Estacas sob acções horizontais estáticas - civil.ist.utl.ptjaime/8_ME_cores.pdf · da estaca...

Estacas sob acções horizontais estáticas

Fundações de Estruturas

Jaime A. Santos (IST)

Mestrado em Engenharia de Estruturas

Estacas sob acções horizontais

Mecanismos de rotura

Fenda de tracçãona zona posterior

da estaca

Cunha de roturana zona frontal

da estaca

Estacas sob acções horizontaisMecanismos de rotura

Mecanismos de rotura

RotaçãoL L

H He

Estacas curtas – rotura por insuficiente resistência do terreno

Fractura Fractura

L L

H He

Mecanismos de rotura

Estacas longas – rotura por flexão da estaca

L L

Hu

P

3B LKpγ 3B LKpγ

He

Mmáx

MmáxB

Método de Broms

Estacas curtas em solos incoerentes (areias)

topo livre topo restringido (rotação nula)

Reacçãodo solo DMF

Método de Broms

Estacas curtas em solos incoerentes (areias)

0

40

80

120

160

200

0 4 8 12 16 20L/B

H/K

Bu

p3

γ

topo livretopo restringido

e/L=0

0.20.40.60.81.01.52.03.0

LeBL0.5K

H3

pu +

γ=

2pu BL1.5KH γ=

Método de Broms

Estacas longas em solos incoerentes (areias)

topo livre topo restringido (rotação nula)

L L

e

f f

Mu

MuMuHu HuReacção

do solo DMF

Método de Broms

Estacas longas em solos incoerentes (areias)

1

10

100

1000

0.1 1 10 100 1000 10000

topo livre

topo restringido

H/K

Bu

p3

γ

M /K Bu p4γ

e/B=01 2 4 8 16 32

+= f

32eHM uu

p

u

BK1.5Hfγ

=

3fHM uu =

Método de Broms

• estacas curtas em solos coesivos• estacas longas em solos coesivos

Foram também desenvolvidas equações simples e ábacos para:

M

1/r

p

y

p

y

Modelo meio contínuo versus modelo meio discreto

Modelos meio contínuo/meio discreto

Soluções algébricas para casos particulares simples• meio discreto (meio de Winkler) • meio contínuo (soluções de Randolph e do EC7)

Comparação das soluções e aferição da relação k-(Es,νs)

Estacas sob acções horizontais

Meio de “Winkler”

Fundação em meio de WinklerA análise do problema de interacção solo-fundação é feita habitualmente recorrendo ao conceito do coeficiente de reacção originalmente proposto por Winkler em 1867. Neste modelo o solo é assimilado por uma série de molas independentes com comportamento elástico e linear. A rigidez dessas molas é assim caracterizada por uma constante de proporcionalidade entre a pressão aplicada (q) e o deslocamento do solo (y), constante essa designada por coeficiente de reacção k’.

q

y

O k’ é assim definido como sendo a pressão necessária para provocar um deslocamento unitário e, portanto com as dimensões de [FL-3]. Define-se ainda, habitualmente, uma outra grandeza designada por módulo dereacção do solo k que é igual ao produto do coeficiente de reacção k’ pela dimensão transversal da fundação B. O módulo de reacção tem assim as dimensões de [FL-2] tal como o módulo de deformabilidade de um solo.

Este modelo pode ser utilizado para a análise de fundações superficiais ou de estacas sob acções laterais.

O modelo de cálculo consiste em assimilar a fundação a uma peça linear (viga) apoiada num meio elástico “discreto” constituído por molas infinitamente próximas, mas sem ligação entre elas.

Se analisar o equilíbrio de um troço elementar da viga tem-se:

V – (V + dV) + p dx – q dx = 0, ou seja,dV/dx = k y – q ou d2M/dx2 = k y – q

q

p

x

y

N q

pdxV V+dV

M M+dM

Admitindo válida a hipótese dos pequenos deslocamentos vem:M = - EI d2y/dx2

que substituindo na equação de equilíbrio conduz a:

A solução geral desta equação diferencial de 4ª ordem para q=0 é da forma:

EI d4y/dx4 + k y = q

y = eλx (C1 sin λx + C2 cos λx) + e-λx (C3 sin λx + C4 cos λx)

λ = (k / 4EI)1/4

com

As constantes C1, C2, C3 e C4 são obtidas tendo em conta as condições de fronteira do problema.

O parâmetro λ com dimensões de [L-1] caracteriza a rigidez relativa solo-fundação. O produto de λ pelo comprimento L da fundação define uma grandeza adimensional que permite classificar a fundação quanto ao seu comportamento:De acordo com Vesic:

λL ≤ 0.8 (≈1) – rígida0.8 (≈1) < λL < 3.0 – semi-flexível

λL ≥3.0 – flexível

Fundações superficiais

A solução geral válida para qualquer valor de λL é bastante trabalhosa (solução correspondente ao comportamento semi-flexível):

Para as situações de comportamento rígido ou flexível as equações anteriores transformam-se em equações mais simples.

a b

xL

N

Fundações superficiais

Factores que afectam o coeficiente de reacção:a) O comportamento não linear do solob) Efeito da profundidade e da dimensão transversal da fundaçãoc) Forma da fundaçãod) Efeito de escala – ensaio de placa vs fundação (terreno

estratificado)

Fundações superficiais

q q

bolb

o de

tens

ões:

z % B

B

Solo 1

Solo 2

Bp

Num meio elástico e homogéneo caracterizado pelas constantes elásticas E e ν, o assentamento da fundação y induzido pela carga q é dado por:

y qBE

If= −( )1 2ν

em que If é um factor que depende dos dados geométricos do problema.

Assim, k’ = q/y % 1/B ou sejaO coeficiente de reacção é inversamente proporcional à largura Benquanto que o módulo de reacção (k=k’B) não depende de B.

q

bolb

o de

tens

ões:

z % B

y % B

BFundações superficiais

Existem na bibliografia diversas propostas para a obtenção do valor de k’.Quando se utilizam correlações deduzidas dos ensaios de placa há que ter em atenção o efeito de escala.• Ensaio de placa (circular ou quadrangular) com dimensão Bp

Terzaghi (1955):Fundação com forma circular ou quadrangular (dimensão B)k’/k’p = Bp/B (em solos argilosos)k’/k’p= [(B+Bp)/2B]2 (em solos arenosos)

Fundação com forma rectangular (BxL)k’/k’p = (m+0.5)/1.5m , m = L/Bk’ e k’p – coeficientes de reacção solo-fundação e solo-placa, respectivamente

Fundações superficiais

k EBEI

Ef

=−

0 651

412

2.( ) ν

• Relação k-(E,ν)Comparando a solução teórica da viga em meio de Winkler com a da vigaem meio elástico contínuo, Vesic (1961) propôs a seguinte correlação:

em que:k – módulo de reacçãoE – módulo de elasticidade do soloν – coeficiente de Poisson do solo(EI)f – módulo de flexão da viga (fundação)B – largura da viga (fundação)

Fundações superficiais

Valores típicos de k’p em MN/m3 propostos por Terzaghi para ensaios de placa com Bp=0.3m (1 pé) em areias

k’0.3 (MN/m3)CompacidadeTerreno

6 a 18SoltaAreia seca ou húmida

18 a 90Medianamente compacta

90 a 300Compacta

7.5SoltaAreia submersa

24Medianamente compacta

90Compacta

Fundações superficiais

Valores típicos de k’p em MN/m3 propostos por Terzaghi para ensaios de placa com Bp=0.3m (1 pé) em argilas duras

k’0.3 (MN/m3)ConsistênciaTerreno

15 a 30Dura - qu=100 a 200kPaArgila

30 a 60Muito dura - qu=200 a 400 kPa

> 60Rija – qu > 400 kPa

Fundações superficiais

Para o caso das estacas solicitadas lateralmente o procedimento de análise com base no modelo de Winkler é em tudo análogo à das fundações superficiais.

Para o caso de um meio homogéneo, isto é, com módulo de reacção constante em profundidade, define-se o mesmo parâmetro λ que caracteriza a rigidez relativa solo-estaca. O produto de λ pelo comprimento L da estaca define uma grandeza adimensional que permite classificar a estaca quanto ao seu comportamento:De acordo com Santos e Gomes Correia (1992):

λL ≤ 1 – rígida ; 1 < λL < 3 – semi-flexível ; λL ≥3 – flexível

Estacas sob acções laterais

Comportamento flexível e rígido das estacas

As soluções podem ser equacionadas sob a forma adimensional em função de três parâmetros:λ – parâmetro de rigidez relativa solo-estacaL – comprimento da estacaK – módulo de reacção (meio homogéneo)

Estas soluções simplificam-se para os casos de comportamento flexível e rígido:• flexível (λL → ∝) λ , k• semi-flexível λ , k, L• rígido (λL → 0) k , L

Estacas sob acções laterais

Soluções analíticas (existentes):

Meio com rigidez constante em profundidade – k constanteMeio cuja rigidez aumenta linearmente em profundidade – k=nh x

Força horizontal no topo da estacaMomento no topo da estaca

Topo livreTopo com rotação impedida

Estacas sob acções laterais

Indicam-se, a título de exemplo, as soluções em termos dos deslocamentos laterais para um meio com r. Para as situações de comportamento flexível ou rígido as equações tornam-se mais simples:

Estaca semi-flexível 1< λL <3:

Estaca rígida λL ≤ 1:

y '2Voλ

ksenhλL cosλx coshλx ) & senλL coshλx cosλx )

senh 2λL & sen 2λL

y '2Voλ

k(e &λx cosλx)

y '2Vo

Lk(2&3 x

L)

VoEstaca flexível λL ≥ 3:

Estacas sob acções laterais

Comportamento flexível e rígido

Meio com k constante

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0

2

4

6

8

0 1 2 3 4 5 6

Mm á x λ Vo

yo k λVo

y o

k λV o

Mm

áx λ

V o

λL

estacaflexível

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0

4

8

12

16

0 1 2 3 4 5 6

Mm á x V Lo

yo k L Vo

λL

Mm

áx

V

Lo

y o

k L

V oestaca

rígida

Estaca semi-flexível 1< λL <3:

Estaca rígida λL ≤ 1:Estaca flexível λL ≥ 3:

o

máx

VM λ

λoo

Vky

LVMo

máx

o

o

VLky

Limites propostos com basenos esforços máximos e nos deslocamentos

λ = (k / 4EI)1/4

η = (nh / EI)1/5

ηL ≤ 1,5λL ≤ 1Rígida1,5 ≤ ηL ≤ 41 ≤ λL ≤ 3Semi-flexível

ηL ≥ 4λL ≥ 3Flexívelk = nhxk = cte

MeioComportamento da estaca

Comportamento flexível

L

lc

Vo

Mo

Deformada

x

Exemplo:k=20000kPa (solo)E=29GPa (estaca)φ=1.0m

para ser flexível:L ≥ 12.3m (≈3/λ)

Estacas flexíveis – Influência dos parâmetrosMeio com k constante

Estaca sujeita à força Vo

681212 44

2

1

1

2

2

2

1

1

02

01 ,kk

kk

k

kyy ===λ

λ

=

19121

14

1

2

2

1

2

1 ,MM

máx

máx ==λλ=

λ

λ=

0y

máxM

Vo

21 21 kk =

1100018000Compacta

45006800Média

13002300Solta

SubmersaSeca ou húmida

Compacidadeda areia

nh (kN/m3)

Areias:módulo de reacção k=nh x (em que x = profundidade)

Proposta de Terzaghi (1955)

Estacas sob acções laterais

Argilas normalmente consolidadasmódulo de reacção k=nh x (em que x = profundidade)

Argila mole (NC)nh = 160 a 3450 kN/m3 , Reese e Matlock (1956)nh = 270 a 540 kN/m3 , Davisson e Prakash (1963)

Argila orgânica (NC)nh = 110 a 270 kN/m3 , Peck e Davisson (1962)nh = 110 a 810 kN/m3 , Davisson (1970)

Argilas sobreconsolidadasmódulo de reacção k constante em profundidade

k = 67cu , Davisson (1970)

Estacas sob acções laterais

Estacas sob acções horizontais

Influência do comportamento não linear

Influência do comportamento não linearCaso de estudo – Fundações da Ponte de Alcácer do Sal

Comportamento não linear devido à:L Plastificação do solo (próximo do topo da estaca)L Fendilhação (estacas de betão)

Descrição do modelo:

1) SoloL DiscretoL Elástico perfeitamente plástico

pu

y[L]

k1

p[FL ]-1

k=nh xnh em função da compacidade relativa (Reese et al.)

Areias

pu = Nc cu BEu/Cu=200 a 400(Poulos e Davis)

Eu, νu → kArgilas

pukSolo

Parâmetros do solo:

N min 3c B

9Cu

= + +

γ x x05.;

p 3 tgu2= +

′

′45

2º

φγ x B

(Broms)

(Matlock)

Descrição do modelo:

2) EstacaL Elemento de barra sujeito a flexão (simples ou composta) L Comportamento não linear

Expressão de Branson:

I I M MefI

cr= <( )

I I I IMM

M M MefII I II cr

cr ced= + −

< <( ) ( )

Interacção solo-estaca – equação diferencial de equilíbrio:

∂∂

∂∂x

EIyx

k yef2

2

2 0

+ =

x.profdafunçãoéI)M(fI efef ⇒=

02 2

2

2

2

3

3

4

4

=+

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

Eyk

xy

xI

xy

xI

xyI efef

ef

Critério de convergência

Em cada iteração i verificar em todos os pontos nodais e nos elementos se:

upp≤

( ) ( )( ) 010

1

1 .III

ief

iefief ≤−

−

−

1)

2)

Bransonderessãoexpdaatravés)M(fIef =

Fundações da Pontede Alcácer do Sal

Ensaio 1estaca 1

B=1.00m

B=1.20m B=1.20m

6.40m

6.40m

2.00m

2.00m 2.00m

2.00

m2.

00m

5.00m

3.00m

B=1.00m

estaca 4 estaca 5

estacas 2 e 3

Ensaio 2

2 ensaios estáticosde carga horizontal

Caso de estudo

Terreno de fundação

Ensaio 1

Lodos

Argilas

Turfas, cascalhose areias

Lodos

Areias

Bed-rock

14.0

17.0

0.0

3.0

5.0

27.0

31.0

40.0

0.0

3.5

7.0

Lodos Lodos

AreiasAreias

Bed-rock

Ensaio 2

Vale fóssil:aluviões sobre

substrato Miocénico

Não linearElástico perfeitamente plásticoModelo 2Elástico e linearElástico e linearModelo 1

EstacaSoloModelos

Modelos numéricos utilizados

0

200

400

600

Forç

a ho

rizon

tal (

kN)

0 10 20 30 40 50 60 Deslocamento horizontal (mm)

Ensaio Modelo 1 Modelo 2

Diagrama força-deslocamento na estaca 1

0

200

400

600

Forç

a ho

rizon

tal (

kN)

0 500 1000 1500 Momento flector máximo (kNm)

Ensaio Modelo 1 Modelo 2

Mcr=267 kNm

Diagrama força-momento máximo na estaca 1

Caso de estudo – Fundações da Ponte de Alcácer do Sal

1) Para estimar esforços máximos:o modelo elástico e linear é aceitável

2) Para estimar deslocamentos:é necessário recorrer a modelos não lineares

A confrontação dos modelos numéricos com os resultados dos ensaios de carga permite concluir o seguinte:

Estacas sob acções horizontais

Efeito de grupo

Efeito de grupo

O efeito de interacção estaca-solo-estaca num grupo de estacas é vulgarmente designado por efeito de grupo. Estando as estacas

inseridas num meio contínuo, elas interactuam entre si através do meio envolvente, pelo que o deslocamento de uma determinada estaca contribui para o deslocamento das restantes.

Assim, a rigidez transversal do conjunto maciço-solo-estacas é inferior ao somatório das rigidezes considerando as estacas a funcionar isoladamente. Este efeito de grupo pode ser simulado de forma artificial considerando uma redução do módulo de reacção k.

Estacas sob acções laterais

0.25 k3D

D é o diâmetro da estaca

4D

6D

8D

Espaçamento na direcção da carga

0.40 k

0.70 k

1.00 k

kgrupo

Redução artificial da rigidez do solopara ter em conta o efeito de grupo

Estacas sob acções laterais

Canadian Foundation Engineering Manual

Efeito de interacção num grupo de estacas

Modelo do meio contínuo - análises 3-D

Efeito de interacção num grupo de estacas

Análise elástica 3-D (M.E.F.)

Concentração de tensões na

proximidade das estacas periféricas(efeito de “sombra” na estaca central)

Estaca isolada flexível em meio elástico contínuoRandolph(1981) desenvolveu soluções algébricas simples (yo, Mmáx)em função dos parâmetros Gc, ρc e Ep:

Gc – módulo de distorção representativo do terreno; considera-se o valor médio de G* ao longo do comprimento crítico (“activo”) Lc

ρc – grau de homogeneidade

G*=G (1+3/4ν) Lc=B(Ep/Gc)2/7

ρc=G*(x=Lc/4)/G*(x=Lc/2)

Ep – módulo de elasticidade da estaca

x - profundidade

+

ρ=

−− 2c

1c

cc

7/1cp

o 2LM3.0

2LH27.0

G)G/(E

yDeslocamento do topo da estaca:

Obs:Estaca flexível com L ≥ Lc

Meio homogéneo – G*=cte ; ρc=1Meio cuja rigidez cresce linearmente em prof. – G*/x=cte ; ρc=0.5

L

Lc

Vo

Mo

DeformadaLc/4

Lc/2

G*

x

y

x

Estaca isolada flexível em meio elástico contínuo

αij = factor de influência entre a estaca i e a estaca j(Nota: αii = 1)

m = número de estacasHj = carga aplicada na estaca j

Kt = rigidez transversal da estaca isolada

Grupo de Estacas

Coeficiente/Factor de influência α

∑=

α=m

1jjij

ti H

K1y

Método simplificado – Hipóteses de cálculo:L Maciço de encabeçamento rígidoL Igualdade de deslocamentos ao nível da cabeça das estacasL Equilíbrio de forças horizontais

=

∀=

∑=

m

1japlicadaj

ji,ji

FH

,yy

∑=

ρα=m

1jjijF,

ti H

K1y

Efeito de interacção maciço-solo-estacas

)cos(10.6)cos(1sr

GE

0.6ρ 22o

1/7

c

pcF ψ+ζ=ψ+

=αρ

1FF )4(1valorosetoma5.0Se −

ρρ α−−>α

Factores (coeficientes) de influência

Valores típicos de 1/ζ

1/ζTipo de solo

4GE

:ilaarg1/7

c

p ≈

1c =ρ 5.0c =ρ

3GE

:areia1/7

c

p ≈

L Ep = 29GPa, s/ro=6 (3 diâmetros)L Valores correntes de G e de ν para areias e argilas

5.1 0.3

0.2 0.4

Tipologias analisadas

1x2 e 1x3 estacas(força segundo o alinhamento das estacas)

2x2, 3x3, 4x4, 5x5 estacas(em malha quadrada)

Variação de β em função de 1/ζ

Variação de Hmáx/Hméd em função de 1/ζ

Redução “artificial” do módulo k

Redução “artificial” do módulo nh

Aumento dos esforços nas estacas mais solicitadas

L O estudo do comportamento de grupos de estacas sob acções horizontais requer análises 3-D (habitualmente através do M.E.F). Estas análises exigem potentes recursos informáticos, o que inviabiliza a sua utilização a nível de projecto para a grande maioria das situações práticas.

L O efeito de interacção pode ser analisado, de uma forma mais expedita, recorrendo ao conceito dos factores de influência (Ex:solução de Randolphpara estacas flexíveis em meio elástico contínuo).

Efeito de grupo

Efeito de grupo

A aplicação dos factores de influência para analisar o efeito de interacção num grupo de estacas permite concluir o seguinte:L A interacção entre estacas conduz a uma redução

da rigidez do conjunto maciço-solo-estacas, e este efeito é mais notório quando o número de estacas é superior a 4.

L A concentração de carga nas estacas periféricas pode ser significativa num grupo numeroso de estacas (aspecto importante no dimensionamento).