EX. Resolvidos -Thevenin, Superposição e Redes

Professor DEODATO

RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS

1- Faça o circuito equivalente de THÉVENIN referente aos circuitos abaixo.

Calcule a corrente IL e a tensão VL a que estarão submetidas as cargas RL

conectadas entre os pontos A e B.

Primeiro passo. – Cálculo da Tensão – VAB –

Para calcular a tensão – VAB – vamos calcular a resistência equivalente do circuito para

que, a partir dela, possamos calcular as ddps (diferenças de potencial) às quais estão

submetidas cada uma das resistências.

Veja.:

1- As resistências de 40 Ω e 60Ω estão submetidas à mesma ddp,logo,estão em

paralelo. Aqui, para facilitar a digitação vamos usar as duas barras paralelas (para

indicar resistências em paralelo e ( S ) para indicar resistências em série.

Exemplos - R40 // R10 significa que a resistência de 40Ω está em paralelo com a

resistência de 10Ω , e R10 S R10 significa dizer que uma resistência de 10Ω está em

série com outra de 10 Ω.

Voltemos então à resolução do exercício proposto.

Como já tínhamos citado temos a seguinte situação no circuito –

R40//R60 – calculando a Resistência equivalente temos :

R eq =

=

= 24 Ω

Dessa forma ficamos com a seguinte configuração .

R=10Ω

R=40Ω R=60Ω 100v

R=16Ω

B

A

RL=10Ω

Professor DEODATO

R16 S R24 S R10 – então a resistência equivalente será

Req.= 16+24+10 Req.=50Ω.

Como a fonte fornece 100V então podemos calcular a corrente que passa pela

resistência I =

=

= 2A.

Agora que já temos a corrente fornecida pela fonte, podemos determinar as correntes

que passam em cada resistência e assim as tensões às quais estão submetidas. vamos

voltando à situação original.

R=16

Ω

R=16

Ω

R=24

Ω V=10

0v

R=50

Ω V=100

v

R=16Ω

R=10Ω

R=24Ω V=100v

A

B

Professor DEODATO

Observe que a tensão sobre R24 é a tensão VAB que procuramos, porque é a mesma

tensão à qual está submetida a resistência de 60Ω.

VAB = 24 x 2 VAB = 48v.

SEGUNDO PASSO. - Calcular a resistência de THÉVENIN. RTh

Para isso devemos curtocircuitar a fonte e a partir desse novo circuito calcularemos a

resistência equivalente a ele.

Podemos observar agora que R16 está em série com R10 . Calculando a resistência

equivalente a essa associação temos :

R10 S R16 - Req = 10 + 16 - Req = 26Ω assim, redesenhando o circuito

teremos :

V=100

v

R=16

Ω

R=10

Ω

R=40

Ω

A

B

R=60

Ω

VAB = 48v. VTh = 48 V

R=10Ω

R=40Ω R=60Ω 100v

R=16Ω A

B

R=26Ω R=60Ω

Ω

R=26Ω R=60Ω R=40Ω

B

A

R=40Ω

B

A

R=16

Ω

R=16

Ω

R=24

Ω V=10

0v

A

B

Professor DEODATO

Fácil observar que temos 3 resistências em paralelo. Calculando a resistência

equivalente temos :-

=

+

+

Req =

Req = 12,48Ω

RTh = 12,48Ω

Então o circuito de THÉVENIN equivalente ao circuito dado é

TERMINANDO - Para calcularmos a corrente que passa pela carga RL = 10Ω basta

conectarmos a carga aos pontos A e B e calcularmos a nova resistência equivalente e

assim a tensão e a correte. Veja o desenho como fica .

Req = 12,48 + 10 q = 22,48Ω I =

I =

I = 2,13A então a tensão na carga de 10Ω é V = R x I

V = 10 x 2.13 = 21,3V.

R= 12,48Ω

V = 48v

A

B

R12,48 S R10 V = 48v

8v

R= 12,48Ω

R= 10Ω

A

B

Professor DEODATO

B

Primeiro passo :- Calcular a tensão VAB

Para calcular a tensão – VAB – vamos

calcular a resistência equivalente do

circuito para que, a partir dela,

possamos calcular as ddps

(diferenças de potenciais) às quais estão

submetidas cada uma das resistências.

Veja.:

1- As resistências de 10Ω, 20Ω e 10Ω

estão em série ( a corrente que passa

por uma é a mesma que passa pelas

outras duas). Calculando a resistência

equivalente a essa série temos

Req = 10+20+10 Req = 40Ω

Agora observamos que as duas resistências de

40Ω estão em paralelo fato que nos permite

substituí-las por uma única de 20Ω

No circuito acima temos ( R5 S R20 S R5 ). Essa

associação em série pode ser substituída por

uma resistência que tem seu valor igual à soma

de todas três. Req = 30Ω

R=5Ω

R=5Ω

150V R=20Ω R=30Ω

A

B

B R=5Ω R=10Ω

A

R=30Ω

R=5Ω

R=40Ω

R=10Ω

RL=100Ω 150V R=20Ω

R=5Ω

R=5

Ω

R=40 R=30

Ω

B

A

150V R=40

Ω R=30

Ω

R=30

Ω

B

150

V

A

Professor DEODATO

Como as duas resistências de 30Ω estão em paralelo podemos substituí-las por uma

única de 15Ω, ficando então o circuito com a seguinte aparência.

Agora podemos calcular a corrente que essa

fonte fornece ao circuito .

I =

I =

I = 10A

Voltando ao circuito original, passo a passo,

vamos definindo as correntes que passam em

cada resistor, pois assim, poderemos também

determinar a tensão à que estão submetidos.

Observe que a corrente que passa pelo

resistor de 15Ω é de 10A, mas esse resistor é

resultado de 2 outros de 30Ω que estavam em

paralelo, então a corrente que passará em

cada um será de 5A.

Seguindo com os circuito temos que um dos

resistores de 30Ω é resultado da associação

de 3 resistores em série, logo a corrente de

5A passa por todos os três R5, R20 e R5.

Dando sequencia verificamos que o resistor

de 20Ω é resultado da associação de de dois

resistores de 40Ω que estavam em paralelo .

Vejamos a figura abaixo. Esse fato faz com

que a corrente de 5A que passava pela

resistência de 20Ω na realidade é o resultado

de duas correntes de 2,5A que passam pelas

resistências de 40Ω.

150

V

R=15

Ω

B

A

R=30

Ω

R=30

Ω

B

150

V

A

R=5

Ω

R=5

Ω

R=40 R=3

0Ω

150

V

R=40

Ω

A

B

R=5Ω

R=5Ω

150V R=20Ω R=30Ω

A

B

Professor DEODATO

Na sequência verificamos que o resistor

de 40Ω é resultado de uma associação

em série de 3 resistências, R10, R20 e

R10. Como passa uma corrente de 2,5A

pela resistência de 40Ω então essa

corrente passa pelas 3 resistências em

série que a geraram.

Como a corrente que passa pela resistência de 20Ω é de 2,5A então ela está submetida

a uma tensão de 50 V pois V = R x I ou seja V = 20 x 2,5 = 50V. Pronto

VAB = 50V. V Th = 50V

Agora vamos calcular (Rth) a resistência de Thévenin . Para isso basta curtocircuitar

a fonte e calcular a resistência equivalente para esse novo circuito.

Fazendo o fechamento do curto circuito na fonte, não passará corrente pela resistência

de 30Ω, fato que implicará em R5//R5 que resultará em Req=10Ω.

Redesenhando temos : -

B R=5Ω R=10Ω

A

R=30Ω

R=5Ω

R=40Ω

R=10Ω

RL=100Ω 150V R=20Ω

B R=5

Ω

R=10

Ω

A

R=30

Ω

R=5

Ω

R=40

Ω

R=10

Ω

RL=100

Ω 150

V

R=20

Ω

R=5Ω R=10Ω

R=5Ω

R=40Ω R=20Ω

B

A R=10Ω

Professor DEODATO

TERMINANDO - Para calcularmos a corrente que passa pela carga RL = 100Ω basta

conectarmos a carga aos pontos A e B e calcularmos a nova resistência equivalente e

assim a tensão e a corrente. Veja o desenho como fica

Req = 11,66 + 100

Req = 111,66 I =

I =

I = 0,448 A então a tensão na

carga de 10Ω é V = R x I

V = 100 x 0,448 = 44,8V.

R=20Ω R=28Ω

B

A

R=11,66Ω

B

A

R=20Ω

R=10Ω

R=10Ω R=40Ω

B

A R=10Ω

B

A

R=20Ω

R=10Ω

R=8Ω

R=10Ω

A

B

R= 11,66Ω

R= 100Ω V = 50v

8v

Professor DEODATO

2- Calcule a resistência equivalente e a corrente que a fonte fornece ao circuito.

Observamos que existem dois

circuitos ligados em triângulo.

Para simplificar vou

transformar um deles em

estrela e logo na sequencia

vou fazer a análise das

ligações em série e me

paralelo.

Vamos então calcular o

valor das resistências RA,

RB e RC

R A =

=

= 5Ω

R B =

=

= 2,5Ω

R C =

=

= 5Ω

150V

R=10Ω

R=25Ω

R=20Ω

R=10Ω

R=10Ω

R=27,5Ω

R=20Ω D

B C

A

150V

R=10Ω

R=25Ω

R=20Ω

R=10Ω

R=10Ω

R=27,5Ω

R=20Ω

R=5Ω

D

B C

A

R=10Ω

R=20Ω

R=27,5

Ω

RB=2,5Ω

RA=5Ω

R=10Ω

RC=5Ω

R=25Ω

R=5Ω

R=30Ω R=30Ω

R=20Ω

V=150V

Professor DEODATO

Dando sequencia na construção do circuito equivalente pela redução das associações

de resistências pela sua equivalente. temos :

Então teremos I =

= 3A

3- Calcule o valor do resistor Rx e as correntes que passam em cada resistor,

sabendo que a ponte de Wheatstone está em equilíbrio.

Em primeiro plano vamos nomear as

correntes que passam pelo circuito, e os

pontos onde vamos analisar as ddps.

Como a ponte está em equilíbrio a

tensão no ponto C é a mesma do ponto

B então podemos escrever as

expressões VAC = VAB e VCD = VBD, como

V = R x I então :

VAC = 20 x ( I1 – I2) , VAB= 10 x I2 , VCD= Rx x (I1 – I2) , VBD= 20 x I2

então podemos montar as equações : 1- 20 x ( I1 – I2) = 10 x I2

2- Rx x (I1 – I2) = 20 x I2 Dividindo as

expressões membro a membro temos :

–

– =

simplificando os termos iguais temos

–

– =

Daqui tiramos que Rx =

= 40Ω.

A partir do valor de RX podemos redesenhar esse circuito e calcular as correntes.

Veja o desenho

R=10Ω

R=5Ω

R=50Ω

R=15Ω

R=20Ω

V=150V

V=150V V=150V Req = 50Ω

I1

A

R=10Ω R=20Ω

R=20Ω

R=20Ω

R=10Ω

Rx

100V G

I1- I2

I2

I1- I2

I2

B

D

C

Professor DEODATO

Agora está fácil de perceber as associações dos

resistores (R20 S Rx ), ( R10 S R20 ) então,

calculando as resistências equivalentes a essas

associações temos :-

Req = 60Ω

Req = 30Ω

Agora observamos que temos as seguinte

associações de resistências :- Rx//R30 .

Fazendo a equivalente temos –

Req =

Req = 180 / 90 = 20Ω

Agora está fácil de perceber que a resistência

equivalente a esse circuito é Req = 50Ω pois

todas estão ligadas em série . Assim podemos

calcular a corrente que a fonte fornece ao

circuito é dado por V= R I então temos

I =

= 2 A.

Para calcularmos a corrente que passa em cada um dos resistores devemos encontrar a

tensão sobre o resistor de 20Ω pois é ele que corresponde ao conjunto de resistores que

dividiram a corrente. Com V= R I então V = 2 x 20 logo V = 40Volts. Ess é a

tensão sobre os resistores de 60Ω e 30Ω pois eles estão em paralelo. então calculemos

as correntes I1 =

= 0,67 e I2 =

= 1,33. Observe que a soma das

duas resulta na corrente fornecida pela fonte.

R=10Ω

R=10Ω R=20Ω

R=20Ω

R=20Ω Rx=40Ω

100V

R=10Ω

R=20Ω

R=30Ω Rx=60Ω

100V

R=10Ω

R=20Ω

R=20Ω

Professor DEODATO

4 – Aplicando o teorema da superposição determine as correntes que passam

pelos resistores.

Para resolvermos qualquer problema que envolva o método da superposição devemos

partí-lo, ou seja resolveremos os circuitos independentes criados a partir daquele dado.

Os novos circuitos surgem quando curtocircuitamos as fontes deixando apenas uma no

circuito, tornando assim tudo mais simples. Veja:

Primeiro passo, curto circuito em uma fonte deixando apenas uma, no caso vamos

iniciar fechando o curto na fonte de 100V, então o novo circuito ficará assim:

100V 20V R=20Ω R=60Ω R=40Ω

R=10Ω

R=10Ω

100V 20V R=20Ω R=60Ω R=40Ω

R=10Ω

R=10Ω

curto circuito

na fonte

Professor DEODATO

Assim fica o circuito com a fonte 100V em

curto circuito.

Podemos observar que as seguintes

associações de resistores R10 S R10 ,

resultando em um resistor equivalente de

20Ω.

Continuando a análise vemos R20//R20

resultando em um Resistor equivalente de

10Ω.

Continuando vemos R40//R60 resultando em

um resistor equivalente de 24Ω.

Agora com um circuito muito simples temos

dois resistores em paralelo submetidos a

uma tensão de 20V, assim podemos calcular

as correntes que passam em cada um deles,

bastando aplicar a lei de Ohm. V = R I

IR10 =

= 2A IR24 =

= 0,83 A.

Pronto . agora vamos voltar ao circuito original colocando as correntes em seus

respectivos resistores .

Passo 2 – AGORA FAREMOS O MESMO EXERCÍCIO PORÉM CURTOCIRCUITANTO

A FONTE DE 20V . OBSERVE COM FICA O CIRCUITO.-

OBSERVE – Como a fonte está em paralelo como os resistores de 20, 40, e 60 ohms,

agora com o curto circuito na fonte não teremos corrente passando por nenhuma dessas

resistências pois sabemos que a corrente passará sempre pelo caminho mais fácil.

Assim redesenhando o circuito veja como fica

R=20Ω R=60Ω

R=40Ω

R=10Ω

R=10Ω

R=10Ω

R=20Ω R=20Ω

R=60Ω

R=40Ω V=20v

V=20v

V=20v

R=24Ω

100V 20V R=20Ω R=60Ω R=40Ω

R=10Ω

R=10Ω

2,83A

0,83A

2A

0,5A

2A

0,33A 1A

1A

1A 1A

5A

5A

5A

por aqui

não passa

corrente

fornecida

pela fonte

de 100V

Professor DEODATO

Então agora com um circuito muito simples ,

calculamos as correntes que passam pelos

resistores considerando a fonte de 100V.

I =

= 5A

Voltamos para o circuito original agora

mostrando as correntes originarias de cada

uma das fontes .

O resultado final será a soma das referidas

correntes.

Para facilitar a visão colocaremos setas vermelhas par representar as corretes da fonte

de 100V e azul para as correntes da fonte de 20V.

RESULTADO

100V

R=10Ω

R=10Ω

100V 20V R=20Ω R=60Ω R=40Ω

R=10Ω

R=10Ω

1A

0,83A

0,5A

0,33A

2,83A

5A

5A

5A

1A

100V 20V R=20Ω R=60Ω R=40Ω

R=10Ω

R=10Ω

1A

0,5A

0,33A

4A

2,17A

4A

0,83A 3A

3A 0,83A

1A 2A

5A

Professor DEODATO

Se permanecerem dúvidas entre em contato comigo –

profdeodato@hotmail.com .

Forte e fraternal abraço em todos e todas.