Experimentos em parcelas subdivididas LCE 0602 – Estatística Experimental

Experimentos em parcelas

subdivididasLCE 0602 – Estatística Experimental

Características• São estudados dois ou mais fatores

simultaneamente.• Esses fatores são chamados primários e secundários.• Fatores primários são aleatorizados nas parcelas e os secundários nas sub parcelas.

Resumo: No delineamento em parcelas subdivididas, as parcelas experimentais são divididas em sub parcelas. Os níveis de um fator, por exemplo, A, são casualizados nas parcelas e, posteriormente, os de outro fator, por exemplo, B, são casualizados nas sub parcelas.

Aplicações

a) quando os níveis de um fator exigem grandes quantidades do material experimental (por exemplo, métodos de preparo do solo);

b) quando informações prévias asseguram que as diferenças entre os níveis de um dos fatores são maiores do que às do outro fator;

c) quando se deseja maior precisão para comparações entre níveis de um dos fatores;

d) quando existe um fator de maior importância e outro de importância secundária, sendo que este é incluído para aumentar a extensão dos resultados e

e) nas situações práticas onde é difícil a instalação do experimento no esquema fatorial.

Modelo estatístico

= observação no j-ésimo bloco, do i-ésimo nível do fator A e k-ésimo nível do fator B; = média geral;i = efeito devido ao i-ésimo nível do fator A; = efeito devido ao j-ésimo bloco; = erro associado à parcela (ij);k = efeito devido ao k-ésimo nível do fator B;()ik = efeito da interação entre os fatores A e B; = erro associado à sub parcela (ijk).

ijkikkijjijik eeby )(

Análise de variânciaInteiramente Casualizado Blocos Casualizados Quadrado Latino

F.V. G.L. F.V. G.L. F.V. G.L.

Fator A I-1 Blocos J-1 Linhas I-1

Resíduo(a) I(J-1) Fator A I-1 Colunas I-1

Parcelas IJ-1 Resíduo(a) (I-1)(J-1) Fator A I-1

Fator B K-1 Parcelas IJ-1 Resíduo(a) (I-1)(I-2)

AxB (I-1)(K-1) Fator B K-1 Parcelas I2 –1

Resíduo(b) I(J-1)(K-1) AxB (I-1)(K-1) Fator B K-1

Total IJK-1 Resíduo(b) I(J-1)(K-1) AxB (I-1)(K-1)

Total IJK-1 Resíduo(b) I(I-1)(K-1)

Total I2K –1

Exemplo

Um pesquisador, com o objetivo de verificar o efeito da dose de adubação fosfatada e seu tipo de aplicação na produtividade da cultura do milho (kg/ha), instalou um experimento em que cada uma das doses de adubação fosfatada (0, 40, 80 e 120 kg/ha) foram aleatorizadas nas parcelas, segundo um delineamento casualizado em blocos (4 blocos), e o tipo de aplicação (Cova, Sulco e Lanço) constituiu o tratamento das sub parcelas.

Parcelas subdivididas vs fatorial

Fatores: Doses (0, 40, 80 e 120 kg/ha) e Tipo de aplicação (Cova, Sulco e Lanço) I=4 e K=3.Tratamentos (IK=12): 0-Cova, 0-Sulco, 0-Lanço, 40-Cova, ..., 120-Lanço.Aleatorização:

Fatorial

T9 T4 T7 T3 T11 T5 T10 T8 T1 T6 T2 T12Bloco 1

Bloco 2

Bloco 3

Bloco 4

Parcelas subdivididas vs fatorial

Análise de variância:

Fatorial

F.V. G.L.

Blocos 4-1 = 3

Doses 4-1 = 3

Aplicação 3-1 = 2

Doses x Aplic. (4-1)(3-1) = 6

Resíduo 47 - 14 = 33

Total 48-1 = 47

Parcelas subdivididas vs fatorial

Fatores: Doses (0, 40, 80 e 120 kg/ha) e Tipo de aplicação (Cova, Sulco e Lanço) I=4 e K=3.Tratamentos (IK=12): 0-Cova, 0-Sulco, 0-Lanço, 40-Cova, ..., 120-Lanço.Aleatorização em duas etapas:

Parcelas subdividias

Bloco 1

Bloco 2

Bloco 3

Bloco 4

0 4080 120cova lanço sulco sulco lanço covacovasulco lanço lanço sulco cova

Parcelas subdivididas vs fatorial

Análise de variância:F.V. G.L.

Blocos 4-1 = 3

Doses 4-1 = 3

Resíduo(a) (4-1)(4-1) = 9

Parcelas 16-1=15

Aplicação 3-1 = 2

Doses x Aplic. (4-1)(3-1) = 6

Resíduo(b) 4(4-1)(3-1) = 24

Total (4x4x3)-1 = 47

Parcelas subdividias

Como estudar Fatores com níveis quantitativos

Fatores Qualitativos Fatores QuantitativosCultivares de milho (A, B, C e D) Idades de Corte de Gramíneas

(30, 60 e 90 dias)

Rações (Comum e Premium) Níveis de Estradiol na Ração (0, 20, 40, 60 e 80 mg)

Raças (R1, R2,....) Temperaturas (170C, 220C e 250C )

Sexo (Macho e Fêmea) Níveis de Energia (2800, 3000, 3200 e 3400 Kcal/kg)

Irrigação (Presença e Ausência) Doses de Adubo(10, 20, 30, 40 e 50 kg/ha)

Adubação (Orgânica, Química, Testemunha)

Porcentagem de proteína(16, 18, 20 e 22%)

TCM Regressão

Ajuste de polinômios ortogonais para fatores quantitativos

20 30 40 50 60 70 80 90 1005

7

9

11

13

15

17

19

21f(x) = − 0.00722222222222223 x² + 0.983333333333334 x − 13

Valor observadoValor estimado

Idade de Corte (dias)

Variá

vel r

espo

sta

Ajuste de polinômios ortogonais para fatores quantitativos

Y=a + bx Modelo Linear (1º grau): reta

Y=a + bx + cx2 Modelo Quadrático (2º grau): parábola

Y=a + bx + cx2 + dx3 Modelo Cúbico (3º grau)

O número de modelos possíveis de serem ajustados depende do número de níveis do

fator em estudo

Ajuste de polinômios ortogonais para fatores quantitativos

Fator A: 2 níveis (gl=1) Modelo linear ou regressão linear (1º grau)

Fator A: 3 níveis (gl=2) Modelo linear ou regressão linear (1º grau)Modelo quadrático ou regressão quadrática (2º grau)

Fator A: 4 níveis (gl=3) Modelo linear ou regressão linear (1ºgrau)Modelo quadrático ou regressão quadrática (2º grau)Modelo cúbico ou regressão cúbica (3º grau)

Ajuste de polinômios ortogonais para fatores quantitativos

Nº TratGrau do

polin.

Totais de Tratamentos

K MT1 T2 T3 T4 T5 T6

2 1 -1 1 - - - - 2 1

312

-11

0-2

11

--

--

--

26

13

4123

-31-1

-1-13

1-1-3

311

---

---

20420

21

10/3

5

1234

-22-11

-1-12-4

0-206

1-1-2-4

2211

----

10141070

11

5/635/12

6

12345

-55-51-1

-3-17-35

-1-442

-10

1-4-4210

3-1-7-3-5

55511

7084

18028

252

23/25/3

7/1221/10

Ajuste de polinômios ortogonais para fatores quantitativos

Fonte de Variação Graus de Liberdade Soma de Quadrado

Doses 3 SQDose

Erro 12 SQErro

Total 15 SQTotal

DIC (4 repetições), Fator: Dose, Níveis: 0, 10, 20, 30.

Fonte de Variação Graus de Liberdade Soma de Quadrado

Doses 3 SQDose

Regressão Linear 1 SQLinear

Regressão Quadrática 1 SQQuadrática

Regressão Cúbica 1 SQCúbica

Erro 12 SQErro

Total 15 SQTotal

Ajuste de polinômios ortogonais para fatores quantitativos

Qual modelo? Linear, quadrático ou cúbico?

Fonte de VariaçãoGraus de Liberdade Soma de Quadrado

Doses 3 SQDose

Regressão Linear 1 SQLinear

Regressão Quadrática 1 SQQuadrática

Regressão Cúbica 1 SQCúbica

Erro 12 SQErro

Total 15 SQTotal

Escolha: fonte de variação (regressão) de maior grau que seja significativa

(significativa)

Modelo Linear: Y=a + bx

(significativa)

Modelo Quadrático: Y=a + bx + cx2

Ajuste de polinômios ortogonais para fatores quantitativos

Qual modelo? Linear, quadrático ou cúbico?

Fonte de VariaçãoGraus de Liberdade Soma de Quadrado

Doses 3 SQDose

Regressão Linear 1 SQLinear

Regressão Quadrática 1 SQQuadrática

Regressão Cúbica 1 SQCúbica

Erro 12 SQErro

Total 15 SQTotal

Escolha: fonte de variação (regressão) de maior grau que seja significativa

(significativa)

Modelo Linear: Y=a + bx

(significativa)

Modelo Quadrático: Y=a + bx + cx2

Ajuste de polinômios ortogonais para fatores quantitativos

Qual modelo? Linear, quadrático ou cúbico?

Fonte de VariaçãoGraus de Liberdade Soma de Quadrado

Doses 3 SQDose

Regressão Linear 1 SQLinear

Regressão Quadrática 1 SQQuadrática

Regressão Cúbica 1 SQCúbica

Erro 12 SQErro

Total 15 SQTotal

Escolha: fonte de variação (regressão) de maior grau que seja significativa

(significativa)

(significativa)

(significativa)

Modelo Cúbico: Y=a + bx + cx2 + dx3

Ajuste de polinômios ortogonais para fatores quantitativos

Qual modelo? Linear, quadrático ou cúbico?

Fonte de VariaçãoGraus de Liberdade Soma de Quadrado

Doses 3 SQDose

Regressão Linear 1 SQLinear

Regressão Quadrática 1 SQQuadrática

Regressão Cúbica 1 SQCúbica

Erro 12 SQErro

Total 15 SQTotal

Escolha: fonte de variação (regressão) de maior grau que seja significativa

(significativa)

(significativa)

Nº TratGrau do

polin.

Totais de Tratamentos

K MT1 T2 T3 T4 T5 T6

2 1 -1 1 - - - - 2 1

312

-11

0-2

11

--

--

--

26

13

4123

-31-1

-1-13

1-1-3

311

---

---

20420

21

10/3

5

1234

-22-11

-1-12-4

0-206

1-1-2-4

2211

----

10141070

11

5/635/12

6

12345

-55-51-1

-3-17-35

-1-442

-10

1-4-4210

3-1-7-3-5

55511

7084

18028

252

23/25/3

7/1221/10

Ajuste de polinômios ortogonais para fatores quantitativos

Ajuste de polinômios ortogonais para fatores quantitativos

Como calcular as somas de quadrados das regressões?

1º Passo: Montar um quadro auxiliar

Totais de Tratamentos

Coeficientes

Linear (C1) Quadrática (C2) Cúbica (C3)

T1 = 46,4 (4) -3 1 -1

T2 = 139,0 (4) -1 -1 3

T3 = 156,4 (4) 1 -1 -3

T4 = 140,0 (4) 3 1 1

K 20 4 20

M 2 1 10/3

298,2 -109,0 41,4

Ajuste de polinômios ortogonais para fatores quantitativos

Como calcular as somas de quadrados das regressões?

2º Passo: Cálculo das Somas de Quadrados (SQRegressão)

Ajuste de polinômios ortogonais para fatores quantitativos

Como montar a equação de regressão (feito manualmente)?

Modelo Linear: Y=a + bx

Y= Y + B1M1P1

Modelo Quadrático: Y=a + bx + cx2

Y= Y + B1M1P1 + B2M2P2

Modelo Cúbico: Y=a + bx + cx2 + dx3

Y= Y + B1M1P1 + B2M2P2+ B3M3P3

Ajuste de polinômios ortogonais para fatores quantitativos

Como montar a equação de regressão (feito manualmente)?

Modelo Linear: Y=a + bx

Y= Y + B1M1P1

Cuidado! É muito parecido com a SQRegressão

Valor da tabela de coeficientes

é a média dos níveis dos tratamentos (0+10+20+30)/4 = 15

q é o espaçamento entre os níveis de tratamentos (q=10)

Ajuste de polinômios ortogonais para fatores quantitativos

Como montar a equação de regressão (feito manualmente)?

Modelo Quadrático: Y=a + bx + cx2

Y= Y + B1M1P1 + B2M2P2

n é o número de níveis do fator

Nos softwares SAS e R os coeficientes dos modelos de regressão (a, b, c, ....) são obtidos diretamente.