M ÉTODOS PARA O ESTUDO DA CINEMÁTICA DOS FLUIDOS Método de Lagrange Método de Euler

MÉTODOS PARA O ESTUDO DA CINEMÁTICA

DOS FLUIDOS

Método de Lagrange

Método de Euler

MÉTODO DE LAGRANGE

• Descreve o movimento de cada partícula acompanhando-a em sua trajetória real;

• Apresenta grande dificuldade nas aplicações práticas;

• Para a engenharia, normalmente não interessa o comportamento individual da partícula e sim o comportamento do conjunto de partículas no processo de escoamento.

• Consiste em adotar um intervalo de tempo, escolher uma seção ou volume de controle no espaço e considerar todas as partículas que passem por este local;

• Método preferencial para estudar o movimento dos fluidos: praticidade.

MÉTODO DE EULER

VOLUME DE CONTROLE

• Volume de controle é uma região arbitrária e imaginária, no espaço, através do qual o fluido escoa.

• Vazão em VolumeVazão é a quantidade em volume de

fluido que atravessa uma dada seção do escoamento, por unidade de tempo.

CONCEITOS BÁSICOS DE VAZÃO

• Vazão em MassaVazão em massa é a quantidade em

massa do fluido que atravessa uma dada seção do escoamento por unidade de tempo.

.



• Vazão em PesoVazão em peso é a quantidade de

peso do fluido que atravessa uma dada seção do escoamento por unidade de tempo.

.

CLASSIFICAÇÃO BÁSICA DOS CONDUTOS

• Condutos Forçados:

São aqueles onde o fluido apresenta um contato total com suas paredes internas. A figura mostra um dos exemplos mais comuns de conduto forçado, que é o de seção transversal circular.

• Condutos Livres

São aqueles onde o fluido apresenta contato parcial com suas paredes internas.

Neste tipo de conduto observa-se sempre uma superfície livre, onde o fluido está em contato com o ar atmosférico;

Os condutos livres são geralmente denominados de canais, os quais podem ser abertos ou fechados.


• Condutos Livres


• É a equação que mostra a conservação da massa de líquido no conduto, ao longo de todo o escoamento;

• Pela condição de escoamento em regime permanente, podemos afirmar que entre as seções (1) e (2), não ocorre nem acúmulo, nem falta de massa:

m1 = m2 = m = cte

EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE


ρ = Δm/V Δm=ρ.V V = A.Δl

Q= Δm/Δt = ρ.V/ Δt = ρ. A.Δl /Δt = ρ.A.v


Dadas duas seções do escoamento:


ρ A v = constanteSe ρ é constante (não há variação de

massa):

A1 .v1= A2 .v2


Q1 = Q2 = A1 v1 = A2 v2 = constante

A Equação da Continuidade estabelece que:

• O volume total de um fluido incompressível (fluido que mantém constante a densidade apesar das variações na pressão e na temperatura) que entra em um tubo, será igual àquele que está saindo do tubo;

• A vazão medida num ponto ao longo do tubo será igual a vazão num outro ponto ao longo do tubo, apesar da área da seção transversal do tubo em cada ponto ser diferente.

Isto equivale a dizer que:

• No escoamento de fluidos incompressíveis em regime permanente, a vazão em volume, ou simplesmente a vazão, que passa através de qualquer seção do tubo de corrente é constante.

•De forma genérica:

Q = A1 v1 = A2 v2 = constante

Q=AU, onde U = velocidade média


Vazão em Massa e Vazão em Peso

• No escoamento de fluidos compressíveis em regime permanente, a vazão em massa que passa através de qualquer seção do tubo de corrente é constante.

• Vazão em massa: Qm = m / t = ρ V / t

se Qm = ρ Q e como já visto, Q = vm A

Qm = ρ vm A (kg/s, utm/s, kg/h, …)


Vazão em Massa e Vazão em Peso

• Vazão em peso: QG = G / t = γ V / t

se QG = γ Q e como já visto, Q = vm A

temos QG = γ vm A = ρ g Q finalmente,

QG = g Qm


(kgf/s, N/s, kgf/h, …)

• No escoamento de fluidos compressíveis em regime permanente, a vazão em massa que passa através de qualquer seção do tubo de corrente é constante. Porém, a mudança de densidade do fluido, estará correlacionada com as velocidades e áreas nestes pontos!

•De forma genérica temos:

Qm1 = Qm2 ou ρ1 Q1 = ρ2 Q2

ρ1 v1 A1 = ρ2 v2A2

EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE PARA UM FLUIDO QUALQUER EM REGIME PERMANENTE

PROBLEMA RESOLVIDO 1

Uma mangueira de diâmetro de 2 cm é usada para encher um balde de 20 litros.a) Se o balde enche em 1 minuto, qual é a velocidade em cm/s com que a água passa pela mangueira?

b) Uma criança aperta a saída desta mangueira até ela ficar com um diâmetro de 5 mm e acerta o vizinho com água. Qual é a velocidade em cm/s com que a água sai da mangueira?

Solução:

a) A área da seção transversal da mangueira será dada por A1 = πr2 = π(2 cm /2)2 = π cm2.Para encontrar a velocidade, v1 , usamos Taxa de escoamento (vazão)= A1v1 = 20 L / min = 20 x 103 cm3 / 60sv1= (20 x 103 cm3 / 60 s) / (π cm2) = 106,1 cm/s.

b) A taxa de escoamento ( A1v1 ) da água que se aproxima da abertura da mangueira deve ser igual a taxa de escoamento que deixa a mangueira ( A2v2 ). Isto resulta em: v2= A1v1 / A2 = (π. 106,1) / (π. (0,5/2)2) = 1698 cm/s.


Num sistema de drenagem, uma pipa de 25 cm de diâmetro interno drena para outra pipa conectada de 22 cm de diâmetro interno.

Se a velocidade da água através da pipa maior é 5 cm/s, determine a velocidade média em cm/s na pipa menor.


Solução:

Usando a equação da continuidade temos:

A1 v1 = A2 v2π(12,5 cm)2 (5 cm/s) = π(11,0 cm)2 (v2)

Resolvendo para v2:

v2 = 6,42 cm/s.


Assumindo o fluxo de um fluido incompressível como o sangue, se a velocidade medida num ponto dentro de um vaso sanguíneo é 40 m/s, qual é a velocidade em cm/s num segundo ponto que tem um terço do raio original?


Solução:Este problema pode ser resolvido usando a equação da continuidade:

ρ1A1v1= ρ2A2v2 onde: ρ é a densidade do sangue A é a área da seção transversal, v é a velocidadee os subscritos 1 e 2 referem-se às localizações dentro do vaso.

Desde que o fluxo sangüíneo é incompressível, temos: ρ1= ρ2 v1 = 40 cm/s A1=πr1

2

A2 = πr22 r2=r1/3, A2= π(r1/3)2 = (π r1

2)/9 ou A2=A1/9 A1/A2 = 9

Resolvendo:v2 = (A1v1)/A2 = 9 v1 = 9 x 40 cm/s = 360 cm/s


Documents

M ÉTODOS PARA O ESTUDO DA CINEMÁTICA DOS FLUIDOS Método de Lagrange Método de Euler