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Extrapolação de Richardson

Apesar de todos os avisos em relação à

extrapolação , aqui temos uma excepção,

em que, a partir de duas determinações

de um integral se calcula uma terceira,

mais precisa.

2013/05/14 MN 1

Extrapolação de Richardson

é a expressão geral do valor de um integral

calculado pela regra do trapézio, com um

intervalo de amplitude h.

Para duas aproximações diferentes temos

2013/05/14 MN 2

)()( hEhII

)()()()( 2211 hEhIhEhI

Extrapolação de Richardson

Como o erro da regra do trapézio composta

é

Se f’’ for constante, independente da

dimensão de h

o que nos “livra” de f’’

2013/05/14 MN 3

''2

12fh

abE

2

2

1

2

1

)(

)(

h

h

hE

hE

Extrapolação de Richardson

2013/05/14 MN 4

2

21

212

22

2

2

121

2211

2

2

121

)/(1

)()()(

)()()()(

dá )()()()(

com )()(

hh

hIhIhE

hEhIh

hhEhI

hEhIhEhI

h

hhEhE

Extrapolação de Richardson

2013/05/14 MN 5

)(3

1)(

3

4

2/hh Se ordem. quarta

de uma se-obtem e )O(h de esaproximaçõ duas se-Combinam

).O(h é erro o que se-mostra

)]()([1)/(

1)(

vem

)()()()(

em doSubstituin

12

12

2

4

122

21

2

2211

hIhII

hIhIhh

hII

hEhIhEhI

Extrapolação de Richardson

Exemplo

Cálculo do integral de

Regra do trapézio

2013/05/14 MN 6

1,640533I analítico Resultado

0,8 xe 0 xentre

400900675200252,0)( 5432

xxxxxxf

Intervalos h Integral Erro

relativo

1 0,8 0,1728 89,5%

2 0,4 1,0688 34,9%

4 0,2 1,4848 9,5%

Extrapolação de Richardson

Se usarmos um e dois intervalos

Se usarmos dois e quatro

!!!

2013/05/14 MN 7

%6,16

367467,11728,03

10688,1

3

4

Erro

I

%1

623467,10688,13

14848,1

3

4

Erro

I

Extrapolação de Richardson

Combinámos três valores O(h2) para obter

dois valores O(h4). Podemos combinar

dois O(h4) para obter um O(h6) com a

expressão

2013/05/14 MN 8

lm III15

1

15

16

menor precisão

maior precisão

Extrapolação de Richardson

Dois O(h6) podem ser combinados para

obter O(h8)

Empregando as duas últimas aproximações

do exemplo

2013/05/14 MN 9

lm III63

1

63

64

EXACTO VALOR %0

640533,1367467,115

1623467,1

15

16

Erro

I

Integração de Romberg

A expressão geral dos I anteriores pode ser

escrita

em que, como vimos à aproximação

realizada com menor intervalo

corresponde o menor peso.

2013/05/14 MN 10

I j,k 4k1 I j1,k1 I j,k1

4k1 1

Integração de Romberg

Ij+1,k-1 integral mais preciso

Ij,k-1 integral menos preciso

Ij,k novo valor de integral

k nível de integração

j nível de precisão

2013/05/14 MN 11

I j,k 4k1 I j1,k1 I j,k1

4k1 1

Integração de Romberg

Algoritmo

2013/05/14 MN 12

Integração de Romberg

Controle do erro

como não sabemos o valor exacto (o que

acontecia no exemplo) usamos o critério

da progressão, à semelhança de outros

procedimentos.

2013/05/14 MN 13

%100,1

1,2,1

k

kk

I

II

Integração de Romberg

Este método é muito eficaz, no exemplo

dado necessitamos de 15 cálculos da

função dada. Se usarmos a regra do 1/3

de Simpson necessitamos de 48 cálculos

da mesma função.

2013/05/14 MN 14

Integração de Romberg

2013/05/14 MN 15

Integração de Romberg

2013/05/14 MN 16

Quadratura de Gauss

Nas regras estudadas anteriormente

consideramos sempre pontos igualmente

espaçados.

Como se pode ver na figura seguinte, pode

melhorar-se o resultado de uma regra,

neste caso a do trapézio, se escolhermos

os pontos utilizados em vez de usarmos

sempre as extremidades do intervalo.

2013/05/14 MN 17

Quadratura de Gauss

2013/05/14 MN 18

Melhor compensação entre

os valores positivos e

negativos

Quadratura de Gauss

Da figura resulta que o emprego da

expressão

pode conduzir a um erro muito grande. Se

pudermos “andar” com os pontos até

conseguirmos diminuir o erro melhoramos

significativamente o resultado.

2013/05/14 MN 19

2

bfafabI

Quadratura de Gauss

A expressão usada foi obtida pela

interpolação linear, e cálculo de áreas.

Vamos aplicar a variação de coeficientes

para chegarmos às expressões de Gauss

ou Gauss-Legendre.

2013/05/14 MN 20

Quadratura de Gauss

Consideremos os dois exemplos seguintes:

2013/05/14 MN 21

1

2

Quadratura de Gauss

Nos exemplos 1 e 2, considerando que

onde os c são constantes e que as funções

são y=1 e y=x podemos escrever

2013/05/14 MN 22

)()( 10 bfcafcI

2/)(

2/)(00

2/)(

2/)(10

22

1

ab

ab

ab

ab

xdxab

cab

c

dxcc

Quadratura de Gauss

Calculando

2013/05/14 MN 23

)(2

)(2

I

logo

sistema o Resolvendo

022

10

00

10

bfab

afab

abcc

abc

abc

abcc

Regra do trapézio

Quadratura de Gauss

Se tivermos um caso

idêntico, mas com uma

curva, diremos que os

pontos x0 e x1 são

incógnitas. A equação

ajusta o integral de uma

constante e de uma recta,

e acrescentamos o ajuste

de y=x2 e de y=x3 para

obter mais duas condições

2013/05/14 MN 24

)()( 10 bfcafcI

Quadratura de Gauss

...5773,03

1

...5773,03

1

(3) em dosubstituin c c dá)2(

que vezuma

(4)] em (2) de [c dá que o

(4) 0

(3) 3

2

(2) 0

(1) 21

1

0

21

1010

2

1

2

0

1

1

1

33

11

3

00

1

1

22

11

2

00

1

1

1100

1

1

10

x

x

xxxxxx

dxxxcxc

dxxxcxc

xdxxcxc

dxcc

2013/05/14 MN 25

Quadratura de Gauss

Concluímos que a fórmula de dois pontos

de Gauss-Legendre é

ou seja, basta calcular a função em dois

pontos para se calcular um integral

equivalente à terceira ordem.

2013/05/14 MN 26

3

1

3

1ffI

Quadratura de Gauss

Nota importante Os limites de integração

adoptados foram -1 e 1, pelo que será, em

geral, necessário fazer uma mudança de

variável.

2013/05/14 MN 27

)1(

1 e superior limite No

)1(

1 e inferior limite No

21

21

21

aab

xbx

aaa

xax

xaax

d

d

d

Quadratura de Gauss

d

d

dxab

dx

xababx

aba

aba

2

2

2

2

2

1

2013/05/14 MN 28

Quadratura de Gauss - exemplo

Usar

para calcular o integral de

2013/05/14 MN 29

3

1

3

1ffI

0,8 xe 0 xentre

400900675200252,0)( 5432

xxxxxxf

Quadratura de Gauss - exemplo

Mudança de variável

2013/05/14 MN 30

ddd

ddd

d

d

dxxx

xxx

dxxxxxx

dxdx

xx

4,0]4,04,04004,04,0900

4,04,06754,04,02004,04,0252,0[

400900675200252,0

doSubstituin

4,0

4,04,0

54

1

1

32

8,0

0

5432

Quadratura de Gauss - exemplo

O integral obtido é

1,822578 com

e o valor calculado analiticamente 1,640533

Erro de 11,1% comparável a trapézio,

Simpson 1/3 ou 3/8

2013/05/14 MN 31

3

1

3

1ffI

Quadratura de Gauss

Podemos empregar fórmulas com mais

pontos, sabendo os pesos a aplicar

2013/05/14 MN 32

Points Weighting

Factors Function

Arguments

2 c1 = 1.000000000

c2 = 1.000000000

x1 = -0.577350269

x2 = 0.577350269

3 c1 = 0.555555556

c2 = 0.888888889

c3 = 0.555555556

x1 = -0.774596669

x2 = 0.000000000

x3 = 0.774596669

4 c1 = 0.347854845

c2 = 0.652145155

c3 = 0.652145155

c4 = 0.347854845

x1 = -0.861136312

x2 = -0.339981044

x3 = 0.339981044 x4 = 0.861136312

Mais em

Abramovitz

Quadratura adaptativa

Trata-se de um procedimento que evita o

emprego de pontos igualmente

espaçados. Por um método que não vou

descrever faz-se variar a largura dos

intervalos de forma a minimizar o cálculo

da função dada.

2013/05/14 MN 33

Quadratura adaptativa M/O

Temos duas funções

quad Simpson

quadl Lobatto (não detalharei)

que realizam este objectivo.

Sintaxe

q = quad(fun,a,b,tol,trace,p1,p2,…)

2013/05/14 MN 34

Quadratura adaptativa M/O

funfunção

a e blimites

tolmajorante do erro

trace0 ou diferente de zero controla a

saída, dando menos ou mais detalhes do

cálculo

p1,p2…parâmetros a passar à função

2013/05/14 MN 35