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Grupo de controle
(placebo)
Grupo experimental
(tratamento)
Para testar o efeito benéfico de um tratamento fitoterápico sobre a memória, você seleciona aleatoriamente duas amostras de pessoas; uma delas receberá o medicamento e a outra tomará um placebo. Um mês depois, os dois grupos são submetidos a um teste de memória e obtêm os resultados a seguir.
A estatística teste resultante é 77 – 73 = 4. Essa diferença é significativa ou pode ser atribuída ao acaso (erro amostral)?
Visão geral
Amostra
1
Amostra
2
Os membros de uma amostra não têm relação com
os membros da outra.
Uma pessoa que recebeu o tratamento fitoterápico
não estava relacionada nem podia ser emparelhada
com outra no grupo de controle.
Grupo experimental Grupo de controle
Amostras independentes
x2
x1x1
x1x1
x1
x1x1
x2
x2x2
x2
Cada membro de uma amostra pode ser emparelhado a um
membro da outra amostra.
Nota antes Nota depois
A nota no teste de memória de cada pessoa da amostra
podia ser registrada antes e depois do tratamento.
Pode-se calcular a diferença para cada par.
Amostras dependentes
x1 x2
x1
x1
x1
x1
x1
x2
x2
x2
x2
x2
Para testar o efeito benéfico de um tratamento
fitoterápico sobre a memória, você seleciona
aleatoriamente uma amostra de 95 pessoas, as
quais receberão o tratamento, e uma amostra de
105 pessoas que tomarão um placebo. Um mês
depois, ambos os grupos submetem-se a um
teste. A nota média do grupo experimental é de
77, com um desvio padrão de 15. No grupo de
controle, a média é 73 e o desvio padrão, 12.
Teste a alegação de que o tratamento
fitoterápico melhora a memória a = 0,01.
Aplicação
A hipótese nula H0 em geral contém a condição de igualdade.
(Não há diferença entre os parâmetros das duas
populações.)
A hipótese alternativa Ha é verdadeira quando H0 é falsa.
= 0,01.
Essa é a probabilidade de H0 ser verdadeira e você a
rejeitar.
1. Estabeleça as hipóteses nula e alternativa.
(alegação)
2. Estabeleça o nível de significância.
A distribuição da estatística amostral
é normal, já que as duas amostras são grandes.
z
Região de rejeição
2,33
3. Identifique a distribuição amostral.
5. Determine a
região de rejeição.
4. Determine o valor
crítico.
0 z0 Valor crítico z0
z = 2,07 não cai na região de rejeição. Não rejeite a
hipótese nula. O valor P é 0,019 > 0,01. Não rejeite H0.
Não há evidência suficiente para aceitar a alegação de que o
tratamento fitoterápico aumenta a memória.
02,33
z
Se as duas amostras
são grandes, você pode
usar s1 e s2 no lugar
de e .
6. Determine a estatística teste.
7. Tome sua decisão.
8. Interprete sua decisão.
1,9332,07 3,74 1,933
Quando você não pode colher amostras de 30 ou mais itens, você
pode usar um teste t, se as duas populações forem normalmente
distribuídas. A distribuição amostral depende do fato de as variâncias
populacionais serem ou não iguais.
Se as variâncias das duas populações são iguais, você pode combinar
ou ‘agrupar’ informação das duas amostras, a fim de formar uma
estimativa agrupada do desvio padrão.
g.l. = n1 + n2 – 2
O erro padrão é:
Se as variâncias forem diferentes, o erro padrão será:
E o g.l. será o menor entre
n1 – 1 e n2 – 1.
Testando a diferença entremédias (amostras pequenas)
Cinco pick-ups pequenas e oito SUVs realizaram testes de
colisão a cinco milhas por hora. Para as pick-ups, o
conserto do pára-choques custou em média US$ 1.520,
com um desvio padrão de US$ 403. No caso dos SUVs, o
conserto custou uma média de US$ 937, com um desvio
padrão de US$ 382. Sendo = 0,05, teste a alegação de
que o conserto de pára-choques das pick-ups custa mais
que o dos SUVs. Suponha que as variâncias sejam iguais.
Aplicação
Pick-up SUV
n
s
5
1.520
403
8
937
382
1. Estabeleça as hipóteses nula e alternativa.
2. Estabeleça o nível de significância.
3. Identifique a distribuição amostral.
= 0,05.
Como as variâncias são iguais, a distribuição da estatística
amostral é uma distribuição t com g.l. = 5 + 8 – 2 = 11.
(alegação)
t t00
1,796
4. Determine o valor crítico.
5. Determine a
região de rejeição.
6. Determine a
estatística teste.
Se as variâncias forem
iguais, determine o valor
agrupado.
389,77 389,77(0,570) = 222,203
t = 2,624 cai na região de rejeição. Rejeite a
hipótese nula.
Há evidência suficiente para aceitar a
alegação de que o conserto de pára-choques
das pick-ups custa mais que o dos SUVs.
1,7960
t7. Tome sua decisão.
8. Interprete sua decisão.
222,2032,624
Segundo uma imobiliária, não há diferença
entre a renda média familiar de dois
condomínios. A renda média de 12 famílias do
primeiro condomínio é de US$ 48.250, com
um desvio padrão de US$ 1.200. No segundo
condomínio, 10 famílias têm uma renda média
de US$ 50.375, com um desvio padrão de
US$ 3.400. Suponha que as rendas sejam
normalmente distribuídas e que as variâncias
sejam diferentes. Teste a alegação sendo =
0,01.
Aplicação
Como as variâncias são diferentes, a distribuição da estatística
amostral é uma distribuição t com g.l. = 9. (A menor
amostra tem 10 itens, e 10 – 1 = 9.)
1. Estabeleça as hipóteses nula e alternativa.
2. Estabeleça o nível de significância.
3. Identifique a distribuição amostral.
(alegação)Primeiro Segundo
n
s
12.000
48,250
1.200.000
10.000
50,375
3.400.000
.0,01
3,250–3,250
–t0t t00
4. Determine os valores
críticos.
5. Determine as
regiões de rejeição.
6. Determine a estatística teste.
1.129,60171.2002 3.4002
(48.250 – 50.375)
1129,60171,88
t = –1,881 não cai na região de rejeição. Não
rejeite a hipótese nula. (O valor P é 0,087 >
0,01.)
Não há evidência suficiente para rejeitar a alegação de que não
há diferença entre as rendas familiares médias dos dois
condomínios.
–3,250t
3,250
0
7. Tome sua decisão.
8. Interprete sua decisão.
A distribuição amostral de , a média das diferenças, é uma
distribuição t com n – 1 graus de liberdade (n é o número de pares.)
Se cada valor de uma amostra puder ser emparelhado com um
valor da outra, as amostras serão dependentes.
Calcula-se a diferença, d = x1 – x2, para cada par de dados.
A diferença entre médias:
amostras dependentes
x1 x2
x1
x1
x1
x1
x1
x2
x2
x2
x2
x2
O desvio padrão de d é 3,39.
A média das diferenças, d, é 59.
A tabela abaixo mostra a freqüência cardíaca (em batidas por
minuto) de cinco pessoas antes e depois de uma sessão de
exercícios físicos. Há evidência suficiente para se concluir que o
exercício acelera a freqüência cardíaca? Use .
Indivíduo
1
2
3
4
5
d
62
63
55
58
57
Antes
65
72
85
78
93
Depois
127
135
140
136
150
0,05
3,39
Aplicação
(Como há cinco pares de dados, g.l.= 5 – 1 = 4.)
1. Estabeleça as hipóteses alternativa e nula.
2. Estabeleça o nível de significância.
3. Identifique a distribuição amostral.
(alegação)
A distribuição da estatística amostral é uma
distribuição t com g.l. = 4.
0,05
2,132
t t00
4. Determine o valor crítico.
5. Determine a
região de rejeição.
6. Determine a estatística teste.
38,923,39
t = 38,92 cai na região de rejeição. Rejeite a
hipótese nula. O valor P é muito próximo de 0.
Há evidência suficiente para aceitar a alegação
de que o exercício acelera a freqüência
cardíaca.
t2,132t00
7. Tome sua decisão.
8. Interprete sua decisão.
Usando o Minitab
Resultados impressos do Minitab
O valor P é 0,0000. Como 0,0000 < 0,05, rejeite
a hipótese nula.
Test of = 0.00 vs > 0.00
Variable
diff.
N
5
Mean
59.00
StDev
3.39
SE
1.52
Mean
5
T
38.90
P
0.0000
A diferença entre proporções
Se as amostras independentes colhidas de duas
populações forem grandes o bastante,você pode aplicar
um teste para verificar se há diferença entre as proporções
populacionais p1 e p2.
x1 e x2 representam o número de sucessos na
primeira e na segunda amostra, respectivamente.
n1 e n2 representam o tamanho da primeira e da
segunda amostra, respectivamente.
Proporção de sucessos em cada amostra.
Como se supõe que as
proporções sejam iguais,
uma estimativa para o valor
comum será:e
Teste z de duas amostras
A média é p1 – p2 = 0
Se equivalem, cada um, a pelo menos 5,
a distribuição amostral para é normal.
e o desvio padrão:
A estatística teste
padronizada é:
Aplicação
Ensino privado Ensino público
Em um levantamento com 3.420 alunos do ensino
médio privado, 917 disseram ter fumado nos 30 dias
precedentes. Já em um levantamento com 5.131 alunos
do ensino médio público, 1.503 disseram ter fumado nos
30 dias precedentes. Sendo pode-se aceitar a
alegação de que a proporção de alunos de escola
privada que disseram ter fumado é inferior à proporção
dos alunos do sistema público que disseram ter
fumado? Use
n2 = 5.131
x2 = 1.503
n1 = 3.420
x1 = 917
0,01,
0,01.
0,268 0,293
A distribuição da estatística amostral
é normal, já que
cada um, a pelo menos 5.equivalem,
1. Estabeleça as hipóteses nula e alternativa.
2. Estabeleça o nível de significância.
3. Identifique a distribuição amostral.
(alegação)
2.420
8.551
2,420
8,5510,283 e 0,717
0,00994
z
Região de rejeição
Valor crítico z0
–2,33 0
5. Determine a
região de rejeição.4. Determine um valor crítico.
6. Determine a estatística
teste.
(0,268 – 0,293)
0,00009888
0,25
0,009942,514
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