse a Lagrange: ... I am not able to admire you enough.... O nome desta nova area da analise foi sugerido por Euler. Este fato colocou imediatamente Lagrange entre os principais matematicos que viviam entao.

Nove anos de incessante trabalho afetaram seriamente a sua saude, e seus medicos o advertiram para que fizesse exerccios e nao trabalhasse tanto, ou nao viveria muito mais. Embora tenha conseguido algumas melhoras, nunca conseguiu recuperar-se completamente, sofrendo, durante sua vida, constantes ataques de profunda melancolia.

Por volta de 1759, em colaboracao com o qumico Saluzzo de Monesiglio e o anatomista Gian Francesco Cigna, fundaram a Academia de Ciencias de Turim. Rapidamente a Academia comecou a publicar jornais (o Miscellanea Taurinenisia, que apareceu pela primeira vez em 1759), sendo que o primeiro numero continha tres trabalhos de Lagrange (sobre a propagacao do som, sobre o movimento da Lua e sobre os satelites de Jupiter). Seu trabalho de 1764 sobre a Lua explicava porque sempre a mesma face ficava voltada para a Terra, problema este que tratou com ajuda de trabalho virtual. Sua solucao e de especial interesse por conter o germe da ideia de equacoes generalizadas de movimento, equacoes estas que so provou formalmente em 1780. Estes trabalhos, entre outros, garantiram-no alguns premios pela Academia Parisiense1, assim como reconhecimento em toda a Europa.

Quando tentou viajar a Londres foi obrigado a reter-se em Paris por motivo de doenca. Nesta cidade foi recebido com grandes honrarias, e conheceu Jean le Rond dAlembert (1717 - 1783) em 1763 (amizade esta que durou para o resto de sua vida). Foi com pesar que regressou `a provinciana vida de Turim, apesar de nao permanecer por muito mais tempo no Piemonte.

2.2 Berlim (1766 - 1787)

Em 1766, quando Euler deixou a Academia de Berlim (para assumir uma posicao em Sao Petersburgo, Russia), Frederico II, o grande, escreveu a Lagrange dizendo que o maior dos reis da Europa desejava ter em sua corte o maior matematico da Europa. Lagrange aceitou o convite para ir a` Prussia, onde ocupou por vinte anos o mesmo lugar outrora de Euler. Foi importante a influencia de dAlembert neste convite. Lagrange

aceitou a oferta e passou os proximos vinte anos na Prussia, onde ele produziu seu trabalho monumental, o Mecanique Analytique, que so publicou mais tarde, em Paris.

Foi Leibniz quem fundou a Academia Prussiana, para onde foi Lagrange, em 1700. Sob a administracao de Frederico II, a Academia se tornou uma das mais importantes da Europa, abrigando grandes personalidades como Euler, DAlembert, Johann H. Lambert (matematico alemao), Kant e Diderot.

Lagrange foi ainda mais produtivo em Berlim. Sua dieta e rotina diaria eram rigorosas e um tanto quanto pouco convencionais. Cada dia seu era preenchido por pelo menos oito ininterruptas e isoladas horas de estudo.

Pouco tempo apos aceitar sua nomeacao na academia de Berlim em 1766, Lagrange se casou com uma mulher jovem a quem era relacionado. Em sua correspondencia com seu amigo e colega dAlembert, referiu-se `a uniao como inconsequente e conveniente. Poucos anos apos o casamento, sua esposa foi acometida de uma doenca persistente e definhadora, `a qual sucumbiu. Lagrange, devotando todo seu tempo e consideraveis recursos em conhecimentos medicos, cuidou dela durante sua enfermidade. Lagrange, segundo relatos, ficou muito abatido. Nao se casou outra vez antes de ir a Paris. Sofria entao de depressao.

2.3 Paris (1787 - 1813)

Poucos anos depois de deixar Berlim (com a morte de Frederico II, a mudanca de comando na Prussia nao havia sido muito favoravel a ele), numa epoca em que a Europa atravessava uma caotica situacao poltica,aceitou uma catedra na recem criada Escola Normal (Ecole Normal), a qual posteriormente, seria a hoje famosa

Ecole Polytechnique de Paris (criada em 1794 por Carnot e Monge, estando Lagrange entre seus fundadores). Sem duvida, deve-se muito a Lagrange pelo desenvolvimento de uma cultura matematica tradicional elevadana Ecole Polytechnique. Em Paris Lagrange completou, editou e publicou seu magnum opus, o Mecanique Analytique (1788).

Depois da publicacao do Mecanique, Lagrange estava mentalmente exausto e suas contribuicoes diminuiram. Sua inatividade era devida, em parte, `a nova comissao formada de Pesos e Medidas, assim como `a Revolucao Francesa2.

Lagrange se revoltou com as crueldades do Regime do Terror3. Quando o grande qumico Lavoisier foi executado na guilhotina, ele expressou sua indignacao nos seguintes termos: Bastou a` turba um momento apenas para decepar-lhe a cabeca; um seculo nao sera o suficiente para que surja outra igual.

Com a idade, foi acometido de grandes acessos de solidao e melancolia. Tirou-o desse estado, quando ja estava com cinquenta e seis anos de idade, uma jovem quase quarenta anos mais jovem que ele, filha do2A

astronomo Pierre-Charles Lemonnier, seu amigo. Tocou-a tanto a infelicidade de Lagrange que insistiu no casamento com ele. Lagrange, encontrando a maioria de seus colegas casados, e assumindo, por suas esposas, que o unico caminho para se encontrar a felicidade era o casamento, se casou. A uniao mostrou-se ideal. Ela era uma companheira devotada e prestativa, conseguindo tirar o esposo da prostracao e reacendendo nele o desejo de viver. Ela fez com que ele voltasse a se entusiasmar com a matematica. De todos os premios de sua vida, proclamava Lagrange com honestidade e franqueza, aquele a que dava mais valor era sua meiga e devotada esposa.

Lagrange morreu em 1813 na cidade de Paris. Em seu funeral, a oracao foi feita por Laplace no Pantheon. Ele viveu 77 anos.

2.4 Lagrange e a Astronomia

Quando, em 1772, a Academia de Paris propos - pela segunda vez - um premio para qualquer um que conseguisse apresentar uma solucao para a aceleracao media do movimento da Lua, Lagrange ganhou, em associacao com Euler. Eles nao resolveram o problema, mas ganharam o premio com um ensaio sobre o problema de tres corpos (problema este que permanece sem solucao analtica ate hoje).

A academia ofereceu um premio com o mesmo topico em 1774, e novamente Lagrange ganhou. Indicou que as formas da Lua e da Terra causavam um certo efeito nos seus movimentos, mas nao deu uma solucao para o movimento medio observado. De fato sugeriu que a ideia toda fosse esquecida.

Lagrange se achava na obrigacao de ganhar premios desse tipo, o que o mantinha afastado dos trabalhos que realmente queria fazer e, em 1780, ganhou seu ultimo premio sobre a perturbacao do movimento dos cometas pelos planetas.

Lagrange aperfeicoou enormemente o metodo de Euler para calcular perturbacoes, que foi usado para determinar as perturbacoes nos asteroides. Ainda assim era um processo laborioso, que foi eventualmente simplificado por Encke.

Principais Conceitos Tratados por Lagrange na Mecanica4 3.1 Deslocamentos Virtuais

Os deslocamentos infinitesimais de cada partcula que levam de uma configuracao possvel a outra con-figuracao possvel infinitesimalmente proxima no mesmo instante de tempo t sao chamados deslocamentos virtuais. As caractersticas definidoras dos deslocamentos virtuais sao:

1. Sao infinitesimais;

2. Ocorrem num instante t fixo;

3. Nao violam os vnculos.

Figura representando um deslocamento virtual. Na figuraet2 = t1 + t(1)

Supondo que

t = 0t2 = t1(2)

define-se entao r como sendo um deslocamento virtual.

3.2 Princpio de dAlembert

Com grande genialidade o matematico e filosofo frances dAlembert estendeu a aplicabilidade do princpio do trabalho virtual da estatica a` dinamica. Partindo da lei fundamental do movimento de Newton

d p F = dt = m ae reescrevendo a equacao como

F= m a = 0

Definimos agora o vetor I como

(3)

(4)

(5)

I = m a

O vetor I pode ser considerado como uma forca criada pelo movimento. Chamaremos essa forca de forca de inercia. Com esse conceito a equacao de Newton pode ser reformulada como

(6)

F+ I = 0

4Toda esta secao esta fortemente baseada nas referencias [5, 12, 13, 14].

5

Aparentemente nao mudou muita coisa, mudando simplesmente o nome do produto negativo da massa pela acelercao. E e exatamente essa aparente trivialidade que faz do princpio e dAlembert tanto uma engenhosa invencao quanto um princpio tao facilmente aberto a distorcoes e de difcil entendimento.

A importancia da equacao 6 esta no fato de ser mais do que uma reformulacao da lei de Newton: essa expressao e um princpio. Sabemos que o anulamento da forca resultante na mecanica newtoniana resulta em equilbrio. Por essa razao a equacao 6 diz que a adicao das forcas de inercia com as forcas atuantes produz equilbrio. Mas isso significa que qualquer que seja o criterio que tenhamos para o equilbrio de um sistema mecanico, podemos estender esse criterio de imediato para um sistema em movimento, sendo que tudo que precisamos fazer e adicionar uma nova forca de inercia `a forca do problema. Com essa tatica podemos reduzir a dinamica `a estatica.Isso nao significa necessariamente que podemos resolver um problema de dinamica via um metodo deestatica. Como resultado deste metodo, temos equacoes diferenciais que devem ser resolvidas, ou seja, teremos

apenas deduzido essas equacoes diferenciais via consideracoes de estatica. A adicao da forca de inercia I `aforca atuante F muda a situacao de um problema de movimento para um problema de equilbrio.

Podemos interpretar este tratamento do seguinte modo: o princpio de dAlembert foca a atencao nas forcas envolvidas no problema, e nao no movimento (de um corpo por exemplo), e o equilbrio de um sistema de forcas pode ser tratado sem fazer referencia ao estado do movimento de um corpo no qual este atua.

3.3 Princpio do Trabalho Virtual

O principal princpio variacional com o qual nos deparamos na mecanica e o princpio do trabalho virtual (intimamente ligado ao princpio de deslocamento virtual), que controla o equilbrio de um sistema mecanico e e fundamental para o posterior desenvolvimento da mecanica analtica.

Assim como os deslocamento virtuais, o trabalho virtual ocorrem num instante de tempo fixo, e e definido como produto das forcas generalizadas do sistema pelos seus respectivos deslocamentos virtuais, de modo que ambos tem a mesma direcao.

3.4 O Calculo Variacional na Mecanica

Desde que Newton estabeleu um solido fundamento da dinamica pela formulcao das leis do movimento, a mecanica se desenvolveu seguindo duas linhas: (1) a chamada mecanica vetorial, que parte diretamente das leis de movimento de Newton (conhecidas as forcas dependentes do tempo sobre todas as partculas do problema encontram-se as equacoes vetoriais de movimento); e (2) a mecanica analtica (introduzida por Leibniz), onde deve-se conhecer duas grandezas escalares a energia potencial V e a energia cinetica T , sendo que soma destas e uma constante5 E (o que resulta em apenas uma equacao, T + V = E, ao inves de tres). Trata-se do princpio de conservacao de energia.

3.4.1 O Princpio da Mnima Acao

A primeira preferencia de Lagrange durante seus primeiros anos de estudo em Turim, foi o princpio de mnima acao, formulado por Maupertuis (1698 - 1759) e Euler, como a chave universal para todos os problemas tanto da estatica quanto da dinamica.A acao S e definida comoZ t2S =L(q, q, t)dt(7)t1

onde q sao as coordenadas generalizadas (a serem melhor definidas na secao 4.4.2) e q suas derivadas temporais. A integral S e mnima se for calculada segundo a trajetoria fsica, ou seja, aquela que satisfaz as leis do movimento. Dito de outra forma, o princpio de mnima acao e equivalente `as leis de mecanica newtoniana. Afuncao L e chamada de funcao de Lagrange e contem toda a informacao dinamica.

As formulacoes de Euler e Lagrange estao restringidas a caminhos virtuais de mesma energia. Essa restricao foi removida apenas em 1834 pelo irlandes William Hamilton, que considerou caminhos que terminam no mesmo ponto e no mesmo tempo. Chegou ao chamado princpio de Hamilton: Um sistema muda de umaRconfiguracao para outra de tal maneira que a variacao da integral L dt entre um caminho real e um vizinho, terminado pelo mesmo ponto no espaco e no tempo, e nula (equacao 8). A partir deste princpio obtem-se facilmente as equacoes de Lagrange.

5Ao menos segundo o tratamento feito pelo proprio Lagrange, que nao considerou a existencia de dissipacao.

6

ZL dt = 0(8)

3.4.2 O Procedimento de Euler - Lagrange

Para ilustrar o procedimento de Euler - Lagrange, imaginemos um caso particular: uma partcula esta na posicao P1 no instante t1, e consideraremos que e conhecida a sua velocidade neste instante de tempo. Suporemos que esta partcula sofre um deslocamento e, no instante t2, a partcula esta na posicao P2. No entanto, nao e sabida a trajetoria seguida pela partcula e, em princpio, esta pode ter passado por qualquer posicao com qualquer velocidade entre t1 e t2.

Foram Euler e Lagrange os primeiros a demonstrar o princpio de mnima acao de modo exato, sendo que a explicacao deste e a seguinte: conectamos os pontos P1 e P2 por um caminho (ou curva) arbitrario qualquer, ainda que este nao corresponda ao caminho real seguido na natureza. O que se faz, usando calculo variacional, e corrigir gradualmente este caminho de modo a este se aproximar do real.

Para isso, fazemos com que nossa partcula siga um caminho (nossa tentativa arbitraria) que esteja de acordo com o princpio de conservacao de energia: podemos escolher um caminho qualquer, desde que a partcula obedeca a este princpio.

Calcula-se a integral de acao. O valor desta acao varia de caminho para caminho, sendo maior para alguns e menor para outros. Matematicamente, podemos imaginar que de todos os caminhos possveis tentados, existe um caminho cuja acao assume um valor mnimo, sendo este o seguido pela natureza.

Mechanique Analytique

Sobre seu livro, Lagrange declarou: Nao ha nenhuma figura em todo este livro. O metodo que eu demonstrei nao requer nenhuma construcao do tipo geomtrica ou raciocnio mecanico, mas apenas operacoes algebricas sujeitas a um procedimento regular e uniforme. Os que amam a analise terao o prazer de ver a mecanica tornar-se um novo ramo dela e me agradecerao por te-la estendido ao seu domnio..

Entre 1772 e 1788 Lagrange escreve seu grande tratado, o Mechanique Analytique , onde reformulou a mecanica classica de Isaac Newton para simplificar formulas e facilitar os calculos. Esta mecanica se chama mecanica Lagrangiana ou mecanica analtica. Foi neste trabalho que fundamentou o trabalho virtual, e deste o faz um princpio fundamental, e com o auxlio do calculo variacional, deduziu toda a mecanica, tanto para solidos quanto para fluidos.

O objetivo do livro e mostrar que o assunto e implicitamente includo em um so princpio, que permite dar formulas gerais das quais qualquer resultado particular pode ser obtido. O metodo de coordenadas generaliza-das que obteve e, talvez, o resultado mais inteligente de sua analise. Ao inves de seguir o movimento de cada parte individual de um sistema material, como DAlembert e Euler haviam procedido, Lagrange mostrou que, se determinarmos sua configuracao utilizando um conjunto de variaveis tal que seu numero e igual ao numero de graus de liberdade, e utilizando um numero de variaveis cujo numero e igual aos graus de liberdade que o sistema possui, entao escrevendo as energias cinetica e potencial do sistema nessas variaveis, as equacoes diferenciais de movimento se deduzem por diferenciacao.

Toda a analise e tao elegante que William Rowan Hamilton disse que este trabalho so poderia ser descrito como um poema cientfico. Pode ser interessante observar que Lagrange comentou que a mecanica realmente era um ramo da matematica pura analoga a uma geometria de quatro dimensoes, a saber, o tempo e as tres coordenadas do ponto no espaco. Em princpio nenhuma editora queria publicar o livro mas Legendre finalmente persuadiu uma empresa de Paris a faze-lo, em 1788.

4.1 O Conceito de Forca

No Mecanique Analytique constam duas nocoes de forca: (1) a forca e a causa do movimento e/ou equilbrio. De acordo com uma tradicao milenar (dos seguidores de Euler), forca e uma nocao primitiva e sua medida e dada pelo peso que e capaz de mover. A otra nocao e que (2) a forca e medida pelos seus efeitos. De acordocom outro ponto de vista (dos seguidores de DAlembert), a forca e meramente definida pela multiplicacao da 2 2 massa m pela aceleracao a = d r /dt .

Lagrange dividiu seu livro em duas partes: estatica (paginas 1-157) e dinamica (paginas 158-512)6. Quando Lagrange se refere a` forca na secao de historia da Estatica, usa o primeiro conceito de forca (denominando

puissance), e quando se refere a` forca na secao de historia da dinamica, usa o segundo (chamando simplesmente de force).

4.2 A Estatica de Lagrange

Ao apresentar os conceitos da estatica, Lagrange primeiramente expoe em ordem cronologica as leis que ele considera de fato como os princpios dessa disciplina: a lei da alavanca, a regra do paralelogramo e o princpio de trabalho virtual (que mais tarde aplica a` dinamica).

4.2.1 A Lei da Alavanca e a Regra do Paralelogramo

Na introducao historica desse trabalho, Lagrange cita Arquimedes, Stevin, Galileo e Huygens. Nessa passagem fala que uma alavanca retilnea e horizontal, que suporte dois pesos iguais em cada extremidade, tem como ponto de equilbrio seu centro. Isso para Lagrange parecia evidente por si so. Segue seu raciocnio extendendo o problema ao princpio da superposicao de equilbrio, que o leva em sua analise ao princpio dos momenta, onde Lagrange cita entao Guido Ubaldo.

O primeiro princpio tratado foi a lei da alavanca. Partindo de Arquimedes, Lagrange cita uma serie de cientistas modernos que tentaram apresentar demonstracoes da lei da alavanca: Stevin, Galileo e Huygens. Para Lagrange, tal princpio nao podia ser deduzido somente a priori, mas sim tratava-se tambem de um princpio de natureza emprica.

A exposicao de Lagrange para a regra do paralelogramo ja e mais elaborada. Primeiro faz mencao ao teorema de Stevin, que estabelece que as forcas ou acoes, causadas pelos pesos ao longo das alavancas, somam-se umas com as outras seguindo a regra do paralelogramo. Na sequencia, Lagrange refere-se a um perodo mais recente, sobre a composicao de forcas, consideradas grandezas dinamicas. Analisando a historia do princpio de composicao e decomposicao de forcas, Lagrange faz referencia a Newton e Varignon, focando sua atencao aos resultados obtidos pelo ultimo.

Ao final da exposicao historica sobre o tema, Lagrange faz referencia `a prova da regra do paralelogramo por Daniel Bernoulli, em 1726, e expressa seu ceticismo com relacao a prova, por ela ser completamente baseada nos princpios da razao, o que evidencia uma atitude antimetafsica de Lagrange.

4.2.2 O Prinpio do Trabalho Virtual

Lagrange usou o princpio de trabalho virtual (PTV) pela primeira vez em 1764, no artigo Recherches sur la libration de la Lune, onde obteve as equacoes diferenciais de movimento da Lua, tendo como princpio

utilizados o PTV e o princpio de DAlembert. No entanto, Lagrange ja ponderava sobre o metodo do PTV desde 1759, como se pode comprovar por cartas que escreveu a Euler, onde afirmava ter sido o autor uma verdadeira metafsica aplicada `a Mecanica. So em 1788 (na primeira edicao), e depois em 1811 (na segunda edicao) ele apresenta no Mecanique Analytique o PTV e todas suas frutferas aplicacoes.

Na primeira edicao do Mecanique, Lagrange so introduz o PTV apos uma descricao historica onde Galileo, Descartes e Wallis sao mencionados. Apresenta em seguida, com grande clareza, a capacidade do PTV em resolver problemas em mecanica com simplicidade. Ja na segunda edicao, Lagrange foi mais economico na introducao ao PTV. Isso deve-se provavelmente ao surgimento de calorosos debates sobre o tema e sua validade como um princpio da natureza. Lagrange apresenta uma prova do PTV na segunda edicao do Mecanique.

4.3 Lagrange e a Historia da Dinamica 4.3.1 Dinamica de um Ponto Material

Depois de ter apresentado Galileo como o fundador da dinamica, Lagrange ilustrou os princpios do movimento de um ponto material ou partcula. O primeiro princpio e a inercia, e o segundo a composicao de movimentos. Lagrange faz mencao `a mecanica de Stevin e Galileo quando trata do problema do plano inclinado.

No decorrer da descricao, Lagrange cita ainda DAlembert (nocao de forca como sendo meramente ma), Huygens (nocao de forca centrfuga) e Newton (apresentou a solucao de um problema envolvendo forca centrfuga). Na Secao 3 do Mechanique apresenta a decomposicao de movimentos (direcoes de deslocamento) e de forcas (direcoes de aceleracoes) ao longo de 3 direcoes ortogonais:

d2xd2yd2z

m, m, m(9)

dt2dt2dt2

Ele faz mencao ainda a Aristoteles, Arquimedes, Nicomedes e tambem a alguns outros mais modernos, como Descartes, Wallis e Roberval, que usaram a composicao de movimentos. Foi Galileo o primeiro a usar esse conceito na dinamica, ao tratar do movimento de projeteis. Mas, por uma boa razao, Lagrange atribui a composicao das forcas, nesses termos propriamente, a Newton, Varignon e Lamy. Uma conexao direta existe entre a teoria dos momentos e o princpio da alavanca, a qual foi demonstrada por Varignon.

No que se refere `a parte historica do Mecanique, percebe-se que Lagrange confere `a Newton uma importancia muito menor do que atualmente, o que pode causar surpresa a um leitor contemporaneo. As razoes para essa escolha de Lagrange podem ser varias. Apesar de concordar com seus resultados, ele rejeitava a metafsica de Newton. Alem do mais, a matematica de Newton nao era tao desenvolvida como muitos acreditam. No entanto, isso ainda nao justifica nao conferir a Newton um lugar mais importante nessa historia. Outras razoes ainda podem ser apontadas, como ideologicas e nacionalistas. Lagrange era um cientista continental, o que poderia explicar uma certa relutancia de sua parte em admitir tao grande importancia `a um britanico como Newton.

4.3.2 Dinamica de Corpos

Lagrange diz ser preciso a adicao de um novo princpio: o da conservacao de momento, para aplicar ao impacto dos corpos. Cita entao Descartes e Wallis. Em seguida, ele nao usa esse princpio para o estudo do movimento dos corpos, mas apresenta um problema muito estudado por cientistas do seculo XVIII conhecido como problema do centro de oscilacoes (problema do pendulo composto).

4.3.3 Princpio de dAlembert e o Princpio do Trabalho Virtual

Enumerando varios princpios usados no estudo da mecanica em seu tempo (tais como conservacao de movimento, conservacao das living forces pelo conceito de Leibniz, vis viva , conservacao do centro de gravidade dos movimentos, etc...), Lagrange chega ao princpio de dAlembert, usando-o no estudo do movimento dos corpos. Afirmou entao que usando esse princpio mais o PTV, todos os princpios anteriores previamente listados poderiam ser deduzidos. Com relacao ao princpio de mnima acao (PMA), Lagrange afirma te-lo generalizado.

PSao dedicadas tres secoes para o prinpio de dAlembert. Lagrange sugere uma interpretacao para o princpio

similar a` atual: as forcas acelerativas (ou efetivas, resultantes)

m a sobre uma partcula, quando somadas

resultante sobre o sistema), resulta num sistema

am a (com sinal invertido, ou seja, se e aplicada tal forca

P

em equilbrio. Mas o raciocnio so e valido se essas forcas agirem independentemente das velocidades, ou se, neste caso, os corpos estiverem em repouso. Essa falha de Lagrange pode ser perdoada, pois em seu tempo todas as forcas eram consideradas conservativas, assim como independentes da velocidade.

94.4 Mecanica Lagrangiana 4.4.1 As Equacoes de Lagrange - 1a Parte A seguir, primeiramente algumas definicoes e deducoes da dinamica, sob a concepcao de Lagrange7.

Sobre o Trabalho e Deslocamento Virtuais Lagrange chamou a estatica de ciencia das forcas em equilbrio. Considerando um caso estatico de um sistema de partculas, sendo que cada uma esta sob influencia de sua respectiva forca aplicada P , Q, R, ... , e dada uma pequena perturbcao, de modo que cada partcula sofre um respectivo deslocamento virtual p, q, r, ... Para que o sistema esteja em equilbrio, a relacao

P p + Qq + Rr + ... = 0(10)

deve ser satisfeita.

Decomposicao das Forcas Para cada elemento de massa m do sistema, define-se como forca paralela aos eixos de coordenadas usadas (cartesianos no caso), aos quais se da o movimento, como

d2xd2yd2z

m, m, m(11)

dt2dt2dt2

O Uso do Princpio de dAlembert Relacionando a cada elemento de massa m do sistema sob uma forca similar a da equacao 11, e conclui-se que a soma dos momentos8 dessas forcas devem ser igual a soma das forcas acelerativas ou atuantes (equacao 11) que agem em cada elemento do sistema. Tal afirmacao pode ser expresso pela equacao 12.

md2xd2yd2zz +(mP p + mQq + mRr + ...) = 0

x + my + m

dt2dt2dt2

Xd2xd2yd2zX

X mx +y +z + X m (P p + Qq + Rr + ...) = 0(12)

dt2dt2dt2

Sendo que P , Q, R, ... agem sobre cada elemento ao longo de p, q, r, ... (sao respectivamente paralelos entre si).

Se mudamos o sinal usado por Lagrange, e tomarmos as forcas P , Q, R, ... no sistema cartesiano, entao a lei geral fundamental de Lagrange para a dinamica toma a seguinte forma modernizada

nd2xixi +d2yiyi +d2zizi = 0

iXi mi(13)

dt2Yi mi dt2Zi mi dt2

X

sendo n o numero de partculas de massa mi na posicao (xi , yi , zi ). Sendo os deslocamento virtuais xi , yi e zi arbitrarios, encontram-se facilmente as seguintes equacoes diferenciais

Xi = mid2xi,Yi = mid2yi,Zi= mid2zi(14)

dt2dt2dt2

No caso do sistema estar equibrio, a equacao 13 torna-se

n

i(Xi xi + Yi yi + Zi zi ) = 0(15)

X

que equivale a` equacao 10.

Transformando o primeiro somatorio da equcao 12 usando a identidade

1

d2xx + d2yy + d2zz = d (dxx + dyy + dzz) dx2 + dy2 + dz2(16)

2

e usando mudancas de variaveis, onde cada diferencial dx, dy e dz e expressa como uma funcao linear das diferenciais d, d, d, ..., Lagrange estabeleceu que se e a transformada da quantidade

7Infelizmente, devido `a relativa baixa profundidade do presente trabalho, a exposicao a seguir nao e apresentada de forma suficientemente clara. Este tipo de trabalho competiria a um pesquisador em historia da Fsica.8No sentido usado na estatica de Lagrange.

10

1dx2 + dy2 + dz2(17)

entao e verdadeiro que2

d2xx + d2yy + d2zz =

+ d++ d+ ...(18)

dd

Assumindo que as forcas P , Q, R, ... sao tais que a quantidade

P p + Qq + Rr + ...(19)

seja integravel (Lagrange declarou que e provavelmente verdadeiro na natureza). Isso o habilitou a supor queX m (P p + Qq + Rr + ...) = X m (, , , ...)(20)

As equacoes gerais da dinamica sao escritas na forma

+ + ... = 0(21)

Sendo

= dTT+V

d

= dTT+V(22)

d

...

Onde

T =1X md2x+d2y+d2z(23)

2dt2dt2dt2

E

As equacoes particularesV = X m(24)

= 0

= 0(25)

...

servirao para determinar completamente o movimento do sistema, desde que o numero dessas equcoes sejam iguais ao numero das variaveis , , ... das quais a posicao do sistema a um dado tempo depende.

4.4.2 As Equacoes de Lagrange - 2a Parte

Para um leitor contemporaneo desavisado, uma primeira leitura da secao 4.4.1 pode parecer bastante confusa. A seguir apresenta-se uma releitura mais contemporaneada secao 4.4.1. Ha varias referencias excelentes para o estudo do assunto [12, 13, 14].

11

Sobre o Trabalho e Deslocamento Virtuais A formulacao newtoniana da mecanica caracteriza-se pelo conjunto de equacoes diferenciais

= F i,i = 1, ..., N(26)

mi r

onde F i e a forca total ou resultante sobre a i-esima partcula. A forca total sobre a partcula admite a decomposicao

F i= F i(a)+ f i

onde F i(a)e a forca aplicada e f i e a forca de vnculo.

Considerando um caso estatico, e valida a relacao

iF i r i = 0

e, usando a decomposicao 27 resultaX

(a)

iF i r i +if i r i = 0

XX

(27)

(28)

(29)

Limitando-nos ao conjunto suficientemente grande amplo de circunstancias em que o trabalho virtual das forcas de vnculo e zero, somos conduzidos ao chamado princpio dos trabalhos virtuais:

(a)(30)

iF i r i = 0

X

Vemos aqui que as grandezas P , Q, R, ... e , , , ... no tratamento de Lagrange, equivalem respectiva-

(a)no tratamento moderno.

mente `as grandezas F ie r i

O Princpio de dAlembertEstamos interessados na dinamica, que pode ser formalmente reduzida a`

= 0, com

estatica escrevendo a segunda lei de Newton na forma F i p ip i = mi r i . Agora, em lugar de

28, temos

i

pi F i r i = 0

X

e usando novamente a decomposicao 27 e que o trabalho virtual das forcas de vnculo e zero temos

i(a)

pi F i r i = 0

X

Vemos aqui que as grandezas

X md2xx +d2yy +d2zz

dt2dt2dt2

e

Xm (P p + Qq + Rr + ...)

no tratamento de Lagrange, equivalem respectivamente as` grandezas

(31)

(32)

(33)

(34)

r i = 0(35)

ip i

X

E

(a)

F i r i = 0(36)

Xi

Este princpio representa uma extensao do princpio dos trabalhos virtuais a sistemas mecanicos em movi-mento. No caso de sistemas vinculados, o princpio de dAlembert constitui um avanco relativamente `a formulacao newtoniana porque exclui qualquer referencia `as forcas de vnculo. Em suas aplicacoes concretas,no entanto, e preciso levar em conta que os deslocamentos virtuais r i nao sao independentes, pois tem que estar em harmonia com os vnculos.

12

Assumindo que(q1, ..., qn , t),i = 1, ..., N(37)

ri= ri

onde q1, ..., qn sao as chamadas coordenadas generalizadas, podemos expressar os deslocamentos virtuais r iem termos dos deslocamentos virtuais independentes qk mediante

n

r i

r i =qk

k=1qk

e a velocidade ficaX

N

dri r i r i

v i ==qk +

dtqkt

k=1

X

Usando 38, o trabalho virtual das forcas aplicadas torna-se

(38)

(39)

N (a)Nn(a)

F i r i =F i

i=1i=1 k=1

XX X

Onde

n

Qk =F i(a)

X

k=1

n

r iqk Qk qk

qkk=1

X

r i

qk

(40)

(41)

que e por definicao a k-esima componente da forca generalizada. Os termos qi nao tem necessariamente dimensao de comprimento, e os termos Qk tambem nao tem necessariamente dimensao de forca, e cada termo Qk qk tem dimensao de trabalho.Outra quantidade envolvida no princpio de dAlembert e

NNNn

r i

qk(42)

i=1p i r i =mi v i r i=mi v i qk

i=1i=1 k=1

XXX X

A seguinte identidade sera util

NNd

r i= i=1 r id r i(43)

i=1 mi vi qkdtmi v iqk mi v i dtqk

XX

No ultimo termo de 43 podemos usar o resultado

d=n=n

r il=1 r iql + r i r iql + r i

dtqkqlqktqkqk l=1qlt

XX

!

v i(44)

= qk

onde utilizamos 39 e passamos a tratar os qs e os qs como grandezas independentes, de modo que as derivadas parciais em relacao aos qs tratam os qs como constantes e vice-versa. Alem disso, de 39 deduz-se imediate-mente

v i= r i(45)

qkqk

permitindo escrever 43 na forma

NNd

i=1 mii r i=i=1 v i v i

vqkdtmi v i qk mi v i qk

XX

Nd11dTT

= i=1=(46)

dtqk2 mi vi2qk2 mi vi2dtqkqk

X

onde

NT = 12 X mi vi2(47)i=1

e a energia cinetica do sistema. Podemos supor que tanto T quanto as componentes Qk so dependem de qk e de qk . Levando 40, 42 e 46 em 32 somos conduzidos andTT Qk qk = 0

k=1(48)

dtqkqk

X

e como os qk s sao mutuamente independentes e arbitrarios, esta ultima igualdade so pode ser satisfeita se o coeficiente de cada qk for nulo. Temos entao n equacoes

dTT= Qk,k = 1, ..., n(49)

dtqkqk

Considerando

(a)VVV

F i= i V = i +j +k(50)

xiyizi

temos que

N(a)NV xiV yiV ziV

Qk =i=1 r i= i=1+= (51)

F iqkxi qkyi qk+ zi qkqk

XX

Com o emprego das equacoes 37, os potenciais V exprimem-se como funcao exclusiva dos qs, nao depen-dendo das velocidades, ou seja que V /qk = 0. Desse modo podemos escrever

DT(T V ) = 0

Dtqkqk

d(T V ) (T V ) = 0

dtqkqk

dLL

= 0,k = 1, ..., n(52)

dtqkqk

Onde L = T V e a chamda funcao de Lagrange.

Vemos aqui que esta ultima equacao (linguagem contemporanea) equivale as` equacoes 22, quando = 0, = 0, ..., definidas pelo prorpio Lagrange.

Discussoes Finais

Lagrange era um genio universal na matematica que conseguiu facilmente infiltra-se na mecanica. Alem de sua indiscutvel importancia no desenvolvimento da mecanica, a historia da mecanica apresentada no Mecanique e o primeiro trabaho detalhado e minuncioso sobre o tema. Segundo Capecchi e Drago [4], dos dois motivos principais pelo qual Lagrange ter apresentado tao detalhado trabalho sobre a historia da mecanica, eles escolhem o primeiro: (1) uma abrupta mudanca no desenvolvimento da ciencia em seu tempo, que modificaram radicalmente seus horizontes (assim como dos demais cientstas da epoca); neste caso, faz-se necessario uma nova perspectiva e uma nova maneira de se pensar em ciencia. (2) A segunda razao pode ser uma insatisfacao do cientsta com um processo de pesquisa exaustivo e inconclusivo.

5.1 Mecanica Vetorial versus Mecanica Analtica Apresentamo aqui as quatro principais caractersticas da mecanica vetorial e da analtica, segundo [12]:

1. Na mecania vetorial isolam-se as partculas, e estudam-se estas individualmente; na mecanica anatica estuda-se o sistema como um todo.

2. Na mecania vetorial se estuda o problema analisando as forcas que agem sobre cada partcula separada-mente; na mecanica analtica considera-se uma unica funcao: a funcao de Lagrange. Essa funcao contem toda a informacao necessaria sobre as forcas envolvidas no problema.

14

3. Se as forcas tem uma relacao com as coordenadas do sistema, e essa relacao e emprica, no tratamento vetorial ha de considerarem-se as forcas como mantendo essa relacao. No tratamento analtico, dada a garantia destas relacoes, trata-se o problema sem requerer conhecimento das forcas que as mantem.

4. No metodo analtico, todas as equacoes de movimento podem ser encontradas partindo de um princpio unificador que inclui implicitamente todas essas equacoes. Esse princpio diz que ha uma certa quantidade que deve se minimizada, a acao. Sendo este princpio independente do referencial do sistema, as equcoes na mecanica analica podem ter qualquer sistema de coordenadas, o que permite ajustar o problema ao sistema de coordenadas mais conveniente.

Nota Sobre Importancia do Estudo da Historia Possivelmente, a mudanca mais significativa da ciencia Aristotelica ou medieval para a mecanica de Newton tenha sido a passagem da visao de Aristoteles, de que todo corpo que se move tem como causa alguma forca que age sobre este, para a visao de Newton, mais especificamente referente a` sua primeira lei (prinpio da inercia), de que todo corpo que esta em repouso ou em movimento retilneo uniforme, continuar nesse estado inicial, a nao ser que alguma forca aja sobre este.

Mas tal mudanca nao se deu de forma repentina, sendo errado supor que desde a Grecia Antiga, durante toda a idade media, os intelectuais da epoca se mantinham fieis as` ideias de Aristoteles e, de repente, por volta dos seculos XVI e XVII, alguns pares de brilhantes pensadores protagonizaram a brusca quebra conceitual. O que realmente ocorreu foi uma longa e gradual crtica durante o perodo medieval a` Fsica de Aristoteles por parte de grandes pensadores como Buridan, Oresme, entre outros, que infelizmente nao recebem a devida consideracao em cursos introdutorios de mecanica e afins.

Referencias

[1] Ren Dugas, A History of Mechanics, Dover Publications, New York, 1988;

[2] George Sarton. Lagranges Personality (1736-1813), Proceedings of the American Philosophical Society, Vol. 88, No. 6 (Dec. 28, 1944), pp. 457-496 (1944);

[3] Ernst Mach, Desarrollo Historico - Crtico de la Mecanica, Espasa - Calpe Argentina, Buenos Aires, 1949;

[4] Danilo Capecchi, Antonino Drago, On Lagranges History of Mechanics, Meccanica, 40: 19 - 33 (2005);

[5] Helmut Pulte, captulo 16 (Joseph Louis Lagrange, Mecanique Analytique, first edition (1788)) do livro Landmark Writings in Western Mathematics, 1640 - 1940 (editor: I. Grattan-Guinness), Elsevier, 2005;

[6] Craig G. Fraser, captulo 19 (Joseph Louis Lagrange, Theorie des Fonctions Analytiques, first edi-tion (1797)) do livro Landmark Writings in Western Mathematics, 1640 - 1940 (editor: I. Grattan-Guinness), Elsevier, 2005;

[7] Penha Maria Cardoso Dias, F = ma?!! O nascimento da lei dinamica, Revista Brasileira do Ensino de Fsica, v. 28, n. 2 , p. 205 - 234, (2006);

[8] Allan Franklin, Principle os intertia in the Middle Ages, American Journal of Physics, Vol. 44, No. 6, Junho (1976);

[9] Christopher Moore, A History of Mechanics, University of Aberdeen, Aberdeen, 2003 (www.abdn.ac.uk/physics/px4006/histmech.pdf);

[10] Ross F. Macpherson, A History of Astronomy, University of Aberdeen, Aberdeen, 2004 (www.abdn.ac.uk/physics/px4006/histastron.pdf);

[11] Howard Eves, Introducao `a Historia da Matematica, Editora Unicamp, Campinas, 2004;

[12] Cornelius Lanczos, The Variational Principles of Mechanics, University of Toronto Press, Toronto, 1949;

[13] Herbert Goldstein, Charles Poole e John Safko, Classical Mechanics, Addison Wesley, 3a edicao, 2006; [14] Nivaldo A. Lemos, Mecanica Analtica, Editora Livraria da Fsica, 2a edicao, Sao Paulo, 2007.

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