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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
MATEMÁTICA I
Exercícios para as aulas TP
Ficha TP 0
Conteúdos:Generalidades sobre funções reais de variável real.
Questões:
1. Considere os gráficos correspondentes a duas funções reais de variável real:
-5
0
2
-2 2 4 x
y
-1
0
1
2
3
4
5
y
-3 -2 -1 1 2 3 4 x
Indique para cada uma delas:
(a) Domínio e contradomínio;
(b) Zeros e sinal;
(c) Paridade e bijectividade;
(d) Intervalos de monotonia e extremos;
(e) Concavidades e pontos de inflexão;
(f) Se são limitadas;
(g) A expressão analítica de uma função cujo gráfico possa ser o representado.
2. A figura representa o gráfico de uma função real de variável real f :
-1
0
1
2
3
4
5
6
-3 -2 -1 1 2 3 x
y
-1
0
1
2
3
4
5
6
-3 -2 -1 1 2 3 x
y
-1
0
1
2
3
4
5
6
-3 -2 -1 1 2 3 x
y
v1/2016
Indique o valor lógico das seguintes proposições:
(a) f é ímpar;
(b) CDf = R+
0 ;
(c) limx→0f (x) = +∞ e lim
x→−∞f (x) = 0;
(d) f não tem mínimos nem máximos;
(e) f tem a concavidade virada para cima em R−;
(f) f pode ser a função definida por f (x) =
1
x2+ 1 , x �= 0
0 , x = 0.
3. Esboce o gráfico de cada uma das seguintes funções:
(a) f (x) = |x2 − 4| ;
(b) f (x) =
1 + ln x , x > 0
ex , x ≤ 0;
e indique para cada uma:
i. Domínio e contradomínio;
ii. Zeros e sinal;
iii. Paridade e bijectividade;
iv. Monotonia e extremos;
v. Concavidades e pontos de inflexão;
vi. Se são limitadas.
4. Para as funções definidas por f (x) = 1
x2e g (x) =
√x, indique as expressões de f + g, f
g,
f ◦ g, |g|, g−1 e os respectivos domínios.
Fim da Ficha
ii
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
MATEMÁTICA I
Exercícios para as aulas TP
Ficha TP 1
Conteúdos:Introdução ao conceito de limite. Definição de limite segundo Cauchy. Limites laterais.
Questões:
1. Considere a função real de variável real definida por f (x) = x2 + 3.
(a) Represente graficamente a função e indique o valor do seguinte limite
limx→0
�x2 + 3
�;
(b) Escreva e interprete geometricamente a definição segundo Cauchy do limite da alíneaanterior.
2. Seja h a função real de variável real definida por
h (x) =
x , x < 0
x2 , 0 < x ≤ 2
8− x , x > 2
.
Indique, caso existam, os valores dos seguintes limites:
(a) limx→0+
h (x) ;
(b) limx→0−
h (x) ;
(c) limx→0h (x) ;
(d) limx→1h (x) ;
(e) limx→2−
h (x) ;
(f) limx→2+
h (x) ;
(g) limx→2h (x) .
3. Indique o valor de cada um dos limites, escreva e interprete geometricamente a correspon-dente definição segundo Cauchy:
(a) limx→2
1(x−2)2
;
(b) limx→+∞
1x;
(c) limx→−∞
x3.
Fim da Ficha
v1/2016
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
MATEMÁTICA I
Exercícios para as aulas TP
Ficha TP 2
Conteúdos:Propriedades dos limites. Indeterminações. Teorema do Encaixe.
Questões:
1. Calcule, caso exista, cada um dos seguintes limites:
(a) limx→1
(3x3 − 2x2 + 4) ;
(b) limx→−3
2x+2;
(c) limx→3
√x+ 1;
(d) limx→π
cos (3x) .
2. Mostre, recorrendo ao teorema do encaixe, que limx→0
senxx= 1.
3. Calcule, caso exista, cada um dos seguintes limites:
(a) limx→2−
x+3x−2 ;
(b) limx→1
x2−xx2−1 ;
(c) limx→+∞
x2+3xx2−1 ;
(d) limx→0
sen(5x)x;
(e) limx→+∞
ex
x10;
(f) limx→+∞
ln(x)√x;
(g) limx→0
e2x−15x;
(h) limx→0
ln(3x+1)4x
;
(i) limx→+∞
cos(x)x.
Fim da Ficha
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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
MATEMÁTICA I
Exercícios para as aulas TP
Ficha TP 3
Conteúdos:Continuidade e prolongamento por continuidade. Teoremas de Bolzano e de Weierstrass.
Questões:
1. Considere a função real de variável real definida por
f (x) =
ex , x < 0−x2 + 1 , 0 < x < 22 , x ≥ 2
.
(a) Determine o domínio de f .
(b) Estude f quanto à continuidade em todos os pontos do seu domínio.
(c) Determine, se possível, o prolongamento por continuidade da função f ao ponto deabcissa x = 0.
2. Considere a função real de variável real definida por
f (x) =
x+ 2a , x ≤ 2
ex−1
−e
x−2, x > 2
, a ∈ R.
(a) Determine o valor de a de forma a que f seja contínua em x = 2.
(b) Considere a = 0.
i. Mostre que, apesar de se ter f (−2) × f (4) < 0, não se pode aplicar o Coroláriodo Teorema de Bolzano no intervalo [−2, 4] .
ii. Prove que a restrição de f ao intervalo [−2, 1] tem nesse intervalo um máximo eum mínimo. Calcule-os.
iii. Prove que a restrição de f ao intervalo [3, 10] tem nesse intervalo um máximo e ummínimo.
3. Considere a função real de variável real definida por f (x) = 6x5 + 13x + 1. Mostre que ftem pelo menos um zero.
4. Prove que existe algum ângulo no intervalo�−π
2, π2
�para o qual o valor do seno é o dobro
do valor do coseno.
Fim da Ficha
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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
MATEMÁTICA I
Exercícios para as aulas TP
Ficha TP 4
Conteúdos:Funções trigonométricas inversas.
Questões:
1. Considere a função real de variável real definida por
f (x) = π + 2arccos�x2− 1�.
(a) Determine o domínio e o contradomínio de f .
(b) Caracterize a função inversa de f.
(c) Determine, caso existam, as soluções das seguintes equações:
i. f (x) = π
4;
ii. f (x) = 5π
2.
2. Considerando a restrição principal do seno, caracterize a função inversa da função definidapor
f (x) = 2− sen�π3+ x
�.
3. Calcule
limx→0
arctg x
x.
Fim da Ficha
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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
MATEMÁTICA I
Exercícios para as aulas TP
Ficha TP 5
Conteúdos:Derivada, recta tangente e taxa de variação instantânea.
Questões:
1. Considere a função real de variável real definida por f(x) = e2x−1. Calcule f ′(2), utilizandoa definição de derivada.
2. Considere a função real de variável real definida por f(x) =√x+ 1.
(a) Calcule f ′(x), utilizando a definição de derivada.
(b) Utilizando a alínea anterior, determine as equações da recta tangente e da recta normalao gráfico da função f no ponto de abcissa x = 8.
3. Considere a função real de variável real definida por f(x) = 1
x.
(a) Calcule f ′(x), utilizando a definição de derivada.
(b) Mostre que o triângulo que é formado por qualquer recta tangente à curva de equação
y =1
x, x > 0,
e os eixos coordenados tem uma área de 2 unidades.
4. A altura, em metros, de uma árvore, t anos após o momento em que foi plantada, é dadapor
h (t) =6t+ 1
t+ 2.
(a) Com que altura a árvore foi plantada?
(b) Determine a taxa média de crescimento da árvore, durante os dois primeiros anos apósa sua plantação.
(c) Diga qual o significado do seguinte limite e calcule-o:
limt→
3
2
h(t)− h�3
2
�
t− 3
2
.
(d) Quanto tempo decorreu entre o instante da plantação e o instante em que a altura daárvore atingiu 5.2 metros ?
Fim da Ficha
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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
MATEMÁTICA I
Exercícios para as aulas TP
Ficha TP 6
Conteúdos:Regras de derivação e diferenciabilidade.
Questões:
1. Considere a função real de variável real f definida por
f(x) =
x2 , se x ≤ 1
√x , se x > 1
.
Verifique se f é diferenciável em x = 1.
2. Estude a diferenciabilidade da função real de variável real definida por f(x) = 5√x2.
3. Considere a função real de variável real f definida por
f(x) =
3x2 , se x ≤ 1
ax+ b , se x > 1, com a e b constantes reais.
(a) Determine os valores de a e b de modo a que f seja diferenciável em x = 1.
(b) Considerando a = 3 e b = 2, indique a expressão de f′
(x).
4. Justifique a diferenciabilidade das seguintes funções e calcule as suas derivadas recorrendoàs regras de derivação:
(a) f (x) = 8
x2+4;
(b) f (x) = sen x cosx;
(c) f (x) = lnx
x;
(d) f (x) = ex−1
ex+x3.
5. Verifique a existência da recta tangente e da recta normal ao gráfico da função f do exercício4 a) no ponto (2, 1) . Determine uma equação de cada uma dessas rectas.
Fim da Ficha
v1/2016
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
MATEMÁTICA I
Exercícios para as aulas TP
Ficha TP 7
Conteúdos:Derivação da função composta e derivação da função inversa. Regras de derivação de funçõescompostas.
Questões:
1. Recorrendo ao teorema da derivada da função composta, justifique que a funçãoh(x) = ln (2x) é diferenciável e calcule a sua derivada.
2. Justifique a diferenciabilidade das seguintes funções e calcule as suas derivadas:
(a) f (x) = 15√2x+5
;
(b) f (x) = cos2 (3x) .
3. Recorrendo ao teorema da derivada da função inversa, justifique que a funçãoarcsen (x) é diferenciável em ]−1, 1[ e que a sua derivada é dada por 1√
1−x2.
4. Justifique a diferenciabilidade das seguintes funções e calcule as suas derivadas:
(a) f(x) = arccos(2x2);
(b) f(x) = x2 arctg�x
3
�;
(c) f(x) = ln (arcsen(3x)) .
Fim da Ficha
v1/2016
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
MATEMÁTICA I
Exercícios para as aulas TP
Ficha TP 8
Conteúdos:Diferencial e aproximações.
Questões:
1. Utilize o diferencial para fazer uma estimativa da variação em f(x) =5√x2 se:
(a) x varia de 32 para 34;
(b) x varia de 1 para 9
10.
2. Seja f a função real de variável real definida por f(x) =√1− x.
(a) Determine a aproximação linear da função f em torno de 0 e utilize-a para calcularuma aproximação do número
√0.9.
(b) Ilustre o resultado anterior esboçando o gráfico de f e o da recta tangente.
3. O resultado da medição do comprimento do lado de um quadrado foi 12 cm, com um erromáximo de 1
64cm. Estime o possível erro propagado no cálculo da área do quadrado.
Fim da Ficha
v1/2016
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
MATEMÁTICA I
Exercícios para as aulas TP
Ficha TP 9
Conteúdos:Teoremas de Rolle e de Lagrange. Regra de Cauchy e indeterminações.
Questões:
1. A altura de uma bola t segundos após ter sido lançada verticalmente de baixo para cima deuma altura de 32m, com velocidade inicial de 48 m/s, é
f(t) = −16t2 + 48t+ 32.
(a) Verifique que f(1) = f(2);
(b) Tendo em conta o Teorema de Rolle, o que pode afirmar sobre a velocidade em alguminstante do intervalo [1, 2]? Determine esse instante.
2. Mostre que a equação 6x5 + 13x+ 1 = 0 tem exactamente uma solução real.
3. A função f(x) = 3
�(x− 2)2 assume valores iguais nos extremos do intervalo [0, 4] . Para esta
função, o teorema de Rolle é válido no intervalo indicado?
4. Verifique a validade das condições do teorema de Lagrange para a função f(x) = x− x3 nointervalo [−2, 1] e determine o valor médio correspondente.
5. Um avião iniciou uma viagem de 2500 milhas às 14h e chegou ao seu destino às 19h 30m.Mostre que existem pelo menos dois instantes durante o voo em que a velocidade do aviãofoi de 400 milhas por hora.
6. Calcule os seguintes limites:
(a) limx→1
�lnxx2−1
�;
(b) limx→0
x−senxx+senx
;
(c) limx→+∞
x−senxx+senx
;
(d) limx→0
(cos 2x)3/x2
;
(e) limx→0
x2 sen 1
x
senx.
Fim da Ficha
v1/2016
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
MATEMÁTICA I
Exercícios para as aulas TP
Ficha TP 10
Conteúdos:Polinómio e fórmula de Taylor e de Mac-Laurin. Resto de Lagrange.
Questões:
1. Determine o polinómio de Taylor de ordem 2, em potências de (x − π), da função definidapor
f(x) = ex sen x.
2. Utilize o polinómio de Mac-Laurin de ordem 2 para calcular um valor aproximado de:
(a)√e;
(b) sen (0.3).
3. Considere a função real de variável real definida por
f(x) = ln(1 + x).
(a) Escreva a fórmula de Mac-Laurin da função f com resto de Lagrange de ordem 1.
(b) Escreva a fórmula de Mac-Laurin da função f com resto de Lagrange de ordem 2.
(c) Prove que
x− x2
2≤ ln(1 + x) ≤ x, ∀x ≥ 0.
Fim da Ficha
v1/2016
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
MATEMÁTICA I
Exercícios para as aulas TP
Ficha TP 11
Conteúdos:Extremos e estudo de funções. Optimização.
Questões:
1. Determine os extremos da função f(x) = x6 + x4.
2. Considere a função real de variável real definida por
f(x) =ln x
x.
(a) Determine o domínio de f e os seus zeros.
(b) Estude f quanto à continuidade no seu domínio.
(c) Determine os extremos relativos de f e os intervalos de monotonia.
(d) Determine os pontos de inflexão do gráfico de f e o sentido das concavidades.
(e) Determine as assímptotas de f.
3. Uma folha rectangular com perímetro igual a 36 cm vai ser enrolada para formar um cilindro.Quais as dimensões da folha para que o volume do cilindro seja máximo?
Fim da Ficha
v1/2016
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
MATEMÁTICA I
Exercícios para as aulas TP
Ficha TP 12
Conteúdos:Primitivas.
Questões:
1. Calcule uma primitiva das seguintes funções:
(a) 3;
(b) 4x3;
(c) cos(x+ π).
2. Diga, justificando, se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
(a) As funções F (x) = 1 + arctg x e G (x) = arctg x são ambas primitivas da funçãom (x) = 1
1+x2;
(b) P��√
3− 2x�′�=√3− 2x;
(c)�P�√3− 2x
��′=√3− 2x.
3. Determine as seguintes primitivas:
(a) P�
3√x2 + e2x
�;
(b) P [(1− x) (1 + x)];(c) P
�√4− 3x
�;
(d) P�
x3√1+x2
�;
(e) P�
11+4x2
+ x
1+x2
�;
(f) P�3x− 1√
1−3x2
�;
(g) P (cosx sen x);
(h) P�sen(lnx)
x
�;
(i) P (sen2(x));
(j) P (sen3(5x)).
4. Um carro move-se em linha recta e a sua aceleração é dada por a (t) = 3 + 2t ms−2 (mrepresenta metros e s segundos). Sabendo que o carro partiu da origem e que a sua velocidadepassado um segundo era de v (1) = 6 ms−1, determine qual a posição do carro passado 3segundos.
Fim da Ficha
v1/2016
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
MATEMÁTICA I
Exercícios para as aulas TP
Ficha TP 13
Conteúdos:Métodos de primitivação: primitivas por partes, substituição e primitivação de funções racionais.
Questões:
1. Calcule as seguintes primitivas:
(a) P (xex);
(b) P (ln x);
(c) P (x2 cos (x));
(d) P (x arctg x);
(e) P (ex sen x) .
2. Calcule as seguintes primitivas:
(a) P�ex+e2x
1+e2x
�;
(b) P� √
x√x+1
�;
(c) P�√
x+ 3√x
6√x
�;;
(d) P�
x√x−1
�;
(e) P�√1− x2
�;
(f) P�
x2
√4−x2
�.
3. Calcule as seguintes primitivas:
(a) P�
1+xx(x−1)2
�;
(b) P�1+xx3+x
�;
(c) P�x4−2x2
x3+x2−2
�.
Fim da Ficha
v2/2016
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
MATEMÁTICA I
Exercícios para as aulas TP
Ficha TP 14
Conteúdos:Introdução ao cálculo integral em R. Propriedades gerais. Teorema da Média.
Questões:
1. Sem calcular o integral, mostre que 0 ≤
5�
1
ln xdx ≤ 4 ln 5.
2. Sem calcular o integral, determine o sinal do integral
π
2�
−π
3
x sen xdx.
3. Considere a função definida porf(x) = 2x+ 5.
(a) Esboce uma região cuja área seja dada pelo integral
1�
−1
(2x+5)dx e calcule o seu valor.
(b) Determine o valor médio da função f no intervalo [−1, 1] .
(c) Determine, se possível, o ponto do intervalo onde a função atinge o seu valor médio.
4. Determine, se possível, os pontos do intervalo [0, 2] onde a função
f(x) =
1 , x < 1
4− x , x ≥ 1
atinge o seu valor médio.
5. Considere a função g definida por:
g(x) =
1 + e2x−2 , x ≤ 1
2
1+lnx, x > 1
Justifique que existe um ponto no intervalo [−1, 3] onde a função atinge o seu valor médio.
Fim da Ficha
v01/2016
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
MATEMÁTICA I
Exercícios para as aulas TP
Ficha TP 15
Conteúdos:Integral indefinido. Teorema Fundamental do Cálculo Integral e Fórmula de Barrow.
Questões:
1. Calcule os seguintes integrais:
(a)
2�
0
(x+ 1)3dx;
(b)
2�
0
|2x− 3| dx;
(c)
ln 3�
− ln 3
ex
ex+4dx.
2. Considere a função definida por F (x) =
x�
0
f(t)dt , com f(x) = 2x+ 1.
(a) Determine a expressão da função F (x) e, para x > 0, interprete-a geometricamente.
(b) Comprove que F ′(x) = f(x), para qualquer x ∈ R.
3. Seja f a função definida por
f(x) =
x3 , se − 1 ≤ x ≤ 0
ex − 1 , se 0 < x ≤ ln 2.
Determine a expressão de F (x) =
x�
−1
f(t)dt.
4. Calcule, justificando, as derivadas das funções definidas por:
(a)
2x2�
1
1
1+t4dt;
(b)
4x�
e2x
cos(t3)dt.
Fim da Ficha
v1/2016
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
MATEMÁTICA I
Exercícios para as aulas TP
Ficha TP 16
Conteúdos:Integração por partes e por substituição.
Questões:
1. Calcule os seguintes integrais:
(a)
1�
−1
x2
(1+x2)2dx;
(b)
2�
1
ln (x2 + 1) dx;
(c)
3�
−3
√9− x2dx;
(d)
2�
1
1x+ 3
√xdx.
2. Seja f uma função contínua no intervalo [−a, a].
(a) Mostre que
0�
−a
f(x)dx =
a�
0
f(−x)dx;
(b) Conclua que:
i. Se f é uma função ímpar, então
a�
−a
f(x)dx = 0;
ii. Se f é uma função par, então
a�
−a
f(x)dx = 2
a�
0
f(x)dx.
Fim da Ficha
v1/2016
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
MATEMÁTICA I
Exercícios para as aulas TP
Ficha TP 17
Conteúdos:Cálculo de áreas, volumes e de comprimentos de linha.
Questões:
1. Calcule a área das seguintes regiões do plano:
(a) região limitada pelas curvas y = 1
x, x = 0, y = 1 e y = e;
(b) região definida pelas condições y ≥ x2 − π2
4, y ≤ cosx e x ≥ 0.
2. Calcule o volume do sólido obtido pela revolução da região do plano limitada pelas seguintescurvas:
y = x2 e y = x3,
(a) em torno do eixo dos xx;
(b) em torno do eixo dos yy.
3. Seja V o volume do sólido obtido pela revolução em torno do eixo dos xx da região do planolimitada pelas curvas
y =1
x, y = 0, x = 2, x = b, onde 0 < b < 2.
Determine para que valor b o volume do sólido é igual a 3.
4. Calcule o comprimento da curva y = x3
6+ 1
2xentre os pontos de abcissas x = 1
2e x = 2.
Fim da Ficha
v1/2016
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
MATEMÁTICA I
Exercícios para as aulas TP
Ficha TP 18
Conteúdos:Integrais impróprios.
Questões:
1. Calcule os seguintes integrais impróprios:
(a)
+∞�
0
4
3+x2dx;
(b)
8�
0
13√8−xdx;
(c)
+∞�
0
e
√x
√xdx.
2. Considere a função f definida por f (x) = 1
x.
(a) Determine a área da região plana entre a curva y = f (x) e o eixo dos xx, considerandox ≥ 1.
(b) Calcule o volume do sólido obtido pela revolução em torno do eixo dos xx da regiãoplana da alínea anterior.
Fim da Ficha
v1/2016
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